p12 – 1

12. Prostý krut

12.1. Definice

Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže

– jsou splněny prutové předpoklady,– příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí kolem střednice prutu,– jedinou nenulovou složkou VVÚ je kroutící moment Mk,– deformace prutu jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné,– příčný průřez je kruhový nebo mezikruhový.

prostápružnost

prutovépředpoklady

Poznámky k definici

Na počátku vývoje pružnosti se neomezoval tvar příčného průřezu u prutů zatížených kru-tem. Se zvyšováním rozlišovací úrovně (rozvoj měření) se ukázalo, že pouze pro kruhovýa mezikruhový průřez je s dostatečnou přesností splněn předpoklad o zachování rovinnostipříčných průřezů, u ostatních tvarů příčných průřezů dochází k jejich deplanaci. Vztahypro prostý krut pak neplatí; nekruhové průřezy můžeme řešit– metodami obecné PP (pruty průřezu tvaru rovnostranného trojúhelníka, elipsy, kruhus excentrickým kruhovým otvorem),

– analyticky (obdélník, čtverec),– metodou konečných prvků (jakékoliv tvary).

Na rozdíl od tahu, kdy jsme podle orientace normálové sílyN rozlišovali tah a tlak, u krutuna znaménku kroutícího momentu nezáleží, těleso z izotropního materiálu se chová stejněpro obě orientace kroutícího momentu.

OBSAH další

p12 – 2

12.2. Geometrické vztahy

Protože vyšetřujeme výhradně pruty rotačně symetrických průřezů, budeme používat vál-cový souřadnicový systém se souřadnicemi x, r, ϕ v axiálním, radiálním a obvodovémsměru. Z hlediska deformace elementárních prvků Ω1 a Ω3 v průběhu zatěžování lze kon-statovat:

– vzdálenost dx průřezů ψ1, ψ2 zůstane zachována, dél-kové přetvoření ve směru střednice prutu je tedy nu-lové εx = 0 (za předpokladu malých deformací),

– příčné průřezy se rozměrově nemění, takže jsou nu-lová i délková přetvoření v radiálním (εr = 0) a ob-vodovém směru (εϕ = 0),

– v důsledku zachování rovinnosti příčných průřezů zů-stává zachován pravý úhel mezi radiálním a axiálnímsměrem (γxr = 0),

prvek

přetvoření

předchozí OBSAH další

p12 – 3

– v důsledku rotačně symetrického charakteru deformace jsounulová úhlová přetvoření γϕr = 0,

– čela prvku Ω3 se vzájemně natočí o úhel dϕ, čímž vzniknenenulové úhlové přetvoření γxϕ, jehož rozložení po průřezuzískáme z vyjádření posuvu ÂA′ obecného bodu A na obec-ném válcovém řezu s poloměrem ρ : ÂA′ = dxγxϕ a přivyjádření parametry v příčném průřezu: ÂA′ = ρdϕ.

γxϕdx = ρdϕ ⇒ γxϕ = ρdϕdx

⇒ γxϕ = γ = ρϑ,

kde ϑ = dϕdx je poměrný úhel zkroucení konstantní prodaný průřez.

U prostého krutu je jediným nenulovým přetvořením úhlové přetvoření γxϕ = γ, kteréje po příčném průřezu rozloženo lineárně, s nulovou hodnotou na střednici (γ = ρϑ).

V prutu vzniká specifický stav deformace, označovaný jako smyková deformace,

popsaný tenzorem přetvoření Tε =

0 γ2 0γ2 0 00 0 0

. Tε

předchozí OBSAH další

p12 – 4

12.3. Rozložení napětí v příčném průřezu

Rozložení napětí v příčném průřezu získáme pomocí konstitutivních vztahů, které pro ho-okovský materiál (homogenní, lineárně pružný) mají tvar σ = Eε pro jednoosou napjatosta τ = Gγ pro napjatost smykovou. geometrické

vztahyPro prostý krut platíεx = εr = εϕ = 0 ⇒ σ = 0,γxr = γϕr = 0 ⇒ τxr = τϕr = 0,γxϕ = γ 6= 0 ⇒ τxϕ(ρ) = τ(ρ) = Gγ = Gρϑ.

