13 FÍSICA RELATIVISTA - INTEFplatea.pntic.mec.es/~jmarti2/2Fisica/13-relatividad.pdf · La relación entre estos tiempos es: t pe t r p p a en ra d l i e c l u o lar = =1 − v c2

13.1. LA RELATIVIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA

1. Dos niños juegan a lanzar una pelota al aire y recogerla. Uno de ellos está enla orilla de un río, mientras que el otro está en una barca que avanza por el ríocon movimiento rectilíneo uniforme. ¿Hay alguna diferencia en la forma enque perciben el juego ambos niños?

No. Cada uno de ellos observará que una pelota efectúa un movimiento vertical as-cendente y, después, una caída libre.

2. Supón ahora que hay un observador situado en la orilla del río. Dibuja la tra-yectoria que percibirá del movimiento de ambas pelotas.

En este caso, el observador percibirá que la pelota con la que juega el niño situadoen la orilla efectúa un movimiento vertical, mientras que la otra efectúa un movi-miento parabólico.

El dibujo que hay que realizar es similar a los que se muestran en la página 329 del li-bro del alumno.

3. Repite la actividad anterior suponiendo ahora que el observador se encuentraen la barca.

Ocurre ahora lo contrario a lo expuesto en la actividad anterior; el observador veráque la pelota lanzada desde la barca efectúa un movimiento vertical, y la lanzadadesde la orilla, un movimiento parabólico.

13.2. EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO

1. Un tren se desplaza entre Madrid y Sevilla con m.r.u., a 288 km � h−−1. Un pasa-jero se levanta de su asiento y se desplaza hacia la cabeza del tren con veloci-dad uniforme de 2 m � s−−1.

Calcula:

a) La velocidad con que el pasajero se mueve respecto al maquinista.

b) La velocidad con que se mueve respecto al jefe de estación que dio la salidaen Madrid.

c) La velocidad con que se mueve respecto al jefe de estación que espera enSevilla.

d) La velocidad con que se mueve respecto al maquinista de un tren que reali-za el trayecto en sentido contrario con la misma rapidez.

Unidad 13. Física relativista 1

FÍSICA RELATIVISTA13

a) Situaremos el sistema de referencia sobre el maquinista, que se mueve a la mismavelocidad que el tren.

Cuando está quieto, el pasajero, por el hecho de encontrarse en el tren, se muevea la misma velocidad que el sistema de referencia. Cuando se mueve con una ve-locidad relativa de 2 m · s−1 hacia el maquinista, su velocidad respecto al maqui-nista es:

v = −2 m · s−1

El signo negativo indica que el sentido de la velocidad del pasajero es hacia el ori-gen del sistema de referencia.

b) El pasajero se aleja de Madrid con una velocidad que es la del tren más la veloci-dad con que avanza hacia la cabeza del tren (2 m · s−1). Por tanto, su velocidadrespecto al sistema de referencia indicado es:

v' = v + vr= 288 · (1 000/3 600) + 2 = 82 m · s−1

c) El pasajero se acerca ahora a Sevilla con una velocidad que es la del tren más lavelocidad con que avanza hacia la cabeza del tren (2 m · s−1). Como se acerca alorigen del sistema de referencia, su velocidad será ahora:

v' = v + vr= −288 · (1 000/3 600) + (−2) = −82 m · s−1

d) El sistema de referencia está ahora sobre el maquinista del otro tren. Como ambostrenes se mueven con la misma rapidez y en sentidos opuestos, la situación es co-mo si se acercara al maquinista del otro tren con una velocidad:

v = −2 m · s−1

13.3. LA VELOCIDAD DE LA LUZ

1. Al realizar determinadas experiencias con el interferómetro de Michelson, secomprobó que, al mover el espejo E

1una distancia igual a 6,25 · 10−−7 m, se pro-

ducía un desplazamiento de las franjas de interferencia formadas por un hazde luz monocromática equivalente a tres máximos.

Con estos datos, calcula la longitud de onda de la luz incidente.

De acuerdo con el enunciado, las interferencias se deben a una diferencia de cami-nos de 3 · λ. Sin embargo, por el modo en que está diseñado el interferómetro, paraproducir una diferencia de caminos igual a 3 · λ, solo hemos de desplazar el espejocon el micrómetro una distancia de 1,5 · λ, ya que la luz interfiere tras realizar el ca-mino de ida y vuelta. Podemos escribir, por tanto, la siguiente relación:

2. En el actividad anterior, calcula la frecuencia de la luz utilizada y el color delrayo de luz con el que se realiza la experiencia.

La frecuencia que corresponde a esta radiación es:

1 5 6 25 106 25 10

1 54 167 107

77, ,

,

,,⋅ = ⋅ → = ⋅ = ⋅−

−−λ λ m


La longitud de onda es de 4,167 · 10−7 m, lo que indica que la onda se encuentra enel extremo del espectro visible en el que la frecuencia es máxima. Se trata, por tanto,de un color azul-violeta.

3. La velocidad de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol puede considerar-se constante para intervalos de tiempo pequeños, siendo su valor 30 km · s–1.Calcula el tiempo que tarda el haz de luz 1 en recorrer la distancia que le separade la placa P al espejo E

1, situado en dirección perpendicular al movimiento de

la Tierra, y volver reflejado.

Teniendo en cuenta que la Tierra se desplaza en dirección perpendicular al brazo PE1

del interferómetro, el rayo de luz debe recorrer una distancia mayor a la longitud delbrazo del interferómetro, tal como se aprecia en la siguiente figura:

La distancia que recorre el rayo hasta llegar el espejo E1es la hipotenusa del triángu-

lo rectángulo formado por la longitud del brazo del interferómetro y la distancia re-corrida por la Tierra:

(c · t1)2 = l 2 + (v · t

1)2 → (c2 − v2) · t 2

1= l 2

t12 = → t

1= �

c

l� · �1 − �

v

c2

2

��−1/2

El rayo tarda el mismo tiempo en volver a la placa P, por lo que el tiempo total em-pleado es:

tperpendicular

= 2 · t1

= �2

c

· l� · �1 − �

v

c2

2

��−1/2

4. Calcula el tiempo que invierte el haz 2 en hacer su recorrido de ida y vueltadesde P hasta E

2.

