1

11. VITKI ELEMENTI NAPREZANI EKSCENTRIČNOM SILOM PRITISKA

( Većina sadržaja preuzeta iz knjige “ BETONSKE KONSTRUKCIJE“ I. Tomičić, DHGK, Zagreb,1996.)

11.1 TEORIJE PRORAČUNA

- Uglavnom konstrukcije računamo prema linearnoj teoriji (u izrazima za deformacije su samo linearni članovi), a uslovi ravnoteže se postavljaju na

nedeformisanom sistemu – Teorija I reda.

- Ako je granično stanje nosivosti uzrokovano deformisanjem konstrukcije

(izvijanje), uslovi ravnoteže se postavljaju na deformisanom sistemu, s tim da

se u izrazima za deformacije mogu:

- zadržati samo linearni članovi - Teorija II reda

- zadržati i nelinearni članovi – Teorija III reda.

11.2 NOSIVOSTI VITKIH ARMIRANOBETONSKIH ELEMENATA PRI INTERAKCIJI MSd i NSd

Dijagram “K” je kriva nosivosti gdje računske sile Msd I Nsd izazivaju granične deformacije u betonu I čeliku.

►Kriva(pravac) 1: do otkazivanja dolazi kod računskih sila (velika krutost elementa na izvijanje, kritične sile izvijanja nije moguće dostići)- problem naprezanja; ►Kriva 2: Otkazivanje nosivosti elementa se dešava pri manjoj uzdužnoj računskoj sili

I većem računskom momentu (mala vitkost elementa I odgovarajući progib”f” od momenta savijanja, povećava se

2

ekscentricitet “e” na “e+f”, kritične sile izvijanja I nisu dostignute)- problem naprezanja; ►Kriva 3: Do otkazivanja dolazi zbog gubitka stabilnsti elementa,( s povećanjem

vitkosti progib “f” od momenta savijanja dostiže još veću vrijednost)

kod sile I momenta savijanja , prije nego što su dostignute

računske sile Na nosivost AB- elemenata utiče; oblik momentnog dijagrama, kvalitet betona I čelika, postotak armiranja. Na slikama; 11.2 , 11.3 , 11.4 prikazan je uticaj momentnog dijagrama na nosivost elementa, a u zavisnosti o vitkosti “λ”.

3

11.3 PRIKAZ PRORAČUNA PO TEORIJI II. REDA Proračun presječnih sila po teoriji II. reda sastoji se u odreĎivanju tih veličina na deformisanom sistemu.

Rubne(ivične) deformacije ε1 i ε2 ,a time I zakrivljenosti “κ”, izračunavaju se iz poznatih izraza metode graničnih stanja kada su poznate granične presječne sile,poprečni presjek,količina I položaj armature, te odnos izmeĎu napona I deformacija Radi jednostavnosti mogu se koristiti radni dijagrami “σ-ε” za beton I čelik (slika 11.6)

4

Koristi se neki od velikog broja iterativnih postupaka. Jedan od takvih je I Engesser-Vianellov iterativni postupak(sl. 11.7)

I – iterativni korak: proračunaju se momenti I uzdužne sile za nazivno opterećenje Mi I Ni na nedeformisanom sistemu u presjecima K elementa I pomnože sa koeficijentima

sigurnosti. Tako se dobivaju računske velićine Pomoću kojih se računa zakrivljenost “κ” uzduž elementa. Nakon toga računaju se fiktivne težine po izrazima:

5

Primjenjujući analogiju izmeĎu:

Može se pronaći kriva progiba fx nastalog uslijed fiktivnog opterećenja κx , kao I dijagram momenata savijanja Mx izazvan opterećenjem px. Pri tome treba voditi računa o rubnim uslovima elementa. II- iterativni korak: Izračunaju se računske veličine na deformisanom elementu:

, pa se računa kao u I koraku. Postupak se ponavlja sve do potrebne tačnosti. Konačne računske statičke veličine po teoriji II. reda dobivaju se nakon n-te iteracije:

Odgovarajuće deformacije εc I εs ne smiju biti veće od granične deformacije εcu I εuk. Računske statičke veličine ne smiju premašiti računske veličine nosivosti. Pri djelovanju vise različitih opterećenja, treba koristiti odgovarajuće koeficijente sigurnosti te zakon superpozicije. 11.4 PRORAČUN STATIČKIH VELIČINA PO PRIBLIŽNIM POSTUPCIMA Prikazati će se tri približna postupka za proračun presječnih sila na deformisanom sistemu ito:

- Postupak po EC 2, - Postupak prema DIN propisima, - Najnovijim američkim propisima.

