128670070 Fisica Dispense 2012 Politecnico Torino

Appunti di Meccanica Classicae

Termodinamica

Mario Trigiante

2 maggio 2012

Indice

1 Introduzione 51.1 Metodo scientifico e misurazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Richiami di Matematica 112.1 Punti e vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Somma di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 La rappresentazione matriciale dei vettori . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Sistemi di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Cinematica 313.1 Velocita e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Moto unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Moto nello spazio tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Moti relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Dinamica 534.1 Principio di inerzia e leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Prima e seconda legge di Newton’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2 Interazione e terza legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Metodo statico e dinamico per misurare le forze . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Il problema generale della meccanica della particella . . . . . . . . . . . . . 614.4 Sistemi di riferimento inerziali e forze inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Forze di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6 Conservazione della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Lavoro ed Energia 815.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Lavoro ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Forze conservative ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4 Forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.5 Forze non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.6 Moto Unidimensionale e Conservazione dell’Energia . . . . . . . . . . . . . . 106

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4 INDICE

6 Sistemi di particelle 1116.1 Centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 Moto di rotazione 1257.1 Momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Moto di una particella soggetta a una forza centrale . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Moto di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8 Approfondimento 1538.1 Il Problema Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1.1 Traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.2 Le Leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9 Meccanica dei Fluidi 1719.1 Forze esterne sui fluidi e statica dei fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.2 Equilibrio di un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3 Misura della pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4 Dinamica dei fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9 Termodinamica 1959.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.1.1 Dilatazione con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.2 Calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.3 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.4 Prima legge della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.5 Gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.6 La seconda legge della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.6.1 Scala assoluta della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.6.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Index 238

Capitolo 1

Introduzione

Questa prima parte del corso e intesa come introduzione alla meccanica classica e alla termo-dinamica. Il suo obiettivo e dare allo studente una conoscenza approfondita delle principalileggi fisiche su cui si fondano tali discipline, mettendo in rilievo il ruolo del metodo scientificoin fisica come in qualsiasi altro ambito di ricerca scientifica .

Il testo di riferimento e:

• R. Serway “Principi di Fisica. Vol. 1, 2”;

Sono anche consigliati, per approfondimento, i seguenti testi:

• P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci,“Elementi di fisica. Meccanica, termodinamica”;

• P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci,“Elementi di fisica. Elettromagnetismo”;

• S. Focardi, I.G. Massa, A. Uguzzoni,“Fisica generale. Meccanica e termodinamica”;

• S. Focardi, I.G. Massa, A. Uguzzoni,“Fisica generale 2. Elettromagnetismo”;

La fisica e la scienza che indaga i fenomeni naturali. Essa comprende vari campi, a secondadel tipo di fenomeno studiato: l’ Ottica e la scienza che studia la luce e la sua propagazione;l’Acustica si occupa dei suoni; la Meccanica studia il movimento dei corpi e le loro interazioni;la Termodinamica indaga su tutti i processi relativi al calore e alla sua diffusione, mentre ilcampo di indagine dell’ Elettrodinamica riguarda i fenomeni che coinvolgono le interazionielettriche e magnetiche. La distinzione fra queste scienze e fra i fenomeni da esse indagate,ha una giustificazione storica: fino alla fine dell’Ottocento tali fenomeni erano consideratiessere privi di relazioni fra loro. Nel corso del secolo successivo, il progresso scientificopermise una maggiore conoscenza della struttura della materia e del suo comportamentosu scale di grandezza molto piccole, nonche della natura delle forze fondamentali. Questoprogresso rivelo inaspettate relazioni tra fenomeni che precedentemente erano consideratinon correlati e porto ad una visione piu unificata della Fisica e dei suoi campi d’indagine.Per esempio, gia durante la seconda meta dell’Ottocento si comprese che la luce e generatada campi elettrici e magnetici, gli stessi responsabili delle interazioni fra corpi dotati di carica

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6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

o della forza che agisce sull’ago di una bussola. Pertanto non vi era piu alcuna motivazionefisica per separare nettamente l’Elettromagnetismo dall’Ottica.

Nel corso del ventesimo secolo furono scoperte nuove leggi che regolano sia il compor-tamento dei costituenti elementari della materia (Meccanica quantistica) che i processi checoinvolgono velocita vicine a quella della luce (Relativita).

Il progresso della scienza durante l’ultimo secolo ha comportato un radicale mutamentodel punto di vista da cui sono considerati i vari fenomeni. Oggi e comunemente accettatal’idea che tutti i fenomeni fisici comunemente osservati possano essere descritti, in teoria,mediante un numero limitato di particelle, che costituiscono la materia, (particelle fonda-mentali) e le quattro forze fondamentali (elettromagnetica, gravitationale, debole e forte onucleare).

Con il termine Fisica classica si intende la fisica conosciuta fino alla fine del secolo dician-novesimo con le sue nette suddivisioni. La Fisica moderna invece include anche gli sviluppiche la scienza ha avuto nel secolo ventesimo con le sue nuove prospettive concettuali. Le ra-gioni per cui la fisica classica e ancora insegnata e che le sue leggi sono molto chiare e semplicie offrono una accurata descrizione dei fenomeni naturali entro certi limiti (limiti classici).Per esempio le leggi della Meccanica classica, che risalgono in gran parte a Newton, sonouna buona approssimazione se noi analizziamo il movimento dei corpi su distanze non troppopiccole (per esempio, non paragonabili alla dimensione di un atomo) e con velocita molto in-feriori alla velocita della luce. Esse non sarebbero adatte a descrivere correttamente il motodi un elettrone in un atomo o la collisione di particelle ad altissima velocita. La conoscenzabasata sulla fisica classica e spesso inadeguata per lo sviluppo della moderna tecnologia dialta precisione: microscopi elettronici, strumenti GPS ecc. Per esempio, se dobbiamo proget-tare e costruire uno strumento GPS 1 usando solamente la legge di gravitazione di Newton,lo strumento avrebbe un margine di errore, nella rilevazione della posizione dell’utente, dicirca due metri, e tale errore si moltiplicherebbe progressivamente, facendo sı che facilmentel’utente smarrirebbe la strada. La ragione di cio e che lo strumento lavora scambiando unsegnale elettromagnetico con un satellite. Un segnale elettromagnetico, come per esempioun segnale di luce, “sente l’effetto gravitazionale della terra, proprio come fa ogni oggettomateriale. Conseguentemente, l’utente ricevera l’informazione sulla sua localizzazione conun certo ritardo. Questo effetto non e giustificato dalla teoria di Newton, ma e previsto dallateoria gravitazionale di Einstein, chiamata Teoria generale della Relativita che costituisceuna generalizzazione della teoria di Newton. Usando la Teoria generale della Relativita , sipuo ottenere la precisione richiesta per un funzionamento corretto dello strumento GPS.

Trattare le vaste acquisizioni concettuali della fisica nel secolo ventesimo e lontano dalloscopo del presente corso che si limita alla trattazione, nella prima parte, della meccanica clas-sica e della termodinamica e, nella seconda, della teoria classica dell’elettromagnetismo. Pri-ma di affrontare l’argomento centrale di questo corso, tuttavia, diamo una rapida panoramicadelle attuali conoscenze sulla materia, la sua struttura e le interazioni fondamentali.

1Un GPS (Global Positioning System), e uno strumento capace di determinare la sua stessa posizionemisurando la sua distanza da almeno tre satelliti. Questa distanza e determinata calcolando l’intervallo tral’invio e la ricezione di un segnale elettromagnetico (essendo la velocita del segnale conosciuta).

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Gli elementi di base che costituiscono la materia sono tre particelle fondamentali chiama-te protoni , neutroni ed electroni . Esse formano le strutture elementari chiamate atomi. Un

Figura 1.1:

atomo e costituito da un nucleo centrale di protoni e neutroni, legati insieme in un piccolovolume circondato da una “nube di elettroni che si muovono intorno ad esso, approssimativa-mente come, nel sistema solare, i pianeti ruotano intorno al sole, vedi Figura 1.1. L’elettronee una particella estremamente leggera, essendo la sua massa dell’ordine di 10−30 Kg. Sia ilprotone che il neutrone sono circa duemila volte piu pesanti dell’elettrone. Per questa ragio-ne, la massa di un atomo e puo pensarsi come concentrata nel suo nucleo. La dimensionedi un atomo e dell’ordine di 10−10 metri. Tale dimensione definisce una unita di lunghezzachiamata angstrom (A). D’altra parte la dimensione del nucleo e dell’ordine di 10−15 m,molto piu piccola dell’intero atomo. In proporzione, se il nucleo avesse la dimensione diuna noce, gli elettroni orbiterebbero intorno ad esso ad una distanza di circa un chilometro.Due o piu atomi possono formare aggregati chiamati molecole che, aggregandosi a loro volta,formano la materia nel suo stato solido, liquido o gassoso. E presente un enorme numero dimolecole in una quantita visibile di materia. Per esempio, 0.018 litri di acqua contengonocirca 6.022× 1023 molecole e questo numero e chiamato numero di Avogadro N0.

L’universo contiene a sua volta un vasto numero di strutture formate dai corpi celesti: ipianeti ruotano intorno al sole e costituiscono il nostro sistema solare, che ha una estensionedi circa 1010 Km; le stelle a loro volta sono raggruppate in galassie e le galassie in ammassidi galassie. La nostra galassia, chiamata Via Lattea, ha una estensione di circa 100.000 anni


luce (1018 Km). Che cosa determina l’aggregazione della materia in sistemi, dalla piu piccolascala di un nucleo atomico (10−15 m) sino alla piu vasta scala di bilioni di anni luce? Perchei protoni ed i neutroni sono riuniti in nuclei, i nuclei e gli elettroni in atomi, gli atomi inmolecole, le molecole in materia, le stelle ed i pianeti in galassie ecc.? La risposta va cercatanel concetto di interazione , cioe di forze di attrazione o repulsione che le particelle, o gliaggregati di particelle, esercitano le une sulle altre.

Benche questa sia una definizione oltremodo semplificata, dovremo limitarci ad essa,tenendo presenti lo scopo di questo corso. I protoni ed i neutroni sono tenuti insieme da unaforza estremamente intensa, detta forza nucleare forte. Gli elettronied i protoni interagisconoper via di una forza attrattiva, forza elettrica, che e una forza che agisce su particelle dotatedi carica elettrica. La stessa forza e responsabile dell’aggregazione di atomi in molecole edelle molecole nei corpi. Per questo la forza elettrica e responsabile della coesione internadella materia e delle sue proprieta chimiche. La forza che conosciamo meglio, visti i suoieffetti sulla nostra vita di ogni giorno e la forza di gravita. Storicamente, questa e stata laprima interazione ad essere studiata scientificamente. E sempre attiva e la sua azione su di uncorpo dipende dalla massa del corpo. Anche gli elettroni ed i protoni in un atomo avvertonouna reciproca attrazione gravitazionale. Tuttavia, essendo particelle estremamente leggere(avendo una massa molto piccola), la forza di questa interazione gravitazionale e trascurabile,se confrontata con l’attrazione elettrica. L’attrazione gravitazionale, d’altro canto, mostra isuoi effetti su larghe scale. Essa spiega, per esempio, perche noi siamo vincolati alla superficiedella terra. Spiega anche il movimento reciproco dei corpi celesti e la formazione di vastiaggregati come le galassie o gli ammassi galattici.

1.1 Metodo scientifico e misurazioni

Il grande progresso nella conoscenza che ha riguardato le scienze naturali (fisica, chimica,biologia ecc.) a partire dal XVII secolo puo essere largamente ascritto al metodo rigorosoche gli scienziati seguono nella loro ricerca e che da ad essa basi solide ed oggettive. Ladefinizione di questo metodo e comunemente fatta risalire all’italiano Galileo Galilei (1564-1642) che, per primo, comprese l’importanza del rapporto tra teoria ed osservazione nellaricerca scientifica. Analizzando un fenomeno, come la caduta libera di un corpo, lo scienziatofa delle ipotesi sulle cause che lo determinano e piu specificamente cerca di individuare lerelazioni tra determinati fattori e aspetti del fenomeno osservato: per esempio, egli puoipotizzare che la caduta libera di un corpo sia causata da una forza dovuta alla terra (laforza di gravita) e da un effetto dell’aria attraverso cui si muove il corpo (attrito) ed infineche il primo determina un movimento risultante che e uguale per tutti i corpi. Sulla base diqueste ipotesi lo scienziato formula predizioni, e soprattutto, elabora un modello.

Cio e ottenuto mediante deduzioni logiche e usando strumenti matematici. Le previsionipossono interessare nuovi fenomeni non ancora osservati. In tal caso, lo scienziato individuaun esperimento al fine di comprovare la sua previsione. L’esperimento consiste nell’osser-vazione del fenomeno indagato in condizioni attentamente controllate. L’esperimento puoconfermare la previsione del modello o confutarla. In quest’ultimo caso lo scienziato dovra

1.1. METODO SCIENTIFICO E MISURAZIONI 9

modificare le sue ipotesi ed elaborare un nuovo modello. Per esempio, supponiamo che ilmodello proposto per descrivere il moto di caduta libera di un corpo preveda una dipendenzadell’azione della terra sulla forma del corpo. Successivamente, studiando il moto di cadutalibera di numerosi corpi, con forme diverse, in un contenitore in cui sia stato creato il vuotoed in cui, pertanto, l’effetto dell’aria sia trascurabile, lo scienziato osserva che esso e lo stessoper tutti gli oggetti. Da cio egli conclude che la forza gravitazionale della terra non dipendedalla forma dell’oggetto su cui essa agisce e il modello sara scartato. Il metodo scientifico,quindi, consiste in una parte teorica nella quale viene formulato un modello e in una partesperimentale mediante la quale le sue previsioni vengono verificate.

Entrambe, la previsione e l’osservazione, per avere un valore oggettivo, devono tradursi ininformazioni di tipo quantitativo. Cio e ottenuto associando a ogni quantita fisica un numeroche rappresenta la sua misura rispetto ad una quantita standard scelta come unita di misura.La misurazione e un procedimento sperimentale mediante il quale una grandezza e associataad una quantita fisica. Le leggi della fisica che descrivono le relazioni tra quantita fisichesono quindi espresse come relazioni matematiche tra le corrispondenti misure. Secondoquesto punto di vista operativo, una quantita fisica e definita una volta che la proceduradi misurazione e specificata (definizione operativa). Comunemente una distinzione e fattatra quantita fondamentali come le lunghezza o i tempi, le cui definizioni non coinvolgonoaltre quantita e le quantita derivate come la velocita o l’ accelerazione le cui definizionisono date mediante quantita fondamentali. Per esempio, “la velocita di un oggetto e ilrapporto fra la distanza percorsa divisa per il tempo impiegato a coprirla. La misura di unaquantita fondamentale comporta il suo confronto con la misura standard. Vi sono alcunirequisiti riguardo a questo standard, affinche sia valido: deve essere possibile determinarlocon precisione accurata, deve essere accessibile e invariabile. Questi criteri stabiliscono qualequantita puo essere considerata fondamentale e quale derivata. Per esempio, le quantitafondamentali per descrivere i fenomeni elettrici e magnetici fu fin dall’inizio individuata nellacarica elettrica, cioe il coefficiente che descrive la capacita di alcune particelle di esercitare osubire una forza elettrica. D’altra parte, l’intensita della corrente elettrica fu definita comeuna quantita derivata, cioe la sua unita (Ampere) nel sistema di unita MKSA fu definita intermini di carica elettrica standard (che nel sistema MKSA e il Coulomb): la corrente di unAmpere corrisponde alla carica di un Coulomb che percorre un circuito in un secondo. Insuccessivo sviluppo della tecnologia ha permesso di definire la corrente elettrica con maggioreprecisione rispetto alla carica elettrica. Pertanto la corrente venne assunta come una quantitafondamentale e la carica elettrica come una quantita derivata: un Coulomb e definito oracome la carica che percorre, in un secondo, un circuito in cui c’e la corrente di un Ampere. Perdare una definizione operativa di grandezza fondamentale, bisogna definire un procedimentosperimentale allo scopo di:

• stabilire se due quantita della stessa grandezza sono uguali;

• dividere una certa quantita della grandezza in parti uguali;

• fissare una certa quantita di riferimento della grandezza come unita di misura.


In questo modo, una volta che lo standard e fissato come unita, e possibile creare dei sotto-multipli dell’unita stessa e quindi confrontare con essi una data quantita al fine di determi-narne misura: dire che una sbarra e lunga 1, 3metri equivale a dire che e uguale a un metropiu una lunghezza residua che e di tre decimi di un metro. Il numero di grandezze fonda-mentali e il minimo necessario al fine di definire tutte le altre grandezze. In questo corsouseremo il Sistema Internazionale (SI) delle unita o MKSA (metro, kilogrammo, secondo,Ampere).

Diamo ora le definizioni di standard delle varie quantita fondamentali:

• il metro (m) e l’unita di lunghezza. Esso e uguale a 1.650.763,73 volte la lunghezzad’onda della luce arancione emessa da un isotopo di Krypton (Krypton-86 o 86Kr).Questa lunghezza d’onda e una caratteristica univoca dell’isotopo di Krypton. Comestandard esso e quindi invariabile ed inoltre accessibile in ogni laboratorio, essendotutti gli atomi di Krypton-86 uguali fra loro. Per questa ragione e in genere utile fareriferimento a proprieta degli atomi nel definire uno standard;

• il Kilogrammo (kg) e l’unita di massa. Per finalita pratiche esso puo essere definitocome la massa di un litro (cioe di 10−3m3) di acqua distillata alla temperatura di 4 oC.E anche uguale alla massa di 5.0188× 1025 atomi di 12C;

• il secondo e l’unita di tempo. Tradizionalmente questa unita fu riferita al movimen-to della terra intorno al sole e definita come 1/31.556.925, 975 della durata dell’annosolare (l’intervallo di tempo fra due successivi passaggi della terra attraverso l’equino-zio di primavera). Puo anche essere definito come 1/31, 556, 925.975 volte la duratamedia del giorno solare (cioe la durata di un giorno calcolata nella media annuale).La migliore definizione di secondo fa riferimento al cosiddetto orologio atomico. Lamolecola di ammoniaca (NH3) ha una struttura piramidale, consistente in una basetriangolare, costituita da tre atomi di idrogeno (H) e da un atomo di azoto (N) al ver-tice. L’atomo N oscilla tra due posizioni di equilibrio, che sono simmetriche rispettoalla base, in un tempo fisso. Il secondo puo allora essere definito come l’intervallo ditempo corrispondente a 2.387× 1010 volte questo periodo.

.

Capitolo 2

Richiami di Matematica

Come messo in risalto nel capitolo precedente, sia una previsione teorica che un’osservazionesperimentale, devono tradursi in informazioni quantitative da mettere a confronto per verifi-care l’ ipotesi o il modello adottato. A questo scopo, la descrizione dei sistemi fisici dovrebbeessere fatta usando il linguaggio matematico: le lunghezze, gli intervalli di tempo e le massesono descritti con numeri che ne rappresentano misura, la posizione di un piccolo oggettoda un punto nello spazio che a sua volta e descritto in termini di coordinate rispetto ad unsistema di coordinate fissato, una forza da un vettore ecc. Una legge fisica, che esprime unarelazione tra quantita fisiche, si traduce quindi in una relazione matematica tra i corrispon-denti oggetti matematici. In questo capitolo ricordiamo alcune nozioni matematiche di baseche useremo durante questo corso.

2.1 Punti e vettori

Una linea retta nello spazio definisce una direzione. Rette parallele corrispondono alla stessadirezione. Si possono ordinare punti lungo una linea retta fissando un verso o orientazione.Ci sono due orientazioni possibili lungo una direzione: se prendiamo due punti di P e Q sullastessa linea retta, si puo dire che P precede Q, fissando cosı l’orientazione che va da P a Q,o quello P viene dopo Q scegliendo l’orientazione opposto. Il senso lungo una direzione eindicato solitamente da una freccia e la linea retta orientata e denominata asse. Una voltache una direzione e un orientazione sono stati fissati, se scegliamo un punto O (l’origine) sullaretta e un’unita u di lunghezza, abbiamo fissato un sistema di riferimento unidimensionalerispetto al quale la posizione di qualsiasi punto P rimane definita unicamente dalla relativacoordinata. Quest’ultima e definita come la distanza di P da O espressa nell’ unita u, conun segno positivo se la P viene dopo la O o un segno negativo P la precede (vedi Fig. 2.1).Questo sistema di riferimento tuttavia non e sufficiente per definire univocamente la posizionedei punti nel nostro spazio tridimensionale. Per fare questo e necessario fissare tre linee oassi ortogonali orientati, che saranno denominati X, Y, Z, passanti per una stessa origineO e un’unita di lunghezza u. I punti lungo ogni asse sono completamente individuati dalleloro coordinate riferite ad O nelle unita u. La posizione di un punto P nello spazio quindi eunivocamente determinata dalle coordinate x, y, z delle relative proiezioni ortogonali lungo

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12 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI MATEMATICA

Figura 2.1:

i tre assi X, Y, Z rispettivamente. I tre assi ortogonali, l’origine O e l’unita u definiscono unsistema di coordinate cartesiane ortogonale tridimensionale (ved. Fig. 2.2). Alcune quantitafisiche come la massa, il tempo, la lunghezza o la temperatura sono completamente definite daun numero che rappresenta la loro misura o grandezza riferita ad una certa unita di misura.Altre quantita fisiche richiedono piu informazioni per essere determinate completamente.Per esempio, se vogliamo descrivere la condizione del vento in un dato posto, dobbiamospecificare non solo la relativa velocita (per esempio 50km/h) ma anche la direzione ed ilverso in cui il vento soffia (per esempio abbiamo un vento di sud-est). Tutti questi datisono descritti da un singolo oggetto matematico chiamato vettore. Un vettore solitamente eindicato da un simbolo con una freccia

−→V o in neretto V ed e rappresentato, nello spazio,

da una freccia. La base della freccia e detta origine e la sua punta estremita del vettore.Tale grandezza e quindi definita dalla sua lunghezza, detta anche norma o modulo, indicatacon il simbolo |−→V |, dalla sua direzione ed il suo verso, come indicato dalla freccia (ved. Fig.2.3). Il modulo di un vettore e una grandezza dimensionale, ovvero e espressa in una unitadi misura, ed e sempre positiva.

Percio, un vento di sud-est che soffia ad una velocita di 50km/h e descritto da un vettore

velocita ~V , la cui lunghezza e |−→V | = 50km/h e che punta da sud-est verso di noi. Eimportante sottolineare che, essendo un vettore completamente caratterizzato dal proprialunghezza, direzione e verso, due vettori che hanno in comune queste tre caratteristiche sonoda considerarsi lo stesso oggetto, indipendentemente dal punto nello spazio in cui si trovano.

2.1. PUNTI E VETTORI 13

Figura 2.2:

Questo ci permette di spostare in modo rigido un vettore liberamente nello spazio, purchenon ne si modifichi la norma, direzione e verso.

Un vettore unita o versore e un vettore ~u adimensionale di lunghezza unitaria |~u| = 1.Esso definisce una direzione nello spazio ed un orientazione. Possiamo definire il prodottodi un vettore

−→V per un numero reale a ottenendo un nuovo vettore:

−→V′

= a−→V , (2.1.1)

che e parallelo a−→V , ma la cui lunghezza e

|−→V′| = |a| |−→V | . (2.1.2)

Esso ha la stessa orientazione di−→V se a e positivo, orientazione opposta se a e negativo (vedi

Fig. 2.3). Un vettore−→V′e opposto a

−→V , e viene indicato con −−→V , se ha la stessa lunghezza

e direzione di−→V ma verso opposto, cioe e ottenuto moltiplicando

−→V per −1:

−→V′

= −−→V = (−1)−→V . (2.1.3)

Un vettore generico−→V puo essere rappresentato come il prodotto della sua norma, che e

un numero positivo espresso nelle unita della grandezza che esso rappresenta, per il vettoreunitario che ne definisce verso e l’ orientazione:

−→V′

= |−→V | ~u . (2.1.4)


Figura 2.3:

Nell’esempio del vento, il vettore velocita puo essere espresso come il prodotto della sualunghezza, in unita di Km/h, vale a dire 50Km/h, per il vettore unitario adimensionale ~uche indica la direzione ed il verso da sud-est verso noi, di lunghezza pari a uno: |~u| = 1.Un’altra quantita descritta da un vettore e lo spostamento. Se un corpo e spostato da unpunto O ad un punto A, il relativo spostamento e descritto da un vettore, che si indica con−→OA, che punta da O ad A e la cui lunghezza o norma e la distanza fra la O ed A. In altreparole un vettore che si genera in O e che finisce in A.

2.1.1 Somma di due vettori

La somma di due vettori−→V 1 e

−→V 2 e definita ponendo l’origine di

−→V 2 coincidente con la punta

di−→V 1 e tracciando una freccia dall’origine di

−→V 1 all’estremita di

−→V 2. Il vettore risultante−→

V 3 e detto somma di−→V 1 e

−→V 2:

−→V 3 =

−→V 1 +

−→V 2 . (2.1.5)

Ci si puo facilmente convincere che tale somma e commutativa, cioe che−→V 1 +

−→V 2 =

−→V 2 +

−→V 1

(ved. Fig. 2.3). Per esempio se spostiamo un oggetto da un punto O ad un punto A e

poi spostiamo lo stesso oggetto da A ad un nuovo punto B, indicando con ~d1 e ~d2 i duespostamenti successivi, lo spostamento risultante sara descritto da un vettore ~d3 con originein O ed estremo finale in B, che rappresenta la somma di ~d1 and ~d2. La differenza di duevettori

−→V 1 −

−→V 2 e la somma

−→V 1 and −−→V 2 (ved. Fig. 2.4). L’ angolo tra due vettori e

definito come l’angolo, piu piccolo di 180o, del quale uno dei due vettori deve essere ruotatoper far coincidere il suo verso ed orientazione con quello dell’altro vettore (vedi la fig. 2.5).


Figura 2.4:

Calcoliamo ora la lunghezza di−→V 3 =

−→V 1 +

−→V 2 in funzione delle norme di

−→V 1 e

−→V 2 e

dell’angolo θ tra di essi. Con riferimento alla Fig. 2.5 vediamo che la lunghezza di−→V 3

e quella del segmento OC. Considerato che |AB| = |−→V 2| cos(θ) and |BC| = |−→V 2| sin(θ),usiamo il teorema di Pitagora per ottenere |OC|:

|−→V 3| = |OC| =√|OB|2 + |BC|2 =

√[|−→V 1|+ |

−→V 2| cos(θ)]2 + |−→V 2|2 sin2(θ) =√

|−→V 1|2 + |−→V 2|2 + 2 |−→V 1||−→V 2| cos(θ) . (2.1.6)

Ora definiamo la somma di piu di due vettori. La somma di tre vettori−→V 1 +

−→V 2 +

−→V 3 e

ottenuta sommando prima due dei tre vettori e poi sommando il risultato con il terzo:−→V 1 +

−→V 2 +

−→V 3 ≡ (

−→V 1 +

−→V 2) +

−→V 3 . (2.1.7)

il risultato non dipende dalla coppia dei vettori con cui si comincia. Questa procedura puoessere ripetuta per definire la somma di un numero generico dei vettori. Se abbiamo uninsieme di n vettori

−→V i (i = 1, . . . , n), possiamo disporli nello spazio in modo che la punta

di un vettore coincida con l’origine di quello seguente. Allora la somma dei vettori, chedenotiamo con

n∑i=1

−→V i ≡

−→V 1 +

−→V 2 + . . .+

−→V n , (2.1.8)

e il vettore la cui l’origine coincide con l’origine del primo vettore (−→V 1) della sequenza

e l’estremita coincide con quella dell’ultimo vettore (sia−→V n). Il risultato non dipende

chiaramente dall’ordine in cui i vettori sono organizzati.


Figura 2.5:

Il prodotto di un vettore con un numero reale e distributivo rispetto sia alla somma deivettori che alla somma dei numeri. Cioe vale la seguente proprieta :

a (−→V 1 +

−→V 2) = a

−→V 1 + a

−→V 2 ,

(a1 + a2)−→V = a1

−→V + a2

−→V , (2.1.9)

dove a, a1, a2 sono numeri reali. Queste proprieta si estendono a somme generiche di numerie vettori.

2.1.2 Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori−→V e−→W , denotato con

−→V · −→W , e definito da:

−→V · −→W = |−→V ||−→W | cos(θ) , (2.1.10)

dove θ e l’angolo fra i due vettori. Come prima proprieta, il prodotto scalare e simmetriconei due vettori:

−→V · −→W =

−→W · −→V . Esso e positivo se θ > π/2 mentre e zero se θ = π/2,

vale a dire se i due vettori sono ortogonali. Il prodotto scalare di un vettore con se stessoe il quadrato della norma del vettore. Ora mostriamo che il prodotto scalare e distributivorispetto alla somma di due vettori, cioe :

(−→V 1 +

−→V 2) · −→W =

−→V 1 ·

−→W +

−→V 2 ·

−→W . (2.1.11)

Infatti, riferendoci alla Fig. 2.6, siano α1 e α2 gli angoli che i due vettori−→V 1,−→V 2 formano


Figura 2.6:

con−→W e sia β l’angolo tra il vettore somma

−→V 1 +

−→V 2 e

−→W . Dalla definizione abbiamo:

(−→V 1 +

−→V 2) · −→W = |−→W | |−→V 1 +

−→V 2| cos(β) ,

−→V 1 ·

−→W = |−→W | |−→V 1| cos(α1) ,

−→V 2 ·

−→W = |−→W | |−→V 2| cos(α2) . (2.1.12)

Abbiamo anche che:

|OB| = |−→V 1 +−→V 2| cos(β) ,

|OA| = |−→V 1| cos(α1) ,

|AB| = |−→V 2| cos(α2) .

Essendo |OB| = |OA|+ |AB|, concludiamo che vale la seguente proprieta:

|−→V 1 +−→V 2| cos(β) = |−→V 1| cos(α1) + |−→V 2| cos(α2) . (2.1.13)

Cosı, dall’ equazione (2.1.13) e (2.1.12), segue la proprieta distributiva (2.1.11) . Questaproprieta puo essere generalizzata alla somma di un numero generico di vettori e prende laseguente forma generale: (

n∑i=1

−→V i

)· −→W =

n∑i=1

(−→V i ·−→W ) . (2.1.14)


Un vettore puo sempre essere espresso come la somma di due o piu vettori. E utile fissareun insieme di assi reciprocamente ortogonali, definito da vettori unita e scrivere un vettoregenerico come la somma di vettori che si trovano lungo questi assi. Fissiamo, per esempio,nel piano due assi ortogonali X ed Y descritti dai corrispondenti vettori unita ~ux e ~uy. Dalladefinizione (2.1.10) segue che:

~ux · ~ux = ~uy · ~uy = 1 ; ~ux · ~uy = 0 . (2.1.15)

Possiamo scrivere un generico vettore−→V come la somma di due vettori lungo i due assi (ved.

Fig. 2.7):

Figura 2.7:

−→V =

−→V x +

−→V y . (2.1.16)

I vettori−→V x ,−→V y sono detti le vettori componenti di

−→V lungo le direzioni ~ux, ~uy. Essi sono

infatti le proiezioni di−→V lungo queste direzioni. E facile verificare che, se θ e l’angolo tra−→

V and ~ux, possiamo scrivere:

−→V x = Vx ~ux = |−→V | cos(θ) ~ux ,−→V y = Vy ~uy = |−→V | sin(θ) ~uy , (2.1.17)

cosı che:

−→V = |−→V | (cos(θ) ~ux + sin(θ) ~uy) . (2.1.18)


I numeri reali Vx, Vy definiscono le componenti di ~V rispetto agli assi X,Y.Nello spazio tridimensionale possiamo fissare tre assi ortogonali, che precedentemente

abbiamo chiamato X, Y, Z, definiti dai corrispondenti vettori unita ~ux, ~uy, ~uz:

~ux · ~ux = ~uy · ~uy = ~uz · ~uz = 1 ,

~ux · ~uy = ~ux · ~uz = ~uy · ~uz = 0 . (2.1.19)

Un vettore generico−→V puo essere scritto come somma dei vettori componenti rispetto a

questi assi:

−→V =

−→V x +

−→V y +

−→V z . (2.1.20)

Riferendoci alla fig. 2.7, vediamo che il verso e l’orientazione di−→V sono completamente

definiti da due angoli, anziche da uno, come nel caso di un vettore in un piano: l’angolo θ(π ≥ θ > 0) che

−→V forma con ~uz e l’angolo ϕ (2 π > ϕ ≥ 0) che la proiezione

−→V sul piano

XY forma con ~ux. E facile verificare che:

−→V x = Vx ~ux = |−→V | sin(θ) cos(ϕ), ~ux ,−→V y = Vy ~uy = |−→V | sin(θ) sin(ϕ) ~uy ,−→V z = Vz ~uz = |−→V | cos(θ) ~uz . (2.1.21)

e percio vale la seguente relazione:

|−→V |2 = |−→V x|2 + |−→V y|2 + |−→V z|2 = (Vx)2 + (Vy)

2 + (Vz)2 . (2.1.22)

I numeri reali Vx, Vy, Vz definiscono le componenti di ~V rispetto agli assi X,Y,Z.

Ricapitolando, un vettore generico−→V puo essere scritto, rispetto ad un sistema di assi

cartesiani, in termini delle sue componenti ortogonali come segue:

−→V = Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz . (2.1.23)

Se, oltre ai tre assi ortogonali, fissiamo un’origine O nello spazio, come loro punto di inter-sezione, qualsiasi punto P potra essere completamente identificato dal suo vettore posizione~r =−→OP (ved. Fig. 2.7). Le componenti di questo vettore rispetto agli assi coincidono con

le coordinate di P riferite al corrispondente sistema di coordinate cartesiane:

~r =−→OP = x~ux + y ~uy + z ~uz . (2.1.24)

Per questa ragione denoteremo il vettore posizione anche con ~x. Dati due punti P, Q, nellospazio, definiti dai vettori posizione ~r1 =

−→OP e ~r2 =

−→OQ rispettivamente, il vettore posizione

relativa−→QP ha la seguente forma:

−→QP =

−→OP −−→OQ = ~r1 − ~r2 = (x1 − x2) ~ux + (y1 − y2) ~uy + (z1 − z2) ~uz , (2.1.25)


dove (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) sono le coordinate di P e Q rispettivamente. Applicando

l’equazione (2.1.22) al vettore−→PQ vediamo che la sua norma misura la distanza tra P e

Q:

r12 = |−→QP | =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 . (2.1.26)

La rappresentazione dei vettori mediante le loro componenti rispetto ad uno stesso sistemadi assi e conveniente poiche permette di calcolare facilmente la somma di due o piu vettori.Consideriamo come esempio due vettori

−→V e

−→W scritti mediante le loro componenti come

segue:

−→V = Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz ,−→W = Wx ~ux +Wy ~uy +Wz ~uz . (2.1.27)

Usando le proprieta distributive (2.1.9) la somma−→V +

−→W assume la seguente forma:

−→V +

−→W = (Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz) + (Wx ~ux +Wy ~uy +Wz ~uz) =

(Vx +Wx) ~ux + (Vy +Wy) ~uy + (Vz +Wz) ~uz , (2.1.28)

In altre parole, le componenti della somma dei due vettori sono la somma delle corrispondenticomponenti di ogni vettore. Questa proprieta e generalizzata alla somma di un numero ndei vettori

−→V i. Infatti se il vettore generico

−→V i ha la seguente forma:

−→V i = Vi x ~ux + Vi y ~uy + Vi z ~uz , (2.1.29)

la loro somma avra la seguente espressione:

n∑i=1

−→V i = (

n∑i=1

Vi x) ~ux + (n∑i=1

Vi y) ~uy + (n∑i=1

Vi z) ~uz . (2.1.30)

Ora esprimiamo il prodotto scalare di due vettori−→V and

−→W in termini di loro componenti

date in (2.1.27). Usiamo la proprieta distributiva (2.1.14) ed il fatto che i vettori unita chedefiniscono gli assi di riferimento sono ortonormali, vale a dire la proprieta (2.1.19):

−→V · −→W = (Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz) · (Wx ~ux +Wy ~uy +Wz ~uz) =

VxWx ~ux · ~ux + VyWy ~uy · ~uy + VzWz ~uz · ~uz +

(VxWy + VyWx) ~ux · ~uy + (VxWz + VzWx) ~ux · ~uz + (VyWz + VzWy) ~uy · ~uz =

VxWx + VyWy + VzWz . (2.1.31)

Poiche la norma di un vettore−→V e data dalla radice quadrata del prodotto scalare del vettore

con se stesso, essa puo, usando l’ equazione (2.1.31), essere espressa come segue:

|−→V | =√−→V · −→V =

√(Vx)2 + (Vy)2 + (Vz)2 . (2.1.32)


Possiamo ora ottenere facilmente la formula (2.1.6) che esprime la norma della somma didue vettori:

|−→V 1 +−→V 2| =

√(−→V 1 +

−→V 2) · (−→V 1 +

−→V 2) =√

|−→V 1|2 + |−→V 2|2 + 2−→V 1 ·

−→V 2 , (2.1.33)

dove abbiamo usato la proprieta distributiva del prodotto scalare. Questa formula puo alloraessere generalizzata alla somma di n vettori:

|n∑i=1

−→V i|2 =

n∑i=1

|−→V i|2 + 2∑i<j

−→V i ·−→V j . (2.1.34)

2.1.3 La rappresentazione matriciale dei vettori

A volte i vettori sono rappresentati come tabelle (1 × 3) o matrici riga i cui elementi sonole loro componenti cartesiane. Alla base di questa rappresentazione vi e l’identificazione deivettori unita di un sistema di assi cartesiani ortogonali con i seguenti vettori riga:

~ux = (1, 0, 0) ; ~uy = (0, 1, 0) ; ~uz = (0, 0, 1) . (2.1.35)

Usando l’ equazione (2.1.23), un vettore generico puo essere scritto come

−→V = Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz = Vx (1, 0, 0) + Vy (0, 1, 0) + Vz (0, 0, 1) = (Vx, Vy, Vz) .

(2.1.36)

Il prodotto scalare fra due vettori−→V e−→W puo essere scritto come il prodotto tra un vettore

riga associato a−→V e il vettore colonna associato a

−→W , o viceversa:

−→V · −→W ≡ (Vx, Vy, Vz)

Wx

Wy

Wz

= VxWx + VyWy + VzWz . (2.1.37)

Per esempio la rappresentazione matriciale del vettore di posizione e

~r = (x, y, z) . (2.1.38)

Adotteremo, di tanto in tanto, anche la rappresentazione matriciale dei vettori.

2.1.4 Prodotto vettoriale

Diversamente dal prodotto scalare, il prodotto vettoriale di due vettori−→V 1,−→V 2 non e un

numero ma un vettore, che si indica con il simbolo−→V 1 ×

−→V 2. La sua direzione e ortogonale

al piano definito dai due fattori−→V 1,−→V 2 mentre il suo verso e quello dell’avanzamento di una

vite destrogira che viene girata da−→V 1 a

−→V 2 (ved. Fig. 2.8). Un altro modo per determinare


Figura 2.8:

l’orientazione fa uso della mano destra (regola della mano destra): se le dita della mano

destra sono orientate da−→V 1 a

−→V 2, allora il pollice definira il verso di

−→V 1 ×

−→V 2 lungo la

direzione ortogonale al piano su cui si trovano le altre dita.La norma di

−→V 1 ×

−→V 2 e:

|−→V 1 ×−→V 2| = |−→V 1||

−→V 2| sin(θ) , (2.1.39)

θ essendo l’angolo fra i due vettori. Come prima proprieta vediamo che i vettori parallelihanno il prodotto vettoriale nullo, essendo θ = 0.

Poiche−→V 1 ×

−→V 2 e ortogonale ad entrambi

−→V 1 e

−→V 2 abbiamo:

(−→V 1 ×

−→V 2) · −→V 1 = (

−→V 1 ×

−→V 2) · −→V 2 = 0 . (2.1.40)

Inoltre il prodotto vettoriale e antisimmetrico rispetto allo scambio di due vettori:

−→V 1 ×

−→V 2 = −−→V 2 ×

−→V 1 , (2.1.41)

e distributivo rispetto alla somma:

(−→V 1 +

−→V 2)×−→V 3 =

−→V 1 ×

−→V 3 +

−→V 2 ×

−→V 3 , (2.1.42)

e commuta con il prodotto ordinario, cioe se a e un numero reale, abbiamo:

−→V 1 × (a

−→V 2) = a

−→V 1 ×

−→V 2 . (2.1.43)


Dimostriamo la (2.1.42) nel caso piu semplice in cui i tre vettori giacciano sullo stesso piano.Facendo riferimento alla Fig. 2.9 e osserviamo che tutti i tre prodotti che appaiono nellaformula ((

−→V 1 +

−→V 2)×−→V 3,

−→V 1×

−→V 3,−→V 2×

−→V 3) sono nella direzione perpendicolare al piano

della figura ed hanno tutti la stessa orientazione. Di conseguenza basta provare la proprietaper le norme ed inoltre che la norma della somma di due qualunque di essi e la somma delleloro norme. Osserviamo subito che:

Figura 2.9:

|(−→V 1 +−→V 2)×−→V 3| = |−→V 1 +

−→V 2||−→V 3| sin(β) ,

|−→V 1 ×−→V 3| = |−→V 1||

−→V 3| sin(α1) ,

|−→V 2 ×−→V 3| = |−→V 2||

−→V 3| sin(α2) . (2.1.44)

Inoltre abbiamo che:

|OA| = |−→V 1| sin(α1) ,

|AB| = |−→V 2| sin(α2) ,

|OB| = |−→V 1 +−→V 2| sin(β) . (2.1.45)

Da cio, dalle equazioni (2.1.44) e da |OB| = |OA|+ |AB| deduciamo che:

|(−→V 1 +−→V 2)×−→V 3| = |−→V 1 ×

−→V 3|+ |

−→V 2 ×

−→V 3| . (2.1.46)

Dalla Fig. 2.8 vediamo che la norma del prodotto vettoriale−→V 1×

−→V 2 misura l’area del paral-

lelogramma definito dai due vettori, essendo |−→V 1| un lato e h = |−→V 2| sin(θ) la corrispondentealtezza.


Fissiamo ora un sistema di riferimento cartesiano ortogonale specificando tre assi orto-gonali X, Y, Z, definiti mediante i vettori unita ~ux, ~uy, ~uz. Dalla definizione di prodottovettoriale, otteniamo facilmente che:

~ux × ~uy = ~uz ; ~uz × ~ux = ~uy ; ~uy × ~uz = ~ux ,

~ux × ~ux = ~uy × ~uy = ~uz × ~uz = 0 . (2.1.47)

Se−→V e−→W sono due vettori le cui componenti rispetto al sistema di riferimento sono definite

dalle equazioni (2.1.27), usando le proprieta (2.1.42), (2.1.43) e (2.1.47), possiamo scrivereil prodotto vettoriale nel seguente modo:

−→V ×−→W = (VxWy − VyWx) ~uz + (VzWx − VxWz) ~uy + (VyWz − VzWy) ~ux .(2.1.48)

La formula di cui sopra e utile poiche esprime il prodotto vettoriale di due vettori in terminidi loro componenti. Puo anche essere scritta, in modo piu mnemonico, come il determinantedella matrice simbolica:

−→V ×−→W =

∣∣∣∣∣∣~ux ~uy ~uzVx Vy VzWx Wy Wz

∣∣∣∣∣∣ . (2.1.49)

Dati tre vettori−→V 1,−→V 2,−→V 3, dopo qualche calcolo e possibile dimostrare la seguente utile

proprieta :

(−→V 1 ×

−→V 2)×−→V 3 = (

−→V 1 ·

−→V 3)−→V 2 − (

−→V 2 ·

−→V 3)−→V 1 . (2.1.50)

2.2 Sistemi di coordinate

Coordinate polari sferiche. Nella sezione precedente abbiamo visto come descrivere ipunti in uno spazio tridimensionale mediante le loro coordinate rispetto ad un sistema dicoordinate cartesiane. Quest’ultimo e definito assegnando ai tre assi ortogonali X, Y, Z,un’unita di lunghezza e un’origine O in cui i tre assi si incontrano. Possiamo, alternativa-mente, utilizzare una differente descrizione dei punti nello spazio in termini di coordinatepolari (ved. Fig 2.10). Cio e utile quando si descrivono i sistemi con simmetria sferica, valea dire sistemi che sembrano gli stessi dopo una rotazione generica intorno ad un punto. Peresempio le coordinate polari saranno usate per descrivere il moto di una particella puntiformesu cui agisce una forza centrale.

Riferendosi ad un sistema di assi cartesiani, un generico punto P puo essere descrittodalla sua distanza r dall’origine, dall’angolo θ (π ≥ θ ≥ 0) formato dal vettore

−→OP con ~uz

e dall’angolo ϕ (2 π > ϕ ≥ 0) del quale ~ux dovrebbe essere ruotato, in senso antiorario, per

coincidere con la proiezione di−→OP nel piano XY . L’orientazione positivo per θ (il verso di

θ crescente) e quello che va da ~uz a−→OP percorrendo l’angolo piu piccolo e, analogamente,

il verso positivo per ϕ e quello che va da ~ux alla proiezione di ~r =−→OP nel piano XY

seguendo l’angolo piu piccolo. Ad ogni punto nello spazio possiamo associare tre vettori

2.2. SISTEMI DI COORDINATE 25

Figura 2.10:

ortogonali unitari, ~ur, ~uθ, ~uϕ, definiti come segue: ~ur descrive la direzione orientata, dettaradiale, lungo la quale un punto e spostato partendo da P quando θ e ϕ sono tenuti fissi edr viene aumentato di una piccola quantita : r → r + dr. E facile verificare che ~ur definiscela direzione ed il verso del vettore posizione.

~ur =~r

|~r|. (2.2.1)

Similmente ~uθ descrive la direzione orientata lungo cui un punto P e spostato quando r eϕ sono mantenuti fissi e θ e aumentato da una piccola quantita : θ → θ + dθ. Infine ~uϕ edefinito modo analogo attraverso lo spostamento di P ottenuto tenendo fissi r e θ e variandoϕ di una piccola quantita : ϕ→ ϕ+ dϕ.

In questo modo abbiamo inoltre definito, a partire dal punto P (r, θ, ϕ) tre spostamenti

ortogonali. Il primo e lo spostamento radiale d~r = dr ~ur, il secondo e lo spostamento d~θlungo ~uθ, la cui lunghezza puo approssimarsi (essendo lo spostamento infinitesimo) con l’arcodella circonferenza centrata in O e passante per P (meridiano) a cui sottende l’angolo dθ.

Se dθ e misurato in radianti, allora la lunghezza dell’arco e r dθ e quindi: d~θ = r dθ ~uθ. Il


terzo e lo spostamento d~ϕ lungo ~uϕ la cui lunghezza e approssimata dall’arco della circon-ferenza giacente sul piano ortogonale all’asse Z, centrata su di esso e passante per P (cerchiodi latitudine o parallelo), a cui sottende l’arco dϕ. Essendo il raggio del parallelo passanteper P uguale a r sin(θ), la lunghezza di questo arco e r sin(θ) dϕ. Un generico spostamento

infinitesimo d~ dal punto P (r, θ, ϕ) ad un punto P ′ (r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ) infinitesima-mente vicino ad esso puo essere rappresentato come il vettore somma dei tre spostamentiinfinitesimi:

d~ = d~r + d~θ + d~ϕ = dr ~ur + r dθ ~uθ + r sin(θ) dϕ~uϕ . (2.2.2)

Per una certa classe di problemi e utile esprimere in coordinate polari l’area dS di un elementoinfinitesimo di superfice sferica centrata nell’origine. Tale elemento puo essere preso come laporzione rettangolare infinitesima di una sfera centrata in O e passante per P, con lati |d~θ|e |d~ϕ|:

dS = |d~θ| |d~ϕ| = r2 sin(θ) dθ dϕ . (2.2.3)

In maniera simile, un volume infinitesimo (elemento di volume dV ) e definito, in coordinate

polari, come il volume del parallelepipedo con lati |d~r|, |d~θ| e |d~ϕ|:

dV = |d~r||d~θ| |d~ϕ| = r2 sin(θ) dr dθ dϕ . (2.2.4)

Applicando equazione (2.1.21) al vettore posizione ~r =−→OP , facilmente troviamo le relazioni

tra le coordinate cartesiane (x, y, z) e quelle polari (r, θ, ϕ):

x = r sin(θ) cos(ϕ) ,

y = r sin(θ) sin(ϕ) ,

z = r cos(θ) . (2.2.5)

Coordinate polari nel piano Facendo riferimento al sistema di coordinate polari defi-nite nel paragrafo precedente, vediamo che tutti i punti nel piano XY , avendo z = 0 (oequivalentemente θ = π/2), possono essere descritti mediante solo due coordinate r, ϕ, ved.Fig. 2.11. Queste definiscono le coordinate nel piano e sono utili quando si voglia descrivereparticelle che si muovono in un piano. Ad ogni punto nel piano possiamo associare duevettori unitari ortogonali, ~ur, ~uϕ, i quali definiscono le direzioni ed i versi lungo cui il puntoe spostato se variamo r → r + dr tenendo fisso ϕ e se variamo ϕ→ ϕ+ dϕ, tenendo r fisso,rispettivamente. Il vettore unitario ~ur definisce la direzione radiale rispetto all’origine, converso uscente rispetto ad esso. Cosı come per le coordinate sferiche a tre dimensioni, ~ur inun generico punto del piano definito dal vettore posizione ~r puo essere scritto come

~ur =~r

|~r|. (2.2.6)

Un generico spostamento nel piano d~ assume la seguente forma

d~ = d`r ~ur + d`ϕ ~uϕ , (2.2.7)


le cui componenti sono

d`r = dr ; d`ϕ = r dϕ . (2.2.8)

Le relazioni tra (x, y) e (r, ϕ) si ottengono da (2.2.5) ponendo θ = π2

e sono

x = r cos(ϕ) ,

y = r sin(ϕ) . (2.2.9)

Un elemento infinitesimo di superficie in coordinate polari piane e descritto come lasuperficie del rettangolo limitato dalle circonferenze di raggi r e r + dr e dalle direzioniradiali definite da ϕ e ϕ+ dϕ. I suoi lati sono percio d`r e d`ϕ e la sua area

dS = d`r d`ϕ = r dr dϕ . (2.2.10)

Coordinate cilindriche. Queste coordinate si usano quando si voglia descrivere un siste-ma con simmetria cilindrica, cioe simmetria di rotazione rispetto ad un asse. In questi casiesiste una direzione nello spazio tale che, se l’osservatore ruota intorno ad essa di un angoloqualunque, il sistema sembrera esattamente lo stesso di prima. In questo caso possiamopartire da un sistema di assi cartesiani X,Y, Z in cui Z coincide con l’asse di simmetria delsistema. Un punto P nello spazio puo essere definito univocamente mediante la sua coordi-nata z, la sua distanza r > 0 dall’asse Z e dall’angolo ϕ che il piano contenente l’asse Z edil punto P forma con l’asse X (ved. Fig. 2.12). Le coordinate r, ϕ, z sono dette coordina-te cilindriche. Tenendo fisse due di queste coordinate ed aumentando la rimanente di unaquantita infinitesima, il punto P si spostera lungo le direzioni descritte dai seguenti vettoriunitari ortogonali: ~ur, ~uϕ, ~uz. Un generico spostamento d~ puo essere decomposto lungoqueste tre direzioni

d~ = d`r ~ur + d`ϕ ~uϕ + d`z ~uz , . (2.2.11)

Le componenti sono facilmente ricavabili:

d`r = dr ; d`ϕ = r dϕ ; d`z = dz . (2.2.12)

E utile esprimere in coordinate cilindriche un elemento infinitesimo di superficie dS di uncilindro di raggio r centrato sull’asse del sistema. Esso e l’area di un rettangolo di latid`ϕ, d`z:

dS = d`ϕ d`z = r dz dϕ . (2.2.13)

Un elemento infinitesimo di volume dV puo essere descritto come il volume di un parallele-pipedo con lati d`r, d`ϕ, d`z:

dV = d`r d`ϕ d`z = r dz dr dϕ . (2.2.14)


Figura 2.11:


Figura 2.12:


Capitolo 3

Cinematica

Con il termine Cinematca noi intendiamo lo studio del moto senza considerare le cause chelo determinano o, per meglio dire, gli agenti che lo influenzano, che saranno descritti, nelprossimo capitolo, in termini di forze. Un oggetto e in movimento se la sua posizione, rispettoad un osservatore, cambia con il tempo. Il concetto di moto quindi ha un significato solo seriferito ad un osservatore, ovvero esso e un concetto relativo. Per esempio, rispetto ad unapersona in strada, la macchina che passa e in movimento, mentre e ferma rispetto a ciascunodei suoi passeggeri. Supponiamo di essere in un laboratorio e di voler descrivere il moto di unoggetto. Di che cosa abbiamo bisogno? Il moto e descritto compiutamente se specifichiamo laposizione dell’oggetto in ogni istante. A tale scopo, abbiamo bisogno di definire un sistema diriferimento nello spazio, fissando, ad esempio, tre assi ortogonali, X, Y,Z che si incontranonello spazio in un’origine O. Quindi abbiamo bisogno di uno strumento per misurare ledistanze in certe unita, per esempio un metro. Ed infine abbiamo bisogno di un orologioper misurare gli intervalli di tempo. Equipaggiati con questi strumenti di base, il nostrolaboratorio costituisce un sistema di riferimento rispetto al quale noi possiamo studiareil moto di ogni oggetto. Per esempio, se noi definiamo una particella come un oggettoestremamente piccolo la cui dimensione e molto piu piccola rispetto alle altre lunghezzeconsiderate nel problema, possiamo descrivere completamente il suo moto, assegnando adogni istante t la sua posizione vettoriale ~r(t):

~r(t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz = (x(t), y(t), z(t)) . (3.0.1)

Un diverso osservatore, collocato, ad esempio, in un’automobile che si muove rispetto a noi, eche osserva la stessa particella, non sarebbe d’accordo con noi nella descrizione del suo moto.Rispetto al suo sistema di riferimento, egli trovera una diversa dipendenza rispetto al tempodella posizione della particella ~r ′(t′). Studieremo, in un capitolo successivo, come questedue diverse descrizioni possano essere riconciliate derivando le regole di trasformazione chelegano le grandezze cinematiche misurate nei sistemi di riferimento in moto relativo.

Considereremo anche il moto di corpi di una certa estensione, cioe di corpi la cui dimen-sione non e trascurabile, come nel caso di una particella, ed il cui moto e piu complicatoperche comprende anche rotazioni o vibrazioni. Per esempio, se gettiamo una pietra in ariae vogliamo descriverne il moto, vediamo che la sua posizione in ogni istante non e completa-

31

32 CAPITOLO 3. CINEMATICA

mente determinata da un punto nello spazio. Se la sua forma e irregolare, abbiamo bisognoin ogni momento di specificare la posizione dei vari punti su di essa e tali punti possononon spostarsi in modo solidale durante il moto, ma, anzi, muoversi uno rispetto all’altro,se l’oggetto ruota o vibra. In questo capitolo, per semplicita, noi ci limiteremo alle soleparticelle e definiremo, per questo semplice sistema, le quantita cinematiche fondamentali.

3.1 Velocita e accelerazione

Fissiamo un particolare sistema di riferimento ed introduciamo alcune importanti quantitache caratterizzano il moto. Consideriamo una particella che si muove nello spazio. La suaposizione, al variare del, tempo descrivera nello spazio una curva chiamata traiettoria.

3.1.1 Moto unidimensionale

Dobbiamo come prima cosa analizzare, per semplicita, il moto di una particella in una linearetta, cioe un moto rettilineo (vedi fig.3.1a).

Figura 3.1:

E utile descrivere la posizione della particella in funzione del tempo in termini di una solacoordinata x(t) rispetto ad un sistema di coordinate unidimensionali che noi fissiamo sullastessa traiettoria. Come abbiamo visto nel precedente capitolo, un sistema di coordinateunidimensionale e definito da una sola linea retta su cui sono dati una origine O e unaorientazione positiva (cioe un vettore unitario ~u). Supponiamo che la particella nell’istantet1 sia collocata nel punto x1 e, in un tempo successivo t2, essa sia in x2. Noi vogliamointrodurre una quantita che ci dica “quanto velocemente la particella si e spostata da x1 ax2. Questa quantita e la velocita media nell’intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 definita come:

vmedia =x2 − x1

t2 − t1. (3.1.1)

3.1. VELOCITA E ACCELERAZIONE 33

Se consideriamo, partendo da un certo tempo t, intervalli ∆t = t′ − t sempre piu piccoli,noteremo che avremo valori differenti per la velocita media. Pero, se t′ e abbastanza vicino a t,osserveremo che per ulteriori riduzioni di ∆t la velocita media rimarra approssimativamentecostante e quindi sara indipendente da ∆t. Questo valore limite della velocita media puoessere considerata come caratteristica del moto al tempo t ed e chiamata velocita istantanea.

Piu precisamente la velocita istantanea di una particella nell’istante t e definita come ilvalore limite della velocita media da t a t′ > t quando facciamo tendere t′ a t, cioe la derivatadella posizione rispetto al tempo

v = limt′→t

x′ − xt′ − t

= lim∆t→0

x(t+ ∆t)− x(t)

∆t=dx

dt. (3.1.2)

La velocita istantanea e quindi una quantita che caratterizza il moto in ogni singolo istantet.

Entrambe, la velocita media e la velocita istantanea sono quantita derivate, poiche la lorounita di misura e espressa in termini di unita fondamentali di lunghezza e tempo. Infatti lavelocita ha la dimensione di una lunghezza divisa per il tempo e, quindi, nel sistema SI, emisurata in unita m/sec.

Dalla definizione (3.1.2) possiamo vedere che, se ∆t e un intervallo di tempo abbastanzapiccolo da poter considerare che v pressoche costante in esso, possiamo approssimare laderivata con il rapporto incrementale: ∆x/∆t ≈ dx/dt. Questo ci permette di interpretaredt nel simbolo della derivata come un incremento infinitamente piccolo del tempo (dt echiamato infinitesimale), a cui corrisponde uno spostamento altrettanto piccolo dx. Avendodato a dx e dt questo dignificato, senza pretesa di rigore matematico, possiamo scriverelo spostamento dx della particella durante dt come dx = v dt. Durante un intervallo ditempo finito ∆t, v puo variare. Tuttavia, noi possiamo dividere ∆t = t2 − t1in un numeroinfinitamente grande di intervalli infinitesimali dt1, dt2, . . ., durante ciascuno dei quali v puoessere considerato costante ed uguale a v1, v2, . . . rispettivamente. Lo spostamento totale∆x = x2−x1 durante ∆t puo essere calcolato come la somma degli spostamenti dx1, dx2, . . .durante ogni intervallo di tempo elementare:

∆x = dx1 + dx2 + dx3 + . . . = v1 dt1 + v2 dt2 + v3 dt3 + . . . =

∫ t2

t1

v dt , (3.1.3)

dove abbiamo espresso la soma di un numero infinito di spostamenti infinitesimali comel’integrale di v in dt estesa da t1 a t2. Se durante un intervallo di tempo ∆t la velocitaistantanea non cambia, allora v1 = v2 = v3 = . . . e noi possiamo riscrivere (3.1.3) nellaforma

∆x = v(dt1 + dt2 + dt3 + . . .) = v

∫ t2

t1

dt = v∆t , (3.1.4)

In alter parole, se v e costante durante ∆t possiamo portare v fuori del simbolo dell’integrale.In questo caso, noi vediamo che:

v =∆x

∆t= vmedia , (3.1.5)


Cioe la velocita istantanea in ogni istante, durante ∆t, e eguale alla velocita media. Questomoto e chiamato uniforme durante ∆t.

Consideriamo un istante t entro ∆t, cioe t1 < t < t2 nel quale la particella e in x(t). Ilmoto e ancora uniforme durante ∆t′ = t− t1 e possiamo applicare ad esso la relazione (3.1.5)

v =x(t)− x(t1)

t− t1⇒ x(t) = v (t− t1) + x(t1) . (3.1.6)

Troviamo che, se il moto e uniforme, ad uguali intervalli di tempo ∆t corrispondono egualispostamenti, cioe la dipendenza di x(t) dal tempo durante ∆t e rappresentata da una linearetta nel piano t, X.

Esercizio 2.1 Derivare la seconda equazione nel (3.1.6) rispetto al tempo e ricavare, dalladefinizione (3.1.2) che v e la velocita istantanea in ogni istante durante ∆t.

Exercise 2.2 Considerare un’automobile che si muove, a velocita costante, da x0 = 0 (cioel’origine O) al tempo t0 = 0 fino ad x1 = 1Km al tempo t1 = 10sec. Poi a t1 il guidatoreimprovvisamente frena e inverte il suo moto quasi istantaneamente procedendo a velocitacostante e raggiungendo x2 = 700m al tempo t2 = 16sec.

1. Disegnare la posizione x(t) rispetto al tempo t durante ∆t = t2 − t0;

2. Calcolare la velocita media durante ∆t2 = t2 − t0, ∆t1 = t1 − t0 and ∆t1,2 = t2 − t1;

3. Calcolare la velocita istantanea durante l’intero percorso da t0 a t2.

La fig. 3.2 rappresenta il grafico di x(t) rispetto al tempo t. Esso consiste di due segmenti: ilprimo, da t0 a t1, ha una pendenza positiva e descrive la parte del moto diretto lungo il versopositivo dell’asse X; il secondo, da t1 a t2, ha pendenza negativa e descrive la parte finaledel moto in verso opposto. La velocita media dell’automobile durante il primo intervallodi tempo e v

(1)media = (x1 − x0)/(t1 − t0) = 0.1Km/sec e, poiche il moto e uniforme, la

velocita istantanea v(1) in ogni istante t tra t0 e t1 e la stessa e coincide con la velocitamedia: v(1) ≡ v

(1)media = 0.1Km/sec. Per questo motivo, essendo la velocita istantanea v(2)

costante durante il secondo intervallo, essa coincide con la velocita media v(2) ≡ v(2)media =

(x2− x1)/(t2− t1) = −300/6m/sec = −50m/sec (ved. Fig. 3.2.b). Notiamo che la velocitaistantanea e positiva durante il primo intervallo e negativa durante il secondo. Questo edovuto al fatto che, ad un certo tempo, la velocita istantanea e positiva se la particella simuove in avanti rispetto all’orientazione dell’asse (cioe se dt > 0, dx > 0) mentre e negativase si muove all’indietro (cioe se dt > 0, dx < 0).

Il grafico di x(t) rispetto a t e una utile rappresentazione del moto in una dimensione.Esso e descritto da una curva nel piano t, X che non deve essere confusa con la traiettoriaspaziale della particella, che e sempre una linea retta. La velocita media durante l’intervallodi tempo ∆t = t2 − t1 ha l’interpretazione geometrica della pendenza della linea retta checonnette i due punti A e B della curva x(t) a t1 e t2 rispettivamente (vedi Fig.3.3) Prendendot2 arbitrariamente vicino a t1, il punto B tendera ad A e la linea retta che unisce A a B


Figura 3.2:

tendera alla linea tangente della curva x(t) in A. Poiche per definizione la velocita istantaneav nell’istante t1 e il valore limite della velocita media durante ∆t = t2 − t1 per t2 → t1, essaassume il significato geometrico della pendenza della linea tangente in t1 (vedi Fig. 3.4). Persemplicita, in cio che segue, noi useremo il termine velocita al posto di velocita istantanea.

Durante un certo intervallo di tempo ∆t la velocita istantanea v in genere variera. Oraintroduciamo il concetto di accelerazione di un moto unidirezionale, come la quantita chedescrive il cambiamento della velocita nel tempo. Supponiamo che la particella abbia unavelocita v1 nell’istante t1 e v2 in un istante successivo t2 > t1. Definiamo accelerazione mediadurante un intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 la seguente quantita :

amedia ≡v2 − v1

t2 − t1. (3.1.7)

Partendo da un tempo dato t riduciamo gradualmente ∆t = t′ − t prendendo t′ sempre piuvicino a t. Per un ∆t sufficientemente piccolo, noi noteremo che amedia non variera in modoapprezzabile se noi riduciamo ulteriormente ∆t ma tendera a un valore che caratterizza lostato di moto nell’istante t. Questo valore definisce l’accelerazione istantanea a(t) al tempot.

a(t) = limt′→t

v(t′)− v(t)

t′ − t=dv

dt=d2x

dt2. (3.1.8)


Figura 3.3:

L’accelerazione ha la dimensione di una lunghezza divisa per il quadrato del tempo. Se noiindichiamo con [a] la dimensione di a, possiamo scrivere:

[a] =(lunghezza)

(tempo)2. (3.1.9)

Nel sistema MKSA l’accelerazione e misurata in unita m/sec2.