U prostého krutu vznikají v příčném průřezu smyková napětí, která jsou po průřezurozložena lineárně, s nulovou hodnotou na střednici prutu. Normálová napětí jsou nulová.

předchozí OBSAH další

p12 – 5

napjatostNapjatost v bodě tělesa, určená pouze jediným smykovým na-pětím, se označuje jako smyková napjatost.Smykovému napětí τxϕ v příčném průřezu ψ odpovídá stejněvelké smykové napětí τϕx v řezu procházejícím osou prutu (větao sdruženosti smykových napětí):

τxϕ = τϕx = τ

sdruženostsmykovýchnapětí

Smykovou napjatost lze popsat tenzorem napětí Tσ,znázornit na elementárním prvku a v Mohrově ro-vině.

Tσ =

0 τ 0τ 0 00 0 0

tenzor napětí

Mohrovarovina

předchozí OBSAH další

p12 – 6

12.4. Závislost mezi VVÚ a napětímstatickáekvivalenceZávislost napětí v příčném průřezu na geometrických charak-

teristikách průřezu a na VVÚ určíme z jediné použitelné pod-mínky statické ekvivalence mezi soustavou vnitřních elemen-tárních sil v příčném průřezu danou smykovým napětím τa jejich výslednicí ~Mk:∑

Mx : Mk =∫ψ

dMx =∫ψ

τdSρ =∫ψ

Gϑρ2dS = Gϑ∫ψ

ρ2dS = GϑJP ,

kde JP je polární kvadratický moment. JP

Z rovnice dále plyne geometrickévztahy

napětí- poměrný úhel zkroucení ϑ = MkGJP- úhlové přetvoření γ = ρϑ = MkGJP

ρ

- smykové napětí τ(ρ) = Gγ ⇒ τ(ρ) = MkJP ρ

předchozí OBSAH další

p12 – 7

12.5. Extrémní napětí

Smykové napětí τ(ρ) = MkJPρ bude maximální na největším poloměru příčného průřezu, τ(ρ)

tedy na vnějším obvodě: τex =MkJP

ρex =MkJPρ ex

=MkWk

,

kde jsme zavedli modul průřezu v krutu Wk =JPρex .

Modul průřezu v krutu pro

– kruhový průřez

Wk =JPρex=JPR=πR42R=πR3

2=πD3

16

– mezikruhový průřez

Wk =π2 (R

4 − r4)R

=πR3

2

[1−

(r

R

)4]=πD3

16

1− ( dD

)4POZOR! Wk není aditivní veličina na rozdíl od kvadratických mo-mentů (ve jmenovateli je stále ρex = R, nelze odečíst modul průřezuv krutu Wk2 malého kruhu od Wk1 velkého kruhu).

kvadratickýmoment

předchozí OBSAH další

p12 – 8

12.6. Energie napjatosti

V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W . lineárnípružnostNa trojnásobně elementární prvek Ω3 délky dx působí

vnitřní elementární smyková síla τdS~j, která při nato-čení prvku Ω3 o úhel dϕ vykoná práci

AτdS =12τdSÂA′ =

12τdSγdx.

Energie napjatosti WΩ3 prvku Ω3 (po dosazení konsti-tutivního vztahu γ = τG) a měrná energie napjatosti Λ(vztažená na jednotkový objem dSdx):

prvek

geometrickévztahy

Hookůvzákon

WΩ3 = AτdS =τ 2

2GdSdx,

Λ =WΩ3dSdx

=τ 2

2G⇒ Λ = 1

2τγ =

12Gγ2.

