METODE DUAL SIMPLEKS

Modul 7

Riset Operasional 1

Eliyani

METODE DUAL SIMPLEKS

1. PENGANTARMencari solusi optimum dari suatu masalah seperti yang telah dibicarakan pada dua bab sebelumnya bukan selalu merupakan tujuan utama LP. Tabel simpleks mengandung informasi tambahan yang bahkan lebih penting daripada solusi optimum masalah tersebut. Pentingnya informasi tambahan yang dapat diperoleh dari tabel simpleks optimum telah mendorong munculnya teori dualitas dan analisis sensitivitas.2. TEORI DUALITASBaik dari sudut pandang teori maupun praktek, teori dualitas merupakan salah satu konsep yang sangat penting dan menarik dalam LP. Istilah dualitas menunjuk pada kenyataan bahwa setiap LP terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama atau bentuk asli dinamakan primal, sementara bentuk kedua yang berhubungan dinamakan dual demikian hingga suatu solusi terhadap LP yang asli juga memberikan solusi pada bentuk dualnya. Jadi, jika suatu LP diselesaikan dengan metode simpleks, sesungguhnya diperoleh penyelesaian untuk dua masalah LP.Untuk menjelaskan konsep duality, mungkin cara yang terbaik adalah dengan memberikan contoh, misalnya saja tentang masalah diet. Tabel 3.1 memberikan jumlah mineral dan vitamin yang terdapat pada dua jenis makanan tiruan, yaitu; daging dan sayur per unit, serta harganya.

Tabel 3.1Kandungan Makanan tiruan

Kebutuhan

Daging Sayur

minimum per hari

Mineral 2 4

40

Vitamin 3 2

50

Harga perunit 3 2,5

Minimumkan Z = 3X1 + 2,5X2 dengan syarat: 2X1 + 4X2 ( 403X1 +2X2(50X1, X2( 0Sekarang, pikirkan suatu masalah yang berbeda, yang berhubungan dengan masalah yang pertama (bentuk primal). Misalkan ada sebuah dealer yang menjual mineral dan vitamin. Pemilik restoran setempat membeli mineral dan vitamin dari dealer dan membuat daging dan sayur tiruan yang berisi mineral dan vitamin seperti yang disajikan pada Tabel 3.1. Dealer mengetahui benar bahwa daging dan sayur tiruan memiliki nilai hanya karena kandungan mineral dan vitaminnya. Masalah bagi dealer adalah menetapkan harga jual mineral dan vitamin per unit yang maksimum demikian hingga menghasilkan harga daging dan sayur tiruan tidak melebihi harga pasar yang ada.Untuk merumuskan masalah ini secara matematik, misalkan untuk menetapkan harga daging per unit sebesar Y1 dan harga sayur per unit sebesar Y2. Kemudian, masalah dealer dapat dinyatakan secara matematik untuk menentukan Y1 dan Y2 menjadi:Maksimumkan W = 40Y1 + 50Y2 dengan syarat: 2Yl + 3Y2 ( 34Y1 + 2Y2 ( 2,5Y1, Y2 ( 0 karena nilai negatif tak benar.Bentuk LP yang terakhir ini dinamakan bentuk dual. Y1 dan Y2 dinamakan variabel dual.Bila masalah primal dibandingkan dengan masalah dual, terlihat beberapa hubungan seperti berikut:1. Koefisien fungsi tujuan masalah primal menjadi konstan sisi kanan masalah dual. Sebaliknya, konstan sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.2. Tanda pertidaksamaan kendala dibalik.3. Tujuan diubah dari minimisasi(maksimisasi) dalam primal menjadi maksimis-asi (minimisasi) dalam dual.4. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (kendala) dalam dual. Sehingga banyaknya kendala dual sama dengan banyaknya variabel primal.5. Setiap baris (kendala) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual. Sehingga ada satu variabel dual untuk setiap kendala primal.6. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal.Mencari Solusi Optimum Bentuk Dual

Karena setiap LP dapat dipecahkan dengan metode simpleks, maka metode itu dapat diterapkan baik pada masalah primal maupun dual. Main Duality Theorem menyatakan bahwa suatu solusi optimum terhadap bentuk dual dapat diperoleh melalui solusi primal dan sebaliknya. Contoh berikut akan menunjukkan bagaimana pernyataan itu bekerja.Maksimumkan Z = 5X1 + 12X2 + 4X3Dengan syarat : X1 + 2X2 + X3 ( 5