Se il moto e uniforme durante ∆t allora v e costante e quindi a ≡ 0. Pertanto un mo-to uniforme e caratterizzato dall’annullarsi dell’accelerazione istantanea in ogni istante. Senoi consideriamo un intervallo di tempo sufficientemente piccolo dt durante il quale l’acce-lerazione a puo essere considerata come approssimativamente costante, la variazione dellavelocita durante dt puo essere scritta come dv = a dt. Durante un intervallo di tempo finito∆t, a in genere variera. Seguendo la stessa linea di ragionamento che ci ha permesso diderivare l’espressione (3.1.3) per lo spostamento di una particella in un intervallo di tempofinito ∆t = t2 − t1, noi possiamo dividere ∆t in un numero infinitamente grande di in-tervalli infinitesimali dt1, dt2, . . . durante ciascuno dei quali l’accelerazione istantanea ha ilvalore a1, a2, . . . rispettivamente, e scrivere la variazione della velocita come la somma dellevariazioni dv1, dv2, dv3, . . . of v durante ogni intervallo elementare.

∆v = v(t2)− v(t1) = dv1 + dv2 + dv3 + . . . = a1 dt1 + a2 dt2 + . . . =

∫ t2

t1

a(t) dt .

(3.1.10)


Figura 3.4:

Se a e costante, il moto e chiamato uniformemente accelerato. In questo caso a puo essereportata fuori dal simbolo dell’integrale in (3.1.10) e noi troviamo:

∆v = a∆t . (3.1.11)

Se il moto e uniformemente accelerato tra t1 e t2 > t1, lo e anche durante l’intervallo∆t′ = t − t1 per ogni istante t tra t1 e t2. Applicando l’equazione (3.1.10) all’intervallo∆t′ = t− t1 noi troviamo:

v(t)− v(t1) = a (t− t1) ⇒ v(t) = a (t− t1) + v(t1) . (3.1.12)

Concludiamo quindi che in un moto uniformemente accelerato la velocita dipende linearmen-te dal tempo, cioe la sua dipendenza dal tempo e descritta da un polinomio di grado non piugrande di uno. Allo scopo di trovare la posizione della particella in funzione del tempo inun moto uniformemente accelerato, applichiamo (3.1.3) all’intervallo di tempo ∆t′ = t − t1ed usiamo l’espressione (3.1.12) per v(t)

x(t)− x(t1) =

∫ t

t1

v(t′) dt′ =

∫ t

t1

(a (t′ − t1) + v(t1)) =a

2(t− t1)2 + v(t1) (t− t1) ,

⇓x(t) =

a

2(t− t1)2 + v(t1) (t− t1) + x(t1) . (3.1.13)

Concludiamo che la dipendenza di x(t) da t in un moto uniformemente accelerato e descrittoda una parabola nel piano t, x data dall’equazione (3.1.13).


Nell’equazione (3.1.13) il tempo t1 e un tempo in cui entrambe la posizione e la velocitadella particella sono note. Questi due dati, insieme con l’accelerazione costante a, sonosufficienti a definire l’intero moto della particella, che e descritta dall’equazione (3.1.13).

Esercizio 2.3 Come vedremo nei capitoli seguenti, tutti i corpi sulla superficie terrestrecadono approssimativamente con la stessa accelerazione, che si indica con g ∼ 9.8m/sec2

(in realta la terra non e ne sferica ne omogenea, pertanto il valore di g varia da puntoa punto, anche se di poco). Supponiamo che un corpo che e inizialmente a riposo, sialasciato cadere nell’istante t1 = 2 sec dall’altezza h = 4m. Il grave cadra verso il basso perl’azione della gravita della terra. Noi vogliamo descrivere il suo moto, vale a dire determinarela sua posizione in ogni istante successivo a t1. Poiche il moto e rettilineo e utile fissareun sistema di coordinate unidimensionale, con l’asse verticale X orientato verso l’alto el’origine O sulla superficie della terra. Poiche il grave cadra verso il basso, la sua velocitaad ogni t > t1 sara negativa rispetto al nostro sistema di coordinate, finche non tocchera ilterreno. Durante la sua caduta libera, la velocita assoluta del corpo aumentera, cioe sarasoggetta ad accelerazione. Tuttavia, dal momento che v(t) e negativo, un aumento di v invalore assoluto corrisponde ad una diminuzione di v come numero reale. Pertanto, durantedt > 0, dv < 0 e quindi l’accelerazione rispetto al nostro sistema di coordinate sara negativa:a = −g = −9.8m/sec2. I dati iniziali del problema sono: al tempo t1 = 2 sec, v(t1) = 0 ex(t1) = h = 4m. Usando equazione (3.1.13), troviamo per x(t) la seguente espressione:

x(t) = −9.8

2(t− 2)2 + 4 . (3.1.14)

Il grave tocchera il terreno nell’istante t > t1 quando x(t) = 0. L’equazione x(t) = 0 ha duesoluzioni in t. A noi interessa la soluzione che e maggiore di t1, che e t = 2.9 sec. Nella Fig.3.5 la funzione x(t) e rappresentata rispetto a t.

Come anticipato nel precedente esercizio, un corpo e detto accelerato se il valore assolutodella velocita aumenta con il tempo. Cio avviene se, in un certo istante, v > 0 e a > 0 ov < 0 e a < 0. Si dice che un corpo e decelerato se |v| diminuisce nel tempo e questo e ilcaso in cui v ed a in un certo istante hanno segno opposto.

3.1.2 Moto nello spazio tridimensionale

Consideriamo ora due istanti t1 e t2 > t1 nei quali la particella si trova nei punti P1 e P2 diuna curva. Tali posizioni sono descritte dai vettori ~r1 =

−−→OP1 = ~r(t1) e ~r2 =

−−→OP2 = ~r(t2)

rispettivamente. Supponiamo che ∆t sia l’intervallo di tempo tra t1 e t2 e ∆~r = ~r2 − ~r1 laposizione relativa di P2 rispetto a P1 che misura lo spostamento della particella durante ∆t.Noi definiamo la velocita media della particella tra t1 e t2 (ved. Fig. 3.6.b) Il vettore

~vmedia =~r2 − ~r1

t2 − t1=

∆~r

∆t. (3.1.15)

Notiamo che la distanza percorsa dalla particella durante ∆t non e misurata dalla lunghezzadel vettore spostamento |∆~r|, ma piuttosto dalla lunghezza del tratto della sua traiettoria tra


Figura 3.5:

P1 e P2. Supponiamo di voler caratterizzare il moto della particella nell’istante t1. Possiamoprendere t2 > t1 sufficientemente vicino a t1 cosicche la condizione di moto della particellasia approssimativamente costante durante l’intervallo di tempo ∆t. Possiamo quindi definirevelocita istantanea della particella a t1 come il valore limite della velocita media quando t2si avvicina indefinitamente a t1, cioe quando ∆t si avvicina allo zero

~v(t1) = lim∆t→0

∆~r

∆t. (3.1.16)

Poiche la parte destra di (3.1.16) e, per definizione, la derivata della posizione del vettore ~r(t)rispetto al tempo, calcolato nell’istante t1, noi possiamo scrivere la velocita in ogni istante tcome segue:

~v =d~r

dt. (3.1.17)

Come t2 si avvicina a t1 il punto B si avvicina ad A ed il vettore posizione relativa ∆~r siavvicinera alla linea tangente alla traiettoria nel punto A. Possiamo inoltre notare che piut2 e vicino a t1, e quindi B ad A, meglio la lunghezza |∆~r| del vettore ∆~r approssima lalunghezza ∆s dell’arco della traiettoria tra A e B, cioe la distanza percorsa durante ∆t:

|~v(t1)| =|d~r|dt

= lim∆t→0

|∆~r|∆t

= lim∆t→0

∆s

∆t=ds

dt. (3.1.18)


Figura 3.6:

Dalla definizione (3.1.17), ne consegue che lo spostamento della particella dall’istante tin cui la velocita e ~v(t), durante un intervallo di tempo infinitesimo dt (nel quale ~v eapprossimativamente costante) e

d~r = ~v(t) dt . (3.1.19)

Se vogliamo calcolare lo spostamento totale ∆~r della particella durante un intervallo di tempofinito ∆t = t2− t1, conoscendo la velocita della particella ~v(t) in ogni momento durante ∆t,noi possiamo scomporre ∆t in un numero infinito di intervalli infinitesimali dt1, dt2, . . .,durante ciascuno dei quali la velocita puo essere considerata costante ed e rappresentata dalvettore ~v1, ~v2, . . . . Lo spostamento totale puo essere allora essere calcolato come la sommavettoriale dello spostamento d~rn durante ciascun breve intervallo di tempo dtn (n = 1, 2, . . .).Questa soma e descritta matematicamente da un integrale:

∆~r = d~r1 + d~r2 + . . . =∑n

d~rn =∑n

~vn dtn ≡∫ t2

t1

~v(t) dt . (3.1.20)

Un moto e detto uniforme se la velocita, come vettore, e costante, cioe non deve cambiaresia in grandezza che in direzione. Se il moto e uniforme dall’ equazione (3.1.20) abbiamo~v1 = ~v2 = . . . = ~v e possiamo ottenere ∆~r come segue

∆~r =∑n

d~rn = ~v∑n

dtn ≡ ~v∫ t2

t1

dt = ~v∆t , (3.1.21)


Cioe, essendo ~v costante durante ∆t, abbiamo portato ~v fuori dal simbolo dell’integrale.Supponiamo di avere un moto uniforme con velocita costante ~v e di conoscere la posizionedella particella in un generico istante t1. Per determinare la posizione ~r(t1) della particellain ogni istante t > t1, dobbiamo solo applicare equazione (3.1.21) all’intervallo di tempo∆t = t− t1 e troviamo:

~r(t)− ~r(t1) = ~v (t− t1) ⇒ ~r(t) = ~v (t− t1) + ~r(t1) . (3.1.22)

La precedente equazione ci dice che la traiettoria della particella che si muove con motouniforme e una linea retta lungo la direzione di ~v, orientato come ~v, vedi Fig. 3.7. E spesso

Figura 3.7:

utile descrivere il moto di una particella rispetto al sistema di coordinate cartesiane, conversori ortogonali ~ux, ~uy, ~uz e origine O. Lo spostamento della particella da t1 a t2 diventa

∆~r = ~r(t2)− ~r(t1) = ∆x~ux + ∆y ~uy + ∆z ~uz , (3.1.23)

dove ∆x = x(t2)− x(t1), ∆y = y(t2)− y(t1) e ∆z = z(t2)− z(t1). La velocita media in ∆t e

~vmedia =∆x

∆t~ux +

∆y

∆t~uy +

∆z

∆t~uz . (3.1.24)

Prendendo il limite per ∆t → 0, troviamo la velocita istantanea ~v nelle componenti carte-siane:

~v = vx ~ux + vy ~uy + vz ~uz =dx

dt~ux +

dy

dt~uy +

dz

dt~uz , (3.1.25)


Cioe le componenti cartesiane della velocita sono le derivate delle corrispondenti componentidel vettore posizione. Il moto della particella e ora descritto come la composizione di tremoti lungo le direzioni ortogonali, ciascuna delle quali e descritta dalla velocita istantaneavx, vy, vz. L’equazione (3.1.25) puo essere ottenuta semplicemente derivando il vettore diposizione della particella in (3.0.1) rispetto al tempo, ricordando che i versori del sistemacartesiano non dipendono dal tempo, dal momento che non si muovono con la particella.

Introduciamo ora il concetto di accelerazione, che e particolarmente importante, dalmomento che esso rappresenta la qualita del moto che e direttamente influenzata da un’azioneesterna, cioe da una forza, come vedremo nel prossimo capitolo. L’accelerazione esprime iltasso del cambiamento della velocita rispetto al tempo. A differenza del caso unidirezionale,un vettore in tre dimensioni, come la velocita, puo variare non solo in lunghezza, ma anche indirezione. Definiamo l’accelerazione media di una particella durante un intervallo di tempo∆t = t′ − t come il rapporto tra la variazione della velocita istantanea e lo stesso intervallodi tempo:

~amedia =~v′ − ~vt′ − t

=∆~v

∆t, (3.1.26)

Dove ~v′ and ~v sono le velocita istantanee negli istanti t′ e t rispettivamente. Se t′ e abbastanzavicino a t, la velocita puo essere considerata approssimativamente costante durante ∆t equindi nel limite ∆t→ 0 l’accelerazione media puo essere considerata una caratteristica delmoto nell’istante t. Pertanto noi definiamo la accelerazione istantanea ~a(t) nell’istante tcome il limite dell’accelerazione media per ∆t → 0, che e nient’altro che la derivata dellavelocita istantanea nell’istante t.

~a = lim∆t→0

∆~v

∆t=d~v

dt=d2~r

dt2. (3.1.27)

Se dt e un intervallo di tempo abbastanza piccolo da poter considerare al suo interno lavelocita istantanea all’incirca costante, possiamo esprimere la variazione della velocita in dtcome d~v = ~a dt. Durante un intervallo finito ~a in generale variera. Pero se vogliamo calcolarela corrispondente variazione ∆~v di ~v, possiamo decomporre ∆t = t2 − t1 in un numeroinfinito di piccoli intervalli dt1, dt2, dt3, . . . in ognuno dei quali ~a e costante e rappresentatadai vettori ~a1, ~a2, . . .. Allora ∆~v e espresso come soma vettoriale delle variazioni elementarid~v1 = ~a1 dt1, d~v2 = ~a2 dt2, . . . in ogni intervallo di tempo elementare infinitesimo.

∆~v = ~v(t2)− ~v(t1) = d~v1 + d~v2 + . . . = ~a1 dt1 + ~a2 dt2 + . . . =

∫ t2

t1

~a dt . (3.1.28)

Cosı come abbiamo gia fatto per la velocita, e utile esprimere l’accelerazione, ad un datoistante, in termini delle sue componenti cartesiane. Cio e fatto osservando che la variazionetotale ∆~v = ~v′ − ~v della velocita durante l’intervallo di tempo ∆t = t′ − t puo essere scrittoin componenti cartesiane come segue:

∆~v = ~v′ − ~v = (v′x − vx) ~ux + (v′y − vy) ~uy + (v′z − vz) ~uz = ∆vx ~ux + ∆vy ~uy + ∆vz ~uz .

(3.1.29)


L’accelerazione media durante ∆t ha la forma:

~amedia =∆vx∆t

~ux +∆vy∆t

~uy +∆vz∆t

~uz . (3.1.30)

L’accelerazione istantanea e il limite dell’accelerazione media per ∆t→ 0

~a = ax ~ux + ay ~uy + az ~uz = lim∆t→0

[∆vx∆t

~ux +∆vy∆t

~uy +∆vz∆t

~uz

]=

dvxdt

~ux +dvydt

~uy +dvzdt

~uz =d2x

dt2~ux +

d2y

dt2~uy +

d2z

dt2~uz . (3.1.31)

Nello scrivere i vettori posizione, velocita ed accelerazione di una particella in coordinate car-tesiane, abbiamo decomposto il moto totale in tre moti indipendenti uni-dimensionali lungoi tre assi: il moto lungo l’asse X, descritto da x(t), vx(t) = dx/dt e ax(t) = dvx/dt = d2x/dt2,il moto lungo l’asse Y, descritto da y(t), vy(t) = dy/dt e ay(t) = dvy/dt = d2y/dt2 ed il motolungo l’asse Z, descritto da z(t), vz(t) = dz/dt e az(t) = dvz/dt = d2z/dt2. Osserviamo chequesti tre moti possono essere descritti indipendentemente come tre moti unidimensionalilungo i tre assi cartesiani. Il problema dello studio del moto tridimensionale e ora ridottoal semplice problema di studiare tre moti uni-dimensionali. Come esempio consideriamo il

Figura 3.8:

moto uniforme, descritto dal vettore posizione ~r(t) dato nell’ equazione (3.1.22). L’equazio-ne (3.1.22) e una uguaglianza tra due vettori. Poiche l’eguaglianza tra due vettori sussiste


se e solo se vale l’uguaglianza per ciascuna delle sue corrispondenti componenti, possia-mo riscrivere (3.1.22) come un sistema di tre equazioni che corrispondono alle tre direzionicartesiane

x(t) = vx (t− t1) + x(t1) ,

y(t) = vy (t− t1) + y(t1) ,

z(t) = vz (t− t1) + z(t1) . (3.1.32)

(3.1.33)

Queste sono le equazioni parametriche di una linea retta nello spazio tridimensionale, lungo ladirezione di ~v, che passa per il punto: ~r(t1) = x(t1)~ux+y(t1)~uy+z(t1)~uz. Ciascuna equazionenel sistema (3.1.32) ha la forma (3.1.6) e cosı descrive un moto uniforme uni-dimensionale.

Esercizio 2.3 Si consideri una particella che si muove sul piano XY (la cui coordinata z epertanto nulla (z(t) ≡ 0) il cui vettore posizione come funzione del tempo e dato da:

~r(t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy ,

x(t) = R cos(ωt) ,

y(t) = R sin(ωt) ; R = 1m ; ω = 2π sec−1 (3.1.34)

Determinare la traiettoria, la velocita e l’accelerazione della particella in un istante generico.Se si disegna la posizione della particella nei diversi istanti, ci si puo convincere che la

traiettoria e un cerchio di raggio R. Infatti se calcoliamo la distanza dall’origine al variaredel tempo, ovvero il modulo del vettore posizione, troviamo che essa e costante:

|~r|2 = x(t)2 + y(t)2 = R2 , (3.1.35)

(ved. Fig.3.9.a). Vediamo dalla figura 3.9 che ~r(t) e un vettore che giace sul piano XY, la cuiorigine e fissata nell’origine del sistema di coordinate e la cui punta ruota in senso antiorario.L’angolo ϕ(t) tra ~r(t) e l’asse X e ϕ(t) = ωt ed e misurato in radianti. La quantita ω puoessere interpretata come il tasso di variazione nel tempo dell’angolo ϕ(t) che definisce laposizione della particella lungo il cerchio

ω ≡ dϕ

dt, (3.1.36)

ed e chiamata velocita angolare. Per calcolare la velocita usiamo l’equazione (3.1.25) ederiviamo il vettore posizione rispetto il tempo, derivando ciascuna delle sue componenti.

~v = vx ~ux + vy ~uy + vz ~uz =d~r

dt=dx

dt~ux +

dy

dt~uy +

dz

dt~uz ,

vx = −Rω sin(ωt) ,

vy = Rω cos(ωt) ,

vz = 0 .

(3.1.37)


Figura 3.9:

Possiamo notare che solo la direzione della velocita varia con il tempo, non il suo modulo:

|~v| =√

(vx)2 + (vy)2 = Rω = 2πm/sec . (3.1.38)

Questo moto e chiamato moto circolare uniforme. Se noi rappresentiamo il vettore velocitain ogni istante, possiamo constatare che e certamente tangente alla traiettoria, vedi Fig.3.9.b. E facile verificare che ~v e ~r sono perpendicolari in ogni istante, poiche l’angolo tra essie sempre π/2

~v · ~r = 0 . (3.1.39)

Calcoliamo ora l’accelerazione, usando equazione (3.1.31)

~a = ax ~ux + ay ~uy + az ~uz =d~v

dt=dvxdt

~ux +dvydt

~uy +dvzdt

~uz ,

ax = −Rω2 cos(ωt) ,

ay = −Rω2 sin(ωt) ,

az = 0 .

(3.1.40)

Se noi raffiguriamo a(t) in ogni istante, possiamo vedere che essa e sempre diretta lungo ladirezione radiale, verso il centro, vedi Fig. 3.9.c. Infatti si puo verificare che ~a(t) = −ω2 ~r(t).


Il modulo dell’accelerazione e parimenti costante ed e dato da:

|~a| = Rω2 =|~v|2

R. (3.1.41)

Questa accelerazione e anche chiamata radiale o centripeta. Possiamo comprendere la for-mula anche in un modo piu intuitivo. Consideriamo il vettore velocita ~v e ~v′ nei due istantit, t′ = t+∆t > t, come nella Fig. 3.10.a. I tre vettori ~v, ~v′, ∆v = ~v′−~v formano un triangolo

Figura 3.10:

isoscele ABC (vedi Fig. 3.10.b). Ora osserviamo che l’ angolo ∆ϕ = ω∆t tra ~v and ~v′ euguale all’angolo tra il vettore posizione ~r e ~r′ nei due istanti. Il triangolo OPP ′ definitoda ~r, ~r′ e la corda |PP ′| della circonferenza e parimenti isoscele e pertanto e simile a ABC.Cosı possiamo scrivere:

|BC||AB|

=|PP ′||OP |

⇒ |∆~v||~v|

=|∆~r|R

. (3.1.42)

Ora, prendiamo ∆t molto piccolo, cioe prendiamo il limite ∆t → 0. Questo vuol dire checonsideriamo un intervallo infinitesimo dt. In questo limite la corrispondente variazione∆ϕ ∼ dϕ dell’angolo ϕ sara dϕ = ω dt ed e infinitesima come la lunghezza della corda |PP ′|e quindi puo essere ben approssimata dalla lunghezza dell’arco ds della circonferenza chesottende dϕ.


Usando equazione (3.1.18) possiamo scrivere ds = |~v| dt, e riscrivere la seconda delleequazioni (3.1.42) nel limite ∆t→ 0 in termini di quantita infinitesimali:

lim∆t→0

|∆~v||~v|

=|d~v||~v|

=ds

R=|~v| dtR

, (3.1.43)

e concludere che

|~a| =

∣∣∣∣d~vdt∣∣∣∣ =|~v|2

R. (3.1.44)

Inoltre, poiche la somma degli angoli interni del triangolo e 2π, nel limite ∆ϕ → 0, glialtri due angoli interni al triangolo ABC diventeranno angoli retti e quindi d~v ed ~a sonoperpendicolari a ~v. Questa e una proprieta generale: la variazione infinitesimale di un vettorecon grandezza costante e sempre perpendicolare allo stesso vettore. Il periodo di un motocircolare uniforme e definito come il tempo che impiega la particella a coprire una volta tuttala circonferenza. Quando la particella ritorna nella sua posizione iniziale dopo aver percorsouna volta l’intero cerchio, la variazione totale di ϕ e ∆ϕ = 2π e quindi

∆ϕ = 2 π = ω T ; T =2π

ω. (3.1.45)

Nel nostro caso troviamo che T = 1 sec. E utile descrivere il moto circolare uniforme intermini di coordinate polari r, ϕ nel piano del moto. In queste coordinate il moto e descrittodall’equazione r(t) ≡ R e ϕ(t) = ω t. Queste equazioni, usando (2.2.9), danno (3.1.34). Inquesto sistema di coordinate l’accelerazione centripeta e la velocita hanno la semplice forma:

~a = −v2

R~ur = −ω2R~ur , (3.1.46)

~v = v ~uϕ = ωR~uϕ , (3.1.47)

Dove v = |~v|. E utile definire il vettore velocita angolare ~ω = ω~uz, dove l’asse Z e ortogonaleal piano del moto e la sua orientazione e legata al senso positivo scelto per l’angolo ϕ, nelnostro caso quello antiorario, dalla regola della mano destra. Se ω > 0 la particella si muovein senso antiorario e ~ω e orientato verso l’esterno. Se, al contrario, la particella si muove insenso orario, ω < 0 e ~ω entrera’ nel piano della figura. Lo studente puo verificare che, inogni istante, vale la relazione seguente:

~a = ~ω × ~v . (3.1.48)

Exercise 2.4 Si consideri una palla di cannone che e sparata da un punto della superficiedella terra in un istante iniziale t0 con una velocita iniziale ~v(0). Studiate la traiettoriadescritta dalla palla di cannone durante il suo moto.

Per semplicita fissiamo il nostro sistema di coordinate in modo che il cannone sia postonell’origine O e la velocita iniziale si trovi sul piano YZ. L’asse Z e allora scelto in modo che


sia ortogonale alla superficie terrestre. Poiche la velocita iniziale si trova sul piano YZ, lasua componente lungo l’asse X e zero, v

(0)x = 0, ed avra la seguente formula generale:

~v(0) = v(0)y ~uy + v(0)

z ~uz = v(0) cos(θ) ~uy + v(0) sin(θ) ~uz , (3.1.49)

Dove v(0) = |~v(0)| e θ e l’angolo tra ~v(0) e l’asse Y.Se la distanza percorsa dalla palla e trascurabile rispetto alla estensione della terra (il rag-

gio della terra e approssimativamente R = 6371Km), allora possiamo trascurare la curvaturadella superficie terrestre. Dalla la teoria della gravitazione di Newton sappiamo che, in que-sta situazione, la forza di gravita esercitata dalla terra sulla palla produrra un’accelerazionecostante e diretta verso il basso

~a = −g~uz ; g = 9.8Km/sec2 . (3.1.50)

Vogliamo determinare la posizione della palla ~r(t) in ogni istante t > t0. Partendo dalladefinizione di accelerazione, possiamo scrivere:

~a =d~v

dt=d2~r

dt2. (3.1.51)

Possiamo scomporre il moto nei moti rettilinei componenti lungo i tre assi, riscrivendo laprecedente equazione nei suoi componenti

Z axis : −g =dvzdt

=d2z

dt2,

Y axis : 0 =dvydt

=d2y

dt2,

X axis : 0 =dvxdt

=d2x

dt2. (3.1.52)

Questi tre moti possono essere studiati indipendentemente. I moti lungo gli assi X e Y sonouniformi con velocita v

(0)x e v

(0)y rispettivamente e sono dati da

x(t) = x(t0) = 0 ,

y(t) = v(0)y (t− t0) + y(t0) = v(0)

y (t− t0) = v(0) cos(θ) (t− t0) , (3.1.53)

dove noi abbiamo usato il fatto che v(0)x = 0 e che la palla e situata a t0 nell’origine: x(t0) =

y(t0) = z(t0) = 0. Poiche x(t) ≡ 0 in ogni istante, l’intera traiettoria giacera nel piano YZ. Il moto lungo l’asse Z e uniformemente accelerato e pertanto z(t) e dato dall’equazione(3.1.13)

z(t) = −g2

(t− t0)2 + v(0)z (t− t0) . (3.1.54)

Usando l’equazione (3.1.53), possiamo esprimere t−t0 come una funzione di y ed allora, sosti-tuendo il risultato nell’equazione (3.1.54), possiamo determinare l’equazione della traiettoriaz = f(y) sul piano YZ:

z = f(y) = − g

2(v

(0)y

)2 y2 +

v(0)z

v(0)y

y = − g

2 (v(0))2

cos(θ)2y2 + tan(θ) y . (3.1.55)


Figura 3.11:

La traiettoria e parabolica (vedi Fig. 3.11) e la palla colpira il terreno alla distanza d in cuiz(d) = 0

d =

(v(0))2

sin(2 θ)

g. (3.1.56)

Questa distanza e massima se la palla di cannone viene lanciata a θ = π/4.

Le componenti sono determinate derivando, rispetto al tempo, x(t), y(t), z(t)

vx(t) =dx

dt= 0 ,

vy(t) =dy

dt= v(0)

y = v(0) cos(θ) ,

vz(t) =dz

dt= −g (t− t0) + v(0)

z = −g (t− t0) + v(0) sin(θ) , (3.1.57)

Quanto tempo impieghera la palla a toccare il suolo? Per rispondere a questa domandanoi possiamo trascurare la componente verticale del suo moto e considerare la componenteorizzontale, cioe il moto lungo l’asse Y, che, come abbiamo visto, e uniforme con velocitacostante v

(0)y = v(0) cos(θ). Indichiamo con t1 istante in cui la palla tocca il terreno. Usando

la seconda delle equazioni. (3.1.53), possiamo calcolare la durata totale ∆t = t1 − t0 di volo


dal lancio iniziale all’atterraggio finale. E il tempo che impiega un oggetto che si muovelungo una linea retta con velocita costante v

(0)y a coprire una distanza pari a d:

∆t =d

v(0)y

=d

v(0) cos(θ). (3.1.58)

3.2 Moti relativi

Come accennato all’inizio del capitolo, quello di moto e un concetto relativo, nel senso che lasua descrizione va sempre riferita ad un osservatore. Due osservatori, in moto relativo l’unorispetto all’altro, che studiano uno stesso moto (p.es. di una particella), in generale lo descri-veranno in modo diverso, ovvero i valori delle grandezze cinematiche che essi misurerannonei rispettivi Sistemi di Riferimento (SR) saranno diversi. Il moto di una bicicletta, visto daun osservatore fermo sulla strada sara caratterizzato da una certa velocita, mentre rispettoal ciclista la bicicletta sara ferma. Ma il fenomeno descritto dai due SR e lo stesso. Questosigniica che deve esistere una relazione generale che lega le descrizioni del moto rispetto adue SR in moto relativo, che si esprime come una relazione tre le corrispondenti grandezzecinematiche. Supponiamo di essere dermi rispetto ad un SR, che chiameremo S, definito da

Figura 3.12:

un sistema di coordinate cartesiane ortogonali con assi X, Y, Z ed origine O, e consideriamoun secondo SR S ′, in moto traslatorio rispetto ad S con velocita

−→V , e definito da un sistema

di coodinate cartesiane con assi X ′, Y ′, Z ′ ed origine O′, vedi Figura 3.12.

3.2. MOTI RELATIVI 51

Siano t e t′ i tempi misurati rispetto ad S e S ′. Facciamo l’ipotesi, comunemente assuntanella fisica classica, che il tempo sia assoluto, ovvero che gli intervalli di tempo misuratinei due SR coincidano, in modo che, sincronizzati i due orologi sullo stesso istante inizialet = 0, t′ = 0, abbiamo1

t ≡ t′ . (3.2.1)

Tutti i punti solidali ad S ′, inclusoO′, si muovono rispetto ad S con velocita−→V . In particolare

quindi possiamo rappresentare−→V come la derivata del vettore posizione

−−→OO′(t) rispetto al

tempo:

−→V =

d

dt(−−→OO′) . (3.2.2)

Supponiamo che in un istante t la particella in esame si trovi in punto P , definito dal vettore

posizione ~r(t) =−→OP rispetto ad S e dal vettore ~r ′(t) =

−−→OP ′ rispetto ad S ′. Dalla Figura

3.12 risulta che

~r(t) =−→OP =

−−→OO′(t) +

−−→OP ′ =

−−→OO′(t) + ~r ′(t) . (3.2.3)

Derivando primo ed ultimo membro rispetto a t troviamo una relazione tra le velocita ~v e ~v′

della particella rispetto ad S ed S ′ rispettivamente:

~v =d~r

dt=

d

dt(−−→OO′) +

d~r′

dt=−→V + ~v′ . (3.2.4)

Sia ~aS′ l’accelerazione di S ′ rispetto ad S:

~aS′ =d−→V

dt=

d2

dt2(−−→OO′) . (3.2.5)

Derivando ulteriormente la (3.2.4) rispetto al tempo, troviamo una relazione le accelerazioni~a e ~a′ della particella rispetto ad S ed S ′ rispettivamente:

~a =d~v

dt=d−→V

dt+d~v′

dt= ~aS′ + ~a′ . (3.2.6)

Se S ′ si muove di moto uniforme rispetto ad S,−→V = cost. e quindi ~aS′ = 0. In tal caso

~a = ~a′ . (3.2.7)

Ritorneremo a discutere di questa proprieta quando, nel prossimo capitolo, discuteremo deiSR inerziali.

1Questa ipotesi fu abbandonata all’inizio del secolo scorso da A. Einstein il quale suppose che, propriocome lo stazio, anche il tempo non fosse assoluto. Questo gli permise di formulare la sua Relativita Ristretta,che generalizza della meccanica classica a fenomeni in cui le velocita in gioco sono paragonabili a quella dellaluce.


Supponiamo ora che a t = 0 i due sistemi di coordinate coincidano: X ≡ X ′, Y ≡Y ′, Z ≡ Z ′, O ≡ O′. Supponiamo inoltre che gli assi si mantengano paralleli nel tempo:~ux = ~u′x , ~uy = ~u′y , ~uz = ~u′z. Possiamo scrivere:

~r(t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz ≡ (x(t), y(t), z(t)) ,

~r ′(t) = x′(t) ~u′x + y′(t) ~u′y + z′(t) ~u′z = x′(t) ~ux + y′(t) ~uy + z′(t) ~uz ≡ (x′(t), y′(t), z′(t)) .

Se supponiamo il moto di S ′ rispetto ad S unoforme, ricordando che a t = 0,−−→OO′ = ~0,risulta:

−−→OO′ =

−→V t ≡ (Vx t, Vy t, Vz t) . (3.2.8)

La (3.2.3) si riscrive in questo caso, in componenti, come una relazione tra le coordinatedella particella rispetto ai due SR:

x(t) = Vx t+ x′(t) ,

y(t) = Vy t+ y′(t) ,

z(t) = Vz t+ z′(t) . (3.2.9)

Analogamente per la velocita e le accelerazioni:

vx(t) = Vx + v′x(t) ; ax(t) = a′x(t) ,

vy(t) = Vy + v′y(t) ; ay(t) = a′y(t) ,

vz(t) = Vz + v′z(t) ; az(t) = a′z(t) . (3.2.10)

Le relazioni (3.2.9), (3.2.10) sono note come leggi di trasformazione di Galileo, da GalileoGalilei che per primo le scrisse.

Capitolo 4

Dinamica

Il problema tipico della meccanica e determinare il moto di un corpo che interagisce conl’ambiente circostante caratterizzato dalla presenza di altri corpi, per esempio il moto dellaterra sotto l’azione della forza di gravita del sole e degli altri pianeti del sistema solare.Nel capitolo precedente abbiamo affrontato il problema di descrivere il moto di un corpopuntiforme senza considerare gli agenti che lo influenzano cioe l’azione su di esso dell’am-biente nel quale si muove. In questo capitolo completeremo questa descrizione introducendole leggi fondamentali della meccanica classica, formulate da Galileo Galilei ed Isaac Newton,che mettono in relazione l’azione dell’ambiente su un dato corpo con il suo moto. La partedella meccanica che studia il moto di un oggetto in relazione alle cause che lo determinano,e chiamata dinamica.

4.1 Principio di inerzia e leggi di Newton

Che cosa causa il moto? In che modo l’azione di un corpo su di un oggetto puo causare il motodi quest’ultimo? Fino a Galileo Galilei si credeva che, se non influenzato da un agente esterno,ogni corpo sarebbe stato in condizione di quiete. Questo punto di vista era in un certosenso motivato dall’esperienza di ogni giorno: se noi spingiamo un oggetto su di un pianoorizzontale, questo iniziera a muoversi, anche accelerando, finche noi agiamo su di esso per poirallentare gradualmente fino a fermarsi. La convinzione che, se non sottoposto ad un’azione,ogni corpo rimarrebbe fermo, fu per la prima volta messa in discussione da Galileo che usoil metodo scientifico per indagare questi fenomeni. Per comprendere l’effetto di un’azioneesterna sul moto di un corpo, dovremmo paragonare questo moto a quello di un corpo che none soggetto a nessuna azione, cioe che non interagisce con altri oggetti. Naturalmente un simileoggetto, che chiameremo isolato o libero, non esiste in natura. Ogni corpo sulla superficiedella terra e soggetto all’attrazione gravitazionale ed inoltre, essendo l’azione gravitazionaleavvertita anche ad una distanza infinitamente grande, non possiamo immaginare, nel nostrouniverso, un corpo isolato, poiche esso avvertirebbe l’attrazione gravitazionale di stelle egalassie, non importa quanto queste siano distanti.

Tuttavia possiamo pensare a situazioni sperimentali in cui le influenze esterne su di uncorpo sono molto piccole e di qui estrapolare quale sarebbe il moto di un corpo libero.

53

54 CAPITOLO 4. DINAMICA

L’azione di un corpo su di un altro e descritta in termini di una quantita fisica chiamataforza di cui in seguito verra data una definizione operativa.

Torniamo all’esempio di un oggetto che si muove su di un piano orizzontale. Quando simuove esso e sottoposto all’azione di tre forze: la forza di gravita terrestre che lo attira versoil centro della terra, la reazione del piano che si oppone alla forza di gravita e ne compensagli effetti, cosı che l’oggetto non cade ma continua a rimanere in posizione verticale; infine,c’e una forza di attrito esercitata dal piano orizzontale sull’oggetto, che si oppone al suomoto e lo fa rallentare ed infine fermare. Questo oggetto non puo certamente considerarsiisolato. Tuttavia, possiamo trascurare l’effetto su di esso della forza di gravita,, poiche essae compensata dalla reazione del piano, e concentrarci sui soli effetti che la forza d’attritoesercita sul suo moto. Possiamo ridurre l’attrito rendendo il piano piu levigato e, nello stessotempo, prendendo un oggetto di forma sferica. Nel fare cio, vediamo che l’oggetto, dopo unaspinta, impieghera piu tempo per fermarsi e percorrera distanze piu lunghe. Come caso limitepossiamo prendere un oggetto che e separato dal piano orizzontale levigato da un cuscinettod’aria, cosı che la forza dell’attrito divenga trascurabile1. Questo e quanto di meglio possiamoottenere sulla terra per simulare un oggetto libero. Constateremo che l’oggetto continueraa muoversi alla stessa velocita per sempre, o per lo meno fino a quando non decideremo difermarlo. Estrapolando i risultati di queste osservazioni, possiamo dedurre che le forze nonsono responsabili dello stato di moto di un corpo, cioe della sua velocita, ma piuttosto essedeterminano un suo cambiamento, cioe una accelerazione. Quando noi spingiamo su di untavolo un oggetto che e inizialmente fermo, esercitiamo una forza e, come conseguenza di cio,il suo stato di moto cambiera. L’oggetto acquistera velocita e quindi accelerera. Dopo chelasciamo l’oggetto, la forza di attrito rallentera il moto dell’oggetto che decelerera. L’effettodi una forza e quindi, sempre un’accelerazione, intesa come variazione di velocita. Possiamoapprofondire la nostra analisi e mostrare sperimentalmente che l’accelerazione dovuta a unadata forza non dipende dalla velocita iniziale dell’oggetto.

4.1.1 Prima e seconda legge di Newton’s

Da queste osservazioni, Galileo pote formulare il suo Principio di inerzia che poi fu riformu-lato da Newton in questi termini:

Ciascun corpo persistera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finche none indotto a cambiare il suo stato da forze che agiscono su di esso.

Questa e anche conosciuta come Prima legge di Newton del moto. Come abbiamo anti-cipato nel precedente capitolo, non esiste una nozione di moto assoluto. La descrizione delmoto e sempre riferita ad un determinato sistema di riferimento.

Supponiamo di essere seduti su di una piattaforma ruotante all’interno del laboratorio.Descriveremo cio che vediamo rispetto ad un sistema di riferimento che e a riposo rispetto anoi. Dal nostro punto di vista, gli oggetti che sono fermi rispetto al laboratorio, si muoveran-no intorno a noi con moto circolare. Questi oggetti hanno quindi un’accelerazione rispetto

1Spesso si usano dischi a ghiaccio secco (anidride carbinica liquida), studiati in modo tale che, sublimandoil ghiaccio secco, si venga a creare uno strato di anidride carbinica tra la superficie inferiore del disco ed ilpiano su cui esso poggia.

4.1. PRINCIPIO DI INERZIA E LEGGI DI NEWTON 55

a noi senza che nessuna forza agisca su di essi. Sembra che il principio di inerzia non valganel nostro sistema di riferimento. Tuttavia, il nostro sistema di riferimento, cioe noi stessie tutti gli strumenti che noi usiamo per misurare lunghezza e tempo, si muove insieme allapiattaforma. Rispetto ad un osservatore che e fermo rispetto alla terra, il nostro moto e spie-gato in termini di una forza, la forza d’attrito , che e esercitata dalla piattaforma sulla sediasulla quale siamo seduti e, attraverso la sedia, si trasferisce al nostro corpo. Rispetto a taleosservatore tutti gli oggetti nel laboratorio, inclusi noi e i nostri strumenti, obbediscono allaprima legge di Newton, senza eccezione. Possiamo concludere che il principio di inerzia valerispetto ai sistemi di riferimento che non sono essi stessi soggetti a forze, cioe che sono isolati.Questi sistemi sono chiamati inerziali. Come in natura non esistono corpi liberi, cosı nonesistono sistemi inerziali . Essi piuttosto vanno considerati come casi-limite. Un laboratorioche e in quiete rispetto alla superficie terrestre, come la terra stessa, e soggetto all’influenzagravitazionale del sole, della luna e cosı via. Inoltre le forze di coesione lo trascinano conla terra nel suo moto di rotazione intorno all’asse terrestre. Tuttavia, per una certa classedi fenomeni, come il semplice moto di un oggetto su un tavolo, l’effetto di queste influenzeesterne e trascurabile e il laboratorio puo essere considerato, con buona approssimazione,un sistema inerziale. Sistemi inerziali diversi possono, al piu, muoversi con moto uniformegli uni rispetto agli altri. Approfondiremo la nostra discussione sui SR inerziali dopo averintrodotto le leggi di Newton nella sezione 4.4.

Diamo ora una definizione quantitativa di forza, cioe definiamo un procedimento spe-rimentale per misurarla. Possiamo misurare una forza mediante l’accelerazione che essaproduce su un corpo di prova A. Prendiamo, per esempio, il corpo A che e libero di muo-versi su di un tavolo senza attrito e leghiamo ad esso l’estremita di una molla elastica chenoi teniamo dall’altro capo. Se tendiamo la molla fino ad una certa lunghezza, tirando lasua estremita, essa esercitera una forza su A, causandone una accelerazione. Questa accele-razione non dipende dallo stato di moto iniziale di A, ma solo dalla lunghezza di cui e stataestesa la molla, al di la della sua naturale lunghezza. Diremo che due forze sono uguali seproducono la stessa accelerazione su A. Inoltre, definiamo la direzione di una forza come ladirezione dell’accelerazione prodotta. Definiamo la somma di due o piu forze come la forzarisultante dall’azione simultanea di queste forze sullo stesso corpo. Se applichiamo due forzeuguali ad A, aventi la stessa direzione, ne risultera un’accelerazione doppia di quella prodottada ogni singola forza. Allo stesso modo, applicando tre forze uguali, lungo la stessa direzionesullo stesso oggetto, l’accelerazione risultante e tre volte quella causata da ciascuna di esse ecosı via. Possiamo concludere che su un dato corpo la forza e proporzionale all’accelerazioneprodotta.

Fissiamo ora una unita di forza uF che causa una certa accelerazione su A, ad esempio di1m/sec2, ed esprimiamo ogni altra forza in funzione di essa. L’effetto di una forza dipendeanche dalla direzione lungo la quale e esercitata. Per esempio, l’accelerazione del corpoA dipende dalla direzione lungo la quale tiriamo l’elastico e coincide con essa. Possiamodedurre che una forza e quindi, una quantita vettoriale,

−→F , definita da una lunghezza che

misura la sua intensita in unita uF , una direzione ed un verso lungo il quale essa e esercitata.Inoltre, come abbiamo detto, e naturale assumere che la direzione e il verso coincidonocon la direzione ed il verso dell’accelerazione che la forza produce:

−→F ∝ ~a. Da semplici


esperimenti possiamo convincerci che le forze si sommano come quantita vettoriali e non comenumeri: l’effetto dell’azione simultanea di due forze lungo direzioni diverse e un’accelerazionedata dalla somma vettoriale delle accelerazioni che le singole forze produrrebbero se agentiseparatamente. Supponiamo che una forza

−→F 1 che agisce lungo la direzione X su A, produca

un’accelerazione lungo X di 4m/sec2. Se noi applichiamo le due forze su A simultaneamente,il risultato e un’accelerazione ~a di 5m/sec2 lungo una direzione il cui angolo con Y ha

tangente 4/3. Questa accelerazione e prodotta da una forza−→F con la stessa direzione ed

orientazione di ~a, ed intensita F = 5uF . Questo vettore risulta essere la somma delle forze−→F 1 ed

−→F 2. Infatti, poiche

−→F 1 = 4 (uF ) ~ux e

−→F 2 = 3 (uF ) ~uy, troviamo

−→F =

−→F 1 +

−→F 2 ,

F = |−→F | =√|−→F 1|2 + |−→F 2|2 = 5uF . (4.1.1)

Possiamo generalizzare questo risultato dicendo che l’accelerazione prodotta dall’azione si-multanea di due o piu forze e la somma vettoriale delle accelerazioni che ciascuna forzaprodurrebbe se agisse separatamente e che e la stessa accelerazione che sarebbe causata dauna forza uguale alla somma vettoriale di tutte le forze.

In conclusione, possiamo consistentemente definire la forza che agisce su un dato corpocome un vettore che e proporzionale all’accelerazione che essa causa. Finora abbiamo con-siderato forze diverse che agiscono su di uno stesso corpo prova A. Che cosa accadrebbe seapplicassimo la stessa forza a corpi diversi? L’esperienza ci insegna che, se noi applicassimola stessa forza ad una palla da tennis, essa causerebbe una accelerazione che e piu grande diquella prodotta dalla stessa forza su di una palla da foot-ball. Esiste una qualita, che ognicorpo ha, che misura la resistenza che esso oppone al cambiamento del suo stato di moto,cioe all’essere accelerato dall’azione di una forza. Questa qualita e chiamata inerzia e lacorrispondente quantita fisica e chiamata massa inerziale (o semplicemente massa) m. Piugrande e la massa inerziale, piu piccola e l’accelerazione prodotta dall’azione di una stessaforza. Dall’esempio precedente concludiamo che la palla da foot-ball ha una massa inerzialepiu grande della palla da tennis. Supponiamo di applicare la stessa forza F a due corpi Ae B con masse inerziali mA e mB, rispettivamente, e chiamiamo aA e aB le accelerazionicorrispondenti lungo la stessa direzione. Definiamo il rapporto delle masse inerziali comesegue

mB

mA

=aAaB

. (4.1.2)

Se applicassimo una forza diversa F ′ ai due oggetti, essi subirebbero diverse accelerazioni a′Ae a′B, cio nonostante troveremmo:

mB

mA

=aAaB

=a′Aa′B

. (4.1.3)

Concludiamo quindi che il suddetto rapporto dipende solo dai due oggetti e non dalla loroaccelerazione. Possiamo allora fissare la massa inerziale di un oggetto A campione come unita

4.1. PRINCIPIO DI INERZIA E LEGGI DI NEWTON 57

di riferimento mediante la quale misurare la massa inerziale di ogni altro oggetto: mA = um.Per essere precisi la massa inerziale m e misurata in unita um paragonando l’accelerazione ae aA prodotta su esso e sull’oggetto di riferimento A dalla stessa forza

m =aAaum . (4.1.4)

Tutte le considerazioni espresse sopra sono riassunte da una singola formula matematica chee anche conosciuta come la seconda legge di Newton:

~F = m~a = md~v

dt. (4.1.5)

Rispetto a un sistema di coordinate cartesiano ortogonale, possiamo scrivere l’equazione(4.1.5) come tre equazioni nelle componenti corrispondenti:

Fx = max ,

Fy = may ,

Fz = maz . (4.1.6)

L’equazione (4.1.5) e l’equazione di moto di una particella che ha massa inerziale m, nella

quale ~F denota la somma di tutte le forze che agiscono sulla particella in un certo istante e~a e l’accelerazione risultante.

Definiamo ora la quantita di moto (o momento) ~p di una particella di massa m che simuove alla velocita ~v come:

~p ≡ m~v . (4.1.7)

Se la massa inerziale non dipende dal tempo, possiamo portarem dentro il simbolo di derivatanell’equazione (4.1.5), e quindi riscriverla come:

~F =d(m~v)

dt=d~p

dt. (4.1.8)

Questa e la formulazione originale della seconda legge di Newton che risulta avere una validitapiu generale dell’ equazione nella forma (4.1.5). Ad esempio, essa descrive correttamente ilmoto di sistemi in cui la massa m varia con il tempo, come per esempio un razzo che vola eche riduce la sua massa espellendo i gas dovuti alla combustione. Inoltre, l’equazione (4.1.5)e inadeguata nel descrivere il moto di particelle le cui velocita sono paragonabili alla velocitadella luce c = 3 × 108m/sec. In questo limite, chiamato limite relativistico, la meccanicanewtoniana cessa di valere e la massa inerziale di una particella acquista una dipendenzadalla sua velocita. In questo limite la corretta descrizione del suo moto e fornita dalla teoriadella Relativita Speciale di Einstein. Tuttavia si puo dimostrare che l’equazione (4.1.8) valeancora nel limite relativistico a patto che la definizione di ~p venga generalizzata. La correttaforma dell’equazione del moto e pertanto (4.1.8). Essa diviene l’equazione (4.1.5) nel limite incui la velocita della particella e molto piu piccola della velocita della luce (v c, limite non


relativistico) e la massa non dipende sensibilmente dal tempo. In questo corso limiteremo lanostra analisi a sistemi non relativistici per i quali vale la meccanica newtoniana.

C’e un’ultima osservazione da fare sulla definizione di forza. Una forza dovrebbe sempreessere intesa come un vettore che si origina nel punto in cui e applicata. Allora si dice cheil vettore che rappresenta la forza e applicato a quel punto. Solo le forze che sono esercitatesullo stesso punto, p.es. che agiscono sulla stessa particella, possono essere sommate.

Come anticipato nell’introduzione, l’unita di misura della massa nel sistema MKSA e ilKilogrammo (Kg). Poiche la dimensione di una forza, secondo l’eq (4.1.5) e:

[F ] = (massa)× (accelerazione) =(massa)× (lunghezza)

(tempo)2, (4.1.9)

La sua unita di misura nel sistema MKSA, il Newton (N), e definita come:

1N = 1Kgm/sec2 . (4.1.10)

4.1.2 Interazione e terza legge di Newton

Quando spingiamo un mattone su di un piano orizzontale, esercitiamo su di esso una forza.Allo stesso tempo avvertiamo una forza esercitata dal mattone sulla nostra mano. Questaforza puo essere intesa come reazione del mattone alla nostra azione di spinta. Piu forte-mente spingiamo il mattone, piu forte sara la sua reazione sulla nostra mano. In Naturale forze si manifestano sempre nelle interazioni, cioe nelle azioni reciproche fra due o piucorpi: esse non sono mai unilaterali. Ogniqualvolta un oggetto A esercita una forza sull’og-getto B, l’oggetto B esercita nello stesso istante una forza su A2. Quale delle due forze echiamata azione e quale reazione, dipende dalle convenzioni adottate. L’esperienza mostrache ad ogni azione corrisponde una reazione opposta. Esse sono rappresentate da forze cheagiscono rispettivamente sui due corpi in interazione, lungo la stessa direzione, con la stessaintensita, ma con verso opposto vedi fig. Fig. 4.1. Questo e il contenuto della terza leggedi Newton. L’azione e la reazione non possono essere sommate poiche esse sono applicate adue punti diversi. Se esse potessero essere sommate, l’effetto risultante sarebbe nullo, poichesi cancellerebbero a vicenda.

4.2 Metodo statico e dinamico per misurare le forze

Per misurare la forza su un dato corpo, possiamo procedere misurandne l’accelerazione ri-sultante e poi, conoscendo la massa, usare l’equazione del moto (4.1.5). Questa puo esseredefinita misurazione dinamica di una forza. Talvolta e piu conveniente usare un secondoprocedimento, che chiameremo statico. Supponiamo che un corpo sia sottoposto ad una for-za ~F . Esercitiamo sul corpo una seconda forza ~F ′ che possiamo variare finche si raggiungeuna condizione di equilibrio in cui il corpo e in quiete. Cio significa che si ha ~a = 0. Secondo

2Vedremo nella seconda parte del corso come il concetto di azione istantanea a distanza va corretta.

4.2. METODO STATICO E DINAMICO PER MISURARE LE FORZE 59

Figura 4.1:

la prima legge di Newton, se un corpo ha un’accelerazione nulla, la forza complessiva cheagisce su di esso e zero, cioe: ~F + ~F ′ = 0. Conoscendo ~F ′, possiamo quindi determinare ~F .

Come esempio consideriamo una bilancia elastica. Questo strumento consiste in unamolla elastica che e verticalmente sospesa per una estremita. Ci sono alcune caratteristichedella molla elastica che giocano un ruolo importante per il funzionamento appropriato delcongegno. La massa della molla deve essere abbastanza piccola, affinche l’azione della gravitasu di essa sia trascurabile. Dopo averla tirata, la molla dovrebbe tornare alla sua formaoriginaria, caratterizzata da una certa lunghezza di quiete d0. Per allungarla di una lunghezza∆d oltre d0, e necessario applicare alle sue estremita una forza proporzionale a ∆d. Cio puoessere verificato connettendo un capo della molla ad un oggetto prova giacente su di un pianoorizzontale senza attrito, e tirando l’altro capo in modo da causare il suo allungamentoe il conseguente moto dell’oggetto con una certa accelerazione, vedi Fig. 4.2. Secondola terza legge di Newton, la forza esercitata dalla molla sull’oggetto campione e ugualein intensita alla forza che l’oggetto esercita sul capo dell’elastico a cui e legato. Cio cheosserviamo e che l’accelerazione risultante e proporzionale a ∆d. Essendo l’accelerazione asua volta proporzionale alla forza che agisce sul capo dell’elastico, questa forza e anch’essaproporzionale a ∆d.

Torniamo all’elastico verticale. Quando un oggetto e attaccato all’estremita inferiorelibera della bilancia elastica, la forza di gravita W , che agisce su di esso, anche chiamatapeso, e trasferita all’estremita della molla e ne causera allungamento di una certa lunghezza∆d oltre d0. Quando l’oggetto e a riposo, cioe in equilibrio, la forza esercitata su di essodall’elastico deve compensare il suo peso, vedi Fig. 4.3. Per la terza legge di Newton, laprima e uguale in intensita alla forza esercitata dall’oggetto sul capo dell’elastico, la qualee nota in funzione di ∆d. C’e un puntatore solidale con l’estremita libera della molla ilquale puo scorrere lungo una scala graduata. Sulla scala si possono leggere i valori dellaforza necessaria ad allungare l’elastico di lunghezze ∆d note. Partendo dalla posizione del


Figura 4.2:

puntatore in situazione di equilibrio, si puo direttamente leggere il peso W dell’oggetto. Dallamisura del peso dell’oggetto possiamo dedurre la sua massa. Come anticipato nel precedentecapitolo, tutti i corpi che si trovano nello stresso posto sulla superficie della terra cadonocon la stessa accelerazione g. Il valore di g puo variare da punto a punto sulla terra ma solodi poco intorno al valore approssimativo g ∼ 9.8m/sec2. Il peso W di un oggetto di massam corrisponde all’intensita della forza gravitazionale che agisce su di esso sulla superficieterrestre e, di conseguenza, e data dalla seconda legge di Newton: W = mg. Dalla misuradi W , conoscendo g, possiamo dedurre m.

La bilancia chimica permette di misurare il peso di un dato oggetto, paragonandolo, incondizione di equilibrio, con il peso di qualche oggetto standard di massa conosciuta. Cio,quindi, consente di misurare le masse mediante la misurazione statica della forza verso ilbasso che agisce su di esse. Cio deve essere confrontato con la misurazione dinamica dellamassa inerziale, discussa nelle precedente sezione (see equazione (4.1.4)), che esprime la veradefinizione di massa come la resistenza che un oggetto oppone al cambiamento del suo statodi moto.

4.3. IL PROBLEMA GENERALE DELLA MECCANICA DELLA PARTICELLA 61

Figura 4.3:

4.3 Il problema generale della meccanica della parti-

cella

L’obiettivo principale dello studio del moto di una particella puntiforme e di determinare lasua posizione ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) in funzione del tempo t, conoscendo tutte le forze cheagiscono su di essa, dovute all’interazionecon il resto dell’universo. Le forze sono in genereconosciute mediante un’analisi indipendente della natura dell’interazione fra la particella el’ambiente in cui si muove, la quale puo in genere dipendere sia dalla posizione ~r(t) che dallavelocita ~v(t) della particella in un dato istante, anche se noi considereremo solo forze che

sono indipendenti da ~v. Sia−→F =

−→F [~r(t), ~v(t), t] la forza risultante che agisce sulla particella

all’istante t. Possiamo scrivere la forza in componenti cartesiane ortogonali:

−→F = Fx~ux + Fy~uy + Fz~uz = (Fx, Fy, Fz) . (4.3.1)

La seconda legge di Newton diventa:

m~a = md2~r

dt2=−→F [~r(t), ~v(t), t] , (4.3.2)


o, in componenti,

max = md2x

dt2= Fx[x(t), y(t), z(t), vz(t), vy(t), vz(t), t] ,

m ay = md2y

dt2= Fy[x(t), y(t), z(t), vz(t), vy(t), vz(t), t] ,

m az = md2z

dt2= Fz[x(t), y(t), z(t), vz(t), vy(t), vz(t), t] . (4.3.3)

Queste equazioni possono essere viste come relazioni tra le tre funzioni x(t), y(t), z(t), e leloro derivate, prima e seconda, rispetto al tempo, cioe vz(t), vy(t), vz(t) e az(t), ay(t), az(t).Esse sono quindi sono chiamate equazioni differenziali di secondo ordine.

La soluzione ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) delle (4.3.3) esiste sempre ed e unica entro un certointervallo di tempo, una volta che siano fissati i “dati iniziali relativi alla particella, cioe lasua posizione e velocita in un certo istante di riferimento t0: ~r(t0) = ~r(0) = (x(0), y(0), z(0)) e

~v(t0) = ~v(0) = (v(0)x , v

(0)y , v

(0)z ).

Il problema e che ci sono veramente pochi casi nei quali le equazioni (4.3.3) ammettonosoluzioni che possono essere espresse in termini di funzioni analitiche (polinomi, seni, coseni,esponenziali ecc...). Nella maggioranza dei casi le equazioni (4.3.3) possono solo essere risoltenumericamente.

Quando si studia il moto di un sistema di particelle che interagiscono, il primo passo econsiderare ogni particella e scrivere il sistema di forze che agiscono su di essa. Allora perogni particella noi scriviamo il sistema di equazioni (4.3.3) e le risolviamo con una certascelta di dati iniziali, cioe posizione e velocita di tutte le particelle in un dato istante t0.E importante, nel risolvere questo problema, scegliere un sistema di coordinate nel quale leequazioni (4.3.3) abbiano la forma piu semplice.

Esempio 1 Come esempio, consideriamo il moto di una particella di massa m, soggettaalla forza di gravita. E chiaramente conveniente scegliere un sistema di coordinate cartesiane,nel quale uno degli assi, diciamo Z e verticale, in modo che la forza su m abbia una solacomponente non nulla:

−→F W = −mg ~uz. In questo caso le equazioni (4.3.3) si semplificano:

max = md2x

dt2= 0 ,

m ay = md2y

dt2= 0 ,

m az = md2z

dt2= −mg . (4.3.4)

Il moto risultante e la composizione di due moti uniformi lungo gli assi X e Y e di un motouniformemente accelerato lungo Z. Con i dati iniziali esso e descritto da:

x(t) = x(0) + v(0)x (t− t0) ,

y(t) = y(0) + v(0)y (t− t0) ,

z(t) = z(0) + v(0)z (t− t0)− 1

2mg (t− t0)2 , (4.3.5)


ove ~r(0) = (x(0), y(0), z(0)) e ~v(0) = (v(0)x , v

(0)y , v

(0)z ) definiscono la posizione iniziale ~r(t0) e la

velocita iniziale ~v(t0). Questo moto e stato studiato nel paragrafo precedente.

Esempio 2 Consideriamo, come secondo esempio, una particella di massa m che descriveun moto circolare uniforme con velocita angolare costante ω e con un raggio R. Abbiamovisto nel paragrafo precedente che tale particella ha un’accelerazione, l’accelerazione centri-peta, lungo la direzione radiale verso il centro della traiettoria, data dall’equazione (3.1.46).

Per la seconda legge di Newton questa accelerazione e causata da una forza−→F c, chiamata

centripeta, data da:

−→F c[ϕ(t)] = m~a = −v

2

R~ur = −ω2R~ur . (4.3.6)

La dipendenza di−→F c da ϕ(t) puo essere compresa notando che, al variare della posizione

della particello lungo la traiettoria circolare, ruota il vettore ~ur, cioe esso dipende da ϕ(t).Questa forza e costante in intensita ed e perpendicolare alla velocita ~v in ogni istante. Nelprecedente paragrafo, quando abbiamo trattato il moto circolare uniforme da un punto divista cinetico, abbiamo iniziato conoscendo la posizione ~r(t) = (x(t), y(t)) in ogni istantee abbiamo dedotto da essa la velocita e l’accelerazione. Qui vogliamo percorrere la stradaopposta. Partendo dalla forza centripeta

−→F c vogliamo trovare un moto circolare uniforme

come soluzione di (4.3.3). Infatti, rispetto al sistema di assi cartesiani,−→F c ha la forma

−→F c[ϕ(t)] = −ω2R cos(ϕ(t)) ~ux − ω2R sin(ϕ(t)) ~uy , (4.3.7)

ove la dipendenza da ϕ(t) della forza e evidente dal momento che i vettori unita ~ux, ~uy sonocostanti e non dipendono dalla posizione dell’oggetto. Le eqs. (4.3.3) hanno la forma

max = md2x

dt2= −ω2R cos(ϕ(t)) ,

m ay = md2y

dt2= −ω2R sin(ϕ(t)) . (4.3.8)

Vediamo che il moto circolare uniforme descritto dalle equazioni (3.1.34) rappresenta unasoluzione delle (4.3.8), corrispondente ai seguenti dati iniziali a t0 = 0: x(0) = R, y(0) =0, vx(0) = 0, vy(0) = Rω. Questo si puo facilmente verificare calcolando le derivate secondedi x(t) e y(t) in (3.1.34) e sostituendo il risultato nella parte sinistra delle equazioni (4.3.8).

Esempio 3 Consideriamo una massa puntiforme m, attaccata all’ estremita inferiore diun filo inestensibile (di cui possiamo trascurare la massa) di lunghezza L, la cui estremitasuperiore e fissata ad un punto O di qualche supporto. Se spostiamo m dalla direzioneverticale lungo un arco di circonferenza avente centro in O, di raggio L, al momento dirilasciarla, la massa oscillera percorrendo un arco della stessa circonferenza. Questo sistemae chiamato pendolo semplice e ne vogliamo descrivere il moto, vedi Fig. 4.4: Iniziamo conlo scegliere le coordinate appropriate per descriverlo. Poiche il moto ha luogo in un piano


Figura 4.4:

e, in particolare, lungo un cerchio, e conveniente, per descrivere il moto nel piano, ricorrerea coordinate polari r, ϕ, con origine O. Scegliamo inoltre gli assi X e Z rispettivamentelungo le direzioni orizzontale e verticale, cosı che i punti con ϕ = 0 giacciano nella partenegativa dell’asse Z. La posizione della massa durante il suo moto e completamente definitadalle coordinate r ≡ L, ϕ = ϕ(t). Quando la massa e a riposo in direzione verticale, ϕ = 0,mentre ϕ > 0 se la massa e a destra della direzione verticale, e ϕ < 0 se e sul lato opposto3. Possiamo descrivere la posizione della particella mediante la lunghezza s dell’arco dicirconferenza tra la posizione di m e l’asse negativo Z, presi con segno positivo o negativo aseconda che m sia a destra o sinistra di Z, ovvero a seconda del segno si ϕ.