Poznámka:vztah pro měrnou energii napjatosti je analogický vztahu odvozenému u prostého tahu. tah

předchozí OBSAH další

p12 – 9

Vztahy platí obecně pro smykovou napjatost. Energie napjatosti WΩ1 jednonásobně ele-

mentárního prvku se pak určí integrací přes příčný průřez ψ (a dosazením τ = MkJPρ,

JP =∫∫ψρ2dS) podle vztahu

WΩ1 =∫∫ψ

WΩ3 =∫∫ψ

τ 2

2GdSdx =

∫∫ψ

M2k2GJ2P

ρ2dxdS =M2k2GJ2P

dx∫∫ψ

ρ2dS =M2k2GJP

dx,

V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti

W (l) =l∫0

WΩ1 =l∫0

M2k2GJP

dx.

předchozí OBSAH další

p12 – 10

12.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice

Deformace je popsána vzájemným úhlem natočení (zkroucení) dϕ dvou limitně blízkýchpříčných průřezů ψ1 a ψ2 elementárního prvku Ω1 ϑ(ϕ)

ϑ(Mk)dϕ = ϑdx = MkGJPdx.

Úhel natočení ϕ průřezu, oddělujícího konečný prvek Ω0, jedán integrálem po délce tohoto prvku

ϕ(xR) =xR∫xm

Mk(x)GJP (x)

dx,

kde xR je souřadnice těžiště průřezu, jehož natočení počítáme,xm je souřadnice těžiště vztažného průřezu (obvykle s nulovýmnatočením).

Je-li v určitém úseku střednice Mk(x) =konst., GJP (x) =konst. a umístíme-li počáteksouřadnicového systému do těžiště průřezu s nulovým natočením (xm = 0), pak

ϕ(xR) =MkxRGJP

, kde GJP se označuje jako tuhost příčného průřezu v krutu.

12.8. Deformace příčného průřezu

U prostého krutu se rozměry ani tvar příčných průřezů nemění. Pokud by k tomu došlo, prutovépředpokladyjedná se o porušení prutových předpokladů a teorie prostého krutu neplatí (např. zborcení

stabilitapříčného průřezu ztrátou tvarové stability při kroucení tenkostěnné trubky).

předchozí OBSAH další

p12 – 11

12.9. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných krutem

12.9.1. Volný prut

Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformaci a energii napjatosti u prutu namáhanéhokrutem při splnění prutových předpokladů. prutové

předpokladyPro pruty s kruhovým a mezikruhovým příčným průřezem platí:

τ

ϕ

W

τ =Mk(xR)JP (xR)

ρ; τex =Mk(xR)Wk(xR)

; ϕ(xR) =xR∫0

Mk(x)GJP (x)

dx; W (l) =l∫0

M2k (x)2GJP (x)

dx.

tah

středniceJe-li Mk(x) a S(x) nebo G podél střednice proměnný(ovšem tak, že namáhání lze považovat za prosté),pak je nutno i u krutu (podobně jako u namáhánítahem) rozdělit střednici prutu na intervaly, v nichžkaždá veličina je vyjádřena jediným funkčním vzta-hem. Hranice těchto intervalů jsou pak v těch bodechstřednice, v nichž dochází ke změně materiálovýchcharakteristik nebo funkcí popisujících průběhMk(x)a příčný průřez.U krutu jsou smyková napětí rozložena po průřezulineárně s extrémní hodnotou na vnějším obvodě. Ne-bezpečné body jsou tedy všechny body vnějšího ob-vodu v nebezpečném průřezu.

τex

nebezpečnýprůřez

předchozí OBSAH další

p12 – 12

Úhel natočení příčného průřezu stanovíme

– z odvozeného vztahu pro úhel natočení průřezu, jehož těžiště má souřadnici xR:

ϕ(xR) =xR∫0

Mk(x)GJP (x)

dx

natočení– z Castiglianovy věty – úhel natočení ϕB působiště osamělé silové dvojice ~MB v roviněpůsobení této silové dvojice je Castiglianova

věta

ϕB =∂W

∂MB=

l∫0

Mk(x)GJP (x)

∂Mk(x)∂MB

dx.