U približnim postupcima koristi se pojam “zamjenskog štapa” (štap naprezan na

pritisak, dužine jednake dužini izvijanja standardnog štapa sa zglobovima na

kraju). Pronalaženje dužine izvijanja nekog elementa ujedno je nalaženje dužine

zamjenskog štapa.

11.4.2 Pronalaženje dužine izvijanja, pojmovi I zahtjevi propisa

Veoma brz I za praksu dovoljno tačan postupak proračuna dužine izvijanja elemenata horizontalno nepomičnih I horizontalno pomičnih okvira, je onaj

6

pomodu Jacksonova I Morelandova nomograma (sl.11.9). Po tom postupku za

pronalaženje omjera

β=lo/l uzima se za parameter odnos krutosti priključnih štapova u čvorovima (sl. 11.8):

Razlika u krutostima stubova u istom čvoru ne smije biti veća od 25%.Opterećenje treba uvoditi samo u čvorovima. Krutost stubova Ecm.Icol/lcol , računa se za betonski presjek bez uzimanja u obzir armature I pukotina u zategnutoj zoni (naponsko stanje I). Krutost grede

, uzima se za betonski presjek I za nastanak pukotina u zatežućoj zoni betona(naponsko stanje II). Može se približno proračunati prema izrazima:

Područje ispod vrijednosti KA=KB=0.4 za obje vrste okvira ne preporučuje se za upotrebu.

7

Ako su okviri pomični, a za krajnje polje ili za opterećenje na gredama , proračunata dužina izvijanja po ovim nomogramima nešto je kraća od dužine dobivene tačnim proračunima. Pri dugotrajnom opterećenju zbog efekta puzanja dolazi do smanjenja efekta uklještenja štapova, što se može uzeti u proračunu dužine izvijanja preko smanjenja modula elastičnosti betona.

8

Nakon odreĎivanja dužine izvijanja, može se izračunati vitkost elementa λ=l0/i, koja je važan parameter u daljem postupku. Područje primjene teorije II reda Proračun po teoriji II reda provodi se za vitke konstrukcije ili vitke elemente pretežno naprezane uzdužnom silom pritiska, kojima nosivost znatno zavisi o njihovoj deformabilnosti. Tim proračunom treba dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju djelovanja u graničnom stanju nosivosti neće doći do gubitka statičke ravnoteže pojedinih elemenata ili sistema kao cjeline, prije otkazivanja nosivosti pojedinih presjeka naprezanih na ekscentrični pritisak (dokaz stabilnosti). Ponašanje se mora ispitati za svaki smjer u kojem može doći do otkazivanja nosivosti zbog djelovanja prema teoriji II reda.

PODJELA KONSTRUKCIJA I KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA U analizi sistema po teoriji II reda treba razlikovati: 1) Krute elemente i sisteme i one koji to nisu 2) Horizontalno pomične i horizontalno nepomične sisteme

1) Kruti elementi i konstrukcije Kruti element je onaj koji ima veliku krutost na savijanje i/ili posmik,te je potpuno ili djelomično ukliješten u temelj ili podrumske zidove (npr. ab.zid). Treba imati dovoljnu krutost za prihvatanje svih horizontalnih djelovanja na konstrukciju i prenos opterećenja do temelja, te osiguravati stabilnost konstrukcije.Konstrukcija s jednim ili više krutih elemenata u oba smjera koja ispunjava navedene zahtjeve smatra se krutom konstrukcijom.Ukrućene konstrukcije kod kojih se ukrućenje postiže krutim nosivim zidovima odnosno krutim jezgrama smatraju se nepomičnima.Sve horizontalne sile prihvataju kruti elementi (zidovi), a ostali elementi (stubovi) ovisno o vitkosti proračunavaju se prema teoriji I,odnosno II reda, uključujući imperfekciju i puzanje betona.Često se pri tom koriste pojednostavljene metode. 2) Horizontalno pomični i horizontalno nepomični sistemii Konstrukcije za koje se uticaj horizontalnih pomaka čvorova na proračunske momente i sile može zanemariti(≤10%) smatraju se horizontaolno nepomičnim sistemima,a u protivnom to su horizontalno pomični sistemi (računaju se po teoriji II reda). Horizontalno nepomični sistemi prema EC 2 su oni koji zadovoljavaju uslov:

gdje je: htot = ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruma n = broj spratova

