12-12-2005Phan II (chuong diem den het bai toan vi tri).pdf

GIAÙO TRÌNH VEÕ KYÕ THUAÄT- HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH

PHAÀN II HÌNH HOÏC HOÏA HÌNH

Khaùi Nieäm Chung

Hình hoïc hoïa hình cung caáp nhöõng kieán thöùc, nhöõng phöông phaùp bieåu dieãn ñeå giaûi nhöõng baøi toaùn khoâng gian treân maët phaúng. Noù laø cô sôû cuûa veõ kyõ thuaät vaø noù giuùp phaùt trieån khaû naêng tö duy khoâng gian cho hoïc sinh – moät nhaân toá coù tính quyeát ñònh trong hoaït ñoäng saùng taïo cuûa ngöôøi caùn boä kyõ thuaät sau naøy.

Ngöôøi caùn boä kyõ thuaät phaûi naém vöõng nhöõng khaùi nieäm cuûa Hình hoïc hoïa hình thì môùi bieåu dieãn ñöôïc caùc vaät theå treân baûn veõ vaø ñoïc ñöôïc caùc baûn veõ do ngöôøi khaùc veõ.

Caùc kyù hieäu thöôøng duøng trong Hình hoïc hoaï hình:

+ Ñieåm: duøng chöõ caùi in hoa hoaëc soá: A, B, C... 1, 2, 3... + Ñoaïn thaúng: ñaët teân hai ñieåm ôû ñaàu muùt AB, CD... + Ñöôøng thaúng: duøng chöõ thöôøng: a, b, c, d... + Hình phaúng: kyù hieäu thöôøng caùc ñieåm goùc ABC, DFEH... + Maët phaúng: duøng caùc chöõ: mp Q, mp α … + Maët phaúng hình chieáu: P1, P2, P3

Caùc thuoäc tính hình hoïc

+ Caét nhau (x): AB x CD, EF x IK,... + Song song (//): a // P1, AB // CD + Truøng nhau (≡): A ≡ B ; CD ≡ EF + Lieân thuoäc (∈): D ∈ AB; A ∈ mp α + Vuoâng goùc (⊥): AB ⊥ MP HCP2, CD ⊥ EF

Chöõ vieát taét thöôøng duøng

+ MPHC: Maët phaúng hình chieáu + HCTÑ: Hình chieáu truïc ño

Trang 29


Chöông I

CAÙC PHEÙP CHIEÁU

1.1 Khaùi Nieäm Veà Pheùp Chieáu

Pheùp aùnh xaï khoâng gian leân maët phaúng ñöôïc thöïc hieän baèng caùch chieáu nhöõng ñieåm cuûa khoâng gian leân maët phaúng goïi laø pheùp chieáu.

Ví duï: Chieáu ñieåm A qua taâm S leân maët phaúng hình chieáu P . Trong khoâng gian laáy maët phaúng P vaø moät ñieåm S khoâng thuoäc P. Chieáu moät ñieåm A baát kyø cuûa khoâng gian töø taâm S leân maët phaúng P laø:

1. Veõ ñöôøng thaúng SA 2. Xaùc ñònh giao ñieåm A’ cuûa ñöôøng SA vôùi

maët phaúng P (hình 1.1)

Ta coù caùc teân goïi:

S: Taâm chieáu.

P : maët phaúng hình chieáu. SA: Ñöôøng thaúng chieáu hay tia chieáu. A’: hình chieáu cuûa ñieåm A töø taâm S leân

maët phaúng P, chuùng ta thaáy A’ khoâng chæ laø hình chieáu cuûa moät ñieåm A maø coøn laø hình chieáu cuûa 1 ñieåm baát kyø cuûa ñöôøng thaúng SA. Ví duï: A’ cuõng laø hình chieáu cuûa B,C (hình 1.2). 1.2 Nhöõng Tính Chaát Cuûa Pheùp Chieáu

Tính chaát 1: Hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng khoâng ñi qua taâm chieáu laø moät ñöôøng thaúng.

MPHC

Hình Chieáu ñieåm A

Ñieåm Khoâng Gian

Taâm ChieáuTia Chieáu

Hình 1.1

Hình 1.2

P

P(Taâm chieáu)

(Ñieåm khoâng gian)

(Hình chieáu ñieåm)

P

A∈d thì hình chieáu A’ cuûa A cuõng thuoäc hình chieáu d’ cuûa d, nhöng ngöôïc laïi neáu A’∈ d’ thì chöa chaéc A∈ d.

Pheùp chieáu baûo toàn tính lieân thuoäc cuûa ñieåm vaø ñöôøng thaúng.

Hình 1.3

Trang 30


Tính chaát 2: Pheùp chieáu baûo toàn tyû soá keùp cuûa 4 ñieåm thaúng haøng (hình 1.4).

/ / / /

/ / / /: :AC AD A C A D

CB DB C B D B=

Ta seõ duøng pheùp chieáu laøm coâng cuï ñeå xaây döïng caùc baûn veõ, töùc laø xaây döïng caùc moâ hình phaúng cuûa khoâng gian.

P Hình 1.4

1.3 Caùc Loaïi Pheùp Chieáu

âm: c tia chieáu ñeàu xuaát phaùt töø 1 ñieåm (höõu haïn).

Tronâm chieáu

hình chieáu

vaø

+ : laø hình chieáu cuûa

+ leân maët phaúng hình

+ thaúng

ÖÙng duïng: do coù söï bieán daïng neân trong kyõ thuaät chæ duøng ñeå veõ phoái caûnh vaø veõ m

hieáu song song:

taát caû caùc tia chieáu

h chieáu ieåm A vaø B

leân m vôùi maët phaúng

hình chieáu song song laø pheùp chieáu

xuyeâ

a. Pheùp chieáu xuyeân taLaø pheùp chieáu maø taát caû caùg ñoù: + S: ta+ P: maët phaúng + A, B,C: caùc ñieåm chieáu + (naèm giöõa taâm chieáu

MPHC) A’,B’,C’ñieåm A, B,Cchieáu p (A’, B’, C’ ∈P) SA, SB,SC: ñöôøng

Taâm Chieáu

Ñieåm Khoâng Gian

Hình Chieáu Cuûa Caùc Ñieåm

MPHCchieáu hay tia chieáu.

Hình 1.5

Hình 1.6

inh hoïa.

b. Pheùp c

α

Laø pheùp chieáu trong ñoù ñeàu song song vôùi nhau theo moät

höôùng (s) ñaõ choïn, laäp vôùi maët phaúng hình chieáu moät goùc α naøo ñoù.

+ s: höôùng chieáu + p: maët phaúng hìn+ A’, B’: hình chieáu cuûa ñaët phaúng hình chieáu p . + α: goùc giöõa tia chieáuchieáu. + Pheùpn taâm khi taâm chieáu ôû voâ cöïc.

Trang 31


ÖÙng duïng: do khoâng coù söï bieán daïng daøi neân pheùp chieáu song song ñöôïc duøng ñeå ve

g thaúng song song chieáu thaønh

cuøng 6

g pheùp chieáu song song tyû so

õ hình chieáu truïc ño trong minh hoïa.

Pheùp chieáu song song coù nhöõng tính chaát rieâng:

Tính chaát 1: Trong pheùp chieáu song song hai ñöôøn hai ñöôøng thaúng song song. AB // CD → A’B’ // C’D’ neáu AB vaø CD thuoäc moät maët phaúng chieáu thì

A’B’ ≡ C’D’ ( hình 1. ) Tính chaát 2: Tron

á ñôn cuûa ba ñieåm baèng tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu cuûa chuùng (hình 1.7)

/ /

/ /

AC A CCB C B

=

öø hai tính chaát ta suy ra heä quaû.

g song tyû soá cuûa hai ñ

MPHC

Hình 1.7

T

Heä quaû: Trong pheùp chieáu sonoaïn thaúng song song baèng tyû soá cuûa hai ñoaïn

thaúng hình chieáu cuûa chuùng.

CD kAB

= thì / /

/ /

C D kA B

=

. Pheùp chieáu song song vuoâng goùc (pheùp chieáu thaúng goùc)

phaún

ñöôïc öùng duïng

Hình 1.8

c

Khi höôùng chieáu s vuoâng goùc vôùi maët

Hình 1.9

g hình chieáu thì pheùp chieáu ñöôïc goïi laø pheùp chieáu thaúng goùc (hình 1.19)

Ñaây laø pheùp chieáu duy nhaát ñeå laäp baûn veõ kyõ thuaät trong moïi

ngaønh kyû thuaät.

Trang 32


AB vuoâng goùc vôùi mp P → A’≡ B’

vôùi mp P → E’F’ = EF

heùp chieáu vu ø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa pheùp chieáu song song, do ñoù noù c

ieàu kieän aét coù vaø ñuû ñeå moät goùc vuoâng chieáu

.4 Môû Roäng Khoâng Gian 3 Chieàu Ôcôlit Baèng Nhöõng Yeáu Toá Voâ Taän: ian ñeàu

caét nhau ôû ñieåm voâ taän.

haúng voâ taän.

ôïp nhöõng yeáu toá voâ taän laøm thaønh maët phaúng: maët phaúng voâ taän cuûa khoân

aët phaúng coù theâm 1 ñöôøng thaúng: ñöôøng thaúng voâ taän cuûa maët phaúng.

-

- CD coù vò trí baát kyø vôùi mp P

→ C’D’<CD

- EF song song

MPHC

Hình 1.10 P oâng goùc laoù moïi tính chaát cuûa pheùp chieáu song song, ngoaøi ra noù coøn coù nhöõng tính chaát

rieâng ta chuù yù tính chaát quan trong sau:

Ñ thaúng goùc thaønh moät goùc vuoâng laø goùc

vuoâng coù moät caïnh song song vôùi maët phaúng hình chieáu (hình 1.11)

MPHC

Hình 1.11

1Ñeå xaây döïng moâ hình phaúng cuûa khoâng gian, moãi ñieåm cuûa khoâng g

phaûi coù hình chieáu. Nhö vaäy neáu quan nieäm ñöôøng thaúng song song vôùi hình phaúng laø ñöôøng thaúng vaø hình phaúng khoâng coù ñieåm chung thì seõ coù nhöõng ñieåm khoâng coù hình chieáu (ñoù laø nhöõng ñieåm naèm trong maët phaúng ñi qua taâm chieáu vaø song song voùi maët phaúng hình chieáu). Ñeå khaéc phuïc trôû ngaïi treân ta noùi raèng ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng laø ñöôøng thaúng vaø maët phaúng coù ñieåm chung ôû voâ taän. Nhö vaäy qui öôùc theâm vaøo moãi ñöôøng thaúng moät ñieåm voâ taän.