2X1 - X2 + 3X3 = 2

X1, X2, 3X3 ( 0

Kemudian selesaikan dengan metode simpleks. Dalam hal ini dibutuhkan Variabel Slacks dan art ificial variable A. Pada tabel simpleks awal diperoleh variabel basis S = 5 dan A = 2. Pada iterasi terakhir diperoleh tabel simpleks optimum seperti )erikut:Tabel 3.2

Basis

X1

X2

X3

S

A

Solusi

Z

0

0

3/5

29/5

-2/5 + M

28 1/5

X2X10 110

-1/5 7/52/5 1/5-1/5 2/58/5 9/5

Ingat bahwa variabel basis awal adalah variabel slack S dan artificial variable A, semeritara kedua variabel basis optimum adalah variabel riel.Sekarang, masalah dual akan dipecahkan dengan metode simpleks. Bentuk dualnya adalah:

Minimumkan W = 5Yl + 2Y2

dengan syarat: Yl + 2Y2 ( 5

2Yl - Y2>12Yl + 3Y2 > 4Y1 > 0 , Y2 tak terbatas.Karena Y2 tak terbatas, ia diganti dengan Y2-Y" di mana Y2 dan Y"( 0. Jika variabel surplus S1, S2, S3 dikurangkan dari ketiga kendala dan menambahkan artificial Variable A1 42, danA3, maka variabel basis awal adalah A1=5, A2=l 2, A3=4. Kemudian tabel simpleks optimumnya adalah

Basis Y}

Y'2 Y" S1 S2 S3 Al A2 A,

Solusi

Z

0

0

0

-9/5

-8/5

0

9/5 -M

8/5 -M

-M

28 1/5

S,

0

0

0

-7/5

1/5

1

7/5

-1/5

-}

3/5

Y"

0

-1

1

2/5

-1/5

0

-2/5

1/5

0

2/5

Yl

1

0

0

-1/5

-2/5

0

1/5

2/5

0

29/5

Basis Y}

Y'2 Y" S1 S2 S3 Al A2 A,

Solusi

Z

0

0

0

-9/5

-8/5

0

9/5 -M

8/5 -M

-M

28 1/5

S,

0

0

0

-7/5

1/5

1

7/5

-1/5

-}

3/5

Y"

0

-1

1

2/5

-1/5

0

-2/5

1/5

0

2/5

Yl

1

0

0

-1/5

-2/5

0

1/5

2/5

0

29/5

Basis Y}

Y'2 Y" S1 S2 S3 Al A2 A,

Solusi

Z

0

0

0

-9/5

-8/5

0

9/5 -M

8/5 -M

-M

28 1/5

S,

0

0

0

-7/5

1/5

1

7/5

-1/5

-1

3/5

Y"

0

-1

1

2/5

-1/5

0

-2/5

1/5

0

2/5

Yl

1

0

0

-1/5

-2/5

0

1/5

2/5

0

29/5

Pengamatan terhadap tabel optimum primal dan dual mengungkapkan hasil-hasil yangmenarik. Variabel basis padasolusi awal bentuk primal adalah S dan A. Variabel dual yang berhubungan dengan persamaan kendala primal yang mengandung S dan A adalah Fj dan 72. Sekarang perhatikan koefisien persamaan Z pada tabel optimum primal. Hasilnya adalah:Pengamatan terhadap tabel optimum primal dan dual mengungkapkan hasil-hasil yangmenarik. Variabel basis padasolusi awal bentuk primal adalah S dan A. Variabel dual yang berhubungan dengan persamaan kendala primal yang mengandung S dan A adalah Fj dan 72. Sekarang perhatikan koefisien persamaan Z pada tabel optimum primal. Hasilnya adalah:Pengamatan terhadap tabel optimum primal dan dual mengungkapkan hasil-hasil yangmenarik. Variabel basis padasolusi awal bentuk primal adalah S dan A. Variabel dual yang berhubungan dengan persamaan kendala primal yang mengandung S dan A adalah Fj dan 72. Sekarang perhatikan koefisien persamaan Z pada tabel optimum primal. Hasilnya adalah:

