6. OSNOVE MATEMATIČKOG

MOĐELOVANJA

6.1. Pojnm nintemntičkog modclovanja

Matcmatičko modelovanje. kao naučna mctoda

i nastavni postupak, veoma je značajno naročito u

počemoj nastavi matcmatike (i to kako pri forniiranju

matemaučkih pojmova tako i u modelovanju situacija

u neposrednom okruženju i živoiu čoveka).

Matematičko modelovanje jc podrobnije opisano u

[26].

Pod modelovanjem se podrazumeva misaona

ili materijalna rcprodukcija značajnih aspckata

originala. Prcdmct modelovanja su svi objekti fizičke,

psihičke. druStvene i misaone stvarnosti odnosno

njihova struktura i ponašanje. Zadatak i cilj

modelovanja je predstavljanje stvaniosli pomoću

predmeta, pojmova i relacija, koji su čoveku bliži i

poznatiji od onih koje istražujc i da preko njih

doprinese saznavanju stvarnosti. Osnovna uloga

modela jc da zamcni predmet istraživanja.

Razlikuju se sledeće vrste modcla: materijalni,

apstraktni, realni, funkcionalni, deterministički,

stohastički i drugi modeli. Izn»eđu njih se izdvajaju

dve osnovne vrste : materijalni i apstraktni modeli.

Materijalni modeli su materijalno - tehnički

analogoni, a apstraktni modcli su logičko -

matematički analogoni objektivnih sistcma objekata.

Matematički modeli su apstraktni modeli koji su

predstavljeni matcmatičko- logičkim simbolima i

matcmatičkim relacijama i odražavaju neke aspekte

stvarnosu u kojima se objektivne zakonitosti

pojavljuju u ćistom idcalizovanom obliku. Pomoću

ovili modela sc istražuje, ispituje ta stvarnost. Ovi

modeli omogućuju dublje izučavanje složenih sistcma

(preko ispiuvanja njihovih višcstrukih rclacija).

Matcmatički modcli pružaju nove informacije o tim

sistemima.

Svojstva, strukture i drugc bitnc specifičnosti

originala moraju biti zastupljcne u modclu. Drugim

rečima, izmcdu originala i modela mora postojati

sličnost, odnosno izomorfni ili homomorfni odnos.

Analizom originala i odgovarajućih didaktičkih materijala i modeia dolazi se do raznih informacija o predmetu ispitivanja, istraživanja. Ako se ostvare još određcna apsrahovanja, izdvojc suštinska svojstva konkrctnih >bjekata, tada se stvaraju novi idealizovani sistemi. To je proces formiranja matematičkih pojmova, relacija i operacija, do matcmatičkih modela. Osnovnc faze niatematičkog modelovanja su :

1) odrcđivanje originala,2) analiza originala,3) odluka o uvodenju modcla,4) izgrađivanje informacionc baze za modelovanje,5) definisanjc modela.6) ispitivanja na modelu,7) prcnos informacija sa modela na original,8) vcrifikacija dobijenih informacija na originalu i9) modifikacija modcla (vidi sliku, blok - šemu).

Kako je vcć rečcno, ispitivanjc originala zapoČinje ncposredno (bez modela). Kad se dobiju osnovne informacije o orginalu i ako sc utvrdi da je dalje ispitivanje originala neniogućc ili nccelishodno, nceiikasno, tada se uvodi modcl. Nakon prikupljenih informacija kojc bi omogućile odredivanjc modela i relacija između elemenata originala i modcla, umcsto ispitivanja originala sada sc vrši ispitivanje modcla. Na model (kao predmet istraživanja) primenjivaćc sc zakonitosti modcla dok se ispitivanjc origjnala ostvanije pomoću matematiČko- logičkih objekata,

relacija i opcracija. Dobijene informacije o modelu se, zatim, prenose na original.

Kako model prcdstavlja samo neke aspckte orginala, to je jasno da je izbor i ostvarivanjc matematičkih modcla jedan od osnovnih problema nastave matematike. Otuda, da bi matematički model bio što adekvatniji originalu, bira se niz različitih originala (koji su, u slučaju formiranja matcmatičkih modcla, apstraktni objekti), ali koji imaju bitno zajcdničko svojstvo. Pri stvaranju modela, veoma je važno da učcnici učestvuju u njihovom izgradivanju. Kvalitet formiranja matematiČkog modela može da se potpunijc sagleda tck u fazi njcgove primene (koja takođc prcdstavlja jednu od posebnih tcškoća stvaranja modela).

