12. Dokonalá konkurence

Úvod:

V 10. kapitole jsme si řekli, že maximalizace zisku je oprávněnou, i když zjednodušenou, obecnou podobou účelové funkce chování firmy. V této a následujících kapitolách si ukážeme, jak se firma, která maximalizuje zisk bude rozhodovat o vyráběném výstupu v různých tržních strukturách. Jak se bude za těchto okolností utvářet rovnováha mezi nabídkou a poptávkou po výstupu odvětví na tomto trhu. První z tržních struktur, které nás zajímají je dokonalá konkurence. Dokonalá konkurence je tak trochu něco jako dokonalý gentleman. S velkou pravděpodobností nikdo takový na zemi nikdy nežil, ale skoro každá žena má jasnou představu jak by měl vypadat a jak by se měl chovat. Dokonalá konkurence je zatížena mnoha předpoklady, z nichž většina nebude nikdy důsledně splněna na žádném trhu. Přesto je pro nás užitečným vodítkem, které nám umožňuje v situacích podobných dokonalé konkurenci předvídat tržní výsledky chování výrobců a spotřebitelů. Cíle Kapitoly: Porozumět podmínkám dokonalé konkurence Umět najít nabídku výrobce v dlouhém i krátkém období Porozumět vztahu mezi maximalizací zisku v krátkém a v dlouhém období Poznat vlastnosti ziskové funkce, nabídkové funkce a marshallovských poptávek Umět odvodit tržní poptávku a tržní nabídku v krátkém i v dlouhém období Pochopit jak některé realističtější předpoklady ovlivní, tržní nabídky v krátkém i dlouhém období Porozumět tržní rovnováze, podmínkám její existence a stability. Obrázek12.1: Poptávka po výstupu firmy a nabídka vstupu pro firmu za dokonalé konkurence

Pro nás nejdůležitějším předpokladem o dokonalé konkurenci je, že výrobce, stejně jako ostatní aktéři trhu, je příjemcem cen. Na trhu produktu nabízí vždy dostatečně malou část z poptávaného množství, aby snížením svého výstupu y nemohl zvýšit tržní cenu. Poptávka po

y , které čelí, je tak horizontální přímkou p p∗= a je nekonečně elastická. Zvýší-li cenu

p p∗> , neprodá nic, sníží-li cenu na p p∗≤ , prodá cokoli, co je schopen a ochoten při dané

ceně vyrobit. Na trhu vstupu poptává opět dostatečně malou část z nabízeného množství, aby změnou kupovaného množství nemohl měnit tržní cenu w∗ , Potom nabídka iz , které čelí, je

horizontální přímkou w w∗= a je nekonečně elastická: za cenu w w∗≥ může mít každé množství vstupu, které je schopen koupit, za w w∗< nekoupí nic. Druhou podmínkou, je dokonalá informovanost. Ta zaručuje, že každý ekonomický aktér bude mít volně k dispozici informace o cenách a technologiích. Proto bude každá firma vyrábět s využitím stejné technologie, jako kterákoli další firma v odvětví, a nakupovat při w w∗= . Stejně tak všichni spotřebitelé budou nakupovat statky za tržní ceny p∗ . Další důsledky má dokonalá informace pro rozhodování firem v čase. Vznikají tak otázky spojené s očekáváním firem a vedou k zajímavé diskusi o rovnováze na trhu. Proto se jí budeme zabývat v souvislosti s rovnováhou na dokonale konkurenčním trhu. Dalším požadavkem je volný vstup do odvětví a volný výstup z odvětví. Vzhledem k již zmíněnému předpokladu dokonalé informace neexistují překážky informační povahy. Proto nám tento požadavek volného vstupu zejména zaručuje, že neexistují žádné administrativní překážky ze strany orgánů státní správy, nebo zákonů, ani překážky cílené vůči firmě ze strany ostatních firem v odvětví, které by bránily volnému vstupu do odvětví a výstupu z odvětví. Společně s dokonalou informací to znamená, že v dlouhém období se může volně přelévat kapitál tam, kde je jeho největší zhodnocení. Kromě toho se občas zmiňují jako předpoklady dokonalé konkurence i nám již známe předpoklady maximalizace zisku a homogenity produkce. Předpoklad homogenity produkce zajišťuje, že produkty jednoho odvětví vyráběné různými výrobci jsou kvalitou natolik identické, že z hlediska spotřebitele jsou dokonalými substituty při MRTS 1= . Proto neexistuje důvod k tomu, aby za výrobek jedné firmy zaplatil kupující jinou cenu, než za obdobný výrobek kterékoli další firmy z téhož odvětví. Předpokladem maximalizace zisku jsme se již zabývali dříve. Proto zde nepotřebuje žádný komentář.

12.1. Nabídka v dlouhém období

Pokud opět předpokládáme, že některé vstupy vyžadují určitý čas ke svému přizpůsobení plánům firmy, zatímco jiné lze měnit bezprostředně, dostáváme opět dva typy rozhodnutí, které firma musí přijmout o vyráběném množství výstupu v každém okamžiku. Na počátku období 0 firma zvolí: (a) plánované množství výstupu pro období 1 při minimalizovaných nákladech dlouhého období ( )C y w, (b). množství výstupu pro období 0 při minimalizovaných nákladech krátkého období

( )kC y w z, ,

První krok k maximalizaci zisku firmy v obou obdobích jsme udělali v kapitole 11. Tam jsme odvodily nákladové funkce pro obě období. Teď si ukážeme jaké množství výstupu y je řešením druhého stupně problému maximalizace zisku. A toto množství budeme hledat v této podkapitole pro bod (a) a tedy v dlouhém období. V příští podkapitole se zaměříme na bod (b) a tedy krátké období.

Co je zisk jsme si již vysvětlili v kapitole 11. Protože zisk je nejvýznamnější kategorií teorie výrobce, neuškodí nám zopakovat si jeho definici:

Def.: Zisk je rozdílem mezi celkovými příjmem a celkovými náklady firmy:

1

TR TCn

i ii

py w z=

Π = − = − .∑

Protože nákladům jsme věnovali celou kapitolu, měli bychom alespoň chvilku věnovat příjmu firmy.

12.1.1 Příjmová funkce:

Def.: Celkový příjem (TR) firmy je součtem hodnot všech prodejů. Závislost TR na měnícím se výstupu y vyjadřuje příjmová funkce firmy R(y). Pokud cenu výstupu označíme p, můžeme ji psát jako ( ) ( )R y p y y= ⋅ .1

V případě dokonalé konkurence, kdy cena je pro výrobce parametrem a nemění se s nabízeným y , má příjmová funkce podobu 2 ( )R y p y= ⋅ ,

kde p je konstanta. Jejím grafem je přímka TR jdoucí z počátku. Její sklon je roven p pro

všechna y . To znamená, že sklon TR ,, + kterému říkáme mezní příjem, a poměr TRy kterému

říkáme průměrný příjem, budou za dokonalé konkurence navzájem shodné a konstantní pro všechna y : MR( ) AR( )y y p= = . Obrázek 12.2: Celkový, mezní a průměrný příjem firmy

Def.: Mezní příjem (MR) je přírůstek příjmu firmy z dodatečné prodané jednotky výstupu. Lze ho odvodit z příjmové funkce firmy R(y) jako míru jakou roste R se změnou výstupu y:

( )

MRdR y

dy=

Mezní příjem tedy můžeme obecně spočítat jako:

( )

0

( )( ) ( )MR ( )

d p y ydR y dp yp y y

dy dy dy=

⋅= = = + ⋅ .

���

Protože za dokonalé konkurence je ( )p y konstantní v y , je ( )p y p= . Proto je poslední člen rovnice roven nule. Z toho vidíme, že za dokonalé konkurence je mezní příjem MR p= .

1Funkce ( )p y bývá někdy označována jako inverzní poptávka 1( )p D y−= . 2 tj. ( ) 0dp y

dy =

Def.: Průměrný příjem (AR) je podíl příjmu firmy a prodaného množství výstupu:

TR ( )

ARR y

y y= =

Odtud dostaneme:

( ) ( )

AR ( )R y p y y

p yy y

⋅= = = ,

To v případě dokonalé konkurence opět znamená, že AR p= .