- Hai ñöôøng thaúng song song laø hai ñöôøng thaúng

- Hai maët phaúng song song nhau laø hai maët phaúng caét nhau theo ñöôøng t

- Taäp hg gian.

- Moãi m

- Moãi ñöôøng thaúng coù theâm moät ñieåm: ñieåm voâ taän cuûa ñöôøng thaúng.

Trang 33


P

P

P

P

b)

aùc yeáu toá höõu haïn vaø voâ taän coù vai troø hoaøn toaøn nhö nhau:

chung

oäc moät maët phaúng coù ít nhaát moät ñieåm chung

) A: Ñieåm höõu haïn ïc xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng b

song

eàu laø ñieåm voâ taän xaùc ñònh bôûi caùc ñöôøn

ñieåm

aët phaúng

duy n,C: Caùc ñieåm höõu haïn. Maët phaúng P nhö

hình

: Höõu haïn n xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng c:

Maët

ïn voâ taän xaùc ñònh bôûi caùc

ñöôøn

(Khi A,B,C ñeàu laø caùc ñieåm voâ taän: Maët phaúng P laø

c)

a)

c)

b)

CNhö vaäy ta coù theå noùi:

ät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng coù ít nhaát moät ñieåm- Trong khoâng gian, mo ( ñieåm höõu haïn hay voâ taän) - Hai ñöôøng thaúng cuøng thu

(ñieåm höõu haïn hay voâ taän) - Hai maët phaúng coù chung ít nhaát moät ñöôøng thaúng (ñöôøng thaúng höõu haïn hay

voâ taän)

Hai ñieåm A,B xaùc ñònh moät ñöôøng thaúng duy nhaát m Ví duï:

a) Ñöôøng m ñi qua A,B ( A,B hai ñieåm höõu haïn) a) b

B:Ñieåm voâ taän ñöô Ñöôøng thaúng m laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø song vôùi b.

A, B: Ñc)g thaúng a, b Ñöôøng thaúng m laø ñöôøng thaúng voâ taän (ñi qua hai voâ taän). Ñoù cuõng laø ñöôøng thaúng voâ taän cuûa moïi

maët phaúng song song vôùi hai ñöôøng thaúng a,b.

Ví duï: Ba ñieåm A,B,C xaùc ñònh moät m

haát p

a) A,Bveõ. b) A,BC: Ñieåm voâ taäphaúng P laø maët phaúng chöùa AB vaø song song

vôùi ñöôøng thaúng c. c) A: Ñieåm höõu haB,C: Nhöõng ñieåmg b vaø c: Maët phaúng P laø maët phaúng ñi qua A

vaø song song vôùi caùc ñöôøng thaúng b vaø c.

maët phaúng voâ taän cuûa khoâng gian)

Trang 34


1.5 Heä Thoáng Caùc Maët Phaúng Hình Chieáu – Ñoà Thöùc

1. Heä Thoáng Caùc Maët Phaúng Hình Chieáu

a. Heä thoáng hai maët phaúng hình chieáu

Trong khoâng gian ngöôøi ta laáy hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau, maët phaúng P1 coù vò trí thaúng ñöùng (maët phaúng hình chieáu ñöùng), maët phaúng P2 coù vò trí naèm ngang (maët phaúng hình chieáu baèng). Hai maët phaúng caét nhau theo giao tuyeán x.

- Hai maët phaúng P1 vaø P2 taïo neân 4 goùc vuoâng ñöôïc goïi laø 4 goùc tö vaø ñöôïc kyù hieäu soá thöù töï nhö hình veõ.

- Maët phaúng P1 vaø P2 ñöôïc coi laø maët phaúng chuaån, vôùi truïc x laø goác, phía treân maët phaúng P2 ñöôïc goïi laø ñoä cao. Phía tröôùc maët phaúng P1 ñöôïc goïi laø ñoä xa (hoaëc ñoä saâu).

+ Ñoä cao döông: caùc yeáu toá ôû phía treân maët phaúng P2 (goùc phaàn tö I)

+ Ñoä cao aâm: caùc yeáu toá thuoäc phía döôùi maët phaúng hình chieáu P2 (goùc phaàn tö IV)

+ Ñoä xa döông: caùc yeáu toá thuoäc phía tröôùc maët phaúng hình chieáu P1 (goùc phaàn tö I)

+ Ñoä xa aâm: caùc yeáu toá thuoäc phía sau maët phaúng hình chieáu P1 (goùc phaàn tö II)

Caùc maët phaúng phaân giaùc:

• Maët phaúng chia ñoâi goùc tö I vaø goùc tö III laø maët phaúng phaân giaùc thöù 1, kyù hieäu G1.

• Maët phaúng chia ñoâi goùc tö II vaø goùc tö IV laø maët phaúng phaân giaùc thöù 2, kyù hieäu G 2.

Nhìn doïc theo truïc x töø beân traùi ta coù caùc kyù hieäu qui öôùc goùc tö ; ñoä cao (+) vaø (-); ñoä xa (+) vaø (-) vaø vò trí maët phaúng phaân giaùc G 1 vaø G 2 (hình 1.13)

b. Heä thoáng ba maët phaúng hình chieáu

Ngöôøi ta söû duïng theâm moät maët phaúng hình chieáu thöù 3 vuoâng goùc vôùi truïc x, kyù hieäu laø P3 (maët phaúng hình chieáu caïnh).

- Maët phaúng P1 caét maët phaúng P2 theo truïc X (Truïc chieàu roäng)

- Maët phaúng P3 caét maët phaúng P1 theo truïc Z (Truïc chieàu cao)

- Maët phaúng P3 caét maët phaúng P2 theo truïc Y (Truïc chieàu saâu, hoaëc xa)

Hình 1.12

Hình 1.13

III

III IV

ñoä xa (-) ñoä xa (+)ño

ä cao

(-)

ñoä c

ao (+

)(goùc tö II) (goùc tö I)

(goùc tö IV)(goùc tö III)

GG

Trang 35


Ba truïc x, y, z caét nhau taïi: ñieåm O (goác toïa ñ

töøng ñoâi m

pha

C) chæ cho pheùp thöïc hieän moät laàn pheùp c

hình ch

vuoân g cuøng moät maët phaún

Hình 1.14

oä)

Ba maët phaúng hình chieáu vuoâng goùcoät:

MPHC ñöùng

MPHC P1⊥ MPHC P2

MPHC P2⊥ MPHC P3

MPHC P3⊥ MPHC P1

Theo TCVN 5-78 qui öôùc duøng saùu maët laøm saùu maët phaúng hình chieáu cô baûn.

- Moãi maët phaúng hình chieáu (MPH

úng cuûa hình hoäp laäp phöông

hieáu. - Trong baûn veõ kyõ thuaät xaây döïng ngöôøi ta chæ söû duïng heä thoáng ba maët phaúng

ieáu (goùc tö I) hoaëc hai MPHC.(hình 1.15)

Hình 1.15

MPHC baèng

MPHCcaïnh

2. Ñoà Thöùc :

Caùc heä thoáng MPHC ôû daïng khoâng gian. Sau khi thöïc hieän xong pheùp chieáu g oùc, heä thoáng maët phaúng hình chieáu ñöôïc xoay ñeå ñöa veà g, bieåu dieãn baèng caùc truïc goïi laø ñoà thöùc.

Trang 36


- Giöõ nguyeân vò trí maët phaúng hình chieáu P1 quay phaúng h

MPHC P2 quanh Ox vaø maët ình chieáu P3 quanh Oz ñeán khi P1 ≡ P2 ≡ P3 (cuøng treân moät maët phaúng) ta coù

ñoà thöùc nhö hình veõõ 1.16.

- Giöõ nguyeân MPHC P1 quay MPHC P2 ñeán cuøng maët phaúng vôùi MPHC P1 ta

coù ñoà thöùc nhò dieän nhö hình veõ 1.17.

Hình 1.16

Hình 1.17

Trang 37


Chöông 2

BIEÅU DIEÃN ÑIEÅM, ÑÖÔØNG THAÚNG, MAËT PHAÚNG

Phöông phaùp hình chieáu thaúng goùc ñöôïc duøng roäng raõi trong kyõ thuaät nhaát laø baûn veõ kyõ thuaät xaây döïng vaø baûn veõ cô khí. Phöông phaùp naøy do nhaø toaùn hoïc ngöôøi Phaùp G. Moângjô (1746-1818) ñeà ra neân coøn goïi laø phöông phaùp Moângiô.

2.1. B

ng heä thoáng MPHC Laàn löôït : + Chieáu thaúng goùc ñieåm A leân MPHC P1 ta ñöôïc hình chieáu ñöùng A1 + Chieáu thaúng goùc ñieåm A xuoáng MPHC P2 ta ñöôïc hình chieáu baèng A2 + Chieáu thaúng goùc ñieåm A sang MPHC P3 ta ñöôïc hình chieáu caïnh A3

Nhö vaäy moät ñieåm trong khoâng gian thöôøng ñöôïc bieåu dieãn baèng 3 hình chieáu treân 3 maët phaúng hình chieáu A (A1, A2, A3).

Ta xeùt caùc vò trí cuûa ñieåm trong heä thoáng maët phaúng hình chieáu.

1. Ñieåm coù vò trí baát kyø

ieåu Dieãn Ñieåm

- Laø tìm hình chieáu cuûa ñieåm tro-

ñoä c

ao

ñoä roängñoä saâu

(ñoä xa)

ñoä s

aâu(ñ

oä xa

)

Duøng caùc tia chieáu vuoâng goùc vôùi caùc MPHC laàn löôït chieáu ñieåm A leân caùc maët P1, P2, P3 ta coù A1, A2, A3 → A (A1, A , A3) naèm treân ñöôøng doùng kheùp kín.

A1A2 ⊥ OX taïi xA OxA: ñoä roäng cuûa ñieåm A

A1A3 ⊥ OZ taïi zA OzA: ñoä cao cuûa ñieåm A

A2A3 ⊥ OY taïi yA OyA: ñoä xa (hoaëc ñoä saâu) cuûa ñieåm A

Hình 2.1

2

Trang 38


Ta coù theå tìm hình chieáu thöù ba cuûa ñieåm khi bieát hai hình chieáu cuûa noù baèng phöông phaùp doùng (ñöôøng doùng laø hình chi

eáu cuûa tia chieáu trong heä thoáng MPHC).

Bieát C1, C2 doùng tìm C3 Bieát D vaø D3 doùng tìm D2

K eåm (A1, A2, Añieåm n cuûa moät ñi

a. Ñieåm thuoäc moät maët phaúng h ieáu

Ñieåm thuoäc maët phaúng hình chieáu naøo thì hình chieáu cuûa noù leân maët phaúng hình chieáu aáy laø chính noù. Hai hình chieáu coøn laïi thuoäc hai truïc taïo maët phaúng hình chieáu aáy.