Indukcijom (opservacijom realne stvarnosti, ekspcrimentalno, pomoću analizc pojcdinačnog i dehmičnog) dolazi se do opšteg zaključka, do opšte zakonitosti (u većini slučajeva kao hipotczc). Ove zakonitosti se najpreciznije i najpraktičnije opisuju matematičkim modelima. Opšti zaključci sc dobijaju ako se uzmc što širi obim konkretnih sadržaja datih apstrakcija.

Aktivno učešćc učenika u formiranju apstrakcija i pojmova je važno i stoga što se oni na ovaj način priprcmaju za slične tokove mišljcnja u fazi primene savladane teorije. Pored fizičkih i misaonih operacija i grafičke aktivnosti (kao "konkretne" apstrakcije) omogućavaju ostvarivanje dvosmemih komunikacija izmcdu konkrcmog i apstraktnog.Apstrahovanja se u realnoj stvamosti obično ostvaruju matematizacijom odnosno kibemetizacijom problema. Pri rešavanju problema, praktično stanje čcsto odreduje saznanjc, misaone operacije i misaoni smer subjekata. Ako se subjekt osposobi da analizira problem, da otkriva značajne činjcnice, povezujc ih i uporeduje, da aktivira svoja znanja, onda će njcgova

teorijska znanja biti dovoljno funkcionalna, diferencirana, fleksibilna i aktivna. Rešavanjc samo "klasičnih", stereotipnih, "školskih" zadataka bcz problemskih situacija, protivurečnosti, sa potrebnim i dovoljnim podaciraa i unapred datira raodelima. šablonima, sa poznatim smerom i korabinacijom mišljenja, teško dovodi do aktivnog znanja uČenika.

Modelski pristup nastavi podrazumcva matematizaciju, stvaranje 1 primenu raodcla, veštinu stvaranja 1 primene modela, razvijanjc i primenu produktivnog raišljenja.

Matematički nastavni pristup (u kombinaciji sa drugim nastavmm postupcima) sastoji se u sledećem.

Polazi se od originala koji su u ovim slučajevima sledeći procesi formiranje matematičkih pojmova, otkrivanje relacija, operacija, zakoni odnosno stavova, problema (koje treba fonnirati, otkriti, formulisati, rešiti); : kojima pomoću dircktne analize, sintcze, eksperimenata i na druge načine ucr i prikupiti informacije. Ako sc na direktan naČin problem, odnosno problemsia situacija, može rešiti, onda nema potrebe za uvodenjem modela (kjt posrednika u ovom rešavanju). U drugom, suprotnom slučaju, prilan < posrcdnom izučavanju originala pomoću raodcla. U zavisnosti od uzraiu učenika, nastavnih sadržaja, ciljeva i zadataka nastave, predznanja učeniki . početnoj nastavi mateniatike koriste se razni tipovi modela : matenjik- ikonični, verbalni i matematičko - kibernetiČki.

Pod matcmatičkira modclima podrazumevaju se i: logičke struten algoritmi, postupci rešavanja odredenih problema.

Kad je model dcfinisan i kad su odrcđeni uslovi pod kojima on vu^ x narednoj fazi sc prilazi njegovoj primeni (korišćenju), rešavanju analitičksz simulacionim postupkom. Dobijeni rezultati u klasičnini ispitivanjrmi rešavanjima materaatičkih modcla su konkretni i eksplicitnL cksperimcnata na originalu ostvaruju se eksperimcnti, odnosno simulacijt modclu. Simulacija je nužna kad se radi o mlađem uzrastu, jer ona zamenjuje analizu (odnosno analitičko rešavanje).

U narednoj fazi, dobijenim rešcnjima, rezuhatima (pomoću sim analitičkog rcšavanja matematičkog modela) treba dati odgo\ interpretaciju u oblasti originala i na taj način ih ugraditi u dotadašnji znanja učenika.

Kako se iz navedenog vidi, materaatički modeli (pojmovi, rclacije i algoritmi) su sredstva posrcdnog izučavanja objektivne Modclovanje je, u stvari, misaoni oblik kreiranja apstrakcija kao i•ih ostvarenja. U počctnoj nastavi matematike stvaraju se i izučavaju modeli:

L fcrojevi : prirodni i racionalni (pojam razlomka), operacije sa njima t

10) <?đsaČiiie i nejcdnačine ,|»> osiovne gcomctrijske figurc ,

obim. površina i zaprcmina geometrijskih objckata itd.