12.1.2 Zisk při minimalizovaných nákladech

Protože minimalizace nákladů je nutnou podmínkou maximalizace zisku, budeme za celkové náklady dosazovat minimalizované náklady na výrobu y při platných cenách w . Závislost minimalizovaných nákladů na cenách a výstupu popisuje nákladová funkce ( )C w y, , kterou jsme již odvodili. Problém maximalizace zisku

1 1 11

max ( ) za podmínek ( ) 0 0 1n

n

y z … z i i niR y w z y f z … z y z i … n, , , =

Π = − : ≤ , , ≥ ≥ , = , ,∑

lze přepsat při minimalizovaných nákladech jako hledání maximálního rozdílu příjmové funkce ( )R y a nákladové funkce ( )C w y, :

max ( ) ( ) 0y

R y C w y yΠ = − , ; ≥

Za dokonalé konkurence, kdy je cena p nezávislá na chování jednotlivých výrobců bude mít tento problém podobu: max ( ) 0

ypy C w y yΠ = − , ; ≥ ,

Takto definovaný zisk Π je pro konstantní p a w funkcí jedné proměnné y a lze ji graficky odvodit jako vertikální rozdíl mezi přímkou TR zakreslující ( )R y a křivkou LTC zakreslující

( )C w y, pro konstantní w : ( ) ( ) LTC( ) LTC( ) 0y R y y p y y yΠ = − = ⋅ − ; ≥

Nyní nás bude zajímat, zda maximum této funkce vůbec existuje. Obrázek 12.3:Existence maxima zisku za dokonalé konkurence

12.1.3 Existence maxima zisku*

Z obrázků 12.3.(1) a 12.3(2), lze vyčíst, za jakých okolností si můžeme být jisti, že existuje

maximum zisku za dokonalé konkurence. Zatím co v obrázku 12.3.(1) roste zisk nade všechny meze, v obrázku 12.3(2) existuje bod, ve kterém je rozdíl mezi příjmy a výdaji největší pro všechny hodnoty y – maximum zisku. Abychom měli jistotu, že v nějakém y∗

existuje maximum funkce ( )yΠ , musí být ( )yΠ od nějakého 0y počínaje ryze konkávní a klesající funkcí y .

0 2

0 02

( ) ( )0 0

d y d yy y y

dy dy

Π Π∃ :: ≤ ∧ ∀ > : <

Protože 0 0 0( ) ( ) LTC( ) 0LMC( )d y dR y d y

dy dy dyp yΠ = − = − , znamená podmínka

0( ) 0d y

dy

Π ≤ , že pro nějaké y0

nejsou mezní náklady LMC menší než cena p (tj. 0LMC( )p y≤ ) a proto přírůstek zisku není kladný. Navíc LMC dále rostou ,a proto už nikde dále nemůže zisk začít opět růst, jestliže pro všechny y>y0 platí:

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) LTC( ) LMC( )0 0

LMC( )0

d y d R y d y d y

dy dy dy dy

d y

dy

Π = − = − <

> ,

Můžeme říci, že maximum ( )y ∗Π = Π vždy existuje, pokud existuje 0y takové, že mezní

náklady LMC 0( )y p≥ a pro všechna 0y y> budou mezní náklady LMC( )y rostoucí funkcí y . Pokud tyto dvě podmínky nejsou splněny, nejspíš se nejedná o dokonale konkurenční firmu. Potom růst výstupu při maximalizaci zisku zastaví až omezení poptávkou po výstupu.

Příklad 12.1: Uvažujme nákladovou funkci: LTC( ) 200 1100 ln( 1)y y y= + ⋅ + a cenu p = 300. Tato funkce je určitě konkávní a proto pro ní nemůže existovat maximum zisku pro žádnou cenu. Ukážeme si ale na ní, že existenční podmínky maxima pro ní nebudou splněny. Aby existovalo maximum zisku, musí existovat y0, pro které:

(1) !

00

1100300 200+ =LMC( )

1p y

y= ≤

+. Protože y0 > 0, bude to:

0

0

0

0

1100100

1

100( 1) 1100

1 11

10

y

y

y

y

≤+

+ ≤+ ≤

≤

(2) ( )

0

2

LMC( ) 11000

1

d y y

dy y

> = − >+

.

Tato podmínka nebude splněna pro žádné y∈�. Výstup y=10 je tedy minimem zisku na y.

Proto za dokonalé konkurence pro tyto LTC( )y a pro tuto cenu p nebude existovat maximum

zisku Π*.

12.1.4 Maximalizace zisku v dlouhém období

Protože nelze vyrábět záporný výstup, musí být při maximalizaci zisku splněna podmínka 0y ≥ . To znamená, že 0y = tvoří dolní hranici přípustné množiny a (0)Π je hraniční bod

funkce ( )yΠ . Uvažujme nyní zvlášť vnitřní maximum ∗Π , ležící uvnitř přípustné množiny

0y > a zvlášť hraniční maximum 0Π ležící v bodě 0y = . Obrázek 12.4: Maximalizace zisku

Jak je patrné z obrázku (a), svého vnitřního maxima nabývá funkce ( )yΠ pro y∗ , kde dodatečná jednotka y nepřináší žádný přírůstek zisku, tj. mezní zisk

M ( ) 0yy

∗ ∆ΠΠ = = .∆

To zaručuje podmínka prvního řádu

(1) * *

*( ) LTC( )LMC(y ) 0

d dR y d yp

dy dy dy

Π = − = − = .

To znamená, že pro 0y > bude firma volit takové *y , kdy se cena p právě rovná mezním nákladům LMC, což si lze ověřit na obrázku 12.4b). Jak je ale patrno, není to podmínka postačující, protože kromě y∗ je splněna i bodem 1y , kde 1( )yΠ je minimem ( )yΠ .

Podmínka prvního řádu nám umožňuje pouze najít vnitřní lokální extrém funkce Π . Potřebujeme vědět, že další vyrobené jednotky by výrobci už jen snižovaly celkový zisk. To znamená, že následující jednotka y přináší záporný přírůstek zisku (M ( 1) 0y∗Π + < ) a

předchozí jednotky kladný přírůstek zisku(M ( 1) 0y∗Π − > ). Jinými slovy, přírůstky zisku jsou klesající v y:

M ( )

0y

y

∗∆ Π <∆

a zisk je ryze konkávní funkcí (viz obrázek 12 4a). To nám zaručuje podmínka druhého řádu:

(2) 2

2

( )0

d y

dy

∗Π <

Protože:

�

2 2 * 2 * *

2 2 2

0

( ) ( ) LTC( ) LMC( )d y d R y d y dp d y

dy dy dy dy dy

∗

=

Π = − = − ,

říká podmínka (2), že mezní náklady musí být rostoucí:

*LMC( )

0d y

dy>

To znamená, že pro 0y > bude firma volit y∗ pouze na rostoucí části křivky mezních nákladů LMC ( )y . Obrázek 12.5: Produkční funkce a zisk

Podmínky (1) a (2) jsou postačující pro existenci vnitřního lokálního maxima ∗∗Π v y** , ale nemusí být postačující k nalezení optimálního y∗ . A to hned ze dvou důvodů. Prvním důvodem je, že takových vnitřních lokálních maxim může být více. Konkávnost, resp. konvexnost, funkce Π je dána konvexností, resp. konkávností, nákladové funkce. Protože jsme neomezili produkční funkci takovým způsobem, aby nákladová funkce nemohla přecházet z konvexního do konkávního tvaru více než jednou, můžeme najít i více různých y ,

pro která ( )yΠ jsou lokálními maximy ∗∗Π a splňují podmínky (1) a (2) (viz obrázek 12 5). Pokud by existovalo více takových vnitřních lokálních maxim, pak by nám nezbývalo než porovnat hodnoty ( )yΠ v těchto bodech. Lokální maximum s nejvyšší hodnotou ( )yΠ bude

vnitřním maximem ( )y∗Π .

