ffitr.ffiffiffiffiHffi ffiffi fi##q ry$#m ffiSF H,*r: p, ;r j

Wffi ffiffiffiWffiffiffi ffiffi ffiffiffi$ffiWffiffi $.$ffijtrffiffi;ffi,

1;,:*:,: lt::::::*;::t, *,:,rri-..0,;. ,i-i*,r;,i.i,.r.i,! ri.,iii,,,.r: i:itt;,arir ;i *,r,;i.r,.,.

ffiffiffiffi&ffi &''$- r', p ffil&"g mYffi me

i i1 ti'. if i L,i :l'" i : i't '','-.);ii 'ir,,'J

1

I

ll

i

l

Ii

+ T}HFfrffigY$E

ff " 1'i;;r;;ertr:

g:*r.xmr,rd,*urc .i rir, ir,rr:,,i.r ;,:1 r,:.i,,qy"q.F,.,.;lr,lrr+..dt,rtl.if;;i..1,1;'.1

Se obser*,,fr r:6 acr:a,Ej;ii pen.jl.rrj,l,el,ir .:ela;: ij;:qiri;-lnct;.a hljectirrli t': + 11 ..i i r .' ''' r! I

.:!-1 '1 ,,t.,..o, : , :

ly'lnr,it;*i"l l [x i L:r i:i. +rr ;

!:'e i.i.r:ra int.A.i l-r _t;r.i,luuJuii:nia a cio,,;a sunc .q,.;ti"iEo vir.i,:rl:"iIr,::rcrisqt ?n ,;r'rjrri ua dr:-i,ii iIri ii;.1:,::t,ii;

l-)q -.,.1"*.11".,1t d I lri,{, ,- j .-. ii ac; : j,1, I, ,.," :r i _*i il, :;. r: i

I

':-',. ;:l I :,'rh -,r,.."rna. I

!r: ii l;,,

in iirerst nt*ci, p,*rr:nut,;;i.si;

ti t:s uii s-r ii rje fi.r n*tr n- i:tj. i *r: l; :r ii gr,.

i ;-: :\.

i"le ar:ee a, gt rld.i *.i ;f er.".,ri: j i [, r] ra i i {t l

s* .lr*:rle iEce srr.idri;:Lfi l.iel;1"r:ii iii:,;_ji rrr,

i-,iiectiri-ic.r ,r : il, !1, , ,: i ,, Ij, :j, . i,I

i

l

!

r.:,,,t.:'iil".i-r;il i.l,i ji11 ,. ..i_ i .:-_: I _- I

$-

i

,&ff- m E{iEffiryB

w nw&$ $ $trBtrffi& ffiffi pffiffiF!$$$T&r*[:

mrna-t;ru:nEr"ul de .&:nrtri kijeeii,m I.; iL1 '::

/'r .. ]{,iri fti-:.. t.&,, ilr-t "., A, j O };:li.ii,ifi'1.,,: i;r.tf i,a ,:t.t it ei*ffleiltF:, Li a- rvu'.

, 3, I :i r:-r lr ii lli

rlti:!-lil,Itrt I i i:i::.,,.i.,1t .i :-rl_.t

,,

;).-r..,1.- 1l_r;,. ;ji -i-'e rt{; r r,'*r .t i .i I 1,,

i'iii!{t:}ai! ?ii.r.!, ;:,!.it iir: I i;it ; ;.r-i:., t: :1.;!. i..

:' : ,...i ;, ., i.. (,t;,,,

'-. !',, r,", i.... .,i.:i,r,i,-J.,' 1",i.; ...:, : , :,: ::J

l:,:,, .^t;, ; r!r : tt.t .,,.r il .. .,,

f Elemente de calcul matriceal

A DEFINITIE!i1gg:r.pERMuTtrRt

l' i"Hffi::,,TT,Ti^:e gradul n a murlimii A = {1,2,..., n} orice

Murfimea permut,r,or de gradrr::" noteaz6,So, iar erementele ei sevor nota de regur, eu literere grecegti o, 6, 0, o, 0 ..., "#iru, insofite de indici.se obignuieqte ca o permutare o de gradur n sd se reprezinte astfer:o=( 7 z 3 k ...';-\"oaDiir

("(r) "(2) "(B) "(k) "("),/.Cardinalul multimii S, este: lS,l=r!.