6.2. Primeri i zadaci

I> \nalizarti proces formiranja pojma kvadrata po fazama. Kako se vrši i*L.a\anje svojstava kvadrata ? Primena pojma kvadrata, na izučavanjc r zmosti

Eešavanje. Polazi se od originala, koji su u ovom slučaju modeli - didaktički micnjali (kvadratni dccimetar, list hartije, vinas ploČice za podove i kupatila, acne slike i dr.). Analizom ovih originala dolazi se do informacija da svaki ungjnal mia jednake stranicc i jcdnakc uglove (2. i 4. faza). Treća faza je : (£uka o uvodenju modela : kvadrat. ? taza defmicija modela : Kvadrat je ....

(• Na modelu (crtežu kvadrata) se izučavaju svojstva kvadrata (odnos irigonala. obim, simetrija, površina i dr.).

~ Dobijenc informacijc na modelu (crtežu kvadrata) o obimu, površini, či igonalama i dr. prenosc se na originale (koji imaju kvadratni oblik). !f Vahdnost dobijenih informacija na modelu jc afirmativna .11) Modiiikacija modela nije potrebna.

•■I

I • Zadatak: a) Kako se formira pojam promenljive ?b) Kako se formira pojam jednačinc i ncjednačine? (Rcšenja •cdnačine i stvamost (interpretacija) rešcnja).

3) Zadatak: Formirati model, algoritam, za odredivanjc obima i površine rravougaonika i primeniti model. (Jpustvo: Od kojih originala sc polazi kod formiranja pojedinih modela? Koja su karakteristična svojstva odgovarajućih onginala? Definisati odgovarajući model. Ukazati na mogućnosti primenc modcla. 6.3. Logičko - kombinatorni zadaci

Primer 1. Dva konja, upregnuta, u kola prešla su 30 km. Koliko je prešao svaki konj?

Primer 2. U Čaši. balonu i kanti nalaze se limunada, mleko i voda. U kanti nije iimunada. ni mleko, u čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kanti. koja u balonu, a koja u Čaši?

Rešavanjc. Ako u kanti nije ni limunada ni mleko onda je u njoj voda. Kako u čaši nijc ni limunada ni voda onda jc u njoj mlcko. Prerna tomc, u balonu je limunada.

Primer 3. Razgovaraju dva dniga "Ja imam tri sina. Igrom slučaja danas je svoj trojici rodendan. Sva trojica imaju ukupno šest godina". "Dajte mi joŠ neki podatak da bih odrcdio uzrast vaše dece", "Da, zaboravio sam da najmlađi sin ima plave oči", " Hvala, sad mi je jasno". Koliko godina su imala dcca?

Rešavanje. Kako se prcma uslovu zadatka radi o prirodnim brojcvima čiji c zbir 6, rešenja bi mogla biti: 2, 2, 2

1, 1,4 1,2,3

Kako prema uslovu zadatka postoji najmlađi sin, rešenje je, daklc, 1, 2, 3.

Ovi zadaci rešcni su logičkim postupcima, direktno bez modrm. pomoću odgovarajućih algoritama misaonih operacija. Oni nisu ni kvantititr w prirodc. Zašto se onda daju ovakvi zadaci? Cilj rešavanja ovakvih /.adatiU jt razvijanje logičkog mišljcnja, razvijanje interesovanja i ljubavi prrae matcmatici, motivisanjc uČcnika.

Zadaci.

I) Ako u ponoć pada kiša, može li sc očekivati da će za 72 sata biti soLa»l vremc? (Odgovor : Ne . ZaŠto?)

p i Ćudna trgovina.Koliko stoji jednn? "Tri dinara", odgovori trgovac. Koliko stoji jcdanaest? "Sest dinara", odgovori trgovac. Koliko stoji 111? "devet dinara". pa je kupac kupovao? (Odgovor: Kućne brojeve.).

3< Domaćica je kupila, ukupno 20 kokoSijih, guSčijih i paČijih jaja i za sve je jrutila 20 dinara. Guščija je platila 3 dinara, paČija po dva dinara, a kokošija po pt para Kolikoje kupila jaja svake vrste? (GuŠčija 1, pačija 5, kokošija 14) U) Pretpostavi da voziš auto i da u gradu nigde nema struje. Ni na tvom

autu »eth ne rade. Odjednom naglo koČiŠ i zaustavljaš se metar pred jednim crscem. Kako si znao (znala) da je to crnac, kada nigde u gradu nije bilo struje, ee su tvoja svctla bila ispravna? (Upustvo : U zadatku nije rcčcno da je to bila mć).

