11.1 y RÓŻNICZKOWE PRAWO GAUSSA i co z niego wynikadana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/w11_w12_16-05... · 2016. 5. 20. · Wyrażenie w nawiasie jest z definicji dywergencją

1 FIZYKA - wykład 11 i12

11.1 RÓŻNICZKOWE PRAWO GAUSSA

i co z niego wynika...

Niech ładunek będzie rozłożony w objętości

V (o nieskończenie małych bokach )

i wierzchołku w punkcie (x,y,z) z ciągłą

gęstością r (x,y,z). Wytworzone przez ten

ładunek pole elektryczne będzie również

zmieniać się w przestrzeni w sposób ciągły.

Rozpatrzmy dwie przeciwległe ścianki (rys.) i

i obliczmy strumień pola przez nie

przenikający . Strumień przez ścianki

prostopadłe do osi x wynosi :

Ponieważ różnica natężeń ( ) jest z założenia bardzo mała, możemy ją

zapisać jako:

Wykład 11 i 12 Równania Maxwella. Prąd elektryczny.

zyx ,,

x

y

z (11.1)

(11.2)

(11.3)


Wobec tego mamy:

Podobnie liczymy strumień przez ścianki prostopadłe do pozostałych osi:

Całkowity strumień wyniesie:

Wyrażenie w nawiasie jest z definicji dywergencją pola wektorowego E. Zapisując

to z użyciem operatora nabla:

Możemy to przeczytać: dywergencja pola elektrycznego w danym punkcie jest

równa strumieniowi pola elektrycznego na jednostkę objętości.

Prawo Gaussa – postać różniczkowa c.d.

VEdiv )(

VE )(

(11.4)

(11.5)

(11.6)

(11.7)


Ostatecznie otrzymujemy

RÓŻNICZKOWE PRAWO GAUSSA: lub

Prawo Gaussa – postać różniczkowa

Ostatecznie całkowity strumień pola elektrycznego przenikający przez element

objętości dV określa równość:

Lokalny związek między natężeniem pola elektrycznego a gęstością ładunku

w danym punkcie.

dVEdivd )(

Strumień przenikający przez dowolny obszar o objętości V otrzymamy, całkując

pow. wyrażenie po tej objętości: dVEdiv

V

VVS

E dVr

dVrSdE00

)()(

1

0

Ediv

Powyższe r-nie porównujemy

z prawem Gaussa:

0

E

(11.8)

(11.9)

(11.10)

(11.11)


o Jeżeli w pewnym obszarze nie ma ładunków dywergencja natężenia pola zanika.

Takie pola nazywa się często bezźródłowym.

o W miejsce natężenia pola możemy wstawić gradient potencjału ( ):

Otrzymaliśmy: , taki operator nazywamy laplasjanem.

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie Poissone'a:

Jest to równanie różniczkowe umożliwiające znalezienie potencjału w przestrzeni,

w której znamy rozkład ładunku.

Do jego rozwiązania potrzebne są zwykle również warunki brzegowe.

Prawa elektryczności

E

gradE

2divgrad

(11.12)

(11.13)

(11.14)


o Jeżeli w danym obszarze nie ma ładunków otrzymujemy równanie nazywane

równaniem Laplace'a:

Do jego rozwiązania potrzebujemy jedynie warunków brzegowych .

Obydwa równania należą do najbardziej fundamentalnych w elektrodynamice

teoretycznej, występują również w mechanice ośrodków ciągłych, teorii

grawitacji, zjawiskach transportu i wielu innych dziedzinach nauki i techniki.


Dodatek matematyczny

Twierdzenie Gaussa – Ostrogradskiego ( zastosowane w wyprowadzeniu RPG)

VS

dVFdivSdF

Wiąże całkę powierzchniową dowolnej funkcji wektorowej F po zamkniętej powierzchni S

z całką objętościową po objętości V ograniczonej powierzchnią S i orzeka, że strumień wektora F

przez powierzchnię zamkniętą S jest równy całce objętościowej z dywergencji pola wektorowego

F po objętości V ograniczonej powierzchnią S.

(11.15)

(11.16)


11.4. ROTACJA POLA WEKTOROWEGO

Rotacja pola wektorowego

Definicja

Rotacją pola wektorowego , nazywamy pole wektorowe

określone następująco:

],,[ RQPA

.)()()( ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

R

. AArot

(11.17)


WŁASNOŚCI ROTACJI:

Rotacja pola wektorowego

Niech , będą różniczkowalnymi polami wektorowymi, a będzie

różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy:

1)

2)

;,,)( RlkgdzieBlrotAkrotBlAkrot

AgradArotArot

)()(

A

B

Definicja (uogólniona)

Cyrkulacją (krążeniem) dla danego pola wektorowego po konturze

zamkniętym L , nazywamy wielkość:

gdzie: - wektor styczny do krzywej.

Cyrkulacja jest wielkością skalarną

CYRKULACJA

ld

F

L

ldF

F

(11.18)


ZWIĄZEK CYRKULACJI Z ROTACJĄ:

Cyrkulacja pola wektorowego c.d.