Pengamatan terhadap tabel optimum primal dan dual mengungkapkan hasil-hasil yang menarik. Variabel basis pada solusi awal bentuk primal adalah S dan A. Variabel dual yang berhubungan dengan persamaan kendala primal yang mengandung S dan A adalah Y1 dan Y2. Sekarang perhatikan koefisien persamaan Z pada tabel optimum primal. Hasilnya adalah:

Variabel basis awal bentuk primalAS

Koefisien persamaan Z pada optimum primal29/5-2/5 + M

Variabel dual yang berhubunganY1Y2

Jika M diabaikan, koefisien persamaan Z adalah 29/5 dan 2/5 yang langsung memberikan solusi optimum pada masalah dual. Yaitu, nilai optimum Y1=29/5 dan Y2=-2/5 (=Y2 Y = 0 2/5) yang sama dengan hasil pemecahan bentuk dual dengan metode simpleks.

Hasil di atas bukan bersifat kebetulan, tetapi berlaku umum. Suatu pengamatan serupa terhadap variabel basis pada solusi awal (A1, A2, A3) memberi informasi seperti berikut:

Variabel basis awal bentuk primalA1A2A3

Koefisien persamaan Z pada optimum primal9/5-M8/5-M0- M

Variabel dual yang berhubunganX1X2X3

Jika M diabaikan, maka hasil dari koefisien persamaan Z secara langsung memberi solusi optimum primal Xi = 9/5 , X2 = 8/5 dan X3 = 0, yang sama dengan hasill penyelesaian bentuk primal dengan metode simpleks.Berdasarkan tabel simpleks optimum bentuk primal, solusi optimum bentuk dual dapat juga dihitung melalui rumus seperti berikut:Misalkan terdapat hubungan primal-dual sebagai berikut:Minimumkan Z = cXdan Maksimumkan W = Ybdengan syarat AX = b dengan syarat YA ( c X ( 0

Y( 0Maka solusi optimum masalah primal dan dual yang diperoleh melalui penerapan revised simplex method adalah:Z=W = cBB-1 bKeterangan:cq : Vektor profit atau biaya variabel basis optimum bentuk primalB : matriks variabel basis optimum bentuk primal

: [ Pj ] di mana Pj adalah kolom ke j matriks A

CBB-1 : vector simpleks multiplier

Penafsiran Solusi Dual

Dari segi ekonomi, solusi optimum bentuk dual dapat ditafsirkan sebagai sumbangan per unit kendala sumber daya (shadow price). Berdasarkan Main Duality Theorem nilai optimum fungsi tujuan primal dan dual adalah sama. Jika X dan K adalah solusi optimumnya, maka Z = cX = Y b =W. Dengan kata lain, nilai optimum program linier (primal atau dual) dituliskan sebagai:Z = Y1ob1 + Y2ob2 + ... + Ymobm,

di mana b1, b2,...,bm menunjukkan jutnlah sumber daya l,2,...m yang terbatas dan Y10, Y2,...Ym adalah nilai optimum variabel dual. Misalkan dianggap bahwa jumlah sumber daya ke 1 (b1) dapat diubah. Kemudian, untuk perubahan nilai b1 yang sangat kecil, katakan ( b1, perubahan neto nilai tujuan Z adalah Y} (( b1). Perubahan neto nilai optimum karena kenaikan jumlah sumber daya dinamakan shadow price sumber daya yang bersangkutan. Ini dapat digumakan untuk menentukan apakah menguntungkan untuk mendapatkan tambahan sumber daya pada harga pasar.

Keuntungan Perhitungan Bentuk Dual

Telah ditunjukkan bahwa setiap masalah LP dapat dipecahkan dengan merumuskan baik dalam bentuk primal maupun dual. Karena solusi satu masalah selalu dapat diperoleh dari solusi bentuk dualnya, maka tidak perlu merumuskan kedua bentuk. Apakah suatu masalah seharusnya dirumuskan dalam bentuk primal atau dual, tergantung sepenuhnya pada kemudahan perhitungan dalam menyelesaikan dua jenis masalah itu.Namun, tak dapat dikatakan bahwa satu jenis masalah adalah lebih mudah untukdiselesaikan dibanding yang lain tanpa meneliti struktur masalahnya. Terdapat kesepakatan bahwa sejumlah besar kendala membuat masalah perhitungan yang lebih gawat daripada sejumlah besar variabel. Ini karena jumlah kendala menentukan banyaknya vektor basis dalam solusi yang pada gilirannya menentukan ukuran matriks basis inverse.Sehingga, jika suatu masalah demikian hingga bentuk primalnya memiliki sejumlah besar kendala sementara variabelnya hanya sedikit, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan lebih efisien jika dirumuskan dalam bentuk dual.METODE DUAL SIMPLEKSMetode dual simpleks merupakan suatu prosedur perhitungan yang memberikan suatu solusi layak optimum meskipun solusi awalnya tidak layak. Prosedur ini pertama kali disusun oleh Lemke.