Con questa convenzione possiamo descrivere la posizione di m nell’istante t in termini dis(t) = Lϕ(t). La velocita in ogni punto e diretta lungo la retta tangente alla circonferenza,cioe lungo ~uϕ. Usando l’ equazione (3.1.18) possiamo indicare la velocita come

~v =ds

dt~uϕ = L

dϕ

dt~uϕ = Lω ~uϕ , (4.3.9)

Dove ω = dϕdt

e la velocita angolare (dipendente dal tempo). Benche questo moto sia circolare,esso non e uniforme, poiche ~v varia anche in modulo. Come conseguenza di cio, l’accelera-zione ~a ha una componente (centripeta) in direzione radiale e una componente tangente allatraiettoria, cioe in direzione ~uϕ. Per calcolare queste componenti valutiamo ~a come derivata

3L’angolo ϕ e definito come angolo orientato, ovvero e descritto nel verso che va dal semiasse Z negativofino al filo. Per convenzione, ϕ e negativo se esso e descritto in verso orario, positivo in caso contrario.


rispetto al tempo di ~v in (4.3.9), tenendo conto che anche ~uϕ varia nel tempo con la posizionedella particella, e quindi contribuisce alla variazione della velocita

~a =d

dt~v =

d

dt

(ds

dt~uϕ

)=d2s

dt2~uϕ +

ds

dt

d

dt~uϕ . (4.3.10)

Ora vogliamo calcolare il secondo termine della parte destra della precedente equazione, cioela derivata rispetto al tempo del vettore unita: ~uϕ:

d

dt~uϕ = lim

∆t→0

~uϕ(t+ ∆t)− ~uϕ(t)

∆t. (4.3.11)

L’angolo tra i due vettori successivi ~uϕ(t + ∆t) e ~uϕ(t) e ∆ϕ = ϕ(t + ∆t) − ϕ(t). Pertantopiu piccolo prendiamo ∆t, piu piccolo sara l’angolo tra ~uϕ(t+ ∆t) e ~uϕ(t) e meglio possiamoapprossimare la loro differenza ∆~uϕ = ~uϕ(t+ ∆t)−~uϕ(t) mediante l’arco della circonferenzadi raggio 1, sotteso all’angolo ∆ϕ ved. Fig. 4.5. Per quel che riguarda la direzione delladifferenza ~uϕ(t + ∆t) − ~uϕ(t), essa diventera ortogonale a ~uϕ(t), al limite ∆t → 0, e saraquindi orientata verso O. In alter parole, sara orientata come −~ur. Infatti se consideriamoil triangolo isoscele di lati ~uϕ(t + ∆t), ~uϕ(t) e ∆~uϕ, al tendere a zero dell’angolo al vertice∆ϕ, gli angoli alla base, e quindi l’angolo tra ~uϕ(t) e ∆~uϕ, tenderanno ad angoli retti. Cosınel limite di ∆t infinitesimo, ~uϕ(t + ∆t) − ~uϕ(t) ∼ −∆ϕ~ur, e possiamo scrivere la (4.3.11)nella forma

d

dt~uϕ = lim

∆t→0

~uϕ(t+ ∆t)− ~uϕ(t)

∆t= lim

∆t→0

−∆ϕ

∆t~ur = −dϕ

dt~ur = −ω ~ur . (4.3.12)

L’espressione (4.3.10) per ~a puo ora essere riscritta nella seguente forma:

~a = aϕ ~uϕ + ar ~ur =d2s

dt2~uϕ − Lω2 ~ur ,

aϕ =d2s

dt2= L

d2ϕ

dt2,

ar = −Lω2 . (4.3.13)

Dopo questa analisi cinematica preliminare, vogliamo scrivere l’equazione di Newton relativaa questo moto. La massa m e soggetta alla forza di gravita

−→F W = −mg ~uy ed alla tensione

dell’elastico−→T = −T ~ur, diretta nella direzione radiale verso il centro. Proiettiamo la forza

risultante−→F =

−→F W +

−→T lungo Le direzioni ~ur e ~uϕ:

−→F = Fr ~ur + Fϕ ~uϕ ,

Fr = −T +mg cos(ϕ(t)) ,

Fϕ = −mg sin(ϕ(t)) . (4.3.14)

Non c’e forza agente nella direzione Y, perpendicolare al piano X Z e quindi l’equazione diNewton implica ay = 0. Poiche non vi sono componenti iniziali della velocita lungo Y, il


Figura 4.5:

moto si sviluppera unicamente nel piano X Z, come abbiamo supposto. Possiamo ora scrivereequazioni (4.3.3)

mar = −mLω2 = −mL

(dϕ

dt

)2

= Fr = −T +mg cos(ϕ(t)) (4.3.15)

maϕ = mLd2ϕ

dt2= Fϕ = −mg sin(ϕ(t)) . (4.3.16)

Dalla prima equazione vediamo che l’effetto della tensione dell’elastico T non solo bilanciala spinta verso l’esterno, dovuta alla gravita, ma causa anche l’accelerazione centripeta, ne-cessaria al moto circolare. L’equazione (4.3.16) puo essere risolta in ϕ(t), mentre l’equazione(4.3.15) puo essere usata per determinare T . Concentriamoci ora sull’equazione (4.3.16)

d2ϕ

dt2= − g

Lsin(ϕ(t)) . (4.3.17)


Questa e un’equazione differenziale di secondo ordine che non ha soluzioni analitiche e quindipuo essere risolta soltanto con metodi numerici. L’equazione (4.3.17) puo essere risoltaanaliticamente per piccole oscillazioni, cioe se noi perturbiamo m dalla sua posizione diquiete (lungo la linea verticale), di un piccolo angolo ϕ0 ∼ 0.

Quando ϕ(t) e piccolo, possiamo approssimare la funzione seno mediante il suo argomen-to:

sin(ϕ(t)) ≈ ϕ(t) (piccolo ϕ(t)) , (4.3.18)

E l’equazione (4.3.17) sara scritta nella forma

d2ϕ

dt2+ ω2

0 ϕ(t) = 0 , (4.3.19)

ω20 =

g

L. (4.3.20)

L’equazione (4.3.19) e come vedremo, l’equazione del moto di un oscillatore armonico. Lasua soluzione generale ha la forma

ϕ(t) = A sin(ω0 t) +B cos(ω0 t) , (4.3.21)

come si puo facilmente verificare. A e B sono due parametri che si determinano specificandole condizioni iniziali, cioe posizione e velocita dim nell’istante t = 0. Supponiamo di rilasciareil pendolo ad un angolo iniziale ϕ(t = 0) = ϕ0 senza velocita iniziale: dϕ

dt(t = 0) = 0. Con

queste condizioni si ottiene A = 0, B = ϕ0 e la soluzione assume la forma:

ϕ(t) = ϕ0 cos(ω0 t) . (4.3.22)

Questa soluzione descrive le piccolo oscillazioni del pendolointorno alla direzione verticale.Il periodo T di questo moto, cioe il tempo che occorre perche m completi la sua oscillazionee ritorni alla sua posizione e velocita originaria e costante ed e dato da

T =2π

ω0

= 2π

√L

g. (4.3.23)

Inoltre, esso non dipende dall’ampiezza 2ϕ0 dell’oscillazione finche ϕ0 e piccolo.Nella posizione ϕ = 0 il peso di m e esattamente bilanciato dalla tensione dell’elastico

e la forza totale e quindi zero. Questo punto e chiamato posizione d’equilibrio del pendolo.Se noi posizioniamo a t = 0 la massa m nella posizione di equilibrio, ϕ(t = 0) = ϕ0 = 0, convelocita iniziale nulla, dϕ

dt(t = 0) = 0, i coefficienti A, B saranno fissati a zero e la risultante

soluzione sara ϕ(t) ≡ 0, cioe il pendolo sara in posizione di equilibrio in ogni istante t > 0. Laposizione ϕ = 0 e anche detta posizione di equilibrio stabile poiche se perturbiamo di poco laposizione della massa dalla verticale, scegliendo p.es. un’angolo iniziale ϕ0 sufficientementepiccolo, il suo moto si svolgera in un intorno comunque piccolo di ϕ = 0 (nel nostro caso lamassa oscillera con un’ampiezza 2ϕ0)

Il moto del pendolo e le sue caratteristiche furono studiati per la prima volta da GalileoGalilei.


Oscillatore armonico Consideriamo un blocco di massa m, che giace su di un pianoorizzontale senza attrito legato ad una estremita di una molla elastica, il quale e fissatoall’altra estremita, come in fig. 4.6. Supponiamo che la massa della molla sia trascurabile.Fisseremo l’asse X lungo l’elastico con l’origineO coincidente con l’estremita fissa. Se la molla

Figura 4.6:

non e deformata la sua lunghezza e x0. Come abbiamo gia detto, la molla e caratterizzata,come tutti gli oggetti elastici, dalla proprieta di resistere ad ogni deformazione sviluppandouna forza che si oppone ad essa. Infatti, se la molla viene allungata fino ad una lunghezzax > x0, essa esercitera alle sue estremita una forza verso l’interno

−→F e la cui intensita e

proporzionale alla deformazione x − x0, se la deformazione non e troppo grande. D’altraparte, se compressa ad una lunghezza x < x0, la forza alle sue estremita sara diretta versol’esterno, ma sempre proporzionale in intensita a x − x0. La direzione della forza che essaesercita alle sue estremita e sempre tale da opporsi alla deformazione e tendera a riportare lamolla alla sua originaria lunghezza. La forza elastica che la molla sviluppa alle sue estremita,se deformata, avra quindi la seguente espressione:

−→F e = −ke (x− x0) ~ux , (4.3.24)

Dove ke e detta la costante elastica della molla e misura quanto essa sia “rigido: piu grandee ke, piu difficile e deformare la molla. Se portiamo il blocco in posizione x = x1 > x0


nell’istante t = 0, tirando in tal modo l’elastico e poi rilasciandolo, per azione della forzaelastica esso oscillera intorno alla posizione x0: finche x > x0 il blocco sara tirato dall’elasticoverso O. Appena x = x0 il corpo non e soggetto ad alcuna forza e procede con la velocitache ha acquistato. Come per il caso del pendolo, la posizione in cui la forza totale agentesulla massa, nel nostro caso la sola forza elastica, e zero e chiamata posizione d’equilibrio.Quando x < x0 il blocco e spinto verso l’esterno, la sua velocita si reduce in intensita finche ilsuo moto si inverte e il corpo inizia a muoversi verso l’interno. Dopo un tempo caratteristicoT (periodo), il blocco tornera nella sua posizione originaria. Questo sistema e chiamatooscillatore armonico. Analizziamo ora il solo blocco e scriviamo le forze che agiscono sudi esso in ogni istante. Il blocco e soggetto alla forza gravitazionale

−→F W , alla reazione del

tavolo−→N , che e perpendicolare al piano, ed alla forza elastica del filo elastico

−→F e. Poiche

non c’e moto in direzione verticale la reazione normale−→N compensa esattamente il peso:−→

F W +−→N = 0. Il moto e unidimensionale ed e descritto dalla posizione x(t) del blocco in

funzione del tempo. L’accelerazione pertanto ha la forma:

~a =d2x

dx2~ux . (4.3.25)

Ora possiamo scrivere l’equazione di Newton (4.3.3) per il blocco, lungo la direzione X:

m~a =−→F e ⇒ m

d2x

dt2= −ke (x− x0) . (4.3.26)

Se definiamo x = x− x0, la suddetta equazione puo essere riscritta nella forma:

d2x

dt2+ ω2

0 x = 0 , (4.3.27)

ω20 =

kem. (4.3.28)

Notiamo che l’equazione (4.3.27) ha la stessa forma dell’equazione (4.3.19) che descrive lepiccole oscillazioni del pendolo. La sua soluzione generale ha la forma:

x(t) = x(t)− x0 = A sin(ω0 t) +B cos(ω0 t) , (4.3.29)

Dove, come nel caso del pendolo, i coefficienti A, B sono fissati dalle condizioni iniziali. De-rivando x(t) rispetto al tempo, calcoliamo la componente X della velocita e dell’accelerazione

v(t) =dx

dt= Aω0 cos(ω0 t)−B ω0 sin(ω0 t) ,

a(t) =dv

dt= −ω2

0 x(t) . (4.3.30)

Se scegliamo come dati iniziali la posizione e la velocitadel blocco x(t = 0) = x1, cosı chex(t = 0) = x1−x0, e v(t = 0) = 0, i coefficienti diventano A = 0 e B = x1−x0. La soluzionerisultante e :

x(t) = x0 + (x1 − x0) cos(ω0 t) . (4.3.31)


Lo studente e invitato a disegnare x(t) assegnando diversi valori a x0, x1 e ω0. Il periododell’oscillazione e:

T =2π

ω0

= 2π

√m

ke. (4.3.32)

Notiamo che se noi iniziamo con il blocco a riposo, v = 0, nella posizione di equilibrio

Figura 4.7:

x(t = 0) = x0, i coefficienti A, B in (4.3.29) dovrebbero essere uguali a zero e la soluzionesarebbe: x(t) ≡ 0⇔ x(t) ≡ x0, cioe il blocco sara in posizione di equilibrio per sempre.

4.4 Sistemi di riferimento inerziali e forze inerziali

Nella sezione 3.2 del capitolo precedente abbiamo descritto le leggi di trasformazione chelegano le descrizioni di un moto fatte rispetto a due SR in moto relativo. L’equazione (3.2.6)in particolare mette in relazione le accelerazioni di una particella misurate rispetto ai dueSR S ed S ′, e coinvolge l’accelerazione ~aS′ del SR S ′ rispetto ad S. Supponiamo ora che Ssia un SR inerziale. Questo significa che l’accelerazione ~a misurata rispetto ad S e causatada una forza risultante (eserciata da altri corpi sulla particella) ~F ed e ad essa legata dalla

4.4. SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI E FORZE INERZIALI 71

legge:

~F = m~a . (4.4.1)

Se S ′ si muove rispetto ad S di moto uniforme, ~aS′ = ~0 ed ~a′ = ~a. Questo comporta cheanche l’accelerazione misurata in S ′ sia spiegabile in termini della stessa forza

~F = m~a = m~a′ . (4.4.2)

Poiche una qualsiasi accelerazione osservata in S ′, per questo motivo, risulta spiegabile intermini di una azione di altri corpi sulla particella, anche S ′ sara inerziale.

Mostriamo adesso che, se il moto di S ′ rispetto ad S inerziale e accelerato, S ′ non einerziale. Infatti, dalla (3.2.6), troviamo che

~a′ = ~a− ~aS′ . (4.4.3)

Vediamo che l’accelerazione ~a′ e espressa come somma di un contributo ~a, dovuta all’azionedi una forza, essendo S inerziale, piu un termine −~aS′ non dovuto ad alcuna azione esterna,ma legata al moto accelerato del SR. Per questo, anche se la particella non fosse soggetta adalcuna forza, ~F = 0 = ~a, si osserverebbe rispetto ad S ′ una accelerazione pari a:

~a′ = −~aS′ . (4.4.4)

Non essendo tale accelerazione dovuta ad una forza agente sulla particella, concludiamo chenon vale in S ′ il principio di inerzia, ovvero che S ′ non e un SR inerziale.

Quanto detto dimostra la seguente importante proprieta dei SR inerziali:I sistemi di riferimento inerziali sono in moto relativo uniforme gli uni rispetto agli altri.Supponiamo che un’osservatore solidale con S ′ insista a voler scrivere la seconda legge diNewton nel proprio SR. Egli spieghera la componente −~aS′ dell’accelerazione ~a′ , legata almoto del proprio SR, come l’effetto di un nuovo tipo di forza, non dovuto all’azione di altricorpi sulla particella in esame. Tale forza e detta forza inerziale o fittizia ed e definita nelseguente modo:

~Finerziale ≡ −m~aS′ . (4.4.5)

Se moltiplichiamo ambo i membri della (4.4.3) per m ed usiamo la (4.4.1), troviamo

m~a′ = m~a−m~aS′ = ~F + ~Finerziale . (4.4.6)

L’osservatore solidale con S ′ potra quindi ancora scrivere la seconda equazione di Newton,a patto di includere tra le forze, oltre a quelle fisiche dovute all’azione di altri corpi sullaparticella, le forze fittizie legate al moto accelerato del proprio SR.

Consideriamo come esempio una macchina che procede con velocita costante−→V . Sul suo

cofano e poggiata una valigetta che procede, come ogni oggetto sulla macchina, con la stessavelocita

−→V . Ad un certo istante la macchina decelera fino a fermarsi. La valigetta scivola sul

cofano senza attrito fino a cadere per terra. Vediamo come questo stesso fenomeno e visto


Figura 4.8:

da due osservatori: uno fisso rispetto al suolo (SR S), l’altro alla guida della macchina (SRS ′ solidale con la macchina). Per l’osservatore in S la macchina frena, ovvero e soggetta ad

una accelerazione opposta alla sua velocita, dovuta ad una forza ~F che si origina dall’attritodelle ruote contro l’asfalto e che si trasmette ad ogni cosa all’interno della macchina, inclusoil guidatore. Essa pero non si trasmette alla valigetta, a causa dell’attrito trascurabile diquesta con la superficie del cofano. La valigetta continuera il suo moto iniziale con velocita−→V , scivolando sul cofano e cadendo per terra per effetto della gravita, vedi Figura 4.8 in alto.Ogni accelerazione che l’osservatore fermo sulla strada osserva e effetto di una forza. Perquesto fenomeno il SR S e una buona approssimazione di un SR inerziale. Vediamo invececosa osserva il guidatore (SR S ′). Esso osserva la valigetta che, nel momento in cui egli iniziaa frenare, si mette in moto in avanti, ovvero subisce una accelerazione, apparentemente nondovuta ad una qualche azione su di essa. Il SR S ′ e quindi chiaramente non inerziale.

Analizziamo il fenomeno quantitativamente. Rispetto ad S la valigetta, mentre la mac-china frena con una accelerazione ~aS′ in verso opposto a

−→V , prosegue con velocita costante

(ignoriamo l’effetto della gravita), ovvero ~a = 0. Rispetto ad S ′ l’accelerazione della valigettasara data dalla (4.4.4): ~a′ = −~aS′ . Il guidatore, per poter descrivere il moto della valigetta

da lui osservato, deve ricorrere ad una forza inerziale ~Finerziale = −m~aS′ diretta in avanti,che causa lo scivolamento della valigetta: m~a′ = ~Finerziale, vedi Figura 4.8 in basso.

Riprendiamo l’esempio della piattaforma rotante con velocita angolare costante. Unosservatore solidale con il laboratorio (SR S) osserva un osservatore seduto sulla piattaformache rota assieme ad essa (SR S ′). Per l’osservatore in S l’osservatore in S ′ si muove assieme

4.5. FORZE DI ATTRITO 73

Figura 4.9:

alla piattaforma con moto circolare uniforme. La sua accelerazione centripeta ~a = −v2

R~ur

e dovuta alla forza di attrito statico esercitata dalla piattaforma sulla sedia e trasmessaall’intero osservatore in S ′. Essa funge da forza centripeta: ~Fattrito = m~a = −m v2

R~ur, vedi

Figura 4.9 in alto. Rispetto ad S ogni accelerazione ossservata e effetto di una forza. QuestoSR puo essere considerato, ai fini di questo esperimento, inerziale. Consideriamo adessocome l’osservatore in S ′ vede se stesso. Nel proprio SR egli e fermo, quindi ~a′ = 0. Infattil’accelerazione ~aS′ di S ′ rispetto ad S e proprio ~a: ~aS′ = ~a. Il suo essere fermo e interpretato,alla luce dell’equazione di Newton in S ′ (4.4.6), come un equilibrio tra la forza di attritodovuta alla piattaforma e la forza inerziale:

~Finerziale = −~Fattrito = −m~a = mv2

R~ur . (4.4.7)

Questa forza inerziale, uguale ed opposta alla forza centripeta osservata in S, e detta forzacentrifuga ed e quindi diretta verso l’esterno, vedi Figura 4.9 in basso. Essa e la forza chetutti noi proviamo quando in macchina curviamo, e ci spinge verso l’esterno della curva.Essa e tanto piu intensa quanto piu stretta e la curva (piu piccolo R) o tanto maggiore e lanostra velocita v.

4.5 Forze di attrito


Attrito da scorrimento Se osserviamo un oggetto che si muove su di un piano orizzontale,non soggetto ad altre forze se non quelle legate al contatto con la superficie stessa, noteremoche esso rallentera fino a fermarsi. Piu la superficie e liscia, piu tempo impieghera l’oggettoper fermarsi. Dal momento che esso e soggetto ad una decelerazione, il principio di inerzia cidice che, durante il suo moto, deve esistere una forza che agisce sull’oggetto e che si opponeal suo moto. Poiche il solo altro oggetto che e in contatto con lui e il piano orizzontale sucui esso si muove, concludiamo che e il piano stesso ad esercitare una forza sull’oggetto inmovimento. Questa forza, chiamata attrito e tangente alla superficie del moto ed il suo verso eopposto a quello della velocita. Studiamo questa forza un po piu in dettaglio. Consideriamoun oggetto che e inizialmente a riposo su di un tavolo orizzontale. Applichiamo ad essouna forza

−→F , legandolo ad una estremita di un filo elastico e tirando l’altra estremita cosı

che possiamo misurare la forza esercitata in base all’allungamento dell’elastico. Osserviamoche, se l’intensita F della forza e troppo piccola, essa non fara muovere l’oggetto. Ma sel’intensita della forza sara superiore ad un valore ben definito F > Fs, l’oggetto inizieraa muoversi. Questo si spiega in termini di una forza di attrito, chiamato attrito statico,che e esercitata dalla superficie sull’oggetto, nel momento in cui cerchiamo di metterlo inmoto tirandolo. Essa e tale da bilanciare esattamente la forza esterna

−→F da noi applicata,

fintanto che l’intensita di quest’ultima non supera un valore caratteristico Fs, e quindi damantenere l’oggetto fermo. Osserviamo inoltre che, una volta che l’oggetto e in moto, alfine di mantenerlo in moto a velocita costante e necessario ridurre l’intensita della forzaF applicata ad esso ad un valore inferiore ad Fs. Questo significa che l’attrito

−→F k, che e

chiamato attrito dinamico. La sua intensita e piu piccola di Fs, ovvero l’intensita massimadell’attrito statico: Fk = |−→F k| < Fs. Inoltre si trova che

−→F k ha sempre la stessa direzione

della velocita ~v dell’oggetto, ma verso opposto, cosı da resistere al suo moto. In altre parole,se descriviamo la direzione e il verso di ~v mediante il vettore unita ~u = ~v/v, possiamo

scrivere:−→F k = −Fk ~u. Dall’osservazione sperimentale si deduce che entrambi Fs e Fk

sono indipendenti, in buona approssimazione, dall’area di contatto delle superfici e sonoproporzionali all’intensita N della forza perpendicolare ~N esercitata dal piano sull’oggettoche giace su di esso.

Fs = µsN ; Fk = µkN . (4.5.1)

I due parametri µs, µk sono chiamati coefficienti di attrito statico e cinetico e dipendono dalleproprieta fisiche dei due corpi a contatto. In genere vi e una dipendenza di µk dalla velocitadell’oggetto. Tuttavia risulta che questa dipendenza e trascurabile entro un intervallo abba-stanza ampio di valori della velocita e quindi che possiamo non tenerne conto nell’affrontarela maggior parte dei problemi. L’attrito, come forza che agisce tra due superfici a contatto,si origina dalle forze di interazione e di coesione tra le molecole dei due oggetti. Se osservateal microscopio, le due superfici appaiono estremamente irregolari e solo le parti prominentidei loro profili, che rappresentano una piccola frazione della superficie totale, sono veramentea contatto. E in questa regione piu piccola che le interazioni fra le molecole dei due oggettihanno effettivamente luogo e la sua estensione aumenta con la forza perpendicolare N cheschiaccia un oggetto contro l’altro. L’intensita del risultante attrito dipendera solo dall’areadi questa regione effettiva di contatto tra le due superfici e quindi aumentera con N .

4.5. FORZE DI ATTRITO 75

Moto nei fluidi: attrito viscoso Un corpo che si muove attraverso un fluido (noi trat-teremo le proprieta fisiche dei fluidi in un capitolo successivo) sotto l’azione di una forza

esterna, ~F , e soggetto alla forza esercitata dal fluido intorno ad esso, chiamata attrito vi-scoso

−→F f . Questa forza si oppone al moto del corpo, poiche e sempre diretta nella stessa

direzione della sua velocita, ma in verso opposto. La sua dipendenza dalla velocita ~v delcorpo, a condizione che v = |~v| non sia troppo grande, e descritta dalla formula:

−→F f = −K η~v , (4.5.2)

dove K dipende dalla forma del corpo (per un oggetto sferico di raggio R, risulta essereK = 6π R) ed η e il coefficiente di viscosita. Esso misura la viscosita del fluido la quale siorigina dallo scorrimento di strati del fluido l’uno rispetto all’altro. Nel nostro caso possiamopensare ad uno strato di spessore infinitesimo di fluido, aderente alla superficie dell’oggetto,che viene trascinato dall’oggetto stesso alla sua stessa velocita, a seguito dell’interazione trale molecole sulla sua superficie e quelle del fluido. Questo strato sara quindi in moto relativorispetto agli strati di fluido piu esterni. Le forze di interazione tra le molecole di due stratidi fluido adiacenti in moto relativo, all’origine del fenomeno della viscosita, hanno l’effetto dicoinvolgere gli strati via via piu lontani nel moto dell’oggetto, ma con velocita che diminuisceall’aumentare della distanza dall’oggetto stesso.

Considerando−→F f , l’equazione di Newton per il corpo sara:

m~a =−→F +

−→F f =

−→F −K η~v . (4.5.3)

Possiamo scomporre questo moto in una componente nella direzione di−→F e in una com-

ponente ortogonale ad esso. Quest’ultima componente e soggetta solo alla forza d’attritoche ridurra la corrispondente componente della velocita. Pertanto, dopo un certo tempo,~v sara diretta nel verso

−→F . L’effetto della forza esterna cosı aumentera v fino a che essa

raggiungera il valore vL, chiamato velocita limite, nel quale l’attrito bilancera esattamentela forza esterna:

−→F −K η~vL = 0 ⇒ ~vL =

1

K η

−→F . (4.5.4)

Quando la velocita limite viene raggiunta, il corpo continuera il suo moto a velocita costante.Se il corpo cade sotto l’azione della gravita della terra:

−→F = −(m−mf ) g ~uz, essendo Z l’asse

verticale orientato verso l’alto e la velocita ~vL = −vL ~uz ha la seguente intensita

vL =(m−mf ) g

K η. (4.5.5)

La componente mf g ~uz nella forza, che si oppone alla forza peso −mg ~uz, descrive l’effettodella spinta di Archimede esercitata dal fluido circostante sul corpo in moto al suo interno.Infatti, come vedremo in seguito, questa spinta verso l’alto, secondo il principio di Archimede,e uguale in intensita al peso della massa mf del fluido spostato dall’oggetto. I tre tipi diattrito trattati finora sono riassunti dalla Fig. 4.10.


Figura 4.10:

4.6 Conservazione della quantita di moto

Discutiamo ora di un’importante implicazione della seconda e terza legge di Newton di cuiabbiamo parlato prima. Per cominciare, consideriamo due particelle di massa m1 e m2, cheinteragiscono, e che si muovono con velocita ~v1 e ~v2 rispettivamente, vedi Fig. 4.11. Lecorrispondenti quantita di moto saranno ~p1 = m1 ~v1 e ~p2 = m2 ~v2. Supponiamo che la solaforza che agisce sulla massa m1 e dovuta ad m2 ed e indicata da

−→F 21. In virtu del principio

di azione-reazione, la massa m2 sara soggetta ad una forza−→F 12 dovuta a m1 che e uguale

e contraria ad−→F 21:

−→F 12 = −−→F 21. Scriviamo l’equazione di Newton nella forma (4.1.8) per

ciascuna particella

d~p1

dt=−→F 21 , (4.6.1)

d~p2

dt=−→F 12 = −−→F 21 . (4.6.2)

Se sommiamo le due equazioni (4.6.1) e (4.6.2) membro a membro, otteniamo:

d

dt~P =

d

dt(~p1 + ~p2) = 0 , (4.6.3)

cioe la quantita di moto totale ~P ≡ ~p1 + ~p2 del sistema e conservata durante il moto delleparticelle: ~P = const. Queste due particelle forniscono un esempio di sistema isolato. In

4.6. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO 77

Figura 4.11:

genere un sistema di particelle in cui ogni elemento componente e soggetto soltanto alle forzeesercitate dalle altre particelle dello stesso sistema e chiamato un sistema isolato. Quindiun sistema isolato e un sistema di particelle che non interagisce con il resto dell’universo.Questa e chiaramente una situazione idealizzata. Nella realta un sistema di corpi distantida ogni altro oggetto puo essere una buona approssimazione di un sistema isolato. Peresempio, consideriamo il sistema terra-luna. Questo non e un sistema isolato dal momentoche entrambe, la terra e la luna, sono soggette alla influenza gravitazionale del sole e deglialtri pianeti. Tuttavia se noi siamo interessati a studiare il moto della luna e della terralimitatamente ad un periodo di pochi giorni, l’effetto su di esso dei corpi esterni puo esseretrascurabile e il sistema puo essere considerato isolato. Torniamo al sistema isolato di dueparticelle. Supponiamo che le particelle nell’istante t abbiano quantita di moto ~p1, ~p2 e in unistante successivo t′ abbiano quantita di moto diversi ~p′1, ~p

′2. La conservazione della quantita

di moto totale implica la seguente relazione:

~P = ~p1 + ~p2 = ~p′1 + ~p′2 . (4.6.4)

Definendo la variazione della quantita di moto di ciascuna particella ∆~p1 = ~p′1 − ~p1, ∆~p2 =~p′2 − ~p2, la suddetta relazione puo anche essere scritta nella forma:

∆~p1 = −∆~p2 , (4.6.5)

Cioe la variazione della quantita di moto della particella m1 e uguale ed opposta alla variazio-ne nella quantita della particella m2. E come se la quantita di moto fosse stata trasferita da


una particella all’altra. Questa e una caratteristica generale delle interazioni: una interazioneimplica un trasferimento della quantita di moto tra le particelle che interagiscono.

Consideriamo ora tre particelle di massa m1, m2 and m3. Ciascuna di esse avverte solola forza delle altre due: la massa m1 e soggetta alle forze

−→F 21 e

−→F 31 esercitate da m2 and m3

rispettivamente, m2 subisce le forze−→F 12 e

−→F 32 dovute a m1 and m3 ed infine m3 e soggetta

alle forze−→F 13 e

−→F 23 dovute a m1 e m2, vedi Fig. 4.11. Il sistema costituito da m1 ed m2

non e isolato, poiche ciascuna delle due particelle e soggetta all’azione esterna di m3 chenon appartiene al sistema. Tuttavia il sistema costituito da tutte le particelle e isolato. Leforze tra i componenti dello stesso sistema sono chiamate interne. La terza legge di Newtonimplica che le forze interne si trovano in coppie uguali ed opposte, cioe che

−→F 21 = −−→F 12,−→

F 31 = −−→F 13,−→F 23 = −−→F 32. Siano

−→F 1,−→F 2,−→F 3 le forze risultanti che agiscono su m1, m2 e

m3 rispettivamente. Le equazioni del moto delle tre particelle sono:

d~p1

dt=−→F 1 =

−→F 21 +

−→F 31 , (4.6.6)

d~p2

dt=−→F 2 =

−→F 12 +

−→F 32 , , (4.6.7)

d~p3

dt=−→F 3 =

−→F 13 +

−→F 23 . (4.6.8)

Sommando le suddette equazioni e definendo la quantita di moto totale ~P = ~p1 + ~p2 + ~p3,troveremo

d~P

dt=−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 = 0 , (4.6.9)

dove la proprieta−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 = 0 deriva dalla terza legge di Newton. L’ equazione (4.6.9)

ci dice che la quantita di moto totale di questo sistema isolato si conserva durante la suaevoluzione: ~P = const.. In generale possiamo dimostrare la seguente importante proprieta:

La quantita di moto totale di un sistema isolato si conserva.Questa proprieta e conosciuta come legge di conservazione della quantita di moto. Dimo-

striamola per un sistema isolato di n particelle di massa m1, m2, . . . ,mn che interagiscono.Poniamo che

−→F i denoti la forza risultante che agisce sulla particella iima del sistema. Dal

momento che per la terza legge di Newton tutte le forze interne si trovano in coppie opposte,abbiamo

n∑i=1

−→F i =

−→F 1 +

−→F 2 . . .+

−→F n = 0 . (4.6.10)

D’altra parte l’equazione del moto per la particella iima dice:

d~pidt

=−→F i . (4.6.11)

Sommando l’equazione del moto per tutte le particelle, troviamo:

d~P

dt=

d

dt

(n∑i=1

~pi

)=

n∑i=1

−→F i = 0 . (4.6.12)

4.6. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO 79

cioe che il quantita di moto totale del sistema e conservata: ~P ≡∑n

i=1 ~pi = const. La leggedi conservazione della quantita di moto e stata verificata sperimentalmente in tutti i processifisici finora senza eccezione. E comunemente considerata un principio naturale.

Sebbene noi abbiamo derivato tale principio dalla seconde e terza legge di Newton, pos-siamo seguire un approccio diverso: postulare il principio della conservazione della quantitadi moto e derivare da esso le leggi di Newton.

Consideriamo infine un sistema non isolato di n particelle che interagiscono. Poniamoche la particella iima del sistema di massa mi e quantita di moto ~pi, sia soggetta ad una forza

interna risultante−→Fint

i dovuta alle altre due particelle, e ad una forza esterna−→Fext

i . La suaequazione del moto sara

d~pidt

=−→Fint

i +−→Fext

i . (4.6.13)

Grazie alla terza legge di Newton avremo ancora:

n∑i=1

−→Fint

i = 0 . (4.6.14)

Tuttavia questo non vale per le forze esterne, che in generale hanno una risultante non nulla:

−→Fext

=n∑i=1

−→Fext

i 6= 0 . (4.6.15)

Sommando tra di loro le equazioni (4.6.13) membro a membro otteniamo:

d~P

dt=

d

dt

(n∑i=1

~pi

)=−→Fext. (4.6.16)

Concludiamo che la variazione rispetto al tempo della quantita di moto totale di un sistema diparticelle e uguale alla risultante della forza esterna che agisce su di esso. Se noi applichiamoi suddetti risultati ad un sistema di una sola particella, ri-otteniamo il principio di inerzia: laquantita di moto totale del sistema e la quantita di moto della particella ~p; poiche il sistemanon e ulteriormente decomponibile, non vi sono forze interne e quindi ogni forza sul sistemae da considerarsi forza esterna. Pertanto il principio della conservazione della quantita dimoto totale in questo caso implica che un cambiamento nello stato di moto della particella,cioe di ~p, puo essere solo dovuto ad una forza agente su di essa. Inoltre l’equazione (4.6.16)si riduce all’equazione del moto per la singola particella.


Capitolo 5

Lavoro ed Energia

5.1 Lavoro

Lavoro compiuto da una forza costante Consideriamo un corpo su cui agisce una forza−→F lungo l’asse X:

−→F = F ~ux. Sia ora il corpo spostato di una lunghezza ` dal punto A al

punto B lungo X, ved. Fig. 5.1. Se la forza non varia durante lo spostamento, definiamolavoro fatto dalla forza nello spostamento ` la quantita

W` = F ` . (5.1.1)

Se la forza forma un angolo costante θ con la direzione dello spostamento, la definizione dilavoro si generalizza come segue

W` = F ` cos(θ) . (5.1.2)

Notiamo che se θ = 0 si ritorna all’ equazione (5.1.1). Sappiamo che lo spostamento si descri-

ve in maniera naturale mediante i vettore ~ che si origina dal punto iniziale A e termina nelpunto B. Dalla definizione (2.1.10) del prodotto scalare tra due vettori, segue che possiamo

riscrivere l’espressione del lavoro (5.1.2) come il prodotto scalare tra−→F e ~

W~ =−→F · ~= (F cos(θ)) ` = F (` cos(θ)) . (5.1.3)

Abbiamo scritto la definizione di W in due forme equivalenti per indicare che esso puo siaessere calcolato come il prodotto della proiezione F cos(θ) della forza lungo la direzione dellospostamento per lo spostamento stesso `, sia come il prodotto della proiezione ` cos(θ) dellospostamento lungo la direzione della forza con il modulo di F . Questo lavoro e fatto da unaforza quando un oggetto su cui essa agisce viene spostato e dipende percio dall’orientazionerelativa tra la forza e lo spostamento. In particolare se la forza e ortogonale alla direzione delmoto del corpo, cioe se θ = π/2, il lavoro fatto e nullo. Cio avviene, per esempio, nel caso delmoto circolare uniforme, in cui la forza centripeta e ortogonale in ogni istante alla velocita ~ve percio ad ogni spostamento infinitesimo d~= ~v dt dell’oggetto in moto. La forza centripetaquindi non compie lavoro su un corpo rotante. Un altro caso rilevante e quello in cui il lavoro

81

82 CAPITOLO 5. LAVORO ED ENERGIA

Figura 5.1:

e negativo. Cio avviene se la componente della forza lungo la direzione dello spostamentoha verso opposto ad esso, cioe se F cos(θ) < 0. In questo caso la forza si oppone al moto delcorpo. Per esempio, quando saliamo con un ascensore, su di noi agisce la forza di gravita chee diretta verso il basso e quindi compie un lavoro negativo su di noi perche oppone resistenzaal nostro moto. Un altro esempio di lavoro negativo e dato dalle forze di attrito dinamico(o viscoso, nel caso di un moto all’interno di un fluido). Come abbiamo visto nel capitoloprecedente queste forze sono sempre dirette in direzione opposta al moto, cosı che l’angoloθ sia sempre uguale a π e cos θ = −1. Il loro effetto e infatti sempre tale da opporsi almoto dell’oggetto. L’attrito statico, d’altra parte, non compie lavoro, manifestandosi, perdefinizione, quando il corpo e a riposo e percio non vi e alcuno spostamento~= 0.

Supponiamo ora di muovere l’oggetto da B indietro fino ad A lungo una linea retta. Lospostamento ~′ sara ora opposto a quello precedente ~: ~′ = −~. L’angolo θ′ tra

−→F e ~′ e

θ′ = π − θ e percio cos(θ′) = − cos(θ). Il lavoro risultante sara

W−~ =−→F · (−~) = −−→F · (~) = −W~ . (5.1.4)

In altre parole, il lavoro compiuto dalla forza quando l’oggetto viene spostato da A a B lungo

5.1. LAVORO 83

una linea retta, e l’opposto del lavoro fatto dalla stessa forza quando l’oggetto e riportatoda B ad A lungo la stessa linea.

Il lavoro ha la dimensione di una forza per una lunghezza e, nel sistema MKSA, la suaunita di misura e il Joule:

1 Joule = 1Newton× 1m. (5.1.5)

Notiamo che il moto del corpo puo essere dovuto all’azione simultanea di piu forze,diciamo

−→F 1,−→F 2, . . .

−→F n. Il lavoro totale W (`) fatto dalla forza risultante

−→F =

∑ni=1

−→F i e

uguale alla somma dei lavori W(`)i =

−→F i · ~ compiuti da ogni singola forza

−→F i, come se queste

agissero sul corpo indipendentemente.Questo e conseguenza della proprieta distributiva del prodotto scalare (2.1.14)

W~ =−→F · ~= (

−→F 1 +

−→F 2 + . . .+

−→F n) · ~=

n∑i=1

−→F i · ~=

n∑i=1

W(`)i . (5.1.6)

Generalizziamo ora la definizione di lavoro al caso in cui la forza non e costante lungo lospostamento del corpo su cui agisce. Per semplicita partiremo dal considerare il caso di unospostamento ~ = ` ~ux lungo l’asse X da A a B, con la forza diretta lungo X:

−→F = F (x) ~ux.

Possiamo calcolare il lavoro compiuto dividendo lo spostamento totale in un numero diintervalli ∆x1, ∆x2, . . . sufficientemente piccoli in modo da poter approssimare la grandezzadella forza F nel generico ∆xi mediante la media Fi nell’intervallo stesso. Questo ci consentedi applicare l’equazione (5.1.1) per esprimere il lavoro compiuto dalla forza nel genericointervallo ∆xi come Fi ∆xi. In questa approssimazione, il lavoro totale e esprimibile comela somma dei lavori compiuti dalla forza in ognuno degli spostamenti elementari:

W(approx.)(A,B) = F1 ∆x1 + F2 ∆x2 + F3 ∆x3 + . . . =

xB∑xA

Fi ∆xi (5.1.7)

Graficamente, se disegniamo F (x) nell’intervallo (xA, xB), il lavoro compiuto dalla forzalungo ogni intervallo elementare ∆xi e l’area del rettangolo di lati ∆xi e Fi ed il lavorototale e la somma di queste aree (ved. Fig. 5.2). L’approssimazione della forza costante inogni intervallo sara tanto migliore quanto piu piccoli si prendono gli spostamenti elementari.Il lavoro compiuto dalla forza lungo lo spostamento sara il valore limite dell’espressioneapprossimata (5.1.7) quando ∆xi → 0. In questo limite la somma delle aree delle strisceelementari in Fig. 5.2 coincidera con l’area esatta sottesa alla curva F (x). Prendere questolimite e equivalente a dividere lo spostamento totale in un numero infinito di intervalliinfinitesimi (xi, xi + dxi) in cui l’intensita della forza e esattamente F (xi), e sommando sututti i lavori compiuti in ognuno di essi dWi = F (xi) dxi:

W(A,B) =

xB∑xA

dWi =

xB∑xA

F (xi) dxi =

∫ xB

xA

F (x) dx , (5.1.8)

dove abbiamo scritto la somma su infiniti contributi infinitesimi come un integrale. Percioil lavoro compiuto dalla forza e l’integrale della forza lungo tutto lo spostamento.


Figura 5.2:

Esempio 1 Consideriamo l’oscillatore armonico analizzato nell’esempio 4 del capitolo pre-cedente. Calcoliamo il lavoro compiuto dalle varie forze quando il blocco si muove da P1

to P2 lungo l’asse X. Durante il moto del blocco, ogni spostamento elementare puo essereespresso in termini della velocita istantanea d~= ~v dt. Poiche il moto avviene lungo l’asse X,ogni forza agente nella direzione perpendicolare non compira lavoro. Cio vale per il peso

−→F W

e per la reazione del tavolo−→N . L’unico contributo al lavoro totale e compiuto dalla forza

elastica−→F e = −ke (x− x0) ~ux = Fe(x) ~ux la quale e diretta lungo l’asse X. Il lavoro W(P1,P2)

e’ dato da (5.1.8)

W(P1,P2) =

∫ x2

x1

Fe(x) dx = −ke∫ x2

x1

(x− x0) dx =ke2

(x1 − x0)2 − ke2

(x2 − x0)2 .(5.1.9)

Consideriamo ora il caso generale di una particella spostata lungo una curva C, da unpunto iniziale P1 ad un punto finale P2, lungo la quale la forza

−→F agente sulla particella non e

5.1. LAVORO 85

costante. Lo spostamento totale e definito da una curva orientata C(P1, P2), che e la curva Csu cui fissiamo un verso, indicato sulla curva da una freccia da P1 a P2. Se avessimo mosso laparticella da P2 a P1 lungo la stessa curva, la curva orientata risultante sarebbe indicata conC(P2, P1) ed il verso risultate sarebbe stato l’opposto. Denoteremo il lavoro fatto dalla forzalungo questo spostamento mediante il simbolo WC(P1,P2), per evidenziare il fatto che essodipende non solo dalle posizioni iniziali e finali P1, P2 della particella, ma anche dalla curvaC su cui essa si muove. Per calcolare WC(P1,P2) e utile decomporre lo spostamento totale in

una successione di spostamenti infinitesimi d~, ved. Fig. 5.3. Ogni spostamento infinitesimo

Figura 5.3:

e abbastanza piccolo da poter considerare−→F costante su di esso. Percio il lavoro compiuto

dalla forza lungo ciascun d~ e dato dall’equazione (5.1.3): dW =−→F · d~ = |−→F | d` cos(θ),

dove θ e l’angolo tra−→F e d~ ed e funzione del punto lungo la curva, poiche esso varia con

d~. Il lavoro totale e la somma degli infiniti contributi dW e scriveremo questa somma come


un integrale:

WC(P1,P2) =∑

spostamenti elementarid~ lungo C

dW =∑

spostamenti elementarid~ lungo C

−→F · d~=

∫C(P1,P2)

−→F · d~.

(5.1.10)

Il precedente integrale e un integrale di linea e dipende in generale dai due estremi P1, P2 edalla curva C che li connette. Per calcolarlo e necessario conoscere le equazioni che definisconola curva orientata C(P1, P2). Queste equazioni possono essere date in una forma parametrica.Fissiamo un punto O su C e parametrizziamo ogni altro punto mediante la lunghezza s dellacurva tra O ed il punto stesso, presa con segno positivo o negativo a seconda che il puntosegua o preceda O rispetto al verso scelto sulla curva. La coordinata s e chiamata parametroaffine sulla curva orientata C(P1, P2) ed il suo valore definisce univocamente il punto su diessa. Per esempio il punto O corrisponde ad s = 0. Naturalmente s variera tra un valoreminimo s(P1) < 0 corrispondente a P1 ad un valore massimo s(P2) > 0 corrispondente a P2.

Se fissiamo un sistema di coordinate cartesiane nello spazio, la curva orientata puo esseredescritta specificando le coordinate x, y, z di un generico punto su di essa in funzione di s.Cio fornisce le equazioni parametriche della curva:

equazioni parametriche di C(P1, P2) :

x = x(s)y = y(s)z = z(s)

. (5.1.11)

E’ utile ora scrivere la forza e lo spostamento infinitesimo in ogni punto della curva mediantele loro componenti cartesiane:

−→F = Fx ~ux + Fy ~uy + Fz ~uz = (Fx, Fy, Fz) ,

d~ = dx~ux + dy ~uy + dz ~uz = (dx, dy, dz) . (5.1.12)

Usando equazione (2.1.31) possiamo scrivere

dW =−→F · d~ = Fx dx+ Fy dy + Fz dz , (5.1.13)

dove Fx, Fy, Fz sono funzioni di s attraverso le coordinate della particella. Lo spostamentoinfinitesimo e preso lungo la curva e connette un punto s ad un punto s + ds. Percio lecomponenti di d~ non sono indipendenti poiche esse possono essere tutte espresse in terminidi ds mediante le equazioni parametriche della curva (5.1.11)

dx = x(s+ ds)− x(s) =dx

dsds ,

dy = y(s+ ds)− y(s) =dy

dsds ,

dz = z(s+ ds)− z(s) =dz

dsds . (5.1.14)

5.1. LAVORO 87

Usando queste equazioni, il lavoro elementare (5.1.13) puo essere scritto nella forma

dW =−→F · d~ =

[Fx(s)

dx

ds+ Fy(s)

dy

ds+ Fz(s)

dz

ds

]ds , (5.1.15)

ed il lavoro totale puo essere ora espresso mediante un integrale ordinario nella variabile s.

WC(P1,P2) =

∫C(P1,P2)

−→F · d~=

∫ s(P2)

s(P1)

[Fx(s)

dx

ds+ Fy(s)

dy

ds+ Fz(s)

dz

ds

]ds .

(5.1.16)

Esempio 2 Consideriamo una particella in un piano su cui agisce una forza che dipendedalla posizione della particella nel modo seguente:

−→F = (Fx, Fy) = k (y, x) , (5.1.17)

dove x, y sono le coordinate cartesiane di un punto nel piano. Supponiamo che la particella espostata dall’origine P1 = O = (0, 0) del sistema di coordinate al punto P2 = (1, 1) lungo la

parabola di equazione y = c x2. Vogliamo determinare il lavoro fatto da−→F sulla particella.

Partiamo scrivendo l’equazione della curva orientata in forma parametrica, cioe x =s, y = c s2. Cio significa che un punto appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinatex, y possono essere scritte nella forma x = s, y = c s2, per un certo valore di s. Su ungenerico punto della parabola, la forza dipendera da s nel seguente modo

−→F = (Fx, Fy) = k (c s2, s) , (5.1.18)

Il lavoro puo ora essere scritto nella forma (5.1.16) di un integrale nella variabile s:

WC(P1,P2) =

∫C(P1,P2)

−→F · d~=

∫ s(P2)

s(P1)

[Fx

(dx

ds

)+ Fy

(dy

ds

)]ds = .

=

∫ 1

0

[ck s2 (1) + cks (2 s)

]ds = 3 ck

∫ 1

0

s2 ds = ck (Joule) , (5.1.19)

dove abbiamo tenuto conto che s(P1) = s(O) = 0 e s(P2) = 1.Cosa accade se spostiamo la particella indietro da P2 a P1 lungo la stessa curva C?

Lo spostamento totale ora e rappresentato dalla curva orientata C(P2, P1), descritta dallastessa curva C, ma avente verso di percorrenza opposto. Questo implica che lo spostamentoinfinitesimo d~′ nel punto P su C andando da P1 to P2 e l’opposto dello spostamento d~

nello stesso punto della curva andando in verso contrario: d~′ = −d~, ved. Fig. 5.3. Comeabbiamo visto, il lavoro elementare lungo d~′ in C(P2, P1) deve essere l’opposto del lavoro

compiuto lungo d~ in C(P1, P2). Conseguentemente anche la somma dei lavori elementari hasegno opposto. Concludiamo dicendo che il lavoro compiuto da una forza su una particellache si muove da P1 a P2 e uguale ed opposto al lavoro compiuto dalla stessa forza quando laparticella e spostata da P2 a P1 lungo la stessa curva. In formule:

WC(P2,P1) =

∫C(P2,P1)

−→F · d~′ =

∫C(P1,P2)

−→F · (−d~) = −

∫C(P1,P2)

−→F · d~= −WC(P1,P2) ,

(5.1.20)


Esempio 3 Consideriamo ora il pendolo analizzato nell’esempio 3 dell’ultimo capitolo.Vogliamo determinare il lavoro compiuto sulla massa m da ognuna delle forze che agisconosu di esso, quando m si muove dalla posizione P1 a P2 definite rispettivamente da ϕ1 e ϕ2.

In ogni istante lo spostamento elementare tra t e t + dt si esprime mediante la velocita~v(t):

d~ = ~v dt = Ldϕ

dtdt ~uϕ = Ldϕ~uϕ . (5.1.21)

Essendo ~v sempre tangente alla traiettoria e la tensione del filo−→T ortogonale ad essa, ab-

biamo−→T · d~=

−→T ·~v dt = 0. Ne risulta che solo la forza gravitazionale contribuisce al lavoro

totale:

WC(P1,P2) =

∫C(P1,P2)

−→F W · d~. (5.1.22)

Calcoliamo ora il lavoro elementare compiuto in uno spostamento infinitesimo d~, usando leespressioni di

−→F W e d~ nella base ~ur, ~uϕ:

d~ = ds ~uϕ = Ldϕ~uϕ ;−→F W = −mg sin(ϕ(t)) ~uϕ +mg cos(ϕ(t)) ~ur ,

−→F W · d~ = [−mg sin(ϕ(t)) ~uϕ +mg cos(ϕ(t)) ~ur] · [Ldϕ~uϕ] = −mg L sin(ϕ(t)) dϕ ,

(5.1.23)

dove abbiamo usato la proprieta distributiva (2.1.14) del prodotto scalare. L’equazione(5.1.23) permette di riscrivere l’integrale di linea in (5.1.22) come integrale in una variabile

WC(P1,P2) = −mg L

∫ ϕ2

ϕ1

sin(ϕ) dϕ = mg L (cos(ϕ2)− cos(ϕ1))) = mg L (z1 − z2) ,

(5.1.24)

dove abbiamo usato il fatto che L cos(ϕ) misura la distanza dall’asse X, cioe L cos(ϕ) = −z,essendo z negativo al di sotto dell’asse X (ved. Fig. 4.4). Dall’equazione (5.1.24) vediamoche il lavoro e negativo se z2 > z1, cioe se m si e spostata verso l’alto. Cio perche la forzagravitazionale si oppone sempre ad ogni spostamento verso l’alto. In questo esempio, ilparametro affine s lungo la traiettoria e s = Lϕ, cioe l’arco della circonferenza che definiscela posizione di m.

5.2 Lavoro ed energia cinetica

Metteremo ora in relazione il lavoro compiuto dalla forza risultante−→F , agente su una par-

ticella di massa m in moto, con la variazione di una quantita connessa al moto e chiamataenergia cinetica. Cominciamo con il calcolare, usando l’equazione (5.1.10), il lavoro compiu-

to da−→F su una particella che si muove da P1 a P2 lungo una curva C. Ogni spostamento

5.2. LAVORO ED ENERGIA CINETICA 89

elementare lungo la traiettoria puo essere scritto, ad ogni istante, mediante la velocita istan-tanea d~ = ~v dt. Se scriviamo la forza mediante l’accelerazione della particella, unandola seconda legge di Newton,

−→F = m~a = m d~v

dt, la formula (5.1.10) per il lavoro puo essere

riscritta nel seguente modo

WC(P1,P2) =

∫C(P1,P2)

−→F · d~=

∫C(P1,P2)

md~v

dt· ~v dt =

m

2

∫C(P1,P2)

d v2

dtdt =

m

2

∫C(P1,P2)

d(v2) =

=m

2v2

2 −m

2v2

1 , (5.2.1)

dove v2 = |~v|2 = ~v · ~v, v1 e v2 sono i valori di v quando la particella si trova rispettivamentein P1 e P2. Abbiamo anche usato la proprieta

d v2

dt=

d

dt(~v · ~v) =

d~v

dt· ~v + ~v · d~v

dt= 2

d~v

dt· ~v , (5.2.2)

e la proprieta di simmetria del prodotto scalare. Se definiamo l’energia cinetica dellaparticella come la quantita

Ek =m

2v2 =

p2

2m, (5.2.3)

l’equazione (5.2.1) identifica il lavoro compiuto dalla forza agente sulla particella con lavariazione della sua energia cinetica ed esprime il teorema lavoro-energia:

WC(P1,P2) = Ek,2 − Ek,1 = ∆Ek . (5.2.4)

Come conseguenza di questa relazione, un lavoro negativo si manifestera in una riduzione,in modulo, della velocita della particella, mentre uno positivo avra l’effetto opposto. Questorisultato puo essere compreso intuitivamente ricordando che una forza compie un lavoronegativo se si oppone al moto della particella e cosı, se e l’unica forza che si agisce su esso,essa causera una riduzione della sua velocita. Se la velocita e costante in modulo durante ilmoto, come, per esempio, per il moto circolare uniforme, l’energia cinetica e costante ed illavoro fatto dalla forza centripeta e zero, consistentemente con l’equazione (5.2.4 ).

Ora consideriamo l’esempio del pendolo. Come la massa m si solleva da un’altezza z1

a z2 > z1, la sua energia cinetica diminuisce di una quantita uguale al valore assoluto dellavoro fatto dalla forza gravitazionale, mentre nell’ andare indietro da z2 a z1 l’energia cineticaaumenta esattamente della stessa quantita. Possiamo dire che durante la salita, l’energiacinetica persa dalla massa, e in qualche modo “immagazzinata nella gravita della terra” ,in modo tale che essa venga riguadagnata dalla massa nel ritorno alla sua posizione inizialez1 ove assume la stessa energia cinetica che aveva originariamente. Questa proprieta non ecomune a tutte le forze, ma solo, come vedremo nel seguente paragrafo, a quelle che hannola proprieta di essere conservative . Per esempio, non c’e alcuna possibilita per una massache si muove su un piano orizzontale, di riguadagnare l’energia cinetica persa per effetto dellavoro negativo fatto dalle forze di attrito. Queste sono un esempio di forze non conservative.


5.3 Forze conservative ed energia potenziale

Una forza e detta conservativa se e solo se il lavoro che essa compie su un oggetto generico,quando questo e spostato da un punto P1 ad un punto P2, dipende solo dalle posizioni inizialee finale, e non dalla traiettoria seguita. Cio significa che se C e C ′ sono due curve generichetra P1 e P2, vedi Fig. 5.4, il lavoro fatto da una forza conservativa lungo di esse e lo stesso:

WC(P1,P2) = WC′(P1,P2) . (5.3.1)

Indicheremo questo lavoro con W(P1,P2) perche esso dipende solo da P1 and P2. Da questa de-

Figura 5.4:

finizione segue che una forza conservativa non puo dipendere ne dalla velocita della particella,ne esplicitamente dal tempo, cioe una forza conservativa puo solo dipendere dalla posizionedella particella su cui agisce ed, inoltre, essa puo dipendere dal tempo solo attraverso la suaposizione.

Dalla proprieta (5.1.20) segue che il lavoro W(P2,P1) compiuto quando l’oggetto e riportatoindietro da P2 a P1 e di segno opposto a W(P1,P2), indipendentemente dalla curva seguita nelritorno:

W(P2,P1) = −W(P1,P2) . (5.3.2)

In conseguenza di questo, il lavoro fatto da una forza conservativa lungo un cammino chiusoC e sempre zero, poiche in questo caso i punti iniziali e finali coincidono: P1 = P2. General-mente il lavoro WC fatto lungo un cammino chiuso C, su cui e definito un verso di percorrenza,e descritto come un integrale di linea, vale a dire una somma degli infiniti contributi al lavoro

5.3. FORZE CONSERVATIVE ED ENERGIA POTENZIALE 91

lungo spostamenti infinitesimi successivi. L’integrale di linea lungo un cammino (orientato)chiuso e indicato dal simbolo

∮:

WC =

∮C

−→F · d~, (5.3.3)

ed e chiamato circuitazione di−→F intorno a C. Abbiamo visto che, se

−→F e conservativa,

WC = 0 lungo ogni curva chiusa C

−→F conservative ⇒

∮C

−→F · d~. (5.3.4)

Mostriamo ora che l’inverso e anche vero, vale a dire che se una forza ha circuitazione nullalungo una curva chiusa, essa e conservativa, cioe che il lavoro che essa compie lungo unpercorso aperto dipende soltanto dai punti iniziali e finali. Fissiamo due punti P1 e P2 nellospazio, e siano C1(P1, P2) e C2(P1, P2), due curve generiche passanti per P1 e P2, vedi Fig. 5.5.Supponiamo di spostare la particella da P1 a P2 lungo C1(P1, P2), e quindi, una volta in P2,

Figura 5.5:

di spostare indietro la particella seguendo C2(P2, P1). Il percorso totale seguito e una curvachiusa C. Per ipotesi, la circuitazione della forza lungo C, che e il lavoro totale fatto dallaforza nello spostamento della particella indietro fino a P1 e zero. Riscriviamo ora questolavoro come la somma del lavoro fatto quando la particella viene spostata da P1 a P2 lungoC1 e del lavoro fatto quando la particella e riportata indietro lungo C2

0 =

∮C

−→F · d~=

∫C1(P1,P2)

−→F · d~+

∫C2(P2,P1)

−→F · d~=

∫C1(P1,P2)

−→F · d~−

∫C2(P1,P2)

−→F · d~,

(5.3.5)


dove abbiamo usato equazione (5.1.20).Concludiamo percio che, date due curve generichepassanti per P1 e P2 abbiamo:∫

C1(P1,P2)

−→F · d~ =

∫C2(P1,P2)

−→F · d~, (5.3.6)

cioe la forza e conservativa.La proprieta di una forza di essere conservativa e stata finora caratterizzata in due modi

equivalenti:

• Il lavoro fatto su ogni oggetto dipende soltanto dalle sue posizioni iniziali e finali e nondal cammino seguito;

• il lavoro lungo ogni cammino chiuso e zero.

Se una forza e conservativa, possiamo associare ad essa una quantita Ep, denominata energiapotenziale, che dipende soltanto dalla posizione della particella, di modo che il lavoro fattosu un oggetto mentre e spostato da P1 a P2 puo essere espresso come la differenza fra i valoridi Ep in P1 e P2:

W(P1,P2) = Ep(P1)− Ep(P2) . (5.3.7)

L’energia potenziale e definita a meno di una costante additiva arbitraria, indipendente dalpunto. Effettivamente la quantita E ′p = Ep +C, C essendo una costante arbitraria, soddisfaancora equazione (5.3.7)

W(P1,P2) = Ep(P1)− Ep(P2) = E ′p(P1)− E ′p(P2) , (5.3.8)

e quindi e ancora l’energia potenziale associata alla stessa forza−→F . Il valore di C puo essere

fissato assegnando un valore arbitrario all’energia potenziale in un dato punto. Esso non haalcun significato fisico poiche soltanto differenze nell’energia potenziale sono misurabili, es-sendo esse connesse al lavoro compiuto dalla forza corrispondente. Scriviamo ora l’equazione(5.2.4 ) nel caso di una forza conservativa

W(P1,P2) = Ep(P1)− Ep(P2) = Ek,2 − Ek,1 . (5.3.9)

L’equazione precedente puo anche essere scritta, per ogni coppia di punti lungo la traiettoriadi una particella, nella forma

Ep(P1) + Ek,1 = Ep(P2) + Ek,2 . (5.3.10)

Essendo P1 e P2 le posizioni della particella in due istanti differenti lungo il suo percorso,equazione (5.3.10) ci dice che la quantita E ≡ Ek + Ep , detta energia meccanica totale, econservata durante il moto della particella

E ≡ Ep + Ek = Ep +m

2v2 = const. , (5.3.11)


Abbiamo visto che l’energia meccanica totale e una quantita conservata che caratterizzail moto di una particella, se la forza risultante che agisce su di essa e conservativa. Ri-cordare che Ep e una quantita scalare dipendente soltanto dalla posizione della particellaEp = Ep(x(t), y(t), z(t)) mentre Ek = Ek(v(t)) dipende soltanto dalla velocita della particel-la. Di conseguenza, anche se Ep e Ek possono separatamente dipendere dal tempo attraversola posizione e la velocita della particella, la loro somma E e costante. Cio facilita conside-revolmente lo studio del moto di una particella, perche riduce il problema di risolvere un’equazione differenziale di secondo ordine (4.3.3) al problema piu semplice di risolvere unaequazione differenziale primo ordine per vari valori del E costante. Infatti E = Ep +Ek, perun dato valore di E, puo essere visto come una relazione fra le coordinate x(t), y(t), z(t) dellaparticella, e delle loro derivate rispetto al tempo. Questa relazione non coinvolge le derivatedel secondo ordine della posizione, vale a dire l’accelerazione della particella e quindi e ingenerale piu semplice da risolvere rispetto all’ equazione di Newton. L’equazione (5.3.11 )puo essere risolta facilmente e fornisce il modulo della velocita in funzione della posizione.

Quando diciamo che Ep dipende soltanto dalla posizione della particella, dobbiamo esserepiu precisi. Effettivamente la particella interagisce con il suo ambiente, che puo esserecomposto da altre particelle. Sia la forza

−→F che Ep in generale dipenderanno non solo dalla

posizione della particella in considerazione, ma da tutte le particelle interagenti. Possiamofocalizzare la sua dipendenza dalla posizione della particella che stiamo considerando, seassumiamo che le altre particelle siano fisse. Durante il moto di una particella sotto l’effetto diuna forza conservativa, abbiamo visto che l’energia meccanica e conservata, mentre l’energiacinetica puo essere convertita in energia potenziale e viceversa. Per esempio, se duranteuno spostamento la forza risultante fa un lavoro negativo, l’energia cinetica della particelladiminuisce, mentre la sua energia potenziale aumenta dalla stessa quantita. Cio significache, per effetto del lavoro negativo, l’energia cinetica e convertita in energia potenziale e,in qualche modo, “immagazzinata” nel sistema che esercita la forza, in modo tale che, se laparticella ritorna alla sua posizione iniziale, l’energia potenziale e convertita nuovamente inenergia cinetica.

Esempio 4 Consideriamo il caso di una forza−→F costante in intensita e direzione. L’e-

spressione del lavoro WC(P1,P2), dato nell’ equazione (5.1.10), puo essere riscritta portando−→F fuori dal segno dell’integrale essendo essa costante lungo la linea

WC(P1,P2) =−→F ·

∫C(P1,P2)

d~=−→F · ~r(P2)−−→F · ~r(P1) = Ep(P1)− Ep(P2) , (5.3.12)

dove abbiamo usato il fatto che la somma vettoriale di tutti gli spostamenti infinitesimi eproprio la posizione relativa di P2 rispetto a P1, qualunque sia la curva C che li collega:∫C(P1,P2)

d~ = ~r(P2) − ~r(P1). Vediamo che il lavoro non dipende dal percorso seguito, ma

dalle posizioni iniziali e finali. Una forza uniforme e percio conservativa.Dalla equazione (5.3.12) deduciamo l’energia potenziale associata a

−→F :

Ep(~r) = −−→F · ~r + C , (5.3.13)


essendo C una costante arbitraria. Un esempio di forza (in buona approssimazione) uniforme

e la gravita sulla superficie della terra agente su una particella di massa m:−→F W = −mg ~uz,

dove l’asse Z e diretto verso l’alto nella direzione verticale. La sua energia potenziale e:

Ep(~r) = −−→F W · ~r + C = −(−mg ~uz) · ~r + C = mg z + C , (5.3.14)

e l’equazione (5.3.12) fornisce l’espressione (5.1.24) trovata per il pendolo.E conveniente fissare la costante C in modo che Ep = 0 sulla superficie terrestre. Suppo-

nendo di fissare l’origine dell’asse di Z sulla superficie terrestre, allora C = 0 e Ep = mg z.La costante C dovrebbe essere scelta in modo da rendere piu semplice l’espressione di Ep equindi dipendera dal particolare problema che stiamo considerando.

Esempio 5 Consideriamo l’oscillatore armonico. Abbiamo calcolato il lavoro fatto dallaforza elastica mentre la massa m si muove da un punto P1 in x1 verso un punto P2 in x2.Esso e dato dalla equazione (5.1.9) e dipende soltanto nelle posizioni iniziali e finali dellamassa. La forza elastica della molla e quindi un altro esempio di una forza conservativa.Per semplicita, spostiamo l’origine dell’asse X nel punto di equilibrio in modo che x0 = 0.Dall’equazione (5.1.9) possiamo dedurre l’energia potenziale del sistema:

W(P1,P2) =

∫ x2

x1

Fe(x) dx = −ke∫ x2

x1

x dx =ke2x2

1 −ke2x2

2 = Ep(P1)− Ep(P2) .(5.3.15)

e trovare che Ep = Ep(x), dipende solo da x ed e data da

Ep(x) =ke2x2 + C . (5.3.16)

Possiamo fissare C in modo che Ep = 0 nella posizione di equilibrio. In questo caso C = 0 eEp(x) = ke

2x2. L’energia meccanica totale dell’oscillatore armonico ha la forma

E =ke2x2 +

m

2v2 . (5.3.17)

Possiamo verificare che E e costante durante il moto dell’oscillatore. Consideriamo la solu-zione (4.3.31) che descrive il moto della massa m, inizialmente nella posizione x1 con velocitanulla

x(t) = x1 cos(ω0 t) ,

v(t) =dx

dt= −x1ω0 sin(ω0 t) . (5.3.18)

Le energie cinetica e potenziale sono

Ek(t) =m

2v(t)2 =

1

2x2

1ω20 m sin2(ω0 t) =

ke2x2

1 sin2(ω0 t) ,

Ep(t) =ke2x(t)2 =

ke2x2

1 cos2(ω0 t) ,


dove abbiamo tenuto conto che ω20 = ke/m. L’energia meccanica totale quindi e data dalla

seguente costante del moto

E =ke2x2 +

m

2v2 =

ke2x2

1 . (5.3.19)

Il suo valore uguaglia il valore massimo dell’energia potenziale a t = 0 e t = T/2, quandox(t) = ±x1 il moto cambia direzione e l’energia cinetica e zero. E inoltre uguaglia il valoremassimo dell’energia cinetica a t = T/4 and t = 3 T/4, in cui la massa passa per x(t) = 0con velocita massima.