Twierdzenie Stokes’a (twierdzenie o rotacji), wiąże całkę liniową z funkcji wektorowej

F po zamkniętym konturze L z całką powierzchniową po powierzchni S ograniczonej

przez kontur L :

Czyli cyrkulacja wektora F po konturze L jest równa strumieniowi rotacji tego

wektora przez powierzchnię S.

L SS

SdFrotSdFldF

)( (11.19)


Korzystając z def. cyrkulacji policzmy

wartość całki po zamkniętym konturze (rys.)

skierowanym zgodnie z osią z , leżącym

w płaszczyźnie xy:

Wiadomym jest, że praca przy przesunięciu ładunku wykonana na drodze

zamkniętej jest równa zeru:

ROTACJA POLA WEKTOROWEGO

11.1. FIZYCZNA INTERPRETACJA ROTACJI

zsd )(

sd

(11.20)


Jest to różniczkowa postać TWIERDZENIA STOKESA. W postaci całkowej ma

ono postać:

Korzystając z definicji rotacji , składowa zetowa rotacji:

Zerowanie się wszystkich składowych rotacji możemy zapisać :

lub z symbolicznie użyciem operatora nabla:

Elektryczność

Całkowita cyrkulacja wokół elementu powierzchni :

zz sdErotd )()(

L SS

SdErotSdEldE

)()(

(11.25)

(11.22)

(11.23)

(11.24)

(11.21)


WNIOSKI :

Pole, którego rotacja zanika nazywa się bezwirowym.

Możemy próbować sobie wyobrazić, że niemożliwe jest wytworzenie pola elektrycznego

o zamkniętych liniach sił.

Siła kulombowska jest siłą zachowawczą, czyli praca wykonana przy

przesunięciu ładunku między dwoma punktami nie zależy od drogi przesunięcia.

Praca wykonana w polu sił elektrycznych przy przesunięciu ładunku po drodze

zamkniętej jest równa zeru.

Pole elektryczne jest polem potencjalnym, to znaczy istnieje taka skalarna

funkcja położenia f, zwana potencjałem, że

Pole elektryczne jest bezwirowe, to znaczy jego rotacja zanika w całej

przestrzeni:

Elektryczność

(11.26)

(11.27)


11.2 Prawo Gaussa (postać całkowa i różniczkowa)- PODSUMOWANIE

Prawo Gaussa:

(postać całkowa prawa Gaussa)

gdzie: S – powierzchnia obejmująca objętość V.

Strumień pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię

zamkniętą jest proporcjonalny do całkowitego ładunku elektrycznego

zamkniętego przez tą powierzchnię.

Inaczej mówiąc, prawo Gaussa głosi, że pole elektryczne jest polem źródłowym.

Istnieją ładunki elektryczne, które wytwarzają pole elektryczne.

I RÓWNANIE MAXWELLA DLA POLA ELEKTRYCZNEGO

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

QdVrSdE

VA

E )(1

(2.1)


Prawo Gaussa :

(postać różniczkowa prawa Gaussa)

gdzie: jest to gęstość ładunku [C/m3],

Pole elektryczne jest polem źródłowym. Postać prawa Gaussa, czy to całkowa,

czy różniczkowa, są sobie równoważne. Przejście między nimi umożliwia

twierdzenie Gaussa – Ostrogradzkiego.

Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

0

)(

lub

)(

rEdiv

rDdiv

ED r

0

(2.2)

(2.3)


11.3. BEZWIROWOŚĆ POLA ELEKTROSTATYCZNEGO

Przypomnijmy def. pracy wykonanej przy przesunięciu ładunku między

dwoma punktami:

Pole elektryczne jest polem zachowawczym, zatem praca wykonana po

dowolnej drodze zamkniętej równa się zero.

Elektryczność

2

1

2

1121 )(

r

r

r

rldEqldFrrW

0ldEdW

(3.1)

(3.2)

Korzystając z prawa Stokes’a: SL

SdErotldE 0

0

0

Erot

ldEL

otrzymujemy:

podstawową własność pola elektrostatycznego:

POLE ELEKTROSTATYCZNE JEST

BEZWIROWE.

(3.3)


Elektryczność

Dipol elektryczny , to układ dwóch ładunków: +q i –q odległych o stałą odległość d.

11.4. DIPOL ELEKTRYCZNY (z gr. dipolos - dwa bieguny) ( nawiązanie do w.10)

Wektor [1C m] (4.1)

nazywa się momentem elektrycznym dipola ( moment dipolowy) . Wektor ma kierunek prostej łączącej ładunki i zwrot od ładunku ujemnego do dodatniego.

dqp

d

.


Część IV. Elektromagnetyzm

11.5.1 Oddziaływanie dipola z polem elektrycznym

Wypadkowa siła, działająca na dipol umieszczony w zewnętrznym,

jednorodnym polu elektrycznym jest równa zeru, ponieważ siły działające na

ładunki +q i -q równoważą się.

Jednak umieszczenie dipola elektrycznego o momencie dipolowym p w

polu elektrycznym o natężeniu E, powoduje, że na dipol zaczyna działać

moment siły ( moment skręcający) (rys. ):

EpM

Ponieważ:

(E — natężenie zewnętrznego pola elektrycznego, F i -F — siły działające na ładunki +q i − q).