Obrázek 12.6: Rohové řešení maximalizace zisku.

Druhý důvod je, že i ve vnitřním maximu může být zisk záporný. Pak zde stále existuje alternativa nevyrábět a dosahovat nulového zisku. To znamená, že v dlouhém období bude vnitřní maximum v y∗ globálním maximem, pouze pokud ( ) 0y∗Π ≥ .3 Pokud by pro jakýkoli rozsah výroby firma dosahovala ztrátu ( ( ) 0, 0y yΠ < ∀ > ), pak je při

nulových nákladech přizpůsobení všech vstupů lepší nevyrábět a při výstupu 0y∗ = je maximální zisk: (0) 0Π = . Bod 0y = je hraničním bodem zisku Π jako funkce y . V něm nemusí platit podmínky prvního ani druhého řádu. Co víme určitě, je, že má-li být 0y = alespoň lokálním maximem, musí zisk klesat s první vyrobenou jednotkou výstupu:

(0) LMC(0)

M (0) 0d d

pdy dy

ΠΠ = = − < .

Z toho je zřejmé, že p < LMC (0) .4 Rozdíl průměrného příjmu AR=p a průměrných nákladů AC(y) je průměrný zisk.

Proto maximalizovaný zisk.5 najdeme v obrázku 12.4.(b) jako plochu obdélníka ( AC( ))y p y∗ ∗⋅ − = y∗ ⋅AΠ(y*). Jeho obsah je roven součtu mezních zisků MΠ(y*) od 0y = do

y y∗= . Příklad 12.2: Uvažujme firmu za dokonalé konkurence, která má v dlouhém období stejnou

3 2( ) 2( ) 30( ) 150LTC y y y y= − + , jakou jsme zkoumali v příkladu 11.6. Jaké množství výstupu by firma nabídla za cenu p=6?

3 při ( ) 0y∗Π = bude firma, vzhledem na ekonomickou charakteristiku nákladů jako nákladů příležitosti, ještě

vyrábět 4 Abychom nalezli všechna lokální maxima (tj. vnitřní i vnější), musí podmínky prvního řádu mít podobu

podmínek komplementarity: ( ) ( )LMC( ) 0 0 ( LMC( )) 0y y

y yp y y y p y y

∗∗ ∗∗∂Π ∂Π∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗∂ ∂= − ≤ ∧ ≥ ∧ ⋅ = − ⋅ = a

podmínka druhého řádu : LMC( ) 0d y

dy

∗∗

> , musí být splněna pro každé 0y∗∗ > , v němž nabývá Π(y) vnitřního

lokálního maxima ∗∗Π . Které z těchto lokálních maxim je globálním maximem, lze však zjistit pouze jejich vzájemným porovnáním. 5 respektive minimalizovanou ztrátu pro lokální maxima zisku.

1)Pro každé maximum nebo minimum Π(y) = LTC( )p y y⋅ − musí platit:

* * 2 *

* 2 *

* 2 *

LMC( ) 6( ) 60 150 6

6( ) 60 144 0

( ) 10 24 0

y y y p

y y

y y

= − + =− + =

− + =

!

=

Odtud dostaneme:*1,2

610 100 4 24 10 2

42 2y

± − ⋅ ±= = = ⟨

2) Každé lokální maximum Π(y) musí navíc vyhovovat podmínce

*

*

*LMC( ) 12 60 0

5

d y

dyy

y

= −

>

!

>

A to splňuje pouze * 6y = . V 4y = dosahuje Π(y) svého minima a proto pro y < 4 bude Π(y) klesající v y. 3) Protože Π(y) je klesající v y.a platí omezení 0y ≥ , bude v 0y = hraniční maximum Π(y).

O výstupu 0y = víme, že Π(0) =0. Proto * 5y > bude globálním maximem, pouze pokud: * 0 *

* 2 *

LMC( ) LAC( )

6 2( ) 30 150

y p p y

y y

= ≥ =≥ − +

Protože 2LAC(6) 2 (6) 30 6 150 42= ⋅ − ⋅ + = nebude při ceně p = 6 podmínka 0p p≥ splněna

pro žádné 0y > . Bude existovat jediné globální hraniční maximum zisku * 0y = . Z příkladu 11.6 víme, že nejnižší výstup y pro který platí: LMC( ) LAC( )y y≥ je 7.5y = . Potom nejnižší cena, při které bude v dlouhém období firma ještě ochotná vyrábět, je

LMC(7.5) LAC(7.5) 37.5p = = = . Nabízený výstup by potom byl* 0 7.5y y= = Obrázek 12.7: Nabídková křivka.

12.1.5 Nabídka a nabídková křivka:

Podmínkám prvního a druhého řádu pro vnitřní maxima je možné dát následující interpretaci.

Protože z 0ddyΠ = plyne p = LMC ( )y∗ a z

2

2 0ddy

Π < plyne LMC( ) 0d ydy

∗

> , pro různé hodnoty p

bude nabízené množství y∗ ležet na křivce LMC tam, kde jsou LMC rostoucí v y . Navíc

jsme si ukázali, že v dlouhém období může být 0y∗ > pouze pro ( ) 0y∗Π ≥ , tj.

TR( )y∗ ≥ LTC( )y∗ . Proto také nejnižším výstupem, který bude firma ochotna vyrábět bude y, pro které:

LMC( )

LMC( ) 0 TR( ) LTC( )d y

y p y ydy

= ∧ > ∧ = ,

Je-li TR( )y = LTC ( )y , je i TR LTCy y/ = / , a tedy LAC( )p y= . Protože v optimu se i LMC ( )y musí rovnat p na rostoucí části křivky LMC, bude hledaným výstupem takové y , pro které LMC( ) LAC( )y y= a LMC protíná LAC zdola. Už víme, že tyto podmínky splňuje

y , pro které LAC( )y nabývají svého minima. V našem obrázku je to 0y pro cenu 0p .

0 0

0 0 0 0 0TR( ) LTC( )MR( ) AR( ) LAC( ) LMC( )

y yp y y y y

y y= = = = = =

Je to bod, kde končí úspory z rozsahu, a s rostoucím y už nelze snížit náklady na jednotku y .

Pokud pro tento výstup 0y nepokryje cena za jednotku minimalizované náklady na výrobu

jedné jednotky y , nepokryje je nikde, a tedy je lepší zanechat výroby. Proto 0y nazýváme minimální efektivní rozsah výroby. Část LMC, která leží nad LAC se proto nazývá nabídková křivka dokonale konkurenční firmy v dlouhém období. Pro 0p p< je tato křivka shodná s vertikální osou a dána rovnicí 0y = . Jak ukazuje obrázek 12.7, bude nabídka ( )S p nespojitá

v bodě 0p , kde nabídka přeskakuje z * 0y = na * 0y y= . Takováto nespojitost nenastane, pokud je nákladová funkce ryze konvexní pro všechna 0y > (viz obrázek 12.8). Obrázek 12.8: Nabídková křivka při ryze konvexní nákladové funkci.

Def.: Nabídka výstupu v dlouhém období: y* = Sy(p) je funkce, která při LTC(y) každé ceně výstupu p přiřazuje množství výstupu dokonale konkurenčního výrobce y*, které maximalizuje jeho zisk při ceně p.

Nabídka je pro konstantní ceny wdefinována jako množství výstupu které závisí na ceně výstupu p :

* ( )yy S p= . LMC, stejně jako LTC, jsou funkcí y a tak z podmínky prvního řádu dostáváme naopak tvar.

*LMC( )p y= . Protože místo * ( )y S p= dostáváme *LMC( )p y= , hovoříme o LMC( )y nad minimem LAC jako o inverzní nabídkové funkci: * 1 * 1LMC( ) ( ), a tedy ( ) LMC ( )y yp y S y y S p p− ∗ −= = = = .