Esempio 6 In genere se abbiamo una forza agente lungo la direzione dell’ass X−→F =

F (x) ~ux, qualunque sia la sua dipendenza F (x) da x, la forza e conservativa.

W(P1,P2) =

∫ x2

x1

F (x) dx = −∫ x1

x0

F (x) dx−(−∫ x1

x0

F (x) dx

)= Ep(x1)− Ep(x2) ,

(5.3.20)

dove l’energia potenziale

Ep(x) = Ep(x0)−∫ x

x0

F (x′) dx′ , (5.3.21)

e sempre ben definita e dipende dal valore arbitrario che assegnamo a Ep in un certo puntodi riferimento x0. E’ facile verificare che se applichiamo la formula precedente alla forzaelastica Fe(x) = −ke x sull’oscillatore armonico, scegliendo x0 = 0 e Ep(x = 0) = 0, troviamol’equazione (5.3.16).

Definiamo ora una relazione tra una forza conservativa sulla massa m e l’energia poten-ziale associata in forma locale, ovvero che valga in un punto qualunque nello spazio. A questoscopo iniziamo con il considerare una forza diretta lungo l’asse X

−→F = F (x) ~ux.

Come abbiamo visto, questa forza, qualunque sia la sua dipendenza da x, e conservativae puo essere descritta da un’energia potenziale Ep(x). Se prendiamo i due punti P1 e P2 inx e x+ dx, vale a dire infinitamente vicini, l’ integrale di linea ha solo un contributo essendoF (x) costante lungo dx:

W(x,x+dx) = F (x) dx = Ep(x)− Ep(x+ dx) = −dEp = −dEpdx

dx , (5.3.22)

dove abbiamo denotato con dEp il differenziale di Ep, definito come Ep(x+ dx)− Ep(x) edabbiamo usato la definizione di derivata rispetto a x. Usando (5.3.22) possiamo identificare,in un punto qualunque x, la forza come la derivata di Ep(x) rispetto a x, cambiata di segno:

F (x) = −dEpdx

. (5.3.23)

Per la gravita sulla superficie terrestre, il ruolo dell’asse X e assunto dall’asse verticale di Ze possiamo verificare che F (z) = −mg = −dEp

dzdove Ep(z) e dato in (5.3.14).


Lo studente e invitato a verificare l’equazione (5.3.23) nel caso dell’oscillatore armonico.L’equazione (5.3.23) permette di dedurre il comportamento di una forza unidimensionale

su una particella dalla relativa energia potenziale. Vediamo che nei punti in cui la curva diEp(x) ha pendenza negativa o positiva, la forza e diretta rispettivamente lungo la direzione

positiva o negativa dell’asse X . Di interesse speciale sono quei punti in cui dEp

dx= 0, nei quali

F = 0. Essi sono massimi, minimi o flessi della curva Ep(x) e sono detti punti di equilibrio.Se una particella, inizialmente a riposo, e lasciata in un punto di equilibrio, essa rimarra inquel punto indefinitamente.

Se sono minimi, vale a dire se d2Ep

dx2> 0, essi sono detti punti di equilibrio stabile . Se la

particella e spostata di una piccola quantita da un punto stabile la forza sara diretta sempreverso quel punto e la particella si muovera in un piccolo intorno di esso. Un massimo dellacurva Ep(x) e detto punto di equilibrio instabile. Se e spostata di una piccola quantita daquella posizione, la particella sara allontanata indefinitamente con una forza diretta in versoopposto.

La forza come gradiente dell’energia potenziale Consideriamo ora la generalizza-zione di equazione (5.3.23) a una forza conservativa dipendente da piu di una coordinata.Cominciamo col ricordare la definizione di una derivata parziale. Per esempio, data unafunzione di tre variabili f(x, y, z), la derivata parziale rispetto ai suoi argomenti e definitacome:

∂f

∂x≡ lim

∆x→0

f(x+ ∆x, y, z)− f(x, y, z)

∆x,

∂f

∂y≡ lim

∆y→0

f(x, y + ∆y, z)− f(x, y, z)

∆y,

∂f

∂z≡ lim

∆z→0

f(x, y, z + ∆z)− f(x, y, z)

∆z. (5.3.24)

La derivata parziale rispetto ad una variabile e calcolata derivando la funzione rispetto aquella variabile, trattando le altre variabili come costanti. Per esempio ∂

∂x(x2 y z) = 2 x y z.

Dato un punto (x, y, z) ed un punto ad esso infinitamente vicino (x+dx, y+dy, z+dz), sidefinisce differenziale totale di f in (x, y, z), e si denota con df(x, y, z), a seguente quantita:

df(x, y, z) ≡ ∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz . . (5.3.25)

In virtu di un teorema di analisi matematica, la differenza tra il valore di f nei due puntiinfinitamente vicini e approssimabile con df(x, y, z):

f(x+ dx, y + dy, z + dz)− f(x, y, z) ≈ df(x, y, z) =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz .(5.3.26)

La proprieta appena scritta generalizza l’equazione, piu volte usata, che esprime da differenzadei valori di una funzione ad una variabile tra due punti infinitamente vicini, in termini delladerivata della funzione in uno dei punti: f(x+ dx)− f(x) ≈ df = df

dxdx.


In coordinate cartesiane, dx, dy, dz sono le componenti dello spostamento infinitesimaled~ che collega (x, y, z) a (x+dx, y+dy, z+dz). Associamo ad f un vettore, denotato da

−→∇f ,e denominato gradiente della funzione f , definito in ogni punto dello spazio dalla proprieta :

−→∇f · d~ = df . (5.3.27)

Confrontando l’equazione (5.3.27) con (5.3.25), troviamo le componenti del gradiente in unsistema di coordinate cartesiane:

−→∇f =∂f

∂x~ux +

∂f

∂y~uy +

∂f

∂z~uz =

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

). (5.3.28)

Ritorniamo alla relazione infinitesimale fra lavoro ed energia potenziale. Se la massa m espostata da (x, y, z) a (x+ dx, y + dy, z + dz), il lavoro elementare fatto e :

−→F · d~ = Ep(x, y, z)− Ep(x+ dx, y + dy, z + dz) = −dEp = −(

−→∇Ep) · d~.(5.3.29)

Poiche l’uguaglianza precedente e valida per ogni spostamento elementare d~, possiamo farela seguente identificazione:

−→F = −−→∇Ep =

(−∂Ep∂x

, −∂Ep∂y

, −∂Ep∂z

). (5.3.30)

L’equazione (5.3.30 ) generalizza la relazione (5.3.23) e si riduce ad essa nel caso in cuil’energia potenziale dipende soltanto da una variabile. Supponiamo che il moto avvenga inun piano e che stiamo lavorando con coordinate polari bidimensionali r, ϕ. In questo casola variazione di una funzione f(r, ϕ) tra due punti molto vicini (r, ϕ) (r + dr, ϕ + dϕ) siesprime in termini del suo differenziale totale che vale:

f(r + dr, ϕ+ dϕ)− f(r, ϕ) ≈ df(r, ϕ) =∂f

∂rdr +

∂f

∂ϕdϕ =

−→∇f · d~. (5.3.31)

In questo sistema di coordinate uno spostamento infinitesimo d~ e dato dalle equazioni (2.2.7)

e (2.2.8): d~= (dr, r dϕ).

−→∇f =∂f

∂r~ur +

1

r

∂f

∂ϕ~uϕ =

(∂f

∂r,

1

r

∂f

∂ϕ

), (5.3.32)

e la relazione locale tra forza ed energia potenzialediventa:

−→F = −−→∇Ep = −∂Ep

∂r~ur −

1

r

∂Ep∂ϕ

~uϕ . (5.3.33)

In modo simile possiamo calcolare l’espressione del gradiente in coordinate polari sferiche ecilindriche, usando la definizione (5.3.27) e la forma corrispondente di spostamento infinite-simale nelle equazioni (2.2.2), (2.2.11) e (2.2.12). Troviamo per le coordinate polari sferiche:

−→∇f =∂f

∂r~ur +

1

r

∂f

∂θ~uθ +

1

r sin(θ)

∂f

∂ϕ~uϕ =

(∂f

∂r,

1

r

∂f

∂θ,

1

r sin(θ)

∂f

∂ϕ

), (5.3.34)


e cosı la forza sara relazionata a Ep nel seguente modo

−→F = −−→∇Ep = −∂Ep

∂r~ur −

1

r

∂Ep∂θ

~uθ −1

r sin(θ)

∂Ep∂ϕ

~uϕ . (5.3.35)

Finalmente in coordinate cilindriche il gradiente e

−→∇f =∂f

∂r~ur +

1

r

∂f

∂ϕ~uϕ +

∂f

∂z~uz =

(∂f

∂r,

1

r

∂f

∂ϕ,∂f

∂z

), (5.3.36)

e l’espressione della forza in funzione di Ep diventa

−→F = −−→∇Ep = −∂Ep

∂r~ur −

1

r

∂Ep∂ϕ

~uϕ −∂Ep∂z

~uz . (5.3.37)

Esempio 7 Si consideri una forza della forma

−→F = F (r) ~ur = k

~r

r3=

k

r2~ur , (5.3.38)

rispetto ad un sistema di coordinate sferiche. Trovare l’energia potenziale corrispondente.Scriviamo l’equazione (5.3.35):

−→F =

k

r2~ur = −−→∇Ep = −∂Ep

∂r~ur −

1

r

∂Ep∂θ

~uθ −1

r sin(θ)

∂Ep∂ϕ

~uϕ . (5.3.39)

Uguagliando componente per componente i due membri, troviamo le seguenti equazioni perEp

0 =∂Ep∂θ

, (5.3.40)

0 =∂Ep∂ϕ

, (5.3.41)

F (r) =k

r2= −∂Ep

∂r. (5.3.42)

La prima e seconda equazione implicano che Ep e indipendente da θ, ϕ: Ep = Ep(r). L’ultimaequazione e risolta dalla seguente energia potenziale

Ep(r) =k

r+ C . (5.3.43)

Se fissiamo C in modo che Ep sia zero per valori grandi di r, vale a dire nel limite r → ∞,otteniamo Ep = k

r. Come vedremo l’ equazione (5.3.38) descrive la forza gravitazionale che

una massa puntiforme m1 situata nell’origine, esercita su una particella di massa m2 (inquesto caso k ∝ m1m2).

5.4. FORZE CENTRALI 99

5.4 Forze centrali

Un ruolo speciale nella meccanica delle particelle e svolto dalle cosiddette forze centrali.Esempi di questo genere di forze sono la forza gravitazionale esercitata da una massa punti-forme su una seconda massa, oppure la forza elettrostatica dovuta a una carica puntiforme.Una forza centrale agente su una particella e caratterizzata da due proprieta principali: Perogni posizione P della particella, essa e diretta lungo la direzione che collega P ad un pun-to O nello spazio, denominato centro della forza, e la sua intensita dipende soltanto dalladistanza r fra P e O. Se fissiamo nello spazio un sistema di coordinate polari sferico, conorigine O coincidente con il centro della forza, allora la forza centrale agente su un puntoP = (r, θ, ϕ) ha la forma generale

−→F = F (r) ~ur . (5.4.1)

Abbiamo discusso un esempio di forza centrale nell’esempio 7. Qui faremo una discussionegenerale senza usare il concetto di gradiente. Consideriamo il lavoro fatto da una forzacentrale quando la particella e spostata da P = (r, θ, ϕ) ad un punto vicino P ′ = (r+dr, θ+

dθ, ϕ + dϕ. Lo spostamento infinitesimale d~, in coordinate polari, ha la forma (2.2.2) ed ilcorrispondente lavoro fatto dalla forza centrale e

dW =−→F · d~= (F (r) ~ur) · (dr ~ur + r dθ ~uθ + r sin(θ) dϕ~uϕ) = F (r) dr , (5.4.2)

cioe ogni spostamento infinitesimo puo essere decomposto in una componente lungo la dire-zione radiale ed in una componente perpendicolare ad esso. Soltanto la prima contribuira allavoro, poiche l’altra componente dello spostamento e ortogonale alla forza. Di conseguenza,se calcoliamo il lavoro totale fatto quando la particella si muove da un punto P1 = (r1, θ1, ϕ1)ad un punto P2 = (r2, θ2, ϕ2) lungo la curva C, esso avra la forma

WC(P1,P2) =

∫C(P1,P2)

−→F · d~=

∫ r2

r1

F (r) dr = −∫ r1

r0

F (r) dr −(−∫ r2

r0

F (r) dr

)=

= Ep(r1)− Ep(r2) , (5.4.3)

dove r0 si riferisce ad un punto di riferimento arbitrariamente scelto. Il lavoro dipendesoltanto dalle posizioni iniziali e finali della particella e non dal percorso seguito. Cio dimo-stra che una forza centrale e conservativa. Dall’equazione (5.4.3) possiamo dedurre l’energiapotenziale:

Ep(r) = Ep(r0)−∫ r

r0

F (r′) dr′ . (5.4.4)

Ep(r0) e il valore del potenziale a r0 e rappresenta la costante arbitraria nella definizionedell’energia potenziale. Possiamo fissare questa costante al valore zero in un determinato r0

secondo la nostra convenienza.Infine dall’ equazione (5.4.2) deduciamo la relazione locale fra la forza e Ep(r):

F (r) = −dEpdr

. (5.4.5)


Esempio 8 Prendiamo per esempio la forza considerata nell’esempio 7: F (r) = k/r2. Sescegliamo r0 =∞, il punto dove la forza e nulla e poniamo Ep(r =∞) = 0 troviamo

Ep(r) = Ep(r =∞) +

∫ ∞r

k

(r′)2dr′ =

∫ ∞r

k

(r′)2dr′ =

k

r. (5.4.6)

Questa analisi si applica al caso di un’interazione fra due particelle di masse m1 e m2, in cuila forza

−→F 12 che la particella 1 esercita sulla particella 2 e diretta lungo la linea che collega

le due particelle, vale a dire e parallela a ~r12 = ~r1 − ~r2 e la relativa norma dipende soltantodalla loro distanza r12 = |~r1 − ~r2|:

−→F 12 = F12(r12) ~u12 , (5.4.7)

dove

~u12 =~r12

r12

, (5.4.8)

e il versore che definisce la direzione che collega le due masse, orientata da m1 a m2. Laforza che m2 esercita su m1 sara

−→F 21 = −−→F 12. Questa e la forma tipica dell’interazione

gravitazionale o elettrostatica fra due particelle (cariche), per cui F12(r12) = k/r212:

Forza gravitazionale:−→F 12 = −G m1m2

r212

~u12 ,

Forza elettrostatica:−→F 12 =

1

4 π ε0

q1 q2

r212

~u12 , (5.4.9)

dove G = 6.67 10−11N m2/Kg2, q1, q2 sono le cariche elettriche delle due particelle espressein Coulomb e ε0 = 8.85 10−12 farad/m e la costante dielettrica del vuoto. Se consideriamom2 come nostro sistema e m1 come la fonte della forza e parte dell’ambiente, possiamoapplicare a questa interazione generale la nostra discussione precedente circa le forze centralipoiche

−→F 12 puo essere considerata come forza centrale agente su m2, con il centro in m1.

In generale tuttavia, a meno che m1 sia molto maggior di m2, come nel caso del sistematerra/sole, m1 non puo essere considerata come fissa, poiche si muovera sotto l’azione dim2. Di conseguenza dovremmo generalizzare la nostra discussione al caso in cui l’ambiente,in questo caso m1, puo cambiare per effetto della sua interazione con il nostro sistema, inquesto caso m2, ovvero al caso in cui consideriamo come sistema da studiare quello costituitodai due corpi interagenti. Supponiamo che durante il loro moto la massa m1 e spostata did~1 e m2 di d~2. Il lavoro totale compiuto dalle forze interagenti e la somma del lavoro dW12

fatto da−→F 12 su m2 e dal lavoro dW21 fatto da

−→F 21 su m1:

dW = dW12 + dW21 =−→F 12 · d~2 +

−→F 21 · d~1 =

−→F 12 · (d~2 − d~1) = F12(r12) ~u12 · (d~2 − d~1) .

(5.4.10)

Usiamo ora la proprieta che la proiezione ~u12 · (d~2−d~1) dello spostamento relativo d~2−d~1

di m2 rispetto a m1, lungo la direzione che connette le due particelle, misura la variazionedr12 delle distanze relative: ~u12 · (d~2 − d~1) = dr12. L’espressione di W diventa

dW = F12(r12) dr12 , (5.4.11)


la quale puo sempre essere espressa come la differenza fra i valori di un’energia potenzialenella configurazione iniziale e finale:

dW = Ep(r12)− Ep(r12 + dr12) . (5.4.12)

La quantita Ep(r12) e l’energia potenziale associata non piu as una singola particella, maall’intero sistema delle due particelle e dipende soltanto dalla loro distanza. Essa e collegataalla forza F12 come segue

F12(r12) = −dEpdr12

. (5.4.13)

Il lavoro fatto quando le due particelle sono portate da una distanza r12 ad una distanza r′12

e ottenuto decomponendo la variazione totale ∆r12 = r′12 − r12 nelle variazioni infinitesimalidr12 e sommando i contributi elementari dW al lavoro totale fatto lungo ciascuno di loro

Wr12→r′12 =

∫dW =

∫ r′12

r12

F12(r) dr = Ep(r12)− Ep(r′12) . (5.4.14)

L’equazione (5.4.14) ci dice che il lavoro totale fatto dalle forze di interazione, che sono forzeconservative, dipende solo dalle configurazioni iniziali e finali e non dal modo in cui il sistemasi e evoluto da una configurazione all’altra. Nel caso in cui F12 = k/r2

12 si ha

Ep(r12) =k

r12

+ C . (5.4.15)

Si puo fissare C scegliendo l’energia potenzialedel sistema con due particelle in modo chesia nulla quando e nulla la forza tra le due particelle, cioe quando le due particelle sono adistanza infinita r12 → ∞. Cio equivale a porre C = 0. Abbiamo definito cosı un’energiapotenziale di un sistema di due particelle la cui differenza in valore fra le configurazioniiniziali e finali fornisce il lavoro totale fatto dalle forze di interazione. Il suo valore inuna data configurazione rappresenta il lavoro Wr12→∞ che le forze farebbero qualora le dueparticelle fossero portate a distanza infinita l’una dall’altra

Wr12→∞ =

∫ ∞r12

F12(r12) dr12 = Ep(r12)− Ep(∞) = Ep(r12) . (5.4.16)

Per calcolare il lavoro Wr12→r′12 in (5.4.14) mentre la distanza relativa fra le due particelle evariata da r12 to r′12, possiamo pensare di portare prima le particelle ad una distanza infinitaa partire da r12 e poi riportarle indietro da una distanza infinita a r′12. Poiche il lavoro totaledipende dalle configurazioni iniziali e finali soltanto, esso sara ancora dato da Wr12→r′12 in(5.4.14):

Wr12→r′12 =

∫ r′12

r12

F12(r) dr =

∫ ∞r12

F12(r) dr +

∫ r′12

∞F12(r) dr =

∫ ∞r12

F12(r) dr −

−∫ ∞r′12

F12(r) dr = Wr12→∞ −Wr′12→∞ = Ep(r12)− Ep(r′12) . (5.4.17)


Possiamo estendere questa analisi ad un sistema di tre particelle interagenti di massem1, m2, m3.Supponiamo che il sistema sia isolato, cosı che m1 sia influenzato solo da

−→F 21 e

−→F 31, m2 da−→

F 12 e−→F 32 e cosı via. Supponiamo che la generica forza

−→F ij che mi esercita su mj abbia la

forma generale (5.4.7)

−→F ij = Fij(rij) ~uij , (5.4.18)

dove, come al solito, ~uij e il versore nella direzione congiungente le due particelle, orientatoda mi a mj ed rij e la loro distanza. Supponiamo che il sistema evolva da una configurazionedefinita dalle distanze relative rij = r12, r13, r23 ad una differente configurazione definitada r′ij = r′12, r

′13, r

′23. Poiche il lavoro fatto dalla somma delle forze agenti su una stessa

particella e la somma dei lavori che ciascuna forza compirebbe se agisse separatamente, illavoro totale e il lavoro Wr12→r′12 fatto dalla coppia di forze

−→F 21 e

−→F 12, che dipende solo dalle

distanze iniziali e finali r12, r′12 tra m1 e m2, piu il lavoro Wr13→r′13 compiuto da

−→F 31 e

−→F 13,

che dipende solo da r13, r′13, piu il lavoro Wr23→r′23 compiuto da

−→F 32 e

−→F 23 e dipendente solo

da r23, r′23. Ciascuno di questi contributi e espresso in termini di energia potenziale associata

alle relative coppie

Wrij→r′ij = Wr12→r′12 +Wr13→r′13 +Wr23→r′23 =

= Ep(r12)− Ep(r′12) + Ep(r13)− Ep(r′13) + Ep(r23)− Ep(r′23) =

= Ep(r12, r13, r23)− Ep(r′12, r′13, r

′23) . (5.4.19)

l lavoro totale, cosı come nel caso di due particelle, dipende soltanto dalle configurazioniiniziali e finali attraverso il valore di un’energia potenziale del sistema che dipende soltantodalle distanze relative fra le particelle

Ep(rij) ≡ Ep(r12, r13, r23) = Ep(r12) + Ep(r13) + Ep(r23) =∑i<j

Ep(rij) . (5.4.20)

L’energia potenziale associata al sistema e quindi la somma delle energie potenziali relativea ciascuna coppia di particelle. Questa energia potenziale e definita a meno di una costanteadditiva che non dipende dalla configurazione e che puo essere fissata scegliendo Ep uguale azero quando le particelle sono alla distanza infinita l’una dall’altra: rij →∞. In questo casoEp(rij) misura il lavoro fatto dalle forze di interazione quando le particelle, non importacome, sono portate a distanza infinita:

Wrij→∞ = Ep(rij)− Ep(∞) = Ep(rij) . (5.4.21)

L’equazione precedente puo essere derivata alternativamente come segue. Supponiamo divoler calcolare questo lavoro a partire da una configurazione rij. Possiamo portare primam3 all’infinito, mantenendo m1 e m2 fissi. Cio significa che r13 e r23 sono mandati all’infinitoed il lavoro totale fatto sara

Wr13→∞ +Wr23→∞ = Ep(r13) + Ep(r23) . (5.4.22)


Mandiamo poi m1 e m2 a distanza infinita. Il corrispondente lavoro vale Wr12→∞ = Ep(r12).Il lavoro totale sara

Wrij→∞ = Ep(rij)− Ep(∞) = Wr13→∞ +Wr23→∞ +Wr12→∞ =

= Ep(r13) + Ep(r23) + Ep(r12) = Ep(rij) . (5.4.23)

La generalizzazione dell’ analisi precedente ad un sistema isolato di n le particelle di massem1, m2, . . . ,mn e facile. Sia

−→F ij, i, j = 1, . . . , n la forza esercitata da mi su mj, la quale

abbia la forma generica data in (5.4.18). Il lavoro totale compiuto dalle forze interne quandola configurazione del sistema varia da rij a r′ij dipende solo dalle configurazioni inizialie finali attraverso l’energia potenziale del sistema Ep(rij) = Ep(r12, r13, . . . , rn−1,n):

Wrij→r′ij = Ep(rij)− Ep(r′ij) , (5.4.24)

dove Ep(rij) e la somma delle energie potenziali associate ad ogni coppia di particelle

Ep(rij) ≡ Ep(r12) + Ep(r13) + . . .+ Ep(rn−1,n) =∑i<j

Ep(rij) . (5.4.25)

Come di consueto la costante additiva indeterminata nella definizione di Ep puo essere fissatarichiedendo che Ep(rij → ∞) = 0, di modo che Ep(rij) misura il lavoro totale fattoquando si portano le particelle a distanza relativa infinita.

Applichiamo ora il teorema lavoro-energia a questo sistema di n particelle. Il lavoro totalecompiuto dalle forze di interazione, se il sistema e isolato, e uguale la variazione dell’energiacinetica totale del sistema

Wrij→r′ij = E ′k − Ek , (5.4.26)

dove

Ek =n∑i=1

1

2mi v

2i =

n∑i=1

1

2mi

p2i . (5.4.27)

usando l’equazione (5.4.24) troviamo

E ′k − Ek = Ep(rij)− Ep(r′ij) ⇔ E ′ = E , (5.4.28)

vale a dire troviamo che l’energia meccanica totale interna del sistema, somma di energiecinetiche e potenziali, e conservata:

E = Ek + Ep(rij) = costante . (5.4.29)

Se il sistema non e isolato, ma e soggetto anche a forze esterne, il lavoro totale W sara lasomma dei lavori fatti dalle forze interne W int, date da (5.4.24), e dalle forze esterne W ext.Applicando il teorema del lavoro-energia troviamo

E ′k − Ek = W = W int +W ext = Ep(rij)− Ep(r′ij) +W ext , (5.4.30)


cioe

∆E = E ′ − E = W ext . (5.4.31)

Abbiamo trovato che la variazione dell’energia meccanica interna totale di un sistema diparticelle, somma dell’energia cinetica totale e dell’energia potenziale associata alle forzeinterne conservative, e uguale al lavoro totale compiuto dalle forze esterne sul sistema. Comevedremo, qualsiasi quantita macroscopica di materia puo essere vista come sistema di infiniteparticelle rappresentate dalle molecole costituenti.

In questo caso il numero n di particelle e dell’ordine del numero di Avogadro, vale a diren ∼ 1023. Anche se il sistema, che potrebbe essere un liquido o un gas in un contenitore,sembra a riposo da un punto di vista macroscopico, ovvero non osserviamo un moto relativodelle parti del sistema, questo non implica che le singole molecole siano a riposo.

Cio che noi possiamo effettivamente misurare in modo diretto e solo la velocita media 〈~v〉delle molecole contenute in un piccolo intorno di ogni punto del sistema in un intervallo ditempo limitato. Questa media coinvolge tipicamente tantissime molecole. Essa misura unacomponente globale del moto del sistema nell’intorno di ogni punto, che e la stessa per tuttele molecole. Se questa componente globale e zero, il moto delle molecole e completamentedisordinato e non ha cosi’ nessuna direzione preferita.

Questo e il caso del moto termico delle molecole all’equilibrio. In questa situazione laloro velocita media e zero, anche se le singole molecole si stanno muovendo. Effettivamente ilpiccolo volume sondato dallo strumento per la misurazione della velocita del sistema contienetipicamente un grande numero n di molecole. La distribuzione delle velocita all’interno diquesto campione e completamente disordinato in modo che per ogni molecola in moto conuna velocita ~vi esiste una molecola che si muove ad una velocita −~vi (in altre parole eugualmente probabile trovare le velocita ~vi e −~vi all’interno del campione di molecole, perqualsiasi ~vi)) e quindi la somma vettoriale su tutte le velocita nel campione a ogni istante ezero.

〈~v〉 =1

n

n∑i=1

~vi = 0 . (5.4.32)

Cio avviene in un sistema termodinamico all’ equilibrio. Anche se la velocita media dellemolecole e zero, il valore medio delle norme corrispondenti non lo e

〈|~v|〉 =1

n

n∑i=1

|~vi| 6= 0 . (5.4.33)

In conseguenza di questo, l’energia cinetica media delle molecole nella materia non e zero.In effetti essa e collegato con la temperatura T del sistema. Poiche le molecole interagiscono,possiamo definire per il sistema un’energia meccanica interna totale, che chiameremo ener-gia interna U , come la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale del sistema dimolecole N 1 molecole:

U ≡N∑i=1

E(i)k + Ep(rij) = N 〈Ek〉+ Ep(rij) . (5.4.34)

5.5. FORZE NON CONSERVATIVE 105

essendo 〈Ek〉 l’energia cinetica media di ciascuna molecola. Nei solidi e nei liquidi, l’inte-razione fra le molecole e importante per la determinazione delle proprieta del sistema, cioel’energia potenziale rappresenta una frazione importante dell’energia interna totale. Nei gasle molecole interagiscono soltanto durante il breve tempo delle loro collisioni e possono essereconsiderate come particelle libere durante il tempo fra due urti successivi, vale a dire durantela gran parte del loro moto.

In conseguenza di cio, il contributo dell’energia potenziale all’energia interna totale U emolto piu piccolo per i gas che per i liquidi o i solidi. Riducendo gradualmente la densita diun gas, la distanza media fra le relative molecole aumenta e questa riduce l’energia potenzialemedia del sistema fino a che non diventa trascurabile rispetto all’energia cinetica media.

In questo limite, il gas si comporta come un gas ideale, descritto come un insieme dimolecole libere che interagiscono soltanto con scontri istantanei. Generalmente la dipendenzadell’ energia interna U di sistema dal suo volume V e dovuta all’energia potenziale, poichequando variamo V , la distanza media 〈rij〉 fra le molecole varia e, di conseguenza, l’energiapotenziale media cambia.

D’altra parte, U dipende dalla temperatura attraverso l’energia cinetica media di ciascunamolecola. Per un gas ideale il contributo dell’ energia potenziale a U e trascurabile in (5.4.34)e, di conseguenza, U dipende soltanto dalla temperatura

U = U(T ) . (5.4.35)

Questa e una caratteristica importante di un gas ideale e descrive bene le proprieta dei gasreali a densita e pressione basse.

5.5 Forze non conservative

Una forza e non-conservativa se una delle due proprieta equivalenti, stabilite per le forzeconservative nell’ultimo paragrafo, non vale. Come precedentemente accennato, un esempiodi forza non-conservativa e l’attrito. E facile convincersi che il lavoro compiuto dall’ attritoquando un oggetto e spostato su un tavolo orizzontale lungo un circuito chiuso non e zero.

Infatti le forze di attrito sono dirette sempre nella direzione opposta al moto, in modo daresistergli. In altre parole, esse compionosempre lavoro negativo sull’oggetto su cui agiscono.Il viaggio totale di andata e ritorno puo essere decomposto in una successione di piccolispostamenti lungo cui il lavoro elementare fatto dall’ attrito e una quantita negativa nonnulla. Di conseguenza il lavoro totale compiuto sull’oggetto mentre esso viene riportato allasua posizione originale rimane negativo, essendo la somma dei contributi negativi lungo ognispostamento.

Segue da questo che il lavoro compiuto dalle forze di attrito, quando l’oggetto e spostatofra due punti, dipende dal percorso seguito. Di conseguenza non possiamo esprimere il lavorofatto come la differenza nei valori di una funzione fra le posizioni iniziale e finale. In altreparole non e possibile associare alle forze di attrito, cosı come con altre forze non-conservative,un’energia potenziale.


Supponiamo che una particella sia soggetta, quando si muove, a forze conservative e non-conservative, il cui lavoro e indicato con Wc e da Wn−c rispettivamente. Possiamo scrivereil lavoro totale fatto dalla forza risultante come la somma dei lavori fatti dai due tipi diforze: Wtot = Wn−c +Wc. Soltanto Wc puo essere espresso come la variazione di un’energiapotenziale fra le posizioni iniziali e finali della particella: Wc = −∆Ep. Per il teoremalavoro-energia, espresso in (5.2.4 ), possiamo scrivere

Wtot = Wn−c +Wc = ∆Ek ⇒ Wn−c = −Wc + ∆Ek = ∆Ep + ∆Ek = ∆E .(5.5.1)

La relazione precedente identifica il lavoro fatto dalla forza non-conservativa con la variazionedell’energia meccanica totale. Di conseguenza, in presenza di forze non-conservative, l’energiameccanica totale non e conservata. Se la forza non conservativa e l’ attrito, Wn−c e semprenegativa, vale a dire l’energia meccanica totale si ridurra mentre l’oggetto si muove.

Notiamo tuttavia che, quando due oggetti sono sfregati uno contro l’altro, essi si riscal-dano: si produce calore e le loro temperature aumentano. Come vedremo, il calore e unaforma di energia e possiamo pensare all’energia meccanica persa in presenza delle forze diattrito come convertita in una quantita Q di energia termica. Si puo verificare che il caloreprodotto e Q = −Wn−c, cosı che possiamo scrivere

∆E +Q = 0 . (5.5.2)

5.6 Moto Unidimensionale e Conservazione dell’Ener-

gia

Torniamo al caso del moto unidimensionale di una particella di massa m soggetta all’azionedi una forza

−→F diretta lungo la direzione del moto (che prendiamo coincidere con l’asse

X), che dipende solo dalla posizione della particella su cui agisce. Essendo tale posizioneunivocamente definita in ogni istante dall’ascissa della particella x, scriveremo:

−→F =

−→F (x) = F (x) ~ux . (5.6.1)

Sappiamo che−→F e conservativa e che la corrispondente energia potenziale Ep(x) e data

dall’opposto della funzione primitiva associata alla sua componente F (x):

Ep(x) = −∫F (x)dx+ C ⇔ F (x) = −dEp

dx(x) . (5.6.2)

L’energia meccanica si conserva durante il moto della particella:

E = Ek(v) + Ep(x) =m

2v2 + Ep(x) = cost. (5.6.3)

Vogliamo mostrare che il moto unidimensionale e completamente derivabile dalla conserva-zione dell’energia meccanica E. Infatti dalla (5.6.3) possiamo ricavare la velocita v dellaparticella in funzione di x:

v =dx

dt= ±

√2

m(E − Ep(x)) , (5.6.4)

5.6. MOTO UNIDIMENSIONALE E CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA 107

dove il “+” vale in quegli istanti in cui x aumenta con t (v > 0), il “−” nella parte del motoin cui x diminuisce con t (v < 0). In un’intervallo infinitesimo tra t e t + dt, la variazionecorrispondente dx di x si scrive dx = dx

dtdt = v(t) dt, per cui, moltiplicando ambo i membri

della (5.6.4) per dt, troviamo:

dx =dx

dtdt = ±

√2

m(E − Ep(x)) dt . (5.6.5)

Dividiamo adesso ambo i membri per la funzione√

2m

(E − Ep(x)):

dx√2m

(E − Ep(x))= ± dt . (5.6.6)

Abbiamo trovato una relazione che lega dx a dt per ogni intervallino infinitesimo di tempodt in cui possiamo pensare di dividere il moto intero. Sommiamo queste equazioni membroa membro su tutti gli intervallini in cui e diviso l’intervallo tra l’istante iniziale t = 0 ed ungenerico istante t > 0. Questo equivale ad integrare il secondo membro della (5.6.6) tra 0 et, ed il primo membro tra il valore x0 di x nell’istante iniziale ed il valore x(t) di x all’istantet: ∫ x(t)

x0

dx√2m

(E − Ep(x))= ±

∫ t

0

dt = ±t . (5.6.7)

Il primo membro e un integrale piu o meno complicato da calcolare, che comunque dipendesolo da x(t) e dalle condizioni iniziali del moto x0 = x(0) e v0 = v(0) sia attraverso l’estremoinferiore dell’integrale, sia attraverso il valore costante dell’energia meccanica E, che si puopensare fissata dalle stesse condizioni iniziali (essendo una costante del moto):

E =m

2v2

0 + Ep(x0) . (5.6.8)

Calcolando l’integrale a primo membro della (5.6.7) e risolvendo l’equazione in x(t), possiamoin linea di principio determinare l’espressione esplicita di x(t) in termini di t e dei dati inizialix0, v0, ovvero determinare il moto della particella.

Applichiamo questa procedura ad un moto che abbiamo esplicitamente risolto per altravia: quello dell’oscillatore armonico. In questo caso sappiamo che l’energia potenziale valeEp(x) = ke

2x2, avendo fissato la costante additiva arbitraria richiedendo che tale energia sia

nulla nella posizione di equilibrio x = 0. L’equazione (5.6.7) si scrive:∫ x(t)

x0

dx√2m

(E − ke2x2)

= ±∫ t

0

dt = ±t . (5.6.9)

Calcoliamo l’integrale a primo membro, riconducendo attraverso opportuni passaggi ad unintegrale noto. Per cominciare, lo riscriviamo nel seguente modo:∫ x(t)

x0

dx√2m

(E − ke2x2)

=

√m

2E

∫ x(t)

x0

dx√(1− ke

2Ex2)

. (5.6.10)


Introduciamo adesso la nuova variabile:

y(x) =

√ke

2Ex . (5.6.11)

Se x varia di una quantita infinitesima dx, y(x) variera di un infinitesimo dy dato da:

dy =dy

dxdx =

√ke

2Edx . (5.6.12)

Cambiamo variabile da x ad y(x) nell’integrale (5.6.10):√m

2E

∫ x(t)

x0

dx√(1− ke

2Ex2)

=

√m

ke

∫ y(x(t))

y(x0)

dy√(1− y2)

. (5.6.13)

Osserviamo adesso che |y| ≤ 1. Infatti sappiamo che l’energia potenziale durante il moto esempre minore dell’energia meccanica totale essendo l’energia cinetica mai negativa:

Ep(x) =ke2x2 = E − Ek ≤ E ⇔ y2 =

ke2E

x2 ≤ 1 . (5.6.14)

Possiamo calcolare facilmente l’integrale:∫dy√

1− y2, (5.6.15)

cambiando ulteriormente variabile di integrazione da y ad un angolo 0 ≤ θ ≤ π, legato ad ydalla relazione:

y = cos(θ) ⇔ dy =dy

dxdx = − sin(θ) dθ ; (5.6.16)

troviamo ∫dy√

(1− y2)=

∫(− sin(θ)dθ)√(1− cos2(θ))

=

∫(− sin(θ)dθ)

sin(θ)= −

∫dθ . (5.6.17)

Siamo ora in grado di calcolare l’integrale in (5.6.13)√m

2E

∫ x(t)

x0

dx√(1− ke

2Ex2)

= −√m

ke

∫ θ(y(x(t)))

θ(y(x0))

dθ =1

ω0

(θ(y(x0))− θ(y(x(t)))) =

= − 1

ω0

(arccos(y(x(t)))− arccos(y(x0))) , (5.6.18)

ove, al solito, ω0 =√ke/m. Dalla (5.6.9) abbiamo che:

arccos(y(x(t)))− arccos(y(x0)) = ∓ω0 t ⇔ arccos(y(x(t))) = ∓ (ω0 t+ φ) , (5.6.19)

5.6. MOTO UNIDIMENSIONALE E CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA 109

dove φ = ∓arccos(y(x0)). Calcolando il coseno di ambo i membri dell’ultima equazione ericordandoci la definitione di y(x), troviamo infine:

x(t) =

√2E

kecos(ω0 t+ φ) , (5.6.20)

che e la soluzione generale dell’equazione del moto dell’oscillatore armonico, in cui le condi-zioni iniziali sono fissate da E e da φ. Se per esempio consideriamo l’oscillatore che vienelasciato andare da fermo (v0 = 0) a partire da un x0 > 0, troviamo che l’energia meccanicae data dall’energia potenziale iniziale:

E =ke2x2

0 ⇔ y(x0) =

√ke2E

x0 = 1 ⇔ φ = ∓arccos(y(x0)) = ∓arccos(1) = 0 ; (5.6.21)

la fase iniziale φ e quindi nulla ed il moto (5.6.20) si scrive nella forma piu familiare:

x(t) = x0 cos(ω0 t) . (5.6.22)

La derivazione di un moto unidimensionale generico dalla conservazione dell’energia sarautile quando studieremo il moto Kepleriano, ovvero il moto dei pianeti intorno al sole e, ingenerale, il moto di una particella soggetta ad una forza centrale il cui modulo e inversamenteproporzionale al quadrato della distanza r dal centro della forza. Per questo problema piucomplesso vedremo che non bastera la conservazione dell’energia meccanica a determinareil moto, ma occorrera ricorrere alla conservazione di una ulteriore quantita: il momentoangolare. Quest’ultima ci consentira di ridurre lo studio della sola componente radiale delmoto (definita da r(t)) ad un moto unidimensionale di una particella soggetta ad una forzadiretta lungo la direzione del moto con modulo dipendente solo dalla sua posizione. Appli-cando a questo moto la procedura generale descritta in questa sezione, dalla conservazionedell’energia sara possibile determinare la componente radiale del moto r(t).


Capitolo 6

Sistemi di particelle

Finora abbiamo trattato il moto di una singola particella, soggetta all’azione del suo am-biente. Abbiamo supposto che tutti gli oggetti con cui la particella interagisce siano fissinello spazio, di modo che la forza esercitata su essa dipenda soltanto dalla sua posizioneo velocita. Ora estendiamo la nostra analisi includendo l’ambiente (o parte di esso) in cuila particella si muove, vale a dire considereremo l’evoluzione nel tempo di un sistema diparticelle interagenti. Vedremo che generalmente l’evoluzione di un tal sistema puo esseredecomposto sempre nel moto relativo di particelle una rispetto all’altra, includendo rotazionie vibrazioni, ed in un moto globale del sistema nel suo complesso. Quest’ultima componentepuo essere associata ad un punto caratteristico del sistema, denominato centro di massa.

Vedremo anche che nei problemi in cui non siamo interessati al moto interno del sistemadi particelle, vale a dire nel loro moto relativo, il moto di traslazione globale del sistema puoessere descritto come moto di una singola particella avente massa uguale alla massa totaledel sistema, situata nel relativo centro di massa e soggetto alla risultante delle forze esterneche agiscono sul sistema.

6.1 Centro di massa

Dato un sistema di n particelle di masse m1, m2, . . . , mn, in moto con velocita ~v1, ~v2, . . . ,~vn, definiamo velocita del centro di massa ~vCM la seguente quantita

~vCM =

∑ni=1mi ~viM

, (6.1.1)

dove abbiamo definito la massa totale del sistema M come

M =n∑i=1

mi . (6.1.2)

Se moltiplichiamo entrambi i membri dell’ equazione (6.1.1) per M , ricordando la definizionedella quantita di moto per ogni particella ~pi = mi ~vi, vediamo che la quantita M ~vCM puo

111

112 CAPITOLO 6. SISTEMI DI PARTICELLE

essere identificata con la quantita di moto totale ~P del sistema

M ~vCM =n∑i=1

~pi = ~P . (6.1.3)

Se la massa di una particella e indipendente dalla sua velocita, come nel caso del limitenon-relativistico v c che stiamo considerando, la velocita del centro di massa puo essereassociata al moto di un punto nello spazio, il centro di massa, definito dal seguente vettoredi posizione ~rCM = (xCM , yCM , zCM)

~rCM =

∑ni=1mi ~riM

, (6.1.4)

dove ~ri = (xi, yi, zi) e il vettore posizione dell’ ima particella e le coordinate si riferiscono adun sistema di coordinate cartesiane S con origine O ed assi X,Y,Z. Dalla 6.1.4) deduciamol’espressione delle coordinate del centro di massa

xCM =

∑ni=1mi xiM

, (6.1.5)

yCM =

∑ni=1mi yiM

, (6.1.6)

zCM =

∑ni=1mi ziM

. (6.1.7)

(6.1.8)

Effettivamente, se deriviamo entrambi i membri dell’equazione(6.1.4) rispetto al tempo edidentifichiamo ~vCM con d~rCM

dttroviamo (6.1.1). In un dato istante, la posizione del centro

di massa e indipendente dalle coordinate con cui scegliamo di descrivere il sistema stesso.Consideriamo un nuovo sistema di riferimento cartesiano con origine O′, differente da O, ed

assi X ′, Y ′, Z ′ paralleli ai rispettivi X, Y, Z e denotiamo con ∆~r =−−→OO′ la posizione di O′

rispetto ad O. I vettori posizione ~r′ e ~r di un punto P sono legati da

~r′ = ~r −∆~r , (6.1.9)

Le componenti (x′, y′, z′) of ~r′ rispetto al nuovo sistema di coordinate S ′ sono le nuove coordi-nate di P , e (x, y, z) sono le vecchie coordinate di P nel vecchio sistema S. Se (∆x,∆y,∆z)sono le componenti di ∆~r rispetto a S, le relazioni tra le nuove e le vecchie coordinate di Psono ottenute scrivendo (6.1.9) nelle sue componenti

x′ = x−∆x , (6.1.10)

y′ = y −∆y , (6.1.11)

z′ = z −∆z . (6.1.12)

E facile controllare che la posizione ~rCM−~ri del centro di massa rispetto ad ogni particella delsistema e la stessa nei due sistemi di coordinate S ′ e S: ~r′CM − ~r′i = ~rCM − ~ri. Per mostrarloe sufficiente provare che, se ~r′i = ~ri−∆~r, ~r′CM = ~rCM −∆~r. Questa e una proprieta generaledel centro di massa: la sua posizione rispetto ad ogni particella del sistema non dipende dalsistema di coordinate usate per descriverlo.

6.1. CENTRO DI MASSA 113

Esempio 1 Consideriamo due particelle di masse m1 = 1Kg and m2 = 2Kg, giacentisull’asse X nelle posizioni x1 = 1m, x2 = 3m. Trovare la posizione del centro di massa e lasua distanza dalle due particelle.

La massa totale del sistema e M = m1 + m2 = 3Kg. In questo caso y1 = y2 = 0 andz1 = z2 = 0. Dalle (6.1.6) e (6.1.7) troviamo che yCM = zCM = 0, cioe il centro di massa sitrova anch’esso sull’asse. La sua posizione e data dall’ equazione (6.1.5)

xCM =m1 x1 +m2 x2

M=

(1Kg) (1m) + (2Kg) (3m)

3Kg= 2.33m. (6.1.13)

La distanza del centro di massa dalle due particelle e

|xCM − x1| =m2

m1 +m2

|x2 − x1| =2

3|x2 − x1| = 1.33m,

|xCM − x2| =m1

m1 +m2

|x2 − x1| =1

3|x2 − x1| = 0.67m. (6.1.14)

Vediamo che il centro di massa e piu vicino alla particella piu pesante.

Esempio 2 Consideriamo tre particelle di masse m1 = 1.5Kg, m2 = 1.5Kg, m3 = 3Kgposte nel piano XY nelle posizioni ~r1 = (0, 0), ~r2 = (0, 2) e ~r3 = (2, 1) (le coordinate sonoespresse in metri). Trovare la posizione del centro di massa.

Applichiamo l’equazione (6.1.4).La massa totale del sistema e M = m1+m2+m3 = 6Kg.Troviamo

~rCM =1

M(m1 ~r1 +m2 ~r2 +m3 ~r3) =

1

6[(0, 0) + 1.5 (0, 2) + 3 (2, 1)] =

1

6(6, 6) = (1, 1) =

= ~ux + ~uy . (6.1.15)

Supponiamo ora che ogni particella sia soggetta ad una forza interna dovuta alle altre par-ticelle del sistema ed a forze esterne. Se deriviamo entrambi i membri di equazione (6.1.3)ed usiamo equazione (4.6.16) del Cap. 4, troviamo

d

dt(M ~vCM) =

d

dt~P =−→Fext, (6.1.16)

dove−→Fext

e la risultante delle forze esterne. Dalla precedente equazione concludiamo che ilmoto del centro di massa e quello di una particella di massa M , uguale alla massa totale delsistema, su cui agisce la risultante delle forze esterne.

La quantita di moto di questa particella uguaglia la quantita di moto totale del sistema.Il suo moto quindi non e influenzato dalle forze interne e descrive il moto di traslazione del

sistema nel suo complesso. Se il sistema e isolato, vale a dire se−→Fext

= 0, qualunque sianole interazioni fra le particelle, il suo centro di massa persistera nel suo moto uniforme, inconseguenza del principio di conservazione della quantita di moto totaleM ~vCM = ~P = const.

Si consideri, per esempio, un razzo che esplode nell’aria in un certo istante. Le sue varieparti sono espulse dalle forze prodotte nella deflagrazione e ciascuna di esse continua lungo


una traiettoria differente. Queste forze tuttavia sono interne al sistema, essendo originatedalle reazioni chimiche che sono avvenute all’interno del razzo e quindi non influenzano ilmoto del centro di massa.

Quest’ultimo risente soltanto della forza esterna totale che agisce sul sistema, cioe’ la forzadi gravita, e quindi persistera nel suo originario moto uniformemente accelerato, ovvero lungola sua traiettoria parabolica.

Possiamo applicare questa analisi al moto di un oggetto esteso. Dividiamo il volume Vdell’oggetto in infinite cellule elementari di volume ∆V , sufficientemente piccole in modo dapotere considerare uniformi tutte le quantita fisiche all’interno di ciascuna di esse. Sia ∆mla massa contenuta in ∆V e definiamo la densita media ρmedia di materia in ∆V come laquantita

ρmedia =∆m

∆V, (6.1.17)

Riducendo ∆V , variera il valore di ρmedia. Se ∆V e abbastanza piccolo, e lo denoteremo condV , ogni ulteriore riduzione di esso non modifichera apprezzabilmente il valore di ρmedia, chedenoteremo con ρ, cioe nel limite ∆V → 0, ρmedia tendera ad un valore limite ρ che definiscela densita della materia in un punto all’interno di dV

ρ = lim∆V→0

∆m

∆V=dm

dV. (6.1.18)

ρ(x, y, z) e una funzione del punto e descrive la distribuzione della materia all’interno dell’og-getto. Ogni volume elementare dV puo essere considerato come una particella puntiforme dimassa dm = ρ dV , essendo la sua estensione trascurabile rispetto a quella dell’intero oggetto.

Fin ora abbiamo implicitamente assunto che la distribuzione di materia sia continua.Tuttavia sappiamo che, osservando la materia su una scala sufficientemente piccola (cioe aduna distanza dell’ ordine di 10−8÷10−10m), essa rivelera la sua natura discreta fatta di atomie di molecole. Definiamo l’elemento di volume dV , che rappresenta la piu piccola porzione dimateria che stiamo considerando, come un volumetto molto piu piccolo dell’intero oggetto,la cui dimensione lineare sia comunque piu grande della distanza media fra le molecole, inmodo da contenere tantissimi costituenti elementari e presentare quindi al sui interno unadistribuzione in buona approssimazione continua di materia.

Tenendo questo in mente, noi ignoreremo per il momento la natura microscopica discretadella materia e considereremo la porzione dV di materia come una particella di massa dm.Avendo descritto un oggetto esteso come un sistema di infinite particelle, possiamo estenderead esso la definizione del centro di massa. La massa totale M dell’oggetto e data data da

M = lim∆V→0

∑∆m =

∫V

dm =

∫V

ρ dV . (6.1.19)

La posizione del centro di massa e definita da

~rCM = lim∆V→0

1∑∆m

∑∆m~v =

1∫Vdm

∫V

~v dm =1

M

∫V

~v ρ dV . (6.1.20)

6.1. CENTRO DI MASSA 115

E spesso utile studiare l’evoluzione di un sistema di particelle isolate rispetto ad un sistemadi riferimento, denominato sistema del centro di massa in cui il centro di massa e a riposo:~vCM = 0. Poiche il centro di massa di un sistema isolato si muove a velocita costante, questosistema di riferimento e inerziale, ovvero vale in esso l’ equazione di Newton. Nel sistemadel centro di massa la descrizione del sistema e semplificata dal fatto che le quantita di motodelle particelle sono soggette alla condizione

~P =n∑i=1

~pi = 0 , (6.1.21)

il che riduce il numero delle variabili cinematiche in gioco.

Esempio 3 Si consideri un sistema di due particelle di masse m1 and m2 che si spostanocon velocita ~v1, ~v2. Supponiamo che le particelle siano soggette solo alla loro azione reciproca,in modo che il sistema sia isolato. Vogliamo scomporre il moto totale delle particelle nel motodel centro di massa, e nel moto delle due particelle relativo al centro di massa.

A tal fine, cerchiamo di descrivere il sistema rispetto al sistema di riferimento S, chiamatosistema di laboratorio in cui il centro di massa si muove ad una velocita costante ~vCM rispettoad un sistema di S ′ in moto con il centro di massa, ( sistema del centro di massa ), la cuiorigine O′ coincide con il centro di massa in ogni istante. Se supponiamo che a t = 0, O′ ≡ O,la posizione ∆~r(t) of O′ rispetto a O in un successivo istante t sara ∆~r(t) = ~vCM t. Questaequazione quindi fornisce la relazione tra i vettori posizione di un punto P (6.1.9) rispetto adue sistemi di coordinate:

~r′ = ~r −∆~r = ~r − ~vCM t . (6.1.22)

Queste non sono altro che le leggi di trasformazione di Galileo (3.2.9) applicate al motorelativo del sistema del centro di massa rispetto al sistema del laboratorio.

Se deriviamo entrambi i membri della (6.1.22) rispetto al tempo, troviamo la relazionetra la velocita di una particella nei due sistemi di riferimento:

~v′ = ~v − ~vCM . (6.1.23)

Pertanto, un osservatore che si sposti con centro di massa a riposo rispetto a S ′ vedra m1 em2 in moto con velocita ~v′1, ~v

′2 date da

~v′1 = ~v1 − ~vCM = ~v1 −1

m1 +m2

(m1 ~v1 +m2 ~v2) =m2

m1 +m2

(~v1 − ~v2) =m2

m1 +m2

~v12 ,

~v′2 = ~v2 − ~vCM = − m1

m1 +m2

~v12 , (6.1.24)

ove ~v12 = ~v1 − ~v2 e la velocita relativa di m1 rispetto a m2.Possiamo verificare che la quantita di moto totale nel sistema del centro di massa S ′ e

pari a zero:

~p′1 + ~p′2 = m1 ~v′1 +m2 ~v

′2 = 0 . (6.1.25)


Scriviamo ora l’ energia cinetica totale del sistema

Ek =m1

2v2

1 +m2

2v2

2 =m1

2|~v′1 + ~vCM |2 +

m2

2|~v′2 + ~vCM |2 =

=m1 +m2

2v2CM +m1 ~v

′1 · ~vCM +m2 ~v

′2 · ~vCM +

µ

2v2

12 =M

2v2CM +

µ

2v2

12 ,

(6.1.26)

dove abbiamo introdotto la massa ridotta del sistema, definita da

µ =m1m2

m1 +m2

. (6.1.27)

Vediamo che l’energia cinetica totale e la somma di un contributo dovuto al moto del centrodi massa e di un altro contributo associato al moto relativo delle due particelle, vale a direil moto del sistema rispetto al centro di massa. Il primo moto e quello di una particella dimassa M situata nel centro di massa del sistema ed in moto con quantita di moto costante~P = const. Il secondo moto e quello di una particella di massa pari alla massa ridotta µ delsistema, che si muove con velocita ~v12.

Consideriamo questo moto in maggior dettaglio. Possiamo scrivere le equazioni del motoper le due particelle nel seguente modo

d~v1

dt=

1

m1

−→F 21 ,

d~v2

dt=

1

m2

−→F 12 = − 1

m2

−→F 21 . (6.1.28)

Sottraendo queste equazioni membro a membro, si trova l’equazione

µd~v12

dt=−→F 21 , (6.1.29)

che descrive il moto relativo delle due particelle come il moto di una singola particella dimassa µ che si muove con una velocita uguale alla velocita relativa di m1 rispetto a m2 esoggetta alla forza interna esercitata da m2 su m1. Se m2 m1, µ ≈ m1 ed il moto relativopuo essere descritto come il moto di m1 rispetto ad m2 a riposo.

Si consideri ad esempio un atomo di idrogeno, che consiste in un protone ed un elettronevincolato dalla reciproca attrazione elettrica. La massa del protone e mp = 1.67 10−27Kge la massa dell’ elettrone e me = 9.11 10−31Kg. Vediamo che il protone e circa 2000 voltepiu pesante dell’ elettrone e quindi il centro di massa puo essere considerato, con una buonaapprossimazione, coincidente con il protone. Inoltre la massa ridotta e approssimativamenteuguale alla massa dell’ elettrone. Il moto dell’ atomo puo quindi essere scomposto in unmoto globale di traslazione di una massa M = mp + me ≈ mp concentrata nel centro dimassa e nel moto dell’ elettrone rispetto al protone a riposo.

6.2. COLLISIONI 117

6.2 Collisioni

Prendiamo ora in considerazione le collisioni, e cioe i processi che coinvolgono particelle libereche, durante un breve intervallo di tempo ∆t, e in una regione limitata ∆V dello spazio,interagiscono e cambiano il loro stato di moto, ved. Fig. 6.1. Gli stati iniziale e finale del

Figura 6.1:

sistema sono supposti essere descritti da particelle libere, mentre durante ∆t ha luogo ilprocesso di interazione in cui ogni particella e soggetta ad una forza

−→F dovuta alle altre

particelle del sistema (forza interna). Questa forza produce una variazione della quantita dimoto che puo essere calcolata come segue. L’ equazione Newton ci permette di ricavare lavariazione della quantita di moto di un particella soggetta ad una forza

−→F durante un lasso

di tempo infinitesimo dt:

d~p =−→F (t) dt , (6.2.1)

in cui la forza dipende dal tempo perche e esercitata dalle altre particelle del sistema, a lorovolta in moto. Integrando la precedente equazione sul periodo di interazione ∆t, troviamo

∆~p =

∫∆t

−→F (t) dt =

−→F ∆t , (6.2.2)

dove−→F la forza media sulla particella durante ∆t. Se ∆t e molto piccolo, F deve essere

molto intenso per produrre un effetto apprezzabile sul moto della particella. Sulle particelle


possono agire anche forze esterne. Tuttavia ∆t e cosı piccolo che l’effetto di ogni azioneesterna sul moto delle particelle durante la collisione e trascurabile rispetto a quello della lorointerazione. Pertanto, fino a quando si considerano gli stati iniziale e finale delle particelle,come i loro stati di moto immediatamente prima e dopo la collisione, il sistema puo essereconsiderato isolato e si puo applicare il principio di conservazione della quantita di moto. Seconoscessimo la natura esatta delle forze reciproche che agiscono sulle particelle durante lacollisione, risolvendo le equazioni del moto, per ciascuna di esse, noto il loro stato iniziale,che e sempre sotto controllo, saremmo in grado di prevedere con precisione lo stato finale delsistema. Nella maggior parte dei casi, la natura delle interazioni, soprattutto nei processisubatomici, non e nota e preziose informazioni su di essa possono essere dedotte osservandoil moto delle particelle dopo le collisioni in funzione del il loro stato iniziale.

Consideriamo n particelle di masse m1, . . . , mn e quantita di moto iniziale ~p1, , . . . , ~pnle quali si scontrano in un certo istante. Noi ci limiteremo a collisioni che non cambiano lanatura ed il numero delle particelle, anche se questa non e la situazione piu generale nelleinterazioni che coinvolgono particelle elementari (come il protone, il neutrone e l’elettrone,per esempio) o anche nei processi chimici. Supponiamo che le particelle (libere) provenientidalla collisione siano descritte dalle quantita di moto ~q1, , . . . , ~qn. La conservazione dellaquantita di moto totale nell’interazione implica che

~p1 + . . .+ ~pn = ~q1 + . . .+ ~qn . (6.2.3)

La collisione e chiamata ( elastica) se anche l’ energia cinetica totale e conservata, cioe se nonci sono forze dissipative agenti durante l’interazione. In questo caso abbiamo una ulteriorecondizione che collega le quantita iniziali e finali:

Eink =

n∑i=1

p2i

2mi

=n∑i=1

q2i

2mi

= Eoutk . (6.2.4)

Se l’energia cinetica non e conservata, la collisione e chiamata anelastica. Definiamo ora ilseguente parametro Q

Q = −∆Ek = Eink − Eout

k . (6.2.5)

Se Q = 0 la collisione e elastica, mentre e anelastica se Q 6= 0. Se Q > 0 l’energia cineticatotale (che coincide con l’energia meccanica totale del sistema, essendo le particelle liberenei loro stati iniziali e finali), e diminuita. Questo e in genere il caso in cui forze dissipativeagiscono nel processo e convertono energia meccanica in energia termica, misurata da Q.Collisioni di questo tipo sono chiamati endogene. Se Q < 0 si osserva un aumento dellaenergia meccanica totale e il processo e chiamato esogeno.

Le quantita di moto iniziali ~pi sono note. Le equazioni (6.2.3) e (6.2.4), essendo indi-pendenti dal tipo di interazione, possono essere viste come vincoli cinematici sulle quantitadi moto finali ~qi. Le caratteristiche dello stato finale che non sono fissate dai vincoli cine-matici, dipenderanno dalla natura delle interazioni e pertanto possono fornire importantiinformazioni sulle dinamiche del processo.

6.2. COLLISIONI 119

Spesso e utile studiare il processo nel sistema del centro di massa, in cui la quantita dimoto complessiva e zero e le relazioni (6.2.3) diventano

~p′1 + . . .+ ~p′n = 0 = ~q′1 + . . .+ ~q′n . (6.2.6)

Esempio 4 Prendiamo in considerazione un processo di urto tra due particelle di massem1, m2, e quantita di moto iniziale ~p1 = m1 ~v1, ~p2 = m2 ~v2 e finale ~q1 = m1 ~u1, ~q2 = m2 ~u2.La conservazione della quantita di moto totale implica

~p1 + ~p2 = ~q1 + ~q2 . (6.2.7)

Se la collisione e elastica abbiamo anche l’ulteriore vincolo

Eink =

p21

2m1

+p2

2

2m2

=q2

1

2m1

+q2

2

2m2

= Eoutk . (6.2.8)

Iniziamo a considerare il caso piu semplice di una collisione in una dimensione. Le particelleprima e dopo l’ interazione si muovono lungo la stessa direzione X. Siano pi e qi le componentidelle quantita di moto iniziale e finale lungo X e vi, ui le componenti delle corrispondentivelocita. Ci sono due casi limiti in cui le quantita di moto finali sono totalmente determinatein termini di quelle iniziali: la collisione elastica e quella totalmente anelastica in cui le dueparticelle rimangono attaccate. Iniziamo a considerare il caso elastico, ved. Fig. 6.2. Le

Figura 6.2:


leggi di conservazione della quantita di moto e dell’energia cinetica forniscono le seguentirelazioni

m1 v1 +m2 v2 = m1 u1 +m2 u2 , (6.2.9)

m1 v21 +m2 v

22 = m1 u

21 +m2 u

22 . (6.2.10)

Queste sono due relazioni che possono essere risolte per ottenere le velocita finali u1, u2 infunzione di quelle iniziali v1, v2. Dalla (6.2.9) otteniamo

m1 (v1 − u1) = m2 (u2 − v2) . (6.2.11)

Usando (6.2.11), l’equazione (6.2.10) puo essere riscritta come

m1 (v1 − u1)(v1 + u1) = m2 (u2 − v2)(v2 + u2) ⇒ v1 + u1 = v2 + u2 . (6.2.12)

L’ultima relazione implica che la velocita relativa di approccio delle due particelle e pari allavelocita relativa di separazione dopo la collisione. Le equazioni (6.2.11) e (6.2.12) possonoora essere facilmente risolte e dare

u1 =m1 −m2

m1 +m2

v1 + 2m2

m1 +m2

v2 , (6.2.13)

u2 =m2 −m1

m1 +m2

v2 + 2m1

m1 +m2

v1 , (6.2.14)

Possiamo verificare il risultato precedente in alcuni casi specifici in cui l’intuizione ci puoaiutare a indovinare lo stato finale del sistema. Consideriamo la prima particella m2 moltopiu pesante di m1 (m2 m1) e inizialmente a riposo v2 = 0. Vediamo dalla nostra soluzioneche u1 = −v1 e u2 = 0 cioe che la massa m2 rimane a riposo imperturbata, mentre m1

rimbalza indietro. Un’ altra situazione e quella in cui m2 m1 e v2 = 0. Dalla nostrasoluzione risulta che u1 = v1 e u2 = 2 v1, ossia la massa m1 procede imperturbata nel suomoto, mentre la massa m2 e respinta. Infine se m1 = m2 abbiamo u1 = v2 e u2 = v1, vale adire le due particelle si scambiano le loro velocita iniziali.

Esercizio 1 Prendiamo in considerazione una collisione 1-dimensionale tra due particelledi masse m1 = 2Kg, m2 = 1Kg, avvicinantesi una all’altra con velocita v1 = 2m/sec, v2 =1m/sec nel sistema di laboratorio. Calcolare le velocita delle particelle dopo la collisione, lavelocita del centro di massa e le velocita iniziali e finali delle particelle nel sistema del centrodi massa .

Consideriamo ora una collisione totalmente anelastica ved. Fig. 6.3. Nello stato finalele due particelle si muovono insieme e quindi possono essere descritte come una singolaparticella di massa M = m1 +m2 che si muove ad una velocita u1 = u2 = u. Siamo in gradodi dedurre il valore di u dalla conservazione della quantita di moto totale

m1 v1 +m2 v2 = M u ⇒ u =m1 v1 +m2 v2

M= vCM , (6.2.15)

6.2. COLLISIONI 121

Figura 6.3:

Le posizioni delle due particelle dopo l’urto coincideranno con il centro di massa del sistema.Supponiamo che m1 provenga da sinistra e m2 da destra: v1 > 0, v2 < 0. Se p1 > −p2

allora M si spostera nella direzione originale di m1. Possiamo ora calcolare la variazionedell’ energia cinetica del sistema

Eink =

m1

2v2

1 +m2

2v2

2 ; Eoutk =

M

2u2 =

M

2v2CM ,

∆Ek = Efink − Ein

k = −µ2v2

12 < 0 , (6.2.16)

dove abbiamo usato (6.1.26). La variazione di energia cinetica, cambiata di segno, e denotatacon Q e misura la non elasticita del processo: Q = 0 per collisioni elastiche. Q e massimaper collisioni totalmente anelastiche. L’energia meccanica perduta, come abbiamo illustratoin precedenza, si trasforma in calore. Il parametro Q misura l’energia calorica prodotta inuna collisione anelastica.