En este caso, el espejo se desplaza hacia la derecha, en la misma dirección que el ra-yo de luz. Por tanto, el rayo tarda un tiempo t

1en llegar al espejo, y un tiempo t

2en

volver a la placa:

t1

= �c −

l

v� ; t

2= �

c +l

v�

l 2

c2 · �1 − �v

c2

2

��

c . t1

v . t1

l

E1

P

c f fc= ⋅ → = = ⋅

⋅= ⋅−λ

λ3 10

4 167 107 2 10

8

714

,, Hz


El tiempo total es la suma de ambos:

tparalelo

= t1

+ t2

= �c −

l

v� + �

c +l

v� = �

(

2

c2

·

−c

v

·2

l

)� = �

2 ·

c

c2

· l� · �1 − �

v

c2

2

��−1

tparalelo

= �2

c

· l� · �1 − �

v

c2

2

��−1

5. Compara los valores obtenidos en las actividades anteriores.

Estos dos tiempos, para velocidades pequeñas, son prácticamente iguales. Sin embar-go, a medida que la velocidad aumenta, el tiempo que tarda el haz paralelo a la direc-ción del movimiento en recorrer su camino, se hace mayor que el tiempo que empleael haz perpendicular en recorrer el suyo, lo que da lugar a unas figuras de interferenciacaracterísticas cuando ambos haces se encuentran. La relación entre estos tiempos es:

�tpe

t

r

p

p

a

en

ra

d

l

i

e

c

l

u

o

lar� = = �1 − �

v

c2

2

��1/2

13.4. EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE EINSTEIN

1. Imagina que la experiencia mental que hemos considerado anteriormente lallevamos a la práctica. El observador O ' viaja en un tren con velocidad cons-tante, a 350 km � h−−1, y el observador O se encuentra en el andén. En el instan-te en que O ' pasa por la posición de O, se lanza el pulso luminoso. Si para elobservador O el tiempo que el pulso tarda en recorrer la distancia d es 0,1 s,¿qué tiempo medirá el observador O '?

El observador O' medirá un tiempo t', dado por la expresión:

Como vemos, los dos observadores medirán, en este caso, el mismo tiempo.

2. ¿Qué conclusiones podemos extraer del resultado que obtienes al resolver laactividad anterior?

A las velocidades de los sucesos a los que estamos acostumbrados en la Tierra, mu-cho menores que la velocidad de la luz, los efectos relativistas son inapreciables, por

′ =

−

→ ′ =−

⋅

=tt

v

c

t

1

0 1

197 22

3 10

0 12

2 8

,

,, s

�2

c

· l� · �1 − �

v

c2

2

��−1/2

�2

c

· l� · �1 − �

v

c2

2

��−1

c . t1

v . t1l

E2P


� �2

lo que es posible considerar, para ellos, una escala absoluta de tiempos sin cometerningún error. No ocurre lo mismo en los sucesos en los que intervienen partículas sub-atómicas, como las reacciones nucleares que tienen lugar en las estrellas, en los quelas velocidades de las partículas que intervienen son comparables a la de la luz.

13.5. LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

1. Calcula el valor de γγ correspondiente a los valores de ββ que se indican a conti-nuación y construye una tabla con los resultados obtenidos.

0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.

Representa gráficamente γγ −− f (ββ) e interpreta la gráfica obtenida.

La relación entre γ y β es:

Al sustituir los valores de β que porporciona el enunciado de la actividad, se obtienela siguiente tabla:

La representación gráfica de los datos de la tabla es la siguiente:

Recuerda que β = v/c. Por tanto, cuando β = 0, los efectos relativistas son práctica-mente inapreciables. Sin embargo, cuando β = 1, la velocidad de la partícula es la de la luz, y γ → ∞. Según aumenta el valor de β, los efectos relativistas se van ha-ciendo más apreciables.

2. Calcula las transformaciones de Lorentz que corresponden a (x, y, z, t) enfunción de (x', y', z', t' ).

Las transformaciones de Lorentz correspondientes a (x, y, z, t) en función de (x', y', z', t')se denominan transformaciones inversas, y se obtienen despejando x, y, z y t en lasecuaciones correspondientes a las transformaciones de Lorentz.

2

γ

β

1

0 0,5 1

γβ

=−

1

1 2


0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1ββ

1 1,005 1,021 1,048 1,091 1,155 1,25 1,400 1,667 2,294 ∞γγ

Despejando en la ecuación para t':

t' = γ · �t − �βc

� · x� → t' = γ · t − γ · �βc

� · x

t = �t

γ'� + �

βc

� · x [1]

Sustituyendo esta expresión para t en la ecuación para x', obtendremos:

x' = γ · (x − β · c · t) → x' = γ · x − γ · β · c · ��t

γ'� + �

βc

� · x�x' = γ · x − β · c · t' − γ · β2 · x = γ · (1 − β2) · x − β · c · t'

Despejando x en la expresión anterior y teniendo en cuenta que β = v/c y que γ = (1 − β2)−1/2, obtenemos la expresión para esta coordenada:

Sustituyendo este resultado en la expresión [1], obtenemos la transformación inversade la coordenada temporal:

t = �t

γ'� + �

βc

� · x = �t

γ'� + �

βc

� · γ · (x' + β · c · t')

t = �t

γ'� + �

βc

� · γ · x' + β2 · γ · t' = �βc

� · γ · x' + ��1

γ� + β2 · γ� · t'

Analicemos por separado el coeficiente de t' en la expresión anterior:

Por tanto, la expresión para t queda en la forma:

t = �βc

� · γ · x' + γ · t' → t = γ · �t' + �βc

� · x'�Las ecuaciones para las coordenadas y y z no cambian, por lo que la transformacióninversa completa de las transformaciones de Lorentz es:

x = γ · (x' + β · c · t')

y = y'

z = z'

t = γ · �t' + �βc

� · x'�

11

1

1

1

1

1

1

22

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

γβ γ γ+ ⋅ = − + ⋅

−

=− +

−

=

−

=v

c

v

c v

c

v

c

v

c

v

c

v

c

x x c t xx c t

xx c t x c t

x x c t

⋅ ⋅ − = ′ + ⋅ ⋅ ′ → = ′ + ⋅ ⋅ ′⋅ −

= ′ + ⋅ ⋅ ′−

−

= ′ + ⋅ ⋅ ′

−

= ⋅ ′ + ⋅ ⋅ ′

γ β β βγ β

ββ

β

β

β

γ β

( )( )

( )

11

1

1

1

22

2

2

2


13.6. CONSECUENCIAS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN

1. Calcula, en tiempo propio, la duración de un viaje a un cúmulo de estrellas si-tuado a 50 años-luz de la Tierra. La nave espacial que realiza dicho viaje semueve con una velocidad 0,99 � c. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido, mientrastanto, en la Tierra?

Medido desde la Tierra, el tiempo que tarda la nave en recorrer 50 años-luz con unavelocidad que, respecto a la Tierra, es de 0,99 · c, resulta:

Por tanto:

El tiempo propio que medirá un observador situado en la nave que viaja se calcula apartir de la siguiente expresión:

En ella, t' es el tiempo medido desde la Tierra. Por tanto, en el caso que nos ocupa:

Como se aprecia tras resolver la actividad, un observador situado en la Tierra mideun tiempo de 50,5 años, mientras que un observador situado en el interior de la navemide un tiempo de 7,12 años.

2. El período de semidesintegración de una partícula inestable es 10−−6 s. Calculael período de semidesintegración de la partícula si se mide cuando esta es ace-lerada hasta alcanzar una velocidad de 0,7 � c respecto al observador.