5 I Gorelo je šest sveća na novogodišnjoj jelki. Ali, četiri sveće su sc ugasile. Kohko je ostalo sveća? (Odgovor : ćctiri).U korpi su četiri jabuke. Podcli ih četvorici dećaka tako da svaki dcčak koije po jednu jabuku. Kako se to može učiniti da u korpi ostane jedna pDuka? (Jednom dcčku dati korpu sa jabukom).

6.4. Skupovni postupnk rcšavanja zadntaka

1 Od 160 učenika IV razreda njih 96 učestvovalo je na takmičenju iz aitematike, a na takmičenju iz malog fudbala 72 učenika. Koliko učenika je ačestvovalo i na jednom i na dnigom takmičenju ukupno, ako sc zna da 19 liienika nijc učestvovalo ni na jcdnom takmiČenju?

Kctavnnjc. Kako su ncki učcnici učestvovali i na jednom i na drugom akmičenju to ćc onL ako se prcdstave oba takmičenja pomoću Venovih ćperama, pripadati zajcdničkom prcseku (ta dva skupa). Dakle, ako bi se fođo od slike i uslova zadatka, moglo bi sc pisati 19 + 96 + 72 = 187. Kako m> svega 160 učcnika, to je razlika 187 - 160 = 27 broj ućenika koji su u ri^edničkom prescku, odnosno broj učenika koji su učcstvovali i na jednom i u drugom takmičcnju. Koliki jc broj učcnika koji su uČcstvovali samo na sitcmatičkom odnosno samo na takmiČenju iz malog fudbala?

1 U jednom prcvodilačkom birou radc 52 prcvodioca. Medu njima 20 govori isski. 19 francuski i 35 engleski jezik. Ruski i cnglcski govori 11, francuski i -iski 7, a francuski i engleski 9. Koliko prevodilaca govori sva tri jezika?

Koliko njih govori samo ruski jezik? (Odgovor: 5 govori sva tri, ruski i francuski 2, ruski i englcski 6, francuski i cnglcski 4, ruski 7, cngleski 20, samo francuski 8).

3. Na pismenoj vežbi iz matematikc data su tri zadatka. Svaki učcnik jc rešio bar jedan zadatak, a niko nije rešio treći. Prvi zadatak je rešilo 25 učenika, drugi 27, a 20 učenika je tačno uradilo i prvi i drugi zadatak. Koliko uČenika je radilo pismenu vežhu? Koliko uČenika jc rcŠilo samo prvi zadatak? (32 učenika, 5 učenika).

6.5. Postupnk lažne pretposUvke

Ncki problemi se re^avaju polazeći od neke "zgodne", a najČeŠće "lažne" prctpostavke o rcšcnju. Analizom zadatka uz datu prctpostavku dola^: se do proccne greškc i do odgovarajućih korekcija prctpostavljenog rešenja. dakle, do pravog rešenja. Evo primera.

Primer 1. Gomila i njena trcćina imaju 16 prcdmeta. Koliko je predmcta na gomili?KcSavanje. Ako sc "lažno" pretpostavi da gomila ima tri predmcta, to jc la> naći njenu trećinu, to je jedan predmet. Znači, gomila i njena trećina imaju 3 - 1 = 4 prednieta. Kako po uslovu zadatka taj zbu iznosi 16, što znači četiri puu veći od prctpostavljcnog. Dakle, traženi broj je 3 • 4 = 12.

Primer 2. Jcdnom slavmom može se napuniti bazen za 3 časa, a drugom zs dva časa. Za koje vreme ćc se napuniti bazen, ako su obe slavinc lstovremes«: otvorcne?

Rcšavanje. Ako se opet napravi lažna pretpostavka da obe slavnr: istovrcmeno pmie bazen 6 časova. Tada bi prva ccv umcsto jednog napun-a dva takva bazena, a druga cev tri takva bazena, dakle. ukupno pet tai. - bazena (iz zadatka). Otuda, traženo vremc punjcnja bazcna je pet puta mjaytl od

pretpostavljenog. Prcma tome, vreme punjenja bazena je 6/5 Časova. r 1 čas i 12 minuta.

Primcr 3. U kavezu su zečevi i fazani 25 glava i 80 nogu. Koliko ima zeće- i a koliko fazana?

Kcšavnnjc. Opct pomoću postupka lažne pretpostavke da su u kavezu -mi životinje iste vrste, npr., zečcvi. U ovom slučaju u kavezu bi bilo 100 o.rpJ Ako se izbaci jedan zec i ubaci jcdan fazan, broj nogu se smanjuju za tfnuJ

2 = 10. Kako je u kavczu ukupno 25 glava to znaČi daZnaĆi, fazana ima 20 zečeva ima: 25-10= 15.