Za těchto okolností je zřejmé, že má-li LMC( )y kladný sklon, bude ho mít i ( )yS p . Proto

bude nabídka rostoucí v ceně p. Vzhledem k tomu, že mohou existovat ceny p, pro které platí: LMC( ) LAC( )p y y≤ < ,

kdy pro malou změnu ceny p zůstane stále výstup * 0y = , a tedy

( )

0ydS p

dp= ,

můžeme s jistotou tvrdit pouze, že nabídka *y je neklesající v ceně p . Formálnější analýzou vlivu změn ceny výstupu a cen vstupů na nabízené množství se budeme zabývat v podkapitole 12.3.

Příklad 12.3: Uvažujme firmu za dokonalé konkurence, která má v dlouhém období stejnou

3 2( ) 2( ) 30( ) 150LTC y y y y= − + , jakou jsme zkoumali v příkladech 11.6 a 12.2.

a) Určete její nabídkovou křivku (inverzní nabídku): 1 *( )yp S y−=

b) Odvoďte nabídku dlouhého období:* ( )yy S p=

Ad a): Pro 0y y≥ ji bude tvořit křivka LMC(y). Pro 0y y< ji bude tvořit přímka 0y = . Z příkladů 11.6 a 12.2 víme, že: 1) podmínku 0 0min LAC( ) LAC( ) LMC( )y y y= = splňuje pouze 0 7.5y = ,

2) 2LMC( ) 6( ) 60 150y y y= − + .

Potom pro 7.5y ≥ bude nabídková křivka: 26( ) 60 150p y y= − + , pro 7.5y < bude nabídková křivka shodná s vertikální osou p.

Ad b): Pro 0p p≥ bude * 1( ) LMC ( )yy S p p−= = , pro 0p p< bude * ( ) 0yy S p= = .

Z příkladu 12.2 víme, že: 0 0min LAC( ) LAC( ) LAC(7.5) 37.5p y y= = = =

Z * * 2 *LMC( ) 6( ) 60 150p y y y= = − + dostaneme * ( )yy S p= jako:

* 60 3600 4 6 (150 ) 2 900 900 660( ) 5

12 12 12 6y

p p py S p

+ − ⋅ ⋅ − − += = = + = + .

Potom pro 37.5p ≥ bude nabídka dlouhého období: ( ) 5 6yS p p= + , pro

37.5p < bude nabídka dlouhého období ( ) 0yS p = .

12.2 Nabídka a maximalizace zisku v krátkém období

Známe nákladovou funkci krátkého období. Například pro jeden fixní vstup ji můžeme psát 2( )C w y z, , . Pro konkrétní množství fixního vstupu a stálé ceny ji můžeme vyjádřit

křivkou STC která minimalizuje náklady na každou požadovanou úroveň výstupu y : 0 0

2( ) STC( )C w y yz, , = Proto maximalizaci zisku v krátkém období lze psát jako volbu výstupu 0y ≥ , který maximalizuje rozdíl mezi příjmy TR a minimalizovanými výdaji STC. max STC( )

ypy yΠ = − za podmínky 0y ≥ .

Podmínky prvního řádu které musí platit v bodě maxima zisku jsou podobné jako v dlouhém období

(1) SMC( )p y∗= pro 0y∗ > , SMC( )p y∗≤ pro 0y∗ = .

tj. pro vnitřní maximum budou SMC( )p y∗= . Pro hraniční maximum nesmí být p větší než SMC, protože pak by rostl zisk s první vyrobenou jednotkou a v 0y = by nebylo ani lokální maximum zisku. 6 Podmínka druhého řádu se opět týká jen vnitřního optima:

(2) SMC

( ) 0 pro 0d

y ydy

∗ ∗> >

To znamená, že mezní náklady jsou rostoucí v bodě optima. Proto protínají cenu p zdola, a tak další jednotka y by vyvolala snížení zisku. Celkové maximum při větším množství lokálních maxim můžeme ale opět zjistit pouze jejich vzájemným porovnáním. Obrázek 12.9 Maximalizace zisku v krátkém období.

Graf ( )yΠ bude opět vertikálním rozdílem křivek TR( )y a STC( )y , ale, jak je patrné z

obrázku 9, protože výrobce už vynaložil peníze na 02z , bude (0) 0Π < . Pro 0y∗ > tak může

být v krátkém období maximalizované Π (y*) i záporné, pokud: 0

220 ( ) (0) FC( )y y w z∗≥ Π ≥ Π = − = − .

Pokud by však cena nepokryla při žádné úrovni výstupu y ani celé variabilní náklady, tedy pokud by byly VC( ) TR( )y y> ,

a tedy

6 O pět je můžeme vyjádřit souhrnně pomocí komplementárních podmínek optima:

SMC( ) 0 ( SMC( )) 0p y y p y y∗ ∗ ∗ ∗≤ ∧ ≥ ∧ − ⋅ =

VC( ) TR( )

AVC( )y y

y py y

= > = ,

firma by zvolila výstup 0y = , protože by se tím vyhnula ztrátě větší, než jsou její fixní náklady. Ztráta by navíc rostla s každou další vyrobenou jednotkou produkce. To znamená, že firma nikdy nebude vyrábět za cenu, která je nižší než minimum průměrných variabilních nákladů. To je čistá analogie s minimem LAC v dlouhém období. SAC tak mohou být důležité pro finanční hospodaření firmy, ale jsou zcela nepodstatné pro rozhodování o výstupu y v krátkém období, protože průměrné náklady příležitosti použití fixních vstupů jsou nulové. Jsou pro firmu “zapuštěnými náklady.” Byly už jednou vynaloženy a budou využity, pokud umožní zhodnotit další náklady vložené do výroby. Z toho titulu se minimum AVC někdy nazývá bod uzavření firmy, zatímco minimu SAC se říká bod vyrovnání (příjmů a nákladů). Pro 0 min AVCp p≥ = bude v krátkém období nabídková

křivka firmy SS ( )y p shodná s křivkou SMC nad minimem AVC. Pro 0p p< bude nabídková

křivka * 0y = a konstantní v p. Pokud je minimum AVC jinde, než v 0 0y = , bude SS( )y p

nespojitá v 0p p= . Def.: Nabídka výstupu v krátkém období: y* = SSy(p) je funkce, která při STC(y) každé ceně

výstupu p přiřazuje množství výstupu dokonale konkurenčního výrobce y*, které maximalizuje jeho zisk při ceně p

Příklad 12.4: Uvažujme firmu za dokonalé konkurence, která má v krátkém období celkové náklady

2STC( ) ( ) 30 400y y y= + + , kde 2( ) 30 VC( )y y y+ = a FC( ) 400y = .

a) Jaký výstup y0 a jaká cena p0 bude bodem uzavření firmy?

b) Určete nabídku firmy v krátkém období SS( )y p a zjistěte, zda je spojitá v p:

b) Najděte bod vyrovnání příjmů a nákladů.

Ad a): Opět pro 0p p≥ bude * 1( ) SMC ( )yy SS p p−= = , pro 0p p< bude * ( ) 0yy SS p= = .

Protože SMC( ) 2 30y y= + a AVC( ) 30y y= + , bude SMC( ) AVC( )y y> pro všechna

y > 0. Protože 0SMC(0) AVC(0) 30 p= = = , bude v bodě uzavření firmy výstup y0 = 0 při ceně p0 = 30.

Ad b): Protože SMC( ) 2 0d y

dy= > pro všechna y ≥ 0, výstup, který splňuje podmínku:

p = SMC(y*), bude rovnou lokálním maximem zisku. Potom z * *SMC( ) 2 30y y p= + = dostaneme:

pro: 0 30p p≥ = bude * ( ) 152y

Py SS p= = − ,

pro 0 30p p< = bude * ( ) 0yy SS p= = .