Cuando medimos el período de semidesintegración de la partícula acelerada, estamosmidiendo desde un sistema de referencia en movimiento relativo con respecto al sis-tema de referencia propio de la partícula, por lo que el tiempo que midamos no seráel tiempo propio del suceso (el período de semidesintegración) sino uno mayor, da-do por la expresión:

Sustituyendo valores obtenemos:

′ =

− ⋅=

−= ⋅

− −−t

c

c

10

10 7

10

1 0 71 4 10

6

2

2

6

2

6

( , ) ,, s

′ = ⋅ =

−

tv

c

γ τ τ

12

2

τ β= − ⋅ ′ = − ⋅ =1 1 0 99 50 5 7 122 2t , , , años

τ

γβ= ′ = − ⋅ ′t

t1 2

∆tc

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ =

50

0 99

50 365 86 400 3 10

0 99 3 101 59 10 50 5

8

89 años-luz s años

, ,, ,

v

e

tt

e

v= → =∆

∆∆ ∆


3. Un observador, A, mide un intervalo de tiempo de 10 s entre dos sucesos quetranscurren en un mismo punto, x

0, de su sistema de referencia. Calcula el in-

tervalo de tiempo que medirá para los dos sucesos anteriores un observador,B, que se mueve con las siguientes velocidades respecto de A:

a) 10 m � s−−1

b) 105 m � s−−1

c) 2,7 � 108 m � s−−1

En los tres casos, el tiempo medido por el observador A es el tiempo propio del suce-so, ya que A se encuentra en reposo con respecto a dicho suceso, y el tiempo medidopor B será mayor, puesto que B se encuentra en un sistema de referencia que está enmovimiento relativo respecto al sistema de referencia en el que tiene lugar el suceso.

El tiempo medido por B lo obtenemos mediante la expresión:

Para las velocidades propuestas, los tiempos medidos son los que se muestran en lasiguiente tabla:

Como se puede apreciar, cuanto mayor es la velocidad a la que se mueve el observa-dor B respecto del A (solidario con el suceso), mayor es el tiempo medido.

13.7. DINÁMICA RELATIVISTA

1. Calcula la masa relativista de una partícula en un sistema de referencia res-pecto al que se mueve a velocidad c.

La masa relativista se calcula de acuerdo con la siguiente expresión:

En este caso:

El resultado obtenido muestra que es imposible acelerar una partícula, cuya masa nosea nula, hasta que alcance la velocidad de la luz. Esta velocidad es un límite que nopuede rebasar, y ni siquiera alcanzar, una partícula con masa.

mm

c

c

rel =

−

= ∞

12

2

mm

v

c

rel =

−12

2

′ = ⋅ =

−

tv

c

γ τ τ

12

2


v (m/s) t' (s)

10 10

105 10,0000006

2,7 · 108 22,942

2. Si la masa del electrón en reposo es 9,1 � 10−−31 kg, calcula la cantidad de movi-miento que mediremos si se mueve con una velocidad 0,8 � c respecto a nosotros.

La cantidad de movimiento que le corresponde es:

3. Calcula la masa relativista del electrón de la actividad anterior cuando se muevecon respecto a nuestro sistema de referencia con las siguientes velocidades:

a) 0,1 � c e) 0,9 � c

b) 0,3 � c f) 0,99 � c

c) 0,5 � c g) 0,999 � c

d) 0,7 � c h) 0,9999 � c

La masa relativista del electrón, medida desde el sistema de referencia ligado al labo-ratorio, varía a medida que aumenta la velocidad con que se mueve respecto a dichosistema de referencia, de acuerdo con la expresión:

Sustituyendo para cada velocidad, la masa resulta:

4. Representa en una gráfica los resultados obtenidos en la actividad anterior.Representa en el eje de abscisas la velocidad y en el eje de ordenadas la masarelativista.

Al representar gráficamente los datos, se obtiene el siguiente resultado:

mm

v

c

rel =

−12

2

pm v

v

c

c

c

= ⋅

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

−− −

1

9 1 10 0 8 3 10

10 8

3 64 102

2

31 8

2

2

22 1, ,

( , ), kg m s


Velocidad Masa (kg)

0 9,10 · 10−31

0,1 · c 9,15 · 10−31

0,3 · c 9,54 · 10−31

0,5 · c 1,05 · 10−30

0,7 · c 1,27 · 10−30

0,9 · c 2,09 · 10−30

0,99 · c 6,45 · 10−30

0,999 · c 2,04 · 10−29

0,999 · c 6,43 · 10−29

A la vista de la gráfica, podemos extraer varias conclusiones:

• Solo a velocidades considerablemente elevadas, del orden de 0,4 · c o superiores,comienzan a hacerse patentes los efectos relativistas.

• Cuanto más nos aproximemos a la velocidad de la luz, con mayor rapidez aumen-tará el valor medio para la masa del objeto.

• Si viajásemos a la velocidad de la luz, la masa del objeto se haría infinita.

13.8. ENERGÍA RELATIVISTA

1. Un electrón, cuya energía en reposo es 0,511 MeV, se mueve con velocidad0,8 � c. Calcula su energía total, su energía cinética y su cantidad de movimien-to. Dato: 1 eV == 1,6 � 10−−19 J.

La energía total que posee el electrón es:

Teniendo en cuenta que su masa es:

se obtiene:

Su energía cinética relativista la calculamos de acuerdo con la siguiente expresión:

E E Ec= + 0

E = ⋅ ⋅ ⋅

−= ⋅

−−9 084 10 3 10

1 0 81 363 10

31 8 2

2

13, ( )

,, J

E m c m

E

c0

2 02

6 19

8 2310 511 10 1 6 10

3 109 084 10= ⋅ → = = ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

−−, ,

( ), kg

Em c

v

c

m c

c

c

m c= ⋅

−

= ⋅

− ⋅= ⋅

−

2

2

2

2

2

2

2

2

1 10 8 1 0 8( , ) ,

250

0

50

0,10

0

Mas

a re

lativ

ista

(. 1

0–31

kg)

0,20

0

0,30

0

0,40

0

0,50

0

0,60

0

0,70

0

0,80

0

0,90

0

0,99

0

0,99

9

100

150

200

Velocidad (.c)


Al operar, el resultado que se obtiene es el siguiente:

Su cantidad de movimiento es:

2. Calcula la energía cinética relativista y la energía cinética clásica que deberíatener un electrón, de masa 9,1 � 10−−31 kg, si la velocidad con que se mueve res-pecto al sistema de referencia ligado al laboratorio en que se encuentra es:

a) 0,1 � c; b) 0,3 � c; c) 0,5 � c; d) 0,7 � c y e) 0,9 � c.

La energía cinética clásica se calcula mediante la expresión:

En cuanto a la energía cinética relativista, para calcularla, utilizamos la expresión:

Calculando ambas magnitudes para los valores propuestos, resulta:

3. Representa en una gráfica los resultados de la actividad anterior colocando lavelocidad en el eje de abscisas y la energía en el eje de ordenadas. A la vistadel resultado, ¿qué conclusiones extraes?