1

eát luaän: Moãi ñieåm A trong khoâng gian ñöôïc bieåu dieãn baèng caùc caëp ñi3) cuøng naèm treân ñöôøng doùng thaúng goùc vôùi Ox, Oy, Oz. Ngöôïc laïi caùc caëp (A , A , A ) baát kyø cuøng naèm treân ñöôøng doùng kheùp kín laø hình bieåu dieã1 2 3

eåm A xaùc ñònh trong khoâng gian.

2. Ñieåm coù vò trí ñaëc bieät

ình ch

A

∈ Ox ∈ Oy

Hình 2.3

A ∈ MPHC P1 → A ≡ A1

A2 ∈ Ox ∈ Oz

D1 D3 3

D ∈ MPHC P2 → D ≡ D2

Hình 2.2

Trang 39


b. Ñieåm thuoäc truïc (thuoäc hai maët phaúng hình chieáu)

Ñieåm thuoäc truïc naøo thì hình chieáu cuûa noù leân hai maët phaúng hình chieáu taïo neân truïc aáy laø chính noù, hình chieáu thöù ba thuoäc goác toïa ñoä O.

3

1

Ñieåm trong khoâng gian ñöôïc xaùc ñònh baèng caùc khoaûng caùch ñoä roäng, ñoä cao, ñoä x aø ñöôïc qui öôùc ghi: A (XA, YA, ZA) → A (X, Y, Z)

Ví d

aùc truïc) sau ñoù xaùc ñònh vò trí hình chieáu ñieåm theo toïa ñoä ñaõ bieát:

XA = 3, YA = 1, ZA = 2 → keû ñöôøng doùng vuoâng goùc vôùi truïc, ñeå xaùc ñònh vò trí A1,A2,A3.

Khi bieát toïa ñoä cuûa ñieåm ta coù theå nhaän xeùt ñöôïc vò trí cuûa ñieåm trong heä thoáng maët phaúng hình chieáu:

+ Ñieåm coù vò trí baát kyø coù ba toïa ñoä khaùc khoâng. + Ñieåm thuoäc maët phaúng hình chie toïa ñoä baèng khoâng.

Ñieåm thuoäc truïc coù hai toïa ñoä baèng khoâng.

Ví du

M ( 4, 0, 2) → Ñieåm coù YM = 0 → ñie = 0 →

.4

Hình 2.5

M ∈ Ox → M1 ≡ M2

M ≡ O N ∈ Oy → N3 ≡ N2

N ≡ O

c. Ñieåm thuoäc goác toïa ñoä O

Ñieåm thuoäc goác toïa ñoä thì caùc hình chieáu cuûa noù ñeàu truøng goác toïa ñoä. 3. Toïa ñoä ñieåm

a so vôùi moác laø goác toïa ñoä v

uï: Döïng ñoà thöùc ñieåm A (3, 1, 2)

- Caùch döïng:

Treân caùc truïc toïa ñoä ñònh ra caùc ñôn vò daøi (tyû leä gioáng nhau cho c

Hình 2

áu coù moät+

ï:

åm thuoäc MPHC P1

N (0, 0, 5) → Ñieåm coù XN = 0, YN ñieåm thuoäc truïc OZ

Trang 40


Tham khaûo moät soá vò trí ñieåm naèm ngoaøi goùc tö I. Trong heä thoáng nhò dieän P1 vaø P2 ta coù

S1, S2, S3 laø nhöõng höôùng chieáu töông öùng vuoâng goùc vôùi P , P vaø . Maët phaúng P 1 2 G 1

ñöôïc choïn laøm maët phaúng hình veõ (treân ñoù thaønh laäp moâ hình cuûa khoâng gian)

- Söû duïng höôùng chieáu S3 ñeå chuyeån khoâng bieán daïng maët phaúng P2 leân P1 chính laø pheùp giöõ nguyeân P1 xoay P2 quanh truïc X ñeán vò trí truøng vôùi MPHC P1.

- Qui öôùc: Ñoä cao cuûa moät ñieåm döông (+), baèng (0) hay aâm (-). Tuøy theo vò ñieåm ôû phía tr haúng P2. Töông töï: ñoä xa eåm laø

döông (+), baèng 0 hay aâm(-). Tuøy theo vò trí cuûa ñ hía sau maët phaún

áng MPHC töø traùi doïc theo

ao(-) ñoä xa (+)

Quan

ieåm coù ñoä cao vaø ñoä xa cuøng daáu.

aø ñoä xa traùi daáu.

(M∈

2)

- h où

- Ñieåm thuoäc phaân giaùc thöù 2 coù oä cao vaø ñoä xa baèng nhau nhöng traùi daáu.

Hình 2.6

laø trí

eân, thuoäc hay phcuûa moät ñi

ía döôùi maëtp

ieåm ôû phía tröôùc, thuoäc hay pg P1. Quan saùt heä thotruïc X ta coù:

Ñieåm C: ñoä cao (+) ñoä xa (-) Ñieåm B: ñoä cao(+) ñoä xa (+) Ñieåm D: ñoä cÑieåm A: ñoä cao (-) ñoä xa (-)

saùt caùc goùc tö ta thaáy:

- Caùc goùc tö leû I, III chöùa nhöõngñ

- Caùc goùc tö chaün II, IV chöùa nhöõng ñieåm coù ñoä cao v

- Ñieåm M thuoäc phaân giaùc thöù 1 G 1)

- Ñieåm G thuoäc phaân giaùc thöù 2 (G ∈ G

Ñieåm thuoäc phaân giaùc t öù 1 cèngñoä cao vaø ñoä xa ba nhau vaø cuøng daáu.

ñ

II I

IVIII

Hình 2.7

G 2

II

I

IVIII

GG

Hình 2.8

Trang 41


Vaäy: • Moät ñieåm thuoäc maët phaúng phaân giaùc

chieáu baèng ñoái xöùng vôùi nhau qua truïc X vaø ngö

• Moät ñieåm thuoäc maët phaúng phaân giaùchieáu baèng truøng nhau treân ñoà thöùc vaø ngöôïc laïi

M∈ 1 ; G∈ 2 (hình 2.

thöù nhaát coù hình chieáu ñöùng vaø hình ôïc laïi.

c thöù 2 coù hình chieáu ñöùng vaø hình .

G G 9)

Ví duï: Haõy xaùc ñònh vò trí cuûa caùc ñieåm trong kh

Hình 2.9

oâng gian so vôùi caùc MPHC P1 vaø P2

Ñieåm A: thuoäc goùc phaàn tö thöù I Ñieåm B: thuoäc goùc phaàn tö thöù II

phaàn tö thöù II

E: thuoäc truïc X

F: thuoäc goùc phaàn tö MPHC P1 – goùc phaàn tö thöù IV ö thöù I

Hình 2.10

Ñieåm C: thuoäc phaân giaùc G 1 – Goùc phaàn tö thöù I

Ñieåm D: thuoäc phaân giaùc G 2 – Goùc

ÑieåmÑieåm N: thuoäc goùc phaàn tö thöù III ÑieåmÑieåm H: thuoäc MPHC P2 goùc phaàn tÑieåm K: thuoäc goùc phaàn tö thöù IV

Trang 42


2.2. Bieåu Dieãn Ñoaïn Thaúng (Ñöôøng Thaúng)

Trong khoâng gian qu

Ñeå bieåu dieãn ñoaïn thaúng ta bieåu dieãn hình chieáu cuûa hai ñieåm xaùc ñònh ñoaïn thaúng ñoù roài noái caùc hình chieáu cuøng teân laïi vôùi nhau.

Ta qui öôùc goïi ñöôøng thaúng khoâng song song vôùi MPHC naøo vaø khoâng vuoâng goùc vôùi truïc x laø ñöôøng thaúng baát kyø (ñöôøng thaúng thöôøng).

Caùc ñöôøng thaúng song song vôùi ít nhaát moät MPHC hoaëc vuoâng goùc vôùi truïc x goïi laø ñöôøng thaúng coù vò trí ñaëc bieät.

1. Ñöôøng thaúng coù vò trí baát kyø (ñöôøng thaúng thöôøng)

I

I

I I

I

Nguyeân taéc chung:

a hai ñieåm xaùc ñònh moät ñöôøng thaúng, phaàn ñöôøng thaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi 2 ñieåm goïi laø ñoaïn thaúng.

I

I

I

I I I

• Ñöôøng thaúng AB baát kyø trong khoâng

gian thì hình chieáu cuûa noù laø nhöõng ñoacoù vò trí baát kyø trong heä truïc. Hoaëc noùi: ñöôøng thaúng (l 1, l 2) khoâng moãi caëp ñöôøngvuoâng goùcmoät ñö

ïn thaúng

thöôøng l coù ñoà thöùc laø moät caëp vuoâng goùc vôùi truïc x. Ngöôïc laïi thaúng baát kyø cuûa ñoà thöùc maø khoâng

vôùi truïc x ñeàu laø hình bieåu dieãn cuûa ôøng thaúng xaùc ñònh trong khoâng gian.

A (XA, YA, ZA) B (XB, YB, ZB

Hình 2.11

Hình 2.12

B)

l(A,B) → 1 1 1(A B )⎧⎨

2 2 2(A B )⎩

Trang 43


Nhaän xeùt: - Khi ñöôøng thaúng coù vò trí baát kyø thì caùc toïa ñoä töông öùng ôû hai ñieåm ñaàu nuùt

khaùc nhau töøng ñoâi moät (XA ≠ XB ; YA ≠ YB; ZB A ≠ ZB) - Ñöôøng baát kyø luoân coù hai giao ñieåm vôùi hai maët phaúng hình chieáu goïi laø veát.

(Hình 1.29 bieåu dieãn ñoaïn AB caét maët phaúng hình chieáu P1 vaø P2)

2. Ñoaïn (ñöôøng) thaúng coù vò trí ñaëc bieät

a. Ñoaïn thaúng song song vôùi moät MPHC

Ñoaïn thaúng song song vôùi maët phaúng hình chieáu naøo, thì hình chieáu cuûa noù treân maët phaúng hình chieáu aáy nguyeân hình (song song vaø baèng chính noù). Hai hình chieáu coøn laïi laø hai ñoaïn song song vôùi hai truïc taïo neân m

aët phaúng hình chieáu aáy.