Protože pro 30p ≥ je ( ) 152y

PSS p = − spojitá v p a pro p = 30 se 15

2

P − = 0, stačí

ukázat že: *

30lim ( 0) 0

py

−→= =

Ad c) Protože podmínkou vyrovnání R(y*) a STC(y*) je rovnost * *SMC( )a AVC( )y y a * 0y ≥ , bude v bodě vyrovnání:

* **

* 2

* *

4002 30 30

( ) 400

20 2 20 30 70

y yy

y

y p

+ = + +

== ⇒ = ⋅ + =

12.2 1 Vztah mezi nabídkou v dlouhém a v krátkém období

Už víme, že v našem zjednodušeném problému na začátku každého období přijímá firma dvě rozhodnutí: a) V závislosti na skutečné ceně t

sp v tomto období volí skutečné množství výstupu tsy . To

maximalizuje zisk v období t při daných omezeních na přizpůsobení vstupů, a tedy při dané nákladové funkci ( )kC w y z, , .

b) V závislosti na očekávané ceně výstupu pro příští období 7 1tpp + plánuje množství výstupu

1tpy + . To maximalizuje zisk pro následující období t+1, pro které jsou v současném období

všechny vstupy plně variabilní, a tedy nákladová funkce je ( )C w y, . Pro jednoduchost

budeme uvažovat pouze dva vstupy, z nichž jeden (1z ) zastupuje variabilní a druhý (2z ) fixní

vstupy. Obrázek 12.10: Nabídka v krátkém a v dlouhém období

Uvažujme, že ve výchozím období 0t = má firma určitou velikost výrobního zařízení, která je dána množstvím fixního vstupu. Množství 0

2z určuje i nákladové křivky SMC0 a SAC0 .

Proto v období 0t = maximalizuje firma svůj zisk tím, že vyrovnává mezní náklady SMC0 a 0sp a vyrábí 0

sy . Firma současně plánuje výstup pro období 1 1t + = . Protože v tomto případě

lze měnit 2z , budou příslušné nákladové křivky LMC a LAC. Na počátku období 0 firma

očekává, že cena produkce v období 1 bude 1pp , a proto plánuje výstup1

py , který

7 Do rozhodovacího procesu by určitě vstoupila i úroveň současných ( t

sw ) a předpokládaných ( 1tpw + ) cen vstupů,

ale pro jednoduchost zatím předpokládejme, že ceny vstupů jsou stálé.

maximalizuje zisk v dlouhém období při ceně výstupu 1pp (tj. LMC 1

pp= ). Z plánovaného

výstupu 1py vyplývá příslušné množství 1

22z z= , které musí firma instalovat v průběhu

období 0, aby bylo k dispozici na začátku období 1. Toto výrobní zařízení 12z dá vzniknout

nákladovým křivkám SMC1 a SAC1 . Předpokládejme, že: a) 1 1

s pp p= (tj. předpokládaná cena je skutečnou cenou). Potom 1sy bude shodné s 1py , protože

1 1 1 1SMCs pp LMC p= = = ,

což znamená, že pro výrobu 1sy je úroveň instalovaného zařízení skutečně optimální.

b) 1 1s pp p≠l , například 1 1

s pp p>l v našem obrázku. Potom bude firma maximalizovat zisk tím,

že zvolí 1sy l takové, při kterém se SMC1 1

sp= l . Je zajímavé si uvědomit, že sice 1sy l bude vyšší

než 1py , protože i 1 1

s pp p>l (viz vlastnosti nabídky), ale bude menší, než kdyby firma v období

0 správně odhadla cenu pro období 1 a zvolila takovou velikost výrobního zařízení 2z

pro výstup 1py l , která maximalizuje zisk při této ceně. Analogicky, pro 1 1

s pp p< by firma

v období 1 zvolila sice nižší skutečný výstup než byl plánovaný, ale pořád vyšší než kdyby tuto nižší skutečnou cenu očekávala už v období 0. Závěrem této analýzy je, že mezní náklady dlouhého období a očekávaná cena určují plánovaný výstup, a tedy i skutečné výrobní zařízení pro další období. Mezní náklady krátkého období a skutečná cena určují skutečný výstup v každém období. Skutečné výrobní zařízení zvolené na základě plánovaného výstupu odkazuje firmu k určitým nákladovým křivkám, ale ne k určité úrovni výstupu. Vztah mezi skutečnými a plánovanými veličinami lze vyjádřit následujícím schématem:

2

rozhodovací proces v období t 1

1 1 112

rozhodovací proces v období t

SMC

SMC

t t ttp p

ts

ts

t t ttp p

p y z

y

p

p y z

−

+ + ++

→ → →

? → → → →

�������������

↘

↗

↘

�����������������

Jak je patrné, nelze předvídat skutečné chování firmy, aniž bychom se zajímali o to, jakým způsobem si firma vytváří svá očekávání o budoucích cenách. Ve schématu je naznačeno, že by v tom mohly hrát roli i současné ceny. 12.3 Komparativní statika maximalizace zisku*

Vraťme se teď na chvíli zpět k maximalizaci zisku v dlouhém období. Cena výstupu p a ceny vstupů w jsou za dokonalé konkurence jediné dva ekonomické parametry pro rozhodování výrobce. Pokud nás zajímá, jak jejich hodnoty ovlivňují nabízený výstup y*, skutečně poptávaná množství vstupů z* nebo maximalizovaný zisk Π*,musíme zvolit obecnější přístup.

12.3.1 Odvození nabídkové funkce, marshallovských poptávek a ziskové funkce:

V maximalizaci zisku jsme pro vyjádření minimalizovaných nákladů místo STC(y) mohli použít nákladovou funkci C(w,y) a obecná čísla p a w pro cenu výstupu a ceny vstupů:

max ( , , ) ( ) 0y

p w y p y C w y yΠ = ⋅ − , ; ≥

V důsledku toho v podmínkách prvního řádu místo *STC( )*SMC( ) d y

dyy = dostaneme mezní náklady

jako parciální derivaci nákladové funkce: ( )LMC( ) C w y

yy w

∗∂ ,∗∂, = . Podmínky prvního a druhého

řádu pro vyráběný výstup 0y∗ > pak budou:8

(1) ( , , ) ( )

0p w y C w y

py y

∗ ∗∂Π ∂ ,= − =∂ ∂

(2) 2 2

2 2

( , , ) ( )0

p w y C w y

y y

∗ ∗∂ Π ∂ ,= − <∂ ∂

2

2

( ) ( )0

LMC w y C w y

y y

∗ ∗∂ , ∂ ,= >∂ ∂

Řešením rovnice (1) pro y*, pro které je splněna podmínka (2) dostaneme nabídkovou funkci dokonale konkurenčního výrobce y(p,w)

Def.: Nabídková funkce y(p,w) přiřazuje každém vektoru cen výstupu a vstupů (p,w) právě jednu hodnotu množství výstupu dokonale konkurenčního výrobce y*, která maximalizuje jeho zisk při cenách (p,w).

* ( )y y p w= ,

V kapitole 11 jsme odvodily funkce, které cenám vstupů w a každé hodnotě výstupu y, bez ohledu na to, zda je to výstup, který maximalizuje zisk, nebo nějaký jiný, přiřazovaly poptávané množství určitého vstupu * ( )i iz z w y= , . Nazvali jsme je podmíněné poptávky,

protože jejich výběr množství vstupu *iz byl podmíněn výběrem příslušného množství

výstupu y. Proto skutečně poptávaná množství vstupů *iz dostaneme tak, že do podmíněných

poptávek ( )iz w y, dosadíme za y nabízené množství y*(tj. * *( )i iz z w y= , ). Pokud bychom

místo konkrétního množství výstupu y* dosadili nabídkovou funkci * ( )y y p w= , , dostaneme skutečně vybrané poptávky po vstupech, která maximalizují zisk výrobce jako funkce ceny výstupu p a cen vstupů w: ( )* ( ) ( )i i iz z w y p w z p w= , , = , ,

a nazýváme je marshallovské poptávky po vstupech. Marshallovské poptávky tak budou totožné s podmíněnými jen v tom případě, že požadované 0y z podmíněných poptávek

0( )iz w y, je právě ( )y y p w∗ = , .

