170392609 Capitulo 1 Elementos Teoricos Vectores Aleatorios

ELEMENTOS DE ANALISIS MULTIVARIADO JULIO FERNANDO SUAREZ CIFUENTES

1CAPITULO I. VECTORES ALEATORIOS Corresponde a lo que algunos autores han denominado VARIABLES ALEATORIAS p_DIMENSIONALES, y permite la extensin de las variables aleatorias unidimensionales. Este capitulo constituye una base fundamental para la Teora de Confiabilidad, las cadenas de Markov, y el Anlisis Multivariado, entre otros mtodos de aplicacin prctica.

1. DEFINICIN. Sean X1, X2,..., Xp variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y sea (X1,X2,...,Xp) X una funcin de X1, X2,..., Xp, denominada Variable Aleatoria p - dimensional, o vector aleatorio de orden p, tal que

( ) ( )1 2

2, ...,1 1 2

( ,X ,....,X ) : ( ,w wp) ( , ,..., ( )) ( ) ( , ,..., )

=

= = =1 21 2

p

p p

nX X

w X w X w X w X w X x x x

R

NOTACION. X

representa el vector aleatorio, resultado conjunto del experimento aleatorio, en el cual se han observado las p caractersticas.

Ejemplo 1: X

puede ser: (X1, X2) = (oferta, demanda) (X1, X2, X3) = (cantidad de lluvia, temperatura, duracin) , (X1, X2, X3, X4) = (grosor, color, resistencia, contenido de potasio en un pedazo de vidrio) , (X1, X2, X3, X4,X5) = (estatura, peso, genero, edad, estrato socio-econmico) (X1, X2,..., Xp) = (p observaciones de la misma variable)

2 CLASES DE VECTORES ALEATORIOS Al igual que las variables aleatorias, los vectores pueden ser CUANTITATIVOS DISCRETOS, conformados por variables aleatorias que toman valores enteros, CUANTITATIVOS CONTINUOS si cada una de las p variables toman valores reales, CUALITATIVOS si las variables son atributos de los sujetos u objetos observados medidos no necesariamente en forma numrica, y MIXTOS cuando constituyen una mezcla de variables cuantitativas y cualitativas.

2.1 Vector Aleatorio Discreto Cuando X toma valores finitos o infinitos enumerables (nmero contable de valores) se denomina vector aleatorio discreto.

Ejemplo 2: Lanzar dos monedas; Xj representa el resultado del lanzamiento de la moneda j-sima es sello, j=1, 2, es una variable dicotmica nominal, y si ms precisamente se decide definirla como el nmero de sellos en el lanzamiento j, para efectos de la asignacin de nmeros reales los valores lgicos sern el 0 y el 1. La presentacin funcional es como sigue: (X1, X2)= X : 2

(w1, w2)=(c, c) (0, 0) = (X1 (w1), X2 (w2)) =((X1 (c) , X2 (c))=(X1=0, X2=0) (c, s) (0, 1) = (X1 (c) , X2 (s)) (s, c) (1, 0) = (X1 (s) , X2 (c)) (s, s) (1, 1) = (X1 (s) , X2 (s)) =(X1=1, X2=1)

2.1.1 Funciones de Probabilidad de un Vector Aleatorio Discreto


2Un vector aleatorio discreto se caracteriza por sus funciones de probabilidad denominadas: CONJUNTAS, MARGINALES, y CONDICIONALES, definidas sobre el mismo espacio de probabilidad.

2.1.1.1 Funcin de Probabilidad Conjunta Sea X un vector aleatorio discreto con valores x, la funcin de probabilidad conjunta de X , fX , es definida por:

[ ]( ) 0 , 1( )

:

xX

xX

p

x

R

C on ( ) ( , , . ... ) ( , , , , .. ..., , )... 1 2 1 1 2 21 2

( ( ))1

= = = = =

= =

=

X x x x x P X x X x X xX X X p p ppp

P X xj jj

Tal que fX cumple las propiedades:

x

1. ( ) 0 2. ....... ( ) 1XXf x f x

=

Ejemplo 3: Con base en el ejercicio anterior: [ ]0, 11 2

2: X Xf

(0, 0) 1 21 2 (0, 0) ( 0, 0)X X P X Xf = = = =

(0, 1) 1 2

(0,1)X Xf = =

(1, 0) 1 2

(1, 0)X Xf = =

(1, 1) 1 2

(1, 1)X Xf = = en forma resumida puede verse como una funcin como una tabla de la cual se hablara un poco ms adelante en cuanto a la relacin con la Estadstica:

1 2

1 21 2

1 / 4 0,1 0,1( ) ( , )0 en otro caso X XX

x xf x f x x = == =

2.1.1.2 Funcin de Probabilidad Marginal Sea un vector aleatorio p- dimensional de clase discreta con funcin de probabilidad conjunta