AB ⁄⁄ MPHC P2 → A2B2 = AB ; A1B1 ⁄⁄ Ox ; A3B3 ⁄⁄ Oy

Hình 2.13: bieåu dieãn ñoaïn AB x MPHC P2 = M (veát baèng) AB x MPHC P1 = N (veát ñöùng)

Hình 2.14

Trang 44


a) m ⁄⁄ MPHC P1 b) b ⁄⁄ MPHC P2 c) c ⁄⁄ MPHC P3

(ñöôøng maët) (ñöôøng baèng) (ñöôøng caïnh)

Nhaän xeùt: + Ñöôøng maët → hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä xa (Oy) + Ñöôøng baèng → hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä cao (Oz) + Ñöôøng caïnh → hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä roäng (Ox)

Neáu toïa ñ teân baèng hau thì ñoaïn th

Ví duï: → AB // MPHC P2

C (4, 3, 2), D (2, 3, 2) → Y = Y = 3 → CD // MPHC P1

4 → EF // MPHC P3

Ñoaïn thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu naøo thì hình chieáu cuûa noù leân maët phaúng hình chieáu aáy laø moät ñieåm. Hai hình chieáu coøn laïi laø hai ñoaïn thaúng vuoâng goùc vôùi hai truïc neân maët phaúng hình chieáu aáy.

oä hai ñieåm ñaàu nuùt cuûa moät ñoaïn thaúng coù moät caëp cuøngn aúng song song vôùi moät maët phaúng hình chieáu.

A (6, 2, 3), B (1, 3, 3) → ZA = ZB = 3 C D

E (4, 2, 5), F (4, 1, 3) → XE = XF =

b. Ñoaïn (ñöôøng thaúng) vuoâng goùc vôùi moät MPHC (hoaëc song song vôùi hai MPHC kia)

Hình 2.15

Hình 2.16

CD ⊥ MPHC P2 → C2 ≡ D2 ; C1D1 ⊥ Ox ; C3D3 ⊥ Oy

Trang 45


l

l

d MPHC P1 l ⊥ ⊥ MPHC P2 h MPHC P3

)

ñaàu nuùt coù cuøng ñoä roäng, ñoä cao. oäng vaø ñoä xa.

+ o vaø ñoä xa.

N ña aèng nhau töøng ñoâi moät thì ñoaïn thaún

M N

→ MN ⊥ MPHC P1

2.3. Söï ø ñ ng

1. hö g CP1, song song M

ûa A thuoäc caùc hình chieáu cuøng teân cuûa d hoaëc trong khoâng gian ñieåm thuoäc

I∈AB → I1∈A1B1 ; I2∈A2B2 ; I 3∈A3B3

Hình 2.17

Hình 2.18a

⊥

(ñöôøng thaúng chieáu ñöùng) (ñöôøng thaúng chieáu baèng) (ñöôøng thaúng chieáu caïnh

Nhaän xeùt:

+ Ñöôøng thaúng chieáu ñöùng: toïa ñoä hai ñieåm+ Ñöôøng thaúng chieáu baèng: toïa ñoä hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä r

Ñöôøng thaúng chieáu caïnh: toïa ñoä hai ñieåm ñaàu nuùt coù cuøng ñoä ca

eáu toïa ñoä 2 ñieåm àu nuùt cuûa ñoaïn thaúng coù hai caëp cuøng teân bg ñoù vuoâng goùc vôùi moät MPHC.

Ví duï: Ñoaïn thaúng MN: M(4, 2, 5), N(4, 5, 5) → XM = XN = 4; Z = Z = 5

lieân thuoäc cuûa ñieåm va oaïn thaúng (ñöôø thaúng)

Ñoái vôùi ñöôøng thaúng t ôøng, ñöôøng thaún song song vôùi MPHPHCP2, ñöôøng thaúng chieáu:

Quy taéc 1: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñieåm A thuoäc ñöôøng thaúng thöôøng d laø caùc hình chieáu cu

ñoaïn thaúng thì caùc hình chieáu cuûa noù cuõng thuoäc caùc hình chieáu cuøng teân cuûa ñoaïn thaúng vaø chuùng cuøng naèm treân ñöôøng doùng kheùp kín.

I

II

I

II

I

Trang 46


A∈ A2∈d2 A∈g → A1∈g1; A2∈g2 A∈h → A1∈h1; A2∈h2

d → A1∈d1;

N∈ ñöôøng baèng CD. I∈ ñöôøng maët EF

N1∈C1D1; N2∈C2D2 I1∈E1F1; I2∈E2F2

Khi AB laø ñöôøng thaúng caïnh vaø C laø moät ñieåm thuoäc AB thì vaø

2. Söï lieân thuoäc cuûa ñieåm vôùi ñöôøng thaúng caïnh

111 BAC ∈

222 BAC ∈ . Nhöng ngöôïc laïi khi coù ñieàu kieän 111 BAC ∈ vaø thì trong khoâng gian chöa chaéc C ñaõ thuoäc AB. Muoán bieát C coù thuoäc AB hay khoâng ta phaûi söû duïng tính chaát cuûa pheùp chieáu song song.

Ñònh lyù: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñieåm C thuoäc ñöôøng caïnh AB laø tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu ñöùng cuûa A, B, C baèng tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu baèng cuûa chuùng.

Ñieàu kieän caàn: C∈AB → C1∈A1B1; C2∈A2B2 → (A1B1C1) = (A2B2C2) Ñieàu kieän ñuû: Neáu AB laø ñöôøng caïnh vaø C laø moät ñieåm sao cho (A1B1C1) =

(A2B2C2) thì C∈AB. (Hình 2.19a)

H

222 BAC ∈

ình 2.18b

Hình 2.17c

Trang 47


Tìm hình chieáu baèng I2. Aùp duïng tæ soá ñôn ba ñieåm hình chieáu ñöùng

baèng tæ soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu baèng (M1 I1 N1 = M2 I2 N2) (caùch tìm nhö hình 2.19b)

Quy taéc 2: Ñieåm chia ñoaïn thaúng trong khoâng gian theo tyû soá naøo thì treân caùc hình chieáu tyû soá ñoù khoâng ñoåi.

I∈AB → I1 ∈ A1B1

2 ∈ A2B2

I A B

Ví duï: Cho ñieåm I∈MN bieát M1N1; M2N2 vaø I1

I

3 ∈ 3 3

1 1 2 2

1 1 2 2 3 3

A IAI KBI B I B I B I

3 3A I A I K= → = = =

chieáut ún

- ∈MN Keùo daøi → I1∈M1N1 Keùo daøi ; I2∈M2N2

Hình 2.21

H

Hình 2.19b

ình 2.19a

Nhaän xeùt:

- Ñieåm thuoäc ñoaïn thaúng keùo daøi thì hình cuûa ñieåm cuõng thuoäc hình chieáu cuûa ñoaïn

ha g keùo daøi.

I Keùo daøi (hình 2.21)

Hình 2.20

Trang 48


- Ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng, neáu bieát moät hình chieáu cuûa ñieåm seõ tìm ñöôïc hình chieáu kia baèng phöông phaùp doùng.

Ví duï: Cho ñoaïn thaúng AB xaùc ñònh ñieåm M AB sao cho nm

MBAM

=∈ (m, n laø

caùc ñoä daøi cho tröôùc).

Giaûi: Vì tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm thaèng haøng baèng tyû soá ñôn cuûa ba ñieåm hình chieáu cuûa chuùng, neân treân ñoà thöùc, muoán xaùc ñònh ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo

tyû soá nm ta chæ caàn xaùc ñònh treân moät hình

hieáu cuûa AB, ví duï treân A B

sao cho M chia A B theo tyû soá

c 2 2 moät ñieåm

M 2 2 2 2 nm .

qua A

phaûi tìm, töø doùng tìm

1.

.4. Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñoaïn thaúng (ñöôøng thaúng

+ Coù moät ñieåm chung höõu haïn u

g thaúng song song

+ Khoâng coù ñieåm chung naøo

Töø ñieàu kieän lieân thuoäc cuûa ñieåm v bieåu dieãn vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng.

1. Hai ñöôøng thaúng (ñoaïn thaúng) caét nhau

Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng thaúng caét nhau laø caùc caëp hình chieáu cuøng teân cuûa chuùng caét nhau taïi moät ñieåm treân cuøng moät

. ôøng hôïp caû hai ñöôøng thaúng thöôøng

I1I2 vuoâng goùc vôùi Ox

Hình 2.22

Caùch xaùc ñònh M xem treân hình veõ: Veõ 2

2 moät ñöôøng thaúng baát kyø, treân ñoù ñaët *

2MA = m vaø **BM = n. Noái *2BB . Ñöôøng

thaúng qua *M vaø song song vôùi *2BB seõ caét

A 2 B 2 ôû ñieåm M 2 2M

M 1∈ A1B

2 )

Trong khoâng gian hai ñöôøng thaúng khaùc nhau thì hoaëc laø:

hai ñöôøng thaúng caét nha→

hai ñöôøn→+ Coù moät ñieåm chung voâ haïn

hai ñö eùo h u.ôøng thaúng ch n a→

aø ñöôøng thaúng ta suy ra caùch

ñöôøng doùng- Trö axb = I → a1 x b1 = I1; a2 x b2 = I2

→ Hình 2.23a

Trang 49


3141 x 1 3242 x 1222 = J2

→ J J vuoâng goùc vôùi Ox

g o hai ñöôøng thaúng laø ñöôøng caïnh

n(3,4) x m(1,2) = J → 121 = J1

1 2

- Tröôøn hôïp moät tr ng

Hình .2 2 3b

Ví duï: Coù C vaø 22222 KBAxDC = 11111 KBAxD =

Muoán

Caùch 1: Söû duïng hình chieáu thöù 3 neáu CDKDCK

bieát CD coù caét AB hay khoâng ta phaûi xeùt K coù thuoäc CD hay khoâng.

333 ∈→∈ .

Caùch 2: Söû duïng tính chaát baûo toaøn tyû soá h chieáu ( )

D khoâng caét nhau vì caùc hình chieáu

ñôn cuûa ba ñieåm hìn 222111 KDCKDC =

Hình 2.24: AB vaø Cñieåm K khoâng thuoäc CD hoaëccuûa K khoâng chia caùc hình chieáu cuøng teân cuûa CD theo cuøng moät tæ soá. Hình 2.24

2. Hai ñöôøng thaúng song song nhau

→ a // b → a1 // b1; a2 // b2 m (3,4) // n (1,2) 3242 // 1222

3141 // 1121;

Hình 2.25 Trang 50


Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng teân cuûa chuùng cuõng song song nhau h

thaúng song song nhau laø hình chieáu cuøng o ñöôøng thaúng song song nhau thì hình

chieáu cuûa chuùng treân cuøng moät MPHC cuõng song song nhau. - Khi caû hai ñöôøng thaúng ñeàu laø ñöôÑieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñö

aëc: hai

øng caïnh ôøng caïnh AB vaø CD song song nhau laø

22

22

11

11

BADC

BADC

=

AB // CD → A1B1 // C1D1 ; A2B2 // C2D2

Vaø 22

2211 CDC=

11 BAD

BA

cuøng thuoäc moät ñöôøng doùng)

u (hai ñöôøng thaúng khoâng cuøng thuoäc moät

asong song nhau) thì hai ñöôøng thaúng

aúng coù moät ñöôøng thaúng laø ñöôøng caïnh, ta söû duïng tính chaát cuûa pheùp chieáu song song ñeå xaùc ñònh hai ñöôøng ôû vò trí cheùo nhau hay caét nhau treân ñoà

(I1; I2

3. Hai ñöôøng thaúng cheùo nhamaët phaúng)

Neáu ñoà thöùc cuûa hai ñöôøng th úng khoâng thoaû maõn caùc ñieàu kieän caét nhau (hay cheùo nhau.