@ ExempluPentru n'

(t25" =[z I

' Se obsenri

@ oPEBA

2.1. coMPaflEl

Fie o,6 elcodomeniu, artfuncliile oo8 $i

Permutirioo6,6oo sunt:

Agadar, cr

rilor o, 6 e S" eCompunerOperalia r

o6eS. se numde gradul n.

(Daci o =l

l.

dusul o6 se scr

@ Exemplu

Fie o,6eS

S[ calcul5nAvem:

@ Eremple

a) pentru n = 1, A = {1} si ,, = (l)ib) pentru n = 2, A = {1,2} U, ., = (r, ),Gc) pentru n = B, A = {t,2,8} si S, = /fl 2 s)

(t 2 s) 11 ilt 2 3)'

u i t,[; ? l,[; ; l)iPERMUTARI DE GRADUL N PARTICULARE

a)Permutareae.s_."=[1 2 3 ... k n)

tarea identici a" gr.a,r;. (1 2 3 "' k

",/ *" numegte permu-

b) perautarea 6u e So, de forma:

u, =[,' ; ; i_i il ;:i,;,]""i,;"ijffiii"_,,il;;:"schimbi doar elementele i qiffintre eJnumegte transpozifie.

d"rr*I spozilia do poate fi descrisr prin urmitoarea Iege de corespon-

i)(rzs)/r(r s z)'lz

2 3')

3 t)'

[i, k =1su(k)=]j,k=i

[k,i.*i,k*j

oa=l.1 z s)[t(3 1 2ru

(t 2 i

= ["(r) o(3) ot

6

1lEprltr de calcul matriceal gi sisteme de liniare o l. PEBMUTABI

Fentru n - 3 existfi transpozit. (7 2 3) ^ (t 2 3)o,,-i2 1 3,J,o,r=lB 2 l)

Se otrservd c[ 5,, = 3r,, 6,, = Dr,,

iile:

. (t2,0ro=l u38r, = 6rr.

"))J

n

a(")

n

"(s(

n) f t zlc l*

"("),J'"-[u(r) a(2)

^( t zo"b=l

I o (6 (1)) o (a 1z;)

3)t.

2)

3 )_<,(a1s;).J-

3)2)

& 0pEnAItr cu rERMUTAnI. pnopRtETATl

Dac5

dusui oE se scrise sub forma

2,f , EOMFANEREA PEBMATilBII.OR OE GBADIIT NF'ie o,5e s"" Deoarece aceste perrnut6ri au aceraqi domeniu qi acelaqi

codomeni.u, are sens operalia de compunere a acestora, oblin6ndu-sefunctiile o "6 $i 6o6 pe multirnea A= {L,2,..., n} cu varori in multimea A.

Fermuthrile o qi 6 fiind functii bijective, se obtine cd functiileo o 6, 6 o o sunt functii bijective. deci permutiri de gradur n.

Aqadar, aofiip*nerea pennutirilor o, 6 e sn sau produsur perrnutr-rilor o, Se S,, estepermutarea o'o6:A+A, (o."6)(k)=o.(A1t;), V-keA.

Compunerea de perrnutiri o o B se noteazh mai simplu oj.operatia car"e asocia zb, oricdror doud permutiri o., 6 e s' permutarea

o6 e S. se numeqte operatia de compunere (inmultire) a permutirilorde gradul r"r" '

), utr.,.i nro-

W E ewpl.U

Fieo,5e53,":(: r rl,u=[, 2

\3 1 2) [1 3S5 caiculhm o6 qi 3o"Avem:

" (t 2 Bt,(L 2 s\ ( I eoo = ls r z]li : , j- ["1u1ry) "(qrt)( 1 2 3 ) rr 2 3)-{.o(r) "(r) "(z)l=[a 21)'