Osserviamo ora questa reazione nel sistema del centro di massa. Le quantita di motoiniziali e finali in questo sistema sono connesse come segue

p′1 = −p′2 = p′ ; q′1 = −q′2 = q′ . (6.2.17)

Le energie cinetiche iniziali e finali sono

Eink =

p′2

2µ; Eout

k =q′2

2µ. (6.2.18)


Per una collisione elastica Q = 0 e q′ = −p′. Questo significa che v′1 = −u′1 e v′2 = −u′2. Inuna collisione totalmente anelastica q′ = 0 e lo stato finale composto delle due particelle e ariposo. Possiamo calcolare v′i e u′i utilizzando le leggi di trasformazione (6.1.23) e le formule(6.2.14). Nel caso elastico abbiamo

v′1 =m2

m1 +m2

v12 ; v′2 = − m1

m1 +m2

v12 ,

u′1 = − m2

m1 +m2

v12 ; u′2 =m1

m1 +m2

v12 , (6.2.19)

che confermano le nostre analisi precedenti.Se la collisione ha luogo su un piano o in uno spazio tridimensionale, il moto finale delle

particelle e totalmente determinato in termini dei dati iniziali solo se la collisione e del tuttoanelastica. In questo caso, la velocita finale ~u delle due particelle e data da

~u = ~vCM . (6.2.20)

Se il processo e elastico e si svolge su un piano, per esempio, le leggi di conservazione (6.2.7e 6.2.8) forniscono 3 vincoli (le equazioni (6.2.7) danno due equazioni, una per ciascunacomponente) nelle 4 incognite q1x, q1y, q2x, q2y. Vi e uno parametro nello stato finale chenon e fissato dalla cinematica.

Esempio 5 Consideriamo ora una collisione tra due particelle su un piano. Abbiamo sceltoil sistema di laboratorio S in modo che la particella m2 sia inizialmente a riposo (~p2 = 0)nell’origine O ed m1 si avvicina ad m2 lungo l’asse X con una quantita di moto iniziale~p1 = p1 ~ux. Dopo la collisione le quantita di moto finali ~q1 e ~q2 formano angoli θ1 e θ2 conl’asse X, ved Fig. 6.4. Dalla conservazione della quantita di moto totale troviamo

~p1 = ~q1 + ~q2 , (6.2.21)

da cui si ottengono le due equazioni:

p21 = |~q1 + ~q2|2 = q2

1 + q22 + 2 ~q1 · ~q2 = q2

1 + q22 + 2 q1 q2 cos(θ1 + θ2) , (6.2.22)

q22 = |~p1 − ~q1|2 = p2

1 + q21 − 2 ~p1 · ~q1 = p2

1 + q21 − 2 p1 q1 cos(θ1) . (6.2.23)

Il parametro Q e dato da

Q = Eink − Eout

k =p2

1

2m1

− q21

2m1

− q22

2m2

=p2

1

2m1

(m2 −m1

m2

)− q2

1

2m1

(m2 +m1

m2

)+

+q1 p1

m2

cos(θ1) . (6.2.24)

Nel caso elastico Q = 0, abbiamo tre equazioni in quattro incognite q1, q2, θ1, θ2, che possonoessere risolte ed esprimere tutte le grandezze dello stato finale in termini, ad esempio, di θ1.Al fine di determinare completamente il moto della particella dopo la collisione avremo

6.2. COLLISIONI 123

Figura 6.4:

bisogno di misurare θ1. Se le due particelle hanno pari masse m1 = m2 l’equazione (6.2.24),per Q = 0, implica

p21 = q2

1 + q22 , (6.2.25)

la quale, insieme all’equazione (6.2.22), porta alla seguente proprieta

~q1 · ~q2 = q1 q2 cos(θ1 + θ2) = 0 , (6.2.26)

cioe le direzioni di rinculo delle due particelle dopo le collisioni sono ad angolo retto: θ1+θ2 =π2.

In natura non tutte le interazioni risultano da un “contatto” tra due o piu oggetti. Peresempio due pianeti o due “particelle elettricamente cariche si influenzano reciprocamente adistanza. Nel mondo atomico e subatomico le particelle “non si toccano mai”: esse agisconoa distanza una con l’altra mediante forze uguali ed opposte tipicamente di natura elettricao nucleare (la forza gravitazionale tra le particelle subatomiche e trascurabile).

Anche quando due o piu oggetti si colpiscono a vicenda nella nostra esperienza quotidiana,come quando una mazza da golf colpisce una pallina, non vi e alcun reale contatto ”a livellomicroscopico. Pertanto, nel nostro esempio, ci sono casi in cui avviene una collisione, anchese la particella m2 a riposo e a una distanza b dalla linea iniziale del moto di m1. Il parametrob e chiamato parametro di impatto, see Fig 6.4.


Lo stato finale di moto delle particelle dipende da b. Se il parametro di impatto e troppogrande, le due particelle non si avvicineranno mai abbastanza da influenzare sensibilmente,attraverso la loro azione reciproca, il loro stato di moto. In questo caso possiamo dire chela collisione non ha avuto luogo. Il processo che abbiamo appena descritto e caratterizzatodall’ avere b = 0 e si chiama ( collisione frontale).

Diamo ora un’occhiata allo stesso scattering nel sistema del centro di massa (ved Fig.6.5), in cui abbiamo:

~p′1 = −~p′2 = ~p′ ; ~q′1 = −~q′2 = ~q′ , (6.2.27)

cioe le due particelle si allontanano lungo la stessa direzione, dopo la collisione, con quantitadi moto ±~q′. Lo stato finale e quindi del tutto determinato da q′ = |~q′| e dall’angolo θ

Figura 6.5:

formato da ~q′ con la direzione iniziale del moto, definita da ~p′. Il parametro Q diventa

Q =p′2

2µ− q′2

2µ. (6.2.28)

Nel caso elestico Q = 0, p′ = q′ e l’unico parametro indeterminato e θ.

Capitolo 7

Sistema di particelle: moto dirotazione

Nell’ultimo capitolo abbiamo trattato le leggi generali che governano la cinematica di unsistema di particelle. In particolare abbiamo mostrato che il moto di un sistema di parti-celle puo sempre essere decomposto in una componente di translazione del sistema nel suocomplesso, associato al suo centro di massa, e in una componente interna, rappresentata dalmoto delle particelle le une rispetto alle altre. Questi concetti possono essere applicati almoto di un oggetto esteso, consistente in una distribuzione continua di materia e che, comeabbiamo visto, puo essere descritto come un sistema di infinite particelle, ciascuna dellequali rappresenta una porzione infinitesima dello stesso. Analizziamo ora alcune importantiproprieta che caratterizzano il moto di una particella o di un sistema di particelle rispettoad un punto nello spazio.

7.1 Momento angolare

Definiamo momento angolare di una particella di massa m che si muove alla velocita v,intorno ad un punto O nello spazio, la quantita

−→L = ~r ×m~v = ~r × ~p , (7.1.1)

Dove ~r e la posizione della particella in un dato istante rispetto ad O. Dalla definizionedi prodotto vettoriale deduciamo che

−→L e perpendicolare ad entrambi ~r and ~v, vedi Fig.

7.1. Usando l’equazione (2.1.49) possiamo esprimere l’equazione (7.1.1) nelle componenticartesiane

−→L =

∣∣∣∣∣∣~ux ~uy ~uzx y zpx py pz

∣∣∣∣∣∣ = (y pz − z py) ~ux + (z px − x pz) ~uy + (x py − y px) ~uz . (7.1.2)

Se il moto della particella avviene in un piano, diciamo XY, la direzione del momento angolarerispetto ad ogni punto del piano sara ortogonale al piano del moto, lungo l’asse Z, vedi Fig.

125

126 CAPITOLO 7. MOTO DI ROTAZIONE

Figura 7.1:

7.2. Infatti, in ogni istante, z = pz = 0 e quindi, per l’ equazione (7.1.2) risulta Lx = Ly = 0:−→L = Lz ~uz = L~uz. Consideriamo questa situazione piu in dettaglio e fissiamo un sistema dicoordinate polari nel piano XY, con origine O. Lo spostamento infinitesimale della particelladall’istante t all’istante t+ dt ha la forma in (2.2.7) e (2.2.8):

d~ = dr ~ur + r dϕ~uϕ . (7.1.3)

La velocita pertanto puo essere decomposta in una componente radiale e una angolare:

~v =d~

dt= vr ~ur + vϕ ~uϕ ,

vr =dr

dt; vϕ = r

dϕ

dt= r ω , (7.1.4)

Dove la velocita angolare e definita, come al solito, ω = dϕdt

. vϕ descrive la componenterotazionale del moto intorno ad O. Ricordando che ~r = r ~ur e che il prodotto vettoriale divettori paralleli e zero, il momento angolare puo essere scritto nella forma:

−→L = m~r × ~v = m~r × (vϕ ~uϕ) = mr2 ω ~ur × ~uϕ = mr2 ω ~uz , (7.1.5)

Dove abbiamo usato la proprieta che, in ogni punto del piano, ~uz = ~ur × ~uϕ. L’orientazione

di−→L e legata al senso di rotazione nel piano dalla regola della mano destra. Consideriamo

7.1. MOMENTO ANGOLARE 127

Figura 7.2:

ora un moto circolare con centro in O, caratterizzato da r ≡ const, vedi Fig. 7.3. La velocitaavra solo la componente vϕ lungo la linea tangente alla traiettoria circolare: ~v = r ω ~uϕ. Sedefiniamo il vettore della velocita angolare ~ω come il vettore la cui grandezza e |ω|, condirezione ortogonale al piano del moto e orientazione legata al senso di rotazione dalla regoladella mano destra, possiamo scrivere: ~ω = ω ~uz. Questo vettore e legato a ~v and ~r dallarelazione:

~v = ~ω × ~r . (7.1.6)

Il momento angolarerelativo a O assumer a la semplice forma−→L = mr2 ~ω.

Consideriamo ora un moto generico di una particella sotto l’influenza di una forza−→F e cal-

coliamo la derivata temporale del suo momento angolare relativo al punto O. Dall’equazione(7.1.1) troviamo

d−→L

dt=

d

dt(~r × ~p) =

d~r

dt× ~p+ ~r × d~p

dt= ~v × ~p+ ~r ×−→F , (7.1.7)

Dove abbiamo usato l’equazione di Newton. Ora usiamo la proprieta che ~v e ~p sono vettoriparalleli, cosı che ~v × ~p = 0, per riscrivere la suddetta relazione nella forma:

d−→L

dt= ~r ×−→F = ~τ , (7.1.8)


Figura 7.3:

dove la quantita

~τ = ~r ×−→F , (7.1.9)

e chiamata la momento torcente o semplicemente momento della forza−→F relativa ad O. Il

modulo del momento torcente ~τ vale

|~τ | = (r sin(θ)) |~F | = b |~F | , (7.1.10)

ove θ e l’angolo tra ~r ed ~F , r la distanza della particella da O, ed infine b = r sin(θ) misura

la distanza di O dalla linea d’azione di ~F (ovvero la retta che ne rappresenta la direzione).La lunghezza b e detta braccio della forza rispetto ad O. Se il punto O giace sulla linea diazione della forza, b = 0 e quindi il corrispondente momento della forza e nullo.

E importante sottolineare che stiamo descrivendo il moto della particella rispetto ad unsistema di riferimento inerziale in cui il punto O e in quiete. Se non fosse cosı, il modo incui e stata ottenuta la nostra equazione (7.1.8) non sarebbe valido.

Consideriamo ora un sistema di particelle di masse m1, . . . , mn, che si muovono conquantita di moto ~p1, . . . , ~pn, definiamo il momento angolare totale

−→L del sistema relativo a

O come somma vettoriale dei momenti angolari−→L 1, . . . ,

−→L n rispetto allo stesso punto:

−→L =

−→L 1 + . . .+

−→L n =

n∑i=1

−→L i =

n∑i=1

~ri × ~pi , (7.1.11)


dove ~ri indica la posizione, rispetto ad O, della particella. Supponiamo che la particellaiima sia soggetta a forze che possono essere sia esterne che interne, con risultante

−→F i. Per

ciascuna particella possiamo scrivere l’ equazione (7.1.8):

d−→L i

dt= ~ri ×

−→F i = ~τi . (7.1.12)

Derivando ambi i membri della (7.1.11) e, usando la (7.1.12), deriviamo la seguente equazioneper il momento angolare totale

d−→L

dt=

n∑i=1

d−→L i

dt=

n∑i=1

~τi = ~τ , (7.1.13)

dove abbiamo definito il momento ~τ del sistema di forze−→F 1, . . . ,

−→F n, relative ad O, come

la somma dei momenti associati a ciascuna forza. Notiamo che il momento torcente totale,~τ , puo essere diverso da zero anche se il sistema delle forze ha risultante nulla.

Esempio 1 Consideriamo due particelle di masse m1, m2 attaccate ai capi di un’asticellarigida di lunghezza ` e di massa trascurabile. Supponiamo, qualunque sia la loro posizione,che le due particelle siano sottoposte a forze costanti

−→F 1 =

−→F and

−→F 2 = −−→F rispettivamente

ved. Fig. 7.4. Studiamo il moto del sistema.

Figura 7.4:


Iniziamo considerando il moto globale di traslazione del sistema. Oltre a−→F 1,−→F 2 vi

sono anche le forze di tensione−→T 1 = −−→T 2 =

−→T esercitate dall’asticella sulle particelle, che

sono uguali ed opposte ed entrambe dirette lungo l’asticella. Osserviamo che le forze hannorisultante nulla

−→F 1 +

−→F 2 +

−→T 1 +

−→T 2 = 0 , (7.1.14)

cosı che il centro di massa del sistema si muove con velocita costante. Ora siamo interessati almoto relativo delle due particelle e quindi e conveniente adottare come sistema di riferimentoil sistema di riferimento del centro di massa S ′, che e inerziale. Rispetto a S ′ il centro dimassa del sistema sara in quiete e le particelle si muoveranno intorno ad esso. ChiamiamoO il centro di massa e poniamo che ~r1 e ~r2 siano le posizioni di m1, m2 relative ad O. Leforze di tensione non contribuiscono a ~τ , dal momento che la loro linea d’azione contieneO, essendo questo punto lungo l’asticella, e quindi e parallela ai vettori posizione ~r1 and ~r2.Calcoliamo ora il momento di torsione del sistema:

~τ = ~r1 ×−→F 1 + ~r2 ×

−→F 2 = (~r1 − ~r2)×−→F = ~×−→F , (7.1.15)

dove ~= ~r1 − ~r2 e la posizione di m1 relativa ad m2. Notiamo che il momento di torsione eortogonale ad entrambi i vettori

−→F e ~. L’ultimo vettore varia nel tempo con la posizione

delle due particelle. Se inizialmente l’asticella e in quiete, essa ruotera nel piano definitodalla direzione della forza e dalla direzione iniziale ~0 di ~, che noi abbiamo assunto comepiano XY del nostro sistema di assi con centro in O. Iniziando da t = 0 con

−→L = 0, dopo dt

il sistema avra un momento angolare dato da (7.1.13):

d−→L = ~

0 ×−→F dt , (7.1.16)

che giace lungo Z. Cio significa che, nell’istante dt, ~ e la velocita della particella giaccionosu XY, e, quindi, dopo un altro intervallo infinitesimo dt il nuovo momento angolare saraancora diretto lungo l’asse Z. Ripetendo questa argomentazione, possiamo concludere che ilmomento angolare del sistema sara sempre diretto lungo l’asse Z e pertanto il moto avverranel piano XY. Poiche le distanze r1, r2 delle particelle da O sono costanti, la posizione delsistema e totalmente determinato dall’angolo ϕ(t) formato da ~ con ~ux. Ciascuna particelladescrivera un moto circolare con lo stesso momento angolare ω = dϕ

dt. Usando l’ equazione

(7.1.5) per ciascuna particella troviamo

−→L 1 = m1 r

21 ω ~uz ;

−→L 2 = m2 r

22 ω ~uz ,

−→L =

−→L 1 +

−→L 2 = (m1 r

21 +m2 r

22)ω ~uz = I ω ~uz , (7.1.17)

Dove la quantita I = m1 r21 +m2 r

22 e chiamata momento di inerzia del sistema ed e costante.

Riscriviamo ora l’espressione (7.1.15) per la coppia di torsione scegliendo l’asse X lungo−→F :

−→F = F ~ux. E anche utile scrivere ~ nelle componenti

~ = ` cos(ϕ(t)) ~ux + ` sin(ϕ(t)) ~uy . (7.1.18)


Ora usiamo la proprieta distributiva del prodotto vettoriale e le relazioni (2.1.47) per scrivere

~×−→F = [` cos(ϕ(t)) ~ux + ` sin(ϕ(t)) ~uy]× (F ~ux) = ` F cos(ϕ(t)) ~ux × ~ux +

` F sin(ϕ(t)) ~uy × ~ux = −` F sin(ϕ(t)) ~uz . (7.1.19)

Ora possiamo scrivere l’equazione del moto (7.1.13) per il sistema

d−→L

dt= ~×−→F = ⇒ I

dω

dt= I

d2ϕ

dt2= −` F sin(ϕ(t)) , (7.1.20)

la quale, infine, puo essere cosı riformulata:

d2ϕ

dt2= −1

I` F sin(ϕ(t)) . (7.1.21)

Notiamo che la suddetta equazione ha la stessa forma dell’equazione (4.3.17) del pendolo.Le posizioni di equilibrio corrispondono ai valori ϕ = 0, π in cui τ = 0. La prima definiscel’ equilibrio stabile mentre l’ultima l’ equilibrio instabile. Proprio come per il pendolo, senoi perturbiamo la posizione del sistema dalla posizione di equilibrio stabile con un piccoloangolo ϕ0, il sistema oscillera intorno a ϕ = 0 con un periodo caratteristico:

T = 2π

√I

` F. (7.1.22)

Terminiamo questo paragrafo considerando l’equazione che lega il momento angolare di unsistema di particelle alla risultante torsione che agisce su di esse, quando entrambe questequantita sono calcolate relativamente al centro di massa centro di massa del sistema.

Qui sembra che ci sia una complicazione poiche il centro di massa di un sistema diparticelle si spostera in genere con le particelle e il sistema di riferimento, attaccato ad esso,S ′, potrebbe non essere inerziale. Scriviamo il momento angolare totale relativo al centro dimassa:

−→L CM =

∑i

mi (~ri − ~rCM)× ~vi =−→L O −

−→L CM−O , (7.1.23)

dove ~ri, ~rCM and−→L O sono calcolati in riferimento a O mentre

−→L CM−O indica il momento

angolare di una particella di massa M situata nel centro della massa, relativa a O. Se noideriviamo la suddetta equazione rispetto al tempo, troviamo:

d

dt

−→L CM =

∑i

mi

(d

dt(~ri − ~rCM)

)× ~vi +

∑i

mi (~ri − ~rCM)× d

dt~vi =

=∑i

mi (~vi − ~vCM)× ~vi +∑i

mi (~ri − ~rCM)× ~ai = −M~vCM × ~vCM +

+∑i

(~ri − ~rCM)×−→F i = ~τCM , (7.1.24)


dove τCM e la coppia di torsione totale relativa al centro di massa. Notiamo che entrambe,−→L CM e la sua derivata rispetto al tempo, possono essere espresse in termini di quantitacinematiche riferite a S ′. Basta ricordare che ~v′ = ~v − ~vCM e ~a′ = ~a − ~aCM . Poiche∑

imi(~ri − ~rCM) = 0 abbiamo

−→L CM =

∑i

mi (~ri − ~rCM)× ~vi =∑i

mi (~ri − ~rCM)× ~v′i ,

d

dt

−→L CM =

∑i

mi (~ri − ~rCM)× ~ai =∑i

mi (~ri − ~rCM)× ~a′i = ~τCM . (7.1.25)

Quindi, nonostante il centro di massa sia un punto in moto, possiamo ancora scrivere l’equazione (7.1.13) relativa ad esso.

7.2 Moto di una particella soggetta a una forza cen-

trale

Abbiamo definito una forza centrale come una forza la cui linea di azione passa sempreattraverso un punto O dello spazio chiamato centro della forza. Come evidenziato in prece-denza, esempi di forze centrali sono la forza gravitazionale esercitata dal sole sui pianeti delsistema solare, la forza elettrostatica esercitata dal nucleo di un atomo sui suoi elettroni ecc.L’espressione generale di una forza centrale in un punto P e

−→F = F (r) ~ur, dove ~ur = ~r/r,

~r e la posizione di P relativa a O e r la sua distanza. E semplice mostrare che una forzacentrale ha un momento di torsione nulla rispetto al suo centro:

~τ = ~r ×−→F =F (r)

r~r × ~r = 0 . (7.2.1)

Dall’equazione (7.1.13) concludiamo che se una particella e soggetta ad una forza centrale,il suo momento angolare relativo al suo centro e una costante del moto

d−→L

dt≡ 0 ⇒ −→

L ≡ const. (7.2.2)

Poiche−→L e perpendicolare alla velocita della particella e a ~r in ogni momento, il suo essere

costante implica che il moto e planare e si colloca nel piano ortogonale a−→L contenente

O. Usiamo coordinate polari per descrivere i punti sul piano del moto e per descrivere ilmomento angolare mediante l’equazione (7.1.5). Equation (7.2.2) implica allora che

mr2 dϕ

dt= const. (7.2.3)

Possiamo dare un significato geometrico alla suddetta proprieta . Consideriamo due suc-cessive posizioni P e P ′ della particella a t e t + dt rispettivamente, (vedi Fig. 7.5). Lo

spostamento d~=−−→PP ′ ha una componente |AP ′| = dr lungo la direzione radiale e una com-

ponente |AP | = r dϕ lungo ~uϕ. L’area dA coperta dal vettore posizione ~r quando la particella

7.2. MOTO DI UNA PARTICELLA SOGGETTA A UNA FORZA CENTRALE 133

Figura 7.5:

si muove da P a P ′, puo essere approssimata dall’area APOP ′ del triangolo POP ′, che a suavolta e la somma delle aree dei triangoli retti POA e PAP ′. Il primo e APOA = 1

2r(r dϕ)

e l’ultimo e APAP ′ = 12dr(r dϕ). Tuttavia, poiche entrambi, dr e dϕ sono molto piccoli, il

loro prodotto e di un ordine di grandezza piu piccolo di ciascuno di essi, e cosı possiamotrascurare APAP ′ paragonato con APOA. Concludiamo che

dA = APOA =1

2r2 dϕ ⇒ dA

dt=

1

2r2 dϕ

dt. (7.2.4)

Grazie alla conservazione del momento angolare relativo a O, espresso dall’equazione (7.2.3),possiamo ricavare la seguente proprieta :

dA

dt= const. (7.2.5)

La suddetta legge, se applicata al moto dei pianeti intorno al sole, e conosciuta come secondalegge di Keplero, dal matematico e astronomo tedesco J.Keplero (1571-1630) che, per primo,diede una descrizione matematica delle orbite dei pianeti intorno al sole in termini di ellissi.Questa fu enunciata con la proposizione: I pianeti coprono aree uguali in tempi uguali (vediFig. 7.6). 7.6). Si puo obiettare che la nostra analisi sino ad ora si e limitata a particelle,cioe ad oggetti che virtualmente non hanno estensione, mentre i pianeti non somigliano perniente alle particelle. Tuttavia la nostra nozione di particella e sempre relativa al problema


Figura 7.6:

esaminato. Possiamo descrivere in termini di particella ogni oggetto la cui dimensione etrascurabile in confronto alle altre lunghezze che caratterizzano il nostro problema. Peresempio, quando consideriamo il moto della terra intorno al sole, possiamo descrivere la terrae lo stesso sole come particelle poiche il loro raggi sono molto piu piccoli della dimensionedell’orbita terrestre. Quando descriviamo un oggetto in termini di particella, decidiamo ditrascurare i suoi moti interni, come irrilevanti ai fini della nostra indagine, e pensiamo atutta la loro massa come concentrata nel loro centro di massa.

L’equazione (7.2.5) implica anche che vϕ = const./r, cioe la componente angolare dellavelocita di una particella soggetta ad una forza centrale e inversamente proporzionale alladistanza dal centro. Come conseguenza di cio, piu un pianeta e vicino al sole, piu rapido eil suo moto.

7.3 Moto di un corpo rigido

Definiamo corpo rigido un oggetto esteso, caratterizzato da una distribuzione continua dimateria, nel quale la distanza fra due punti qualsiasi non varia con il tempo, e, in particolare,non risente dell’effetto di forze esterne. Un corpo rigido, proprio come una particella punti-forme, e un concetto idealizzato, cioe uno strumento per costruire un modello, che ci aiutaad afferrare le caratteristiche del moto di un oggetto. Se un oggetto puo essere a ragioneo no descritto come corpo rigido dipende naturalmente dalla portata delle forze esterne acui e soggetto e, quindi, dal particolare problema meccanico che stiamo analizzando. Uncorpo rigido puo essere descritto come un sistema di infinite particelle puntiformi, ognunadelle quali e rappresentata una parte infinitesima di dV del suo volume V . Per definizione,la distanza relativa fra ogni due particelle e costante durante il moto del sistema. Possiamoora applicare allo studio del moto di un corpo rigido le stesse proprieta che abbiamo trovatonello studio dell’evoluzione di generico sistema di particelle. Il moto di un corpo rigido, puoin genere essere decomposto in un moto di traslazione del suo centro di massa, che e sogget-to solo alla risultante delle forze esterne che agiscono su di esso, e in un moto rotazionale

7.3. MOTO DI UN CORPO RIGIDO 135

intorno ad un asse, che puo variare con il tempo, vedi Fig. 7.7. La traslazione di un corpo

Figura 7.7:

rigido e caratterizzata dal fatto che la linea che unisce ogni coppia di punti rimane parallelaa se stessa. Possiamo sempre adottare il sistema di riferimento del centro di massa, nel qualeil moto del sistema ha solo la componente rotazionale.

Analizziamo nel dettaglio il moto rotatorio di un corpo rigido intorno ad un asse chenon varia nel tempo e che noi scegliamo coincidente all’asse Z di un sistema cartesiano dicoordinate. Mentre il corpo ruota, ogni particella di massa dmi al suo interno si muovedi un moto circolare sul piano ortogonale a Z e contenente la particella, con centro in Z evelocita angolare ωi. Possiamo calcolare il momento angolare totale

−→L del corpo rispetto

all’origine O come somma dei momenti angolari di ciascuna particella dmi, vedi Fig. 7.8.Supponiamo che ~ri sia la posizione di dmi rispetto a O, Ri la sua distanza dall’asse Z e~vi = vi~uϕ = Ri ωi ~uϕ la sua velocita. Possiamo quindi scrivere:

−→L =

n∑i=1

−→L i =

n∑i=1

dmi ~ri × ~vi . (7.3.1)

Stiamo descrivendo il corpo come un insieme di una infinite particelle, classificate da i =1, . . . , n con n → ∞. Poiche tuttavia il corpo consiste in una distribuzione continua dimateria, la somma in (7.3.1) puo essere sostituita da un integrale su tutta la massa M della


Figura 7.8:

massa elementare dm = ρ dV :

−→L =

∫M

~r × ~v dm =

∫V

~r × ~v ρdV . (7.3.2)

Il vettore−→L in genere non e diretto lungo Z. Possiamo comunque calcolare la sual componente

lungo Z, come somma delle corrispondenti componenti Li z di ciascun contributo elementare−→L i. Ricordando che

−→L i giace in una direzione perpendicolare al piano definito da ~ri e ~vi e

appartiene al piano che contiene ~ri e Z. Se θi e l’angolo formato da ~ri con Z, l’angolo tra−→L i

and Z sara quindi π2− θi e potremo scrivere:

Li z = Li cos(π

2− θi) = dmi ri vi cos(

π

2− θi) = dmi vi ri sin(θi) = dmi viRi = dmiR

2i ωi .

(7.3.3)

Dal momento che il corpo e rigido, non vi puo essere nessun moto relativo fra i suoi costituentidmi. Come conseguenza di cio , ciascun dmi si muove con la stessa velocita angolare ωi ≡ ω.


Possiamo ora scrivere l’espressione per la componente Z del momento angolare totale

Lz =n∑i=1

Li z =n∑i=1

dmiR2i ω = I ω . (7.3.4)

La quantita I e chiamata momento di inerzia del corpo rispetto all’asse Z.

I =n∑i=1

dmiR2i =

∫M

R2 dm =

∫V

R2 ρ dV , (7.3.5)

Definiamo raggio di inerzia di un corpo di massa M , la lunghezza K tale che

I = M K2 , (7.3.6)

Essa rappresenta la distanza dall’asse di rotazione su cui possiamo pensare concentratal’intera massa M del corpo, senza che sia variato il suo momento di inerzia. L’equazione(7.3.4) esprime proprio la componente di

−→L lungo Z.

Una importante proprieta dei corpi rigidi, che qui non dimostreremo, e che vi sono sempretre assi mutuamente ortogonali tali che, se il corpo ruota intorno ad uno di essi,

−→L sara diretta

lungo l’asse di rotazione e l’equazione (7.3.4) dara cosı il modulo del momento angolare totale.Questi assi sono chiamati assi principali di inerzia e sono indicati con X0, Y0, Z0, vedi Fig.7.9. Essi si incontrano nel centro di massa del corpo. I corrispondenti momenti di inerziaI1, I2, I3 sono chiamati momenti principali di inerzia del corpo. Gli assi principali di inerziacostituiscono un sistema di riferimento solidale al corpo e muoventesi con esso.

Supponendo che la distribuzione di materia dentro il corpo sia uniforme (cioe che ladensita della matera, ρ, non dipenda dal punto), se il corpo ha qualche simmetria, gli assi disimmetria costituiranno alcuni degli assi principali. Se consideriamo, per esempio, un oggettosferico, tre qualsiasi assi ortogonali che passano per il centro sono assi principali. Se il corpoha forma cilindrica, o ha una simmetria cilindrica, il suo asse di simmetria e principale. Se laforma del corpo e un parallelepipedo, i tre assi perpendicolari a ciascuna coppia di facce sonogli assi principali dell’oggetto. Se il corpo rigido ruota intorno a qualunque asse principaleil suo momento angolaresara dato da:

−→L = I ~ω , (7.3.7)

cioe il momento angolare e parallelo alla velocita angolare, essendo diretto lungo l’asse dirotazione. Se, d’altra parte, il corpo ruota intorno ad un generico asse, esiste un’utile formulache ci permette di esprimere il vettore del corrispondente momento angolare:

−→L = I1 ωx0 ~ux0 + I2 ωy0 ~uy0 + I3 ωz0 ~uz0 , (7.3.8)

dove ~ux0, ~uy0, ~uz0 sono i vettori unita relativi agli assi principali rispetto ai quali il vettorevelocita angolare ha la seguente forma:

~ω = ωx0 ~ux0 + ωy0 ~uy0 + ωz0 ~uz0 . (7.3.9)


Figura 7.9:

Per calcolare il momento di inerzia di un corpo rigido, di particolare utilita e il teorema diSteiner che permette di esprimere il momento di inerzia I relativo a un generico asse intermini di momento di inerzia IC relativo a un asse parallelo che passa attraverso il centrodi massa. Esso afferma che:

I = IC +M a2 , (7.3.10)

Dove a e la distanza fra i due assi. Per dimostrare (7.3.10), identifichiamo i due assi parallelicome assi Z e ZC di due sistemi cartesiani S ≡ X, Y, Z e S ′ ≡ XC , YC , ZC rispetti-vamente, l’origine dell’ultimo coincidente con il centro di massa. Possiamo anche sceglierei due sistemi tali che YC ≡ Y . Consideriamo una particella dmi dentro il corpo, ad unadistanza Ri da Z e RiC da ZC , avente coordinate xi, yi rispetto a S ′ e coordinate xi, yi + arispetto a S, vedi fig. 7.10. Il momento di inerzia rispetto a Z e la somma dei contributirelativi a ciascun dmi

I =∑i

dmi

(x2i + (yi + a)2

)=∑i

dmi

(x2i + y2

i

)+∑i

dmi a2 + 2

∑i

dmi a yi =

=∑i

dmiR2iC +M a2 + 2 a

∑i

dmi yi = IC +M a2 + 2 a∑i

dmi yi . (7.3.11)

Poiche∑

i dmi yi e la massa totale moltiplicata per la coordinata y del centro di massarelativo al proprio sistema di riferimento, che e zero, l’ultimo termine in (7.3.11) da uncontributo nullo e quindi otteniamo l’ equazione (7.3.10).


Figura 7.10:

Esempio 2 Calcoliamo, come esempio, il momento di inerzia di un’asta, di massa M elunghezza L, rispetto ad un’asse Z perpendicolare ad essa e passante per una delle sueestremita, che prendiamo come origine di un sistema di coordinate cartesiane in cui l’asse Xcoincide con la direzione dell’asta, vedi fig. 7.11. L’asta e omogenea, cioe la sua densita euniforme. Supponiamo che lo spessore dell’asta sia trascurabile, cosicche possiamo descriverela distribuzione di materia solo con la densita lineare, indicata con λ e definita come la suamassa per l’unita di lunghezza:

λ =dm

dx. (7.3.12)

Dividiamo la lunghezza dell’asta in un numero infinito di intervalli dx di massa dm = λ dx.La massa totale dell’asta puo essere espressa in termini di λ, usando la proprieta che λ eindipendente da x:

M =

∫rod

dm =

∫ L

0

λ dx = λ

∫ L

0

dx = λL , (7.3.13)

Cosı , possiamo semplicemente scrivere λ = ML

. Il contributo di dm al momento di inerzia edI = dmx2 = λx2 dx = M

Lx2 dx. Il momento di inerzia totale e :

I =

∫rod

dI =

∫ L

0

M

Lx2 dx =

M

L

L3

3=M

3L2 . (7.3.14)

Calcoliamo ora il momento di inerzia IC rispetto ad un asse Z perpendicolare all’asta epassante per il suo centro che e anche il suo centro di massa. E conveniente scegliere il


Figura 7.11:

centro come origine del nostro sistema di coordinate. Ogni elemento dm dell’asta verradefinito mediante la coordinata x che varia da −L

2a L

2. Il momento di inerziae calcolato

usando l’equazione (7.3.14) in cui l’integrale e esteso al nuovo intervallo per x

IC =

∫rod

dI =

∫ L2

−L2

M

Lx2 dx =

M

L

x3

3

∣∣∣∣L2−L

2

=M

12L2 (7.3.15)

Poiche la distanza fra una estremita dell’asta e il suo centro e a = L/2, possiamo verificareche I e IC soddisfano il teorema di Steiner (7.3.10). Infatti troviamo:

I =M

3L2 =

M

12L2 +

M

4L2 = IC +M a2 . (7.3.16)

Esempio 3 Calcoliamo ora il momento di inerzia IZ di un disco omogeneo di massa Me raggio R relativo ad un asse ortogonale al disco e passante per il suo centro. Prendiamoquesto asse coincidente con l’asse Z di un sistema di coordinate cartesiane con origine O alcentro del disco, e descriviamo i punti del disco in termini di coordinate polari r, ϕ, vedi Fig.7.12. Dal momento che lo spessore del disco e trascurabile rispetto ad R, la distribuzionedella materia in esso puo essere descritta in termini di una densita della superficie σ che


Figura 7.12:

misura la massa per unita di superficie del disco

σ =dm

dS. (7.3.17)

Se dividiamo la superficie del disco in elementi infinitesimali dS, ciascuno di essi conterrauna massa dm = σ dS. Supporremo che il disco sia omogeneo, cioe che σ sia in esso uniforme.E’ utile esprimere σ in termini di M e R:

M =

∫disk

dm =

∫disk

σ dS = σ

∫disk

dS = π R2 σ ⇒ σ =M

πR2. (7.3.18)

Il contributo della particella dm a IZ e dIZ = dmr2 = σr2dS, cosı che possiamo scrivere

IZ =

∫disk

dIZ = σ

∫disk

r2dS . (7.3.19)

Ora ricordiamo l’espressione di dS nelle coordinate polari nel piano, date dall’equazione(2.2.10): dS = r dr dϕ. IZ puo allora essere scritto nella forma

IZ = σ

(∫ 2π

0

dϕ

)∫ R

0

r3dr = 2π σR4

4=

1

2M R2 . (7.3.20)

Calcoliamo ora il momento di inerzia IX rispetto all’asse X, che giace nel piano del disco. Ladistanza di una particella dm dall’asse x e data da |y| = r| sin(ϕ)|, e pertanto contribuisce


a I con la quantita infinitesima dIX = dmy2 = dmr2 sin2(ϕ). Il momento totale di inerziasara dato da:

IX = =

∫disk

dIX = σ

∫disk

r2 sin2(ϕ)dS = σ

(∫ 2π

0

sin2(ϕ) dϕ

)∫ R

0

r3dr =1

4M R2 ,

(7.3.21)

Dove abbiamo usato le seguenti proprieta

cos(2ϕ) = 1− 2 sin2(ϕ) ⇒ sin2(ϕ) =1− cos(2ϕ)

2,∫ 2π

0

cos(2ϕ)dϕ = 0 ⇒∫ 2π

0

sin2(ϕ)dϕ = π . (7.3.22)

Avendo descritto un corpo rigido come un sistema di infinite particelle, possiamo scri-vere l’equazione che governa il suo moto di rotazione applicando l’equazione (7.1.13), cioeeguagliando la derivata rispetto al tempo del momento angolare totale rispetto ad un puntoO in quiete in un sistema di riferimento inerziale, al momento di torsione totale esercitatosul corpo e relativo allo stesso punto:

d−→L

dt=

∑i

d−→L i

dt=∑i

~τi = ~τ . (7.3.23)

Supponiamo che il corpo rigido stia ruotando intorno all’asse Z che contiene il punto in quieteO. In questo caso, se l’asse Z e un asse principale di inerzia, possiamo scrivere

−→L = I ~ω e

l’equazione del moto diventa:

d(I ~ω)

dt= ~τ . (7.3.24)

Se Z e fisso, possiamo portare I fuori della derivata, essendo una costante, e la suddettaequazione assumera la forma:

I ~α = Id~ω

dt= ~τ , (7.3.25)

dove ~α = d~ωdt

e il vettore di accelerazione angolare diretto lungo l’asse di rotazione. In un

caso piu generale, dove Z non coincide con un asse di inerzia principale,−→L e ~ω non saranno

paralleli, ma possiamo ancora proiettare l’equazione (7.3.23) lungo Z

d(I ω)

dt= τz . (7.3.26)

Se non vi e alcun punto nell’asse di rotazione che e fisso rispetto a qualche sistema inerzia-le, possiamo in generale scrivere la (7.3.23) rispetto al centro di massa usando l’equazione(7.1.25):

d−→L CM

dt= ~τCM . (7.3.27)


Come al solito, il moto totale di un corpo rigido puo essere decomposto in un moto ditraslazione del centro di massa e in un moto di rotazione del corpo rispetto al centro dimassa. Se l’asse di rotazione contiene il centro di massa ed e uno degli assi principali, allora−→L CM = IC ~ω.

Di particolare interesse e il caso in cui la torsione totale relativa a qualche punto fissonello spazio e zero in ogni istante: ~τ ≡ 0. In questo caso l’equazione (7.3.23) implica che ilmomento angolare del corpo relativo a qualche punto O e costante

−→L ≡ const. (7.3.28)

Se l’asse di rotazione contiene il punto ed e un asse principale, la precedente equazioneimplica che

I ~ω = const. (7.3.29)

Se, inoltre, l’asse di rotazione e anch’esso costante, dal momento che il corpo e rigido, I saracostante e la conservazione del momento angolare implica che ω = const., cioe che il corporigido si muova ad una velocita angolare costante. Se, tuttavia, I varia col tempo, ω varieracorrispondentemente.

Un esempio ben noto di questo fenomeno e quello del pattinatore sul ghiaccio. Peraumentare la sua velocita di rotazione, il pattinatore tiene le braccia e le gambe vicine alcorpo, cioe al suo asse di rotazione. Facendo cio, egli diminuisce il suo momento di inerzia.Poiche non ci sono momenti di torsione che agiscono su di lui e il momento angolare econservato, ω aumentera al diminuire di I.

Se l’asse di rotazione contiene il punto, ma non e l’asse principale, possiamo scrivere laconservazione del momento angolare, usando l’equazione (7.3.8)

−→L = I1 ωx0 ~ux0 + I2 ωy0 ~uy0 + I3 ωz0 ~uz0 = const. , (7.3.30)

In termini di grandezza di−→L la suddetta equazione implica che :

L2 = I21 ω

2x0 + I2

2 ω2y0 + I2

3 ω2z0 = const. , (7.3.31)

L’equazione (7.3.31), nei componenti ωx0, ωy0, ωz0, e l’equazione di un ellissoide con semi-asse I−1

1 , I−12 , I−1

3 . Questo significa che, come il vettore ~ω varia nel tempo, la sua estremitagiace su questo elissoide e descrive su di esso una traiettoria caratteristica.

Consideriamo ora il moto di un corpo rigido dal punto di vista della sua energia. L’energiacinetica del corpo, proprio come per un generico sistema di particelle, puo essere scrittacome somma dell’energia cinetica di una particella di massa M situata al centro di massa edell’energia cinetica associata al moto nel sistema del centro di massa. Come abbiamo visto,questo moto puo solo essere del tipo rotatorio intorno ad un asse che contiene il centro dimassa. L’energia cinetica totale del corpo avra quindi la forma:

Ek =1

2M v2

CM + Eintk ,

Eintk =

1

2

∑i

dmiv′2i =

1

2

∑i

dmiR2i ω

2 =1

2I ω2 , (7.3.32)


dove abbiamo supposto che nel sistema CM tutte le particelle dmi si muovano con la stessavelocita angolare rispetto all’asse di rotazione. Possiamo scrivere la relazione lavoro-energia:

Efink − Ein

k = W , (7.3.33)

Dove Efink and Ein

k sono i valori finali ed iniziali della energia cinetica e W e il lavoro totalefatto sul corpo dalle forze che agiscono su di esso. Queste non includono le forze interne dicoesione poiche , per un corpo rigido, le distanze relative tra le sue varie parti non cambianoe cosı le forze reciproche che agiscono su di esse non fanno alcun lavoro. Se il corpo esottoposto a forze conservative, il lavoro puo essere espresso come variazione di una energiapotenziale Ep:

Efink − Ein

k = W = Einp − Efin

p ⇒ E = Ek + Ep =1

2M v2

CM +1

2I ω2 + Ep = const. ,

(7.3.34)

dove abbiamo definito l’energia meccanica totale del corpo come la somma della sua energiacinetica e potenziale.

L’equazione (7.3.32) comprende anche il caso in cui il corpo ruoti intorno ad un asse fissoZ non contenente il centro di massa C. In questo caso C ruotera intorno all’asse con velocitaangolare ω. Indichiamo con ZC l’asse parallelo a Z che contiene C. Se calcoliamo l’energiacinetica totale, troviamo

Ek =I

2ω2 , (7.3.35)

dove I e il momento di inerzia relativo a Z. Usando il teorema di Steiner, troviamo

Ek =IC2ω2 +

M

2a2 ω2 , (7.3.36)

dove a e la distanza di C da Z. Poiche vCM = aω e poiche, come non e difficile provare,nel sistema CM il corpo ruota intorno a ZC con la stessa velocita angolare ω, la suddettaequazione coincide con (7.3.32).

Valutiamo ore il lavoro fatto dalle forze che agiscono su di un corpo rigido durante la suarotazione di un angolo infinitesimo dϕ = ω dt, intorno all’asse fisso Z, dal tempo t a t + dt.Durante dt la velocita angolare cambia da ω a ω + dω. La variazione dell’energia cinetica ecosı il lavoro infinitesimo dW fatto, e calcolata usando l’espressione (7.3.35) di Ek:

dW = Efink − Ein

k =I

2

[(ω + dω)2 − ω2

]= I ωdω , (7.3.37)

Dove abbiamo trascurato i termini di ordine superiore in dω. Ora ricordiamo che , secondol’equazione (7.3.26),

I dω =dLzdt

dt = τz dt . (7.3.38)


Quindi troviamo

dW = τz ω dt = ~τ · ~ω dt = τz dϕ . (7.3.39)

La potenza e il lavoro fatto per unita di tempo ed ha la seguente forma

P =dW

dt= ~τ · ~ω . (7.3.40)

Esempio 4 Studiamo il moto di un giroscopio. Questo strumento consiste in una ruota chegira velocemente e che e montata su di un supporto che permette al suo asse di rotazione dimuoversi, vedi fig. 7.13. Esso e progettato in modo tale che, se non perturbato, il momento

Figura 7.13:

di torsione totale che agisce su di esso sia zero, e pertanto il suo asse di rotazione rimangacostante. Se si sposta un giroscopio, esso ruotera in modo da mantenere fissa la direzione delsuo asse. Infatti, durante il moto di rotazione della terra intorno al proprio asse, le direzioniorizzontali si muoveranno con essa mentre l’asse di un giroscopio, che all’inizio giaceva sulpiano orizzontale, ruotera rispetto alla superficie della terra lungo il piano verticale di 90o insei ore, vedi figura 7.14.

Esempio 5 Un altro sistema che e considerato come esempio di giroscopio e la trottola.Si tratta un corpo rigido con simmetria cilindrica che ruota intorno al suo asse di simmetriaZ0 (che e anche un asse principale) tanto rapidamente che l’energia cinetica associata al suomoto rotatorio costituisce il contributo principale alla sua energia. Il momento angolare sara−→L = I ~ω = I ω ~uz. La trottola e soggetta alla forza gravitazionale e si posiziona su di unpunto O del terreno che si trova sul suo asse di rotazione Z0 e che, pertanto, non muta coltempo. Se Z0 non coincide con l’asse verticale Z, ma forma con esso un angolo θ, il peso−→F W = −M g ~uz, che grava sul centro di massa, avra un momento torsione ~τ non null checausera un cambiamento in

−→L . Poiche

−→F W giace nel piano Z0OZ, ~τ sara perpendicolare a−→

L in ogni momento. Durante un intervallo di tempo infinitesimo dt, il momento angolare


Figura 7.14:

variera di d−→L = ~τ dt che e un vettore perpendicolare a

−→L . La situazione e molto simile al

caso del moto circolare uniforme nel quale la forza e perpendicolare alla velocita durante ilmoto e cio fa sı che la velocita possa variare solo nella direzione, ma non in intensita. Per lastessa ragione ilmomento torsione fara sı che il momento angolare varieri solo in direzione,ma non in modulo. In particolare l’estremita del vettore angolare ruotera intorno all’asseverticale, lungo una circonferenza di raggio L sin(θ), dove L e la lunghezza di

−→L . Questo

moto dell’asse di rotazione della trottola, dovuto alla torsione, e chiamato precessione, vediFig. 7.15. In dt il piano Z0OZ nel quale

−→L giace, ruotera intorno a Z di un angolo

dϕ =|d−→L |L sin(θ)

=τ

L sin(θ)dt . (7.3.41)

Possiamo facilmente esprimere il modulo del momento di torsione come:

τ = M g ` sin(θ) , (7.3.42)

` essendo la distanza del centro di massa da O, cosı che La velocita angolare della precessioneΩ = dϕ

dtdiventa

Ω =dϕ

dt=M g `

L=M g `

Iω. (7.3.43)

Se definiamo il vettore di velocita angolare ~Ω = Ω ~uz, associato alla precessione, possiamoscrivere

~τ = ~Ω×−→L . (7.3.44)

La suddetta equazione e analoga alla relazione−→F = ~ω× ~p tra la velocita angolare e la forza

centripeta di una particella in moto circolare uniforme con quantita di moto ~p. Concludendo,abbiamo visto che il moto della trottola consiste in una rotazione intorno al suo asse e in


Figura 7.15:

una rotazione, o precessione, dell’asse intorno alla direzione verticale. Il momento angolaretotale avra un contributo dovuto alla precessione e quindi non giacera lungo Z0. In effetti, lavelocita angolare totale sara ~ω+~Ω. Tuttavia, se tale contributo e piccolo e quindi trascurabilerispetto alla rotazione della trottola intorno al sua asse, cioe se Ω ω, esso puo essereignorato. Il suo effetto e quello di far oscillare l’asse di rotazione nel piano verticale durantela precessione in modo tale che θ non e costante ma varia tra due valori limiti. Questaoscillazione e chiamata nutazione.

Esempio 6 Consideriamo ora il moto di un pendolo composto. Questo sistema consiste inun corpo rigido di massa M che e libero di muoversi intorno ad un asse orizzontale X, sucui agiscono il suo peso e le forze di reazione

−→F p esercitate nei perni. Queste ultime non

influenzano il moto del corpo dal momento che si esercitano su punti lungo l’asse e quindihanno momento di torsione nullo. La forza gravitazionale totale agisce sul centro di massaC ed e

−→F W = −M g ~uz, essendo Z l’asse verticale. Sia O l’origine del sistema di coordinate

cartesiane coincidente con la proiezione ortogonale di C sull’asse e sia ` = |OC| la distanzadi C dall’asse, vedi fig. 7.16. La posizione del corpo e totalmente definita dall’angolo ϕformato dall’asse verticale e dalla linea che unisce O a C. Quando ϕ = 0 il centro di massagiace sull’asse negativo Z e ϕ aumenta in senso antiorario. Come al solito, I e il momento


Figura 7.16:

di inerzia del sistema, rispetto ad X. Il momento di torsione totale che agisce sul corpo edovuto alla gravita ed e dato da:

~τ =−→OC ×−→F W = −M g ` sin(ϕ) ~ux . (7.3.45)

Scriviamo l’equazione (7.1.13) lungo la direzione X dell’asse di rotazione

Idω

dt= I

d2ϕ

dt2= τx = −M g ` sin(ϕ) . (7.3.46)

Questa equazione ha la stessa forma dell’equazione del pendolo semplice e, per piccoleoscillazioni, diventa:

d2ϕ

dt2= −1

I`M g ϕ , (7.3.47)

dove abbiamo approssimato sin(ϕ) ∼ ϕ. La suddetta equazione descrive un moto armonicocon periodo:

T = 2π

√I

`M g= 2π

√K2

` g= 2π

√`′

g, (7.3.48)

essendo K il raggio di rotazione e `′ = K2/` la lunghezza dell’equivalente pendolo semplicecon lo stesso periodo di piccole oscillazioni.


Esempio 7 Consideriamo il disco omogeneo, di massa M e raggio R in Fig. 7.17 (a). Il

Figura 7.17:

disco e attaccato, con un perno, ad un asse orizzontale intorno al quale puo ruotare senzafrizione. Esso e fatto ruotare per mezzo di una forza verticale

−→F che agisce su di una corda

arrotolata intorno ad esso. Calcolare l’accelerazione angolare α = dωdt

del disco.Soluzione: Stabiliamo un sistema di coordinate cartesiane in cui Z sia l’asse verticale, Y

l’asse di rotazione del disco ed X l’asse orizzontale, parallelo alla superficie del disco. Poicheil centro di massa e fissato nell’asse, la sua posizione e totalmente determinata dall’angolo ϕche definisce la posizione angolare di un punto di riferimento nel disco rispetto all’asse X. Sial’orientazione di Y connessa al verso positivo di ϕ dalla regola della mano destra. Sul centrodi massa il peso del disco

−→F W e compensato dalla reazione

−→F p del perno cosı che queste due

forze non hanno effetto sul moto del disco. La forza−→F = −F ~uz (F > 0) esercitata sulla

corda ha un momento di torsione ~τ non nullo sul disco, che ne determina la rotazione:

~τ = RF ~uy . (7.3.49)

Poiche il momento angolare e−→L = I ω ~uy, possiamo scrivere l’equazione di moto nella forma:

d

dt

−→L = ~τ ⇒ I α = RF , (7.3.50)

dalla quale, e dall’espressione di I relativa all’asse del disco, possiamo derivare il risultato:

α =2F

MR. (7.3.51)


Esempio 8 Con riferimento alla fig. 7.17 (b), consideriamo il disco dell’esempio precedenteche e messo in moto da un peso di massa m e che e attaccato all’estrremita di una cordaarrotolata intorno ad esso. Calcolare la tensione T della corda e l’accelerazione a della massam.

Soluzione: Scriviamo l’equazioni del moto per il disco e la massa. Quest’ultima e soggettaal suo peso

−→F W = −mg ~uz ed alla tensione

−→T = T ~uz della corda. La sua posizione lungo

l’asse Z e descritta dalle sue coordinate z(t) e la sua accelerazione e ~a = a ~uz = d2zdt2~uz.

L’equazione del moto per la massa e :

m~a =−→F W +

−→T ⇒ ma = −mg + T . (7.3.52)

Per quanto riguarda il disco, il suo momento angolare e:−→L = I ω ~uy, mentre il momento di

torsione, dovuto alla tensione della corda, e ~τ = RT ~uy. Pertanto il moto rotatorio del discoe descritto dall’equazione:

I α = RT . (7.3.53)

Le quantita a e α non sono scorrelate. Infatti, mentre il disco ruota con un angolo ∆ϕ,ciascun punto sul suo bordo si sposta di una distanza R∆ϕ e la massa si abbassa alla stessalunghezza: ∆z = −R∆ϕ. Pertanto la velocita e l’accelerazione della massa dipendono dallecorrispondenti quantita angolari del disco

∆z = −R∆ϕ ⇒ v =dz

dt= −R dϕ

dt= −Rω ; a =

d2z

dt2= −R d2ϕ

dt2= −Rα .

(7.3.54)

Usando (7.3.54) e (7.3.53) troviamo

α =1

R(g − T

m) . (7.3.55)

Sostituendo la precedente espressione in (7.3.52) possiamo determinare T :

T =

(mM

2m+M

)g , (7.3.56)

Da cui troviamo

α =

(2m

R (2m+M)

)g , (7.3.57)

E cosı

a = −Rα = −(

2m

2m+M

)g . (7.3.58)

Dalla suddetta equazione notiamo che |a| < g a causa della massa del disco. Nel limitein cui M e trascurabile rispetto a m, a = −g ed il moto di m sara a caduta libera.


Esempio 9 Consideriamo il disco della fig. 7.17 (c), che e omogeneo, di massa M e diraggio R. Una corda e arrotolata al suo bordo ed e attaccata per la sua estremita superiore aduna parete orizzontale fissa. Appena il disco e lasciato cadere, la corda si srotola, causandoun moto verso il basso. Trovare l’accelerazione del centro di massa del disco.

Soluzione Questo e un esempio in cui nessun punto del corpo rigido e fisso. Il moto edescritto in modo appropriato decomponendolo nel moto del centro di massa e nel moto dirotazione rispetto al centro di massa, descritto dall’equazione (7.3.27). Se la posizione delcentro di massa lungo Z e descritta da z(t), troviamo ancora le stesse relazioni (7.3.54) tra

v, a e ω, α. Il centro di massa e soggetto a−→F W mentre il moto di rotazione e determinato

dal momento di torsione ~τ associato alla tensione−→T . Quindi troviamo le seguenti equazioni

del moto:

M a = −M g + T ; I α = RT ; a = −Rα . (7.3.59)

Risolvendo la precedente equazione, troviamo

T =M

3g ; a = −2

3g . (7.3.60)


Capitolo 8

Approfondimento: Moto Kepleriano

In questo capitolo analizzeremo piu in dettaglio il moto di una particella soggetta ad una forzacentrale il cui modulo sia proporzionale all’inverso del quadrato della distanza dal centro dellaforza. Questa classe di moti include quello dei pianeti intorno al sole, detto moto Keplerianodall’astronomo-matematico Johannes Kepler (1571-1630), che per primo lo caratterizzo inmodo esaustivo dal punto di vista cinematico-descrittivo, rispetto al SR del sole. La nostraanalisi includera anche il moto relativo di due particelle cariche, soggette alla reciproca forzaelettrostatica, descritta dalla legge di Coulomb. In questo caso il riferimento e all’interazionetra particelle subatomiche cariche, come un elettrone (carico negativamente) in un atomoed i protoni (carichi positivamente) nel nucleo dell’ atomo stesso (interazione attrattiva),o tra particelle subatomiche con cariche dello stesso segno (p.es. due nuclei atomici chesi avvicinano abbastanza da poter avvertire la loro reciproca repulsione elettrostatica). Inquesti casi, essendo le particelle subatomiche molto leggere, la forza elettrostatica prevale digran lunga su quella gravitazionale, che risulta quindi essere completamente trascurabile.

Studieremo questa ampia classe di moti in modo unificato, mostrando come la loro analisidinamica si possa ricondurre ad uno stesso problema matematico.

8.1 Il Problema Generale

Consideriamo due particelle, di masse m1 ed m2, soggette ad una reciproca forza di interazio-ne gravitazionale diretta lungo la loro congiungente, il cui modulo e proporzionale all’inversodel quadrato della loro distanza r. In formule, m1 esercita su m2 una forza

−→F 12 data da:

−→F 12 = −Gm1m2

r2~u12 , (8.1.1)

dove, al solito, ~u12 e il versore dell’asse orientato che congiunge le due particelle nel versoche va da m1 ad m2. Se le due masse hanno cariche q1, q2, rispettivamente, alla forzagravitazionale si aggiunge quella elettrostatica descritta dalla legge di Coulomb:

−→F 12 = −Gm1m2

r2~u12 + k

q1q2

r2~u12 , (8.1.2)

153

154 CAPITOLO 8. APPROFONDIMENTO

essendo k = 1/(4πε0) nel vuoto. A sua volta la particella 2 esercitera una reazione sulla

1 uguale e contraria:−→F 21 = −−→F 12. Scriveremo, per semplicita, la forza di interazione nel

seguente modo:−→F 12 = − γ

r2~u12 , (8.1.3)

ove

γ = Gm1m2 − k q1q2 . (8.1.4)

I sistemi fisici che abbiamo in mente sono costituiti o da due corpi celesti in interazione (comesole e pianeti o asteroidi) o da due particelle subatomiche cariche (elettrone e nucleo in unatomo). Nel primo caso le cariche sono nulle e l’interazione e puramente gravitazionale:γ = Gm1m2. Nel secondo, la forza gravitazionale e trascurabile e l’interazione e di tipoelettrostatico: γ = −k q1q2. Tutti questi problemi possono essere affrontati dal punto divista dinamico in modo unificato, considerando una forza di interazione di tipo (8.1.3).

Sappiamo che il moto del sistema di due particelle si puo decomporre nel moto del suocentro di massa (CM) e nel moto interno rispetto al centro di massa. Se consideriamo ilsistema isolato, il moto del CM e rettilineo uniforme ed il SR ad esso solidale sara quindiun SR inerziale. Rispetto ad esso il moto delle due particelle e descritto come il moto diuna sola particella di massa pari alla massa ridotta µ = m1m2/(m1 + m2), posizione parialla posizione relativa ~r(t) = ~r2(t) − ~r1(t) della particella 2 rispetto alla 1 e soggetta alla

forza−→F 12. Conviene, nel SR del CM che chiameremo S, fissare un sistema di coordinate

cartesiano ortogonale 0, X, Y, Z in cui ~r(t) e il vettore posizione di questa particella idealee gli assi puntano verso le stelle fisse (SR inerziale), in modo che l’ equazione del moto dellaparticella sia:

µ~a =−→F 12(~r) = − γ

r2~u12 , (8.1.5)

essendo ~a = ~a2 − ~a1 = d2~rdt2

. Se la massa della particella 1 e molto maggiore di quella dellaparticella 2, m1 m2 (come e il caso del sole rispetto ai pianeti o del nucleo di un atomorispetto ad un elettrone), si puo pensare il CM localizzato con buona approssimazione sullaprima ed il SR S quindi solidale con essa. In questo limite, infatti, l’accelerazione dellaparticella 1, a1 = |−→F 12|/m1, e molto minore di quella della particella 2, a2 = |−→F 12|/m2, equindi si manifesta sul moto della prima su tempi molto piu lunghi dei tempi caratteristicidel moto della particella 2. Di conseguenza, nello studiare quest’ultimo, ci si puo metterenel SR solidale con la particella 1 piu pesante, essendo questo in buona approssimazioneinerziale. In questo SR la massa 1 e fissa mentre la 2 si muove di moto descritto dalla (8.1.5)in cui la massa ridotta µ e approssimativamente uguale a m2:

m1 m2 ⇒ µ =m1m2

m1 +m2

≈ m2 . (8.1.6)

Torniamo alla situazione generale con m1 ed m2 generiche e studiamo nel SR S del CM ilmoto della particella ideale di massa µ, descritta dal vettore posizione ~r(t) e soggetta allaforza radiale:

−→F (~r) =

−→F 12(~r) = − γ

r2~ur , (8.1.7)

8.1. IL PROBLEMA GENERALE 155

ove ~ur e il versore radiale uscente rispetto all’origine O, centro della forza: ~ur = ~u12. Sap-piamo che in presenza di una generica forza radiale il momento angolare

−→L della particella

su cui essa agisce, riferito al centro della forza, e un vettore costante. Il moto e quindi ca-ratterizzato da due leggi di conservazione: quella del momento angolare e quella dell’energiameccanica;

conservazione del momento angolare :−→L = ~r(t)× ~p(t) = cost. ,

conservazione dellenergia meccanica : E =µ

2|~v|2 − γ

r= cost. , (8.1.8)

dove abbiamo usato la proprieta che l’energia potenziale associata alla forza centrale−→F (~r)

vale Ep(r) = −γ/r, avendone fissato il valore essere nullo nella configurazione del sistemain cui la forza di interazione e nulla, ovvero quella in cui la distanza r e infinita. Sappiamoche la conservazione di

−→L in direzione e verso implica che il moto si svolge su un piano

perpendicolare a−→L . Conviene fissare l’asse Z lungo la direzione e verso di

−→L , in modo che

il moto abbia luogo sul piano X, Y . Fissiamo quindi su tale piano un sistema di coordinatepolari rispetto al quale la posizione della particella in ogni istante sia definita univocamentedalla sua distanza r(t) dall’origine e dalla sua posizione angolare ϕ(t): la prima descriverala componente radiale del moto, la seconda quella angolare. Rispetto a questo sistema dicoordinate avremo che:

−→L = L~uz , L = mr(t)2 ω(t) = cost. > 0 , (8.1.9)

essendo ω(t) = dϕdt

la velocita angolare. La particella di massa µ si muovera quindi semprenel verso dei ϕ crescenti che, rispetto ad un osservatore in piedi lungo l’asse Z (ovvero lungo−→L ), e convenzionalmente scelto come il verso antiorario, vedi Fig.s 7.2 e 8.1.

La costanza del modulo L di−→L , ovvero del prodotto r(t)2 ω(t) (che abbiamo interpretato

come costanza della velocita areolare) fa sı che le componenti radiale ed angolare del motonon siano indipendenti e che, se riuscissimo a ricavare la prima, ovvero a determinare r(t)in ogni istante, potremmo conoscere la velocita angolare ω(t):

r(t) ⇒ ω(t) =L

mr(t)2, (8.1.10)

e da questa (problema inverso della cinematica), la posizione angolare ϕ(t) in ogni istante perdate condizioni iniziali ϕ0 = ϕ(t = 0), ω0 = ω(t = 0). E possibile determinare la componenteradiale del moto indipendentemente da quella angolare usando proprio la conservazione delmomento angolare. Questa infatti consente di descrivere tale componente in termini di unopportuno moto rettilineo. Per mostrare questo, scriviamo l’espressione dell’energia mecca-nica E in termini della velocita e posizione della massa µ, ed esprimendo la velocita angolareω(t) in termini di r(t) attraverso la (8.1.10):

E =µ

2|~v|2 − γ

r=µ

2

(v2r + v2

ϕ

)− γ

r= ,

=µ

2

(dr

dt

)2

+µ

2r2ω2 − γ

r=µ

2

(dr

dt

)2

+L2

2µ r2− γ

r. (8.1.11)


Figura 8.1:

Si osservi che l’energia meccanica e stata scritta solo in termini di r(t) e della sua derivatarispetto al tempo. In particolare essa ha l’espressione dell’energia meccanica associata adun moto rettilineo di coordinata r(t) e soggetto ad una forza con energia potenziale datadalla somma degli ultimi due termini. Se indichiamo con E ′k l’energia cinetica associata a

questo moto rettilineo e con E(eff)p (r) (energia potenziale efficace) la corrispondente energia

potenziale, potremo scrivere:

E = E ′k + E(eff)p (r) ,

E ′k =µ

2

(dr

dt

)2

; E(eff)p (r) =

L2

2µ r2− γ

r. (8.1.12)

A quale descrizione del sistema si riferisce questo moto rettilineo? Per rispondere a questadomanda chiediamoci rispetto a quale SR il moto del pianeta appare rettilineo. Pensiamoad un osservatore ideale localizzato nel centro della forza (p.es. sul sole) e che ruoti intornoall’asse Z in modo da “puntare” il suo sguardo sempre verso la particella in moto (p.es. unpianeta o una cometa), come in Fig. 8.2.