Def.: Marshallovská poptávka po vstupu zi(p,w) přiřazuje každém vektoru cen výstupu a vstupů (p,w) právě jednu hodnotu množství vstupu *iz , která maximalizuje zisk dokonale

konkurenčního výrobce při cenách (p,w). * ( )i iz z p w= ,

Pokud známe nabídkovou funkci a marshallovské poptávky po vstupech, můžeme snadno odvodit i maximalizovaný zisk Π* dokonale konkurenčního výrobce jako funkci cen p a w: ( )* * *

1 1( ) ( ) ( ) ( )n ni i i i i ip y w z p y p w w z p w p wπ= =Π = ⋅ − Σ ⋅ = ⋅ , − Σ ⋅ , = ,

Protože ( )1 ( ) ( , )ni i iw z w y C w y=Σ ⋅ , = můžeme výraz ( )1 ( )n

i i iw z p w=Σ ⋅ , nahradit ( , ( , )).C w y p w

8 To znamená, že zároveň musí platit: p ≥ C(w,y*) / y*

* * *( , ). ( ) ( , ( , )). ( )p y C w y p y p w C w y p w p wπΠ = ⋅ − = ⋅ , − = ,

Tuto funkci π(p,w) budeme nazývat zisková funkce.

Def.: Zisková funkce ππππ(p,w) přiřazuje každém vektoru cen výstupu a vstupů (p,w) právě jednu hodnotu maximalizovaného zisku dokonale konkurenčního výrobce Π*, která představuje jeho nejvyšší dostupný zisk při cenách (p,w).

* ( )p wπΠ = ,

Příklad 12.5:

Uvažujme produkční funkci:1 2

3 31 2( ) 3 ( ) ( )f z z z= ⋅ ⋅ , podobnou té z příkladu 11.4 minulé

kapitoly:. Potom budou podmíněné poptávky1 2( ), ( )z w y z w y, , a nákladová funkci ( )C w y, :

( )2232

112

( )( )

3w

w

yz w y, = , ( )

1231

22

2( )( )

3w

w

yz w y, = , 2

3

1 223 3

1 2

( )( ) ( ) ( )

(2)

yC w y w w, = ⋅

a) Najděte nabídkovou funkci ( )y p w, .

b) Odvoďte marshallovské poptávky 1 2( ), ( )z p w z p w, ,

c) Odvoďte ziskovou funkci ( )p wπ , .

Ad a): Pro ( )y p w, musí být splněny podmínky optima:

1 2

3 323

23

1 213 3 3

1 * 21 2 1 1 2*1 2

(2)* *3 3 3 3 31 2 1 2

1 1 2**1 2 3 3 3

1 2

( ) ( ) ( )2

(1) LMC( , ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ,(2)

[(2) ( ) ( ) ]LMC( , )(2) (2) ( ) ( ) 0

y w wy

y w w w y w w py

y w wy ww w

y y

∂ ⋅ = = = =∂

∂∂ = = >∂ ∂

!

!

Protože pro kladné ceny w je podmínka (2) splněna pro všechna y>0, dostaneme z

podmínky (1) rovnou, že *

1 2

3 31 2

( , ) ,

(2 ) ( )

py y p w

w w

= =

Protože 131 1 2 1 2

* * * *3 3 3 3 31 2 1 2

(2)LMC( , ) (2) ( ) ( ) LAC( , ) ( ) ( ) 0

2y w y w w y w y w w= > = > pro y*>0,

bude pro všechny p>0 nabídka y*>0 a zároveň * ( , )y y p w=

Ad b): Protože ( )* ( ) ( )i i iz z p w z w y p w= , = , , dostaneme:

( )1 23 3

1 2

4 23 3

2

2 2(2 ) ( ) 32

11

1 22

( )( )

3 3 (2 ) ( )

p

w w w

w

pz p w

w w

, = =

⋅.

( )1 23 3

1 2

513 3

2

1 2(2 ) ( ) 31

22

1 2

2 ( )( )

3 3 (2 ) ( )

p

w w w

w

pz p w

w w

, = =

⋅

Ad c):

Dosazením z a) a b) do * * *1 1 2 2( , )p w py w z w zπ = − − dostaneme:

1 2 4 2 513 3 3 3 3 3

2 2

1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( )( , )

(2 ) ( ) 3 (2 ) ( ) 3 (2 ) ( )

p p pp w p w w

w w w w w wπ = − ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

: 1 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( )( , )

(2 ) ( ) 6 (2 ) ( ) 3 (2 ) ( )

p p pp w

w w w w w wπ = − −

⋅ ⋅

1 2 1 23 3 3 3

2 2

1 2 1 2

3 ( ) 1 ( )( , ) 1

6 2(2 ) ( ) (2 ) ( )

p pp w

w w w wπ = − =

Druhá možnost je využít nákladovou funkci a dosadit z a) do * *( , ) ( , )p w py C w yπ = − :

1 2 1 2 23 3 3 3 3

1 223 3

1 2

1 2 1 2

( ) ( )( , )

(2 ) ( ) (2 ) ( ) (2)

w wp pp w p

w w w wπ

= −

( ) ( )1 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3

2 22

1 2 1 2 1 2

( )( , )

(2 ) ( ) 2(2 ) ( ) 2(2 ) ( )

p ppp w

w w w w w wπ = − =

Nyní se můžeme zabývat obecnými vlastnostmi ziskové funkce, nabídkové funkce a marshallovských poptávek

12.3.2 Vlastnosti ziskové funkce

1) Zisková funkce ( )p wπ , je:

a) rostoucí v p , pokud 0y > a neklesající v p pro 0y ≥ ;

b) klesající ve jw , pokud 0jz > a nerostoucí ve jw pokud 0jz ≥ .

Je zřejmé, že z bodu b) vyplývá, že zisková funkce je nerostoucí v cenách w.

Důkaz 12.1: ad a) Pravdivost tohoto tvrzení je zřejmá, uvědomíme-li si, že i kdyby firma neměnila výrobní plán 0 0 0

1( )ny z … z∗ ∗ ∗, − , ,− , který maximalizuje zisk Π při cenách 0p , 0w , bude při 1 0p p p∆ = − rozdíl mezi novým „pasivním“ ziskem 1

0 ( )p′ ′Π a původním maximalizovaným

ziskem 0∗Π při stálých cenách 0 1w w w= =

1 0 1 0 0 0 0 0 0 00

1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1

( )

( )

n n

i i i ii i

n n

i i i ii i

p p y w z p y w z

p p y w z w z py

′ ′ ∗ = =

= =

′ ′∆ Π = Π − Π = − − − =

= − ⋅ + − = ∆ ,

∑ ∑

∑ ∑

který je určitě kladný pro kladné p∆ . Je-li ′ ′∆ Π kladné pro pasivní ziskovou funkci, bude ∗∆Π určitě kladné i pro výrobce, který má možnost měnit y a z tak, aby si zvýšil zisk.

Podobným způsobem bychom pro 0p∆ < dostali 0∗∆Π < . Můžeme shrnout, že pro 0y > je

( )

0p w

p

π∆ , >∆

a pro 0y ≥ je

( )

0p w

p

π∆ , ≥ .∆

ad b) Toto tvrzení můžeme dokázat analogicky. Pro 1 0 0j j jw w w∆ = − < bude

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00

1 1

0 0 0 0

( )n n

i i j j i ii i

j j j j

w p y w z w z p y w z

w z w z

′ ′ ∗ = =

∗ ∗

′ ′∆ Π = Π − Π = − − ∆ − − =

= Π − Π − ∆ = −∆ .

∑ ∑

Protože 0jw∆ < a 0 0jz > , bude

0 0j jw z′ ′∆ Π = ∆ > .