;l femd I

EfCctuali: ;

"'fii't)1;;13,orfrsalfrzs+).tl +zaJ[rzsqJ,urfr 2 3 4'111 z s +).,\t+zaJ(rzt+),.,[l';: ii(i;; l]

l 'l,i,ii';i"l

r Elemente de carcur matricear gi sisteme de ecuarii riniare r r. PERMUTART

Se observi ci o6 *6o.

ao=[123')r123)_r1 2 3 )r1(1 B 2/(B t z)- [0("(U) a(o(2)) 5("(B)r=[u(r)z s\ (r

5(1) o1z;.J =

[z2S\13i

(tzBu"=[, s 2

Se observl cE

2,J, PUTEBEA UI

Fie oeS,. I

Pentru n e I

E PROPOZTI,Fie oeS". At

a) o-o" =o"b) (o*)" = 6-

Demonstra,ti

gLafbrnd,,pyalDa

tr Fie o'e Sr, ,

Solutie

Avem: W(r234)=[z L 4 s)'

ffi=[l ?

ffi=[l 'o

2.4. PfrOPBIETI

P1. Fie 6,, e S,

a) 6,, = 6;i;

2'2' PRnPRtErifl AtE cnwPattEiltt PERMariBttlR nE ilBADU: n

Inversa permutirii o este permutarea

narea liniei intdi devine: o-, =(1 2 3 4

[3541

W Eremplu

^(t2od=l[2 1

E PE. Orice p"rrrr,,V o e S,,

= o-1 e S, astfel ing6t oo-1 = o-1o = e.

Permutarea o-t se numegte inversa permutErii o.Pentru determinarea inversei permut[rii

(r 2 k n)o=l" - ["(r) "Q) "(k) "(")J se au in vedere corespondentele

W Exemplu

Fie permutarea de gradul E, o =(L 2

(45bl

,),(45132)=[r 2 3 4 B)'

careduP[ordo-

Se verificd uqor cE oo-, = o-ro = e.

4

3

3

1

o-

5),)

ft234)_tt--[r 2 B 4)-O1O, =6425+3 -64:

3.)r12s)_1123)a][rsz)-lzBL)'

8

EPl.P*oprie@compunerea permut5rilor de gradul n este operafie asociativd:V o, cr,, F e S" = (ocr)B =

"(crp).Aceasti proprietate rezurt[ din faptur c[ operalia de compunere afunctiilor este asociativi.

EI P2. ProprietatPermutarea identici de gradul n, ee S,, este elementpentru operafia de compunere a permutirilor de gradul n:X

" . Sn, au loc egalitllile oe = eo = o.

EI P4. CompASadar, ! o, 6 e S, astfel inc6t o6 * 6o.

F*Flqlg$.* '{u,tt!gglrcg1!,1,*i y gllifrgjt rylglljl!1lare " r. pHluuluTnEr

- ii J ;Jt'1\\.1., ii

il IJ'lil,ilie *[:sc:rvi l"ii ryii

',

? 3l rr : ;lliiir .tl l.: , :la rr ./ \ r, r -, ,

ijt r.

Z.ff. p€tr"ffffiffffi {iMff{ Fg#fffid/ror#/ #s ##dfJ$/d n

Fie c e S,, $io'{,&irl f,-lrl =. c, {r1 ',, ,J, ttr" = q;$.

Per:tru n e l*.1' se defineXl,o o' '* ri'ili, I *,

lisl P$e&POfiIT{EIt

""-lI

IFie ry r $... Au io* reial;iil*:&) $-ff" ,=,6t1u", V rn. n e N\;

h! !,:" t' - rr'r.r. \':c, [r - \.'-' \* .t '

tr)e$aomsd,ratia se f,-aee folosind +.e,il,ri$tivits.fea ogrerariei da: celrn;rmmere {temrii}.

"$+a,&.{,epswi+%w{,awf"F.,'": ) _.i

E F'ie ^cS.,"r.:^ .' .

\+ q) 'i

Sal.wtip.

