Název školy Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola

s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Název projektu Modernizace výuky

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1003

Autor Ing. Jaroslav Prorok

Název šablony III/2-1 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Název sady III/2-1-1 Mechanika 1

Název výukového materiálu III/2-1-1-15 Průřezové moduly v krutu a ohybu

Anotace

Prezentace obsahuje 19 listů, které obsahují základní

pojmy k určení průřezových modulů v krutu a ohybu. Slouží

jako studijní pomůcka pro žáky nebo jako materiál k výuce

pro učitele.

Klíčová slova

Modul průřezu v krutu, modul průřezu v ohybu,

kvadratický moment průřezu, polární moment průřezu,

Steinerova věta.

Vzdělávací obor 23-41-M/01 Strojírenství

Předmět Mechanika

Cílová skupina/ročník Žáci střední školy/2. ročník

Vytvořeno 19.07.2013

Ověřeno 18.10.2013

Použitá literatura,

informační zdroje

Leinveber,J.,Vávra,P.:Strojnické tabulky, Úvaly, Albra 2008

Mrňák,L.,Drdla,A.: Mechanika Pružnost a pevnost, Praha,

SNTL 1981

Použité obrázky z vlastních zdrojů

Použitý software MS Office PowerPoint 2007

PRŮŘEZOVÉ

MODULY

V KRUTU A OHYBU

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Při namáhání tahem, tlakem či smykem byla v

pevnostní rovnici charakteristická hodnota

zatížení síla a charakteristická hodnota průřezu

jeho plocha a bylo jedno, jak byl průřez

natočen.

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

V pevnostních podmínkách při namáhání

ohybem a krutem je charakteristická hodnota

zatížení moment (síla x rameno) [Nmm]

Proto charakteristickou hodnotou průřezu musí

být veličina s rozměrem [mm3], aby napětí

Dkk

kk

W

M Do

o

oo

W

M

MPa

mm

N

mm

mmN23

.

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Zavádíme

Wk [mm3] je modul průřezu v krutu

Wo [mm3] je modul průřezu v ohybu

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Určí se

kde Jz [mm4] je kvadratický moment průřezu a

e [mm] je vzdálenost krajního vlákna průřezu

od neutrální osy.

kde JP [mm4] je polární moment průřezu

e

JW z

o

3

4

mmmm

mm

e

JW P

k

3

4

mmmm

mm

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Základní geometrické tvary – hodnoty v „ST“

32

3DWo

6

2baWoz

16

3DWk

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

moduly průřezu v ohybu nelze u složených

obrazců sčítat algebraicky ani vektorově, ale

pro modul průřezu v ohybu platí

kde Jz [mm4] je kvadratický moment celého

průřezu a e [mm] je vzdálenost krajního vlákna

průřezu od neutrální osy.

e

JW z

o

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Kvadratický moment průřezu k dané ose je dán

jako součin velikosti plochy a druhé mocniny

vzdálenosti plochy od osy.

Celkovou plochu dle obrázku rozdělíme na

elementární plochy DSi a jejich

kvadratické momenty sečteme

2i

n

1iiz ySJ D

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Kvadratický moment plochy kruhu je

Kvadratický moment plochy

obdélníka je

64

DJ

4

z

12

baJ

3

z

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Při řešení kvadratického momentu rozdělíme obrazec na dílčí plochy a leží-li těžiště dílčích ploch na ose, lze kvadratické momenty těchto obrazců algebraicky sčítat, pak

kde Jz1, Jz2 a Jz3 jsou kvadratické momenty ploch dílčích obrazců, jejichž těžiště leží na ose z.

n

1iziz JJ 3z2z1zz JJJJ

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Neleží-li těžiště obrazce na ose z, musíme

použít k řešení kvadratického momentu plochy

Steinerovu větu.

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Steinerova věta zní: „Kvadratický moment

plochy k ose neprocházející jeho těžištěm je

roven kvadratickému momentu plochy k ose

procházejícím jeho těžištěm rovnoběžné

s danou osou zvětšenému o součin velikosti

plochy a druhé mocniny vzdálenosti obou os.“

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Matematické vyjádření Steinerovy věty má tvar:

kde JzT [mm4] je kvadratický moment plochy

k ose procházejícím jeho těžištěm rovnoběžné

s osou z, S [mm2] je velikost plochy a a [mm] je

vzdálenost z a zT.

2aSJJ zTz

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Neleží-li těžiště dílčích obrazců na ose z, pak

musí být použita Steinerova věta pro výpočet

kvadratických momentů dílčích obrazců

celkový kvadratický moment je

2222zT2z aSJJ

2z1z

n

1iziz JJJJ

2111zT1z aSJJ

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Polární moment průřezu k dané ose je dán jako

součin velikosti plochy a druhé mocniny

vzdálenosti plochy od pólu „P“.

Pro polární moment platí přibližný vztah

pak polární moment plochy kruhu je

2i

n

1iiP rSJ D

32

dJ

4

P

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Pro určení polohy těžištní osy složeného

obrazce je výhodné použít tabulku se sloupci

pro podmínku statického momentu plochy

i

ii

TS

ySy

).(

i Si y

i S

i . y

i

1

2

3

4

Σ

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Rozšíření tabulky pro výpočet celkového

kvadratického momentu složené plochy

i Jzi a

i a

i2 S

i . a

i2 J

zi + S

i . a

i2

1

2

3

4

Σ

PRŮŘEZOVÉ MODULY V KRUTU A OHYBU

Určení průřezového modulu složené plochy

e [mm] je vzdálenost krajního vlákna průřezu

od neutrální osy

e

JW z

o