Langkah-langkah

Perhatikan masalah berikut:

Minimumkan Z = 4X1 + 2X2Dengan syarat

3X1 + X2 ( 27

X1 + X2 ( 21

X1 + 2X2 ( 30

X1, X2 ( 0

1. Ubah semua kendala menjadi pertidaksamaan ( sehingga tidak dibutuhkan artificial variable. Caranya dengan mengalikan kedua sisi dengan 1. Setelah itu, tambahkan variabel slack sehingga menjadi persamaan.

Minimumkan Z = 4X1 + 2X2Dengan syarat-3X1 - X2 + S1 = -27

-X1 - X2 + S2 = -21

-X1 - 2X2+ S3 = -30

X1, X2, S1, S2, S3 ( 0

2. Susun dalam tabel simpleks awal seperti pada Tabel 1. Terlihat bahwa penyelesaian masalah menggunakan variabel slack tidak memberikan solusi awal layak. Semua koefisien pada Z adalah ( 0, sehingga solusi awal S1 = -27, S2 = -21, dan S3 = -30 optimum tetapi tidak layak. Masalah seperti ini merupakan ciri khas masalah yang dapat diselesaikan dengan metode dual simpleks.

Tabel 1. Tabel simpleks awal

BasisX1X2S1S2S3Solusi

Z-4-20000

S1-3-1100-27

S2-1-1010-21

S3-1-2001-30

3. Tetapkan leaving variable, yaitu variabel basis yang memiliki nilai negatif terbesar. Dalam contoh ini, S3 dengan nilai 30.

4. Tetapkan leaving variable, yaitu variabel basis yang memiliki nilai negatif terbesar. Dalam contoh ini, S3 dengan nilai 30.

5. Entering variable ditetapkan dengan memilih variabel non basis yang memiliki rasio terkecil. Nilai rasio ditetapkan dengan cara membagi koefisien variabel non basis persamaan Z dengan nilai koefisien leaving variable. Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 2. Dalam kasus ini, entering variable adalah X2.

Tabel 2. Rasio antara Koefisien Variabel Non Basis Persamaan Z dengan Koefisien Persamaan Leaving VariableVariabelX1X2S1S2S3

Persamaan Z-4-2000

Persamaan S3-1-2001

Rasio41

6. Lakukan operasi baris dengan menggunakan Metode Gauss Jordan dan diperoleh hasil seperti disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3. Hasil Operasi Baris

BasisX1X2S1S2S3Solusi

Z-3000-130

S1(-2.5)010-1/2-12

S2-1/2001-1/2-6

X21/2100-1/215

7. Hasil operasi baris menunjukkan bahwa solusinya masih optimum tetapi tidak layak sebab masih ada variabel yang bernilai negatif (S1 = -12 dan S2 = -6). Untuk itu, pilih kembali leaving dan entering variable dan lakukan operasi baris lagi. Hasil iterasi disajikan pada Tabel 4.

Tabel 4. Hasil Iterasi Kedua

BasisX1X2S1S2S3Solusi

Z00-1.20-0.444.4

X110-0.4024.8

S200-0.21-(0.4)-3.6

X201-0.20-0.612.6

8. Walaupun nilai Z meningkat, namun tetap belum diperoleh solusi yang layak karena S2 masih bernilai negatif. Oleh karena itu, dilakukan iterasi ketiga dengan S2 sebagai leaving variable dan S3 sebagai entering variable. Hasilnya disajikan pada Tabel 5.

Tabel 5. Hasil Iterasi Ketiga

BasisX1X2S1S2S3Solusi

Z00-1-1048

X110-1/21/203

S3001/2-2.519

X2011/2-1.5018

9. Karena semua variabel telah bernilai positif, maka telah diperoleh solusi optimum dan layak, yaitu X1 = 3, X2 = 18 dan Z = 48.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Eliyani RISET OPERASIONAL 9