At,l

t) )

2 3 4'::';..; lt-

ll i .:' tL '"!, i :-{tv+;:-,, :'= {r s i1-

.,+

/1 r .i .i'_i' L t r

i

-ll,r1 l- .l i,ii -' : '1 I

c" .: s"-.' - |l.;. . ,\ I i,i i j : I

i!':-O'fi .i I

\ii 4 )1, i ,l

,'-t 2 ii ,{ ).-i i=rr.I :; 3 4)"./,l' "' . (i ' '' .-. .', ' -.' -. I .-' )-

') "). ,i , r'l:]l

"l 1 i) I i Q. l, I a, ,' 'a,-,

;) ", l''

i::3 1 21

.] ,l ,,1 \r ,! 1t.I

,1 2ll'

() := e/ i

f" 4" p-rydptr#dgm,$pr xxr r#dfr.sps#f #dd,##

Fil . F j* ii,, .r. S,, c r*,raylspr-ri:il,i.:. Ar;i ioc l+lntijie:iA) li,, .-, ii,,; Lri t' ,.. ;.' c":i ii-1 ,,., ij ,

Demoniiffi

!!!!!re . t. PERMUTARt

rezultd cin este egal

multimii

a _\: ::.:se;re defini{ia transpozifiei.b 3,. . d,, )(i) = 5u (j) = i; (5,, " au)(:) = 5u (i) =;.Pentru k;ti, k* j avem (Ou "au)(f<)=6u(Er(k))=au(k)=k.Agadar 6i =u.c) in egalitatea 5,: o 6,: = e, compundnd cu 5;, se obtine 6,, = 5",

efectueazi 0,6r, = i

6rl = 6r, qi aPoi cu

INVERSII

SEMNUL

Fie oeS" Si

.i. DEFINITIE

I . Perechea (i. iI'I Numdrul inver

@ Eremplu

Fie o e Su, o =

Inversiuniie a

(a, a),(g, s).Aqadar

3 OBSERVATII

1. Permutarea ide

2. Permutarea r=

n (n - 1) ,.\l= --'- = -"

3. in general are l

* DEFINITII

. Se numeqte se

. Permutarea o

. Permutarea o

E PROPOZTTLOrice transpo;

DemonstralieFie transpo:

zitii sunt toate p

,Intr-adevdr, din proprietatea a)numlrul tuturor transpozitiiior de gradcu numdrul submulfimilor {i, j}- ,t"

{1,2, ..., n}, numlr egal cu C:. rP2. Orice permutare de gradul n se scrie ca produs

de transpozitii. Aceastn scriere nu este unicd.

Erpraifra*qlainttr sr se scrie cd produs de transpozilii permutarea de gradul 4o=(, 2 B 4)

(3421)'Solu{ie

se observi ce o(1)=3, adici o'(r)*1. pentru a schimba B cu 1seconsideri transpozilia 6,, qi se face compunerea:

6,.o=[rt 2 B 4)(1 2a 4) (t2s 4)'" (3 2 1 +)ls 4 z rJ=[r 4 2 B.j=o,. Deoarece o,(2)=4,adicd

"r(2) +2 pentru a schimba 4 cu2se arege transpozitia dn, qi se efec_tueazdcompunereu, a,,o,=f1 2 3 4)f1 2 g 4) (t 2 B 4)r1 4 s z)lt + z s/=lr 2 4 sJ=5,,.Aqadar, 6n, = 6110, = 5nr6rro. Compundnd la stAnga cu 6;j = 6n, qi apoicu 5l = 6r, se obpine o = ErrSnr8nr.

O alti descompunere se ob{ine consider^nd transnnzirj, .\ ^.efectuand oa.. =[1 2 s 4)

'. uu,irrue.ano transpozitia E'o glv^vvuqqrau

"'tn =[1 4 2 B)=0r. Apoi se consideri transpozitia 6r, qi se

10

Numirul tuturor transpoziliilor de gradul n este

I Elemente de calcul matriceal pi sistema de ecualii liniare e l. PERMUTARI

I[a

efectueezd 016r, =6ru" Aqadar 6+, =0,6r, "={161462". Compupdnd la dreapta cu6ri = 8r, ryi apoi cu 6ll = 6rn se obtine er = c5r"6r"6,r.