Al representar gráficamente los resultados anteriores, resulta:

Em

v

c

m cv

c

m cc =−

− ⋅ =

−

− ⋅ ⋅1

1

1

122

2

2

2

2

E m vc = ⋅ ⋅1

22

Pm v

v

c

c

c

= ⋅

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

−− −

1

9 084 10 0 8

10 8

3 634 102

2

31

2

2

22 1, ,

( , ),

3 10 kg m s

8

Ec = ⋅ −5 45 10 14, J

Ev

c

m cc

c

c =

−

− ⋅ ⋅ =

− ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−1

1

11

10 8

1 9 084 102

2

2

2

2

31

( , ), (3 10 )8 2


� � � �

� � � �v/c Ec clásica (J) Ec relativista (J)

0,1 4,095 · 10−16 4,126 · 10−16

0,3 3,686 · 10−15 3,955 · 10−15

0,5 1,024 · 10−14 1,267 · 10−14

0,7 2,007 · 10−14 3,278 · 10−14

0,9 3,317 · 10−14 1,060 · 10−13

A partir de las gráficas obtenidas, se pueden formular las siguientes conclusiones:

• Los efectos relativistas solo empiezan a hacerse visibles cuando la velocidad delelectrón es igual o superior a 0,4 · c.

• La pendiente de la curva que representa la energía cinética relativista se acentúa amedida que alcanzamos velocidades próximas a la de la luz.

• La curva que representa la energía cinética relativista tiende asintóticamente a infi-nito. De acuerdo con ello, para comunicar a una partícula de masa m una veloci-dad igual a la de la luz, necesitaríamos una energía infinita.

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

CUESTIONES

1. ¿Qué significa que la velocidad de propagación de la luz es un invariante?¿Qué llevó a Einstein a realizar dicha afirmación?

Esta afirmación constituye el primer postulado de Einstein, y significa que la veloci-dad de la luz es siempre la misma e independiente del sistema de referencia inercialdesde el que se mide.

El principal argumento que sostiene dicho postulado es que las ondas electromagné-ticas no necesitan un medio material para propagarse.

Cuando nos movemos en un medio material, la velocidad de propagación de la on-da mecánica difiere respecto al valor de la velocidad que mide un observador en re-poso respecto al medio. Si medimos, por ejemplo, la velocidad de propagación deuna onda sonora desde un sistema que se encuentra en reposo respecto a la Tierra,obtenemos un valor del orden de 340 m · s−1. Sin embargo, para un observador situa-do en un avión que se desplaza a la velocidad del sonido en la dirección y sentidocon que se propaga la onda, esta se desplaza con velocidad nula.

12

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

10

8

6

4

2

0

Ene

rgía

cin

étic

a (.

10–1

4 J)

v/c

Ec clásica

Ec relativista


El caso de la luz es distinto. Como la luz no necesita un medio material para propa-garse, no podemos encontrar un sistema de referencia que realice un papel equiva-lente al que realiza el observador situado en un sistema en reposo, como sucede enel caso anterior.

Lo que ocurre es precisamente lo contrario: en el universo no hay sistemas absolutosque se encuentren en reposo respecto al vacío; todos guardan un movimiento relati-vo entre sí. Esta idea llevó a Einstein a afirmar que la luz se mueve con la misma ve-locidad respecto a todos aquellos sistemas de referencia que sean inerciales.

2. Según la teoría de la relatividad, dos observadores en sistemas de referenciainerciales miden:

a) La misma velocidad de propagación de la luz.

b) La misma distancia entre dos puntos.

c) El mismo tiempo entre dos sucesos.

Tanto la distancia como el tiempo se alteran cuando se miden desde un sistema dereferencia en movimiento relativo con respecto al sistema de referencia en el que tie-ne lugar el suceso considerado. La única magnitud que es igual en todos los sistemasde referencia inerciales es la velocidad de propagación de la luz, y de esta invarian-za se deducen las transformaciones de Lorentz, que nos indican las relaciones entrelas coordenadas espacio-temporales de sucesos observados desde distintos sistemasde referencia inerciales.

Por tanto, la respuesta correcta es la a).

3. ¿Podemos medir la contracción de longitud que experimenta un objeto si sealeja de nosotros con cierta velocidad? ¿Puede medir esa misma contracciónun observador situado sobre el objeto? ¿Por qué?

Visto desde el sistema de referencia en que nos encontramos, el objeto que se alejasufre una contracción de la longitud, en función de la velocidad, que podemoscalcular mediante la expresión:

Para un observador que se encuentre en reposo respecto al sistema de referencia enel que se encuentra la varilla, no se produce contracción alguna. Es decir, un obser-vador que se encuentre situado en dicho sistema de referencia mediría la longitudpropia de la varilla.

4. Si un objeto se aleja de nosotros con una velocidad que sea una fracción im-portante de la velocidad de la luz, se contrae en la dirección del movimiento.¿Qué ocurrirá si ese mismo objeto se acercase a nosotros con esa misma velo-cidad? Justifica tu respuesta.

El hecho de que se acerque a nosotros no es relevante. Los fenómenos que aprecia-remos serán los mismos que si se alejase. Lo que importa es que el sistema de refe-rencia propio del objeto que se desplaza esté en movimiento respecto a nuestro sis-tema de referencia con una velocidad elevada, al menos igual al 10% de la velocidadde propagación de la luz.

L Lv

cL= ⋅ − <0

2

2 01


5. La vida media de los piones ππ++ procedentes del espacio cósmico es superior ala que posee un pion ππ++ en reposo en el sistema de referencia del laboratorio.¿Puedes explicarlo?

Los piones π+ se mueven con una velocidad próxima a la de la luz. Por tanto, al me-dir desde la Tierra, observamos la dilatación del tiempo. Si τ es la vida media de unpion cósmico, medida en tiempo propio, esa misma vida media, medida desde el sis-tema de referencia del laboratorio, resulta:

Como vemos, cuando aumenta el cociente v/c, el valor que corresponde a t' aumen-ta, aumentando la vida media que medimos para los piones procedentes del espacioexterior, comparada con la que les corresponde en un sistema de referencia inercialrespecto al cual se encuentran en reposo.

6. ¿Tiene sentido afirmar que dos sucesos que ocurren en lugares diferentes sonsimultáneos?

Tiene sentido en el caso en que los dos sucesos se hayan observado desde el mismosistema de referencia. Sin embargo, la simultaneidad es un concepto relativo al siste-ma de referencia, por lo que dos sucesos simultáneos para un observador no tienenpor qué serlo para un segundo observador en movimiento relativo respecto al pri-mero.

7. Razona si un objeto puede acelerarse hasta la velocidad de la luz.

Para acelerar un objeto debemos aplicar sobre él una fuerza. Sin embargo, a medidaque aumenta su velocidad, la aceleración que produce la fuerza aplicada disminuye,de modo que la aceleración tiende a cero cuando la velocidad del objeto tiende a lade la luz. Esto implica que es imposible que un objeto, de masa en reposo no nula,alcance la velocidad de la luz.