Indichiamo con S ′ sia tale osservatore che il SR ad esso solidale, caratterizzato da un asseX ′ che, a partire dall’osservatore, punta sempre verso la particella, e da un asse Y ′ ad essoperpendicolare. Il sistema di assi X ′, Y ′ e ruotato rispetto ad X, Y di un angolo ϕ(t)


Figura 8.2: Sistema di riferimento S (inerziale) e sistema di riferimento S ′ (non-inerziale).

e quindi si muove rispetto ad S di moto rotatorio intorno all’asse Z con velocita angolare~ω(t) = ω(t) ~uz. Il SR S ′ e quindi non-inerziale essendo S inerziale. Inoltre risulta chiaro chel’asse X ′ coincide con l’asse radiale uscente (~ux′ = ~ur), mentre Y ′ con la direzione angolare(~uy′ = ~uϕ). Di conseguenza l’ascissa x′(t) della particella non e altro che la sua distanza r(t)da O. Rispetto all’osservatore S ′, il moto del pianeta si svolge completamente lungo l’asseX ′ (si veda Fig. 8.3). Egli, in altre parole, non vede la componente rotazionale del motodella particella in S, poiche ruota assieme ad essa. Nel caso del moto di un pianeta intorno alsole, per esempio, vedremo che la traiettoria descritta dal pianeta e una ellissi. L’osservatoreS ′ vede il pianeta oscillare lungo il suo asse X ′ all’interno di un segmento compreso tra unadistanza minima rmin dal sole (perielio) ed una distanza massima rmax (afelio). E istruttivoanalizzare in dettaglio il moto della particella nel sistema ruotante S ′. Sappiamo che lavelocita ~v′ misurata in questo SR e legata a quella in S dalla relazione:

~v′ = ~v − ~ω × ~r , (8.1.13)

ove ω × ~r e la velocita di trascinamento associata ad S ′, ovvero la velocita con cui si muovein S un punto localizzato in ~r e che si muove assieme ad S ′. In componenti polari ~v′ vale:

~v′ =

(dr

dt~ur + rω ~uϕ

)− (ω~uz)× (r~ur) =

(dr

dt~ur + rω ~uϕ

)− rω ~uϕ =

dr

dt~ur = v′ ~ur , (8.1.14)


Figura 8.3: Moto della massa µ (p.es. di un pianeta o una cometa) rispetto ad un osservatoreideale localizzato nel centro della forza (p.es. il sole) e che ruota assieme ad essa. Il moto erettilineo ed e descritto dalla sola componente radiale r(t) del moto in S.

ove abbiamo usato la proprieta ~uz × ~ur = ~uϕ. Come previsto la velocita in S ′ ha solo com-ponente radiale (ovvero e diretta lungo X ′) pari a v′ = dr/dt, ed il moto e unidimensionalelungo tale direzione. L’osservatore S ′ calcola l’accelerazione ~a′ derivando ~v′ rispetto al tempo:

~a′ =

(d~v′

dt

)S′

=dv′

dt~ur =

d2r

dt2~ur = a′ ~ur , (8.1.15)

ove la derivata e fatta da S ′ considerando ~ur costante essendo l’asse radiale X ′ fisso nel suoSR. In S ′ viene quindi scritta l’ equazione di Newton tenendo conto delle forze inerziali oltrealla forza fisica

−→F :

µ~a′ =−→F +

−→F inerziali ,

Mostriamo che la risultante delle forze inerziali consiste nella sola forza centrifuga. Ricor-diamo l’espressione generale di

−→F inerziali:

−→F inerziali = −µ ~α× ~r +

−→F Coriolis +

−→F centrifuga , (8.1.16)


Figura 8.4: Energia potenziale efficace nel caso di forza attrattiva (gravitazionale o elettro-statica tra cariche di segno opposto), figura sopra, o repulsiva (elettrostatica tra cariche dellostesso segno), figura sotto.

ove il vettore accelerzione angolare vale ~α = α~uz, essendo α = dω/dt e

−→F Coriolis = −2µ~ω × ~v′ = −2µ (ω~uz)× (v′ ~ur) = −2µω v′~uϕ ,−→F centrifuga = −µ ~ω × (~ω × ~r) = µ r ω2 ~ur . (8.1.17)

Mostriamo che−→F Coriolis si cancella con −m~α× ~r:

−µ ~α× ~r +−→F Coriolis = −m(α~uz)× (r ~ur)− 2mω v′~uϕ = −µ (

dω

dtr + 2ω

dr

dt) ~uϕ . (8.1.18)

Dalla conservazione del momento angolare L = µ r2ω, d’altronde, ricaviamo che:

0 =d(r2ω)

dt= r (2ω

dr

dt+dω

dtr) , (8.1.19)

da cui deriva che il vettore ad ultimo membro nella (8.1.18) e nullo, ovvero che −µ ~α× ~r +−→F Coriolis = ~0. L’equazione del moto in S ′ si riscrive quindi nella seguente forma:

µ~a′ =−→F +

−→F centrifuga =

−→F efficace ,


dove−→F efficace = (− γ

r2+ µ r ω2) ~ur = (− γ

r2+

L2

µ r3) ~ur = Feff.(r) ~ur . (8.1.20)

Vediamo che il moto in S ′ e un moto unidimensionale (lungo la direzione radiale), soggetto ad

una forza efficace−→F efficace (somma della forza fisica e di quella centrifuga), diretta lungo la

direzione del moto e che dipende dalla sola posizione della particella. Sappiamo che tale forzae conservativa ed e quindi derivabile da un’ energia potenziale E

(eff.)p (r) (che chiameremo

efficace come la forza), legata ad essa dalla nota relazione:

Feff.(r) = −dE(eff.)p

dr(r) ⇒ E(eff.)

p (r) = −∫Feff.(r)dr + cost. = −γ

r+

L2

2µ r2, (8.1.21)

ove la costante additiva arbitraria e stata fissata richiedendo che l’energia potenziale sia nullanella configurazione in cui la forza efficace e nulla, ovvero per r → ∞. Vale quindi, per ilmoto unidimensionale in S ′, il principio di conservazione dell’energia meccanica, che prendeproprio la forma (8.1.12) trovata in precedenza, dove il termine L2

2µ r2ha due interpretazioni

a seconda dell’osservatore: rispetto ad S ′ esso rappresenta il contributo corrispondente allaforza centrifuga (repulsiva) all’energia potenziale, mentre rispetto ad S, esso e il contributoall’energia cinetica Ek della componente angolare del moto. In Fig. 8.4 e rappresentatal’energia potenziale efficace associata al moto radiale in S ′ nel caso di una forza attrattiva(γ > 0, grafico di sopra) e repulsiva (γ < 0, grafico di sotto). Da questo grafico possiamoricavare informazioni qualitative importanti sulla componente del moto radiale per fissa-ta energia totale E. Nel caso attrattivo la particella e soggetta a due forze contrastanti:quella attrattiva

−→F e la forza centrifuga repulsiva. La curva di E

(eff.)p presenta un mini-

mo, corrispondente ad una distanza r∗ dal centro della forza alla quale le due forze sono inequilibrio:

F (eff.)(r∗) = −dE(eff.)p

dr(r∗) = − γ

r2∗

+L2

µ r3∗

= 0 ⇒ r∗ =L2

µγ. (8.1.22)

Sappiamo che la particella puo muoversi solo in quell’intervallo di valori di r per cui E ≥E

(eff.)p (r). Questo fissa un valore minimo dell’energia meccanica corrispondente al minimo

dell’energia potenziale efficace:

E ≥ min(E(eff.)p ) = E(eff.)

p (r∗) = − µγ2

2L2. (8.1.23)

La componente radiale del moto e figurativamente descrivibile dal moto di una pallina idealeche viene lasciata rotolare lungo il profilo dell’energia potenziale efficace, a partire da ferma,in uno dei punti in cui l’energia potenziale uguaglia quella meccanica E. Nel caso attrattivo,quindi, l’energia meccanica puo assumere valori negativi. Se 0 > E > Emin, il moto radialesi svolge in un intervallo finito tra una distanza minima rmin ed una massima rmax, alle qualil’energia potenziale efficace uguaglia l’energia meccanica totale E. Troviamo:

rmin = − γ

2E

(1−

√1 +

2L2E

µγ2

); rmax = − γ

2E

(1 +

√1 +

2L2E

µγ2

). (8.1.24)


In questo caso, quindi, la traiettoria e limitata, non estendendosi fino a distanza infinita.Come vedremo essa e descritta da una ellisse. Un esempio importante e il moto dei pianetiintorno al sole, posizionato nel centro O della forza gravitazionale ed rmin, rmax sono ilperielio e l’afelio. Cosa succede se E = Emin? Lasciando la pallina ideale nel minimo daferma, lı rimane in ogni istante, ovvero e assente la componente radiale del moto e la distanzadal centro e costante e pari a r∗:

E = Emin ⇒ r(t) = r∗ =L2

µγ. (8.1.25)

L’orbita in S e quindi un cerchio di raggio r∗. Concludiamo che, fissato il momento angolareL, l’orbita circolare e quella di minore energia.

Il fatto che l’orbita corrispondente ad un valore negativo dell’energia meccanica sia li-mitata si puo interpretare con il fatto che l’energia cinetica non e sufficiente affinche laparticella sfugga all’azione attrattiva della forza

−→F , ovvero far raggiungere alle due parti-

celle 1, 2 distanza infinita. Questo e legato al fatto che, essendo E < 0, l’energa cinetica esempre minore del valore assoluto dell’energia potenziale e quest’ultimo, ricordiamo, misurail lavoro che compirebbe

−→F se la particella fosse portata da una distanza r all’infinito. Nel

caso dell’orbita circolare, per esempio, l’energia cinetica Ek in S ha solo il contributo dal-la componente angolare del moto e vale la meta del valore assoluto dell’energia potenzialeEp(r):

Ek =µ

2v2ϕ =

µ

2r2∗ω

2 =µ

2r2∗

(L

µr2∗

)2

=mγ2

2L2=

γ

2r∗= −Ep(r∗)

2. (8.1.26)

Si dice che per E < 0 le due particelle 1, 2 formano uno stato legato. Il minimo valore dienergia ∆E da fornire al sistema per liberare le particelle interagenti dalla loro reciprocaattrazione e quell’energia che consente ad esse di raggiungere distanza infinita con velocitanulla. L’energia meccanica corrispondente a questo stato libero E

(min)lib. e nulla, essendo

le particelle ferme (energia cinetica nulla) a distanza infinita (energia potenziale nulla).Troviamo quindi che ∆E e l’energia da fornire per aumentare l’energia meccanica da Ea E

(min)lib. = 0:

∆E = E(min)lib. − E = −E > 0 . (8.1.27)

Essa e detta energia di legame del sistema. Se lo stato legato e invece quello costituitodal nucleo di un atomo e dall’elettrone piu esterno, ∆E e l’energia da fornire all’atomo perliberarlo di quest’ultimo, ovvero per ionizzarlo e ∆E e detta energia di ionizzazione.

Restando nel caso attrattivo (γ > 0), se E = 0, la pallina, lasciata da ferma, raggiungedistanza infinita con energia cinetica nulla (E ′k e la distanza tra la retta orizzontale che

rappresenta E e il grafico di E(eff.)p ). Se E = 0 l’energia cinetica Ek in S ha il minimo valore

che permette alle due particelle di raggiungere distanza infinita, ed esse la raggiungerannocon velocita nulla. Essa, infatti, e sempre pari all’opposto dell’energia potenziale Ep(r) etende a zero per r →∞. La distanza minima rmin raggiunta tra le due particelle vale:

E = 0 ⇒ r ≥ rmin =L2

2µγ=r∗2. (8.1.28)


Come vedremo l’orbita corrispondente e una parabola.Se invece E > 0, le particelle raggiungeranno distanza infinita con velocita (in S) diversa

da zero (Ek 6= 0). L’orbita non e quindi limitata. Essa, come vedremo, e descritta da unramo di iperbole di cui O coincide con il fuoco interno ed e caratterizzata da una distanzaminima rmin tra le due particelle data da:

E > 0 ⇒ r ≥ rmin =γ

2E

(√1 +

2L2E

µγ2− 1

). (8.1.29)

Nel caso di forza repulsiva (γ < 0, che e il caso della forza elettrostatica tra cariche dello

stesso segno), E(eff.)p e sempre positiva e quindi anche l’energia meccanica puo solo assumere

valori positivi. Vedremo che la traiettoria e descritta un ramo di iperbole di cui O coincidecon il fuoco esterno.

8.1.1 Traiettorie

Avendo ridotto, usando la conservazione del momento angolare, la componente radiale delmoto ad uno moto rettilineo, possiamo determinarlo usando la conservazione dell’energiameccanica, ovvero risolvendo l’equazione integrale del tipo (5.6.7):∫ r(t)

r0

dr√2µ(E − E(eff.)

p (r))= ±t ⇒ r(t) , (8.1.30)

essendo r0 = r(t = 0) la distanza iniziale tra le due particelle. Ricavato il moto radiale r(t),possiamo ricavare la componente angolare nel modo descritto sopra.

Noi non affronteremo qui questo problema, bensı ci limiteremo a determinare l’equazionedella traiettoria, ovvero la relazione tra le coordinate r, ϕ della particella di massa µ durantesuo moto.

Se questo moto e descritto dalle funzioni r = r(t), ϕ = ϕ(t), l’equazione della traiettoriasi ottiene invertendo la seconda equazione e sostituendo il tempo t(ϕ) in funzione di ϕ nellaprima. Determiniamo cosı la distanza come funzione di ϕ attraverso t: r(ϕ) = r(t(ϕ)). Laderivata di r rispetto a ϕ si ottiene applicando quindi la formula della derivata delle funzionicomposte:

dr

dϕ=dr

dt

dt

dϕ=dr

dt

1dϕdt

=1

ω

dr

dt=µr2

L

dr

dt. (8.1.31)

Ora ricordiamo l’espressione di drdt

ricavata dalla conservazione dell’energia meccanica:

dr

dt= ±

√2

µ(E − E(eff.)

p (r)) ⇒ dr

dϕ= ±r

2

L

√2µ(E − E(eff.)

p (r)) . (8.1.32)

Moltiplichiamo ambo i membri dell’ultima equazione per Ldϕ/r2 e dividiamo per


p (r)):

Ldr

r2


p (r))

= ±dϕ . (8.1.33)


Integriamo il secondo membro da un valore ϕ0 = 0 a ϕ ed il primo tra i corrispondenti valoridi r: r(ϕ0 = 0), r(ϕ). Scegliamo l’origine della coordinata angolare in corrispondenza delpunto piu vicino al centro della forza r(ϕ0 = 0) = rmin. Troviamo:∫ r(ϕ)

rmin

Ldr

r2


p (r))

= ±ϕ . (8.1.34)

Per procedere conviene riscrivere l’espressione sotto radice nel seguente modo:

2µ(E − E(eff.)p (r)) = 2µE +

2µγ

r− L2

r2= 2µE +

µ2γ2

L2− µ2γ2

L2+

2µγ

r− L2

r2= C2 −B(r)2 ,

dove abbiamo definito:

C2 = 2µE +µ2γ2

L2; B(r) =

L

r− µγ

L. (8.1.35)

Notiamo che C2 non e mai negativo in virtu della condizione E ≥ Emin. Inoltre, se r = rminsappiamo che E = E

(eff.)p e B(rmin) = C (se E < 0 abbiamo anche il valore r = rmax al

quale E = E(eff.)p , ma B(rmax) = −C). Riscriviamo quindi (8.1.34) nella forma:∫ r(ϕ)

rmin

Ldr

r2√C2 −B(r)2

=

∫ r(ϕ)

rmin

Ldr

C r2

√1−

(B(r)C

)2= ±ϕ . (8.1.36)

Cambiamo ora variabile di integrazione a primo membro da r a

Y (r) =B(r)

C⇒ dY =

dy

drdr =

1

C

dB

drdr = −Ldr

C r2, (8.1.37)

tenendo conto che, per quanto detto sopra, Y (rmin) = 1:∫ Y (r(ϕ))

1

dY√1− Y 2

= ∓ϕ . (8.1.38)

Ci siamo ricondotti ad un integrale nella forma (5.6.17) che sappiamo si risolve in terminidella funzione arcocoseno:

−arccos(Y (r(ϕ))) + arccos(1) = −arccos(Y (r(ϕ))) = ∓ϕ . (8.1.39)

Calcoliamo infine il coseno di ambo i membri ed usiamo la definizione di y in funzione di r:

Y (r) = cos(ϕ) ⇒ B(r) = C cos(ϕ) ⇒ L2

µ r− 1 =

√1 +

2L2E

µγ2cos(ϕ) , (8.1.40)

ove, nell’ultimo passaggio, abbiamo moltiplicato ambo i membri per L/(µγ). Abbiamo rica-vato l’espressione di r(ϕ), ovvero l’equazione della traiettoria, come soluzione dell’equazione:

εd

r− 1 = ε cos(ϕ) ⇒ r(ϕ) =

εd

1 + ε cos(ϕ), (8.1.41)


ove abbiamo definito:

εd =L2

µ γ= r∗ ; ε =

√1 +

2L2E

µγ2. (8.1.42)

L’equazione (8.1.41) descrive una conica in coordinate polari. Prendiamo il caso attrattivo(γ > 0) in cui d > 0. Per conica si intende la curva che si ottiene intersecando nello spazioun cono con un piano. Se il piano e inclinato rispetto all’asse del cono di un angolo maggiorerispetto alla semiapertura del cono stesso, la figura risultante e una ellisse. Se l’inclinazionee uguale alla semiapertura si ottiene una parabola e se essa e minore della semiapertura lacurva che ne risulta e una iperbole. Dalla geometria sappiamo che un modo per descrivereuna conica e come luogo dei punti del piano per cui il rapporto tra le distanze da un puntodato O (detto fuoco) e da una retta data (detta direttrice) e costante. Indichiamo talecostante con il simbolo ε e sia d la distanza del fuoco dalla direttrice. Con riferimento alla

Figura 8.5: Conica in coordinate polari.

Figura 8.5, deriviamo da questa definizione di conica l’equazione che la descrive in coordinatepolari. Se |PQ| e la distanza di un punto della conica dalla direttrice e |PO| quella dellostesso punto dal fuoco, scriviamo:

P ∈ conica ⇔ |PO||PQ|

= ε . (8.1.43)


Usiamo adesso le proprieta |PO| = r e |PQ| = d − |OP ′| = d − r cos(ϕ) per riscriverel’equazione della conica nella forma:

|PO||PQ|

=r

d− r cos(ϕ)= ε ⇔ r(ϕ) =

εd

1 + ε cos(ϕ), (8.1.44)

che e l’equazione (8.1.41) della traiettoria che abbiamo ricavato dalla dinamica.Distinguiamo i casi rilevanti.

ε < 1. Dalla (8.1.42) risulta che questo caso corrisponde ad un valore negativo dell’ energiameccanica E < 0. Al variare di ϕ da −π a π r(ϕ) rimane sempre finito (orbita limitata) e

Figura 8.6: Casi corrispondenti ad una forza attrattiva.

varia da un valore minimo rmin = r(ϕ = 0) ad un valore massimo rmax = r(ϕ = π) dati da:

rmin =εd

1 + ε; rmax =

εd

1− ε. (8.1.45)

Sostituendo il valore di ε dato nella (8.1.42) in funzione dei parametri del moto, e immediatoverificare che i valori dati sopra coincidono con quelli ricavati dal grafico dell’energia poten-ziale efficace, eq. (8.1.24). La conica corrispondente e una ellissi con eccentricita ε, si veda


Figura 8.6 (1). Il semiasse maggiore a e dato da

a =rmin + rmax

2=

εd

1− ε2. (8.1.46)

Il semiasse minore b si puo ottenere come il valore massimo dell’ordinata y dei punti sull’ellisseal variare di ϕ. Tale ordinata in funzione di ϕ vale:

y(ϕ) = r(ϕ) sin(ϕ) =εd sin(ϕ)

1 + ε cos(ϕ)⇔ dy

dϕ=

εd

(1 + ε cos(ϕ))2(ε+ cos(ϕ)) . (8.1.47)

La derivata di y rispetto a ϕ si annulla per ϕ = ±ϕ0, per cui cos(ϕ0) = −ε, ed il valoremassimo di y corrisponde a ϕ = ϕ0 > 0:

b = y(ϕ0) =εd√

1− ε2. (8.1.48)

Se E = Emin, ε = 0 mentre il prodotto εd = r∗ rimane finito. L’equazione dell’ellisse diriduce a r(ϕ) = r∗ e corrisponde al cerchio.

ε = 1. In questo caso che corrisponde al valore nullo dell’energia meccanica, E = 0, seϕ→ ±π, r →∞. La traiettoria e parabolica, con una distanza minima data da rmin = r∗/2,si veda Figura 8.6 (2).

ε > 1. Questo caso corrisponde a E > 0. All’aumentare di ϕ in valore assoluto, il coseno aldenominatore di r(ϕ) in (8.1.41) diminuisce ed r aumenta, fino a divergere quando ϕ = ±ϕ0

ove cos(ϕ0) = −1/ε. La traiettoria e quindi definita da −ϕ0 < ϕ < ϕ0. Essa e un ramodi iperbole avente fuoco interno in O, ed i valori limite ±ϕ0 definiscono le pendenze degliasindoti si veda Figura 8.6 (3). L’apertura dell’iperbole si puo misurare con l’angolo 2α tragli asindoti, essendo α = π − ϕ0 e quindi cos(α) = 1/ε.

Possiamo ora trattare anche il caso repulsivo γ < 0, in cui sappiamo che E puo solo esserepositivo. Cambiando il segno di γ, la trattazione fatta sopra si applica allo stesso modo,con il risultato pero che d cambia segno. Definiamo ora d = L2/(µ|γ|) = −L2/(µγ) > 0.L’equazione della traiettoria sara:

r(ϕ) = − εd

1 + ε cos(ϕ). (8.1.49)

I valori positivi di r corrispondono adesso a valori dell’angolo ϕ compresi nei seguentiintervalli:

−π < ϕ < −ϕ0 ; ϕ0 < ϕ < π , (8.1.50)

ove ϕ0 e sempre l’angolo positivo per cui cos(ϕ0) = −1/ε. La curva corrispondente e unramo di iperbole il cuo fuoco esterno coincide con il centro della forza O, si veda Figura8.7. La distanza minima raggiunta tra le due particelle corrisponde ora a ϕ = ±π e valermin = εd/(ε− 1).


Figura 8.7: Caso repulsivo.

La situazione fisica corrispondente e l’interazione tra due cariche dello stesso segno. Siconsideri per esempio una carica positiva +q che viene sparata contro una carica positiva+Q molto piu pesante e ferma, che coincide con il centro O della forza, si veda Figura8.8. La carica indicente si avvicinera a +Q raggiungendo una distanza minima rmin per poiallontanarsi raggiungendo una direzione asintotica a tempi molto grandi diversi da quelladi incidenza. La traiettoria seguita e un ramo di iperbole rispetto al quale la carica +Q elocalizzata nel fuoco esterno. L’effetto dell’interazione tra un istante iniziale in cui le duecariche sono ancora molto distanti per poter sentire la reciproca repulsione, ed un istantefinale in cui le due paritcelle sono di nuovo molto distanti dopo aver interagito, e che ladirezione di moto della carica +q si e modificata. Si dice che la carica +q e stata diffusadalla carica +Q, detta centro di diffusione, di un angolo β, dato dall’angolo tra direzionedi incidenza (direzione del moto nell’istante iniziale) e direzione finale. Questo angolo none altro che l’angolo formato dai due asindoti dell’iperbole e vale β = π − 2α, essendo 2αl’apertura dell’iperbole. Piu intensa e l’interazione, maggiore sara la deviazione β, minorel’apertura 2α dell’iperbole. Vediamo piu un dettaglio da cosa dipende la forma dell’iperbole.Consideriamo tante cariche identiche +q che incidono sulla carica +Q con la stessa velocitainiziale ~vi. Nell’istante iniziale le particelle sono cosı lontane da +Q che possiamo trascurare ilcontributo dell’energia potenziale all’energia meccanica. Questa e quindi totalmente cinetica


Figura 8.8: Diffusione.

e dipende dal solo modulo di ~vi. Tutte le cariche +q indicenti hanno percio la stessa energiameccanica E. Cio che cambia da particella a particella e il parametro d’urto b, definito comela distanza di +Q dalla loro direzione di incidenza. Questo parametro determina il momentoangolare. Infatti, essendo esso costante, possiamo calcolare

−→L nell’istante iniziale:

−→L = ~r × ~pi ⇒ L = r|~pi| sin(θ) = |~pi| b , (8.1.51)

ove θ e l’angolo tra ~r e ~pi = µ~vi. A parita di velocita iniziale vi, all’aumentare di b, aumentaL e quindi ε, diminuisce cos(α) = 1/ε e quindi aumenta l’apertura 2α dell’iperbole. Diconseguenza diminuisce l’angolo di deflessione β. Inoltre all’aumentare di L aumenta anchermin, come si puo facilmente verificare. Diminuendo invece b, si riduce L e la particella riescead avvicinarsi di piu a +Q, subendo una deflessione β maggiore. Possiamo definire un valoreminimo del parametro d’urto b0 tale che, se b > b0, l’angolo di deflessione e trascurabilee si puo pensare che l’interazione tra le due cariche non abbia avuto luogo. Se abbiamoun fascio di cariche +q incidenti con la stessa velocita iniziale, quelle che interagiranno in

8.2. LE LEGGI DI KEPLERO 169

modo apprezzabile con +Q sono quelle deviate di un angolo β sensibilmente diverso di zero,e che quindi hanno b < b0. La linea di indicenza di queste particelle intersechera quindi undisco ideale di raggio b0, perpendicolare alla direzione di incidenza e centrato sul centro didiffusione. L’area di questo disco π b2

0 e detta sezione d’urto e caratterizza il processo diinterazione. Essa dipendera anche dalla velocita iniziale in quanto, a parita di b, particellepiu veloci sono deviate di meno perche si avvicinano a +Q per meno tempo, ovvero il tempodi interazione e minore.

8.2 Le Leggi di Keplero

Consideriamo il moto dei pianeti intorno al sole e applichiamo ad esso l’analisi fatta nellasezione precedente. La traiettoria da essi descritta e una ellisse di cui il sole (centro dellaforza gravitazionale agente si di essi) occupa uno dei fuochi. Vogliamo ora determinare lecaratteristiche di queste orbite in funzione dei parametri del moto. I semiassi maggiore eminore vagono:

a = − γ

2E; b =

L√−2µE

. (8.2.1)

L’area A racchiusa dall’ellisse vale:

A = π ab =πLγ√−8µE3

. (8.2.2)

Da questo valore possiamo ricavare il periodo T di rivoluzione del pianeta, utilizzando lacostanza della velocita areolare. Prendiamo un intervallo di tempo infinitesimo tra t e t+ dtdurante il moto di rivoluzione. Il raggio vettore avra coperto un’area infinitesima dA = dA

dtdt.

Integrando ambo i membri da t = 0 al periodo T del moto, l’area spazzata dal raggio vettoresara l’area A racchiusa dall’orbita, per cui avremo

A =

∫ A

0

dA =

∫ T

0

dA

dtdt =

dA

dtT =

L

2µT ⇒ T =

2µA

L= πγ

√− µ

2E3. (8.2.3)

Calcoliamo adesso il rapporto a3/T 2:

a3

T 2= − γ3

8E3

(− 2E3

π2γ2µ

)=

γ

4π2 µ=G(m1 +m2)

4π2, (8.2.4)

ove abbiamo usato che γ = Gm1m2. Se la particella 1 e il sole e la particella 2 il pianeta,abbiamo che m1 = Ms m2 ed il rapporto diventa

a3

T 2=GMs

4π2. (8.2.5)

Si osservi che questo rapporto non dipende dal pianeta. Questo fu osservato per la primavolta da Keplero ed e il contenuto della sua terza legge.

Riassumiamo quanto abbiamo imparato sul moto dei pianeti intorno al sole attraverso letre leggi di Keplero:


Prima legge: i pianeti descrivono orbite ellittiche di cui il sole occupa uno dei fuochi;

Seconda legge: il raggio vettore che definisce la posizione del pianeta intorno al sole spazza aree ugualiin tempi uguali (costanza della velocita areolare);

Terza legge: Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita ellittica ed il quadrato delperiodo del moto di rivoluzione non dipende dal pianeta.

L’eccentricita dell’orbita della terra e di ε ≈ 0.017. Questo vuol dire che il rapporto tra ilsemiasse minore e maggiore vale:

b

a=√

1− ε2 ≈ 1 , (8.2.6)

ovvero l’orbita terrestre e ben approssimata da un cerchio di raggio R ∼ a ∼ b ≈ 1.5 ×108Km. Ad avere eccentricita maggiore nel nostro sistema solare sono Mercurio con ε ≈ 0.21e Plutone con ε ≈ 0.25. Per essi il rapporto b/a vale rispettivamente 0.98 e 0.97. Possiamocomunque dire che le orbite dei pianeti sono ben approssimabili con orbite circolari. Seindichiamo con Rorb ≈ a la distanza media del pianeta dal sole (raggio della circonferenzache approssima l’orbita) e v la velocita media, possiamo scrivere, approssimando il moto conun moto circolare uniforme:

v =2π Rorb

T=

2π a

T⇒ v2 = 4π2 a

2

T 2=

4π2

a

a3

T 2=GMs

a, (8.2.7)

ove abbiamo usato la terza legge di Keplero. Vediamo che i pianeti che orbitano piu vicinial sole (come Mercurio) si muovono con velocita maggiore di quelli piu lontani.

Capitolo 9

Meccanica dei Fluidi

In meccanica e di solito fatta distinzione tra i due stati di materia: solidi e liquidi. La primacategoria comprende i corpi rigidi e i materiali elastici, mentre la seconda comprende siasostanze gassose che liquide. I fluidi, al contrario dei solidi, sono caratterizzati da forze dicoesione molto piu deboli tra le loro componenti (molecole), che consentono loro di fluireCome conseguenza di cio, le sostanze fluide non hanno una forma precisa, ma di solitosi adattano alla forma del recipiente che li contiene. Un altro modo di caratterizzare ladifferenza tra i solidi e liquidi e di dire che la distanza tra due punti qualsiasi in un solido e ocostante (corpi rigidi) o che puo variare in un intervallo limitato (materiali elastici), mentrela distanza tra due punti all’interno di un fluido puo variare indefinitamente col tempo.

Le sostanze liquide sono ulteriormente distinti dai gas dalla proprieta di essere incompres-sibili, vale a dire il loro volume non puo essere modificato da qualsiasi azione esterna. Inoltrela loro densita e approssimamente uniforme. Questo non e vero per le sostanze gassose chepossono essere compresse da sollecitazioni esterne e tendono ad espandersi fino a riempireil recipiente chiuso in cui sono contenute. Questo comportamento e dovuto alle frequenticollisioni che avvengono tra le molecole all’interno di un gas.

La densita dei gas in genere varia da punto a punto e dipende sia dalla pressione che dallatemperatura. Se siamo interessati a studiare il comportamento meccanico di liquidi e gas, ecioe le leggi che governano il loro moto, le loro caratteristiche distintive non sono rilevanti,mentre occorre prendere in considerazione solo le proprieta li accomunano come fluidi.

9.1 Forze esterne sui fluidi e statica dei fluidi

Il concetto idealizzato di forza applicata in un certo punto e stato particolarmente utilequando abbiamo studiato il moto di solidi. Se si spinge una palla da golf con la punta diun ago, la forza applicata al punto di contatto e trasferita alla restante parte della pallaprovocandone il moto.

In effetti la descrizione di un’azione esterna su un corpo solido, in termini di un sistemadi forze applicate su diversi punti di esso, semplifica la descrizione del suo moto, perche ciorende piu semplice calcolare la forza risultante, il momento delle forze rispetto a un punto,ecc. Se si tenta di applicare la stessa azione di un ago su un fluido, l’ago entra in esso,

171

172 CAPITOLO 9. MECCANICA DEI FLUIDI

provocando una deformazione localizzata, senza farlo muovere nel suo complesso. In altreparole, il fluido non puo sostenere una tale azione.

Se, d’altro canto, tiriamo un sacchetto contenente acqua, l’acqua si muovera sotto l’effettodelle forze che il sacchetto esercita sull’ acqua che possono essere pensate distribuite sullasuperficie di contatto dell’acqua con la borsa. Le sollecitazioni esterne che possano agire sullostato di moto di un fluido sono tipicamente descritte da una forza distribuita con continuitasu una porzione estesa della superficie che lo racchiude.

Se il fluido e a riposo, le sollecitazioni sono descritte da forze che sono perpendicolari allasuperficie che lo racchiude. Infatti le forze tangenziali causerebbero uno slittamento deglistrati del fluido, uno rispetto all’altro, in modo da determinare un moto del fluido che none osservato quando esso e a riposo. E utile, per descrivere questa situazione, introdurre ilconcetto di pressione che e grosso modo definito come la misura della forza normale (i.e.perpendicolare alla superficie) per unita di superficie su cui agisce. Consideriamo la borsariempita di acqua (ved. Fig. 9.1).

Figura 9.1:

L’acqua sara soggetta ad una forza esercitata dal sacchetto sulla superficie di contatto ereagira con una forza verso l’esterno applicata alla superficie della borsa. Sia l’acqua a riposoe prendiamo in considerazione un elemento ∆S della superficie di contatto. Supponiamo che∆S sia sufficientemente piccolo da essere approssimativamente piatto. Sia ~n il vettore unitanormale a ∆S e rivolto verso l’esterno.

Su ogni punto di ∆S sara applicata una forza verso l’esterno del contenitore. Tutte

queste forze sono normali a ∆S e, pertanto, sono dirette lungo ~(n). Sia−−→∆F = ∆F ~n la loro

risultante, vale a dire la forza esercitata dal fluido contro la superficie ∆S del contenitore.Al diminuire dell’estensione di ∆S il rapporto ∆F/∆S in generale cambiera, in quantol’intensita della forza che agisce su ciascun punto di ∆S non e uniforme. Al limite ∆S → 0,

9.1. FORZE ESTERNE SUI FLUIDI E STATICA DEI FLUIDI 173

in cui ∆S si riduce ad un punto P interno ad esso, il rapporto ∆F/∆S tendera ad unvalore che useremo per caratterizzare l’azione del fluido nel punto P sul contenitore e chechiameremo pressione p del fluido in P .

In pratica, per calcolare la pressione in P , possiamo misurare il rapporto dF/dS perun elemento di superficie dS, abbastanza piccolo che le forze possano essere considerateuniformemente distribuite su di esso, essendo dF la loro risultante:

p = limδS→0

∆F

∆S=dF

dS. (9.1.1)

La pressione ha la dimensione di una forza divisa per una superficie, e quindi, nel sistemaMKSA, viene misurata in unita N/m2 detta Pascal.

Ricordiamo ora la definizione di densita di ρ. Essa misura la massa di un corpo, che puoessere solido o fluido, per unita di volume e descrive come la materia e distribuita al suointerno. Si tratta di una quantita scalare, definita in ogni punto all’interno dell’oggetto eche puo essere calcolata, in un punto P , prendendo un elemento di volume ∆V intorno a Pe quindi misurando il valore limite del rapporto ∆m/∆V , dove ∆m e la massa contenutaall’interno di ∆V , mentre riduciamo gradualmente ∆V fino al punto P , vale a dire calcolandoil limite ∆V → 0.

In pratica, puo essere misurata prendendo l’elemento di volume ∆V = dV abbastanzapiccolo da poter considerare la massa distribuita in modo uniforme all’interno di esso e poicalcolando il rapporto dm/dV , dm essendo la massa contenuta all’interno di dV

ρ = lim∆V→0

∆m

∆V=dm

dV. (9.1.2)

La densita ha la dimensione di una massa divisa per un volume e pertanto e misurata, nelsistema MKSA , in unita di Kg/m3. E importante notare che stiamo sempre considerandodistribuzioni continue di materia e la materia appare continua solo se vista a scale di lun-ghezza molto piu grandi rispetto alla distanza media tra molecole o atomi all’interno di essa,vale a dire a scala macroscopica in cui si puo ignorare la sua struttura microscopica discreta.

Per questo motivo, dobbiamo sempre pensare gli elementi infinitesimi di superficie o divolume dS o dV come aventi dimensioni piccole ma ancora macroscopiche, e cioe contenentiun numero sufficientemente elevato di molecole in modo che si possa considerarle comecontinuamente distribuite all’interno della materia.

La densita di un fluidoin generale dipende dalla sua temperatura T e dalla pressioneesterna a cui e soggetto. Per quanto riguarda i liquidi, tuttavia, ρ risulta variare moltopoco, quando la temperatura e la pressione esterna variano in un ampio intervallo di valori,e quindi puo essere considerata, in una buona approssimazione per tutti i nostri scopi,come indipendente di tali quantita. Questo non e nel caso dei gas, la cui densita e, ingenerale, sensibile sia alla temperatura che alla pressione. Ad esempio, la densita dell’aria(a T = O oC) e 1.293Kg/m3 mentre la densita dell’acqua e 103Kg/m3 = 1Kg/litro.


9.2 Equilibrio di un fluido

Si puo caratterizzare l’equilibrio di un fluido, come lo stato in cui o tutte le sue parti sonoa riposo oppure esse non hanno alcun moto rispetto l’una rispetto all’altra. Nel primo caso,nessun elemento del fluido possiede alcuna accelerazione, e quindi la forza totale che agiscesu di esso e nulla. Nel secondo caso le varie parti del liquido possono avere un moto globale,con una accelerazione non nulla.

Quest’ultima situazione e realizzata, ad esempio, se si mescola l’acqua in un bicchierecon un piccolo cucchiaio, in modo da produrre un moto stazionario del fluido in cui tutti isuoi elementi descrivono un moto circolare uniforme con la stessa velocita angolare.

Limitiamoci per ora alla prima caratterizzazione di equilibrio e consideriamo un fluidoa riposo sulla superficie della terra. Ogni elemento di volume del fluido sara a riposo equindi non vi e una forza risultante agente su di esso. E conveniente fissare un sistema dicoordinate uni-dimensionale in cui l’asse Z e verticale, orientato verso l’alto, e la cui origine Osi trova sulla superficie della terra, in modo che un valore positivo della coordinata z misural’altezza di un punto al di sopra della superficie della terra (ved. Fig. 9.2). Prendiamo

Figura 9.2:

in considerazione un elemento di volume rappresentato da un disco sottile, situato ad unaaltitudine z > 0, con spessore dz, e le cui facce, di area A, sono parallele alla superficie dellaterra. Valutiamo prima le forze che agiscono sul disco e quindi imponiamo la condizione diequilibrio richiedendo che la forza totale sia pari a zero. La massa del disco e dm = ρAdz,dove la densita ρ in generale dipendera dal punto all’interno del fluido. A causa dellasimmetria del sistema, il fluido sembra lo stesso da qualsiasi punto su un piano orizzontale,e quindi la densita dipendera solo dalla coordinata z: ρ = ρ(z).

9.2. EQUILIBRIO DI UN FLUIDO 175

Il peso del disco e−→F W = −dmg ~u = −ρA g dz ~u, ove ~u e il versore del nostro asse.

Oltre alla forza gravitazionale−→F W che e una forza di volume che agisce sul centro di massa

dell’elemento fluido, il disco e soggetto all’azione del fluido circostante, descritta da una certapressione esercitata sulla sua superficie. Osserviamo che non vi e una forza totale dovuta allapressione sulla superficie laterale del disco, dal momento che una forza orizzontale risultantenon nulla dovrebbe causare il movimento del sul piano orizzontale, mentre in una situazionedi equilibrio questo movimento non avviene.

In realta, in virtu della simmetria del sistema, le forse sul volumetto appariranno esat-tamente le stesse se lo ruotiamo rispetto al proprio asse. Pertanto, la forza che agisce su unpunto qualsiasi sulla sua superficie laterale e esattamente compensata dalla forza che agiscesul punto diametralmente opposto. Consideriamo ora la forza risultante che agisce nelladirezione verticale. Il fluido al di sopra del disco esercitera una pressione p(z + dz) = p+ dp

sulla sua faccia superiore, a causa di una forza diretta verso il basso−→F + che e uniformemente

distribuiti sulla faccia superiore ed ortogonale ad essa. Dalla definizione (9.1.1) siamo in gra-

do di esprimere questa forza in termini della corrispondente pressione:−→F + = −(p+ dp)A~u.

Il fluido al di sotto del disco esercitera una pressione p = p(z) su di esso la cui risultante

e una forza verso l’alto−→F − = pA~u. Le forze verticali agenti sul centro di massa del disco

sono percio−→F W ,

−→F +,

−→F −. Il disco rimarra fermo se la loro risultante sara nulla:

0 =−→F W +

−→F + +

−→F − = −(ρA g dz + (p+ dp)A− pA)~u = −(ρA g dz + dpA)~u .

(9.2.1)

Dividendo entrambi i membri di questa equazione per dz, otteniamo l’equazione dell’equili-brio.

dp

dz= −g ρ(z) . (9.2.2)

Questa e l’equazione principale che governa la statica dei fluidi. Si tratta di un equazionedifferenziale che descrive come la pressione deve essere distribuita all’interno di un fluido,soggetto alla forza gravitazionale sulla superficie della terra, in modo che esso sia a riposo.La soluzione p(z) dell’ eq. (9.2.2) dipende dal modo in cui la densita ρ(z) varia con z. Suppo-niamo di conoscere ρ(z) e la pressione in un punto P0 ad una data di altezza z0 (p(z0) = p0).Usando l’ equazione (9.2.2) siamo in grado di determinare la pressione p in ogni punto P delfluido.

Supponiamo che P sia situato ad una altezza z, sulla stessa linea verticale di P0. Di-vidiamo il segmento verticale P0P in un numero infinito di spostamenti infinitesimi dz, incui ρ puo essere considerato uniforme. La differenza di pressione tra P0 and P puo essereespressa come la somma delle variazioni infinitesime dp di p in ciascun intervallo, le quali, aloro volta. sono espresse in termini della densita mediante l’equazione (9.2.2):

p(z)− p0 =

∫ p

p0

dp = −g∫ z

z0

ρ(z′) dz′ . (9.2.3)

Se il punto P non si trova sulla stessa linea verticale di P0 i due punti possono esserecongiunti da una successione di segmenti infinitesimi orizzontali e verticali ed quindi si potra


esprimere p− p0 come l’integrante sulle variazioni dp lungo ogni spostamento (ved Fig. 9.3).Dal momento che p dipende solo z, la sua variazione lungo i segmenti orizzontali sara pari

Figura 9.3:

a zero, e quindi l’integrale ha contributi non nulli solo dagli spostamenti verticali, ossia siriduce all’integrale (9.2.3) nella sola variabile z. Si noti che la differenza di pressione tra duepunti non dipende dall’effettiva quantita di fluido tra i due punti, ne dipende dalla formadel contenitore, ma solo dalla distribuzione di densita e dalla loro altezza.

Esprimiamo la soluzione di (9.2.3) in qualche situazione specifica in cui ρ(z) ha unaforma particolare. Ogni strato di liquido e sottoposto a una pressione dovuta al peso delliquido sovrastante. Pertanto ci aspettiamo che gli strati piu bassi siano piu compressi, equindi avere una maggiore densita di ρ(z). I liquidi tuttavia, come gia sottolineato, sonocaratterizzati dall’ essere incompressibili, vale a dire la loro densita non e apprezzabilmenteinfluenzata dalle variazioni della pressione esterna a cui sono soggetti. Per questo motivopossiamo assumere, in una buona approssimazione, che la densita di un liquido e indipendentedall’altezza ρ(z) ≡ ρ. In questo caso l’equazione (9.2.3) ha la semplice forma

p(z) = p0 − g (z − z0) . (9.2.4)

Se abbiamo un liquido contenuto in un recipiente, si puo prendere il livello di riferimento z0

in corrispondenza alla sua superficie libera che lo separa dall’aria sovrastante. La corrispon-dente pressione di riferimento p0 sara la pressione dell’aria e l’equazione (9.2.4) esprime lapressione all’interno del liquido in funzione della profondita (z−z0) del punto dalla superficielibera.

Come abbiamo gia sottolineato, i gas differiscono dai liquidi in quanto non sono incom-pressibili, vale a dire la loro densita dipende dalla pressione esterna. Ci aspettiamo che peril gas sulla superficie della terra, come per l’aria nell’atmosfera, ρ dipendera da z.


Tuttavia, poiche la densita del gas e in generale molto piu piccola della densita dei liquidi,la sua variazione con l’altezza e apprezzabile solo su scala relativamente larga.

Esempio 1 Se noi supponiamo che la temperatura sia uniforme nell’ atmosfera, che eun’assunzione fortemente semplificativa, la densita dell’aria puo essere ritenuta, in buonaapprossimazione, proporzionale alla pressione. Cio significa che, se la densita e la pressionea un certo livello di riferimento z0 hanno valori ρ0, p0 rispettivamente, i loro valori ad unagenerica altezza z sono legati come segue:

ρ =ρ0

p0

p . (9.2.5)

Sostituendo tale valore nella equazione (9.2.2) troviamo la seguente equazione differenziale

dp

dz= −

(gρ0

p0

)p . (9.2.6)

L’equazione e risolta moltiplicando entrambi i membri per dz/p e ricordando che d(log(p)) =dp/p

d(log(p)) = −(gρ0

p0

)dz . (9.2.7)

Integriamo entrambi i membri da z0 a z

log(p)− log(p0) =

∫ log(p)

log(p0)

d(log(p′)) = −(gρ0

p0

) ∫ z

z0

dz′ = −(gρ0

p0

)(z − z0) .(9.2.8)

Esponenziando entrambi i membri della equazione precedente arriviamo finalmente allaseguente funzione per la pressione in funzione dell’altezza

p(z) = p0 e−k (z−z0) ; k = g

ρ0

p0

. (9.2.9)

E conveniente scegliere come livello di riferimento il livello del mare z0 = 0. A questolivello la densita e la pressione dell’aria sono circa ρ0 ∼ 1.2Kg/m3 and p0 ∼ 1.01 105N/m2.Prendendo g = 9.8m/sec2, troviamo k ∼ 1.16 10−4m−1. Si vuol tracciare la pressione infunzione della altezza/profondita sopra e sotto il livello del mare. Ricordiamo che al di sottodel livello del mare la pressione dipende linearmente da z < 0, come descritto dalla equazione(9.2.4) con z0 = 0. Il comportamento esponenziale di p(z) per z > 0 deve essere raccordatoal comportamento lineare per z < 0, richiedendo la continuita della funzione globale p(z) inz = 0. Lo studente e invitato a tracciare questo grafico.

Esempio 2 Si consideri il contenitore in Fig. 9.4. I punti P1 e P2 sono nello stesso liquidocon densita ρ, allo stesso livello z. Possiamo convincerci che la pressione in P1 and P2 ela stessa. Infatti si puo prendere un punto di riferimento A all’interno del liquido ad un


Figura 9.4:

livello z0 < z, e risolvere l’equazione (9.2.2) lungo le curve (1) e (2) che collegano A a P1

e P2 rispettivamente. Troviamo la stessa soluzione (9.2.4) per la pressione p = p(z) neidue punti. Tuttavia, sebbene il punto P3 nel tubo di destra e allo stesso livello di P1 e P2,esso e contenuto all’interno di un fluido diverso con densita ρ′ 6= ρ. La pressione in P3,p′(z) = p(P3), e ottenuta risolvendo prima l’equazione (9.2.2), con densita uniforme ρ lungoil percorso (3) fino a z = L1, e poi, prendendo come livello di riferimento L1, risolvendo(9.2.2) all’interno del liquido con densita uniforme ρ′ fino a P3

p(L1) = p0 − g ρ (L1 − z0) ; p′(z) = p(P3) = p(L1)− g ρ′ (z − L1) =

= p0 − g ρ′ (z − L1)− g ρ(L1 − z0) . (9.2.10)

Vediamo che p(z) 6= p′(z). Un’ altra caratteristica di un liquido in stato di riposo e chetutte le sue superfici libere che vengono a contatto con l’atmosfera si trovano allo stessolivello. Infatti, la pressione su S1 e S2 coincide con quella dell’atmosfera pA. Pertanto,usando (9.2.3), il loro livello e lo stesso ed e dato da L = z0 − (pA − p0)/(g ρ). E utileesprimere il rapporto tra le due densita in termini di livelli delle superfici libere S1, S2 edS3, osservando che su S3 la pressione e pA. Se scriviamo equazione (9.2.10) prendendo P3 suS3, ossia z = L1 + L2 and p′(z) = pA troviamo

pA = p0 − g ρ′ L2 − g ρ(L1 − z0) . (9.2.11)

Confrontando questa relazione con pA = p0 − g ρ (L− z0) troviamo

ρ′

ρ=

L− L1

L2

. (9.2.12)


Si noti che se S3 e al di sopra del livello di S1 and S2, come in Fig. 9.4, allora L− L1 < L2

e questo si verifica se ρ′ < ρ. Se, invece, ρ′ > ρ, avremmo L − L1 > L2 e la superficielibera del liquido con densita ρ′ sarebbe al di sotto del livello di S1 e S2. Siamo in gradodi comprendere questo risultato in un modo piu intuitivo. Si consideri la pressione in unpunto situato all’interno del tubo di sinistra al livello L1 e in un punto situato all’internodel tubo di destra, sull’interfaccia tra i due liquidi. Poiche i due punti appartengono allostesso liquido e si trovano allo stesso livello, i due valori della pressione saranno uguali. Dalmomento che la pressione su S1 e S3 e anche la stessa, ne consegue che la colonna di altezzaL−L1, e base S1, contenente il liquido di densita di ρ, deve avere lo stesso peso, per unita disuperficie di base, della la colonna di altezza L2 e superficie di base S3 contenente il liquidodi densita di ρ′. Eguagliando i due pesi per unita di superficie si ottiene l’eq.(9.2.12).

Come precedentemente sottolineato, l’equazione (9.2.2), o equivalentemente (9.2.3), im-plica che, in un fluido a riposo, la differenza di pressione tra due punti al suo interno dipendesolo dalla loro posizione relativa e dalla distribuzione di materia (descritta dalla funzionedensita). Se il fluido e incompressibile, una variazione della pressione in un punto, non po-tendo modificare ρ, indurrebbe un nuovo stato di equilibrio in cui la pressione varia dellastessa quantita in qualsiasi altro punto all’interno del fluido, in modo che la differenza dipressione rimanga costante all’interno del volume.

Si consideri ad esempio un liquido contenuto all’interno di un contenitore a forma cilin-drica, chiuso nella parte superiore da un pistone. Per mezzo del pistone, e possibile variarela pressione esercitata sulla superficie superiore del fluido. Se mettiamo un peso sul pistone,la pressione sul liquido aumentera di una certa quantita. Il liquido si portera, quasi istan-taneamente, ad un nuovo stato di equilibrio in cui il pressione in un punto qualsiasi del suovolume e sulla superficie interna del contenitore aumentera della stessa quantita. Lo stessoaccade per un fluido comprimibile, come un gas. In questo caso una variazione della pressioneesterna induce una variazione di densita locale (per esempio nella regione vicino al pistone),che rappresenta un perturbazione dello stato di equilibrio del fluido. Questa perturbazionesi propaga, dalla regione in cui e prodotta, a tutto il fluido come un’onda, con la velocitadata dalla velocita del suono nel fluido. Dopo qualche tempo la variazione di pressione e ladensita sara trasmessa al resto del fluido determinando un nuovo stato di equilibrio in cuila pressione in tutti i i punti all’interno del liquido e sulla superficie interna del contenitore,cambiera della stessa quantita. In questo caso, tuttavia, la funzione densita nel nuovo statodi equilibrio non sara costante. Questo risultato e formulato nel seguente principio, dettoprincipio di Pascal essendo dovuto allo scienziato francese Blaise Pascal (1623-1662):

La pressione applicata ad un fluido chiuso e trasmessa intatta in ogni porzione del fluidoe sulle pareti del contenitore.

Dalle leggi che regolano la statica del fluido si puo dedurre anche il principio di Archimede:

Un corpo, parzialmente o totalmente immerso in un fluido, e soggetto ad una forza versol’alto, uguale in grandezza al peso del fluido spostato dal corpo.

Se un oggetto e immerso in un fluido, ad esempio l’acqua, esso subira una pressione sullasua superficie esposta al fluido, da parte del fluido circostante. Si consideri un corpo che etotalmente o parzialmente immerso in un fluido. La pressione esercitata dal fluido circostantesulla parte immersa S della sua superficie, non dipende dal materiale di cui l’oggetto e fatto,


Figura 9.5:

ma solo dal volume V della sua parte immersa e dalla sua forma. Possiamo prendere inconsiderazione una porzione del liquido racchiuso nella stessa superficie S, e quindi aventevolume V , che rappresenta la quantita di fluido spostato quando l’oggetto fu immerso.

Questa porzione di liquido sara fermo, in equilibrio statico con il fluido circostante, perchesarebbe come tracciare una superficie immaginaria, avente la forma del contorno del corpo,all’interno del fluido fermo. Pertanto, la forza risultante

−→F B, dovuta alla pressione del fluido

circostante sul volume V di fluido e compensata dal suo peso−→F

(f)

W = −g ρf V ~u, dove ρf ela densita (media) del fluido in V .

−→F B = −−→F

(f)

W = g ρf V ~u . (9.2.13)

Questa e la stessa forza, detta forza di Archimede, che agisce sulla parte immersa dell’oggetto, dovuta al fluido circostante. Essa e uguale in intensita al peso del fluido spostato.Se il corpo ha densita media densita ρ e volume totale Vtot, la forza risultante che agisce sudi esso e

−→F =

−→F B +

−→F W = g (ρf V − ρ Vtot) ~u . (9.2.14)

Se ρ < ρf , come nel caso di ghiaccio immerso in acqua, (ρ = 0.92 103Kg/m3, ρf =1 103Kg/m3), il volume V della parte immersa dell’oggetto, all’equilibrio dovrebbe essere

9.3. MISURA DELLA PRESSIONE 181

tale che−→F = 0, cioe si dovrebbe avere che

V

Vtot=

ρ

ρf. (9.2.15)

Se ρ > ρf , questo equilibrio non sara mai raggiunto essendo V ≤ Vtot e l’oggetto affonderebberaggiungendo il fondo del fluido.

Esercizio 7.1 Si consideri un palloncino riempito di elio (densita ρHe = 0.1785Kg/m3),che galleggia contro il tetto di un autobus in movimento a velocita costante. Il palloncino ecosı leggero che si puo trascurare la forza gravitazionale su di esso ed, inoltre, consideriamoanche trascurabile la forza di attrito del soffitto sul pallone. Ad un tratto l’autobus si ferma.Il palloncino si spostera in avanti o all’indietro?

Solutione: Rispetto ad un osservatore all’interno del bus, durante la fase di decelerazione,ogni oggetto e soggetto ad una accelerazione in avanti ~a, e quindi il palloncino subira unaforza

−→F = ρHe V ~a, V essendo il suo volume. La forza di Archimede sul palloncino e uguale

ed opposta alla forza che agirebbe sul palloncino se fosse riempito con aria−→F B = −ρaria V ~a.

La forza totale sul palloncino e quindi−→F +

−→F B = (ρHe − ρaria)V ~a. Essendo ρHe < ρaria, il

palloncino si muovera all’indietro.

9.3 Misura della pressione

Lo strumento originariamente utilizzato per la misurazione della la pressione atmosferica eil barometro a mercurio, ideato nel 1645 da Evangelista Torricelli (1608-1647) . Esso puoessere costruito riempendo una provetta di vetro, chiusa ad una estremita, con il mercurioe poi capovolgendola in un contenitore aperto riempito anch’esso con mercurio. Lo spazioal di sopra della colonna di mercurio contiene solo vapore di mercurio la cui pressione etrascurabile. Il mercurio e soggetto alla pressione atmosferica pA sulla sua superficie libera,la quale e esposta all’aria. Si raggiunge l’equilibrio tra il peso della colonna di mercurio ela forza verso il basso da parte dell’atmosfera sul mercurio nel serbatoio. In questo statol’altezza h della colonna dipende da pA secondo l’equazione (9.2.3)

pA = g ρ h , (9.3.1)

dove ρ = 13.6 103Kg/m3 e la densita del mercurio. Possiamo pensare pA, in un punto dellasuperficie della terra, come il peso per unita di superficie della colonna d’aria che si estendedal punto alla fine dell’atmosfera. La quantita di aria in questa colonna non e costante,poiche l’aria nell’ atmosfera e in continuo movimento. Come conseguenza di cio, l’altezzadella colonna di mercurio varia da un giorno all’altro, come osservato da Torricelli. Tuttavia,al livello del mare l’altezza media della colonna di mercurio e di circa 76 cm. Un’ atmosferastandard (atm) e definita come la pressione corrispondente ad una colonna di mercurio altaproprio 76 cm alla temperatura di 0 oC:

1 atm = 1.013 105N/m2 . (9.3.2)


Esercizio 7.2 Determinare l’altezza di una colonna d’acqua che riproduce la pressioneatmosferica pA.

Solutione.h = 10.34m

Il manometro Un manometro e un dispositivo per determinare le differenze di pressione,mediante la misurazione delle altezza di colonne di un fluido. Fig. 9.6 rappresenta un

Figura 9.6:

particolare manometro che consiste di un tubo ad U contenente aria, con densita ρaria, eun fluido con densita ρ. Questo strumento consente di determinare la differenza pA − pB

della pressione dell’aria nei punti A and B, mediante le differenze di altezza h3 − h1 tra lecolonne di liquido nei due tubi verticali. Applichiamo l’ equazione (9.2.3) nelle due colonnedel tubo ad U e assumiamo come livello di riferimento quello di un punto O nella parteinferiore dell’apparecchio. Troviamo

pA = pO − g ρaria (h2 − h1)− g ρ h1 ,

pB = pO − g ρaria (h2 − h3)− g ρ h3 , .

Calcolando la differenza tra le precedenti equazioni si arriva alla seguente relazione

pA − pB = −g (ρaria − ρ) (h3 − h1) . (9.3.3)

If ρaria ρ, equazione (9.3.3) si semplifica in

pA − pB = g ρ (h3 − h1) . (9.3.4)

9.3. MISURA DELLA PRESSIONE 183

Esempio 3 Discutiamo un esempio di fluido in equilibrio le cui parti sono soggette a unaaccelerazione, anche se non si muovono l’una rispetto all’altra. Prendiamo in considerazioneun contenitore cilindrico, riempito con un liquido, che e fatto ruotare intorno al proprioasse con una velocita angolare costante ω. All’equilibrio il fluido avra un moto rotatorio diinsieme solidale con il contenitore, e ogni elemento di volume al suo interno descrivera unmoto circolare uniforme con velocita angolare ω. E utile introdurre un sistema di coordinatecilindrico, definito nel capitolo 2, con l’asse Z coincidente con l’asse di simmetria del conteni-tore (ved. Fig. 9.7). Dobbiamo studiare le forze che agiscono all’equilibrio, su un elemento

Figura 9.7:

di volume dV , definito nel sistema di coordinate cilindriche, in equazione (2.2.14). Ci sono

due forze di volume che agiscono sul centro di massa di dV : il peso−→F W = −g ρ dV ~uz e la

forza centripeta−→F c = −ω2 r ρ dV ~ur. Inoltre abbiamo la pressione esercitata dal fluido che

circonda il dV . Il sistema e simmetrico se ruotato rispetto all’asse Z, ovvero se si varia φ.Pertanto ci aspettiamo che la pressione dipenda da r e z, ma non da φ: p = p(r, z). Poichenon vi non e accelerazione nella direzione ~uφ, le pressioni sulle due facce verticali a φ andφ + dφ si compenseranno a vicenda. Consideriamo la forza risultante dovuta alla pressionenella direzione radiale. Le due facce, che sono perpendicolari a ~ur nelle posizioni r e r + dr(tutte le altre coordinate essendo le stesse), hanno area dS = r dz dφ, in modo che la forzalungo la direzione radiale e la somma della forza verso l’esterno a causa della pressione cheagisce sulla faccia in r e la forza verso l’interno agente sulla faccia in r + dr

−→F r = (p(r, z)− p(r + dr, z)) dS~ur = −∂p

∂rdr dS ~ur = −∂p

∂rdV ~ur , (9.3.5)

dove e stata usata la definizione di derivata parziale lungo r:

∂p

∂r= lim

∆r→0

p(r + ∆r, z)− p(r, z)

∆r=p(r + dr, z)− p(r, z)

dr, (9.3.6)

la quale e calcolata derivando p(r, z) rispetto ad r e trattando z come una costante. All’e-

quilibrio−→F r fornira la forza centripeta su dV :

−→F r =

−→F c ⇒

∂p

∂r= ω2 r ρ . (9.3.7)


Possiamo integrare la precedente equazione, usando il fatto che ρ = const, da r = 0 to r,per trovare:

p(r, z) = p(0, z) +

∫ r

0

ω2 r ρ dr = p(0, z) +1

2ω2 r2 ρ . (9.3.8)

Abbiamo ancora bisogno di determinare la dipendenza di p da z. A questo scopo scriviamola condizione di equilibrio lungo la direzione Z. La forza risultante

−→F z dovuta alla pressione

sulle facce dSz of dV che sono perpendicolari all’asse Z, e poste rispettivamente in z e z+dz, ela somma della forza p(r, z) dSz~uz esercitata sulla faccia inferiore e la forza −p(r, z+dz) dSz~uzesercitata sulla faccia superiore

−→F z = (p(r, z)− p(r, z + dz)) dSz~uz = −∂p

∂zdz dSz ~uz = −∂p

∂zdV ~uz , (9.3.9)

dove abbiamo usato le proprieta: dSz = r dr dφ e dV = dSz dz. Non essendoci accelerazionenella direzione Z ,

−→F z deve compensare il peso

−→F W of dV :

−→F z = −−→F W ⇒ ∂p

∂z= −g ρ , (9.3.10)

che e l’equazione (9.2.2) che governa la dipendenza di p da z. Se z0 indica il livello piubasso della superficie libera del liquido, integrando (9.3.10) utilizzando z0 come livello diriferimento

p(r, z) = p(r, z0)− g ρ (z − z0) . (9.3.11)

Possiamo usare l’equazione precedente per esprimere p(0, z) in (9.3.8) mediante la pressionein p(0, z0) che e pari a pA essendo il punto r = 0, z = z0 sulla superficie libera del liquido:

p(0, z) = pA − g ρ (z − z0) ⇒ p(r, z) = p(0, z) +

∫ r

0

ω2 r ρ dr = pA − g ρ (z − z0) +1

2ω2 r2 ρ .

(9.3.12)

Determiniamo ora la geometria della superficie libera del liquido all’equilibrio. Essa e definitadall’equazione p(r, z) = pA, cioe, usando (9.3.12),

z = z0 +1

2 gω2 r2 (9.3.13)

la quale definisce il paraboloide in Fig. 9.7.

9.4 Dinamica dei fluidi

Finora siamo stati principalmente interessati a fluidi in stato di riposo. Studieremo orail moto dei fluidi e le leggi che lo governano. A tal fine abbiamo bisogno di descrivere ilmoto di un fluido. Si possono adottare due punti di vista. Il primo e quello di descrivere il

9.4. DINAMICA DEI FLUIDI 185

fluido come un insieme di particelle (molecole), e di caratterizzare il suo moto specificandoin ogni tempo t la posizione ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) di ogni singola particella. In principio,questa posizione puo dedursi dalle leggi di base della meccanica, conoscendo la posizione~r0 = (x0, y0, z0) della particella in un dato istante t0 e le sue interazioni con tutti le altreparticelle del fluido.

Il suo moto sara poi specificato dal vettore posizione ~r(~r0, t) soluzione delle equazioni diNewton che definisce cosı l’evoluzione nel tempo della particella che, a t = t0, era situata in~r0. Poiche questa posizione iniziale deve essere specificata per ogni particella, e dal momentoche una quantita macroscopica di fluido contiene un numero di particelle dell’ordine di 1023,la quantita di dati necessari per prevedere l’evoluzione del fluido e troppa da gestire ancheper il piu potente computer. Il punto di vista in cui il moto del fluido e descritto in terminidi moto dei suoi elementi costitutivi di particelle e chiamato Lagrangiano, da Joseph-LouisLagrange (1736-1813) il quale sviluppo le leggi della meccanica delle particelle. In realta,al fine di descrivere le principali caratteristiche di un fluido in movimento, non abbiamobisogno di seguire ogni particella lungo la sua traiettoria.

Tale descrizione sarebbe ridondante se consideriamo quantita di fluido che contengonoun numero sufficientemente elevato di particelle, di modo che, a tutti gli effetti, possiamodescrivere il fluido come una distribuzione continua di materia. In questo caso essendo, aifini della descrizione del sistema, la natura microscopica discreta (molecolare) della materiadiventa irrilevante.