E} TNVERSIU|IIITE [lruEt PERMUTAHIV SEMNI'I UNEI PENMUTARI

Fie oe S,, qi i, je {1,2,...,r},i.j.DEFINITIE

n Perechea (i,3) se numeqte inversiune a perrnu.t[rii o dach o(i), "(j).Numirul inversiunilor permuthrii o se noteazh * (").

Exewplw

Ficoes.."=[t 2 3 n ul(4 3 5 | 2)

trnversiunile acestei permutiri sunt perechile (t,2),(1,4),(1,8),{t,4}. {2, S),

\3,4), (3,5) Aqadar rn(o)= ?.

3 q$EEyAIl1. Perrnutarea identic[ e are m(e)= 0.

2. Perrnut ur*u o=(' 2 3 n-l n)

[" n-tr n-2 z t)are m(r] =1+2+"'+(n-1]=

n(n - f.) ^l2"3. in general arelocrelatia 0<m(").C], V oe S,"

* lErrrlflTt!

I . t" numeqte semnul (signatura) perrnut6rii o, nurnirur e (o) = (-l)"'(") .

I . P"r*.rtarea 6 se numeqte perrnutare pari dac[ e (") = f .

I . Permutarea o se nr:meqte perrnutare impard dach e (o) = 1.

E PROPOZTTTA 1

Orice transpozitie este permutare impari.

Demon_stratieFie transpozitia 6,, e S,,

zitii sunt toate perechiie (i,

Pentru i <k < j, iriversiunilek) 9i (k, t') ia care se adaugh

l1

acestei transpo-

perechea (i, j).

r Elemlnto de calcul matriceal 9i sisteme de ecuatii liniaro r L PEBMUTtrRT

Avem *(6i,) =2(i*i-1)+1=2(j-i)-1. Aqadar, e(a,,)=(-1;r{:-,r-, =_1 si, caurmare, 6u este permutare impar6, I

Produsul din relatia (1) are C: factori. Daci o(j)=t< gi o(i)=1,atunci k +l (o este funclie bijectiv6). pentru k >r, factorul o(j)-o(r)=t -1se simplific[ cu factorul (k - l) de la numitor, obtindndu-se 1.

Pentru k < l, prin simplificare, se obtine _1, iar perechea (i, j) esternverslune.

Dupi toate simplificirile se obtine

W Exemplu

n-nopozrTtl 4

Fie A. multime

cardinalul aceste:

Not[m I. = S,.

este o transPozitie ff (") = f (B). Rezulte

este injectivi.Fie 0 e I", e(0) =

Ei f (eau)= 05,:6': = 0'

bijectivl ql lA,l = ii,nl

tatea lA"l = lI"i = tgailpnrt'wfutaldtr S[ se deterrni

a) numfirul Pr

b) cardinalui

Solu{ie

a) Avem egal

b) Avem rela

Se ob-tine n = 6' Rr

Fie

Aqadar cr este permutare pard.Signatura compunerii a doud

urmEtorul rezultat.

(t2o=l

[3 1

3)t.ql

2-7

Folosind Propozitia 2 avem:

e(os)= fI o(a(:))-:(a(i)) = il "(afl)J-:,!lfr))

1<i<j<n J-r rj-,-1" b(j)*3(i)= r (o) r (5), ceea ce justificl enunlul. I

.J Temd1. Fie o, 6 e Sr. SE se demonstreze ci.:a) oE este permutare parl <+ o gi 6 au acelagi semn;b) o6 este permutare impari <+ o gi 6 au semne diferite.2. Si se stabileasc6 semnul permutirilor o qi o-1.