8. Indica si es verdadero o falso y justifica la respuesta:

“Si posee masa, un objeto no puede moverse a la velocidad de la luz. En cam-bio, si su masa en reposo es nula, necesariamente debe moverse a la veloci-dad de la luz”.

La afirmación es cierta.

Para que un cuerpo de masa en reposo m pueda moverse a la velocidad de la luz,debemos comunicarle una energía infinita:

Por otra parte, para cualquier partícula, la energía en reposo resulta:

lím E lím m c

límv

c

m c

v cc relativista

v c

v c

→ →

→

= − ⋅ ⋅ =

=

−

− ⋅ ⋅ = ∞

_ [( ) ]γ 1

1

1

1

2

2

2

2

′ =−

=

−

tv

c

τ

β

τ

11

2 2

2


��

E 2 − p 2 · c 2 = (m · c 2)2

Si se trata de una partícula sin masa (m = 0), al sustituir en la expresión anterior, ob-tenemos la siguiente relación:

E 2 − p 2 · c 2 = 0 → E 2 = p 2 · c 2 → E = p · c = γ · m · v · c = γ · m · β · c 2

Como, en general, la energía puede expresarse en la forma:

E = γ · m · c 2

Al comparar las dos expresiones anteriores, obtenemos, para una partícula sin masa,el valor β = 1, lo que indica que, necesariamente, la partícula se mueve a la veloci-dad de la luz, ya que β = v/c.

9. Explica brevemente algunas consecuencias de la teoría especial de la relativi-dad.

Las consecuencias más relevantes de la teoría especial de la relatividad son la con-tracción de la longitud, la dilatación del tiempo y la relatividad del concepto de si-multaneidad. Los tres fenómenos (explicados en el desarrollo de la unidad) son per-ceptibles cuando la velocidad del sistema de referencia desde el que se realiza lamedida, respecto al sistema de referencia propio del suceso, es comparable a la ve-locidad de la luz.

Otra consecuencia, quizá la más importante, es la imposibilidad, para cualquier obje-to de masa no nula de sobrepasar, e incluso alcanzar, la velocidad de la luz.

EJERCICIOS

10. Dos sucesos ocurren en un mismo punto x' en los instantes t'1

y t'2, en un sis-

tema de referencia S' que se mueve con una velocidad v respecto a otro siste-ma de referencia S. ¿Transcurren ambos sucesos en el mismo punto para unobservador situado en S? En caso negativo, calcula la distancia que separaambos sucesos en el sistema S.

En el sistema S, que se mueve con velocidad v respecto de S', el punto consideradose habrá desplazado una distancia v · ∆t entre los instantes t

1y t

2en que tienen lugar

los dos sucesos, medidos desde el sistema de referencia S. Para calcular esta distan-cia, es necesario obtener la relación entre los instantes t

1y t

2, en el sistema S, y t'

1y t'

2

en el sistema S', para lo que hemos de aplicar la transformación inversa que deduji-mos en la actividad 2 del epígrafe 13.5:

t1

= γ · �t'1+ �

βc

� · x'�t2

= γ · �t'2+ �

βc

� · x'�Por tanto:

∆t = t2

− t1

= γ · (t'2

− t'1)

Y la distancia que separa ambos sucesos resulta:

∆x = x2

− x1

= v · ∆t = v · γ · (t'2

− t'1)


11. Un pasajero que realice un viaje en un avión supersónico puede alcanzar unavelocidad media de 1 500 km/h. Si vuela de París a Nueva York con esa veloci-dad, ¿deberá ajustar su reloj cuando llegue a Nueva York? ¿Por qué?

El pasajero debe ajustar su reloj debido al cambio de zona horaria, pero no debido alos efectos relativistas, ya que la velocidad con que se mueve el avión es absoluta-mente despreciable frente a la velocidad a que empiezan a notarse los efectos relati-vistas. Para que estos se hagan patentes, es necesario que el objeto que se desplazalo haga con una velocidad que sea, al menos, un décimo de la velocidad de la luz, loque no es el caso si tenemos en cuenta la velocidad con que se mueve el avión res-pecto a la superficie de la Tierra.

12. La desintegración de una partícula fundamental produce gran cantidad departículas. En un caso particular se producen dos fotones que salen en la mis-ma dirección y sentidos opuestos, cada uno de ellos moviéndose con veloci-dad c.

a) ¿Con qué velocidad verá cada fotón alejarse al otro?

b) ¿Cómo explicas el resultado que se obtiene en el apartado anterior?

c) ¿Variaría el resultado si los dos fotones fuesen emitidos en direccionesperpendiculares? Explica en qué te basas para dar esa respuesta.

a) La situación corresponde a un fotón que se desplaza hacia la derecha con veloci-dad v

x= c con respecto a un sistema de referencia, S, y otro sistema de referencia,

S', situado sobre el otro fotón, que se desplaza hacia la izquierda con velocidad v = −c respecto al sistema S. Para obtener la velocidad, v

x', con que el fotón de S'

ve alejarse al otro fotón, debemos obtener la expresión que proporciona la trans-formación de Lorentz para la velocidad en sistemas de referencia inerciales, loque conseguimos derivando respecto al tiempo las transformaciones de Lorentzpara la posición estudiadas en la unidad:

x' = γ · (x − β · c · t) ; t' = γ · �t − �β

c

· x��

dx' = γ · (dx − β · c · dt) ; dt' = γ · �dt − �βc

� · dx�Por tanto:

vx' = �

d

d

x

t'

'� = =

vx' = =

La expresión anterior es la transformación de Lorentz para la coordenada en el ejeX de la velocidad. Sustituyendo en ella, obtenemos la velocidad con que el fotónque se desplaza hacia la izquierda ve alejarse al que se desplaza hacia la derecha:

vx

− v

1 − �v

c

·

2

vx

�

vx

− β · c

1 − �β ·

c

vx

�

�d

d

x

t� − β · c

1 − �βc

� · �d

d

x

t�

γ · (dx − β · c · dt)

γ · �dt − �βc

� · dx�


Por tanto, le ve alejarse hacia la derecha con velocidad c, es decir, la velocidad dela luz.

b) De acuerdo con los postulados de la teoría de la relatividad, la velocidad de laluz es un invariante, y es la velocidad máxima que se puede medir desde cual-quier sistema de referencia.

En nuestro caso, el sistema de referencia es un fotón, respecto al cual medimos lavelocidad de otro fotón, que es una “partícula” de luz. Por tanto, lo que medimosrealmente es la velocidad de la luz.

c) El resultado sería el mismo, porque la velocidad de la luz es invariante respectoal sistema de referencia, como ya hemos comentado.

13. Calcula la velocidad máxima para la que podemos considerar válida la formu-lación clásica, es decir, las transformaciones de Galileo. Supón que las expre-siones son válidas si el valor medido para una magnitud apenas varía un 1%respecto al valor predicho por la teoría.