Wobec tego: ,

moment skręcający dipol wyraża się wzorem:

qEF

(5.4)

(5.2)

(5.3)


Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny

Liczbowa wartość momentu skręcającego dipol wynosi:

sinpEM

W przypadku gdy dipol jest ustawiony równolegle lub antyrównolegle

do kierunku pola ( ), to wartość momentu M = 0. Praca wykonana przez siły

elektrostatyczne przy obrocie dipola od początkowego położenia, określonego

kątem 1 do końcowego położenia określonego kątem 2 wynosi:

(znak „−” wynika z faktu, ze przy obrocie dipola kąt maleje).

(5.5)

(5.6)



Obliczając całkę (16) otrzymujemy:

Prace W można wyrazić jako:

gdzie Ep1 i Ep2 -oznaczają energie potencjalna dipola, nachylonego do kierunku pola pod kątem 1 i 2. Energie potencjalna dipola w polu elektrycznym określa zatem wzór:

który można zapisać w postaci wektorowej jako:

( lub w postaci ) (5.11)

EpEp

EpU

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)



Moment siły działający na dipol będzie obracał dipol ustawiając go równolegle do linii natężenia pola elektrycznego, gdyż w takim położeniu dipol elektryczny minimalizuje swoją energię potencjalną (patrz wzór).

Dipol elektryczny ma maksymalną energię, gdy dipol jest antyrównoległy do E. Pole elektryczne działa porządkująco na zbiór chaotycznie skierowanych dipoli elektrycznych.

PODSUMOWANIE:


Elektryczność

11.6. Polaryzacja elektryczna i indukcja elektryczna

Wektor indukcji pola elektrycznego, również określany, jako wektor przesunięcia,

jest zdefiniowany jako:

PED

0

gdzie: P – wektor polaryzacji. Jest on wprost proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego,

co zapisujemy :

,

EP

0

Po podstawieniu wzoru (5.13) do (5.12) otrzymamy zależność opisującą

wartość indukcji pola elektrycznego:

EEPED

000 )1(

(6.1)

(6.3)

(6.2)

o Współczynniki : , to względna przenikalność elektryczną dielektryka,

o - ozn. podatność elektryczną dielektryka.

1(6.4)


11.7. Prąd elektryczny.

11.7.1 Natężenie i gęstość prądu.

Dotychczas były rozpatrywane zjawiska związane z nieruchomymi ładunkami elektrycznymi. Obecnie będziemy rozpatrywać ładunki w ruchu - zajmiemy się prądem elektrycznym. Nośnikami ładunku w metalu (np. drut miedziany) są poruszające się swobodnie (nie związane z poszczególnymi atomami) elektrony tzw. elektrony przewodnictwa.

Bez pola elektrycznego te elektrony poruszają się (dzięki energii cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach. Elektrony swobodne zderzają się z atomami (jonami) przewodnika zmieniając swoją prędkość i kierunek ruchu zupełnie tak jak cząsteczki gazu zamknięte w pojemniku.

Rys. Chaotyczny ruch cieplny elektronów (strzałki szare) i uporządkowany ruch elektronów w polu elektrycznym (strzałki czerwone). (Źródło: http://home.agh.edu.pl)

„Ładunki puszczamy w ruch.”


Prąd elektryczny

Jeżeli rozpatrzymy przekrój poprzeczny S przewodnika, jak na rysunku powyżej, to elektrony w swoim chaotycznym ruchu cieplnym przechodzą przez tę powierzchnię w obu kierunkach i wypadkowy strumień ładunków przez tę powierzchnię jest równy zeru. Przez przewodnik nie płynie prąd. Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ prądu. Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków. Przyłożenie napięcia U (różnicy potencjałów ΔV) pomiędzy końcami przewodnika wytwarza pole elektryczne E, które działa siłą na ładunki, powodując ich ruch w określonym kierunku w przewodniku. Ruch chaotyczny każdego elektronu zostaje zmodyfikowany. W przewodniku płynie prąd elektryczny. Na rys. zaznaczona jest prędkość ruchu elektronów (strzałki czerwone),uzyskana dzięki przyłożonemu polu elektrycznemu .

Rys. Chaotyczny ruch cieplny elektronów (strzałki szare) i uporządkowany ruch elektronów w polu elektrycznym (strzałki czerwone). (Rys. źródło: http://home.agh.edu.pl)


Prąd elektryczny c.d.

Kierunek przepływu prądu zależy od kierunku ruchu oraz od znaku przemieszczających sie ładunków. Przyjmuje się, ze prąd płynie od punktu (punktów) o wyższym potencjale do punktu (punktów) o niższym potencjale. Zatem umowny kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich.

Dla określenia wielkości prądu wprowadza sie pojecie NATĘŻENIA (I):

i definiujemy jako zmianę ilości ładunku , przepływającego przez poprzeczny przekrój przewodnika S, do czasu jego przepływu .

dt

dQI

W przypadku, gdy płynący prąd jest stały powyższe równanie sprowadza się do prostego ilorazu:

t

QI

natężenie prądu jest równe ilorazowi ładunku elektrycznego, jaki przepłynął przez powierzchnię, do czasu przepływu.

s

CA

1

11 (7.1)

(7.2)



s

CA

1

11

dS

Idj

j

(7.4)

(7.3) Definicja

Amper (1A) jest to prąd , jaki przepływa przez przewodnik, gdy przez jego

poprzeczny przekrój przewodnika, przepływa ładunek 1 Coulomba w czasie 1s.