II 5(j)-9(i) -

lsicisn .l - 1

EXERGITII $l PRo

81. Fie A o mullirmente. Si se de

mutlrilor ei 9ti

a) 24 de elemerb) 72O de elemtc) 5040 de elen

S[ se calculeze

in cazurile:

t2

Fie ne N'ei 6e s". Atunci e(o)=,IL{FP ,r,

,n *+=(-1)*(')=e(o). r

Avem*l],l+=#=3-2 = (-1)(-1)= (-1)' = (_1)*(.) = 1.

permutiri se poate calcula folosind

E PROPOz\tae_Dacd o', 6 e S,, atunci e (o.A) = e (o.)e (6).

e ecualii liniare , i. pEBMUTABI

I PROF,CI?.ITTA 4Fie A,, multimea tuturor permut6riior par:e de gradul n. Atunci

I

cardinalul acestei rnultimi este iA,, i = l*2

DemonstratieNotim trn =Sn \ A,,. Definim functia f.:,A;' Il,'f(")=o gu, unde 3,

este o transpozitie fixatd. Demonstriim ci f este bijectirre. n'i* o, B e s,, qi: (u)= f (B). Rezuit6 succesiv aii,, = 06,; + (aAu)01' = (0ar;A;' =, cr = p, adic[ t"

este injectivfi.F'ie 0e I",e(0)=*1. Avem 0.5,, e A., deoare.",(eau)=e(e)e(a,)=(_1)(_1)

;: f (eo1)=06,,5,, =0. Rezu1td ci functia f este surjectivi. in concluzie, f este'crtectiv[

$i lA,l=lt,,i. Deoarece Sn =A,, L]I,, gi A. nI, == e, rez|lllil egali-

:area lA l=!t.i:{ uI fll I Dt 2

'flaA.&nuAugc,.{aw.*rE S[ se determine:

*) ar:rnilrui permutirilor pa-re din multimea Sr;tr) r:arrlinaiui rnu.ltimii S., , dacA iA,, i

..- i5 (n * :l)1.

vlurte

a) Avem egalitatea lA,i == ttl = Y = 20160.

[r) ,{ven: relatia *: tU(., 2)1, care este echi,alenlE cu t'(l-if

- fn22"''Se obtine n :6. Rezult[ cE rnultimea su are 6t =T2a eleinente.

EXEnCtTll $t PH(}BtEMEEXER,SARE

E1. Fie A o multime reevidl eu n ele-rnente, S5. se detee'mine gradul per-mut[rilor ei gtiind c[ S, are:a) 24 de elernente;b) ?20 de elemente;c) 5040 de elernente.

E2. Sn se calculeze ofi, rro, o2, n2, (on]3 ,

in eazurile:

ar *=(1 2 3 4')"(24sr)'(rzs4)n=l., 2 t n)'

(tzs4ol rr=i[4 315

(t.2 B 4 s\7t=l l

[z E I J 4)'

o l,

IJ

r Elemqlte de calcul matricear $i sisteme de ecuafii riniare r r. PERMUTABT

63 "" o,o.su, o=(l i ; : i),^(tzs4d\o=(., z 4 5 B)'a) Si se verifice daci o6 = 6o si(o6)2 = 6zoz.

b) Sn se detemine o-,,6-r, (cO){,o-br.

u=(1 ; i l)Si se rezolve ecuafiile xcr = g 9i

FY = a8'

,..h5t aU se arate cE existi k e N' pentr"u- ' care ok = e. in cazurile:

, (tzB 4E\cto=[s t 4 6 r)'Si se calculeze o1oo, q208, 6200? infiecare caz.

ftzst\lre o=[s 4 z J s5' se deterrnine

mullimea M = {o, G2, o3, ..., o", ...} .

Si. se scrie tuanspozifiile de gradul 4,respectiv 6.

Si se determine numirul inversiu-nilor gi signatura permutirilor:

(t 2s) (r 234\o=lr st)' o=[.nr ts),

(r2346"=[, n 5 p 3

S[ se determine Pincflt o si fie in1pari.

A8. Fie o,(l€Sr, o=[

. (r 2sr q=[o(n) o(o.