E opportuno adottare il punto di vista locale o Euleriano, che consiste nel descrivere lostato di un fluido, in un dato istante, precisando alcune importanti quantita fisiche, comead esempio la velocita ~v o la pressione p, punto per punto nello spazio. Facciamo notare chequesta descrizione e macroscopica, cioe tutte le quantita utilizzate per descrivere il sistemanon sono riferite al movimento delle componenti microscopiche del fluido. Ad esempio quandosi parla di velocita del fluido in un punto P ad un tempo t, non ci riferiamo alle effettivevelocita delle molecole che passano per P al tempo t, che sarebbero piuttosto difficile dadeterminare sperimentalmente, dal momento che il moto di un molecola e molto irregolaree rapidamente variabile, essendo caratterizzato da continue collisioni.

Cio che possiamo misurare e una media delle velocita di un gran numero di molecolecontenute all’interno di un volume elementare dV in un intorno di P , sufficientemente piccoloaffinche questo valore medio non vari sensibilmente quando prendiamo un volume piu piccolo,ma abbastanza grande da contenere un considerevole numero di particelle. Diremo che dVe sufficientemente piccolo da poter considerare ~v, p o qualsiasi altra quantita macroscopicauniformi al suo interno, ma ancora di dimensioni macroscopiche, in modo che il fluido sembricontinuo in esso. Detto questo ci dimenticheremo della struttura microscopica del liquidoe adotteremo la descrizione macroscopica. Da ora in poi useremo la parola particella perintendere un elemento infinitesimo dV del fluido (ved. Fig 9.8). Il moto del fluido saracaratterizzato associando ad ogni suo punto P = (x, y, z) e ad ogni istante t, la velocita~v(x, y, z, t) che e una particella assume passando per P all’istante t. Questa velocita tuttavia,nella descrizione Euleriana, e associata al punto dello spazio e non ad una particolare porzionedi fluido. La configurazione spaziale della velocita ~v(x, y, z, t) del fluido in un dato istantedefinisce un campo vettoriale, che e una quantita definita assegnando a ogni punto dello


Figura 9.8:

spazio un vettore, cioe tre funzioni vx, vy, vz of x, y, z e t e che rappresentano le componenticartesianeo di ~v

P, t −→ ~v(x, y, z, t) ≡ (vx(x, y, z, t), vy(x, y, z, t), vx(x, y, z, t)) . (9.4.1)

Possiamo inoltre specificare, per ogni punto del fluido al tempo t la corrispondente pressionep(x, y, z, t), o la densita ρ(x, y, z, t) o la temperatura T (x, y, z, t) che forniscono esempi dicampi scalari.

Il moto del fluido e chiamato costante o laminare, se in ogni punto la velocita non dipendedal tempo, e cioe se ~v(x, y, z, t) ≡ ~v(x, y, z).

Cio non significa che ogni elemento di volume dV di un fluido nel moto costante fluisca conun velocita costante, ma piuttosto che ogni elemento di volume, quando passa per un puntoP = (x, y, z), in qualsiasi momento, ha velocita ~v(x, y, z). Supponiamo che un particella diun fluido in moto costante passi da un punto A a t = tA, in cui la velocita e ~vA, a un puntoB a t = tB, in cui la velocita e ~vB 6= ~vA. Anche se ~vA and ~vB sono costanti nel tempo, lavelocita della particella cambia nel tempo da ~vA a ~vB durante il lasso di tempo tB − tA.

Un flusso costante di un fluido e, in genere, realizzato quando la velocita del flusso none troppo elevata e puo essere descritto in termini di moto di strati paralleli. Al di sopra diuna velocita di flusso caratteristica, che dipende dal fluido, un moto laminare si trasformain un moto turbolento. Una definizione matematica di moto costante si ottiene mediante laseguente condizione

∂~v

∂t= (

∂vx∂t

,∂vy∂t

,∂vz∂t

) ≡ 0 . (9.4.2)


Il moto di un fluido e detto di essere irrotationale se le sue varie particelle non hannomomento angolare rispetto a qualsiasi punto. Al contrario, un moto rotationale e di solitocaratterizzato dalla presenza di vortici o mulinelli. Un flusso di fluido viene detto essereincompressibile se la densita ρ(x, y, z, t) e uniforme e costante, ossia essa non dipende ne dalpunto nello spazio ne dal tempo: ρ(x, y, z, t) ≡ ρ. Se questo non e il caso, il flusso e chiamatocompressibile.

Il fluido puo essere caratterizzato da una certa viscosita che si manifesta in una forzadi attrito tangente che gli strati del fluido in moto relativo esercitano uno sull’altro. Sela viscosita non e trascurabile il fluido e chiamato viscoso. La viscosita tipicamente causadissipazione di energia meccanica che viene convertita in energia termica provocando unaumento della temperatura. Ci limiteremo a considerare flussi di fluidi che sono costanti,irrotazionali, non viscosi ed incomprimibili.

E utile a rappresentare il flusso di un fluido, in un dato istante, in termini di linee diflusso, che sono linee orientate caratterizzate dall’ essere in ogni punto tangenti alla velocita~v. La rappresentazione in termini di linee di flusso fornisce una “istantanea”, in un datoistante, della distribuzione di velocita ~v(x, y, z, t) all’interno del fluido. Se il flusso e costante,esse rappresentano le traiettorie descritte dalle particelle nel loro moto. Questo non avvienenel caso non costante, o turbolento, in cui le linee di flusso variano nel tempo e il motodelle particelle e tipicamente caotico (vedi Figure 9.9 e 9.10). Per definizione, una linea

Figura 9.9:

di flusso e tangente alla velocita in ogni punto. Come conseguenza di cio due linee diflusso non si intersecheranno mai, altrimenti la velocita non sarebbe definita nel punto diintersezione, dovendo essere tangente al tempo stesso a due curve diverse. L’insieme delle


linee di flusso passanti attraverso una superficie finita definisce un tubo di flusso (vedi Figura9.10). La superficie di un tubo di flusso, essendo costituita da linee di flusso, non puo essere

Figura 9.10:

attraversata da alcuna delle particelle del fluido, altrimenti avremmo due linee di flusso chesi intersecano in un punto. Un tubo di flusso si comporta come un tubo in cui scorre il fluidoin moto costante e incompressibile. Due sezioni qualunque S1 e S2 di un tubo di flusso sonoquindi attraversate nello stesso intervallo di tempo dalla stessa quantita di fluido. Si notiche, per definizione di tubo di flusso, il numero di linee di flusso che attraversano due sezionie lo stesso. Pertanto, le linee di flusso sono fitte nei punti lungo il tubo in cui la sezionetrasversale e piu piccola, mentre di diradano quando la sezione trasversale e piu’ larga.

Equazione di continuita e le equazioni di Bernulli Consideriamo un fluido che scorrein un tubo di flusso e deduciamo alcune caratteristiche di questo moto che derivano dalprincipio di conservazione della massa nella dinamica dei fluidi. Siano S1 ed S2 due sezioni deltubo, rispettivamente di aree A1 e A2, perpendicolari alla direzione del flusso. Supponiamoche la velocita, la densita e la pressione siano uniformi su una sezione del tubo, in modo chesi possa associare ad S1 e S2 le corrispondenti velocita ~v1 and ~v2 (vedi Figura 9.11). Se ilmoto e costante, come assumeremo che sia, ~v1 and ~v2 sono costanti. Siano ρ1 and ρ2 i valoridella densita in S1 ed S2 rispettivamente. Per il momento considerariamo il caso piu generaledi un fluido comprimibile, in cui ρ1 and ρ2 possono essere diversi, anche se assumeremo chesiano costanti nel tempo. Durante un intervallo di tempo ∆t sufficientemente piccolo, lasezione S1 sara attraversata da una quantita di fluido uguale al fluido contenuto nel cilindrodi lunghezza v1 ∆t e superficie di base A1, vale a dire dalla massa

∆m1 = ρ1A1 v1 ∆t , (9.4.3)

dove abbiamo preso ∆t abbastanza piccolo da poter considerare ρ e ~v uniformi nel cilindro.Particelle che sono inizialmente ad una distanza da S1 maggiore di v1 ∆t, e, pertanto, non


Figura 9.11:

sono contenute nel cilindro, non arriveranno ad attraversare S1 nell’ intervallo ∆t. Durantelo stesso lasso di tempo, la sezione S2 sara attraversata da una massa di fluido ∆m2 data da

∆m2 = ρ2A2 v2 ∆t . (9.4.4)

Se non vi e alcuna perdita o fonte di liquido (cioe il fluido non e ne distrutto e ne creato,come richiesto dal principio di conservazione della massa) tra S1 ed S2, e se la densita ρ,all’interno della porzione di tubo tra le due sezioni trasversali, non varia nel tempo, in modoche non vi sia alcun accumulo o rarefazione di fluido, ci aspettiamo che, dal principio diconservazione della massa,

∆m1 = ∆m2 = ∆m ⇒ ρ2A2 v2 = ρ1A1 v1 . (9.4.5)

La precedente equazione non vale se rilasciamo alcune delle nostre ipotesi sul flusso del fluido.Prendiamo, ad esempio, il caso di acqua che scorre in un tubo di plastica e consideriamo duesezioni S1 and S2 lungo di esso. Se c’e un buco nel tubo tra S1 e S2, vi e perdita di acqua equindi ∆m1 sara maggiore di ∆m2 , essendo la differenza ∆m1 −∆m2 > 0 pari alla massad’acqua fuoruscita attraverso il buco durante ∆t. Allo stesso modo, se iniettiamo acqua inun punto tra le due sezioni del tubo, avremo ∆m2 > ∆m1, essendo ∆m2 − ∆m1 la massadi acqua iniettata nel tubo durante ∆t. In entrambi questi casi il tubo di plastica non sicomporta da tubo di flusso.

Se il fluido e un gas, che e comprimibile, la densita ρ puo, in generale, variare anche coltempo in alcune regioni tra S1 and S2. Se ρ aumenta in ∆t, ci sara accumulo di fluido trale due sezioni e quindi ∆m2 < ∆m1, mentre se ρ diminuisce, vi e rarefazione di fluido e∆m2 > ∆m1.

Queste deduzioni sono tutte conseguenze della conservazione della massa. Cerchiamo diottenere la relazione tra ∆m2−∆m1 e la variazione nel tempo della densita in modo un po’


piu preciso. Sia V il volume della porzione di tubo delimitato da S1 ed S2. Al tempo t lamassa di fluido tra le due sezioni e

M(t) =

∫V

ρ(x, y, z, t) d3x . (9.4.6)

Se in ∆t la quantita di fluido ∆m2 che fuoriesce da S2 e maggiore della quantita ∆m1 entranteattraverso S1 in virtu della conservazione della massa, la differenza di ∆m2−∆m1 > 0 devetradursi in una riduzione ∆M = M(t+ ∆t)−M(t) of M(t). In formule

∆M = M(t+ ∆t)−M(t) = ∆m2 −∆m1 = (ρ2A2 v2 − ρ1A1 v1) ∆t . (9.4.7)

Dividendo entrambi i membri della precedente equazione per ∆t e prendendo il limite ∆t→0, il che significa sostituisce ∆t con dt, troviamo

dM

dt=M(t+ dt)−M(t)

dt=

∫V

∂ρ

∂t(x, y, z, t) d3x = −ρ2A2 v2 + ρ1A1 v1 . (9.4.8)

Questa equazione e chiamata equazione di continuita ed esprime la conservazione della mas-sa, in assenza di fonti o pozzi (punti di perdita di fluido). Possiamo prendere S1 ed S2

infinitamente vicine l’una all’altra, lungo l’asse X, separate da una distanza dx. Esse avran-no la stessa area A cosı che V = Adx e ρ puo essere considerata uniforme. L’equazione (9.4.8) puo essere riscritta nella forma

∂ρ

∂tdxA = −[ρ(x+ dx) v(x+ dx)− ρ(x) v(x)]A = −d(ρ v)

dxdxA , (9.4.9)

da cui deduciamo la seguente espressione per l’equazione di continuita (9.4.8):

∂ρ

∂t= −d(ρ v)

dx. (9.4.10)

Questa equazione e la forma locale di (9.4.8), in quanto lega il comportamento spaziale dellaquantita ρ v, detta densita di corrente, alla variazione nel tempo della densita in ogni puntodel tubo di flusso e, inoltre, vale, in questa forma, sotto l’assunzione che la quantita ρ vvari solo nella direzione X del tubo di flusso. Si dimostra che , nel caso generale in cui ρ vdipendano non solo dalla coordinata x, ma anche da y, z, che la (9.4.10) si generalizza allaseguente equazione:

∂ρ

∂t= −

[∂(ρ vx)

∂x+∂(ρ vy)

∂y+∂(ρ vz)

∂z

]. (9.4.11)

Ritroveremo l’equazione di continuita nello studio della corrente elettrica, come relazionetra la variazione nel tempo della densita di carica elettrica e la variazione nello spazio delladensita di corrente elettrica. Essa esprimera in tal caso la conservazione della carica eletttrica.

Supponiamo che il fluido sia un liquido, cosı da poter considerare ρ, in buona approssima-zione, non solo costante, ma anche uniforme lungo il tubo. L’ equazione (9.4.5) si semplificanella forma

A2 v2 = A1 v1 , (9.4.12)


che vale per ogni coppia di sezioni trasversali del tubo di flusso. Noi vediamo che piu piccolae la sezione trasversale, piu veloce il liquido scorre attraverso essa. Questo spiega il fatto notoche se comprimiamo l’estremita di un tubo di plastica, ossia ne riduciamo la corrispondentesezione trasversale A, l’acqua fuoriesce piu velocemente. Abbiamo anche visto che minore ela sezione trasversale di un tubo di flusso, piu densamente le linee si forze la attraversano.Deduciamo che la velocita del fluido e maggiore nelle regioni in cui le linee di flusso sono piufitte. Questa deduzione non vale per fluidi comprimibili.

Vediamo ora le implicazioni, su un flusso di liquido, della conservazione dell’energia.Assumiamo che il flusso del fluido sia incompressibile, non viscoso e costante e siano p1 andp2 i valori della pressione sulle due sezioni S1 and S1 lungo il tubo di flusso (vedi Figura 9.12).Supporremo anche che la densita ρ sia uniforme lungo il tubo e prenderemo un intervallo di

Figura 9.12:

tempo di ∆t abbastanza piccolo in modo che la pressione non vari sensibilmente lungo lalunghezza v∆t percorsa da una particelle di fluido in ∆t. Considereremo due punti A e Bnel fluido, e studieremo il flusso del volume V di fluido, delimitato dalle sezioni in A e B,che si muove insieme con il fluido, come in Figura 9.12. All’istante iniziale t la sezione perB coincide con S2 mentre quella per A precede S1 di una distanza v1 ∆t. Al tempo t+ ∆t lasezione per A e avanzata di v1 ∆t e quindi coincide con S1, mentre la sezione per B seguiraS2 a una distanza v2 ∆t. Durante ∆t la massa ∆m = ρA1 v1 ∆t tra A ed S1, soggetta allapressione in avanti p1 del fluido che la precede, attraversera S1. Il lavoro compiuto dallaforza in avanti p1A1 durante ∆t e

W1 = p1A1 v1 ∆t . (9.4.13)

Nel frattempo, la stessa quantita ∆m di fluido , tra S2 e B ha attraversato S2. Questa volta∆m e contenuta nel cilindro di volume A2 v2 ∆t, delimitata da S2 e B, ed e soggetta ad una


forza all’indietro p2A2 dovuta alla pressione p2 del fluido di fronte ad essa, che percio resisteal suo moto. Il lavoro compiuto da questa forza su ∆m e

W2 = −p2A2 v2 ∆t . (9.4.14)

Il lavoro totale W sulla massa di fluido limitato da S1 ed S2 durante ∆t e

W = W1 +W2 = (p1A1 v1 − p2A2 v2) ∆t = (p1 − p2)A1 v1 ∆t = (p1 − p2)∆m

ρ,

(9.4.15)

dove abbiamo usato l’equazione di continuita eq. (9.4.12). Il lavoro totale W deve tradursiin una variazione dell’energia meccanica del sistema. Questa comprende l’energia cineticae l’energia potenziale dovuta alla gravita della terra. Supponiamo che le due sezioni sianosituate a due diverse altezze z1, z2.

La variazione di energia meccanica del volume V e calcolata come la differenza tra l’e-nergia del cilindro di fluido con massa ∆m tra A e S1 al tempo t e quella della massa ∆mpassata per S2 al tempo t+ ∆t:

W = Efin − Ein =1

2∆m(v2

2 − v21) + g∆m (z2 − z1) . (9.4.16)

Usando (9.4.15) e (9.4.16) arriviamo alla seguente relatione

(p1 − p2) =1

2ρ (v2

2 − v21) + g ρ (z2 − z1) ⇒ p1 +

1

2ρ v2

1 + g ρ z1 = p2 +1

2ρ v2

2 + g ρ z2 .

(9.4.17)

Ricordiamo che abbiamo preso il tubo di flusso sufficientemente sottile da poter trascurarela variazione delle diverse quantita fisiche lungo le direzioni trasversali del tubo. Equazione(9.4.17), nota come equazione di Bernoulli, vale quindi per due punti generici lungo la stessalinea di flusso che puo essere una qualunque linea di flusso all’interno di un tubo, essendo idue punti l’intersezione della linea con S1 and S2. Dal momento che la coppia di sezioni estata presa arbitrariamente, un altro modo di scrivere l’equazione di Bernulli e il seguente:

p+1

2ρ v2 + g ρ z = const. (lungo una linea di flusso) . (9.4.18)

Abbiamo assunto il flusso di fluido non viscoso. Se la viscosita del fluido non fosse trascura-bile, allora, come abbiamo sottolineato in precedenza, il lavoro svolto dalle forze di attritocauserebbe la conversione di energia meccanica in energia termica, facendo aumentare cosıla temperatura del fluido. In questo caso il bilancio di energia dovrebbe tenere conto nonsolo dell’energia meccanica, ma anche dell’energia interna U di ∆m e l’equazione (9.4.18)deve essere modificata con l’aggiunta, a secondo membro, della densita di energia interna u:

p+1

2ρ v2 + g ρ z + u = const. (lungo una linea di flusso ) . (9.4.19)


In modo simile l’equazione (9.4.17), che lega le quantita in due punti distinti lungo una lineadi flusso, ora diventa

(p1 − p2) =1

2ρ (v2

2 − v21) + g ρ (z2 − z1) +Q , (9.4.20)

dove Q = u2−u1 e il calore acquistato dall’unita di volume del fluido nel passaggio da S1 a S2.Deduciamo ora alcune conseguenze dell’equazione di Bernoulli. Si consideri prima il caso incui il fluido sia a riposo: ~v ≡ 0. In questo caso, l’ eq. (9.4.17) implica p2−p1 = −g ρ (z2−z1),che e l’ equazione (9.2.3) per ρ uniforme, dato che ci stiamo limitando a considerare fluidiincomprimibili. Si consideri ora un fluido non viscoso, costante e incompressibile e due puntilungo una stessa linea di flusso, allo stesso livello in modo che z1 = z2. L’equazione (9.4.17)implica

p1 +1

2ρ v2

1 = p2 +1

2ρ v2

2 , (9.4.21)

Dall’equazione precedente si vede che, se v2 > v1, p2 < p1, cioe la pressione e piu bassa neipunti in cui la velocita e piu elevata.


Capitolo 9

Termodinamica

Nella prima parte di questo corso abbiamo considerato in dettaglio la meccanica di sistemiquali, ad esempio, particelle puntiformi e corpo rigido, la cui evoluzione e completamentedescritta specificando un numero limitato di variabili. Il moto di una particella puntiformee definito specificando le tre coordinate x(t), y(t), z(t) in funzione del tempo, mentre per ilcorpo rigido necessario specificare in ogni istante le tre coordinate del suo centro di mas-sa xCM(t), yCM(t), zCM(t) e gli angoli di Eulero che definiscono la posizione del suo asseprincipale di inerzia rispetto a qualche sistema di coordinate.

Tutte queste variabili cinematiche sono soluzioni di certe equazioni del moto e la loro di-pendenza dal tempo e completamente determinata una volta che siano specificate un insiemedi valori iniziali delle posizioni e delle velocita ad un determinato tempo di riferimento. Sestiamo considerando un sistema costituito da un gran numero N di particelle abbiamo biso-gno di risolvere un sistema di 3N equazioni del moto in cui le 3N variabili xi(t), yi(t), zi(t)definiscono la posizione di ciascuna particella del sistema. Dato che le particelle in generalepossono interagire, queste equazioni devono tenere conto di tali interazioni.

Inoltre abbiamo anche bisogno di misurare i valori delle coordinate e le velocita di ciascunadelle particelle ad un certo tempo, al fine di determinare completamente loro moto. Siconsideri, ad esempio, una quantita di materia visibile. Essa consiste in un certo numerodi molecole dell’ordine di N ∼ 1023. Anche se potessimo descrivere in qualsiasi momento leloro interazioni, in modo da poter scrivere le equazioni del moto, e poter determinare la loroposizioni e le velocita ad un determinato tempo, la quantita di dati e il numero di equazionida risolvere sarebbero troppe da gestire per qualsiasi computer, anche il piu potente.

Vi e un altro problema in questo tipo di analisi. Ogni misura richiede un certo tempocaratteristico ∆t. Questo e un problema se si tenta di determinare le posizioni e le velocitadelle particelle ad un certo tempo, dato che durante il tempo di misurazione ∆t, le molecolein un fluido, per esempio, avranno subito un numero considerevole di collisioni e quindi illoro stato di moto sara cambiato notevolmente dall’istante iniziale.

Per questi motivi una descrizione di un sistema di un numero infinitamente grande diparticelle in termini di moto di ciascuna delle sue componenti, vale a dire una descrizionemicroscopica del sistema, non e fattibile.

Abbiamo incontrato un problema simile quando abbiamo discusso il moto di un fluido

195

196 CAPITOLO 9. TERMODINAMICA

, per il quale abbiamo rinunciato alla descrizione microscopica in termini di moto di ognimolecola e descritto il sistema in termini di quantita macroscopiche come la velocita delfluido, la sua pressione ecc., che sono valori medi, nel tempo ∆t, di quantita microscopichemisurate su piccoli volumi dV , sondati da parte dello strumento e che ancora contengono ungran numero di costituenti microscopiche.

Riassumendo, in generale, una descrizione microscopica di un sistema di un numeroelevato di particelle, come una quantita macroscopica di materia, richiede un’enorme quantitadi dati e fornirebbe piu informazioni sull’evoluzione del sistema di quanto noi siamo in gradodi misurare o di quelle di cui abbiamo effettivamente bisogno. In generale siamo interessati inalcune proprieta globali di un tale sistema, che possono essere descritte mediante un numerolimitato di altre quantita.

Questa analisi e chiamata macroscopica e si basa su alcuni aspetti del comportamentodel sistema che siamo in grado di misurare direttamente e che sono direttamente correlatialla nostra percezione sensoriale. Questi aspetti definiscono le stato macroscopico di unsistema. La Termodinamica e la scienza che studia il cambiamento di stato macroscopicodi un sistema come conseguenza delle sua interazioni con l’ambiente. Piu in particolare sioccupa dello stato interno di un sistema e le sue trasformazioni, e non, ad esempio, il suomoto. Considereremo infatti sistemi in equilibrio meccanico in cui tutti le parti sono a riposorispetto alle altre.

Il tipo di trasformazioni oggetto di indagine da parte della termodinamica sono, per esem-pio, quelle che riguardano lo scambio di calore tra il sistema ed il suo ambiente. Supponiamodi voler descrivere lo stato di una quantita di acqua in una pentola. Possiamo specificare lasua massa, il volume e la pressione che essa esercita sulla superficie del contenitore. Questopero non e sufficiente. Se scaldiamo l’acqua, dopo un po’ di tempo realizziamo un cambia-mento nel suo stato dato che, toccandola, ci sembra piu calda di prima. Associamo allanostra percezione di caldo o di freddo una quantita macroscopica chiamata temperatura.Continuando a scaldare l’acqua, la sua temperatura aumenta. Quando l’acqua inizia a bol-lire, sara prodotto del vapore. Vorremmo quindi descrivere lo stato del sistema anche intermini di composizione vapore/acqua.

Nei sistemi in cui hanno luogo reazioni chimiche, come e il caso del carburante nel ci-lindro di un motore durante la combustione, abbiamo bisogno anche di specificare la suacomposizione chimica. Infatti la pressione del pistone favorisce la combustione del carburan-te, provocando, di conseguenza, variazioni nella composizione chimica del sistema, oltre chenella pressione, temperatura e volume,

In termodinamica lo stato (interno) di un sistema e pertanto descritto da un numerolimitato di variabili macroscopiche, chiamate coordinate! termodinamiche, le quali possonoessere misurate direttamente e le cui definizioni prescindono da ipotesi relative alla strutturamicroscopica della materia. In effetti, le leggi fondamentali della termodinamica, e cioe irapporti tra le variabili termodinamiche di un sistema che disciplinano la sua interazionecon l’ ambiente, furono dedotte da postulati di origine empirica prima della scoperta dellastruttura molecolare della materia.

Il punto di vista microscopico, d’altro canto, si basa su quantita che non possono es-sere direttamente misurate, come le posizioni e le velocita delle molecole, e quindi si basa

9.1. TEMPERATURA 197

fortemente sulla descrizione molecolare del materia.I punti di vista microscopico e macroscopico dovrebbero tuttavia essere compatibili in

quanto si riferiscono allo stesso sistema fisico. Le coordinate termodinamiche sono infatti le-gate ai valori medi delle variabili microscopiche relative al moto delle molecole costituenti: latemperatura e collegata alla loro energia cinetica media, la pressione alla media della quantitadi moto trasferita dalle molecole, durante le collisioni, alle pareti del contenitore del fluidoper unita di tempo e di superficie, vedi Figura 9.1. Storicamente, la derivazione delle leggi di

Figura 9.1:

base della termodinamica dalla descrizione microscopica corpuscolare della materia, ha for-nito prove a favore dell’ ipotesi molecolare. La scienza che studia le proprieta macroscopichedella materia in termini della sua struttura microscopica e la meccanica statistica.

9.1 Temperatura

La temperatura e la quantita fisica che descrive lo stato associato alla sensazione di caldoo freddo di un oggetto, lo stato!termico, che possiamo percepire attraverso i nostri sensiquando tocchiamo l’oggetto stesso. I nostri sensi, essendo soggettivi, non possono tuttavia


costituire la base per una definizione operativa di temperatura. Nella nostra esperienzaquotidiana si osserva che due oggetti a temperatura diversa, posti in contatto, dopo unpo’ di tempo vengono percepiti come ugualmente freddi o ugualmente caldi, cioe assumonola stessa temperatura. Si dice che i due oggetti hanno raggiunto un equilibrio termico.Inoltre osserviamo anche che l’oggetto che era inizialmente piu freddo ora e piu caldo cioe lasua temperatura e aumentata, mentre la temperatura dell’oggetto che era piu caldo, e oradiminuita, vedi Figura 9.2. In altre parole, la temperatura finale raggiunta dai due oggetti

Figura 9.2:

tra loro in equilibrio ha un valore intermedio tra le loro temperature originarie.Una definizione oggettiva della temperatura e in genere riferita a proprieta caratteristiche,

proprieta termometriche (volume, pressione, resistenza elettriche ecc) di alcuni materiali,sostanze termometriche, che sono particolarmente sensibili alla temperatura.

Un termometro e un dispositivo che contiene una sostanza termometrica e che permettedi leggere il valore della sua proprieta termometrica corrispondente ad un determinato statotermico del sistema. Un esempio di termometro e costituito da un tubo capillare che termina,all’estremita inferiore in un bulbo e riempito con un liquido, come l’alcool o mercurio, cheserve come sostanza termometrica. Al variare della temperatura del sistema varia anche


il volume del liquido, che viene misurato dalla lunghezza della colonna di liquido nel tubocapillare, anch’ essa variata conseguentemente. La lunghezza della colonna di liquido e, inquesto caso, la proprieta termometrica: maggiore e la temperatura, piu alta e la colonna. Seil dispositivo viene posto a contatto con un oggetto A e attendiamo che l’equilibrio termicovenga raggiunto, cioe i due oggetti raggiungano la stessa temperatura, si puo prendere lacorrispondente lunghezza X della colonna di liquido come misura della temperatura di A.Supponiamo ora di porre lo stesso dispositivo in contatto con un altro oggetto B e di leggereall’equilibrio lo stesso valore per la proprieta termometrica di X. Si deduce che entrambi A eB sono separatamente in equilibrio termico con il dispositivo, dal momento che, spostandosida A a B il suo termico stato non e cambiato. Se poi tocchiamo A e B percepiamo lastessa sensazione di freddo o di caldo. Inoltre, se li mettiamo direttamente a contatto inmodo che possano raggiungere l’equilibrio termico, si osserva che i loro stati non cambianosensibilmente. Concludiamo che gli oggetti A e B erano gia in equilibrio termico primache fossero messi in contatto. Questa esperienza supporta il cosiddetto principio zero dellatermodinamica:

Se due oggetti sono separatamente in equilibrio termico con un terzo oggetto, per esempioun termometro, essi sono in equilibrio termico con l’altro.

Quindi possiamo dire che due oggetti A e B sono in equilibrio termico l’uno con l’altroe quindi hanno la stessa temperatura, se posti a contatto con un termometro, essi induconolo stesso valore della proprieta termometrica di X, ad esempio, la lunghezza della colonnadi liquido.

Alcune cautele devono essere adottate quando si progetta un termometro. Sappiamoche un dispositivo, per essere un buon strumento di misura, deve perturbare il meno pos-sibile il valore della grandezza fisica che deve misurare. Nel nostro caso abbiamo visto chequando i due oggetti in contatto raggiungono l’equilibrio termico, essi si assestano ad unastessa temperatura che e intermedia tra le loro temperature originarie. E importante che,quando un termometro e messo in contatto con un oggetto, la temperatura finale raggiuntanon sia significativamente diversa dalla temperatura iniziale dell’oggetto, vale a dire che iltermometro non perturbi lo stato termico dell’oggetto che si vuole misurare. A tal fine esufficiente prendere un termometro contenente una quantita di sostanza termometrica che emolto piccola rispetto alla massa dell’oggetto di cui vogliamo misurare la temperatura.

Per dare una definizione operativa di temperatura, partiamo postulando una relazionelineare tra il valore X della proprieta termometrica, che viene letta sul termometro, e lacorrispondente temperatura T (X), in modo che, se T (X1) e T (X2) sono le temperaturecorrispondenti alle due letture X1, X2 di X, valga la seguente relazione

T (X1)

T (X2)=

X1

X2

. (9.1.1)

Poi si fissa un valore per la temperatura corrispondente ad uno stato termico di riferimento,che e preso essere il punto triplo dell’acqua. Questo e lo stato in cui acqua, ghiaccio e vaporecoesistono. Se X0 e la corrispondente lettura di X, essa e convenzionalmente associata conil valore T (X0) = 273.16 oK in unita Kelvin. Usando (9.1.1) siamo in grado di calibrare iltermometro associando ad una lettura X della proprieta termometrico un valore di T (X)


data da

T (X) = 273.16 oKX

X0

. (9.1.2)

Si puo seguire la stessa procedura per la calibrazione di diversi termometri basati su diversesostanze termometriche. Per esempio si potrebbe utilizzare un filamento di platino e comeproprieta termometrica X la sua resistenza elettrica R (termometro a resistenza), oppure sipotrebbe considerare la lunghezza L di una colonna di liquido in un termometro a mercurio oad alcool gia descritto precedentemente. Nel termometri a gas a volume costante la proprietaX e la pressione p di un gas a volume costante, mentre nei termometri a gas a pressionecostante e il volume di un gas a pressione costante. In tutti questi casi la temperature elegata alla proprieta termometrica dalla (9.1.2)

termometro a resistenza : T (R) = 273.16 oKR

R0

,

termometro a mercurio : T (L) = 273.16 oKL

L0

,

termometri a gas a volume costante : T (P ) = 273.16 oKP

P0

,

termometro a gas a pressione costante : T (V ) = 273.16 oKV

V0

. (9.1.3)

Tutte le letture di T si accordano ovviamente nel punto triplo dell’acqua, ma sono decisa-mente in disaccordo su qualsiasi altro stato. Inoltre anche due termometri dello stesso tipo,che fanno uso di sostanze termometriche diverse, danno letture diverse per la temperatura.Cio rappresenta un problema quando si cerca di dare una unica definizione di temperatu-ra. Il motivo alla base di questo disaccordo e il fatto che, se si definisce la temperatura inmodo che essa dipenda linearmente da X per un certo termometro, la sua dipendenza dallaproprieta termometrica di un altro termometro in generale non sara piu lineare.

Postulare una relazione lineare tra T e X valida per ogni termometro e un ipotesi troppoforte. La definizione operativa di T e quindi riferita ad un particolare tipo di termometro,che tipicamente e scelto essere il termometro a gas .

Cerchiamo di illustrare brevemente il funzionamento di un termometro a gas a volumecostante. Esso consiste in un bulbo di vetro, contenente gas, totalmente immerso nel liquidodi cui vogliamo determinare la temperatura, vedi Figura 9.3. Il bulbo e collegato attraversoun tubo capillare alla colonna di sinistra del tubo a U di un manometro, la cui colonnadi destra e aperta. Il tubo ad U, a sua volta e collegato, attraverso un tubo di gomma,ad serbatoio mobile contenente il liquido del manometro, diciamo mercurio. Modificandol’altezza del serbatoio e possibile mantenere il menisco A del liquido nella colonna di sinistra,che e l’ interfaccia tra il mercurio e il gas, allo stesso livello. In questo modo il volume del gasviene mantenuto costante, mentre il manometro consente per misurare la sua pressione pA.Quest’ultima e determinata, ricordando, dalle leggi fondamentali dellastatica dei fluidi, chela pressione all’interno di un fluido a riposo, dipende solo dall’altezza del punto. PertantopA = pB in Figura 9.3. Ma pB e uguale alla pressione atmosferica piu un contributo alla


Figura 9.3:

pressione dovuto al peso del mercurio nella colonna di destra che poggia su B e la cui altezzad e la differenza di altezza delle due colonne di liquido nel tubo a U:

pA = pB = patm + g ρm d , (9.1.4)

dove patm = 760mmHg e la pressione atmosferica e ρm = 13.534gr/cm−3 la densita dimercurio. Il funzionamento di un termometro a gas a pressione costante e piu complicatoe non lo descriveremo. Le letture della temperatura su un termometro a gas, a loro volta,dipendono dal gas utilizzato. Tuttavia, se si rimuove il gas dal bulbo, in modo da ridurre ilvalore della pressione p0 in uno stato fissato (e.g. puntro triplo dell’acqua), p = pA diminuiraa sua volta. Continuando la rimozione di gas, il rapporto p/p0 si avvicinera a un valore limiteche e indipendente del gas utilizzato.

Infatti, continuando a ridurre la quantita di gas a volume costante, cioe la sua densita,qualsiasi gas e ben descritto da un gas ideale, in cui, come vedremo, la dipendenza dellatemperatura dalla pressione a volume costante e esattamente lineare. In questo limite unqualsiasi termometro a gas diventera un termometro a gas ideale. Possiamo prendere la


temperatura nel limite di gas ideale p0 → 0 come definizione di temperatura:

T = 273.16Ko limp0→0

p

p0

. (9.1.5)

Nella fig. 9.4, le risposte dei vari termometri a gas sono tracciate per diversi valori di p0.La temperatura misurata e quella del punto di ebollizione di acqua a pressione atmosferica.Vediamo che le risposte convergono nel limite del gas ideale p0 → 0. Un termometro a

Figura 9.4:

gas ideale puo essere usato per definire temperature basse come 1Ko (temperatura allaquale l’elio diventa liquido). A temperature piu basse questo tipo di termometri non puoessere utilizzato perche tutti i gas si condensano allo stato liquido. Una definizione di bassetemperature, intorno a 0Ko, deve basarsi su processi diversi.

La scalaCelsius (o centigradi) utilizza la stessa unita di temperatura della scala Kelvin,anche se la temperatura pari a zero e associata con il punto di congelamento dell’acqua aPatm = 1Atm, Atm, che corrisponde a T = 273.15 oK:

T (oC) = T (oK)− 273.15 . (9.1.6)

Per calibrare diversi termometri nella scala Celsius, si scelgono due punti fissi vicini, acui tutti i termometri dovrebbero fornire la stessa lettura: il punto di fusione del ghiaccio(T = 0 oC) e il punto d’ebollizione dell’ acqua (T = 100 oC) alla pressione atmosferica. Traquesti due punti fissi diversi termometri daranno risposte diverse, vedi figura 9.5, tuttaviaesse differiscono di qualche percentuale. La scala Fahrenheit invece e definita come segue:

T (Co) =5

9(T (F o)− 32) . (9.1.7)


Figura 9.5:

9.1.1 Dilatazione con la temperatura

Abbiamo gia accennato che diverse proprieta fisiche dei materiali dipendono dalla tempera-tura. Per esempio una variazione di temperatura produce, su oggetti solidi, una variazionenelle dimensioni. Consideriamo questo fenomeno piu in dettaglio. La struttura microscopicadi un oggetto solido puo essere descritta da un modello semplificato in cui le molecole sonoposte nei vertici di un reticolo e oscillano nelle loro posizioni di equilibrio, soggette a unaforza esercitata dalle molecole vicine che, per piccole oscillazioni, puo essere approssimata dauna forza elastica proporzionale, in intensita, alla distanza della molecola dalla sua posizionedi equilibrio. Per piccole oscillazioni, la molecola puo quindi essere rappresentata da un oscil-latore armonico. All’aumentare della temperatura, l’energia cinetica media di ogni molecolaaumenta e, di conseguenza, aumenta l’ampiezza della sua oscillazione e quindi diventa piugrande la distanza media tra molecole vicine. Cio si traduce in una dilatazione generale deisolidi, vale a dire in una dilatazione in tutte le sue dimensioni. Se il solido e isotropo, vale adire le sue proprieta e la struttura microscopica non dipendono dalla direzione da cui lo siguarda, la dilatazione e la stessa in tutte le direzioni e, pertanto, si traduce in un aumentodi volume dell’ oggetto che mantiene la sua forma originale. Sperimentalmente si trova chela variazione di lunghezza di un oggetto ∆` e legata alla sua variazione di temperatura ∆T(se questa variazione non e troppo grande) in modo lineare:

∆`

`= α∆T , (9.1.8)


dove α e detto coefficiente di dilatazione lineare . Per solidi isotropi α e la stessa in tuttele direzioni. La variazione di area e volume di un materiale isotropo, corrispondente ad unavariazione ∆T di T , e

∆A

A= 2α∆T ;

∆V

V= 3α∆T . (9.1.9)

α dipende da T , tuttavia, all’interno di una ampia gamma di valori della temperatura, lacorrispondente variazione percentuale di α e piccola e puo essere trascurata nella maggiorparte delle applicazioni. L’ordine di grandezza di α e di circa 10−5, e cio significa che,se T varia di 100 gradi, una barra lunga un metro variera la propria lunghezza di 1mm.Questo fenomeno puo causare forti tensioni alle giunture tra materiali differenti che possonotradursi in deformazioni di una intera struttura. Per evitare questi inconvenienti vengonousate alcune leghe con bassissimi valori di α.

La dilatazione dei liquidi con l’aumentare della temperatura e maggiore che per i solidi,ma meno che per i gas. A questo proposito l’acqua ha un comportamento singolare, datoche subisce una dilatazione riducendo la temperatura da 4 oC al punto di congelamento a0 oC mentre si espande, come tutti gli altri fluidi, con l’aumento T sopra 4 oC. Questoeccezionale comportamento puo essere spiegato con il fatto che al di sotto di 4 oC le molecoledi acqua iniziano a “ sentire” la loro reciproca interazione (la loro energia potenziale diventaparagonabile alla loro energia cinetica media) e questo le induce ad organizzarsi secondocerte strutture in cui la loro distanza media e piu grande.

9.2 Calore

Abbiamo gia accennato al fatto sperimentale che due oggetti a diverse temperature, quandomessi in contatto per un periodo sufficientemente lungo, raggiungono una temperatura finaleche e intermedia tra le loro temperature originali. Storicamente, questo processo fu dapprimaspiegato associando la temperatura alla presenza, all’interno di un oggetto, di una sostanzafluida, chiamata fluido calorico.

Piu alta e la temperatura di un oggetto, maggiore e la quantita di fluido calorico di cuidispone. Questo modello presume che la quantita totale di fluido calorico sia conservatanel corso di un processo e che, quando due oggetti a diverse temperature iniziali sono messiinsieme, una quantita di fluido calorico, calore, viene trasferito dal corpo a temperaturasuperiore a quella a temperatura inferiore, in modo che, raggiungendo l’equilibrio termico,essi assumono una temperatura intermedia. Questa descrizione e stata adottata fino all’iniziodel diciannovesimo secolo ed e sufficiente a spiegare i processi che coinvolgono conduzione dicalore.

Tuttavia l’idea che il calore corrisponda ad un quantita di una sorta di fluido, presentenella materia e conservato in tutti i processi, non sopravvivere alle evidenze sperimentali.Se strofiniamo le nostre mani una contro l’altra, si produce calore e la temperatura delledue mani aumenta. Se continuiamo lo sfregamento e se non ci sono state perdite di calorenell’aria, la temperatura aumenterebbe indefinitamente, cioe non vi e alcun limite alla quan-tita di calore che puo essere prodotta in tale processo. Questa osservazione e incompatibile

9.2. CALORE 205

con l’ipotesi che, mentre strofiniamo le mani, parte del fluido calorico presente in esse vienerilasciata sotto forma di calore, poiche o ci dovrebbe essere una quantita infinita di essa o sidovrebbe presumere che essa non sia conservata. Sebbene il concetto di fluido calorico e statoabbandonato, il concetto di calore e sopravvissuto, essendo stato definito indipendentementedal fluido.

La definizione di calore e legata al cambiamento che esso provoca nello stato termico di unsistema. Se non si verificano transizioni di fase nella trasformazione, questo cambiamento ingenere comporta una variazione di temperatura. Il calore e definibile come quella grandezzache, se fornita o sottratta ad un sistema, in assenza di trasizioni di fase, ne provoca unavariazione della temperatura. L’unita di calore e la caloria (cal) e viene definita come laquantita di calore necessaria per innalzare la temperatura di un grammo di acqua, a pressioneatmosferica, da 14.5 oC to 15.5 oC. 1 Il Kilo-calorie (Kcal) e definita come: 1Kcal = 103 cal.La quantita di caloreQ necessaria per aumentare la temperatura di un oggetto di ∆T dipendedall’oggetto. Definiamo la capacita termica di un corpo il rapporto tra il calore fornito e lacorrispondente variazione di temperatura

C =Q

∆T. (9.2.1)

Il calore specifico e definito come la capacita termica per unita di massa

c =1

m

Q

∆T, (9.2.2)

m essendo la massa del sistema. La capacita termica molare e definita come il calore specificoper mole di un materiale. Il valore di c dipende, per un determinato oggetto, non solo dallatemperatura iniziale T , ma anche dal modo in cui il calore viene fornito. Possiamo definire ilcalore specifico di un oggetto di massa m, ad una data temperatura T , calcolando la quantitadQ di calore necessario per aumentare la sua temperatura di una quantita infinitesimale dT :

c(T ) =1

m

dQ

dT. (9.2.3)

Il calore necessario per far variare la temperatura di m da T1 a T2 sara

Q = m

∫ T2

T1

c(T ) dT = m c (T2 − T1) , (9.2.4)

dove c e il valore medio del calore specifico nell’intervallo ∆T = T2−T1. Se c(T ) e approssima-tivamente costante durante questo intervallo, c ≈ c e torniamo all’ equazione (9.2.2). Questotipicamente avviene a temperature ordinarie. Il calore specifico dell’acqua cW a P = Patmvariando T da 0 oC a 100 oC, cambia meno dell’ 1% intorno al valore cW = 1Kcal/(Kg oC).Nella seguente tabella sono riportati i calori specifici per diverse sostanze.


sostanza pressione temperatura cal. spec.H20 Patm 0− 100 oC cW = 1Kcal/(Kg oC)± 1%Ag Patm 15− 185 oC cAl ≈ 0.219Kcal/(Kg oC)ice Patm −10 a 0 oC, cghiaccio ≈ 0.55Kcal/(Kg oC)Hg Patm 0 a 100 oC cHg ≈ 0.033Kcal/(Kg oC)Fe Patm 20 to 100 oC cFe ≈ 0.119Kcal/(Kg oC)Cu Patm 10 a100 oC cCu ≈ 0.093Kcal/(Kg oC)

vetro Patm 10 a100 oC cvetro = 0.118Kcal/(Kg oC)

Esempio 1 Un blocco di rame pesante 0.075Kg e tratto da un forno e immerso in una cop-pa di vetro pesante 0.3Kg e contenente 0.2Kg di acqua fredda. La temperatura dell’acquaaumenta da 12 to 27 oC. Trovare la temperatura del forno Tf .

La temperatura iniziale del blocco di rame e Tf e la sua temperatura finale, essendo inequilibrio termico con l’acqua, e T = 27 oC. Pertanto, essendo scesa la sua temperatura, harilasciato una quantita di calore Q, dato da

Q = cCumCu (Tf − T ) = 0.093× 0.075 (Tf − 27) (Kcal) . (9.2.5)

La stessa quantita di calore e stata assorbita dal sistema vetro/acqua. La porzione di Qassorbita dalla coppa e (in Kcal) Qb = cvetromvetro (27 − 12), mentre la frazione assorbitadall’ acqua e Qacqua = cacquamacqua (27− 12) ≈ macqua (27− 12). Poiche l’ammontare totaledi calore e conservato, vale la seguente relazione

Q = Qb +Qacqua ⇔ cCumCu (Tf − 27) = (cvetromvetro + cvetromvetro) (27− 12) ,

Tf = 532 oC . (9.2.6)

Il calore specifico, come gia menzionato, dipende anche dal modo in cui il calore vienefornito al sistema. Un gas, per esempio, puo essere riscaldato a volume costante o a pressionecostante. Misureremo due diversi valori per il calore specifico, vale a dire il calore specificoa pressione costante cp ed il calore specifico a a volume costante cV .

Abbiamo gia detto che in tutti i processi in cui sono coinvolte forze non conservative ditipo dissipativo, viene persa energia meccanica (∆E < 0).

Tuttavia, si osserva sempre un’ alterazione dello stato del sistema in cui l’energia mecca-nica viene dissipata. Vi sono processi in cui tale modifica consiste solo in una variazione dellatemperatura del sistema, vale a dire la produzione di una quantita Q di calore. Si osservache in questi processi Q e sempre proporzionale all’ energia meccanica |∆E| dissipata nelsistema, cioe al lavoro meccanico |W nc| svolto dalle forze non conservative, e che il fattoredi proporzionalita e universale, ovvero non dipende dal particolare sistema, ne dal modo incui lavoro meccanico e dissipato in esso. Questo fenomeno fu studiato sperimentalmente perla prima volta da Joule nel 1843 e porto all’ipotesi che il calore fosse una forma di energia,o meglio, un modo di scambiare energia tra il sistema ed il suo ambiente, diverso dal lavoromeccanico. Esso infatti e sempre legato ad una differenza di temperatura tra il sistema e l’ambiente. Per illustrare l’equivalenza tra calore ed energia, dobbiamo considerare l’esperi-mento eseguito da Joule, vedi Figura 9.6 Consideriamo una quantita di acqua all’interno di

9.2. CALORE 207

Figura 9.6:

un contenitore con pareti isolanti, in modo da impedire lo scambio di calore tra l’acqua edil suo ambiente. Un sistema di pale, collegato a un asse verticale, viene immerso nell’acqua.Facendo ruotare l’asse per mezzo di un peso legato ad esso, l’ acqua e agitata dalle pale. Unsistema di diaframmi all’interno del contenitore riduce il moto globale delle acque. Il lavoromeccanico impiegato per ruotare le pale W esterno, se si trascura il moto dell’ acqua, e bilan-ciato dal lavoro negativo W nc = −W esterno < 0 svolto dalle forze di attrito dell’ acqua chesi oppongono al moto. Se l’acqua e isolata termicamente e ha una temperatura iniziale TA,allo stato finale acqua e pale saranno ferme riposo, ma l’acqua avra un diversa temperaturaTB.

Si potrebbe portare la stessa quantita di acqua dallo stesso stato iniziale allo stesso finale,semplicemente riscaldando per mezzo di un bruciatore in modo da aumentare la temperaturadell’acqua da TA a TB. In quest’ultimo caso il contenitore, invece di avere pareti isolanti,dovrebbe avere una base non isolante in modo da consentire il riscaldamento. I due processiproducono lo stesso stato finale B dell’ acqua a partire dallo stesso stato iniziale A: nelprimo l’energia meccanica W e stata fornita al sistema, mentre nel secondo e stato fornitauna quantita di calore Q.

L’analisi delle diverse varianti dell’ esperimento suggerisce che il rapporto tra Q e il suoequivalente meccanico W e una costante universale, che permette di misurare il calore nella


stessa unita del lavoro. L’unita del calore puo essere espressa in termini di unita di energiaattraverso una costante universale:

1 cal = 4.186 Joule , (9.2.7)

L’equazione (9.2.7) implica che, se si dissipano 4.186 Joule di lavoro meccanico in un gram-mo di acqua alla pressione atmosferica e alla temperatura di 14.5Co, la sua temperaturaaumentera di un grado. Se esprimiamo il calore in unita di energia, per il processo di cuisopra si puo scrivere:

Q = −W nc > 0 . (9.2.8)

Un altro risultato e che, se il contenitore e un buon isolante termico, il lavoro svolto nelprimo processo, o il calore fornito nel secondo, dipendono solo dagli stati iniziali e finali.Questo risultato ha una profonda implicazione. Consideriamo il primo processo e includiamonel sistema anche il peso. Negli stati iniziali e finali tutte le componenti del sistema sono ariposo, il peso avra pero una diversa altezza. La differenza dell’energia meccanica tra gli statiA e B coincide pertanto con la differenza di energia potenziale del peso: ∆E = EB − EA =∆Epeso

p = W nc. Se scriviamo l’equivalente quantita di calore Q per il secondo processo comela differenza tra i due stati di una funzione U detta energia interna, cioe Q = UB−UA = ∆U ,l’equazione (9.2.8) implica

∆U + ∆E = 0 . (9.2.9)

In altre parole, se definiamo come energia totale del sistema la somma dell’energia meccanicae interna: E(tot) = E + U , questa nuova quantita e conservata durante il primo processo

∆E(tot) = E(tot)B − E(tot)

A = 0 . (9.2.10)

L’energia totale non e evidentemente conservata nel secondo processo dato che stiamo for-nendo calore al sistema attraverso il bruciatore. Riassumendo, nel primo esperimento, unaquantita di energia meccanica viene convertita, mediante l’azione delle forze di attrito, inuna quantita equivalente di energia interna, misurata in base al calore prodotto, in modoche l’energia totale sia conservata. L’energia interna puo essere interpretata come l’energiaassociata al il moto delle molecole all’interno di un determinato materiale. L’effetto delleforze dissipative e stato quello di convertire energia meccanica delle pale in energia mecca-nica di ogni molecola di acqua. Cio si traduce in un aumento del temperatura dell’acqua,che e legata all’ energia cinetica media delle sue molecole.

Calore e lavoro sono quindi quantita che non sono associati ad un particolare stato delsistema in esame, ma piuttosto ai cambiamenti nel suo stato derivanti dalla sua interazionecon l’ambiente.

Ci sono fondamentalmente due modi in cui un sistema termodinamico puo scambiareenergia con l’ambiente circostante. Il lavoro e sempre associato ad un’ azione meccanica sulsistema o dal sistema, mentre il calore e associato a differenze di temperatura. Nel primo deidue esperimenti considerati, l’acqua era stata chiusa all’interno di pareti isolanti in modo chepotesse scambiare energia con l’ambiente circostante solo attraverso il lavoro. Nel secondoesperimento il contenitore non e isolato termicamente e l’acqua in esso puo scambiare energiacon l’ambiente circostante attraverso il calore.

9.3. EQUILIBRIO TERMODINAMICO 209

9.3 Equilibrio termodinamico

Un sistema e in equilibrio termodinamico se il suo stato interno non cambia nel tempo finoa quando le condizioni esterne non sono alterate. L’equilibrio termodinamico implica

• equilibrio meccanico: le forze che agiscono su ogni elemento del sistema sono bilanciate,in modo che non vi possa essere nessun moto di parti del sistema. In questa situazionenon vi e alcun lavoro svolto all’interno del sistema o tra il sistema e il suo ambiente.La pressione e definita uniformemente, in modo che si possa descrivere il sistema (chesi suppone essere sempre omogeneo ed isotropo) mediante un unico valore di p;

• equilibrio termico: la temperatura e uniforme all’interno del sistema e coincide con latemperatura del suo ambiente. In questa situazione non fluisce calore all’interno delsistema o tra il sistema ed il suo ambiente. Il sistema puo quindi essere caratterizzatoda un unico valore di T ;

• equilibrio chimico: tutte le reazioni chimiche dovrebbero aver raggiunto un punto diequilibrio in modo che la composizione chimica del sistema rimanga invariata.

Un sistema di equilibrio termodinamico e quindi caratterizzato da alcuni valori del volumeV , della temperatura T e della pressione p. Se si tratta di una miscela di diversi com-posti chimici, la sua composizione chimica all’equilibrio dovrebbe essere anche specificata.Considereremo sistemi che sono totalmente descritti all’equilibrio da p, V, T . Le coordinatetermodinamiche all’equilibrio non sono indipendenti, ma sono legate da un’equazione di statoche caratterizza le proprieta fisiche del sistema e che ha la forma generale:

f(p, V, T ) = 0 . (9.3.1)

Quindi, al fine di descrivere lo stato di equilibrio, possiamo scegliere due delle tre coordinatep, V, T come indipendenti, mentre la terza sara fissata dall’ equazione (9.3.1). Lo statodi equilibrio di un sistema puo quindi essere descritto da un punto nel piano p, V , se siscelgono queste come variabili indipendenti, nel piano p, T o nel piano T, V se si scelgonorispettivamente le coppie p, T or T, V .

Si puo cambiare lo stato del sistema variando le condizioni esterne che caratterizzano ilsuo ambiente.

Se si aspetta abbastanza a lungo dopo una trasformazione, il sistema raggiungera unnuovo stato di equilibrio definito dai nuovi valori delle sue coordinate termodinamiche .Prima del raggiungimento dell’equilibrio, il sistema, in generale, non puo essere descrittodalle coordinate termodinamiche, in quanto p e T non saranno definiti globalmente nelsistema, ma possono assumere valori diversi in punti diversi all’interno di esso.

Possiamo pensare di eseguire molto lentamente la trasformazione da uno stato di equili-brio iniziale ad uno finale, cioe mediante una successione di trasformazioni infinitesime allafine di ciascuna delle quali si attende che si stabilisca l’equilibrio termodinamicoe durante lequali le coordinate termodinamiche sono variate di quantita infinitesime. La trasformazionequindi potra essere descritta da una successione di un numero infinito di stati intermedi diequilibrio.


Tali trasformazioni sono rappresentate nel piano descritto dalle due coordinate termodi-namiche indipendenti, come una sequenza di infiniti punti vicini, cioe da una curva continua,che collega lo stato iniziale allo stato finale. Queste trasformazioni sono chiamate reversibiliin quanto il sistema puo essere ricondotto alla stato iniziale, seguendo la stessa sequenza distati intermedi in ordine inverso.

9.4 Prima legge della termodinamica

Introduciamo ora la prima legge della termodinamica, che esprime la conservazione di e-nergia durante l’interazione di un sistema termodinamico con l’ambiente. Consideriamola situazione generale di un sistema che puo scambiare energia con l’ambiente sia tramitelavoro che tramite calore. Nel paragrafo precedente abbiamo preso in considerazione unsistema consistente in una quantita d’acqua, sulla quale il lavoro e compiuto da un sistemadi pale rotanti. Due tipici sistemi termodinamici che scambiano energia con il loro ambienteattraverso il lavoro meccanico, sono, ad esempio, un gas in espansione contro le pareti delsuo contenitore, oppure un gas compresso.

In entrambi i casi il volume V del gas varia. Un fluido esercita su ogni punto della suasuperficie una forza, che e descritta in termini di una pressione (forza normale alla superficieper unita di superficie). Al variare del volume del contenitore, i punti della sua superficiesi spostano verso l’interno o verso l’esterno sotto l’effetto della forza esercitata dal fluidointerno.

Queste forze percio compiono lavoro durante la compressione o l’ espansione, e, poichesono orientate verso l’esterno, nel primo caso il lavoro e negativo, cioe il fluido resiste allapropria compressione, mentre nel secondo caso, e positivo, vedi Figura 9.7. Per valutarequesto lavoro in termini di pressione e di variazione di volume, consideriamo il semplicecaso di un gas all’interno di un contenitore cilindrico con un pistone, vedi Figura 9.7. Unapressione e esercitata dal gas in ogni punto della superficie interna del contenitore e quindisulla superficie del pistone. Possiamo supporre che, in situazione di equilibrio meccanico, lapressione su tutti i punti delle pareti del contenitore sia la stessa.

In questo caso si puo scrivere la forza totale su una porzione ∆A della superficie internadel contenitore come ∆F = p∆A. Nel rilasciare il pistone di un piccola lunghezza dx, inmodo da far espandere il gas, il suo volume varia di dV = Adx, dove A e l’area del pistone.Durante la dilatazione del gas, esso compira un lavoro positivo contro il pistone, espressocome il prodotto della forza totale (diretta verso l’esterno) che agisce sul pistone F = pAper lo spostamento dx:

W = F dx = pAdx = p dV . (9.4.1)

Il lavoro svolto dal gas sul pistone, che e parte dell’ambiente, e dato dall prodotto dellapressione per la variazione del volume. Allo stesso modo, se il gas e stato compresso, illavoro W sara negativo e si dice che esso e compiuto dall’ambiente sul sistema. Ci si avvalequindi della seguente convenzione per il lavoro: il lavoro e positivo se compiuto dal sistemasull’ambiente, negativo quando compiuto sul sistema.

9.4. PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICA 211

Figura 9.7:

Durante la dilatazione, la pressione del gas variera. Siamo in grado di definire completa-mente lo stato di equilibrio del gas mediante i corrispondenti valori di p e V e associarlo adun punto sul diagramma p, V (p, V possono essere scelte come coordinate termodinamicheindipendenti del sistema, in modo che la temperatura sara espressa in funzione dei esse). Aseconda che il lavoro sia fatto o subito dal sistema, il suo stato cambia e cosı il corrispon-dente punto sul diagramma p, V , ved. Fig. 9.8. Supponiamo di rilasciare il pistone in mododa fare variare il volume del gas da una quantita finita ∆V . Facciamo questo abbastanzalentamente in modo tale che in ogni fase di questa trasformazione il sistema ha abbastanzatempo per raggiungere l’equilibrio con il suo ambiente. Il punto corrispondente sulla p, V sisposta lungo una curva che collega lo stato iniziale A a quello finale B, vedi Figura 9.8.

Al variare del volume, p varia in funzione di V . Possiamo scomporre la variazione totaledel volume ∆V = VB−VA in quantita infinitesimali dV , all’interno del quale si puo supporreche p sia costante. Il lavoro svolto dal sistema durante l’ espansione infinitesimale dV edW = p dV . Il lavoro totale W (a) e la somma dei contributi relativi ad ogni variazioneinfinitesimale, dal volume iniziale VA a quello finale VB:

W (a) =

∫ VB

VA

p dV , (9.4.2)

e corrisponde alla zona sotto la curva (a) della trasformazione nel piano p, V . Possiamo


Figura 9.8:

pensare di trasformare il sistema dallo stesso stato iniziale A allo stesso stato finale B,aumentando il volume da VA to VB a pressione costante pA e poi diminuire la pressione dapA to pB a volume costante VB, cioe di seguire la traiettoria (b) nella Figura 9.8.

Il lavoro compiuto dal sistema sara W (b) = pA ∆V . Avremmo potuto seguire uno percorsodiverso tra gli stessi stati iniziale e finale, eseguendo la trasformazione in modo diverso. Sipotrebbe per esempio, prima ridurre p da pA a pB a volume costante VA e poi dilatare il gasda VA a VB a pressione costante seguendo la curva (c) in Figura ??.

Il corrispondente di lavoro sarebbe W (c) = pB ∆V . A seconda del percorso che abbiamoscelto per portare il sistema dallo stato A allo stato B, troviamo valori diversi per il lavoroche, pertanto, non dipendono solo dagli stati iniziali e finali dichiara A, B, ma anche dallastrada seguita nel passare da uno all’altro:

W (a) 6= W (b) 6= W (c) . (9.4.3)

Possiamo descrivere alternativamente gli stati di equilibrio del sistema in termini di p, T ,che vengono scelti come variabili indipendenti, e descrivere il flusso di calore tra il sistemae il suo ambiente, passando dallo stato A ≡ (pA, TA) allo stato B ≡ (pB, TB). La quantitadi calore scambiata durante la trasformazione dipende da come questa e attuata, e non solodagli stati iniziali e finali. Infatti possiamo modificare la pressione a temperatura costante


TA da pA a pB e quindi modificare la temperatura da TA a TB a pressione costante pB, opotremmo modificare la temperatura da TA a TB a pressione costante pA e quindi modificarela pressione a temperatura costante TB da pA a pB . La quantita di calore scambiata nelledue trasformazioni e diversa.

Useremo la convenzione che il calore Q e positivo quando e trasmesso al sistema, mentree negativo quando viene rilasciato dal sistema all’ambiente.

Dalle precedenti osservazioni si conclude che in generale la quantita di calore e lavoroscambiati tra il sistema e il suo ambiente nel corso di una trasformazione, non sono funzionisolo degli stati iniziali e finali, ma dipendono anche dagli stati intermedi, vale a dire dalpercorso seguito. Comunque, sperimentalmente, si osserva che la differenza Q−W dipendesolo dagli stati iniziali e finali ed e quindi indipendente dal percorso seguito. Questo fattoempirico ci permette di introdurre un funzione dello stato di U , in modo che, se W e Q sonoil lavoro ed il calore scambiato nel passaggio del sistema dallo stato A allo stato B

Q−W = UB − UA = ∆U . (9.4.4)

La funzione U e chiamata energia interna del sistema e la relazione precedente ha la seguenteinterpretazione. Se il sistema assorbe una quantita di calore Q > 0, dell’ energia fluisce inesso. Se, al tempo stesso, il sistema compie lavoro sull’ambiente W > 0, esso perde energia.Se l’energia e essere conservata, la differenza tra l’energia che entra nel sistema (in questoesempioQ > 0) e l’energia che fluisce fuori dal sistema (nell’ esempioW > 0), deve tradursi inuna variazione di qualche nuova forma di l’energia, l’energia interna U , associata al sistema.L’equazione (9.4.4) esprime quindi la conservazione di energia in un processo termodinamicoed e nota come prima legge della termodinamica.

Nel secondo esperimento illustrato nella fig. 9.6 e discusso nel precedente paragrafo,quando l’acqua viene riscaldata da TA a TB > TA, si puo trascurare il lavoro compiutodall’acqua essendo la sua variazione di volume molto piccola. Durante questo processo,l’unica energia scambiata con l’ambiente e il calore Q assorbito dall’acqua e si potrebbescrivere Q = UB − UA, coerentemente con l’equazione (9.4.4).

Nel primo esperimento invece l’unica l’energia scambiata con l’ambiente era il lavoronegativo W = W nc < 0 compiuto dall’acqua sulle pale e che descrive un equivalente flusso dienergia al sistema causando un aumento di energia interna pari a −W = UB − UA come nelsecondo esperimento. I due flussi di energia al sistema, che hanno causato la stessa variazionedi temperatura, sono stati pari Q = −W . Dal punto di vista microscopico, l’energia internae interpretata come l’energia meccanica totale associata alle molecole costitutive del sistema.

Se del lavoro e compiuto sul sistema (W < 0), come da parte delle pale nell’esperimentodi Joule, e se non vi e alcun moto risultante macroscopico del sistema, l’energia meccanicaviene dissipata e trasferita al moto delle singole molecole all’interno della sistema.

Il calore, da un punto di vista microscopico, puo essere interpretato come un aumentodell’energia meccanica delle molecole, che viene trasferita da un oggetto ad un altro, in con-tatto tra loro attraverso collisioni molecolari. Nel secondo esperimento, discusso nell’ultimasezione, l’energia viene rilasciata dal bruciatore a tutto cio che gli sta intorno aumentandocosı l’energia meccanica media delle molecole dell’aria circostante. Questa energia meccanica


viene trasferita, attraverso collisioni, alle molecole del contenitore e, da queste, alle molecoledell’acqua, causando un aumento di U .

Il calore e il lavoro, scambiati durante una trasformazione tra il sistema e l’ambientecircostante, in genere non possono essere espressi separatamente come un “cambiamento”di una certa quantita tra lo stato finale e quello iniziale. Tuttavia, la loro differenza puoesserlo, in virtu dell’equazione (9.4.4).