Definicja -gęstość prądu ( ).

Powyższe równania


i określa definicję oporu właściwego ( ).

Wielkość ta charakteryzuje materiały pod względem przewodnictwa elektrycznego.

Definicja

Odwrotność oporu właściwego, to konduktywność ( , przewodnictwo właściwe):

Definicja oporu właściwego ( ).

Rezystywność

W wielu przypadkach, tak jest w metalach, wektor gęstości prądu ( ) jest

proporcjonalny do natężenie pola elektrycznego (E), które oddziaływuje na nośniki

prądu elektrycznego znajdujące się w objętości przewodnika, wtedy:

j

jE

mV

A

mV

mA

CN

mAS

)/(

)/(

)/(

)/(1

22

Jednostką przewodnictwa jest simens (1S)

Powyższe równanie nosi nazwę mikroskopowego prawa Ohma.

Materiał spełniający to prawo nazywamy opornikiem ohmowym.

stąd

j

E

E

j

1

,

]1[][ m,

(7.5)

(7.6)


Przewodnictwo metali i półprzewodników

Wielkością charakteryzującą zdolność substancji do przewodzenia prądu jest jej

opór właściwy ρ.

Ze względu na wielkość oporu właściwego wszystkie substancje dzielą się na:

1. Przewodniki

Przewodnikami są ciała, w których istnieją tzw. ładunki swobodne mogące

poruszać się wewnątrz tych ciał. Typowymi przedstawicielami przewodników są

metale - pierwiastki, których atomy posiadają jeden lub dwa elektrony na

zewnętrznych powłokach elektronowych zwanych powłokami walencyjnymi.

Elektrony walencyjne uwalniają się od swoich atomów przy łączeniu się takich

atomów w większe zespoły, i nie zajmują określonych miejsc w sieci krystalicznej,

lecz mogą poruszać się swobodnie między zjonizowanymi atomami metalu.

W związku z tym, nazywamy je elektronami swobodnymi lub elektronami

przewodnictwa.


Charakterystyka materiałów

Przewodnictwo właściwe metali opisuje wzór:

Gdzie: e- oznacza ładunek nośnika prądu, n - koncentrację,

μ – ruchliwość nośników.

Koncentracja określa liczbę nośników w jednostce objętości natomiast ruchliwość

jest to prędkość, jaką uzyskuje nośnik ładunku pod działaniem jednostkowego

pola elektrycznego.

Koncentracja n elektronów swobodnych w metalu jest duża i nie zależy od

warunków zewnętrznych, w tym od temperatury. Natomiast ruchliwość

nośników maleje ze wzrostem temperatury, ponieważ są one wydajniej

rozpraszane w wyniku wzrostu amplitudy drgań atomów w sieci krystalicznej.

Obserwujemy więc zmniejszanie się przewodnictwa metalu (czyli wzrost jego

oporu) wraz ze wzrostem temperatury.

(7.7)


Prąd elektryczny w półprzewodnikach

1. Półprzewodniki

Rys. Schemat struktury krzemu

z domieszkowym atomem fosforu.

Półprzewodnik typu n ( jest donorem.)

Rys.źródło: http://www.labfiz2p.if.pw.edu.pl/

Typowymi przedstawicielami półprzewodników

samoistnych są german (Ge) i krzem (Si).

Pierwiastki te należą do IV grupy układu

okresowego, mają po cztery elektrony walencyjne i

każdy z tych elektronów tworzy wiązanie z jednym

z czterech najbliższych sąsiednich atomów.

W niskich temperaturach elektrony walencyjne w

półprzewodnikach nie są elektronami swobodnymi

i nie mogą przemieszczać się w krysztale —

półprzewodnik jest izolatorem.

Oderwanie elektronu walencyjnego od atomu jest

możliwe, ale wymaga dostarczenia odpowiedniej

ilości energii, nie mniejszej od pewnej minimalnej

wartości zwanej energią aktywacji.

Uwolniony elektron może brać udział w przewodzeniu prądu. Jednym ze

sposobów dostarczenia energii elektronom jest zwiększenie energii termicznej

poprzez podwyższenie temperatury kryształu. Wartość energii aktywacji E

wyrażana jest w elektronowoltach: 1 eV = 1,6⋅10-19 J; (1 eV to energia, jaką

uzyskuje ładunek 1 elektronu w polu elektrycznym o różnicy potencjałów 1 V).


W przewodzeniu prądu w półprzewodniku

uczestniczą nie tylko elektrony swobodne. W

wyniku oderwania się elektronu od atomu

powstaje wolne miejsce, tzw. dziura, która

łatwo może być zapełniona przez elektron z

sąsiedniego wiązania.

W efekcie dziury przemieszczają się w stronę

przeciwną do ruchu elektronów, zachowują

się więc jak swobodne ładunki dodatnie.

Jeśli mamy do czynienia z półprzewodnikiem

czystym i bez defektów wewnętrznych, to

koncentracja dziur i elektronów swobodnych

jest taka sama i przewodnictwo, w tym

przypadku, nazywane jest przewodnictwem

samoistnym.