$tiind c[ m(o)=l

-(")'

A9. Se considerlPen(l2s 4... nD

o=[rr08...2n(r234... n

P=[r a 67 ...b-

a) SEr se determi:

b) Se se deterrcare cl, este Pel

Pectiv P este Pe

ft410. Sn se scrre ca I

7 zi,tii Permutiril'(r23)a)o=[z B ,),

(t234!"'[u r r B

I87,

","=[i ?;)'r,"=(l ?i),

A2. Fie o,peSu, "=G; i I :),p=(r?3uu').'(43126)'

APROFUNDARE

u=(; ?i^ri),e=(r2s4567)

\756r43?)',

A7. Fie o, e e Ss,

(tzB4E6O=l(.5364i2

e=F '[25a) Si se

(eeo)-r.

A3. Fie o e S,. Si. se arate ci existik e N' astfel iacit ok = e.

(tzB4E\A4. FieoeS^. o=l I(23154)'

Si se determine or, n e N'.

A5. Sn se determine n E N', gtiind ciSo are 45 de transpozitii.

A6. Fie A" mulfimea permutErilor pareale unei mulqirni cu n elemente. Si sedetermine n, qtiind ci. A, are cardi-nalul:

", (t ++)t. o, (n+g)t

6! 28.4t'

7s)l i),

Dl. Se se determir6eSrrn)B at

r+o(1),2+a(2\,mez,eia) o Progresie r

b) o Progresie

D2. Se dau numerra1 ( 82 < "'< ao'

mutarea o e S,

l4

/fiI riupermutirile,"=[; ? : ;Z),

s45'\ (tzsqs\4st)"=[.urzs4lcalculeze o0e, o-10-le-1,

b) Si se calculeze o2o07, 9200r, ,zoto.c) Si se rezolve ecuafiile 6x = 0,

ols = 0, ,o*' = 0200012006.

a) SI' se deterrnine numirul de inver_si 'ni $i signatura acestor permutiri.b) S5. se rezolve ecuafiile ork=p ,0,

amkprozT =(oF)*, tx=)u, qx=xp.

-

(1.23456't8tj'=[, n E p B 2 4 7)'

S[ se deterrnine perrrtetiri]e astfelfitat "

s[ f,ie irnPar[, iar e sh fie

par["

--rr 2..' nl"-1."(r) o(z) ." o(nlJ

2 ".. n)o(n -1) "(i),1'(") =k, sh se ca'lculeze

n Et emenre de cal eul matri ceal .i ti qtqgg-gg *lggt'i l !Ijg'l-'-l' M{q4!iAI 1" Se se deterrnine perrmutbrile

o,8 e S', in cazurilet

. 6(1) "(2) - g{S.ai --; =-;- ="-a-'-e

litn5(1) b(2) s("r

h) ri = .," = -;*.n t'1-!' 5

AtZ,Fie u. P e Sn. Si se ara{e ca'

u{ni cr(2} er{n}- - ll a -+ =... = *--:o*-u*p{t} [t(2] F(*]

Ai.8. SA se rezolve ecuafiine:

{8, Fie tr,0€S',

irsi u=l' ["(ttJ$tiind c[ m

*(").

b) Sir se

care ftpectiv P

d,etermine rr e F(' Pentrueste Perrnutare Par6, res'

este Perrnutare imPar}"

A9. Se considerl Permutirile:

a) S[ se deterrnine rn (o] + rn (F) '

[lz*a.. nn+tn+2"'o=[r0G8",.2n 1 3

(tZgq " n n+l n+2P=[rrb7...zn-. 2 4

zo)2n-t)'... 2* )

.)x i

..[i2]la) x"=l* , *li

!d l a)

" ft23+)h) v"=l l;',A lj O il\* * " ";

o tl 2 3 't 5 {i)er*'=!- t e.1 a:l

\..! ! r' r'! !

A1l]. S[ se scrie ca produs de tr:anspo-

zi,tii Perrnutirile:. rr 2 3)...11 2 3 4).