9

Fv = suma ukupnog vertikalnog opterećenja u korištenju (γF =1) Ecm·Ic = suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata

Za procjenu nepomičnosti okvirnih sistema bez krutih elemenata(zidova), EC 2 daje

približan postupak.Po tom prijedlogu okvirna konstrukcija se tretira kao nepomična ako

je vitkost njezinih pritisnutih elemenata:

Nsd≥0.7 Nsd,m - računska uzdužna sila u promatranom stubu,

Nsd,m - srednja računska uzdužna sila u jednom stubu promatranog sprata,

Ac – površina presjeka stuba,

fcd – računska čvrstoća betona.

Kruti elementi kao pojedinačni ili u sastavu složenog sistema računaju se po teoriji I.

reda uključujući imperfekcije.

Horizontalno pridržane(horizontalno nepomične) konstrukcije proračunavaju se tako da

sve horizontalne sile ( vjetar, potres) prihvataju kruti elementi,a ostali štapni elementi ,

zavisno o vitkosti, dimenzionišu se na presječne sile dobivene po teoriji I. ili II. reda,

uključujući imperfekcije I puzanje.

Horizontalno nepomični okviri bez krutih elemenata sami prihvataju horizontalne I

vertikalne sile. Presječne sile se računaju po teoriji I. reda, uzimajući u obzir

imperfekcije I puzanje betona.

Pomični sistemi moraju se proračunati po teoriji II. reda.Postupak se može odnositi na

konstrukciju kao cjelinu(vrlo kompleksan zadatak), ili se sistem proračunava po teoriji I.

reda, a pojedinačno se povećavaju presječne sile zbog nastalog deformisanja.

Razlika izmeĎu tlačno opterećenih elemenata u horizontalno pomičnim i nepomičnim

sistemima je u slijedećem:

- Dižina izvijanja kod horizontalno pomičnih sistema je znatno veća u odnosu na

nepomične(Jacksonovi - Morelandovi nomogrami ),

10

- Povećanje momenata savijanja kod horizontalno pomičnih okvira dolazi na

mjestu najvećih vrijednosti(u čvorovima), dok kod nepomičnih sistema dolazi do

povećanja najvećeg momenta savijanja u trećini izvijanja izmeĎu čvorova.

Povećani moment savijanja u trećini dužine izvijanja kod horizontalno pridržanih

sistema redovito je manji od onog u čvoru kruto spojenih elemenata, dobivenog

po teoriji I. reda.

Prijedlog je da se gdje je to god moguće projektuju konstrukcije koje će biti horizontalno

pridržane zidovima ili jezgrom, kako bi se dobile racionalne graĎevine.

EC2 dopušta pojednostavljenje metode proračuna pomičnih okvira po teoriji II. reda ako se radi

o pravilnim okvirima, a to su oni kod kojih su stubovi I grede približno jednake krutosti I da im

srednja vitkost stubova bude manja od 50 ili.

Pravilnik BAB daje slijedeća ograničenja za elemente sistema:

A) Zadovoljava proračun po teoriji I. reda ako je ispunjen jedan od uslova:

B)Za područje vitkos ti 25 < λ ≤ 75 moguć je približan proračun deformisanja

pojedinih elemenata,

C) Ako je 75 < λ ≤ 140 , proračun je jedino moguć po teoriji II. reda,

D) Vitkost λ˃ 140 ne dopušta se.

Za ekscentricitet zbog imperfekcije uzima se : ea = l0/300, ali ne manje od 2 cm niti veći

od 10cm.