- Kh thi hai ñöôøng

thöùc.

Hình 2.27

Hình 2.26

I

I

a) b) c)

Trang 51


- khi hai ñöôøng thaúng coù moät ñöôøng thaúng

haicoù hình chieáu thaáy, ñieåm coù hình chieáu bò che khuaát.

2.5 Bieåu Dieãn Hình Phaúng, Maët

Trong khoâng gian moät maët phaúng ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc yeáu toá:

+ Ba ñieåm khoâng thaúng haøn

+ Moät ñöôøng vaø moät ñieåm khoâng t

+ Hai ñöôøng thaúng caét nhau.

+ Hai ñöôøng thaúng song song nhau.

Muoán bieåu dieãn maët phaúng, ta bieåu dieãn caùc yeáu toá xaùc ñònh maët phaúng.

laø ñöôøng caïnh, ta söû duïng tính chaát cuûa pheùp chieáu song song ñeå xaùc ñònh hai ñöôøng ôû vò trí cheùo nhau hay caét nhau treân ñoà thöùc (hình 2.25b, hình2.25c)

- Hình 2.26 minh hoïa khoâng gian cuûa ñöôøng thaúng cheùo nhau vaø dieãn taû ñieåm

. Phaúng

g.

huoäc ñöôøng.

α γ (a) (b) (c) (d)

mpα (A,B,C) mpγ (C,a) mp Q (AB x AC) mp P ( AB // CD)

Hình 2.28

Hình 2.29

Trang 52


Ngoaøi ra ngöôøi ta coøn bieåu dieãn maët phaúng baèng giao tuyeán cuûa noù vôùi heä thoáng …; v …(hình 2.28) maët phaúng hình chieáu goïi laø veát. Kyù hi

mpα (veäu: v1 2

1α;v2α)

β

1

T (maët phaúng) coù vò trí baát kyø thì t chuùng laø nhöõng hình phaúng (maët phaúng) coù vò trí baát k

( hình 2.29 vaø hình 2.30)

Khi veõ ñoà thöùc hình phaúng coù soá ñænh 4 , chuù yù thoûa maõn ñieàu kieän giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo thuoäc ñöôøng doùng kheùp kín

(hình 2.31)

2. Hình phaúng (maët phaúng) vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu

Hình phaúng vuoâng goùc vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa noù leân MPHC aáy laø moät ñoaïn thaúng. Hai hình chieáu coøn laïi laø hai hình phaúng coù vò trí baát kyø trong heä truïc.

- Maët phaúng coù vò trí vuoâng goùc vôùi MPCH P1: goïi laø maët phaúng chieáu ñöùng.

- Maët phaúng coù vò trí vuoâng goùc vôùi MPCH P2: goïi laø maët phaúng chieáu baèng.

- Maët phaúng coù vò trí vuoâng goùc vôùi MPCH P3: goïi laø maët phaúng chieáu caïnh.

Hình 2.30

. Hình phaúng, maët phaúng baát kyø

rong khoâng gian hình phaúng reân ñoà thöùc hình chieáu cuûa

yø so vôùi heä truïc

≥

Hình 2.31

Trang 53


A1B1C1: laø moät ñoaïn thaúng mp(ABC) ⊥ MPHC P1

(maët phaúng chieáu ñöùng)

mp(GEF) ⊥ MPHC P2

(maët phaúng chieáu ba

G2E2F2: laø 1 ñoaïn thaúng

èng)

mp(ABC) ⊥ MPHC P (maët phaúng chieáu caïnh) 3

Hình 2.32

Hình 2.33

Hình 2.34

Trang 54


Bieåu dieãn maët phaúng chieáu ñöùng, chieáu baèng vaø maët phaúng chieáu caïnh baèng veát (hình 2.35)

α

α

γ

γ

3. Hình phaúng (maët phaúng) song song vôùi moät MPHC

Hình phaúng song song vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa noù leân MPHC ñoù song song vaø baèng chính noù (baèng hình thaät). Hai hình chieáu coøn laïi laø hai ñoaïn thaúng song song vôùi hai truïc taïo neân MPHC ñoù.

- Maët phaúng coù vò trí song song vôùi MPCH P1: goïi laø maët phaúng maët

- Maët phaúng coù vò trí song song vôùi MPCH P2: goïi laø maët phaúng baèng

- Maët phaúng coù vò trí song song vôùi MPCH P3: goïi laø maët phaúng caïnh

(Vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng hình chieáu coøn laïi)

Hình 2.35

Hình 2.36

Trang 55


Bieåu dieãn maët phaúng maët, maët phaúng baèng, maët phaúng caïnh baèng veát.

β

α

α

αα

γ

γ

mpα // MPHC P2 mpα(v1α,x) // γ(v1γ,v2γ) // P3 mpβ(v1β,x) // P2

oïi ñieåm cuûa noù coù hai h

2.6. Söï Lieâ

ø ñöôøng thaúng ô

Q

b. Ñieåm A thuoäc maët phaúng Q neáu A thuoäc moät ñöôøng thaúng naøo ñoù cuûa maët phaúng Q

Töø ñoù ñeå bieåu dieãn söï lieân thuoäc cuûa ñieåm vôùi maët phaúng hay cuûa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng ñöôïc ñöa veà vieäc bieåu dieãn söï lieân thuoäc cuûa moät ñieåm vôùi ñöôøng thaúng ñaõ hoïc.

ÖÙng duïng: - Döïng caùc ñieåm hoaëc ñoaïn thaúng trong hình phaúng, maët phaúng

- Tìm hình chieáu coøn laïi cuûa ñieåm hoaëc ñoaïn thaúng khi bieát moät hình chieáu cuûa chuùng.

Ví duï 1: Cho ñieåm bieát E1 tìm E2 ?

Giaûi: Gaén E vaøo AN cuûa ABC. Noái A1E1 keùo daøi coù N1∈B1C1

Doùng tìm N2 ∈B2C2 → noái A2N2

Doùng tìm E2∈A2N2.

P2 mp

Hình 2.37

Chuù yù: maët phaúng phaân giaùc G laø maët phaúng duy nhaát maø m2

ình chieáu truøng nhau.

n Thuoäc Cuûa Ñieåm, Ñoaïn Thaúng, Maët Phaúng

Coù hai meänh ñeà laøm cô sôû cho töông quan lieân thuoäc giöõa ñieåm va v ùi maët phaúng:

a. Ñöôøng thaúng d thuoäc maët phaúng Q neáu d coù hai ñieåm thuoäc maët phaúng

( )C,B,AmpE∈

Hình 2.38a

Trang 56


Ví duï 2: Cho ñieåm ( )ααα∈ 21 v,vmpA bieát A1 tìm A2 ?

1 2 1 1 1

1 1 1 x) → doùng tacoù C2D2 ( vôùi C2≡ Ox vaø D2≡v2R) → doùng tìm A2∈C2D2.

hoûa maõn: coù MN∈(ABC) vaø vò trí MN phaûi baát kyø so vôùi heä thoáng

M N⎧

L phaúng. V → noái MN. Treân ñoà thöùc laáy: M1∈A1B1 ; N1∈B1C1

Doùng tìm M2N2 (M2∈A2B2 ; N2∈B2C2) Noái M1N1 ; M2N2 ta coù MN(M1N1;M2N2) ph

Hình 2.38b

Gaén A vaøo CD (CD ∈ mpR) vôùi C∈P vaø D∈P → treân ñoà thöùc qua A keû C D (vôùi C ≡ C ≡ v R vaø D ≡ O

Ví duï 3: Cho ( )C,B,Amp döïng ñöôøng thaúng MN baát kyø thuoäc maët phaúng. Ñoaïn MN phaûi t MPHC.

M (A B C )∈⎧ N (A B C )∈⎧M∈(ABC) → 1 1 1 1

2 2 2 2M (A B C )⎨ ∈⎩ ; N∈(ABC) → 1 1 1 1

2 2 2 2N (A B C )⎨ ∈⎩

MN baát kyø → 2 2M N⎨

⎩baát kyø so vôùitruïc.

1 1

Hình 2.38c

aáy hai ñieåm M,N baát kyø cuûa maëtí duï M∈AB ; N∈BC

aûi döïng.

Trang 57


Ví duï 4: Cho maët phaúng xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng thaúng caét nhau p, q. Döïng moät ñöôøng baèng cuûa maët phaúng (pxq).

Giaûi: Ñöôøng baèng cuûa maët phaúng laøñöôøng

thaúng thuoäc maët phaúng vaø song song vôùi maët phaúng hình chieáu baèng. Giaû söû b laø ñöôøng baèng phaûi döïng thì b1 // Ox vaø b∈ mp(p x q)

Keû b1 // Ox ta coù M1 = b1 x p1

N1 = b1 x q1

Doùng tìm M2∈ p2 ; N2∈q2

Ñöôøng thaúng b2 ≡ M2N2 laø hìnhaèng cuûa ñöôøng baèng.

phaúng ñöôïc bieåu dieãn baèng veát thì moät ñöôøng thaúng seõ thuoäc maët phaúng aáy neáu caùc veát cuûa noù thuoäc caùc veát cuøng teân cuûa maët phaúng.

chieáu b

Ñöôøng baèng b (b1; b1), laø ñöôøng phaûi döïng. Chuù yù:

- Khi maët

Hình 2.39

α

α

α

αα

Ñoaïn 1,2∈ mp Q (v1Q,v2Q) Ñoaïn 3,4 ∈mp α (v1α ,v2α) vaø ñieåm 5∈3,4 → 5∈mp α

- Ñöôøng thaúng thuoäc maët phaúng neáu noù song song vôùi moät veát cuûa maët phaúng ñoù vaø caét veát kia taïi moät ñieåm (chính laø ñöôøng baèng hoaëc ñöôøng maët cuûa maët phaúng). (Hình 2.41)

α

α Ñ ∈ mp α (v1α ,v2α)

Hình 2.40

öôøng baèng b∈ mp α (v1Q,v2Q) Ñöôøng maët mHình 2.41

Trang 58


Ví duï 5: Cho ( )C,B,Amp bieát hình chieáu ñöùng D1 cuûa ñieåm D thuoäc A1B1C1 bieát hình chieáu D2 (hình 2.42). Xaùc ñònh vò trí cuûa D. Giaûi:

äy ñieåm

ùch döïng moät ñieåm

maët phaúng hay khoâng thuoäc

ñöôøng thaúng voâ taän ñöôïc bieåu dieãn baèng höôùng cuûa moät maët phaúng. Vì vaäy xeùt moät ñieåm voâ taän coù thuoäc moät ñöôøng thaúng voâ taän hay khoâng laø xeùt ñöôøng thaúng a xaùc ñònh ñieåm voâ taän coù song song vôùi maët phaúng

Hình 2.42

Noái A1D1 coù E1 → doùng tìm E2∈B2C2

Noái A2E2 keùo daøi. Ta thaáy D2 khoâng thuoäc A2E2, nhö va D khoâng thuoäc mp(ABC)

Töø ví duï treân ta suy ra ca baát kyø cuûa maët phaúng hoaëc xeùt xem

ñieåm naøo ñoù coù thuoäc maët phaúng. Tham khaûo: Söï lieân thuoäc cuûa ñieåm vaø ñöôøng thaúng voâ taän

Ñieåm voâ taän ñöôïc bieåu dieãn baèng höôùng cuûa moät ñöôøng thaúng. Moät

∞A ∞b

∞A β xaùc ñònh ñöôøng thaúng voâ taän hay khoâng.