"'"=[; u,J,n,iu L z Bj;

r'r 2 3 4 5)*''i* z 13 4)"

A14.Fie nr.eur6ru& 5213" F'[c&red toa&e--- -

p***othrile cifrelor *aestui numbr

fi u:rdonAmd cresci'tor nr'a*:erete *b'tinute. sa se precizeze ce loc eicuph

in qil'nurnerele'a) 2135; b) 3521; e) 5213"

An5. Se consider[ raumirul nattira]

"r"t r"-% =263'43'

Si se ealculeze surna

s = | ar,.ryao(zlaoi:r1aot+Jao(a)'oeS"

DEUVOLTAREDn" Se se deterrnine toate grerlrrut'hrile

oeS*un>3 astf,el incit nulnerele

1+o(n)- z+o(2), "', n+o(n) sh for-

meze:a) o Progresie aritmetieir;b) o ProEresie geornetricE'

D2. Se dau nurxrerele strict pozitive

tsr ( &z < "'. < ad. Si se deterrnine per'

mutan:ea o e S. Pentrxl eare surna:

il1

at f- " esle rnaxi$la {minirnir}lf; aia"(;)

b) !a;a"i,, este rnaxirn6 (mirnim5)'i=1

D3. Fie HcS", bl*fr ett propner'area cE

V o,6 e II '+ oe e II' Si se arate cE:

a) permutar:ea iriential' e e H;

b) dac[ o e EI =+ cY''1 e ]L

1"5

r Elemente de calcul matricear gi sisteme de ecualii riniare o r. PEBMUTABT

D4. Fie o e So, n > B. Daci" 6cl = c[o,

V cr e Sr, atunci o = e.

D5. Se se studieze surjectivitatea func-tiei f r Sn -+ S, f (cr) = 61a.

cl

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

TABET MAT

MUtTlMl Dl

Si considerlm ur,,[Jn dePozit de m

l luni ctt, un anumtt Prr

- tru Prima lund s

3 000 unitd,{i rrtonetare

- i,n a doua lund3 500 u.m';

- tn luna cL tre

preced,entd, cu Pre[ul P'comand'd o cantitate (

tutea de Produs'"Pentru linerea u

gi clasate in diverse rr

acest Proces de aProuAst{bl, dateie de

Un astfel de ta

PrimuL tabel rtipul 3 x 4 ), iar ai di

(estedetiPul 2x4)'Dach se ia i

achizilionate lunar, I

tabel matriceal lir

o1. Fiepermuteriteo=[1 2 3 n). o=l' 2 3 4)(3241)'"(atB2)'

a) Si se determine o0, 0o, o*1, 0-r.

b) Verificati dac5 are loc egalitatea ("e)-t = 0-1o-1.

Fiepermuta*l"o=[l 2 3 o u). ^=|,t

2 3 4 5)(Bz4t5),"(z54st).

a) Si se calculeze o-r, 6-r, o2008, 62006.

b) Si se rezolve ecuatiile 6x = D, 6xo2005 = 62006.

o2.

O 3. S5. se determine semnul permutd.rii o e 57,

Testul2

or. Fieo.nusn,o=(1 2 s n',}.,=r, 2 3 n).(z B 4 rJ' "-[z 4 B t)'

a) Si se verifice dae6 oa = e $i nB = e.

b) S[ se rezolve ecuatiile or58* = r30t, y6lr5 = ne8.

(t28456OaCa ('=l

[6734517)ol'

l-3

o2. Si se rezolve in S, sistemul de ecuatii:f,r2B\ll l.x=wJ(, t 2)

I (r 2s) (r 2B\L" [, s r.J= [s , ,|"

Fieoes", o=[r 2 3 4 5 6 7 8)- [78653412)'

a) Si se determine m(o) pi e(o).b) CAte solutii are ecuafia x2 = c?

intr-un rnod m

tabel de forma:(r 2II 1oo tzt)I

[s ooo 3 5oo

o3.

o 4. s6 se scrie ca produs de transpozitii permuta.." " = (j : j ; : ;)

16

LunaI Cantitatq

Pret unitar