( )Xf x . La funcin de probabilidad marginal de X1, X2,...,Xm , o de X(1) = H(X1, X2,...,Xm) subvector aleatorio de dimensin m, m < p , se define como:

(1)(1)

1 11 2 1 2

... ( ..., ) , , ...... ( ) ( ) +

= =

XX X Xm X

x x xp p m

mx x x fx x

tal que cumple las mismas propiedades de la funcin conjunta de probabilidad ( )Xf x

Ejemplo 4: En el lanzamiento de dos monedas, ejercicios 2 y 3, x ( x ) se puede representar como en la tabla siguiente :

fX1X2 X2 X1 0 1 0 1


3

Entonces, las funciones marginales resultan de sumas como se observa en el siguiente arreglo el cual se comentara ms adelante, en cuanto su relacin con Estadstica.

X1 / X2 0 1 X1 0 1/4 1/4 2/4 1 1/4 1/4 2/4

X2 2/4 2/4 1.0

Ejemplo 5: Dos lneas de produccin manufacturan cierto tipo de artculos. Suponga que la capacidad (en cualquier da dado) es dos artculos para la lnea I y 3 para la lnea II. Con base en la tabla adjunta que muestra la distribucin de probabilidades conjunta, siendo X la variable aleatoria que indica el nmero de artculos producidos en la lnea I y Y la variable aleatoria que indica el nmero de artculos producidos en la lnea II.

X / Y 0 1 2 3 X 0 0 0.04 0.12 0.09 0.25 1 0.02 0.14 0.21 0.14 0.51 2 0.07 0.06 0.06 0.05 0.24 Y 0.09 0.24 0.39 0.28 1.0

a. Obtener las funciones marginales de X, X (x), e Y, Y(y) b. Calcular P(1 X 2, 1, 0 Y < 2). c. Hallar la probabilidad de que en la lnea I se produzcan ms artculos que en la II. d. La probabilidad de que se produzcan en total 3 artculos. e. Verifique:

( )S s ( , )= XYy f s y y con S=X+Y ( ) ( ) ( ) : si X, Y independientes= sS X Yxf s f x f s x

Solucin: a. Se observa en la tabla anterior como las sumas de los valores de las filas generan la funcin

marginal de la variable X, lo propio sucede con los valores de las columnas para obtener la funcin de probabilidad de la variable aleatoria Y.

0.09 y 00.25 x 0

0.24 y 10.51 x 1

0.39 y 20.24 x 2

0.028 y 3

( ) ( )X Yf x f y=

=

=

=

=

=

=

= =

b. P(1 X 2; 0 Y < 2)=XY (1,0)+XY (1,1)+XY (2,0)+XY (2,1)= =0.02+0.14+0.07+0.06 = 0.29

El 29% de la produccin flucta en la Lnea I entre uno y dos artculos y en la Lnea II menos de dos artculos.

c. P(X>Y)= XY(1,0) + XY (2,0) + XY (2,1)=0.02 + 0.07 + 0.06= 0.15 En el 15% de los das se produce ms artculos en la Lnea I que en la II.

d. P(X+Y=3)= XY (1,2)+ XY (2,1) + XY (0,3)= 0.21 + 0.06 + 0.09= 0.36 La probabilidad de que se produzcan en total 3 artculos es 0.36

( )

( )

( )

( )1 2 1 2

2 1

1 2 1 22 1

1 1X X 1 2 1 X X 1 2 2

0 01 21 11 2

X X 1 2 1 X X 1 2 20 0

x ,x 0 x ,x 01 1( ) ( )2 2 x ,x 1 x ,x 1

x x

x x

x x

f x f xX Xx x

= =

= =

= =

= = = =

= =


42.1.1.3 Funcin de Probabilidad Condicional Sea un vector aleatorio p- dimensional de clase discreta con funcin de probabilidad conjunta X(x), y con vectores aleatorios X(1) = ( X1 , X2 , ... , Xm ) y X(2) = ( Xm+1 , Xm+2 , ... , Xm ), (m < p), la funcin de probabilidad de X(1) dado el vector X(2) se define por:

( )1 2 m m 1 p

1(1) (2)(1) (2) ..... X , X ,X /X ,...,XX , X ,X /X ,...,X2 m p1 m 1

1

(1) (2),..., (1) (2)11 /

( ( ))

( ( ))

( ) ( ) ( / )

tal qu

/ ( ..... )/

( ,..., )

+

+

= +

++

=

=

=

= =

= =

p

jx x pX X

j m

X X

X X p m mm X X

P X xj

P X xjx x

x xx x

2(2),...., .1

e ( ,..., ) ( )1 0+ =+ >X X pm p x x f xm X

y cumple con las propiedades de toda funcin de probabilidad.