Ví duï: Cho ñieåm xaùc ñònh bôûi höôùng cuûa ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng thaúng

xaùc ñònh bôûi höôùng cuûa

∞b

∞A

∞b ( )mp p x qβ . Xeùt xem ñieåm coù thuoäc hay khoâng ?

giao ñieåm O cuûa p x q ta v // a: (d1 // a1;d2 // a2) ñieåm voâ taän

b. Ñeå xem ∞ coù thuoäc ∞b hay khoân

∈d xeùt ñieåm K coù thuoäc mpβ hay khoâng (vì ñaõ coù O∈d → O∈ mpβ)

d. Qua K1 döïng ñöôøng caét: p1 taïi E1 vaø q1 taïi F1.

Doùng tìm E2,F2 → ta coù EF∈mpβ

K1∈E1F1 nhöng K2 khoâng thuoäc E2F2

→ nhö vaäy K khoâng thuoäc EF vaø K khoâng thuoäc mp

→ vaäy d ≡ Ok khoâng thuoäc mpβ→ ñi oâng thuoäc ñöôøng thaún

∞A ∞b

a. Qua eõ ñöôøng d cuûa a cuõng laø ñieåm voâ taän cuûa d.

Ag ta xeùt xem d coù thuoäc

mpβ (p x q) hay khoâng.

c. Laáy ñieåm K

β.

g .

Hình 2.43

eåm ∞A kh ∞b

Trang 59


2.7. Khuaát T

coù puaát. Khi dieãn taû vaät theå treân ñoà thöùc ta cuõng phaûi dieãn taû caû phaàn thaáy vaø

phaàn khuaát. Phaàn thaáy ñöôïc theå hieän baèng neùt lieàn cô baûn, phaàn khuaát ñöôïc theå hieän baèng neùt ñöùt hoaëc khoâng veõ.

eåm coù hình chieáu truøng nhau treân moät MPHC, muoán ieát ñ

ù thaáy.

Quy Öôùc Thaáy reân Ñoà Thöùc

1. Khaùi nieäm

Khi quan saùt trong khoâng gian vaät theå haàn ñöôïc nhìn thaáy vaø coù phaàn bò che kh

2. Caùch xaùc ñònh thaáy, khuaát

Nguyeân taéc: Neáu nhieàu ñib ieåm naøo thaáy, ñieåm naøo bò che khuaát phaûi doùng sang MPHC kia.

- Ñieåm naøo coù hình chieáu xa truïc ñieåm ño

- Ñieåm coøn laïi gaàn truïc hôn bò che khuaát.

Treân MPHC P

2 D

áy h c

OX → 21 khuaát

→ 12

2: doùng tìm 31 vaø 41

→ 41

→ 31 xa truïc OX → thaáy.

Hình 2.44

Treân MPHC P1 Treân MPHC P3

A: thaáy : thaáy E: thaáy B: khuaát C: khuaát F: khuaát

Ví duï: Xaùc ñònh tha , k uaát uûa giao ñieåm h

ai ñöôøng thaúng cheùo nhau a, b.

Giaûi: Xeùt treân P1: 11 21 = doùng tìm 12 vaø 22

→ 22 gaàn truïc xa truïc OX → 11 thaáy Xeùt treân P 22 43 =

gaàn truïc OX → 42 khuaát. 32

Hình 2.45

Trang 60


2.8. Nhöõng Baøi Toaùn Veà Vò Trí

1. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng (hình phaúng)

ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng laø ñieåm vöøa thuoäc ñöôøng thaúng vöøa thuoäc

d x mpQ = A →A d∈⎧

g, maët phaêng trong heä thoáng maët p

a. Ñöôøng thaúng baát kyø, maët phaúng ñaëc bieät

Baøi toaùn 1: Cho maët phaúng chieáu baèng (ABC) vaø ñöôøng thaúng d. Xaùc ñònh giao ñieåm cuûa d vôùi maët phaúng (ABC)

giaûi: Goïi I laø giao cuûa d vaø ABC vì

ABC laø maët phaúng chieáu baèng, neân moïi äc ABC ñieàu coù hình chieáu

Giao ñieåm cuûa maët phaúng.

A mpQ⎨ ∈⎩

Hình 2.46

Sau ñaây laø caùc vò trí töông quan cuûa ñöôøng thaúnhaúng hình chieáu.

ñieåm thuobaèng thuoäc ñöôøng A2BB

I2∈A2B2C2 . Töø I2 1∈ d1 ñieåm I(I

ø giao phaûi tìm.

khuaát.

2C2. Do ñoù → I 2∈d2

doùng tìm I 1,I2) la

Hình 2.47b ví duï töông töï nhö treân nhöng hình phaúng DEF coù vò trí vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu ñöùng.

Sau khi tìm giao ñieåm K ta xeùt thaáy

I

IHình 2.47a

Hình 2.47b

Trang 61


b. Ñöôøng thaúng ñaëc bieät, maët phaúng baát kyø

ñoaïn

P2 → M2 ≡ N2 ≡ K2

Tìm K baèng phöông phaùp gaén n

Ñieåm gaén K vaøo ñoaïn 12∈mpα → (K2∈1222).

Doùng tìm 1121: 1121 x M1N1 =K1

Ñieåm K(K1,K2) laø ñieåm phaûi tìm.

Nhaän xeùt: Neáu moät trong hai yeáu toá (ñöôøng thaúng hoaëc maët phaúng) ôû tröôøng hôïp ñaëc bieät, ta coù ngay moät hình chieáu cuûa giao ñieåm ôû moät MPHC naøo ñoù, tìm caùc hình chieáu kia baèng phöông phaùp doùng hoaëc gaén ñieåm.

PHC

laø veát ñöùng.

laø veát baèng.

aø veát caïnh.

giao cuûa BA vôùi MPHC P1 vaø MPHC P2

Baøi toaùn 2: tìm giao ñieåm K cuûa MN⊥ P2 vaø mpα(axb) Giaûi: Töø yeáu toá MN⊥

1

ñieåm vaøo moät ñoaï cuûa maët.

Hình 2.48

c. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vôùi MPHC

Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vôùi M ñöôïc goïi laø veát.

- Ñöôøng thaúng caét MPHC ñöùng: goïi

- Ñöôøng thaúng caét MPHC baèng: goïi

- Ñöôøng thaúng caét MPHC caïnh: goïi l

Ví duï 3: Cho ñoaïn BA, haõy xaùc ñònh

.49Hình 2

Trang 62


Trang 63

iaûi: Ta bieát vaø ; BAK ∈ vaø 2PK∈G BAI∈ 1PI∈ Vì vaäy

Treân ñoà thöùc: I K ; I K laø hình chieáu cuûa IK treân P1 vaø P2 ñoàng thôøi laø giao ñieåm ù hình chieáu cuûa IK.

g hôïp ñöôøng thaúng caïnh, khi tìm veát cuûa n ie c ñöôøng

ng caïnh khi caùc hình chieáu cuûa ñieåm chia caùc ñoaïn g thaúng

ùng sang

. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng baát kyø vôùi maët phaúng baát kyø

1 1 2I I P I Ox≡ ≡ → ∈

2 2 1K K P K Ox≡ ≡ → ∈

1 1 2 2

cuûa BA keùo daøi. Noái I1K1; I2K2 ta co

Tröôønoù chuù yù ñieàu k än moät ñieåm thuoä

thaú thaúng hình chieáu töông öùng cuûa ñöôøn

caïnh theo cuøng moät tyû soá hoaëc söû duïng doMPHC P3 (hình 2.50)

dTìm giao cuûa ñöôøng thaúng d vôùi maët phaúng α ?

- Giao ñieåm tìm ñöôïc phaûi thuoäc d vaø thuoäc mpα : I∈d ; I∈mpα

- Qua d döïng maët phaúng phuï trôï R:

mpR(d)xmpα =t → t mp⎨ ∈ α⎩

; txd = I → I d

t mpR(d)∈⎧ I t∈⎧⎨ ∈⎩

- Töø ñoù suy ra: I∈d vaø I∈mpα → vaäy I chính laø giao

(ñeå thuaän lôïi cho vieäc tìm giao tuyeán phuï t treân ñoà thöùc ta choïn maët phaúng phuï trôï R laø maët phaúng chieáu). Caùc böôùc thöïc hieän:

+ Döïng qua ñöôøng thaúng d maët phaúng phuï trôï R ( ⊥ MPHCP1 hoaëc ⊥ MPHCP2) + Xaùc ñònh giao tuyeán phuï t cuûa maët phaúng R vaø maët phaúng ñaõ cho. + Xaùc ñònh giao ñieåm I cuûa d vaø giao tuyeán phuï t → chính laø giao ñieåm phaûi tìm. + Xeùt thaáy khuaát.

Hình 2.50

Hình 2.51

α

ñieåm phaûi tìm.

Töø lyù luaän khoâng gian ta coù caùc böôùc döïng tìm giao ñieåm treân ñoà thöùc.

mpR mpR


Ví duï 1: Tìm giao ñieåm K cuûa ñöôøng thaúng m vaø maët phaúng (ABC)

Hình 2.52

Caùch laøm:

• Döïng maët phaúng phuï trôï R chöùa m vaø vuoân

• Tìm giao tuyeán R x ABC =12 ; Vì R ⊥ MPH

Doùng xuoáng tìm 1

g goùc vôùi P1

CP1 neân ta coù ngay 1121

2) chính laø giao ñieåm caàn tìm.