Má-li výrobce možnost navíc maximalizovat zisk změnou výstupu a používaných vstupů, bude tím spíš 0∗∆Π > . Podobným způsobem bychom pro 0jw∆ > dostali 0∗∆Π < . Můžeme

shrnout, že pro 0jz > je

( )

0j

p w

w

π∆ , <∆

a pro 0jz ≥ je

( )

0j

p w

w

π∆ , ≤ .∆

2) Změní-li se proporcionálně všechny ceny (například k -krát: 1 1 0 0( ) ( )p w kp kw, = , , kde k>0), změní se hodnota ziskové funkce ( )p wπ , ve stejné proporci (tj. maximalizovaný zisk

se změní také k -krát: 1 0kΠ = Π ): 9 ( ) ( )k p k w k p wπ π⋅ , ⋅ = ⋅ ,

Důkaz 12.2: Připomeňme si analýzu vlastností nákladové funkce v kapitole11. Ukázali jsme si tam, že vzrostou-li všechny ceny k–krát a výstup se nezmění, vzroste k–krát i hodnota nákladové funkce, ale podmíněné poptávky po vstupech se nezmění: ( ) ( )C k w y k C w y⋅ , = ⋅ , ,

( ) ( )i iz k w y z w y⋅ , = , ,

Potom při cenách 0 0,kp kw bude:zisk Π (y) rozdíl mezi příjmy a minimalizovanými náklady:

0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( ) ( ) ( )kp kw y k p y C k w y k p y k C w y k p y C w y Π = ⋅ ⋅ − ⋅ , = ⋅ ⋅ − ⋅ , = ⋅ ⋅ − , .

To znamená, že, pokud vzrostly ceny vstupů i cena výstupu ve stejné proporci, rozdíl mezi příjmy a náklady (zisk) se také změnil v této proporci pro všechny úrovně výstupu y. Tedy i pro y0 = y( 0 0,p w ).Protože při 0 0,p w byl tento rozdíl největší pro y*=y0:

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( ); 0p w p y C w y p y C w y yπ = ⋅ − , ≥ ⋅ − , ≥ ,

musí i při cenách 0 0,kp kw opět platit:

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ; 0kp kw k p y C w y k p y C w y yπ = ⋅ − , ≥ ⋅ − , ≥ .

To znamená, že výstup y*=y0 se nezměnil. Protože y0 maximalizuje zisk při cenách 0 0,p w i 0 0,kp kw , budou marshallovské poptávky při cenách 0 0,p w a 0 0,kp kw :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )i i i i i iz kp kw z kw y kp kw z kw y z w y z w y p w z p w, = , , = , = , = , , = , .

Tedy se nezměnili ani marshallovské poptávky * 0 0( )i iz z p w= , Označíme li 0 0( )iz p w, jako 0iz a y( 0 0,p w ) jako y0, celkem snadno dostaneme:

9 Říkáme, že Zisková funkce ( )p wπ , je lineárně homogenní v cenách p a w.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1

( ) ( )n n

i i i ii i

kp kw kp y kw z k p y w z k p wπ π

= =

, = − = − = ⋅ , ,∑ ∑

a tak máme celý důkaz pohromadě. Jinými slovy, protože se nemění z∗ ani y∗ , vyvolá proporcionální změna p a w proporcionální změnu příjmů ( )R y a nákladů ( )C w y, a protože ( ) ( )R y C w yΠ = − , ,

změní-li se ( )R y a ( )C w y, proporcionálně, změní se proporcionálně i jejich rozdíl, tedy celkový zisk. Další dvě vlastnosti nám slouží jen k tomu abychom mohli využívat nástroje diferenciálního počtu. Protože jejich důkaz překračuje rámec matematických znalostí, které předpokládáme u běžného čtenáře, zmíníme je bez důkazů.

3) Zisková funkce ( )p wπ , je spojitá v p a w.

4) Zisková funkce ( )p wπ , je hladká v p a w.

5) Zisková funkce ( )p wπ , je konvexní v p a w

To znamená že s rostoucí cenou výstupu p roste neklesajícím tempem a s klesající cenou p klesá nerostoucím tempem (viz obrázek 12.11). Obdobně pro ceny vstupů w můžeme říci, že s rostoucí cenou wj klesá zisk nerostoucím tempem a s klesající cenou roste neklesajícím tempem (viz obrázek 12.12). Obrázek 12.11.: Konvexnost ziskové funkce v p

Jediným předpokladem, který stojí za touto vlastností, je že výrobce neudělá nic ve svůj neprospěch.Vysvětlení je podobné jako u konkávnosti nákladové funkce ve w . Pokud by výrobce využíval při změně p nebo w jenom pasivní ziskové funkce ′ ′Π odvozené z nějaké výchozí optimální situace

0 0 0 0 0 0

1

( )n

i ii

p w p w w zπ=

, = − ,∑

kde 0y a 0z jsou množství výstupu y a vstupů z , která maximalizují zisk při 0p a 0w . a) Pro různé hodnoty p ( viz obrázek 12.11) bude

0 0 0 0 0 00

1

( ) ( )n

i ii

p py C w y py w z′ ′

=

Π = − , = − .∑

To je lineární funkce s konstantou 0 0( )C w y, a kladným sklonem 0y . Tato pasivní zisková

funkce je výrobci vždy dostupná, pokud 0 0 01( )ny z … z, − , ,− je přípustný výrobní plán z hlediska

produkční funkce. Skutečná zisková funkce ( )p wπ , bude mít také kladný sklon, protože

( )

0p w

p

π∆ , > .∆

Může-li navíc výrobce měnit vstupy a výstup, aby maximalizoval zisk, bude 0( )p wπ , , ležet

nad 0 ( )p′ ′Π . s výjimkou bodu 0 0p w, 0 0( )p wπ , , kde se budou 0( )p wπ , a 0 ( )p′ ′Π rovnat, tj. 0 0 0

0( ) ( )p w pπ ′ ′, = Π . Není-li možné zvýšit zisk změnou y a z , bude ( )p wπ , shodná s

0 ( )p′ ′Π . Tím jsme vlastně v bodě 0 0p w, definovali konvexnost funkce ( )p wπ , v p.

Protože bod ( )p w, , od kterého odvozujeme 0 ( )p′ ′Π můžeme vybrat libovolně, pro každou

cenu p jsme schopni nalézt její vlastní pasivní ziskovou funkci, která leží celá pod nebo na ( )p wπ , a je tedy její tečnou“zdola“. To je ale právě definice konvexnosti funkce ( )p wπ , v p

pro všechny kladné hodnoty. p w, . Obrázek 12.12.: Konvexnost ziskové funkce ve w

b) Pro různé hodnoty jw ( viz obrázek 12.12) bude pasivní zisková funkce:

0 0 0 0 00 ( )j i i j j

i j

w p y w z w z′ ′

∀ ≠

Π = − − .∑

Opět je 0 ( )jw′ ′Π lineární funkcí, tentokrát se záporným sklonem 0jz− . Protože

( )

0j

p w

w

π∆ , < ,∆

bude i ( )p wπ , mít záporný sklon. Má-li výrobce takovou možnost, bude měnit vstupy a výstup tak, aby maximalizovaly zisk, a tedy bude 0( ) ( )jp w wπ ′ ′, ≥ Π .

Protože výchozí bod 0 0p w, i index j jsme opět vybrali zcela obecně, bude ( )p wπ ,

konvexní v cenách vstupů 1( )nw w … w= , , pro všechny kladné hodnoty. p w, .

5) Hotellingova věta. (obdoba Shepardovy věty)

a) Míra, jakou se mění maximalizovaný zisk ( )p wπ , s nekonečně malou změnou ceny

výstupu p , je rovna optimálnímu množství výstupu y∗ pro ceny p a w , a tedy nabídce ( )y p w, :

( ) ( )p w y p wp

π∂ , = , .∂

b) Míra, jakou se mění maximalizovaný zisk ( )p wπ , s s nekonečně malou změnou ceny

vstupu iw je rovna (-1) násobku optimálního množství vstupu iz∗ pro ceny p a w ,a tedy (-1)

násobku marshallovské poptávky po vstupu :

( ) ( )ii

p w z p ww

π∂ , = − , .∂

Hotelingova věta říká, že pro malou změnu p∆ bude změna zisku přibližně rovna:

* *p y∆Π ∆ ⋅� . Pro malou změnu iw bude změna zisku: * *( )i iw z∆Π ∆ ⋅ −� Mohli bychom jistě

vymyslet podobné příklady, jako u Shephardovy věty, abychom demonstrovali, jak prostinká jsou tato dvě tvrzení. Pro nás je podstatnější, že pomocí Hotelingovy věty můžeme ze ziskové funkce ( )p wπ , odvodit nabídkovou funkci( )y p w, a marshallovské poptávky ( )iz p w, .