Se trata de hallar la velocidad para la cual las transformaciones de Galileo se desvíanun 1% respecto a las de Lorentz.

Lo haremos comparando el valor de la variable x' que obtenemos con ambas trans-formaciones. De este modo:

14. ¿Con qué rapidez debe convertirse masa en energía para producir 20 MW?Dato: c == 3 � 108 m/s.

El dato que proporciona el enunciado es la potencia; es decir, la rapidez de la pro-ducción de energía:

P = �E

t�

Teniendo en cuenta que la energía en reposo de una partícula corresponde a la ex-presión:

E = m · c2

′ = − ⋅

−

′ = − ⋅

→ ′ = ⋅ ′

− ⋅

−

= ⋅ − ⋅ →

−

=

− = → = − ⋅ = ⋅

xx v t

v

cx x v t

x x

x v t

v

c

x v tv

c

v

cv c c

L

G

L G1 1 01

1

1 011

1

1 01

11

1 011

1

1 010 14

2

2

2

2

2

2

2

2

(Lorentz)

(Galileo)

,

, ( ) ,

, ,,

′ = −

− ⋅= − −

− − ⋅= ⋅ =v

v vv v

c

c cc c

c

ccx

x

x1 1

2

22 2

( )( )


� �2 � �2

resulta:

P = �E

t� = �

m

t

· c2

�

Por tanto, la rapidez con que debe convertirse masa en energía es:

�m

t� = �

c

P2� → �

m

t� = �

(

2

3

0

·

·

1

1

0

08)

6

2� = 2,22 · 10−10 kg/s

lo que significa que en cada segundo deben convertirse en energía 2,22 · 10−10 kg demasa.

Para hacernos una idea del orden de magnitud que supone esta masa, diremos quela masa liberada en cada reacción nuclear de formación de denterio a partir de unprotón, un neutrón y un electrón es de 3,97 · 10−30 kg, por lo que harían falta 5,6 · 1019 reacciones nucleares de este tipo, cada segundo, para producir esa energía.

PROBLEMAS

15 Se determina por métodos ópticos la longitud de una nave espacial que pasapor las proximidades de la Tierra, resultando ser de 100 m. Los astronautascomunican por radio que la longitud de su nave es de 120 m. ¿A qué velocidadviaja la nave respecto a la Tierra?

La longitud medida por los astronautas es la longitud propia, ya que ellos se en-cuentran en el sistema de referencia propio de la nave. Esta longitud propia está re-lacionada con la que se mide desde la Tierra mediante la expresión:

Sustituyendo valores y despejando, obtenemos la velocidad de la nave:

16. Una varilla, cuya longitud propia es 1 m, se aleja de nosotros a 0,25 � c. Desdesus dos extremos se emiten simultáneamente dos rayos de luz que permitenmedir la longitud de la varilla en el sistema de referencia en que nos encon-tramos. Calcula:

a) La longitud que medimos.

b) La velocidad con que debe alejarse la varilla para que midamos 0,5 m.

a) La varilla se encuentra en un sistema de referencia que se aleja del nuestro conuna velocidad que podemos considerar relativista (0,25 · c). Por tanto, percibimosuna contracción en su longitud. La longitud que mediremos para la varilla es:

L L

v

c

c

c= ⋅ − = ⋅ − ⋅ =0

2

2

2

21 1 1

0 250 968

( , ), m

100 120 1 1100

1201

100

1200 553

2

22 2= ⋅ − → = ⋅ − → = ⋅ − = ⋅v

cv c v c c ,

L

LL

v

c' = = ⋅ −0

0

2

21

γ


� � �2� � �2

b) Utilizando de nuevo la expresión anterior, cuando la varilla mida 0,5 metros, suvelocidad será:

NOTA: La resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.

17. Lanzamos una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo de la calle. Unobservador, O, está situado sobre la acera, en el punto de lanzamiento, mien-tras que otro observador, O', está situado en lo alto del edificio que se en-cuentra al lado del punto de lanzamiento. Si la altura del edificio es 50 m y labola parte con una velocidad inicial de 50 m/s, medida por el observador O:

a) Escribe las ecuaciones que permiten calcular la posición y la velocidad dela bola en cualquier instante a los dos observadores. Considera g == 10 m/s2.El rozamiento con el aire es despreciable.

b) ¿Son simultáneas las observaciones que realizan los dos observadores?¿Por qué?

a) En la figura se han indicado la dirección y el sentido de los vectores velocidad yaceleración de la gravedad.

Para un observador situado sobre la acera, O, el sistema de referencia será S.

En este sistema de referencia, las ecuaciones de movimiento y velocidad son:

Por otra parte, para el observador situado encima del edificio, O', el sistema de re-ferencia es S'. Aquí, las ecuaciones de movimiento son, respectivamente:

y h v t g t t t

t t

v v g t t

S

S

'

'

( )

( )

( )

= − ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − =

= ⋅ − ⋅ += − + ⋅ = − ⋅ −

02

2

0

1

250 5 10

5 10 10

10 5

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆∆ ∆

y v t g t t t t t

v v g t t

S

S

= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ −

= − ⋅ = ⋅ −

02 2

0

1

250 5 5 10

10 5

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

( )

( )

O'

O

xS'

xS

yS'

yS

v0

gh

Sistema S'

Sistema S

0 5 1 1 0 25 1 0 75

0 75 0 75 0 866

2

2

2

22 2

2

, , ,

, , ,

= ⋅ − → = − → = ⋅

= ⋅ = ⋅ = ⋅

v

c

v

cv c

v c c c


b) En S y S', las observaciones no estarán sometidas, en ningún caso, a efectos rela-tivistas, porque ambos sistemas de referencia están en reposo entre sí.

Sin embargo, es posible que en dos sistemas de referencia, que se encuentran enreposo uno respecto al otro, aparezca el fenómeno de la no simultaneidad. Ima-gina, para ello, dos sistemas muy alejados. Supongamos que un suceso se produ-ce mucho más cerca de uno de los sistemas que del otro. En ese caso, como laseñal que llega a cada sistema viaja a la velocidad de la luz, alcanzará a uno delos observadores antes que al otro, con lo que no percibirán simultáneamente elsuceso.

La simultaneidad es, por tanto, un concepto que trasciende a la relatividad y quedebe ser tratado con exquisito cuidado, para evitar posibles paradojas. En este ca-so, no hay efectos relativistas y los sucesos que se producen se observan simultá-neamente por parte de los dos observadores, ya que la distancia a que se en-cuentran uno del otro la recorre la señal que informa de un suceso en un tiempodespreciable, ya que dicha señal se propaga a la velocidad de la luz.