2.52)

Ví duï 2: Cho maët phaúng R(v1R, v2R) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm giao ñieåm cuûa maët haúng Rxd = k.

Giaûi:

Maët phaúng R vaø ñöôøng thaúng d ñeàu coù vòphaún

PHCP1

chieáu ñöùng cuûa giao tuyeán phuï

Tìm M N (töông töï ta coù N ≡

2 2 2 2 doùng tìm K1 K (K1, K2) laø ñieåm caàn tìm (hình 2.53)

Hình 2.53

222.

• 1222 x m2 = K2 doùng leân tìm K1∈1121 ; K(K1K

• Xeùt thaáy khuaát (xem hình

p

trí baát kyø neân ta phaûi söû duïng maët g phuï trôï. • Phuï trôï Q (v1Q vaø v2Q) chöùa d vaø

vuoâng goùc vôùi M• Do Q ⊥ P1 neân ta coù ngay hình

M1N1(M1≡M). → 2 2

( 2 N).

• M N x d = K →

Trang 64


Ví duï 3: Cho ñöôøng thaúng d (d1d2) vaø maët phaúng Q xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng p,q caét nhau taïi ñieåm O. Veõ giao ñieåm cuûa d vaø maët phaúng Q.

g maët phaúng chieáu ñöùng R aët phaúng R

mpR (d) x mp Q (pxq) = MN Vì maët phaúng R ⊥ P1. Ta coù ngay M1N1

doùng tìm M N

2 2 2=I doùng tìm I1

Ñieåm I (I1I2) laø giao ñieåm phaûi tìm.

2. Giao tuyeán cuûa hai maët phaúng(hình phaúng)

+ Giao tuyeán laø moät ñoaïn thaúng chung thuoäc caû hai hình phaúng.

+ Tìm ñöôïc hai ñieåm chung cuûa hai hình phaúng, noái laïi seõ coù giao tuyeán.

+ Ñeå tìm hai ñieåm chung cuûa hai hình phaúng, ta söû

Phöông phaùp 1:

- Tìm hai giao ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng cuûa hình naøy caét hình kia (hoaëc ngöôïc laïi) roài noái chuùng laïi ta coù giao tuyeán.

:

- o ñeå tìm moät ñieåm chung g nöõa, noái chuùng ình 2.55)

Giaûi: • Qua d döïn• Tìm giao ñieåm phuï cuûa m

vaø maët phaúng Q

→ 2 2

• Giao ñieåm cuûa M N x d 2 →

duïng:

Phöông phaùp 2

Duøng maët phaúng phuï trôï caét caû hai maët phaúng ñaõ ch cho caû 3 maët phaúng. Thöïc hieän töôn töï ñeå tìm theâm moät ñieåm chung laïi ta coù giao tuyeán.(H

Hình 2.55a

Hình 2.54

mpQ(DEF) x mp(ABC)?

Giao tuyeán laø IK

AB∈(ABC) x mpQ = K AC∈(ABC) x mpQ = I

Trang 65


mpP (e // g) x mpQ(hxf)? mp Phuï trôï R x mpP =AB ; mpR x mpQ = CD AB x CD =I (I∈ mpP ; ∈mpQ;

P

∈mpR) → I∈ mpP vaø I∈mpQ → I∈ thuoäc

Töông töï ta coù ñieåm K→noái IK→coù giao tuyeán.

giao tuyeán

Sau ñaây laø caùc tröôøng hôïp:

g c bieät

Ví duï 1: tìm giao tuyeán vaø xeùt thaákhuaát cuûa hai hình phaúng ABC x DEF = IKbieát DEF ⊥ P1

Giaûi : do DEF ⊥ P (laø ñoaïn

thaúng). Ta coù I K doùng tìm I K Xeùt thaáy khuaát (hình 2.56)

nh thaúng ABCD x EFGH = IK bieát EF

GV ôùi E2F2G2H2 ta xaùc

ñònh ân tìm ñöôïc K1.

Hình 2.56

Hình 2.55b

Chuù yù: maët phaúng phuï trôï, thoâng thöôøng ñöôïc choïn laø maët phaúng chieáu ñeå vieäc veõ giao tuyeán treân ñoà thöùc ñöôïc deã daøng.

hôïp ñaëa. Moät trong hai yeáu toá ôû tröôøn

y

1→I 1 K 1 ≡D 1 E 1 F 1

1 1 2 2

Ví duï 2: Tìm giao tuyeán vaø xeùt thaáy khuaát hai hì

GH ⊥ P2

iaûi: ì EFGH ⊥ P2 neân hình chieáu baèng cuûa giao tuyeán truøng v

ñöôïc K2I2 doùng le

Ñieåm I1 phaûi tìm baèng phöông phaùp gaén ñieåm (gaén I thuoäc KM, bieát K2M2 doùng leân tìm K1M1 caét E1F coù I1 xeùt thaáy khuaát nhö hình veõ 2.57

Trang 66


Ví duï 3: cho maët phaúng R (v1R,v2P) vaø án cuûa hai maët phaúng bieát mpQ ⊥ P1.

Vì hai maët phaúng bieåu dieãn baèng veát ta coù ngay hai ñieåm chung M vaø N. Tìm hchieáu cuûa MN, roài noái laïi coù giao tuyeán hai hphaúng caét nhau (Hình veõ 2.58)

Nhaän xeùt: Khi moät trong hai yeáu t

tröôøng hôïp ñaëc bieät thì ta coù ngay hì chiao tuyeán ôû m tìm hình chieáu coøn laïi

aén ñieåm.

án mp(ABC) x mp(M ⊥ P

haønh moät ñieåm (ñieåm giao cuûa hai hình phaúng ôû MPHC P2) doùng leân ta ñöôïc I1K1 (giao tuyeán laø phaàn giôùi haïn giöõa hai hình

Hình 2.57

maët phaúng Q (v1Q, v2Q) tìm giao tuye

neân ình ình

oá ôû ieáu nh

g oät MPHC, Hình 2.58

Hình 2.59

cuûa giao tuyeán baêng phöông phaùp doùng hoaëc g

b. Caû hai yeáu toá ôû tröôøng hôïp ñaëc bieät:

Ví duï 4: Tìm giao tuyeNPQ) = IK bieát (ABC)⊥ P , MNPQ 2 2

Do hai hình phaúng vuoâng goùc vôùi MPHCneân giao tuyeán IK cuõng vuoâng goùc vôùi P

P2 2.

I2K2 trôû t

phaúng)

Xeùt thaáy khuaát hình 2.59

Trang 67


Ví duï 5: Tìm giao tuyeán hai hình phaúng mp R (v1R, v2R), mp Q (v1Q, v2Q) bieát mp R vaø mp Q cuøng vuoâng goùc vôùi P1 → mp R x mp Q = MN (Hình veõ 2.60a)

(a) (b)

Hình 2.60b bieåu dieãn tröôøng hôïp maët phaúng Q caét maët phaúng R, khi maët phaúng R vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu P1; maët phaúng Q vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu P2

c. Caû hai yeáu toá ôû tröôøng hôïp baát kyø

Trong tröôøng hôïp naøy chöa coù ngay hình chieáu giao tuyeán ôû MPHC naøo. Do vaäy ta phaûi tìm ít nhaát hai ñieåm chung, noái laïi seõ ñöôïc giao tuyeán.

í duï 6: Tìm giao tuyeán hai hình phaúng BC x DEHF

õ 2.61

Hình 2.60

VA

Giaûi: - Tìm giao ñieåm ED x mp (ABC) = I

- Tìm giao ñieåm HF x mp (ABC) = K Noái IK ta ñöôïc giao tuyeán Xeùt thaáy khuaát hình ve

Chuù yù: Caùch tìm giao ñieåm I;K chính laø thöïc hieän baøi toaùn tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng baát kyø vaø maët phaúng baát kyø nhö ñaõ hoïc.

Hình 2.61

Trang 68


Ví duï 7: Tìm giao tuyeán mpR (v1R,

ay treân ñoà thöùc moät hình

chieá

tuyeán cuûa mpP (e // g) vaø mp Q (h x f) (xem khoâng gian Hình 2.63)

v2R) vaø mpQ (v1Q, v2Q) Vì mp R vaø mp Q ñöôïc bieåu dieãn

baèng veát neân ta coù ng chieáu cuûa hai ñieåm chung, duøng

phöông phaùp doùng ñeå hoaøn thieän hình u cuûa giao tuyeán (xem hình 2.62)

Hình 2.62

Ví duï 8: Tìm giao

I

I

Giaûi: Ñeå coù 1 ñieåm chung cuûa hai maët phaúng P vaø Q ta caét P vaø Q baèng moät maët

phaúng R. mp chieáu ñöùng g x mpR)= =

aø I ∈ mp Q.

Ñeå coù ñieåm chung thöù hai K: Ta thöïc higoùc vô

Hình 2.63

R x mp P AB ( A e x mpR; B =

mp chieáu ñöùng R x mp Q CD ( C h x mpR; D f x mpR)= = =

Hai giao tuyeán phuï AB vaø CD cuøng thuoäc mp R neân seõ caét nhau taïi 1 ñieåm I → I ∈ mp P v

eän töông töï, duøng mp phuï trôï R’ vuoâng ùi maët phaúng hình chieáu P2

mp R'x mp P MN ( M e x mpR'; N g x mpR')= = =

mp R ' x mp Q UT ( U f x mpR '; T h x mpR ')= = =

Trang 69


Hai giao tuyeán phuï MN x UT = K → Noái I vaø K ta coù giao tuyeán IK (I1K1,I2K2) pha

Chuù yù: maët phaúng phuï trôï R vaø R’ ñöôïc choïn laø caùc maët phaúng chieáu. Ñeå tìm caùc giao tuyeán phuï, tmaët h

Caùc ñieåm I vaø K cuûa giao tuyeán coù theå laø nhöõng ñieåm höõu haïn hay nhöõng ñieåm vo ø ñieåm voâ taän thì hai mp P vaø mp Q caét nhau theo ñöôøng thaúng voâ taän, töùc laø hai maët phaúng song song vôùi nhau.

nh giao ñieåm ñöôøng thaúng vaø maët

ûi tìm.

a aùp duïng baøi toaùn tìm giao tuyeán cuûa maët phaúng ñaëc bieät vaø p aúng baát kyø ñaõ hoïc.

â taän. Neáu caû hai ñieåm ñeàu la

3. Moät vaøi baøi toaùn a. Ta xeùt hai baøi toaùn vò trí cô baûn: xaùc ñò

phaúng; giao tuyeán hai maët phaúng.