11.4.3 Približan proračun prema EC 2

Prema EC 2 dopušta se umjesto proračuna vitkog sistema kao cjeline po teoriji II. reda,

upotreba približnog postupka po kojem se analizira pojedinačna nosivost vitkih

elemenata izdvojenih iz sistema (kružnog ili pravougaonog presjeka), naprezanih

silom pritiska po teoriji II. reda.

11

U većini slučajeva nosivost pritisnutog elementa u sistemu veća je od one dobivene

kada se on izdvoji iz konstrukcije. Dokaz nosivosti se provodi po postupku za

pojedinačni stub-model.

Horizontalno ne pridržane okvire nije potrebno proračunavati po teoriji II. reda, ako

zadovoljavaju krirerijume date izrazima (11.11) I (11.12), a horizomtalno pridržane

sisteme ako je vitkost manja od kritične:

gdje su e01 I e02 ekscentriciteti uzdužne sile pritiska na krajevima elementa (slika 11.10).

Elementi koji zadvoljavaju kriterijume (11.11), (11.12) ili (11.13) dimenzionišu se na

momente savijanja dobivene po teoriji I. reda, ali ne na manje vrijednosti od Nsd I Msd =

Nsd.h/20.

Elementi koji ne zadovoljavaju navedene kriterijume mogu se proračunavati po

približnim postupcima, s tim da im vitkost ne premaši graničnu λlim =140, te da

12

ekscentricitet e0 ne bude manji od 0.1h(račun za e0< 0.1h po ovom postupku je

neracionalan).

Približn postupak prema EC 2 primjenjuje se za elemente konstantnog presjeka I

armature, a sastoji se u odreĎivanju povećanog ekscentriciteta računske uzdužne sile

Nsd koja ostaje nepromijenjena, odnosno ona dobivena po teoriji I. reda.

Ukupni ekscentricitet će biti:

htot – ukupna visina graĎevine od temelja ili podrumskog zida,

νmin = l/400 -za pridržane sisteme,

νmin = l/200 -za nepridržane sisteme.

Za stubove s promjenljivim ekscentricitetom e0 (slika 11.10), a konstantnog presjeka I

armature po dužini , koristi se zamjenjujuća vrijednost za ekscentricitet:

od kojih se bira veća vrijednost.

Dodatni ekscentricitet zbog deformisanja elemenata pravougaonog I kružnog presjeka

može se izračunati upotrebom metode “stub-model” (slika 11.11)

13

Sl. 11.11 Stub- model

K1 – korekcioni factor za postepeni prelaz od graničnog stanja nosivosti (λ≤25) na problem

izvijanja (λ˃25),

14

l/r – zakrivljenost dobivena iterativnom metodom ili približnim postupkom.

Korekcioni factor se izračunava po izrazu:

Približan izraz za odreĎivanje zakrivljenosti je:

Puzanje betona utiče na povećanje ekscentriciteta, naročito pomičnih sistema i može

se približno uzeti preko dodatnog momenta savijanja:

MIG – moment od stalnog opterećenja dobiven po teoriji I. reda,

γF = 1.1 za hiperstatičke sisteme,

γF = 1.2 za statički odreĎene sisteme.

Računske presječne sile na deformisanom sistemu biti će:

11.4.4 Približan proračun prema K.Kordini (DIN 1045)

15

Ako je vitkost u području 20<λ≤70, moguć je približan proračun izobličenja elementa.

Proračun se provodi za dopunski ekscentricitet “f” kojemu se dodaje ekscentricitet zbog

netačnosti izvoĎenja(imperfekcije) I puzanja betona pod dugotrajnim opterećenjem ito

samo onda kada se efekti puzanja ne mogu zanemariti.

Za ekscentrično tlačno naprezane elemente treba odrediti e0=M/N u srednjoj dužini

izvijanja (sl.11.12 I 11.13).

Za horizontalno nepomične sisteme:

Za horizontalno pomične sisteme ekscentricitet e0 je u području čvora.