18. Una nave espacial viaja hacia un cúmulo globular situado a 100 años-luz dedistancia y lo hace con una velocidad que es 0,995 � c.

a) Calcula el tiempo que transcurre desde que la nave sale de la Tierra hastaque llega a su destino, medido en tiempo de la Tierra.

b) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido, en realidad, para los pasajeros de la na-ve?

c) Si en la nave espacial viaja una tripulante que cumple 30 años el día que seinicia el viaje y en la Tierra queda su hermana gemela, ¿qué edad tendránlas dos hermanas, suponiendo que sigan vivas, cuando la nave llegue a sudestino?

a) Para un observador situado en la Tierra, el tiempo que transcurre es el que corresponde a un m.r.u. en el que conocemos la distancia (100 años-luz) y la ve-locidad (0,995 · c). Por tanto:

b) El tiempo que mide la tripulante de la nave es su tiempo propio que, en este ca-so, resulta:

c) Medido desde la Tierra, el tiempo transcurrido hasta que la nave llega al cúmuloes 100,5 años. Por tanto, si vive, la edad de la hermana que permanece en la Tie-rra, será: 30 + 100,5 = 130,5 años.

Por otra parte, la hermana que viaja en la nave tarda 10 años en llegar. Por tanto,la edad de la hermana que viaja en la nave espacial será: 30 + 10 = 40 años.


′ =

−

→ = ′ ⋅ − → = ⋅ − ⋅ =tv

c

tv

c

c

c

τ τ τ

1

1 100 5 10 995

102

2

2

2

2

2,

( , ) años

vs

t tt

s

v ct=

′ −→ ′ = =

⋅→ ′ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅=∆ ∆

0

8

8

100

0 995

100 3 10

0 995 3 10100 5

años-luz años

, ,,


19. Calcula la velocidad con que debe moverse un objeto respecto a un sistema dereferencia para que su masa, medida respecto a ese sistema de referencia, au-mente hasta el doble.

Cuando un objeto se mueve respecto a un sistema de referencia inercial con una ve-locidad que es del orden de la velocidad de la luz, su masa, medida desde ese siste-ma de referencia, aumenta de acuerdo con la expresión:

siendo m la masa en reposo del objeto. Por tanto, si su masa relativista aumenta has-ta el doble, entonces:

mrel

= 2 · m

La velocidad con que se mueve el objeto debe ser:

20. ¿Con qué velocidad debe moverse un objeto respecto al sistema de referenciapropio para que su longitud varíe en un 10%?

Los efectos relativistas solo se manifiestan cuando medimos desde sistemas de refe-rencia inerciales respecto a los cuales el sistema de referencia propio, ligado al cuer-po, se mueve con cierta velocidad.

Sin embargo, medida desde el sistema de referencia propio, la velocidad del cuerpoes nula; por tanto, nunca podrá observarse un efecto relativista como la contracciónde la longitud.

21. ¿Cuál debería ser la velocidad de una nave espacial respecto a la Tierra paraque un observador situado en la Tierra viese que su longitud es la mitad quela longitud que mide un observador situado en la nave espacial? ¿Cuál sería laenergía cinética de la nave espacial si su masa en reposo es 5 000 kg?

La longitud medida por el observador situado en la nave es la longitud propia. Se re-laciona con la que mide el observador en la Tierra mediante la expresión:

Sabiendo que la longitud medida desde la Tierra es la mitad de la longitud propia,podemos calcular la velocidad a la que se mueve la nave espacial:

′ = = ⋅ −L

LL

v

c0

0

2

21

γ

2

1

11

2

11

21

1

20 866

2

2

2

2

2

2 2 2

⋅ =

−

→ − = →

→ − = → = ⋅ − = ⋅

mm

v

c

v

c

v

cv c c,

mm

v

c

rel =

−12

2


La energía cinética de la nave, teniendo en cuenta los efectos relativistas, la propor-ciona la expresión:

22. Un electrón, cuya energía en reposo es 0,51 MeV, atraviesa una región del es-pacio con una velocidad de 0,93 � c. Determina:

a) Su masa relativista.

b) Su cantidad de movimiento.

c) Su energía total.

Dato: e == 1,6 � 10−−19 C

a) Para poder obtener la masa relativista del electrón, debemos conocer, en primerlugar, su masa cuando se encuentra en reposo. Para ello, partimos del dato de suenergía en reposo:

E = m · c2 → m = �E

c 2� = = 9,1 · 10−31 kg

Ya que 1 eV = 1 e · 1 V = 1,6 · 10−19 J.

La masa relativista del electrón, cuando se mueve a 0,93 · c es:

b) La cantidad de movimiento del electrón, a esta velocidad, es:

c) La energía total del electrón es la suma de su energía cinética y su energía en re-poso, y se calcula mediante la siguiente expresión:


Em c

v

c

Ec

c

= ⋅

−→ = ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅= ⋅

−−

2

2

2

31 8 2

2

2

13

1

9 1 10 3 10

10 93

2 23 10, ( )

( , ), J

p m vm v

v

c

pc

c

c

= ⋅ ⋅ = ⋅

−

→ = ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅= ⋅ ⋅

−−γ

1

9 1 10 0 93

10 93

6 9 102

2

31

2

2

22, ,

( , ), kg m/s

mm

v

c

mc

c

rel rel=

−→ = ⋅

− ⋅= ⋅

−−

1

9 1 10

10 93

2 48 102

2

31

2

2

30,

( , ), kg

0,51 · 106 · 1,6 · 10−19

��(3 · 108)2

∆

∆

E m c m c

E m cc

c

c

c

= ⋅ ⋅ − ⋅

= − ⋅ ⋅ =

− ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

γ

γ

2 2

2

2

2

8 2 2011

10 866

1 5 000 3 10 4 5 10( )( , )

( ) , J

′ = = ⋅ − → = −

= − → = ⋅ → = ⋅ = ⋅ = ⋅

LL

Lv

c

v

c

v

cv c v c c

00

2

2

2

2

2

22 2 8

21

1

21

1

41

3

4

3

40 866 2 6 10, , m/s


� �

23 En un acelerador de partículas se aceleran electrones y positrones (electro-nes con carga positiva) hasta adquirir una energía de 100 MeV. Conseguidoesto, se les hace chocar y se estudian las partículas que se obtienen tras elchoque. Calcula:

a) El factor por el que aumenta la masa de un electrón en esas condiciones.

b) La velocidad con que se mueven los electrones por el interior del acelera-dor, medida en un sistema de referencia ligado al suelo del laboratorio.

a) La energía con que se acelera el electrón se “utiliza” para comunicarle energía ci-nética. El balance energético resulta:

A partir de la expresión anterior podemos sustituir y despejar la masa relativista,m

rel, del electrón. Para ello, debemos tener en cuenta que:

1 eV = 1,6 · 10−19 J

1 M = 106

Con todo ello, obtenemos el siguiente resultado:

El aumento de masa que se produce es, por tanto:

b) A partir de la expresión de la masa relativista, podemos despejar la velocidad:

24. Calcula la velocidad con que debe moverse una partícula para que su cantidadde movimiento sea 2 � m � c. ¿Cuál es la energía de la partícula en ese supues-to? ¿Y su masa?