Rys. Tworzenie pary nośników

elektron – dziura w półprzewodniku

Prąd elektryczny w półprzewodnikach

Koncentracja nośników samoistnych w półprzewodniku jest niewielka i ulega

istotnej zmianie ze zmianą warunków zewnętrznych, takich jak temperatura czy

oświetlenie.

Dla krzemu:


Liczbę dziur lub elektronów w półprzewodnikach

możemy bardzo łatwo zwiększyć nie tylko przez

zmianę warunków zewnętrznych, ale także przez

odpowiednie domieszkowanie kryształu. Jeśli

wprowadzimy do czterowartościowego

półprzewodnika niewielką ilość pierwiastka

pięciowartościowego (jak fosfor, antymon),

zwiększamy liczbę elektronów swobodnych.

Taki półprzewodnik jest półprzewodnikiem typu n,

a zjonizowane atomy domieszkowe dostarczające

jeden elektron nazywane są donorami.

Obecność atomów trójwartościowych (jak bor,

aluminium) w germanie lub krzemie powoduje

zwiększenie liczby dziur, ponieważ atomy takie

mają trzy elektrony walencyjne, które utworzą

wiązania tylko z trzema elektronami atomu

germanu lub krzemu.

Półprzewodniki domieszkowane

Rys. Schemat energetyczny półprzewodnika

zawierającego dwa rodzaje domieszek.

E

Czwarte wiązanie pozostanie niepełne — tworzy dziurę, która może być łatwo

zapełniona przez elektron z sąsiedniego atomu Ge lub Si. Taki półprzewodnik

jest półprzewodnikiem typu p, a atomy domieszkowe zwiększające liczbę dziur

nazywamy akceptorami.


Poziom Fermiego

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie o energii E opisuje

funkcja Fermiego-Diraca:

gdzie: EF jest energią (poziomem) Fermiego.

Przewodnictwo właściwe półprzewodnika, w którym koncentracja

elektronów swobodnych i dziur wynosi odpowiednio ρe i ρp przedstawione jest

wzorem:

gdzie: , są to ruchliwości elektronów i dziur. Ze wzrostem temperatury

następuje wzrost przewodnictwa właściwego, ponieważ silnie wzrasta

koncentracja nośników w półprzewodniku.

Występujące niewielkie zmniejszenie ruchliwości μ nośników swobodnych ma

znaczenie drugorzędne. W efekcie, opór półprzewodnika wyraźnie maleje ze

wzrostem temperatury.

(7.8)

(7.9)


Wiadomości uzupełniające.

Pasmowy model przewodnictwa

W ciele stałym, poziomy energetyczne elektronów ulegają rozszczepieniu, tworząc

pasma energii dozwolonych rozdzielone pasmami zabronionymi. Elektrony mogą

posiadać wyłącznie energie leżące w zakresie pasm dozwolonych.

Poziomy walencyjne tworzą pasmo walencyjne lub inaczej pasmo podstawowe, a

powyżej tego pasma utworzone zostaje pasmo przewodnictwa. Pasma te

rozdzielone są pasmem wzbronionym, nazywanym przerwą energetyczną Eg.


oPrzewodnictwo prądu elektrycznego związane jest z obecnością elektronów w

paśmie przewodnictwa. Jeżeli w danym materiale pasmo to jest puste, a pasmo

walencyjne pełne, to taki materiał jest izolatorem (Rys.1a).

oDobre przewodniki, jakimi są metale, charakteryzują się tym, że pasma

walencyjne i przewodnictwa stykają się ze sobą, lub nawet zachodzą na siebie

(Rys. 1b).

oMateriały takie, o właściwościach pośrednich między właściwościami metali i

izolatorów, nazwano półprzewodnikami (Rys. 1c). Energia potrzebna elektronowi

do przeskoku z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa nazywa się

energią aktywacji przewodnictwa samoistnego. Domieszkowanie półprzewodnika

związane jest z wprowadzeniem w zakresie przerwy energetycznej poziomów

donorowych (blisko pasma przewodnictwa) lub akceptorowych (blisko pasma

walencyjnego), co znacznie zmniejsza energię niezbędną do generacji elektronów

swobodnych bądź dziur.

Przerwa energetyczna dla germanu wynosi 0,68 eV, a dla krzemu 1,10 eV. Zgodnie

z tymi wartościami, w temperaturze pokojowej tylko w przypadku germanu

występuje przewodnictwo samoistne, natomiast krzem ma jedynie przewodnictwo

domieszkowe w tej temperaturze.

Pasmowy model przewodnictwa c.d.


Prąd elektryczny c.d.

Jeżeli do przewodnika przyłożymy stałe napięcie U (różnicę potencjałów ΔV), to

przez przewodnik płynie prąd, którego natężenie I jest proporcjonalne do

przyłożonego napięcia. Otrzymana zależność, to PRAWO OHMA ( z 1826r.)

11.8 Prawo Ohma (dla U = const.)

Stosunek napięcia przyłożonego do przewodnika do natężenia prądu przepływającego przez ten przewodnik jest stały i nie zależy ani od napięcia ani od natężenia prądu.

.constI

U

(8.1)


Zwiążemy teraz opór właściwy ( ) z oporem R:

Definicja oporu elektrycznego

Iloraz :

I

UR

nazywamy oporem elektrycznym (R) danego przewodnika.