16

Povećanje ekscentriciteta zbog puzanja pod dugotrajnim opterećenjem i imperfekcija vk

računa se po prijedlogu K.Kordine:

Gdje je:

Omjer presječnih sila izazvanih dugotrajnim opterećenjem u srednjoj trećini dužine izvijanja

Ekscentricitet zbog netačnog izvoĎenja

Koeficijent puzanja

17

Omjer izmeĎu Eulerove kritične sile I uzdužne sile izazvane dugotrajnim opterećenjem

Visina presjeka

U izraz za Eulerovu silu:

Treba kod proračuna krutosti Ecm.III predvidjeti nastanak pukotina u zatežućoj,

nelinearnost dijagrama σ-ε I prisutnost armature, što se može uzeti(približno)

proračunom krutosti po empirijskom izrazu:

Daljnjim pojednostavljenjem povećanje ekscentriciteta vk se računa prema izrazu:

Konačne statičke veličine na deformisanom sistemu iznose:

Naponi proračunati za te veličine ne smiju biti veći od graničnih dopuštenih.

Računske presječne sile na deformisanom sistemu iznose:

18

11.4.5 Približan proračun po metodi povećanja momenata

Postupak je primjenljiv za sve vitkosti elemenata do granične λlim=140.

B.G.Johnston dao je približan izraz za povećani momenat savijanja koji dobro

aproksimira tačan rezultat dobiven po teoriji II.reda u obliku:

Gdje je:

M – momenat savijanja dobiven po teoriji I. reda (M=N.e0) za opterećenje u

eksploataciji.

Koeficijent kojim se kod horizontalno nepomičnih okvira nejednolika raspodjela momenata savijanja po dužini elementa zamjenjuje jednolikom

Koeficijent redukcije ( ACI – propisi)

Kod horizontalno nepomičnih okvira mogu nastupiti dvije mogućnosti:

U čvoru okvira gdje nema povedanja momenta zbog deformisanja

Na mjestu najvedeg porasta momenta zbog nastalog izobličenja (sl. 11.14)

19

Sl. 11.14. Momentni dijagram u stubu horizontalno pridržanog okvira

Kod horizontalno pomičnih okvira koeficijent Cm=1. Maksimalni je moment savijanja u čvoru, gdje je I najveći moment savijanja dobiven po teoriji I.reda I gdje je i najveće deformisanje. U izrazu za kritičnu Eulerovu silu:

Moraju se u proračun krutosti Ecm.III uzeti u obzir efekti pukotina u zategnutoj zoni

betona, puzanje I nelinearnost dijagrama σ-ε , te prisutnost armature.

Empirijski izraz za krutost Ecm.III postavio je Mac Gregor u obliku dvaju izraza:

Omjer βd=Md/M, odnosno βd=Nd/N znači koeficijent kojim se uvodi puzanje betona pod

dugotrajnim opterećenjem u izrazu za Ecm.III i kreće se u granicama 0≤ βd≤1.

20

Ustanovljeno je da: - Izraz (11.26) bolje odgovara za jako armirane elemente, jer

obuhvata količinu rmature;

-Izraz (11.27) bolje odgovara za slabije armirane elemente.

Računske presječne sile na deformisanom sistemu iznose:

11.5. VITKI ELEMENTI NAPREZANI OSNOM SILOM KOJOJ JE HVATIŠTE IZVAN

GLAVNIH OSA

Proračun se provodi za svaki glavni smjer odvojeno prema postupku za naprezanje u

jednom smjeru, ako je ispunjen jedan od slijedeća dva uslova:

21

11.5.2. Približan proračun prema propisima DIN – 1045

Vitki elementi pravougaonog presjeka kojih su dužine izvijanja l0x≈l0y proračunavaju se

po približnom postupku koji vrijedi za područje:

Ekscentricitet tlačne sile proračunava se prema izrazu:

U proračunu veličina “f” i vk koristi se zamjenjujuća dužina izvijanja dobivena prema

izrazu:

Gdje je:

Lo=lox=loy

22

Ugao što ga zatvara neutralna os s koordinatnom osi x.

Postupak približnog proračuna vitkih elemenata naprezanih osnom silom izvan glavnih

osa svodi se na proračun vitkih elemenata naprezanih osnom silom u osi x, ali sa

zamjenjujućim veličinama er i l0r . Pri tome kraća stranica “b” mora biti paralelna s

osom x. Armatura može biti rasporeĎena uzduž stranica ili je koncentrisana u

uglovima.

VJEŽBA

Dimenzionisanje vitkih elemenata naprezanih

centričnom / ekscentričnom silom

pritiska

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32