Oba vztahy jsou rovnocenné, derivace ∂Mk(x)∂MB má obvykle hodnotu ±1, takže výsledkyse mohou lišit pouze znaménkem. Mezní stav deformace je dán dosažením funkčně nepří- MS

deformacepustné hodnoty úhlu natočení ϕM , bezpečnost vůči němu určíme ze vztahu kϕ =ϕMϕmax .

bezpečnostBezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti se určí ze vztahu kK =τK|τmax|

. Zde nemůžeme

jako mezní hodnotu použít mez kluzu v tahu σK , ale mez kluzu ve smyku. Tato hodnotase v praxi neměří, ale určuje se na základě Trescovy podmínky plasticity (max τ), ze které max τplyne τK =

σK2 .

předchozí OBSAH další

p12 – 13

12.9.2. Vázaný prut

Prut namáhaný krutem bude uložen staticky určitě, jestliže je omezeno natočení příčného Příklad 501průřezu v jednom bodě střednice. statický

rozborZ úplného uvolnění (pro oba uvedené případy ulo-žení prutu je při zatížení pouze silovými dvoji-cemi ~Mi jediným nenulovým vazebným účinkemsložka stykového momentu ~MA) vidíme, že je pouzejedna použitelná podmínka statické rovnováhy

∑Mx = 0 : MA −

n∑i=1

Mi = 0

s = µ− ν = 1− 1 = 0 ⇒ uložení staticky určité.Ve všech ostatních případech uložení jsou pruty namáhané krutem uloženy staticky ne-určitě.

předchozí OBSAH další

p12 – 14

K řešení vázaných prutů namáhaných krutem můžeme použít algoritmus uvedený v kapi- algoritmustole 11.11.2 Vázaný prut. Jen je potřeba si uvědomit, že u tohoto případu

– je jedinou použitelnou podmínkoustatické rovnováhy momentová pod-mínka k ose x, tedy

∑Mx = 0,

– vazbová deformační podmínka je ur-čena úhlem natočení příčného prů-řezu kolem střednice prutu, a to v to-lika jejích bodech, kolikrát je uloženístaticky neurčité. Deformační pod-mínka opět může být homogenní, ne-homogenní nebo podmíněná.

Příklad 507

Příklad 503

Příklad 505

Poznámka:

V případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění zachovattuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavení nehomogenníchdeformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso nebylo vázáno nepohyb-livě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů od pohybu tělesa jako celku.Deformační podmínky vyjadřujeme pouze pomocí silového působení, neobjeví se v nichvliv teploty a obvykle ani výrobních tolerancí. Vyskytne-li se u staticky neurčitě ulože-ného prutu namáhaného krutem významná změna teploty nebo nepřesnost délky, vyvolávznik normálové síly a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (krut+tah nebotlak).

předchozí OBSAH další

p12 – 15

– I u prutů namáhaných krutem nesmíme za-pomenout na problematiku vrubů, kde do-chází ke koncentraci napětí a přetvoření.Extrémní hodnotu napětí v kořeni vrubuurčíme ze vztahu τex = ατn,

Příklad 502

Příklad 504

Příklad 506

kde

– α je součinitel koncentrace napětí určený z grafů, které byly vytvořeny pomocí výpo-čtových (MKP), resp. experimentálních (fotoelasticimetrie) metod pro různé tvaryvrubů,

– τn je nominální napětí v místě vrubu určené pomocí teorie prostého krutu. α grafy

12.10. Příklady k procvičování látky

předchozí OBSAH další

p12 – 16

Řešené příklady

Příklad 507

Neřešené příklady

Příklad 501 Příklad 502 Příklad 503 Příklad 504 Příklad 505

Příklad 506

předchozí OBSAH následující kapitola