Elektryczność

Załóżmy, że różnica potencjałów dzieli końce przewodnika, co generuje

pole elektryczne w przewodniku o natężeniu E i przepływ prądu o natężeniu I. Jeżeli

pole jest jednorodne, to:

Opór prostoliniowego przewodnika z

l

SR

SI

lV

j

E

)/(

)/(

S

lEdlEVVV

b

a

aB

aB VVV

(8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.5)


Elektryczność

Ostatecznie otrzymujemy opór prostoliniowego przewodnika z prądem:

S

lR

•Warto dodać, że opór elektryczny (czy też opór właściwy) materiałów ohmowych

zależy od temperatury.

• Materiał spełniający podane wyżej równanie, nosi nazwę materiału ohmowego.

Tutaj rozpatrujemy tylko takie materiały. W tej klasie znajdują się metale.

(8.6)




Rysunki przedstawiają zależność oporu właściwego (ρ) od temperatury dla

różnych materiałów. ρ0 - oporność resztkowa (zależna od rodzaju i koncentracji

defektów stałych) .

ρ0

ZALEŻNOŚĆ OPORU OD TEMPERATURY. A. DLA PRZEWODNIKÓW.

TRRTR 00)(

gdzie: R0 oznacza opór w temperaturze 0 C=273K, α- temperaturowy wsp. oporu ele. różnicę temperatur w skali Kelvina.

0TTT

Temp. Tk

krytyczna

nadprzewodnik

(8.7)



B. DLA PÓŁPRZEWODNIKÓW

Zależność oporu półprzewodnika od temperatury jest nieliniowa i można przedstawić następująco:

kT

E

eATR 2)(

gdzie: A - wielkość stała ( współczynnik proporcjonalności); ΔE = Eg/2 , to energia aktywacji . Jest energią potrzebną do przeniesienia elektronu do pasma przewodnictwa. Eg – przerwa energetyczna; T -temperatura w skali Kelvina; k- stała Boltzmanna.

W półprzewodniku samoistnym energia aktywacji E równa jest szerokości przerwy

wzbronionej. W półprzewodnikach domieszkowych E określa bezwzględną

wartość odległości energetycznej poziomu donorowego od pasma przewodnictwa

lub poziomu akceptorowego od pasma walencyjnego.

(8.8)











11.8.2. Mikroskopowa (lub wektorowa) postać prawa Ohma

1

,Ej

jE

(8.9)

(8.10)

(8.11)

(Związek pomiędzy gęstością prądu, a natężeniem pola elektrycznego w przewodniku).

(8.11) (8.10)



11.9 PRACA I MOC PRĄDU ELEKTRYCZNEGO

Rozpatrzmy zamknięty układ elektryczny przedstawiony na rysunku.

U

I

Układ zawiera opór R . Napięcie między okładkami baterii wynosi .

Niech ładunek zostanie przemieszczony przez baterię, to praca wykonana

przez napięcie U, przy przesunięciu tego ładunku wynosi:

0 ab VVVU

dq

dtIUdqUdW (9.1)


PRACA I MOC PRĄDU

tIUdtIUdWWtt

00

IUdt

dWP

(9.4)

Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa:

Z drugiej strony ten sam ładunek płynący przez opornik w obwodzie traci swoją energię

wskutek zderzeń z atomami opornika. Jeżeli zaniedbamy oporność baterii i przewodów

Łączących, to płynący ładunek nie traci dodatkowo energii. Zatem strata energii ładunku

wynosi:

dq

R

URIIU

dt

dWP

22

Otrzymany wzór określa także moc dostarczaną obwodowi przez baterię !

Praca ta zamienia się w ciepło i jest to ciepło Joula-Lenza.

Definicja

Moc prądu:

(9.2)

(9.3)

(9.5)


Siła elektromotoryczna

11.10. Siła elektromotoryczna (SEM).

Do wytworzenia prądu stałego niezbędne jest urządzenie, utrzymujące stałą

różnicę potencjałów miedzy końcami przewodnika. Źródło energii - np.: bateria,

akumulator, prądnica, komórka fotowoltaiczna – płynącej w każdym obwodzie

elektrycznym nazywane jest źródłem siły elektromotorycznej (SEM).

Mówimy o źródle tej energii jako o pompie ładunków, która powoduje

przemieszczanie się ładunków elektrycznych z punktu o mniejszym potencjale do

punktu o potencjale wyższym.

Przypomnijmy, że prąd elektryczny płynie od punktów o wyższym potencjale do

punktów o potencjale niższym.

Siła elektromotoryczna (ε) określa więc pracę konieczną do przeniesienia

jednostkowego ładunku w kierunku rosnącego potencjału.

(10.1)

Wartość siły elektromotorycznej ( ), definiuje się za pomocą wzoru: ε

Jednostką siły elektromotorycznej

jest wolt (V).