Zadaci.

12) Učenik je na testu iz matematike rešavao 20 zadataka i osvojio 40 bodova. Ako se za tačno rešenje dobijalo 3 boda, a za pogrešno oduzimalo jedan bod, koliko je zadataka učenik tafino reŠio? (Rezultat: 15 zadataka).

13) U jednoj leguri bakar i cink zastupljeni su u razmeri 3 : 2. Koliko kilograma od svakog mctala ima u komadu tc lcgure od 45 kg ? (Odgovor : 27 kg cinka i 18 kg bakra).

6.6. Aritmctičko - logički modeli

Ako u nckoj klasi zadataka trcba dokazati da svi clementi nckog skupa imaju jedno dato svojstvo, tada umcsto dokaza može da posluži kontraprimer. Nairne, dovoljno je naći bar jcdan element tog skupa koji ncma fiksirano svojstvo. Ako se takav kontraprimer (u ovom slučaju element skupa bez datog svojstva) ne može naći, onda treba dokazati (uckom od metoda dokazivanja. npr., potpunoni ili matcmatičkom indukcijom) da svi clementi poseduju to svojstvo.

Dirihleov princip u populaniom (ali korcktnom vidu) glasi : Ako u n kaveza ima m zečeva, m > n, onda su u bar jcdnom kavezu dva zcca.

Primer 1. Može li se tvrditi da u grupi od 36 učenika postoje bar dva učenika čija prezimena počinju istim slovom? (Uputstvo : U azbuci ili abeeedi ima samo 30 slova.)

Primer 2. U odeljenju ima 30 učenika. U diktatu iz srpskog jezika Saša je načinio 13 greŠaka, a ostali učenici manje. Dokazati da su najmanje tri učenika načinila jednak broj grešaka.

Rešavanje. Ako su greškc idealno raspoređene, a s obzirom i na to da ućenici mogu imati 0 do 13 grešaka, onda sc 28 učenika može rasporediti tako da po dva učenika imaju jednak broj grešaka. Kako ima još dva učenika, sledi da su najmanje tri učenika načinila isti broj grešaka.

Primcr 3. Jednom predavanju prisustvovalo je 35 Ijudi. Dokazati da među njima bar dvojica imaju jeduak broj po/nanika medu prisutnim na predavanju. Poznanstvo, pretpostavlja se, simetrična je relacija.

Rcšavanjc. Ako se broj svakc od 35 soba koje su numerisane brojevima od 0 do 34 podudara sa brojem poznanika, onih Ijudi koje smo u ove sobe smestili, onda su moguća dva slučaja :Postoji čovck koji ne poznaje nikog od ostalih prisutnih na predavanju. Tada u sobi 34 nema nikoga, jer ovaj čovek ne poznaje bar jcdnog učesuika (zbog simetričnosti relacije). DakJc, 35 ljudi je smešteno u 34 sobe i, stoga, bar u jednoj sobi se nalaze dvojica (znači imaju jednak broj poznanika).Ne postoji čovek koji nema poznanika među prisutnima tada će soba sa brojem 0 biti prazna. Dakle, 35 Ijudi opet treba rasporediti u 34 sobe, a to je prethodni slučaj.Zaključak je da medu prisutnim postojc bar dve osobe sa jednakim brojem poznanika.

Zadaci.

14) U nizu 1,2,3,..., 199,200 izabran je broj 101. Dokazati da će jedan od izabranih brojeva biti deljiv nekim od izabranih brojeva.

15)Dokazati da medu 12 proizvoljno izabranih prirodnih brojeva moraju postojati bar dva čija je razlika deljiva sa 11. (Uputstvo : primeniti Dirihleov princip).

16) Od 15 listova hartije izvestan broj je isečen na po 10 delova. Od ovih dobijenih listova izvestan broj je ponovo isečen na po 10 delova. Ovakav postupak je ponovljen nekoliko puta. Na kraju je izbrojano ukupno 1995 listova. Dokazati da jc brojanje bilo pogrešno. (Uputstvo : Koristi se i deljivost brojeva sa 9).

6.7. Jednačinc i nejednačine

Pri matematičkom modelovanju nepoznate vcličine se obično označavaju nckim slovom, (najčešće sa x,y,z,...). Pomoću njih sc izražavaju postojeći odnosi u originalu koji se modeluju i, na taj naČn, dolazi se do jcduačina i ncjednačina.

Primcr 1. U kutiji se nalazi 15 bombona. Koliko se bombona može uzeti da bi u kutiji ostalo više od desct bombona?