Můžeme si všimnout, že pro nekonečně malé změny p a w v bodě optima si výrobce nemůže polepšit ani pohoršit s nekonečně malou změnou výstupu nebo poměru vstupů. Důvodem je fakt, že pro nekonečně malé změny y a iz musí být v optimu:

( )**( )

0, 0.i

j

zz y y

zy

y ∗ =

∆Π∆Π = =∆ ∆ |

Důkaz 12.3: Ad a) Mějme výstup 0y a vstupy 0z maximalizující zisk při cenách 0p a 0w a vytvořme si

pomocnou funkci 0 0( ) ( ) ( )i iG p w p w py w zπ, = , − − Σ

( ) 0G p w, ≥ , protože ( ) ( )p w py z wzπ , ≥ − pro všechna y z Y, ∈ , a tedy i 0( )y z y= a 0z z= .

G nabývá svého minima pro 0p p= a 0w w= , protože zde se

0 0 0 0( ) i ip w p y w zπ , = − Σ .

Protože se jedná o vnitřní extrém, musí zde být

0 0 0 0 0( ) ( ) 0G

p w p w yp p

π∂ ∂, = , − = .∂ ∂

Odtud dostaneme:

0 0 0 0 0( ) ( )p w y y p wp

π∂ , = = , .∂

Ad b): Při totožně definované funkci ( )G p w, platí

0 0 0 0 0( ) ( ) 0ii i

Gp w p w z

w w

π∂ ∂, = , + =∂ ∂

a tedy

0 0 0 0 0( ) ( )i ii

p w z z p ww

π∂ , = − = − , .∂

Protože jsme ceny 0 0p w, a vstup i vybrali naprosto obecně, budu oba tyto vztahy platit pro všechny kladné ceny p w, :

( ) ( )p w y p wp

π∂ , = ,∂

, ( ) ( )ii

p w z p ww

π∂ , = − , .∂

Příklad 12.6:

V příkladu 12.4 jsme odvodily ziskovou funkci ( )

1 23 3

2

1 2

( , )2(2 ) ( )

pp w

w wπ = z nabídky

1 2

3 31 2

( , )(2 ) ( )

py p w

w w= a poptávek 4 2

3 3

2

1

1 2

( )( )

3 (2 ) ( )

pz p w

w w, =

⋅ a 51

3 3

2

2

1 2

( )( )

3 (2 ) ( )

pz p w

w w, =

⋅

Nyní máme možnost ověřit si na nich platnost Hotelingovy věty:

1 2 1 23 3 3 3

1 2 1 2

( , )2 ( , )

2(2 ) ( ) (2 ) ( )

p w p py p w

p w w w w

π∂ = ⋅ = =∂

( ) ( )1 1 2 4 23 3 3 3 3

2 2

111 1 2 1 2

( , ) 1( , )

3 2(2) ( ) ( ) 3(2 ) ( )

p pp wz p w

w w w w w

π+

∂ = − ⋅ = − = − ∂

( ) ( )1 2 513 3 3 3

2 2

212 1 2 1 2

( , ) 2( , )

3 2(2 ) ( ) 3(2 ) ( )

p pp wz p w

w w w w w

π+

∂ = − ⋅ = − = − ∂

12.3.3 Nabídková funkce firmy a Marshallovské poptávky po vstupech Z Hotellingovy věty a z dalších vlastností ziskové funkce můžeme odvodit následující vlastnosti nabídkové funkce ( )y p w, a poptávek ( )iz p w, .

1) Z konvexnosti ( )p wπ , v p a w vyplývá, že: a) nabídka ( )y p w, je neklesající v p :

2

2( ) ( ) 0

yp w p w

p p

π∂ ∂, = , ≥ .∂ ∂

b) Marshallovské poptávky po vstupech ( )iz p w, jsou nerostoucí ve svých vlastních cenách

iw 10

2

2( ) ( ) 0

( ) 0

i

i i

i

i

zp w p w

w w

zp w

w

π ∂∂ , = − , ≥∂ ∂

∂ , ≤ .∂

Až doposud jsme se zabývali pouze vlastnostmi podmíněných poptávek po vstupech. Podmíněné poptávky závisí na požadovaném výstupu 0y a na relativních cenách i

j

ww . Protože

10Tento způsob lze použít pouze pro ziskovou funkci π(p,w), která má spojité parciální derivace druhého řádu.. Existuje způsob, jak pomocí diferencí dokázat totéž pro ziskovou funkci, od které požadujeme pouze, aby maximalizace zisku měla řešení (nemusí být jediné).

y je dáno, se změnou iw vstupují do hry pouze substituční efekty, které optimalizují poměr

použitých vstupů na výrobu požadovaného y . Naproti tomu marshallovské poptávky * ( , )iz p w jsou funkce cen vstupů a ceny výstupu, a proto odrážejí kromě substitučního efektu

(vliv změny relativních cen vstupů na poptávky po iz ) i výstupový efekt (vliv změny cen

vstupů nebo ceny výstupu na poptávky po iz zprostředkovaně, přes vliv na nabídku y ).

Tvrzení, že marshallovské poptávky jsou nerostoucí ve svých vlastních cenách je velice silné. Striktně vylučuje jakékoli paralely s Giffenovským statkem z teorie spotřebitele, ačkoli

( )iz p w, v sobě obsahuje i výstupový efekt který je paralelou důchodovému efektu.

2) Pokud má ( )p wπ , spojité parciální derivace druhého řádu, má shodně křížové derivace druhého řádu, a tedy platí

2 2

( ) ( ) ( ) ( )i

i i i

zyp w p w p w p w

w p w w p p

∂∂ ∂ Π ∂ Π, = , = , = − , ,∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Využijeme vztahu: ( ) ( ( ))i iz p w z w y p w, = , , mezi marshallovskými a podmíněnými

poptávkami a jeho derivováním dostaneme změnu Marshallovské poptávky po iz se změnou

p jako:

0

( ) ( )( )iz z w y y p wp w

p y p≥

∂ ∂ , ∂ ,, = ⋅ .∂ ∂ ∂�����

První činitel je změna podmíněné poptávky po vstupu se změnou výstupu, o níž víme, že bude kladná pro normální vstup a nekladná pro podřadný vstup. Druhý činitel je nezáporný. Proto marshalovská poptávka po vstupu nebude klesat s cenou výstupu, pokud se jedná o normální vstup a nebude růst pokud se jedná o podřadný vstup. Protože zároveň platí:

i

i

zy

w p

∂∂ = − ,∂ ∂

nebude nabídka klesat s růstem ceny podřadného vstupu a nebude růst s růstem ceny normálního vstupu

3) Součástí důkazu, že ( ) ( )k p k w k p wπ π⋅ , ⋅ = ⋅ , 11 bylo, dílčí důkaz, že: a) nabídka firmy se nemění s proporcionální změnou všech cen p a w : ( ) ( )y kp kw y p w, = ,

b) marshallovské poptávky po vstupech se nemění s proporcionální změnou všech cen p a w : ( ) ( )i iz kp kw z p w, = ,

To znamená, že nabídka firmy ani její skutečné poptávky po vstupech se nezmění, změní-li se všechny ceny p a w k -krát, Tato vlastnost má zajímavou ekonomickou interpretaci: Firma nemění své výrobní plány, pokud růst zisku je způsoben růstem cenové hladiny. Dobře ví, že vyšší nominální částka na jejím běžném účtu má stejnou kupní sílu jako ta původní. Říkáme, že výrobce netrpí peněžní iluzí a inflace nezvýší jeho výrobu, a tedy ani poptávku po vstupech. Pro jeho rozhodování je podstatný reálný, nikoli nominální zisk.

11Tj.lineární homogenity ( )p wπ , v p a w.