La cantidad de movimiento de un cuerpo, cuya masa en reposo es m, puede expre-sarse en la forma:

p = γ · m · β · c

Al igualar esta expresión al valor indicado:

mm

v

c

v

c

m

m

v cm

mc c

relrel

rel

=

−

→ = −

= ⋅ − = ⋅ − ⋅⋅

= ⋅−

−

1

1

1 19 1 10

1 79 100 999987

2

2

2

2

31

28

,

,,

m

mrel = ⋅

⋅=

−

−

1 79 10

9 1 10196 7

28

31

,

,,

∆∆

E m m c

mE

cm

p rel

relp

= − ⋅

= + = ⋅ ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ =

= ⋅

−−

−

( )

,

( ),

,

2

2

6 19

8 231

28

100 10 1 6 10

3 109 1 10

1 79 10 kg

∆ ∆

∆

E E

Em c

v

c

m c m m c

p c

p rel

=

= ⋅

−

− ⋅ = −( ) ⋅2

2

2

2 2

1


� �2

� �2 � �2

γ · m · β · c = 2 · m · c → γ · β = 2

y sustituir los parámetros γ y β por sus respectivos valores, resulta:

Por último, despejando:

A esta velocidad, la masa relativista del cuerpo resulta:

La energía total de la partícula es, en este caso:

E = mrel

· c 2 = 2,24 · m · c 2

25. Calcula cómo variará su velocidad y su cantidad de movimiento si se comuni-ca a una partícula una energía cinética igual a n veces su energía en reposo.

De acuerdo con el enunciado, la energía total de la partícula será:

E = Ec

+ m · c 2 = n · m · c 2 + m · c 2 = (n + 1) · m · c 2

donde el término m · c 2 representa la energía en reposo de la partícula.

Si tenemos en cuenta que:

E = γ · m · c 2

resulta:

Al despejar, obtenemos para la velocidad:

Por otra parte, la cantidad de movimiento relativista puede expresarse en la forma:

p = γ · m · β · c

por lo que, sustituyendo valores:

11

11

1

1 12

2

2 2 2− =

+→ = ⋅ −

+=

+⋅ ⋅ +v

c nv c

n

c

nn n

( ) ( )( )

γ =

−

= +1

1

12

2

v

c

n

mm

v

c

m

c

c

mrel =

−

=

− ⋅= ⋅

1 10 894

2 242

2

2

2

( , ),

v

c vc v v v c

v c c

2

2 22 2 2 2 24 4 5 4

4

50 894

−= → ⋅ − = → ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

( )

,

1

1

21

1

4 42

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

−

⋅ = →−

⋅ = →−

⋅ =v

c

v

c v

c

v

c

c

c v

v

c


26. Calcula el error que se comete al emplear la expresión newtoniana para elcálculo de la energía cinética de un cuerpo si su velocidad es:

a) 10 m/s.

b) 340 m/s (velocidad del sonido en el aire).

c) 1,1 � 104 m/s (velocidad de escape para un cuerpo situado en la superficiede la Tierra).

d) 0,01 � c.

e) 0,1 � c.

f) 0,5 � c.

g) 0,9 � c.

Supondremos que el cuerpo tiene una masa, m, no nula en reposo. Para calcular lasenergías cinéticas clásica y relativista, hemos de aplicar las expresiones:

� �;

El error relativo que cometemos al medir una magnitud en lugar de la otra es:

Sustituyendo, en cada caso, los valores que nos facilitan, resulta:

Podemos apreciar en los resultados obtenidos que la expresión de la energía cinéti-ca relativista solo se puede aplicar en el caso de velocidades comparables a la de laluz. Esto se debe a que el término γ −1 tiende a cero cuando v << c.


ε relativoc relativista c

c relativista

E E

E=

−⋅100%

E m cv

c

m cc relativista_ ( )= − ⋅ ⋅ =

−

− ⋅ ⋅γ 11

1

12

2

2

2

E m vc = ⋅ ⋅1

22

p m

v

cc n m

c n n

nc m c n n= ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +γ ( )

( )( )1

2

12


19,20

Velocidad (m·s−1) Ec clásica Ec relativista Error relativo (%)

10 50 · m0 – –

340 57 800 · m0 – –

1,1 · 104 60,5 · 106 · m0 – –

0,01 · c 4,5 · 1012 · m0 4,500337 · 1012 · m0 0,0075

0,1 · c 4,5 · 1014 · m0 4,534 · 1014 · m0 0,75

0,5 · c 1,125 · 1016 · m0 1,392 · 1016 · m0

0,9 · c 3,645 · 1016 · m0 1,165 · 1017 · m0 68,71

27 Dos gemelos tienen 30 años cuando uno de ellos inicia un viaje espacial delarga duración. Suponiendo que la velocidad de la nave es constante, calculadicha velocidad si, al volver a la Tierra, el gemelo que ha viajado por el espa-cio tiene 34 años y el que quedó en la Tierra tiene 40 años. Supón que todaslas edades se refieren al día en que cumplen años.

Para un observador situado en la Tierra, la nave es un sistema de referencia que semueve con una velocidad del orden de la velocidad de la luz. Es, por tanto, un siste-ma físico que experimenta el efecto de la dilatación del tiempo, efecto que, matemá-ticamente, expresamos en la forma:

[1]

donde τ representa el tiempo propio; es decir, el tiempo que medimos desde el sis-tema de referencia situado en la nave.

El gemelo que viaja en la nave mide su edad en tiempo propio:

τ = 34 − 30 = 4 años

Para él han pasado 4 años desde que abandonó la Tierra. Sin embargo, este interva-lo de tiempo, medido sobre la Tierra, lo proporciona la edad del otro hermano.

t' = 40 − 30 = 10 años

Sustituyendo estos valores en la expresión [1], calculamos la velocidad de la nave:

28 Si el viaje se realizó en línea recta, ¿a qué distancia se alejó de la Tierra el ge-melo del problema anterior?

Para realizar el cálculo, supondremos que la velocidad de la nave ha sido constantedurante todo el trayecto. La distancia recorrida por la nave la medimos desde el sis-tema de referencia situado en la Tierra, resultando ser:

d = v · t = 0,917 · c · 10 = 9,17 años-luz

Esta es la distancia total recorrida en el trayecto de ida y vuelta, por lo que la distan-cia máxima a la que se alejó de la Tierra es la mitad; es decir, 4,585 años-luz.

NOTA: la solución ofrecida en el libro del alumno corresponde a la distancia recorrida en el viaje.

104

1

14

10

14

100 84 0 917

2

2

2

2

2

22 1

=

−

→ − =

= − → = ⋅ = ⋅ ⋅ −

v

c

v

c

v

cv c c, , m s

′ =

−

tv

c

τ

12

2


� �2

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13 FÍSICA RELATIVISTA - INTEFplatea.pntic.mec.es/~jmarti2/2Fisica/13-relatividad.pdf · La relación entre estos tiempos es: t pe t r p p a en ra d l i e c l u o lar = =1 − v c2