11.11. Użyteczne prawa i zależności dla obwodu zamkniętego.

Rozpatrzymy teraz obwód elektryczny przedstawiony

na rys. Załóżmy najpierw, że bateria ma zerowy opór

wewnętrzny oraz, że różnica potencjałów między

dodatnim i ujemnym jej zaciskiem jest równa

Oznacza to, że

Uruchomienie przepływu prądu w obwodzie elektrycznym jest

wynikiem procesu zamiany energii chemicznej na elektryczną. Zauważmy, że

SEM to ilość energii chemicznej potrzebnej do uwolnienia jednostkowego

ładunku elektrycznego. Proces ten zachodzi w baterii.

Ze względu na zachowawczy charakter pola elektrostatycznego praca W

potrzebna do przemieszczenia ładunku po krzywej zamkniętej , tj. po obwodzie

zamkniętym wynosi zero.

(10.2)

(10.3)



Rozważmy pkt. a na poniższym schemacie.

Obchodzimy obwód zamknięty zgodnie z ruchem wskazówek zegara zaczynając

od punktu a. Przejście przez SEM oznacza wzrost potencjału o wartość .

Przejście przez rezystor oznacza spadek napięcia równy

Jeśli opory przewodników i opór wewnętrzny zaniedbamy, to

ε RIVU

stąd:

(10.4)

(10.5)



W rzeczywistości bateria ma niezerowy opór elektryczny, więc rzeczywisty

obwód ma postać:

Graficznie spadek

napięcia w

powyższym

obwodzie (rys ).

Zauważmy, że

najwyższy potencjał ma

w obwodzie dodatni

zacisk baterii.

Różnica potencjałów na zaciskach

baterii jest teraz równa:

Ponieważ pole jest zachowawcze,

otrzymujemy PRAWO OHMA DLA

UKŁADU ZAMKNIĘTEGO:

i

Moc prądu w obwodzie

zamkniętym wynosi:

(10.6)

(10.7)

(10.8)

(10.9)



11.10.2 Prawa Kirchhoffa

W przypadku złożonych obwodów elektrycznych w celu obliczenia płynących

w nich prądów i napięć na ich elementach wygodnie jest korzystać z praw

Kirchhoffa. W każdym obwodzie możemy wyróżnić tzw. węzły i oczka.

Przez węzeł rozumiemy punkt połączenia co najmniej trzech przewodów (rys.)

Rys. 1. Rozgałęzienie prądu (do I prawa Kirchhoffa).

n

j

j

n

i

i II

11

0 (10.10)



Rys.2. Oczko prądu - dowolnych zamkniętych fragmentów obwodu -rys. ).

WNIOSEK:

Uogólnione prawo Ohma stanowi szczególny przypadek drugiego prawa Kirchhoffa.

n

i

ii

n

i

i RI

11

0

(10.11)



Przy stosowaniu II prawa Kirchhoffa należy przestrzegać określonej konwencji,

dotyczącej znaków prądów i sił elektromotorycznych.

A) Zwykle wybiera się w dowolny sposób kierunku obiegu oczka (zgodnie z

ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie). Prąd o kierunku zgodnym z

kierunkiem obiegu oczka przyjmujemy za dodatni, w przeciwnym przypadku

— za ujemny.

B) Siłę elektromotoryczną uważamy za dodatnią, jeżeli powodowałaby ona

przepływ prądu w kierunku zgodnym z kierunkiem obiegu oczka, a za ujemną

w przeciwnym przypadku.

UMOWNE KIERUNKI OBCHODZENIA OBWODÓW:

Zastosowanie praw Kirchhoffa do obwodu przedstawionego na rys. 2.

Rys. 2.

432144332211 RIRIRIRI

Przykład



b) Łączenie równoległe oporników:

(11.2)

a) Łączenie szeregowe oporników

N

i

iRR (11.1)

11.11. ŁĄCZENIE OPORNIKÓW

W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma opornikami połączonymi równolegle lub (i) szeregowo. Często musimy znaleźć oporność zastępczą układu szeregowo lub równolegle połączonych oporników. Na podstawie praw Kirchhoffa można łatwo otrzymać wzory, określające wypadkowy opór przewodników,

Przykład (tablica). Wyznaczyć opór zastępczy dla dwóch oporników połączonych szeregowo.

Przykład (tablica). Wyznaczyć opór zastępczy dla dwóch oporników połączonych równolegle.

N

i iRR

11



11.12. Kondensatory i dielektryki 11.12.1 Pojemność elektryczna kondensatora

Układ dwóch przewodników ( lub płytek),odizolowanych wzajemnie oraz od otoczenia, który może gromadzić ładunek elektryczny, przy przyłożonej różnicy

potencjałów, nazywamy kondensatorem (rys.), a te przewodniki okładkami kondensatora.

Rysunek przedstawia kondensator płaski, w którym przewodniki (okładki) stanowią dwie równoległe płytki przewodzące o polu powierzchni S. Podłączona bateria transportuje ładunki z jednej płyty kondensatora na drugą, dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii.

Naładowany kondensator: są to dwie płytki (okładki) naładowane identycznym ładunkiem co do wartości, lecz o przeciwnym znaku, tj. +q i q; q reprezentuje bezwzględną wartość ładunku.



Wielkością charakteryzującą kondensator jest jego pojemność , którą

definiujemy następująco:

[1F ]=[ 1C/1V].

Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku kondensatora do różnicy potencjałów (napięcia) między okładkami.