Ejemplo 6: En el Ejemplo anterior, calcular: a. X / Y( x / y=2) a. La probabilidad de que la lnea I produzca ms que la lnea II dado que se producen en total

3 artculos. Solucin:

/

0.12 0.30769 00.39

( , 2) ( , 2) 0.21. ( / 2) 0.53846 1(2) ( 2) 0.39

0.06 0.15385 20.39

XYX Y

Y

x

f x P X x Ya f x y xf P Y

x

= =

= =

= = = = = ==

= =

La interpretacin de cualquier valor resultante se puede hacer diciendo por ejemplo en caso del 0.53846 que si se producen 2 unidades en la lnea II entonces la probabilidad de que se produzca una sola en la lnea I es 0.53846. Equivalente a indicar que en los das en que se producen dos unidades en la lnea II, en el 53.8% de ellos se producen un artculo en la lnea I.

b. P(X>Y / X+Y=3)= XY(2,1) / P(X+Y=3) = 0.06 / 0.36= 0.1666

2.2 Vector Aleatorio Continuo Se encontrara en este aparte la definicin del vector aleatorio continuo y que ste se caracteriza por sus funciones de densidad conjunta, marginales y condicionales.

2.2.1 Definicin El vector aleatorio H(X1, X2,... ,Xp )= X es absolutamente continuo s existe la funcin gX(x) valorada en los reales tal que cumple:

1 . ( ) 0 2 . . . . . . . . ( ) 1X Xg x g x d x

=

entonces gX(x) es llamada FUNCIN DE DENSIDAD CONJUNTA DE X1, X2,..., Xp.


5

1

0

X2= 0.2+ X1

X1

X2

1

0.8

0.4 0.6

0.2

.

0.8 .

0.4 .

0.6 .

0.2

X2= X1 A

Adems se verifican las propiedades: 1 2

1 1 2

1 2

3. ( ( )

4. (( , , ... ., ) ) ( )

( ) ) ........

.....

=

=

=

p

j j jj

b b bpXa a a p

pp X

P x d x

P x x x A x d x A

a X b g

gA

R

.... 1 21 2 ( , ,..., )Notacin: ( ) = X X X pnX x x xg x g

Ejemplo 7: Sea X un variable aleatoria bidimensional de clase continua con funcin de densidad conjunta

2 1 11

1 2

1 1 110 0

0 1( )

0 en otro caso

1 (1 ) 2

a. Encontrar 112X

Xk x x

x

K dX dX K X dX K

g

k

K

< <

Ejemplo 9: Continuando con el ejercicio 8, obtener: a. La funcin de densidad marginal de X e Y. b. Probabilidad de que el trabajador A labore ms de tres cuartas partes del tiempo sabiendo

que el trabajador B lo hizo en ms de la mitad del da. c. La funcin de densidad condicional del tiempo laborado por B conociendo el tiempo

laborado por A. d. La funcin de densidad condicional del tiempo laborado por B sabiendo que el tiempo

laborado por A fue igual a las dos terceras partes del da.

Solucin

( )

( )

1 11 12 20 0

1 1

0.75 0.51

0.5

/ 12

. ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) 0 1

( ) ,( 0.75, 0.5). 0.75 / 0.50 0.325( 0.5) (1 / 2 )

( , ). / 0 1 0 1( )

Y X

YXY X

X

a g y x y dx y y g x x y dy x x

x y dy dxP X Yb P X YP Y y dy

g x y x yc g y x x y

g x x

= + = + = + = +

+> >> = = =

> +

+= =

+

( ) 2 2 4 63 32/ 3 72 2 13 3 2

( , ). / 0 1( )

YX yY X

X

g y yd g y y

g++

= = = +

Ejemplo 10: Suponga la funcin de densidad de la variable aleatoria bidimensional (X, Y) dada por:

2 0 13( , ) 0 2

0 e otro caso

. ( 1 2) . ( 1 / 2 1 / 2)Calcular:a c.

XY

x yx x

g x y yn

P X b P(Y X) P Y X

+ < y y y y y

H X

y

H x e dy dy y e y

DEFINICIN. Sea X un vector aleatorio y (1) ( 2) ( )( , ,...., ) k particiones de XkX X X , tales particiones son independientes si

1( )( )iX son clases independientes.

Ejemplo 26: Sea el vector aleatorio X=(X1, X2, X3, X4) tal que las XJ son independientes cada una con funcin de distribucin ( )Xj jF x

j

j

j

0 x 0( ) 0 x 1

1 1 x

> = > > =

= X X XiiP X y X y P X y P X y

F y F y F y

1 22 2

1 1 1 2 2 21 2

1 2

0 y 0 0 y 0( ) 0 y 1 ( ) 1 (1 ) 0 y 1

1 1 1 1 yY YF y y F y y

y

<


161 2

2 21 2 1 2

22 1 2

21 1 2

0 y 0 y 0

1 (1 ) 0 y 1 0 y 1 ( ) 1 (1 ) 1 y 0 y 1

0 y 1 1 y1

Y

y y

F y yy

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