Baøi toaùn 1: Döïng ñöôøng thaúng d ñi qcheùo nhau p, q.

ua ñieåm A vaø caét caû hai ñöôøng thaúng

Hình 2.64

Giaûi: - Vì ñöôøng thaúng d ñi qua A vaø caét ñöôøng thaúng p neân d laø moät ñöôøng thaúng

cuûa moät maët phaúng (A,p). - Töông töï ñöôøng thaúng d qua A vaø caét ñöôøng thaúng q neân d laø moät ñöôøng

thaúng cuûa maët phaúng (A, q).Do ñoù d laø giao tuyeán cuûa: mp (A, p) x mp (A, q) = d - Hai maët phaúng ñaõ coù moät ñieåm A chung, ta chæ caàn tìm theâm moät ñieåm

chung nöõa. - Baøi toaùn ñöa veà tìm giao ñieåm B cuûa ñöôøng thaúng p x mp (A,q) hoaëc q x mp

(A,p).

Trang 70


- (giao ñieåm ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng)

g ñöôøng thaúng d song song vôùi ñöôøng thaúng l vaø caét hai ñöôøng thaúng cheùo nhau p vaø q.

- Noái AB ta coù ñöôøng thaúng d caàn tìm (Hình veõ 2.64)

Baøi toaùn 2: Döïn

α β

l

l

l

Giaûi: Baøi toaùn laø tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn 1 khi A laø ñieåm voâ taän. Do ñoù ñöôøng

thaúng d caàn tìm laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng. Maët phaúng α chöùa p vaø song song vôùi l vaø maët phaúng β chöùa q vaø song song vôùi l.

Caùc böôùc thöïc hieän:

α- Qua O ∈ p döïng ñöôøng thaúng u // l → mp (p x u) // l

o tuyeán cuûa mp

- Qua O’ ∈ q döïng ñöôøng thaúng v // l → mp β (v x q) // l

- Tìm gia α x mp β = d

Do giao tuyeán d caàn tìm seõ song song vôùi l neân ta chæ caàn tìm moät ñieåm chung cuûa hai maët phaúng α vaø maët phaúng β (ñieåm B) töø B keû ñöôøng thaúng song song vôùi l ñoù chính laø ñöôøng d phaûi döïng.

- Baøi toaùn ñöa veà: tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:

Ñöôøng thaúng p x mp β (v x q) hoaëc ñöôøng thaúng q x mp α (p x u)

- Treân ñoà thöùc ta tìm ñieåm chung B baèng phöông phaùp söû duïng maët phaúng phuï trôï chieáu baèng caét caû hai maët phaúng α vaø maët phaúng β.

Khi coù ñieåm B chung → Töø B1 keû d1 // l1 ; Töø B2 keû d2 // l2 → ñöôøng d (d1d2) Laø ñöôøng thaúng caàn tìm thoaû maõn ñieàu kieän ñaàu baøi (Hình 2.65)

Hình 2.65

-

Trang 71


b. Nhöõng baøi toaùn veà löôïng.

Ta xeùt hai baøi toaùn cô baûn: Xaùc ñònh ñoä daøi cuûa moät ñoaïn thaúng vaø döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng.

Baøi toaùn 3: Cho ñoaïn AB (A1B1, A2B2). Xaùc ñònh ñoä daøi cuûa ñoaïn AB.

Hình 2.66

v 2 0

ïnh AB0 song song vaø baèng A1B1 vaø caïnh BB0 baèng hieäu ñoä saâu cuûa hai ñieåm A vaø B.

yeàn cuûa nhöõng tam giaùc vuoâng treân. Nhöõng tam giaùc vuoâng naøy veõ ñöôïc theo caùc hình chieáu cuûa ñoaïn AB.

oä cao cuûa AB (keû B1n // Ox) + Töø A2 keû A2m ⊥ A2B2 vaø ñaët töø A2 hieäu ñoä cao treân coù A* + Noái A* B2 coù A*B2 = AB (ñoä daøi thaät).

(Töông töï thöïc hieän khi tìm treân MPHC P1)

Ta söû duïng tìm ñoä daøi thaät (ÑDT) baèng phöông phaùp xoay.

- Giöõ coá ñònh moät ñieåm ñaàu ñoaïn thaúng, dòch chuyeån ñaàu coøn laïi ñeán vò trí sao cho ñoaïn thaúng song song vôùi moät MPHC. Nhö vaäy khi ñeán vò trí song song vôùi moät MPHC thì hình chieáu cuûa ñoaïn thaúng treân MPHC aáy seõ coù ñoä daøi baèng ñoä daøi thaät.

- Chuù yù ñieåm ñaàu dòch chuyeån töïa treân maët caàu coù taâm laø ñieåm coá ñònh, baùn kính laø ñoaïn thaúng. Ñeå deã daøng veõ ñoà thöùc ñöôøng dòch chuyeån ñöôïc choïn laø giao tuyeán cuûa maët caàu vaø maët phaúng song song vôùi MPHC coøn laïi.

Phöông phaùp tam giaùc:

- AB laø caïnh huyeàn tam giaùc vuoâng ABA vuoâng ôû A , coù caïnh BA song so0 0 0 ng aø baèng A2B vaø caïnh AA coù ñoä daøi baèng hieäu ñoä cao hai ñieåm A vaø B.

- Töông töï: Vì AB cuõng laø caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng BAB0 vuoâng ôû B0 vaø coù ca

- Do ñoù vieäc xaùc ñònh ñoä daøi ñöa veà vieäc veõ caïnh hu

Thöïc hieän treân ñoà thöùc: + Xaùc ñònh hieäu ñ

Trang 72


Thöïc hieän treân ñoà thöùc:

• Coá ñònh ñieåm A1 keû A1 n // Ox.

• Laáy A1 laøm taâm quay cung troøn coù baùn kính A1B1 (cung troøn caét A1 n cho ta ñieåm )

• Töø B2 keû B2m // Ox

• Gioùng xuoáng B2m coù

• Noái A2 vaø coù A = AB (Sau khi dòch chuyeån A // MPHC P2)

4: Döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng

uû ñeå moät goùc coù moät caïnh song song vôùi MPHC laø moät goùc vuoâng, laø hình chieáu thaúng goùc cuûa no laø moät goùc vuoâng.

maët a ñöôøng maët cuûa maët phaún

2

1 ⊥ m1 vaø d2 ⊥ b h

i ñöôøng thaúng caét n u

Khi maët phaúng Q song song vôùi truïc x thì ñöôøng thaúng d vuoâng goùc seõ laø ñöôøng aïnh. Nhöõng ñöôøng baèng vaøø ñöôøng maët cuûa Q seõ song song nhau (song song vôùi truïc

X). M i xeùt ñieàu kieän ñeå d vuoâng gocù vôùi ñöôøng thaúng khaùc

Hình 2.67

*1A

*1A *

2A *2A 2 *

2A*A

Baøi toaùnÑònh lyù cô sôû ñeå giaûi baøi toaùn naøy laø ñònh lyù veà hình chieáu thaêûng goùc maø ta

ñaõ noùi ñeán ôû phaàn ñaàu. ÔÛ ñaây ta phaùt bieåu ñònh lyù döôùi daïng khaùc nhaèm phuïc vuï cho vieäc giaûi quyeát vaán ñeà ñöôïc neâu ra.

Ñieàu kieän aét coù vaø ñù treân MPHC aáy cuõng

Neáu d vuoâng goùc vôùi maët phaúng Q thì d vuoâng goùc vôùi moïi ñöôøng thaúng thuoäc ph úng Q, ta choïn d phaûi vuoâng goùc vôùi ñöôøng baèng vaøg Q.

+ d ⊥ m thuoäc mpQ→ goùc vuoâng (d, m) chieáu leân Q1 laø moät goùc vuoâng.

+ d ⊥ b thuoäc mpQ → goùc vuoâng (d, b) chieáu leân Q laø moät goùc vuoâng.

Toùm laïi: neáu d ⊥ mpQ thì d1⊥ m1 vaø d2 ⊥ b2. Ngöôïc laïi neáu thì d2 t ì d vuoâng goùc ñöôøng baèng vaø ñöôøng maët cuûa maët phaúng Q.

(Chuù yù: d vuoâng goùc vôùi maët phaúng Q khi vaø chæ khi m vaø b laø haha cuûa maët phaúng Q (caét nhau taïi ñieåm höõu haïn). Töùc khi maët phaúng Q khoâng

phaûi laø maët phaúng song song vôùi truïc x).

cuoán xaùc ñònh d luùc naøy phaû

cuûa mpQ. (ví duï d vuoâng goùc vôùi ñöôøng caïnh cuûa mpQ).

Trang 73


Ví duï: Qua ñieåm A döïng ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng Q (p x q)

Giaûi:

Döïng ñöôøng baèng b thuoäc maët phaúng Q vaø ñöôøng maët m thuoäc maët phaúng Q.

ïng (Hình 2.68)

- öïc hieän tieáp baøi toaùn xaùc ñònh giao ñ

- x q). Ta tìm ñoä daøi thaät cuûa ñoaïn AH

döïng ñöôøng vuoâng goùc c

Qua A1 döïng d1 ⊥ m1 ; qua A2 döïng d2 ⊥ b2

d (d1,d2) laø ñöôøng phaûi dö

Ñeå xaùc ñònh chaân ñöôøng vuoâng goùc (H), ta thieåm cuûa ñöôøng d vôùi maët phaúng: d x mpQ(p x q)=H

Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán mpQ(p.

- Hoaëc ví duï xaùc ñònh khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñoaïn hoaëchung cuûa hai ñöôøng cheùo nhau.(Hình 2.69)

Caùch döïng: xaùc ñònh khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng d.

Caùch döïng: ñöôøng IH, vuoâng goùc chung vôùi haiñöôøng cheùo nhau p vaø q.

Hình 2.68

Hình 2.69

Trang 74


- thaät… Ñeå aùp duïng giaûi quyeát caùc baøi toaùn cuûa moân hoïc nhö:

xaùc ñònh khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët thaúng; khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñoaïn thaúng; khoaûng caùch cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau; xaùc ñònh goùc nghieâng cuûa ñöôøng thaúng vôùi ma d ïng treân ñoà thöùc ñöôïc ñôn giaûn ngöôøi ta coøn aùp duïng caùc pheùp thay ma hình chieáu hoaëc pheùp dôøi hình…

Neáu coù yeâu caàu sinh vieân tìm hieåu theâm ôû saùch hình hoïc hoïa hình do nhaø xuaát baûn giaùo duïc, nhaø xuaát baûn ñaïi hoïc vaø trung hoïc chuyeân nghieäp phaùt haønh.

Keát hôïp caùc caùch döïng: tìm giao tuyeán, tìm giao ñieåm, döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc, tìm ñoä daøi

ët phaúng…vaø ñeå caùc baøi toaùn öët phaúng

Trang 75

Documents

12-12-2005Phan II (chuong diem den het bai toan vi tri).pdf