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8/19/2019 1.2_Teoremas Sobre Límites
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Límites
Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Teoremas sobre límites
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2Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Habilidades
• Calcula límites infinitos e interpretageométricamente sus
resultados.
• Calcula límites de formas indeterminadas.
• !al"a límites de operaciones combinadasdados los lugares
geométricos.
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
#peraciones con límites
Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
$upongamos %ue c es una constante & %ue
e'istenlos límites(
ntonces(
[ ] )*lim)*lim)*)*lim
x g x f x g x f a x a x a x
→→→
+=++
[ ] )*lim)*lim
x f c x cf a x a x
→→
=,
-)*limsi)*lim
)*lim
)*
)*lim ≠⋅=
→
→
→
→
x g x g x f
x g x f
a x
a x
a x
a x
/ [ ] )*lim)*lim)*)*lim
x g x f x g x f a x a x a x
→→→
−=−
0 [ ] )*lim)*lim)*)*lim
x g x f x g x f a x a x a x
→→→
⋅=⋅
)*lim x f a x →
)*lim x ga x →
[ ] [ ]na x
n
a x x f x f
)*lim)*lim
→→=1
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Límites de algunas funciones
Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
)*lim x f a x →
$upongamos %ue c es una constante & %ue
e'isten
los límites(ntonces(
)*lim x ga x →
c c a x
=→
lim2
nn
a x a x =
→
lim3
nn
a x a x =→lim+-
na x
n
a x x f x f
)*lim)*lim
→→
=++
$i n es par4 se supone%ue a 5 -
$i n es par4 se supone%ue -)*lim >
→ x f
a x
6 a x a x
=→
lim
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
7ercicios/ !aluar(
).)*/*lim /,,
x x x x −+→a) *p. ++-4
80)
b)
2
4
24
1 32
6lim
++−+
→ x x
x x
x
*p. ++-4 81)
1,lim 0/
++−→
uuu
c) *p. ++-4 86)
-
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6Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
$ustituci9n directa
$i f es un polinomio o una funci9n racional & a
estáen el dominio de f 4 entonces(
( ) ( )af x f a x
=→
lim
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7Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
:ormas indeterminadas
/
/' +
/lim
x x
x x →+ −
−
!aluar
; -
/ /lim
h
h→+ −
/
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Teoremas generales
Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
$upongamos %ue e'isten los límites(
ntonces(
)*lim x f a x →
)*lim x ga x →
+/ )*)*$i x g x f
≤
en un entorno de a %ue e'clu&e a a
se cumple %ue(
)*lim)*lim
x g x f a x a x
→→
≤
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Teoremas generales
Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
$upongamos %ue e'isten los límites(
ntonces(
)*lim x f a x →
)*lim x ga x →
+, )*)*)*$i
x h x g x f ≤≤
en un entorno de a %ue e'clu&e a a
L x ga x
=→
)*lim
se cumple %ue(
&
L x h x f a x a x
==→→
)*lim)*lim
g* x )
h* x )
f * x )
a x
y
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
7ercicio
Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
Calcular4 si e'isten4 los siguientes límites(
[ ])*)*lim/ x g x f x
+→a
x x
y = f * x )
+
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
7ercicios
!aluar(
).)*/*lim /,,
x x x x −+→, *p. ++-4
8 )
0/
0
/0
+ ,/
1lim
++−+
→ x x
x x x
*p. ++-4 8 1)
63lim 4
2
++−→
uu
u
*p. ++-4 8 6)
1
−
−→ x x x
++lim
-*p. +++4 80+)
−
+→ x x x ++lim
-
−
→ x x x ++
lim-
c)
a)
b) *p. +++4 80/)
-
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Cálculo Diferencial eIntegral de Una Variable
7ercicios
6. *p. ++-4 8/6) x
x x x −
−→ +
lim/
+
!aluar4 si e'isten(
2.
>−≤