La prima legge puo essere espressa in forma infinitesimale. Consideriamo una trasfor-mazione del sistema per effetto della quale le quantita termodinamiche dello stato finaledifferiscono per una quantita veramente piccole dai loro valori iniziali. Il caloree il lavoroscambiati durante la trasformazione saranno parimenti descritti da quantita infinitesime, cheindicheremo con dQ e dW . Insistiamo comunque sul fatto che dQ e dW non possono essereinterpretati come variazioni di qualche funzione Q e W , ma solo come quantita scambia-te. Se dU e la variazione infinitesima dell’energia interna risultante da tale trasformazione,l’equazione (9.4.4) diventa

dQ− dW = dU . (9.4.5)

Supponiamo ora di scegliere come variabili indipendenti T e V . Poiche U e una funzione distato, sara una funzione di T, V , cioe U = U(T, V ). Durante la trasformazione infinitesimaleT, V sono variate di quantita infinitesime: V → V +dV e T → T +dT . Possiamo esprimerela variazione totale di U in termini delle sue derivate parziali rispetto a V e T , calcolaterispettivamente prendendo T e V come costanti e derivando U come sola funzione di V eT . Di solito, data una funzione di piu variabili, e implicito, nel fare la derivata parziale,mantenere fisse tutte le altre variabili. Tuttavia in questo caso la stessa quantita U puoessere espressa come funzione di diverse variabili, a seconda della coppia di coordinate cheusiamo per descrivere il sistema. Per questo si usa specificare, insieme al simbolo di derivataparziale di U , la variabile che viene mantenuta costante durante la derivazione. Questo cidice quale e la coppia di variabili in funzione della quale U e espresso. A tal fine dovremoscrivere il simbolo della derivazione parziale tra parentesi e indicare, come pedice, la variabileche e mantenuta fissa. Per esempio, se scriviamo

(∂U∂V

)T

, vogliamo intendere che U e presacome funzione delle variabili indipendenti V, T . In questo caso, per calcolare la derivataparziale al variare di V , T e mantenuto fisso, mentre in genere p variera , dal momento chee esso e’ espresso in termini di V e T dall’equazione di stato. La quantita

(∂U∂V

)p

e quindi

differente da(∂U∂V

)T

, poiche nel primo caso U e considerato come una funzione delle variabiliindipendenti V, p e, al variare di V , p e mantenuto costante, mentre T varia.

Scegliendo V, T come variabili indipendenti, la variazione di U , in una trasformazioneinfinitesima, puo essere scritta come segue:

dU = U(V + dV, T + dT )− U(V, T ) =

(∂U

∂V

)T

dV +

(∂U

∂T

)V

dT . (9.4.6)

Sostituendo questa espressione nell’equazione (9.4.5) e scrivendo dW = p dV , troviamo

dQ = dU + dW =

[(∂U

∂V

)T

+ p

]dV +

(∂U

∂T

)V

dT . (9.4.7)


Se scegliamo invece T e p come variabili indipendenti, dU avra la forma:

dU = U(p+ dp, T + dT )− U(p, T ) =

(∂U

∂p

)T

dp+

(∂U

∂T

)p

dT . (9.4.8)

Essendo V una funzione di p e T , possiamo anche indicare dV in termini di dp e dT

dV = V (p+ dp, T + dT )− V (p, T ) =

(∂V

∂p

)T

dp+

(∂V

∂T

)p

dT . (9.4.9)

Sostituendo queste equazioni in (9.4.5) troviamo

dQ = dU + dW =

[(∂U

∂p

)T

+ p

(∂V

∂p

)T

]dp+

[(∂U

∂T

)p

+ p

(∂V

∂T

)p

]dT .(9.4.10)

Se noi scaldiamo il sistema a volume costante dV = 0, la corrispondente capacita termicaCV , cioe il rapporto dQ/dT , puo essere desunta dall’equazione (9.4.7)

CV =dQ

dT=

(∂U

∂T

)V

. (9.4.11)

Se riscaldiamo il sistema, mantenendo invece p costante, (dp = 0), la corrispondente capacitatermica Cp puo essere desunta dall’equazione (9.4.10)

Cp =dQ

dT=

(∂U

∂T

)p

+ p

(∂V

∂T

)p

, (9.4.12)

dove l’ultimo termine a destra e il contributo alla capacita termica dovuto al lavoro compiuto.

Esempio 2 Come esempio, consideriamo l’applicazione della prima legge della termodi-namica a processi in cui la pressione e mantenuta costante. Questi sono chiamati processiisobarici. Se p e la pressione costante e se, durante la trasformazione, il volume del sistemaviene variato da VA a VB, il lavoro fatto dal sistema sara :

W =

∫ VB

VA

p dV = p (VB − VA) . (9.4.13)

Un esempio di trasformazione isobarica e offerto da un sistema che consiste in una misturadi acqua e vapore, contenuta in un cilindro verticale, che si espande agendo contro unpistone situato al di sopra, sul quale e collocata una data massa m. Possiamo pensare che latrasformazione avvenga lentamente, in modo che in ogni istante il sistema sia in equilibriomeccanico con l’ambiente circostante; cosı la pressione esercitata dal pistone sul sistemaeguaglia la pressione p esercitata dal sistema sul pistone, che e quindi costante durantel’espansione e data da mg/A, essendo A l’area del pistone. Per far sı che il vapore siespanda contro il pistone, del calore deve essere fornito costantemente. L’effetto del calore


aumentera la quantita relativa di vapore rispetto all’acqua. In effetti, la fase di transizionedall’ acqua al vapore avviene a precisi valori di temperatura e pressione (T = 100 oC apressione atmosferica) e richiede una determinata quantita di calore per unita di massa,chiamata calore di vaporizzazione L (per l’acqua a 1 atm, L = 539Kcal/Kg). Per far sıche una massa M di acqua raggiunga la fase di passaggio al vapore, una quantita di caloreQ = M L deve essere fornita dal sistema. Appena l’acqua si trasforma in vapore, il suovolume aumenta da VA a VB > VA e cosı il sistema si espande contro il pistone a pressionecostante p. In virtu dell’equazione (9.4.4), il calore Q fornito e in parte trasformato in lavoro,in parte in energia interna:

Q = M L = UB − UA +W = UB − UA + p (VB − VA) . (9.4.14)

Esempio 3 Un’altra importante categoria di processi sono quelli in cui non vi e scambiodi calore tra il sistema e l’ambiente circostante. Questi sono chiamati processi adiabatici .Questa e tipicamente la situazione in cui il sistema, che e sottoposto a trasformazione, ecollocato entro un contenitore con pareti isolanti, come per l’acqua nell’esperimento di Jouledescritto nell’ultima sezione. Durante le trasformazioni adiabatiche Q = 0 e l’energia escambiata con l’ambiente solo sotto forma di lavoro.

W = −∆U . (9.4.15)

Se il sistema si espande contro le pareti del suo contenitore, esso produce un lavoro positivoW > 0, pertanto l’energia interna diminuisce ∆U < 0. Un processo particolare e l’ espansionelibera di un gas in cui Q = W = 0. Consideriamo, ad esempio, un contenitore isolatotermicamente, consistente in due camere, separate da una parete isolante, con una valvolaermetica. Una camera e riempita con un gas, l’altra e vuota. Appena verra aperta lavalvola, il gas si propaghera nella camera vuota, espandendosi. Questa espansione, tuttavia,non implichera, ne calore ne lavoro, poiche il gas non si espande contro alcunche. PoicheQ = W = 0, grazie alla prima legge, l’energia interna rimane costante durante la dilatazionelibera.

9.5 Gas ideali

E un fatto sperimentale che tutti i gas, a bassi valori di densita e di pressione, si comportanoapprossimativamente nello stesso modo. Le loro differenze nel comportamento possono esserridotte diminuendo la densita e la pressione, cosı che possiamo definire un comportamento-limite che osserveremmo se la densita e pressione fossero ridotte indefinitamente ed associarload un gas perfetto o ideale. Nella situazione di equilibrio, la pressione p, il volume V e latemperatura T di un gas ideale sono legate dalla seguente equazione di stato

p V = nRT , (9.5.1)

dove R = 1.98 cal/(mole)(Ko) = 8.32 Joules/(mole)(Ko) e una costante universale e n e lamassa del gas misurata in unita di gram-molecole o mole. Una mole e la massa la cui misura

9.5. GAS IDEALI 217

in grammi eguaglia il peso molecolare M del gas (per esempio il peso molecolare dell’ossigenoO2 e 16 × 2 = 32 mentre il peso medio molecolare dell’aria e 28.88). Se la massa del gase m (grammi) allora la massa in mole e n = m (grammi)/M e misura quante mole sonocontenute in m. Dall’equazione (9.5.1) vediamo che, per un gas perfetto, la quantita V/n,che e il volume per mole, o volume occupato da una mole, dipende solo dalla pressione edalla temperatura del gas e non dalla sua composizione chimica. Per esempio, a condizionistandard p = 1 atm and T = 273Ko, V/n = 22.4 litri/(mole). Un gas ideale descrive beneil comportamnto di un gas reale purche la pressione non sia troppo alta o la temperaturatroppo bassa. Come anticipato nel Cap. 5, l’energia interna di un sistema termodinamicopuo essere interpretata come l’energia meccanica totale delle N molecole (N 1) che locostituiscono. Questa energia e la somma della dell’energia cinetica totale e dalla mediadella energia potenziale totale. La prima e esprimibile come N volte l’energia cinetica media〈Ek〉(T ) di ciascuna molecola, che dipende dalla temperatura del sistema. La seconda invecedipende dalla distanza media tra le molecole e, quindi, dal volume del sistema.

U = E =N∑i=1

E(i)k + Ep(rij) = N 〈Ek〉(T ) + Ep(V ) . (9.5.2)

Un gas ideale e caratterizzato, da un punto di vista microscopico, dalla proprieta che le suemolecole possono essere considerate particelle libere, eccetto per le collisioni istantanee. Perun gas ideale, quindi, il contributo di energia potenziale ad U e trascurabile e questo spiega ilfatto sperimentale che l’energia interna di un gas ideale dipenda solo dalla sua temperatura:U = U(T ).

Esercizio 1 Spiegare come ci si aspetta che T vari durante la dilatazione libera di un gasideale e di un gas reale.

Usando le equazioni (9.4.11), (9.4.12) e (9.5.1) possiamo scrivere la capacita termica diun gas ideale:

CV =dU

dT, Cp = CV + p (nR

1

p) = CV + nR . (9.5.3)

Ricordando che n = m/M e che il calore specifico molare e definito come capacita termicaper mole e quindi e calcolato dividendo C per n, possiamo anche scrivere la relazione tra idue calori specifici di un gas ideale

cp = cV +R . (9.5.4)

Sperimentalmente si trova che CV e quasi indipendente da T , cosı che per un gas ideale sitrova:

U(T ) = CV T + const. . (9.5.5)

Dalla teoria cinetica dei gas, si puo mostrare che

cV =

32R per gas monoatomici

52R per gas diatomici

. (9.5.6)


Dall’equazione (9.5.4) si trova

cp =

52R per gas monoatomici

72R per gas diatomici

. (9.5.7)

Definiamo la seguente costante K, che e caratteristica di un gas ideale, come

K =cpcV

=

53

per gas monoatomici75

per gas diatomici. (9.5.8)

Descriviamo ora una trasformazione adiabatica per un gas ideale. Durante una espansioneadiabatica dQ = 0 e quindi la prima legge della termodinamica implica che:

dU + dW = 0 ⇔ CV dT + p dV = CV dT + nRTdV

V= 0 , (9.5.9)

dove abbiamo usato (9.5.5). Dividendo entrambi i membri della suddetta equazione perCV T e ricordando che la capacita molare vale cV = CV /n, troviamo

dT

T+R

cV

dV

V=dT

T+ (K − 1)

dV

V, (9.5.10)

dove abbiamo usato la proprieta K = 1 + RcV

. La suddetta equazione puo essere integratacome segue:

d log(T ) + (K − 1) d log(V ) = 0 ⇒ T = (const.)× V 1−K . (9.5.11)

Da questa equazione vediamo che, come conseguenza di una espansione adiabatica, poiche1−K < 0, la temperatura del gas diminuisce. Usando l’equazione di stato (9.5.1), possiamoesprimere T in termini di V e p ed ottenere

p = (const.)× V −K , (9.5.12)

dove abbiamo incluso il fattore nR nella costante. Poiche K > 1 vediamo che le trasformazio-ni adiabatiche (reversibili), per un gas ideale, sono rappresentate nel piano p, V da curve chesono piu ripide delle linee isotermiche, rappresentate da iperboli equilatere. Infine possiamoesprimere la relazione tra temperatura e pressione durante una trasformazione adiabatica.E sufficiente sostituire nell’equazione (9.5.11) l’espressione di V come una funzione di T e p,usando (9.5.1):

T

pK−1K

= const. . (9.5.13)

Esempio 4 Calcolare il lavoro compiuto da una mole di un gas ideale che si espandeisotermicamente (cioe a temperatura costante) da un volume iniziale Vi a uno finale Vf(considerare la situazione in cui la trasformazione e reversibile, cioe, in ciascuno stadio della

9.5. GAS IDEALI 219

trasformazione, il sistema e infinitamente vicino ad uno stato di equilibrio e quindi si puoapplicare l’equazione di stato).

Possiamo applicare l’equazione (9.5.1) per esprimere p come funzione di V a temperaturacostante:

p(V ) = nRT1

V. (9.5.14)

Possiamo allora calcolare il lavoro

W =

∫ Vf

Vi

p(V ) dV = nRT

∫ Vf

Vi

dV

V= nRT log(

VfVi

) . (9.5.15)

Le trasformazioni isotermiche reversibili di un gas perfetto sono rappresentate da iperboliequilatere nel piano p, V , definite dall’equazione (9.5.14).

Esempio 5 Considerare la dipendenza della temperatura dall’altitudine nella nostra at-mosfera. Questa dipendenza e dovuta alla presenza nella troposfera (lo strato piu bassodell’atmosfera che si estende dalla superficie terrestre ad un’altitudine che varia tra 7Km aipoli e 17Km all’equatore) di correnti convettrici che trasportano masse di aria dalle altitudi-ni piu basse verso l’alto e dalle altitudini piu alte verso il basso. Quando una massa d’aria simuove dal livello del mare verso l’alto, la sua pressione diminuisce e, come conseguenza, essasi espande. Dal momento che l’aria e un cattivo conduttore di calore, possiamo trascurarela quantita di calore scambiata dall’aria che si muove verso l’alto con cio che la circonda edescrivere questo processo in termini di una trasformazione adiabatica. In particolare, grazieall’equazione (9.5.11), questa espansione causa una diminuzione della temperature dell’aria.Per la stessa ragione, quando l’aria si muove verso il basso verso regioni con una pressionepiu alta, essa viene sottoposta ad una compressione adiabatica e, come conseguenza, la suatemperatura aumenta. Nella condizione di equilibrio, la temperatura media T in ogni puntonell’atmosfera avra una dipendenza dall’altitudine z. Per determinare questa dipendenzainiziamo dall’equazione di statica dei fluidi che definisce la distribuzione, all’equilibrio, dellapressione come una funzione dell’altezza:

dp = −g ρ dz . (9.5.16)

Esprimiamo ora la densita dell’aria in condizioni di equilibrio in funzione della sua pressionee temperatura, usando (9.5.1):

ρ =m

V= 10−3 M p

RT, (9.5.17)

dove abbiamo usato la relazione n = m/M , M ∼ 28.88 gr per l’aria e il fattore 10−3 e dovutoal fatto che stiamo esprimendo m in Kg. Sostituendo questa espressione in (9.5.16) si trova

dp

p= −10−3 gM

RTdz . (9.5.18)


Dall’equazione (9.5.13) troviamo

dT

T=

K − 1

K

dp

p, (9.5.19)

che, insieme con (9.5.18) da

dT = −K − 1

K10−3 gM

Rdz . (9.5.20)

Assumendo K = 75

troviamo

dT

dz≈ −9.7

oK

Km. (9.5.21)

Secondo questo calcolo, la temperatura dovrebbe decrescere di circa 9.7 gradi salendo di1Km. Questo valore di dT

dze in una certa misura piu grande di quello osservato, perche

abbiamo trascurato il fenomeno della condensazione del vapore acqueo durante la dilatazionedelle masse di aria.

9.6 La seconda legge della termodinamica

La prima legge della termodinamica esprime la conservazione dell’energia in tutti i processitermodinamici. L’energia che fluisce nel sistema, che e la differenza tra l’energia che entra (siacome calore Q > 0 che come lavoro W < 0) e l’energia che esce (Q < 0, W > 0), dovrebberisultare in una variazione dell’energia interna Udel sistema. Questa legge, tuttavia, non cidice se un processo puo veramente aver luogo. Ci sono indubbiamente processi che non sonoesclusi dalla prima legge, ma che non si verificano mai. Un esempio e il passaggio spontaneodi calore da un oggetto ad un altro a temperatura piu alta. Cio che si osserva, quando dueoggetti sono messi in contatto, e che il calore passa dall’oggetto piu caldo a quello piu freddoe mai il contrario.

Sperimentalmente si possono anche trovare limitazioni, non derivabili dalla prima legge,alla possibilita di convertire calore in lavoro nei casi in cui, per esempio, il calore estrattodall’oggetto ed il corrispondente lavoro prodotto sono uguali e quindi l’energia e conservata.Pertanto, mentre dal punto di vista energetico non ci sono limitazioni per la conversione dellavoro in calore, come nell’esperimento di Joule, dove una quantita di lavoro veniva total-mente convertita in calore, non si e mai riusciti a realizzare un processo il cui unico risultatofosse la conversione di una data quantita di calore, derivato da un’unica sorgente, in lavoro.Se cio fosse possibile, allora sarebbe possibile trasformare il calore in lavoro, raffreddando glioggetti circostanti. Dal momento che, in linea di principio, non vi e alcun limite al calore,che puo essere ottenuto dall’aria o dal mare, potrebbe essere ideata una macchina a motoperpetuo detta macchina a moto perpetuo del secondo tipo, che spontaneamente e continua-mente trasforma il calorein una eguale quantita di lavoro (consistentemente con la primalegge della termodinamica), senza necessitare dell’apporto di energia esterna (le cosiddettemacchine a moto perpetuo di prima specie produrrebbero piu energia di quella consumata e

9.6. LA SECONDA LEGGE DELLA TERMODINAMICA 221

quindi violerebbero il principio di conservazione dell’energia). Una macchina a moto perpe-tuo di secondo tipo necessiterebbe solamente di una fonte che fornisca il calore da convertirein lavoro. L’insuccesso di tutti i tentativi di ideare una simile macchina ha portato allaformulazione della seconda legge della termodinamica che nega la possibilita di costruire unamacchina a moto perpetuo del secondo tipo

Prima di dare una formulazione precisa piu della seconda legge, introduciamo alcuniconcetti preliminari che useremo in seguito. Per sorgente di calore, o sorgente termica,intendiamo un corpo alla temperatura uniforme T che puo scambiare calore con un secondocorpo in contatto con lui senza subire variazioni apprezzabili della sua temperatura mentre sistabilisce l’equilibrio termico. Inoltre una sorgente di calore scambia energia con l’ambientecircostante solo mediante il calore e non il lavoro. Cio avviene se il suo volume non cambiadurante l’interazione con gli altri corpi. Per questo una sorgente di termica tipicamenteconsiste in un corpo con grande capacita termica, come una grande quantita di acqua atemperatura T .

Un ciclo reversibile e una successione di trasformazioni reversibili di un sistema omogeneoin seguito alla quale il sistema ritorna al suo stato iniziale. Lungo un ciclo, percio, lavariazione totale dell’energia interna del sistema e nulla essendo gli stati iniziale e finalecoincidenti: ∆U = 0. Per la prima legge della termodinamica, il calore totale Q e il lavoroW scambiati dal sistema con l’ambiente, durante il ciclo reversibile, sono uguali a

Q = W . (9.6.1)

Un ciclo reversibile e rappresentato nel piano p, V da una curva chiusa, con una certa orien-tazione. Il lavoro W fatto dal sistema durante il ciclo e dato dall’area racchiusa dalla curvacorrispondente, con un segno piu (cioe il sistema compie lavoro sull’ambiente circostante)se esso e descritto in senso orario, o con un segno negativo (il lavoro e fatto sul sistema)altrimenti. Se W > 0, significa che, sul ciclo, una quantita netta di calore Q fluisce nelsistema ed e convertito in una equivalente quantita di lavoro W = Q. Questo processorealizza una macchina termica. Un esempio di ciclo reversibilee il ciclo di Carnot, ideato daSadi Carnot nel 1824. Esso consiste in due trasformazioni adiabatiche e due trasformazioniisotermiche, vedi Figure 9.9 e 9.10 per una raffigurazione schematica della trasformazione.

Si puo dimostrare che il piu generale ciclo reversibile durante il quale il sistema scambiacalore con sole due sorgenti (i.e. ciclo reversibile che lavora tra due sorgenti) e il ciclo diCarnot. La forma di questo ciclo sul piano p, V dipende chiaramente dalle proprieta fisichedel sistema sottoposto alla trasformazione, ovvero dalla sua equazone di stato. Per descrive-re il ciclo di Carnot consideriamo un gas perfetto contenuto in un cilindro verticale, chiusosopra da un pistone ermetico, vedi Figura 9.11. Le pareti laterali del cilindro e il pistonesono termicamente isolanti, mentre la base conduce calore. Lo stato iniziale e rappresentatodal punto A nella Figura 9.10 e descrive lo stato di equilibrio in cui la base del cilindro ein contatto con una sorgente di calore alla temperatura T2. Cio significa che lo stesso gas ealla temperatura T2. Posizioniamo ora il pistone in modo che il gas si espanda lentamentecosı che esso abbia abbastanza tempo, in ogni fase del processo, di raggiungere l’equilibriotermicocon la sorgente di calore. Questa prima espansione e quindi isotermica, dal momentoche avviene alla temperatura costante T2 ed e descritta dalla linea AB nella Figura 9.10.


Figura 9.9:

Dopo aver raggiunto lo stato di equilibrio B, sostituiamo la sorgente di calore con un isolantetermico, in modo che il gas sia isolato termicamente dall’ambiente circostante. Eseguiamoquindi una lenta espansione del gas sino al volume VC in modo da realizzare la trasformazioneadiabatica reversibile rappresentata dalla linea BC nella Figura 9.10. Una volta raggiuntolo stato di equilibrio C, l’isolante e sostituito da una sorgente di calore alla temperaturaT1 < T2 e il gas e lentamente compresso lungo la linea isotermica CD sino al volume VD.Infine, partendo dallo stato D, il sistema e nuovamente isolato e compresso fino a quandoraggiunge la temperatura originaria T2 al volume VA, attraverso la trasformazione reversibi-le adiabatica rappresentata dalla linea DA. Durante questo ciclo, il gas compie un lavoroW > 0 sull’ambiente, assorbe una quantita di calore Q2 > 0 dalla sorgente a temperatura T2

durante l’espansione isotermica AB, e trasferisce una quantita di calore Q1 > 0 alla sorgentea temperatura T1. La quantita di energia fluita dentro il sistema e pertanto Q = Q2−Q1 > 0(Q1 ha davanti un segno meno poiche essa e rilasciata dal sistema) mentre l’energia cedutadal sistema all’ambiante e misurata dal lavoro W . Dalla prima legge della termodinamicaotteniamo:

W = Q2 −Q1 . (9.6.2)

Il ciclo di Carnot puo essere ripetuto in modo da produrre costantemente lavoro meccanicodal calore. Esso costituisce un esempio di macchina termica. Una quantita di calore Q


Figura 9.10:

e trasformata in lavoro. Tuttavia, non tutto il calore Q2 ottenuto dalla sorgente a T2 etrasformato in lavoro: parte di esso, Q1, e trasferito alla sorgente alla temperatura inferioreT1. Questo e tipico delle macchine termiche, cioe non e possibile ideare una macchina termicail cui unico effetto sia la conversione di una quantita di calore, estratta da una sorgente dicalore ad una data temperatura, in lavoro. C’e sempre una perdita di energia, rappresentatadal calore Q1 che e trasmesso ad una sorgente alla temperatura piu bassa. Definiamo ilrendimento η del ciclo come la quantita

η =W

Q2

= 1− Q1

Q2

. (9.6.3)

Essa misura la frazione del calore estratto dalla sorgente a temperatura piu alta, che etrasformata in lavoro. Se esso fosse tutto convertito in lavoro, allora η = 1 e Q1 = 0, cioenon vi sarebbe perdita di energia e la macchina potrebbe lavorare con una sola sorgentedi calore. Come abbiamo detto sopra, e un fatto sperimentale che una macchina termicacon rendimento massimo (η = 1) non puo essere costruito, cioe che η < 1. In altre parole,per convertire il calore in lavoro, c’e bisogno di almeno due sorgenti di calore a differentitemperature.

Si dice che la macchina basata sul ciclo lavora tra due temperature T1 e T2.


Figura 9.11:

Esempio 6 Mostrare che, se la sostanza e un gas ideale, il rendimento del ciclo di Carnotche lavora fra due temperature T1 e T2 > T1 e

η =T2 − T1

T2

. (9.6.4)

Poiche l’energia interna di un gas ideale e funzione della sola temperatura, essa e costantelungo le trasformazioni isotermiche AB e CD. Per la prima legge della termodinamica, ilcalore Q2, assorbito alla temperatura T2 eguaglia il lavoro W2 fatto dal sistema durante lasua espansione, che e (vedi esempio 4):

Q2 = W2 = nRT2 log

(VBVA

). (9.6.5)

Allo stesso modo, il calore −Q1 < 0 fornito dal sistema alla sorgente T1 lungo CD eguagliail lavoro −W1 < 0 fatto dal sistema durante la compressione

Q1 = W1 = nRT1 log

(VCVD

). (9.6.6)

Ora applichiamo l’equazione (9.5.11) alle trasformazioni adiabatiche BC e DA:

BC : T2 VK−1B = T1 V

K−1C ,

DA : T2 VK−1A = T1 V

K−1D . (9.6.7)


Dividendo queste due equazioni membro a membro, otteniamo:

VBVA

=VCVD

. (9.6.8)

Da questa guaglianza e dalle equazioni (9.6.5), (9.6.6) deduciamo:

Q1

Q2

=T1

T2

. (9.6.9)

Il rendimento quindi risulta essere:

η = 1− Q1

Q2

=T2 − T1

T2

. (9.6.10)

Dal momento che il ciclo di Carnot e reversibile, possiamo realizzarlo in senso opposto,eseguendo le trasformazioni descritte sopra in ordine inverso: A → D → C → B → A. Latrasformazione dara origine ad un lavoro −W < 0 fatto sul sistema al fine di assorbire unaquantita di calore Q1 > 0 dalla sorgente a temperatura piu bassa e trasferire una quantitadi calore Q2 = Q1 +W alla sorgente a temperatura piu alta.

Questo ciclo e una rappresentazione schematica del processo fisico con cui lavora unfrigorifero. Un frigorifero e una macchina capace di trasferire calore da un oggetto ad unacerta temperatura ad un altro oggetto a temperatura piu alta, cosi da tenere, per esempio, ilsistema a temperatura inferiore a quella dell’ambiente circostante. Questo processo e oppostoal flusso di calore spontaneo quando due corpi a temperature diverse sono posti a contatto e,percio, e necessario impiegare una quantita di lavoro per realizzarlo. Un frigorifero perfettosarebbe, quindi, una macchina capace di trasferire una quantita di calore, Q1, da un oggettoad una certa temperatura ad un altro oggetto a temperatura piu alta, senza il bisogno di unapporto esterno di lavoro.

Frigorifero perfetto: W = 0 , Q2 = Q1 . (9.6.11)

L’esperienza insegna che i frigoriferi perfetti, proprio come le macchine a moto perpetuo,non possono essere costruiti. Questi fatti empirici sono descritti dalla seconda legge dellatermodinamica che puo essere formulata in diversi modi equivalenti:

Postulato di Clausius: Una trasformazione, il cui unico risultato finale e di trasferirecalore da un corpo ad una data temperatura ad un altro a temperatura piu alta, e impossibile

Postulato di Lord Kelvin: Una trasformazione, il cui unico risultato finale e la tra-sformazione in lavoro del calore proveniente da un’ unica sorgente a temperatura costante eimpossibile.

Dimostriamo ora l’equivalenza fra i due postulati, provando che se uno di essi non fossevalido, l’altro parimenti non varrebbe. Supponiamo che il postulato di Clausius non fosse


valido e che fosse quindi possibile costruire un frigorifero perfetto che trasferisca una quantitadi calore da una sorgente alla temperatura di T1 ad una sorgente alla temperatura T2 > T1

senza impiego di lavoro. Allora, come prima cosa, potremmo eseguire un ciclo di Carnot trale due sorgenti in modo da assorbire una quantita di calore Q2 dalla sorgente T2 e produrrelavoro W , mentre viene trasmessa una quantita di calore Q1 = Q2 −W alla sorgente T1.Poi, usando il frigorifero perfetto, potremmo trasferire Q1 dalla sorgente T1 alla sorgente allatemperatura piu alta T2.

Durante questa sequenza di trasformazioni, la sorgente T1 avrebbe assorbito ed emessola stessa quantita di calore Q1 e cosı sarebbe rimasta inalterata. Il solo risultato dell’in-tero processo sarebbe quello di trasferire una quantita di calore Q2 − Q1 dalla sorgente atemperatura T2 in lavoro, in contraddizione con il postulato di Lord Kelvin.

Supponiamo ora che il postulato di Lord Kelvin non sia valido e che si possa ideare unatrasformazione il cui solo risultato finale sia la trasformazione di una quantita di calore Q,proveniente da una sola sorgente ad una data temperatura T1 in lavoro W = Q. Poiche ,usando l’attrito, e sempre possibile convertire totalmente una quantita di lavoro in calore(vedi l’esperimento di Joule), il lavoro W appena prodotto puo essere dissipato in un secondosistema, producendo in tal modo un aumento della sua temperatura, indipendentementedalla sua temperatura iniziale T2. In particolare, possiamo prendere T2 > T1, cosı che ilsolo risultato dell’intero processo e trasferire una quantita di calore Q da una sorgente atemperatura T1 ad una sorgente a temperatura T2 > T1, in contraddizione con il postulatodi Clausius

Finora abbiamo trattato il ciclo di Carnot. Possiamo considerare macchine termiche chelavorano su cicli di trasformazione piu generali, che non consistono necessariamente in duetrasformazioni isotermiche e due adiabatiche. Supponiamo che una macchina termica lavoritra due temperature T1 e T2 > T1, in modo che durante ciascun ciclo venga prodotto un lavoropositivo, W , assorbendo una quantita di calore Q2 dalla sorgente T2 e trasmettendo unaquantita di calore Q1 alla sorgente T1, cosı che W = Q2−Q1. Possiamo mostrare che, comecaratteristica generale, Q2 e Q1 sono entrambi positivi. Supponiamo infatti Q1 ≤ 0, cioe chela quantita di calore Q1 sia assorbita dalla sorgente T1. Allora, dopo ogni ciclo, possiamomettere le due sorgenti in contatto in modo che il calore possa passare dalla sorgente piucalda a quella piu fredda.

Teniamo le due sorgenti a contatto finche una quantita, precisamente Q1, di calore epassata alla sorgente T1. Alla fine di questo processo, il sistema ritornerebbe allo stato inizialepoiche si e realizzata una trasformazione ciclica. La sorgente T1 non avra subito variazioni,dal momento che, durante la trasformazione, ha emesso ed assorbito la stessa quantita dicalore Q1. L’unico risultato della trasformazione, pertanto, sarebbe la conversione di unaquantita di calore attinto dalla sorgente T2 in lavoro, in contraddizione con il postulato diKelvin.

E immediato infine mostrare che per un generico ciclo, Q2 > 0. Per la prima legge,infatti, abbiamo Q2 = W + Q1. Poiche entrambi, W and Q1, sono positivi, ne segue cheanche Q2 lo e .

Una macchina termica e chiamata reversibile se la sua trasformazione ciclica e reversi-bile. Proviamo ora una importante proprieta delle macchine termiche. Consideriamo due


macchine termiche che lavorano tra le stesse temperature T1 e T2 > T1. Il lavoro e la quan-tita di calore scambiate durante ciascun ciclo sono W, Q1, Q2 per la prima macchina che harendimento η, e W ′, Q′1, Q

′2 per la seconda, che ha rendimento η′.

Proprieta a) Se la prima macchina e reversibile, troviamo: η ≥ η′

Proprieta b) Se entrambe le macchine sono reversibili: η = η′.Dimostriamo la proprieta a). Essendo la prima macchina reversibile, possiamo farla

lavorare in senso contrario, cioe come un frigorifero, ed usare precisamente lo stesso lavoroprodotto dal secondo motore: W = W ′ > 0. La seconda macchina, durante ciascun ciclo,assorbe una quantita di calore Q′2 alla temperatura T2 e rilascia calore Q′1 alla temperaturaT1, producendo cosı un lavoro W ′ = Q′2 − Q′1. La prima macchina assorbe una quantita dicalore Q1 alla temperatura T1, e rilascia il calore Q2 alla temperatura T2, con un apportoesterno di lavoro W = Q2 − Q1. Dal momento che le due macchine sono connesse in modotale che W = W ′, abbiamo:

Q′2 −Q′1 = Q2 −Q1 . (9.6.12)

Supponiamo ora η′ > η. Cio implica che:

Q′2 −Q′1Q′2

>Q2 −Q1

Q2

. (9.6.13)

Dalle equazioni (9.6.12) e (9.6.13) segue che Q2 > Q′2. Questo a sua volta, usando l’equazione(9.6.12), implica Q1 > Q′1. Alla fine di ogni ciclo congiunto la sorgente T2 ha assorbito unaquantita di calore Q′2 − Q2 > 0 e la sorgente T1 ha ceduto una uguale quantita di caloreQ′1 −Q1 = Q′2 −Q2 > 0. Poiche il lavoro totale compiuto e nullo, il solo risultato di questoprocesso sarebbe un trasferimento di una quantita di calore da una sorgente piu fredda ad unapiu calda, in contraddizione con il postulato di Clausius. Concludiamo quindi che η ≥ η′.Se anche la seconda macchina e reversibile, possiamo rifare il precedente ragionamento,scambiando il ruolo delle due macchine per trovare: : η′ ≥ η. Pertanto, se entrambele macchine sono reversibili η = η′. Tutte le macchine reversibili che lavorano tra duetemperature hanno lo stesso rendimento. Il rendimento di una macchina non-reversibile nonpuo essere maggiore di quella di una macchina reversibile che lavora tra le stesse temperature.

9.6.1 Scala assoluta della temperatura

La proprieta b) implica che, per ogni sistema sottoposto ad un ciclo reversibile di trasforma-zione tra due temperature T1 and T2 > T1, il rapporto tra la quantita di calore scambiatotra le due sorgenti Q1

Q2= 1− η < 1 dipende solo dalle due temperature e non dalla sostanza

su cui stiamo agendo ne dai dettagli della trasformazione. In altre parole questo rapportoha lo stesso valore per tutte le macchine termiche che lavorano tra le stesse temperature,a patto che siano macchine reversibili. Possiamo quindi scrivere questo rapporto come una


funzione delle sole due temperature

Q1

Q2

= f(T1, T2) . (9.6.14)

Ora mostriamo che, se abbiamo due macchine reversibili A1 e A2, che lavorano tra duetemperature T1, T0 e T2, T0 rispettivamente, la funzione f soddisfa la seguente proprieta :

f(T0, T2)

f(T0, T1)= f(T1, T2) . (9.6.15)

Supponiamo che A1 assorba una quantita di calore Q1 alla temperatura T1 e rilasci unaquantita di calore Q0 alla temperatura T0 < T1, mentre A2 assorba una quantita di caloreQ2 alla temperatura T2 e rilasci la stessa quantita di calore Q0 alla temperatura T0 < T1.Per definizione della funzione f abbiamo per le due macchine:

Q0

Q1

= f(T0, T1) ,

Q0

Q2

= f(T0, T2) , (9.6.16)

che implica

Q1

Q2

=f(T0, T2)

f(T0, T1). (9.6.17)

Ora rovesciamo il ciclo di A1, cosı che, durante un ciclo composto che consiste di un ciclodiretto A2 e dal ciclo inverso di A1, A2 assorbe Q2 alla temperatura T2 e rilascia Q0 allatemperatura T0, mentre A1 assorbe Q0 alla temperatura T0 ed espelle Q1 alla temperaturaT1. Il ciclo composto e un ciclo reversibile poiche entrambi, A1 e A2 lo sono. Esso lavora trale temperature T1 and T2 dal momento che dopo ogni ciclo lo stato della sorgente T0 rimaneinalterato. Applicando l’equazione (9.6.14) al ciclo composto, troviamo:

Q1

Q2

= f(T1, T2) . (9.6.18)

Confrontando questa equazione con (9.6.17), si trova l’equazione (9.6.15). La proprieta(9.6.15) e consistente con lo scrivere f(T1, T2) come rapporto dei valori della funzione θ(T )calcolata nelle due temperature.

Q1

Q2

= f(T1, T2) =θ(T1)

θ(T2). (9.6.19)

Possiamo usare (9.6.19) per definire una nuova scala di temperature, chiamata scala ter-modinamica assoluta di temperatura. Il vantaggio di questa definizione e che essa e in-dipendente dalle particolare sostanza usata. Questa equazione definisce θ a meno di unfattore moltiplicativo arbitrario. Questo fattore puo essere fissato scegliendo per esempio


θ(T0) = 273.16Ko = T0 al punto triplo dell’acqua. Mostriamo che questa scala di tempera-ture coincide con la scala definita usando i termometri del gas ideale. Poiche la definizionedella scala della temperatura termodinamica assoluta e indipendente dalla sostanza usata,possiamo scegliere un gas ideale come sostanza della macchina termica. Usando l’equazione(9.6.9) e (9.6.19) troviamo

θ(T1)

θ(T2)=

Q1

Q2

=T1

T2

, (9.6.20)

la quale implica che θ(T ) ∝ T , dove T e la misura della temperatura riferita a un termometrodi gas ideale. Poiche le misure delle temperature nelle due scale coincidono in un punto, lacostante di proporzionalita e uguale ad uno e le due scale coincidono: θ(T ) ≡ T . Nella scalatermodinamica assoluta, la temperatura e cosı definita dall’equazione (9.6.19), che si riferiscead un ciclo reversibile di Carnot il quale opera tra una temperatura T e la temperatura delpunto fisso scelto:

T = 273.16Ko Q

Q0

. (9.6.21)

Al diminuire di T sotto T0, anche il calore Q, trasferito alla temperatura T , diminuisce.In particolare, se T tende a zero, la quantita di calore scambiata con l’ambiente a quellatemperatura tendera anch’essa a zero. Al limite, quando T = 0, chiamata temperatura dellozero assoluto, la corrispondente quantita di calore e zero Q = 0. Se fosse possibile raggiungerela temperatura dello zero assoluto per mezzo di un numero finito di trasformazioni, sarebbepossibile ideare una trasformazione ciclica reversibile che opera tra una temperatura T e lozero assoluto. Dal momento che la quantita di calore emessa dal sistema alla sorgente apiu bassa temperatura sarebbe zero, il solo risultato della trasformazione sarebbe convertirela quantita di calore Q, assorbita alla temperatura T , in lavoro, cioe la macchina termicaavrebbe un rendimento massimo, in contrasto con la seconda legge della termodinamica. Latemperatura zero non puo pertanto essere raggiunta mediante un numero finito di operazioninel sistema. Questo e il contenuto del teorema di Nernst, anche noto come la terza leggedella termodinamica. La temperatura dello zero assoluto puo tuttavia essere definita comevalore-limite che puo essere raggiunto con un numero infinito di operazioni

9.6.2 Entropia

La seconda legge della termodinamica nega la possibilita che alcuni processi accadano spon-taneamente (cioe senza alcuna azione esterna), come ad esempio il trasferimento di caloreda un oggetto ad uno piu caldo o la conversione di una certa quantita di calore in lavoro.Processi spontanei come la libera dilatazione di un gas, la conversione di lavoro in calore,come nell’esperimento di Joule, o il passaggio di calore da un corpo piu caldo a uno piu fred-do non sono mai stati osservati in senso inverso (non potremo mai vedere una compressionespontanea di gas, o il calore che si trasforma in lavoro senza un apporto esterno di energia).Pertanto questi sono processi irreversibili. La seconda legge puo essere formulata in terminipiu quantitativi, introducendo il concetto di entropia S, che e una nuova quantita associata


ad un sistema termodinamico e funzione del suo stato di equilibrio, proprio come l’energiainterna U . Consideriamo una trasformazione ciclica generica (non necessariamente reversi-bile) durante la quale un sistema S interagisce con varie sorgenti di calore alle temperatureT1, T2, . . . , Tn. Ogni trasformazione ciclica puo essere rappresentata da una sequenza, chepuo essere infinita, di trasformazioni adiabatiche ed isotermiche durante le quali il sistemainteragisce con sorgenti di calore a varie temperature, vedi Figura 9.12. Iniziamo conside-

Figura 9.12:

rando il caso in cui il numero n di sorgenti e finito. Allora consideriamo n cicli reversibilidi Carnot Ci, i = 1, . . . , n, ciascuno operante tra una temperatura Ti e una temperatura T0,vedi Figura 9.13. Essi potranno lavorare o come cicli termici (verso orario) o come cicli frigo-riferi (verso antiorario). Consideriamo un ciclo composto, consistente in un ciclo del sistemaS ed in un ciclo di ciascuna macchina Ci. Useremo la convenzione, introdotta in precedenza,di descrivere con un numero negativo Q < 0 il calore che e trasmesso all’ambiente e con unnumero positivo Q > 0 il calore che fluisce nel sistema. Con questa convenzione in mente,l’equazione (9.6.14) per ciascun ciclo di Carnot Ci, operante tra T0 e Ti, diventa

T0

Ti= −Qi,0

Q′i, (9.6.22)

Dove Qi,0, Q′i sono le quantita di calore scambiate, rispettivamente, alle temperature T0, Ti

. Il segno meno nell’equazione (9.6.22) deriva dal fatto che Qi,0, Q′i hanno sempre segno

opposto: se T0 > Ti Qi,0 > 0, Q′i < 0 mentre se T0 < Ti Qi,0 < 0, Q′i > 0. Costruiamo


Figura 9.13:

le varie macchine Ci in modo tale che essi forniscano alla (o assorbano dalla) sorgente Ti,durante ciascun ciclo, la stessa quantita di calore che S assorbe (o trasmette) alla stessatemperatura: Q′i = −Qi. Per ciascun ciclo Ci possiamo riscrivere l’equazione (9.6.22) comesegue

Qi,0 = T0Qi

Ti, (9.6.23)

dove Qi sono le quantita di calore scambiate dal sistema S alla temperatura Ti. Durantel’intero ciclo composto, la sorgente a T0 avra scambiato con il sistema, consistente nellemacchine Ci e S, una quantita di calore Q0 data da

Q0 =n∑i=1

Qi,0 = T0

n∑i=1

Qi

Ti. (9.6.24)

Supponiamo ora Q0 > 0. Cio implica che, dal momento che alla fine di un ciclo composto, ilsistema composto ritorna allo stato iniziale, e poiche ciascuna sorgente Ti rimane inalterata,avendo assorbito ed emesso la stessa quantita di calore, il solo risultato del ciclo sarebbe laconversione di una quantita di energia Q0, ottenuta dalla sorgente T0, in lavoro W = Q0 > 0.L’intero sistema composto avrebbe agito come una macchina termica con rendimento pariad uno. Questo sarebbe in contraddizione con il postulato di Kelvin e pertanto la seconda


legge della termodinamica implica che, durante il ciclo S

n∑i=1

Qi

Ti≤ 0 . (9.6.25)

Supponiamo ora che la trasformazione ciclica di S sia reversibile. Cio comporta che l’interatrasformazione ciclica sul sistema composto consistente in S e nelle nmacchine, sia reversibile,poiche ciascuno dei cicli Ci lo e. L’inverso di tutta la trasformazione complessa e descritta,eseguendo il ciclo di S e ciascun ciclo Ci in senso opposto. Le quantita di calore, scambiatecon le varie sorgenti, cambiano segno rispetto al caso precedente (Q0 → −Q0, Qi → −Qi) ecosı l’ammontare complessivo di calore, scambiato con la sorgente T0, e ora −Q0. L’equazione(9.6.24) continua a valere, ma ora, usando lo stesso argomento di prima, possiamo provare che−Q0 ≤ 0, cioe Q0 ≥ 0. Questo implica che le stesse quantita Qi soddisfino la diseguaglianza(9.6.25) e la disuguaglianza:

n∑i=1

Qi

Ti≥ 0 . (9.6.26)

Pertanto troviamo che, per una trasformazione ciclica reversibile di S, la seguente relazionee ancora valida

n∑i=1

Qi

Ti= 0 . (9.6.27)

Nel limite in cui il numero delle trasformazioni isotermiche e adiabatiche che descrivonol’intero ciclo di S sia infinito, cioe in cui S ha intaragito durante la trasformazione con uninfinito numero di sorgenti (n→∞), la somma in (9.6.27) e sostituita da un integrale sullatrasformazione ciclica, rappresentata da una curva chiusa orientata nel piano p, V e possiamoscrivere: ∮

ciclo rev.

dQ

T= 0 . (9.6.28)

Se il ciclo non e reversibile, varra solo l’ineguaglianza (9.6.25). Questo, nella forma integrale,diventa: ∮

ciclo irrev.

dQ

T≤ 0 . (9.6.29)

L’equazione (9.6.28) puo essere interpretata come segue: dividiamo l’intera trasformazioneciclica reversibile di S in trasformazioni infinitesime (reversibili), durante le quali la tempera-tura del sistema e in buona approssimazione costante e il sistema scambia con l’ambiente unaquantita di calore Q, vedi Figura 9.14. Se sommiamo i rapporti dQ

Tsu tutte le trasformazioni

infinitesime, troviamo zero. Questo e indubbiamente vero per un ciclo di una macchinatermica che opera tra due temperature T1, T2 > T1. Dall’equazione (9.6.22) abbiamo:

Q1

T1

+Q2

T2

= 0 , (9.6.30)


Figura 9.14:

dove Q1 < 0 and Q2 > 0. In questo caso, l’integrale sul ciclo nell’equazione (9.6.28) ha soloi due contributi lungo le due isotermiche.

Indichiamo ora con C(AB) la linea orientata nel piano p, V , che descrive una trasfor-mazione reversibile che porta un sistema S da un stato di equilibrio iniziale A ad uno statodi equilibrio finale B lungo una curva C, vedi Figura 9.15 (a). Poiche questa trasforma-zione e reversibile, possiamo portare indietro il sistema da B ad A lungo la stessa curva,effettuando una trasformazione inversa, descritta dalla linea orientata C(BA), vedi Figura9.15 (b). C(BA) e C(AB) sono pertanto definite dalla stessa curva che unisce A a B, mahanno orientazione opposta. Consideriamo ora una trasformazione reversibile C(AB) e latdividiamo in trasformazioni infinitesime (reversibili) durante le quali la temperatura T puoessere considerata costante ed il sistema scambia con l’ambiente una quantita di calore dQ.Sommiamo i rapporti dQ

Tdi tutte le trasformazioni infinitesime. Questa somma e un integrale

espresso da:

IC(AB) =

∫C(AB)

dQ

T. (9.6.31)

Se seguiamo la stessa curva C in senso opposto, cioe consideriamo la trasformazione inversa,tutte le trasformazioni infinitesime lungo essa si invertono allo stesso modo. Durante ciascunatrasformazione infinitesima, il sistema scambiera una quantita di calore dQ′ = −dQ chee l’opposto della quantita scambiata quando la trasformazione era eseguita in direzione


Figura 9.15:

opposta. Pertanto troviamo

IC(BA) =

∫C(BA)

dQ′

T= −

∫C(AB)

dQ

T= −IC(AB) . (9.6.32)

Ora vogliamo mostrare che il suddetto integrale dipende solo dagli stati iniziali e finali e nondagli stati intermedi, cioe dalla curva che descrive la trasformazione del sistema da A a B.A questo scopo consideriamo due trasformazioni generiche reversibili C(AB) e C ′(AB) checonnettono A to B, descritte dalle curve C and C ′ rispettivamente, vedi Figura 9.16 (a).Vogliamo mostrare che

IC(AB) = IC′(AB) . (9.6.33)

Portiamo il sistema da A a B lungo la curva C, descrivendo cosı C(AB). Una volta in Bportiamo il sistema indietro in A lungo la curva C ′, descrivendo cosı C ′(BA). La trasforma-zione reversibile totale e un ciclo, indicato da C, poiche si origina e termina nello stesso statoA, vedi Figura 9.16 (b). L’integrale IC sull’intero ciclo e la soma dell’integrale lungo C(AB)e l’integrale lungo C ′(BA). Essendo la trasformazione reversibile, in virtu dell’equazione(9.6.28), esso e zero

0 = IC =

∮C

dQ

T=

∫C(AB)

dQ

T+

∫C′(BA)

dQ

T=

= IC(AB) + IC′(BA) = IC(AB) − IC′(AB) . (9.6.34)


Figura 9.16:

Dalla suddetta equazione deduciamo la proprieta (9.6.33). Poiche IC(AB) non dipende daC, potremo denotarlo con I(AB). Esso soddisfa la proprieta I(AB) = −I(BA). Notiamo chel’integrale di dQ da solo, che misura il calore totale scambiato durante la trasformazione,dipende dalla traiettoria seguita! L’integrale I(AB) soddisfa la stessa proprieta a cui soddisfa illavoro per una forza conservativa. Quindi, cosı come abbiamo fatto per l’energia potenziale,introduciamo una funzione di stato del sistema S, chiamata entropia, cosi’ che possiamoscrivere:

I(AB) =

∫ B

A

dQ

T= S(B)− S(A) , (9.6.35)

dove l’integrale e calcolato lungo ogni trasformazione reversibile che unisce A a B. Pro-prio come per l’energia potenziale, l’entropia e definita a meno di una costante additivaindipendente dallo stato. S e completamente definita una volta che sia fissato il suo valoreS(O) = SO su uno stato di riferimento O:

S(A) = SO +

∫ A

O

dQ

T, (9.6.36)

Dove l’integrale e calcolato lungo una trasformazione generica reversibile che connette Oad A. Cosa accade se dQ

Te calcolato lungo una trasformazione irreversibile? Consideriamo


una trasformazione irreversibile Irr(AB) e una trasformazione reversibile C(AB) tra glistessi stati A e B, vedi Figura 9.16 (c). possiamo considerare il ciclo di trasformazione(irreversibile) Cirr., facendo prima la trasformazione irreversibile Irr(AB) e poi, una volta inB portando indietro il sistema fino ad A lungo C(BA), vedi Figura 9.16 (d). Se calcoliamol’integrale di dQ

Tlungo Cirr., usando l’equazione (9.6.29) troviamo

0 ≥∮Cirr.

dQ

T=

∫Irr(AB)

dQ

T+

∫C(BA)

dQ

T=

∫Irr(AB)

dQ

T−∫ B

A

dQ

T. (9.6.37)

L’equazione precedente implica che

S(B)− S(A) =

∫ B

A

dQ

T≥∫Irr(AB)

dQ

T, (9.6.38)

Cioe l’integrale di dQT

lungo una trasformazione irreversibile non e mai piu grande dell’inte-grale calcolato lungo una trasformazione reversibile tra gli stessi stati. Se il sistema e com-pletamente isolato, come nelle trasformazioni adiabatiche, la quantita di calore scambiatocon l’ambiente e zero: dQ = 0. L’equazione (9.6.38) ci dice che

S(A) ≥ S(B) , (9.6.39)

il simbolo di eguaglianza si avrebbe se la trasformazione fosse reversibile. Questo implica chei sistemi isolati non evolvono verso stati con minore entropia. Percio essi evolveranno fino aquando raggiungono uno stato di equilibrio in cui l’entropia e massima (compatibilmente conla loro energia). Partendo da un tale stato, ogni altra trasformazione dovrebbe comportareuna riduzione della sua entropia, cosa che non puo avvenire. Questo chiaramente non evero per sistemi non-isolati. L’entropia di un sistema puo esser fatta decrescere attraversoun’azione esterna. Tuttavia, se estendiamo la definizione di sistema fino a includere tuttol’ambiente, questo sistema esteso, che coincide con l’intero universo, sara certamente isolatoe cosı la sua entropia non puo mai decrescere durante la sua evoluzione.

Questa proprieta dell’entropia e stata derivata dalla seconda legge della termodinamica.Applichiamola alla dilatazione libera di un gas ideale. Questo processo e irreversibile ed ecaratterizzato da Q = W = ∆U = 0. Dal momento che non vi e scambio di calore conl’ambiente, essendo il gas termicamente isolato, l’equazione (9.6.39) implica che, durantela dilatazione, l’entropia e aumentata: ∆S ≥ 0. Percio non osserveremo mai un gas chesi contrae spontaneamente, perche tale processo dovrebbe avere ∆S ≤ 0 violando cosı la(9.6.39) e con essa la seconda legge della termodinamica. Possiamo, dopo la dilatazionelibera, riportare il gas al suo stato originario, comprimendolo lentamente e allo stesso temporaffreddandolo, dando luogo, cosı, ad una trasformazione reversibile. Chiaramente, durantequesta trasformazione, il sistema non e piu isolato, poiche stiamo facendo del lavoro su diesso e stiamo estraendo calore da esso, e la sua entropia diminuisce.

Consideriamo ora un sistema A composto da due parti A1 e A2. Supponiamo che l’energiaU di A sia la somma delle energie U1, U2 delle due parti e lo stesso dicasi per il lavoro fattoo subito dall’intero sistema

U = U1 + U2 ; W = W1 +W2 , (9.6.40)


dove W1, W2 sono i lavori fatti o subiti da ciascuna delle due parti. Per la prima legge dellatermodinamica, anche il calore Q scambiato dall’intero sistema con l’ambiente e la sommadi Q1, Q2 scambiati dalle componenti con l’ambiente e con l’altra parte separatamente:

Q = Q1 +Q2 . (9.6.41)

Possiamo cosı dividere l’integrale nella definizione di S (scegliendo per semplicita SO = 0)

S(A) =

∫ A

O

dQ

T=

∫ A

O

dQ1

T+

∫ A

O

dQ2

T= S1(A) + S2(A) . (9.6.42)

Nelle ipotesi precedenti, possiamo scrivere le entropie dell’intero sistema come la sommadelle entropie S1, S2 delle sue parti costituenti. Un altro esempio di processo spontaneo,la cui irreversibilita e dedotta dalle proprieta dell’entropia, e dato dal flusso di calore perconduzione termica da un oggetto ad un altro piu freddo in contatto con esso. Cio chesi osserva e che il calore fluisce spontaneamente dall’oggetto piu caldo a quello piu freddoe mai il contrario. Siano T1 e T2 > T1 le temperature dei due oggetti. Consideriamo ilsistema dei due oggetti come isolato e sia Q la quantita di calore che fluisce da quello piucaldo a quello piu freddo. Supponiamo che Q sia tanto piccolo che le due temperature nonsiano sensibilmente influenzate dallo scambio. Siano S1 ed S2 le entropie dei due oggetti eS = S1 + S2 l’entropia dell’intero sistema. La variazione di entropia dell’oggetto piu caldo elimitata inferiormente dal calore rilasciato −Q, diviso per la sua temperatura T2, mentre lavariazione di S2 e limitata inferiormente dal calore assorbito Q diviso per T1:

∆S1 ≥Q

T1

; ∆S2 ≥ −Q

T2

,

∆S = ∆S1 + ∆S2 ≥Q

T1

− Q

T2

> 0 . (9.6.43)

Durante questo processo, l’entropia totale e aumentata. Se Q fosse stato trasferito me-diante conduzione dall’oggetto piu freddo al piu caldo, avremmo osservato una diminuzionedell’entropia dell’intero sistema isolato, in contrasto con le proprieta dell’entropia.

Indice analitico

accelerazione, 9, 32, 35, 36, 38, 42–45, 48, 54–56, 58–60, 63, 64, 69, 89, 93, 150, 174,181, 184

angolare, 142, 149centripeta, 47, 63, 66costante, 38istantanea, 35, 36, 42, 43media, 35, 42, 43radiale o centripeta, 46

acustica, 5adiabatici

processi, 216Ampere, 9, 10analisi

macroscopica, 196atomi, 7, 8, 10, 114, 173attrazione

forze di, 8gravitazionale, 8

attrazione gravitazionale, 53attrito, 8, 54, 55, 59, 68, 73–75, 89, 105, 106,

181, 187, 192, 207, 208, 226cinetico, 74coefficienti, 74di fluidi, 75dinamico, 74, 82scorrimento, 73statico, 74, 82

Avogadro, 7, 104

calore, 106, 121, 193, 196, 204–209, 213–216,219–232, 235–237

specifico, 205, 206, 217caloria, 205capacita

molare, 218

termica, 205, 215, 217, 221Carnot, 221, 222, 224–226, 229, 230Celsius, 202ciclo

complesso, 228, 230, 231irreversibile, 236reversibile, 221, 227–229

cinematica, 31, 65, 122, 125Clausius, 225–227coefficiente

di viscosita, 75collisione

anelastica, 118–122elastica, 118, 119

coordinate, 11, 26cartesiane, 12, 19, 24, 26, 41, 43, 61, 62,

86, 87, 97, 112, 139, 140, 147, 149cilindriche, 27, 97, 98, 183polari, 24, 26, 27, 47, 64, 97, 99, 126, 132,

140, 141sferiche, 24, 26, 97, 98termodinamiche, 196, 197, 209–211unidimensionali, 32, 38, 174

coppiadi torsione, 128, 130, 132

corporigido, 134, 135, 137, 138, 142–145, 147,

151, 195Coulomb, 9, 100

densitadei liquidi, 177del gas, 177delfluido, 180dell’acqua, 173dell’aria, 173, 219

238

INDICE ANALITICO 239

della superficie, 140di un fluido, 173di un liquido, 176lineare, 139

descrizionemacroscopica, 185microscopica, 195–197

dilatazione, 203, 204, 210, 211, 216, 217, 220,229, 236

dei liquidi, 204lineare, 204

Einstein, 6elettrodinamica, 5elettroni, 7, 8, 132energia

calorica, 121cinetica, 88, 89, 93, 95, 103–105, 116, 118,

120, 121, 143–145, 192, 197, 203, 204,208, 217

conservazione, 191interna, 104, 105, 192, 208, 213, 216, 217,

220, 221, 224meccanica, 92–95, 103, 104, 106, 118, 121,

144, 187, 192, 206–208, 213, 217potenziale, 90, 92–99, 101–105, 144, 192,

204, 208, 217, 235potenzialeideale, 105termica, 106, 118, 187, 192totale, 208

energia-lavoro, 144entropia, 229, 235–237equazione

di moto, 57di stato, 209, 216, 218, 219

equazioniedi moto, 195

equilibriochimico, 209di un fluido, 174instabile, 96, 131meccanico, 196, 209, 210, 215stabile, 96, 131

statico, 180stato di, 179, 209, 221, 222, 230, 233termico, 198, 199, 206, 209, 221termodinamico, 209

fluidocalorico, 204, 205comprimibile, 179, 188, 189incompressibile, 179moto del, 184, 187, 196non viscoso, 193statica del, 179, 200viscosita del, 75, 187, 192

forzacentrale, 99, 100, 132, 134centripeta, 63, 81, 89, 146, 183conservativa, 89, 90, 92–96, 101, 104, 106,

144, 235debole, 6di coesione, 55, 74, 171di interazione, 74, 101–103di repulsione, 8di tensione, 130dissipativa, 118, 208elastica, 68, 69, 84, 94, 95, 203elettrica, 8, 9, 132elettrmagnetica, 6elettrostatica, 99fondamentale, 5, 6forte o nucleare, 6, 8gravitazionale, 6, 9, 48, 88, 89, 98, 132,

145, 147, 175, 181non conservativa, 89, 105, 106, 206

Galilei, 8, 53, 67gas

comprimibile, 189diatomicio, 218ideale, 105, 201, 202, 216–218, 224, 229ideali, 216monoatomicio, 218

giroscopio, 145gravita, 38, 48, 53, 54, 59, 62, 65, 66, 75, 89,

94, 95, 148, 192

240 INDICE ANALITICO

forza di, 8, 114

inerzia, 53–56, 74, 79assi principali, 137, 142massa, 56momenti principali, 137momento di, 130, 137–141, 143, 144, 148raggio di, 137

inerzialemassa, 56, 57, 60

inerzialisistemi, 55, 142

interazione, 8, 58, 61, 78, 100, 105, 117, 118,196, 210, 221

gravitazionale, 100isotropo

materiale, 204sistema, 209solido, 203

Joule, 206, 213, 216, 220, 229

Kepleroseconda legge, 133

Kilocalorie, 205

lavoro, 81–83, 85, 87–93, 97, 99, 101–103,105, 106, 144, 191, 192, 206, 208–210,213, 214, 216

meccanico, 206–208, 222unita di, 83

limitenon relativistico, 112relativistico, 57

Lord Kelvin, 225, 226

macchina termica, 221–223, 226, 227, 229,231, 232

non reversibile, 227reversibile, 226

massa, 8, 10centro di, 111–116, 119–121, 124, 125, 130,

131, 134, 137, 139, 142, 143, 145, 147,175, 183, 195

meccanicaclassica, 6, 53quantistica, 6

metodoscientifico, 5, 8, 9

metodo scientifico, 53mole, 216molecole, 7, 8, 74, 104, 105, 171, 173, 185,

195–197, 203, 204, 208, 213, 214, 216,217

momentoangolare, 135, 137di torsione, 129, 130

momento angolare, 125–128, 130–133, 137,142, 143, 146, 147, 150

motoarmonico, 148circolare, 54, 66, 127, 130, 135circolare uniforme, 45, 47, 63, 81, 146,

174, 183di rotazione, 55, 125, 135, 142, 143, 151di rotazione (rotatorio), 145, 150di rotazione(rotazionale), 134di traslazione, 134, 143di un corpo rigido, 134perpetuo, 220, 221, 225rettilineo, 32uniforme, 34, 36, 40, 41, 43, 44, 54, 55,

62, 113uniformemente accelerato, 37, 62, 114

moto circolare uniforme, 146

neutroni, 7, 8Newton, 6, 48, 53, 55, 65, 69, 75, 76, 79, 115,

117, 127, 185prima legge, 59seconda legge, 54, 57, 60, 61, 63terza legge, 58, 59, 76, 78, 79

nutazione, 147

orologio atomico, 10oscillatore armonico, 67, 69, 84, 94–96, 203osservatore, 27, 31, 55, 115, 181ottica, 5

INDICE ANALITICO 241

particella, 31puntiforme, 195

pendolo, 63, 65, 67, 69, 88, 89, 94composto, 147equazione del , 131moto del, 67oscillazioni, 69posizione di equilibrio, 67semplice, 148

peso, 59, 60, 67, 69, 75, 84, 145, 147, 149, 150,175, 176, 179–181, 183, 184, 201, 207,208, 217

postulati, 196precessione, 146, 147processo

irreversibile, 229isobarico, 215spontaneo, 229

prodottoscalare, 16, 20, 21, 81, 83, 88, 89vettoriale, 21–24, 125, 126, 131

protoni, 7, 8punto

triplo, 199, 200, 229

quantitaangolari, 150derivate, 9, 33di moto, 77–79, 111–113, 115, 117–121,

124, 146, 197fisica, 54, 56, 197fisiche, 12, 185fondamentali, 9, 10fondamentali cinematiche, 32macroscopica, 104, 196scalare, 173vettoriale, 55

quantita di moto, 57, 76–79legge di conservazione, 78

relativita, 6, 57reversibile, 221

sistema

complesso, 231, 232di riferimento, 54di riferimento, 31, 32, 55isolato, 53, 76–78, 102, 103, 115, 237MKSA, 9, 36, 58, 83non isolato, 79SI, 33solato, 78termodinamico, 104

situazionedi equilibrio, 60, 175, 216

sommadi vettori, 14–18, 20, 21, 40, 56, 93, 104,

128sorgente, 220, 232

di calore, 221–223stato

termico, 197–199, 205Steiner

teorema, 138, 140, 144

temperatura, 10, 12, 105, 171, 197–209, 213,216–219, 221, 223, 225–227, 229–231,233

assoluta, 229atmosferica, 219del, 218media, 219scala assoluta, 227, 228

termodinamica, 195-prima legge, 210-seconda legge, 229-terza legge, 229seconda legge, 220, 221

termometricheproprieta, 198sostanze, 198

termometro, 198–200a mercurio, 200a gas, 200–202, 229a resistenza, 200

trasformazioneadiabatica, 216, 218, 219, 222

242 INDICE ANALITICO

trasformazionireversibili, 210, 221

trottola, 145, 146

unita di misura, 9

variabilicinematiche, 195

velocitaangolare, 126, 136, 137, 144, 146

versore, 175vettore, 11, 12, 18

accelerazione, 142posizione, 19, 21, 25, 26, 42–44, 46, 112,

185rappresentazione matriciale, 21unita, 13, 26, 32, 65, 74, 100, 102, 172velocita, 14, 45, 46, 137

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128670070 Fisica Dispense 2012 Politecnico Torino