Jednostką pojemności elektrycznej jest farad (F): Jeden farad jest wiec pojemnością przewodnika, na którym ładunek jednego kulomba wytwarza potencjał jednego volta. Farad jest stosunkowo dużą jednostką pojemności; w praktyce pojemność wyraża sie zwykle w podwielokrotnościach farada, np. mikrofaradach (1μF = F), nF, pF.

Należy zauważyć, że stałej dielektrycznej próżni można przypisać wymiar: Wartość :

(12.1)

(7.2)



Podział kondensatorów : A) ze względu na konstrukcję :

o elektrolityczne (dielektrykiem jest cienka warstwa tlenku, a osadzona elektrolitycznie na okładzinie dodatniej, drugą okładziną jest elektrolit);

o poliestrowe - foliowe (dielektrykiem jest folia poliestrowa);

o ceramiczne (dielektrykiem jest specjalna ceramika); o powietrzne (dielektrykiem jest powietrze).

B) kształt okładzin:

o płaski; ocylindryczny; o sferyczny; oizolowany przewodzący przedmiot (ziemia jest drugą okładką).

Zdj. Kondensatory stałe różnych typów i pojemnościach. Źródło: pl.wikipedia.org

Pojemność (C) zależy od: (a) kształtu , rozmiaru i wzajemnego położenia płytek (b) materiału który wypełnia przestrzeń pomiędzy płytkami.

Rys. Przekrój cylindrycznego kondensatora, pokazujący powierzchnię gaussowską o promieniu r. źródło:H.R.W. Rys. 26-6, str. 632



Rys. Kondensator płaski. źródło: http://www.mif.pg.gda.pl/kfze

11.12.2. Obliczanie pojemności kondensatora płaskiego

Składa się on z dwóch przewodzących, równoległych płytek o powierzchni S każda, umieszczonych w odległości d << w porównaniu z liniowymi rozmiarami płytek (rys. ). Można przyjąć, ze pole elektryczne kondensatora jest w przybliżeniu równe sumie pól dwóch nieskończonych płaszczyzn, naładowanych różnoimiennie z gęstością powierzchniową (por. w. 10). Biorąc pod uwagę kierunki pola elektrycznego, Wytworzonego przez ładunki na każdej z okładek można stwierdzić, ze na zewnątrz kondensatora całkowite natężenie pola elektrycznego E = 0 a miedzy okładkami kondensatora natężenie pola jest dwukrotnie większe, niż w przypadku pojedynczej naładowanej płaszczyzny:

(12.2)



Zauważmy, że pojemność zależy od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego położenia. Oznacza to, że dla kondensatorów o innej geometrii obowiązują inne wzory. Równanie powyższe obowiązuje dla kondensatora płaskiego znajdującego się w próżni. Zależność pojemność kondensatora od przenikalności elektrycznej ośrodka omówimy później.

(12.3)

(12.4)

(12.5)



dUCUdqUdW

C

QQUCUdUUCE

U

22

1

2

1 22

0

(12.6)

(12.7)

N

i

iCC

(12.8)

11.12.3. ENERGIA KONDENSATORA

11.12.4 Łączenie kondensatorów

A) Łączenie równoległe kondensatorów



N

i iCC

11(12.9)

Przykład.

B) Łączenie szeregowe kondensatorów



CX

UI

CXC

1

(12.10)

(12.11)



11.13 Własności materii a przenikalność elektryczna materiałów



Tablica. Przykładowe wartości przenikalności elektrycznej

Dielektryki tworzą materiały, zbudowane z cząsteczek niepolarnych, czyli cząsteczek,

które nie posiadają trwałych elektrycznych momentów dipolowych. Obecności pola elektrycznego powoduje indukowanie momentu dipolowego, poprzez

przesunięcie środków ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych. Zjawisko to nosi

nazwę polaryzacji elektronowej. Pole elektryczne porządkuje jednocześnie dipole

elektryczne zgodnie ze zwrotem pola . Jest to polaryzacja kierunkowa. Cząstki niepolarne to cząstki o budowie symetrycznej, jak: H2, N2, O2,czy gazy szlachetne.



Paraelektryki to materiały, których cząsteczki posiadają

trwały elektryczny moment dipolowy również w nieobecności

pola elektrycznego. Są to tzw. cząstki polarne.

Doskonałym przykładem jest cząsteczka wody (H2O) ( rys.).

W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego

paraelektryki nie wykazują pola elektrycznego, ponieważ

dipole elektryczne są zorientowane w sposób przypadkowy,

chaotyczny, i pola dipoli wzajemnie się znoszą.



Rys. Wiązania cząsteczek wody



Trzeci rodzaj materii:

Ferroelektryki, są to materiały wykazujące pole elektryczne również

w nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego.

Charakterystyczną cechą ferroelektryków jest struktura domenowa, która

powoduje np. występowanie histerezy elektrycznej. Podobnie histerezę

magnetyczną obserwujemy w ferromagnetykach. Pod względem własności

magnetycznych materiały dzielimy na diamagnetyki, paramagnetyki i

ferromagnetyki.


KONIEC

Documents

11.1 y RÓŻNICZKOWE PRAWO GAUSSA i co z niego wynikadana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/w11_w12_16-05... · 2016. 5. 20. · Wyrażenie w nawiasie jest z definicji dywergencją