1.1 ฟ งก ชัน n ตัวแปรอ ิสระ · เอกสารประกอบการสอน วิชาแคลค ูลัส 2 อ.เพลิฬ

เอกสารประกอบการสอน วิชาแคลคูลัส 2 อ.เพลิฬ สายปาระ

- 1 -

1.1 ฟงกชัน n ตัวแปรอิสระ 1.1.1 นิยามฟงกชนั 1 ตวัแปร

นิยามที่ 1 ฟงกชัน 1 ตวัแปรอิสระ ฟงกชัน 1 ตวัแปรอิสระ คือ รูปแบบความสัมพันธเชิงคณิตศาสตรของตัวแปรอิสระ ( x ) และตวัแปรไมอิสระ หรือตัวแปรตาม ( y ) ในรูปแบบ ( )xfy =

เชน 325 2 +−= xxy

32 −= xexy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=3

1cos xxy เปนตน

นิยามที่ 2 ฟงกชันสองตัวแปรอิสระ ฟงกชันสองตัวแปรอิสระ คือ รูปแบบความสัมพันธเชิงคณิตศาสตรของตวัแปรอิสระ 2 ตวั ( yx , ) และตวัแปรไมอิสระ หรือตัวแปรตาม ( z ) ในรูปแบบ ( )yxfz ,=

เชน yxyxz 3212 2 +−=

( )yxyexy 32 −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xyxxyy

31cos4 เปนตน

นิยามที่ 3 ฟงกชันหลายตัวแปรอิสระ ฟงกชันหลายตัวแปรอิสระ คือ รูปแบบความสัมพันธเชิงคณิตศาสตรของตวัแปรอิสระหลายตัว ( n ตัวแปร คอื nxxx ,...,, 21 ) และตวัแปรไมอิสระ หรือตัวแปรตาม ( y ) ในรูปแบบ

( )nxxxfy ,...,, 21= เชน 32 3212 yzxyzyxw +−=

( ) 232 2xyzwyexs yx += −

( )sxyxy

xxyt sin31cos4 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= เปนตน


- 2 -

1.1.2 การหาคาฟงกชัน n ตัวแปร นิยามที่ 4 คาของฟงกชนั 1 ตวัแปรอิสระ ถา ( )xfy = เปนฟงกชัน 1 ตัวแปรอิสระ และ a เปนจํานวนจริง โดยที่ fDa ∈ จะไดวา ( )af เปนคาของฟงกชัน f ที่ ax =

ตัวอยางที่ 1 กําหนด ( ) 325 2 +−= xxxf จงหาคาของฟงกชัน f ที่ 2,0,1−=x วิธีทํา จาก ( ) 325 2 +−= xxxf จะไดวา

ที่ 1−=x จะไดวา ( ) ( ) ( ) 10325312151 2 =++=+−−−=−f น่ันคือ 10 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 1−=x

ที่ 0=x จะไดวา ( ) ( ) ( ) 3300302051 2 =++=+−=−f น่ันคือ 3 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 0=x

ที่ 0=x จะไดวา ( ) ( ) ( ) 193420322251 2 =+−=+−=−f น่ันคือ 19 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 2=x นิยามที่ 5 คาของฟงกชนัสองตัวแปรอิสระ ถา ( )yxfz ,= เปนฟงกชันสองตัวแปรอิสระ และ a , b เปนจํานวนจริง โดยที่ ( ) fDba ∈, จะไดวา ( )baf , เปนคาของฟงกชัน f ที่ ax = และ by = ตัวอยางที่ 2 กําหนด ( ) yxyxyxf 3212, 2 +−= จงหาคาตอไปน้ี

1. คาของฟงกชัน f ที่ 2−=x และ 3=y 2. คาของฟงกชัน f ที่ 0=x และ 1=y 3. ( )1,2 −f 4. ( )αα −,f

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1,

32f

วิธีทํา จาก ( ) yxyxyxf 3212, 2 +−= จะไดวา 1. ที่ 2−=x และ 3=y จะไดวา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15794144332232123,2 2 =++=+−−−=−f

น่ันคือ 157 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 2−=x และ 3=y 2. ที่ 0=x และ 1=y

จะไดวา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3300130210121,0 2 =++=+−=f น่ันคือ 3 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 0=x และ 1=y 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 633456132212121,2 2 −=−−−=−+−−=−f น่ันคือ -63 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 2=x และ 1−=y


- 3 -

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ααααααααααα 51232123212, 332 −−=−−−=−+−−=−f น่ันคือ αα 512 3 −− เปนคาของฟงกชัน f ที่ α=x และ α−=y

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1,

32f =

แบบฝกหัดที ่1 กําหนด ( ) 2

3

x2

xy1y,xf

−−

= จงหาคา ( )1,2f − และ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− 2,

2

1f


- 4 -

นิยามที่ 6 คาของฟงกชนัหลายตัวแปรอิสระ ฟงกชันหลายตัวแปรอิสระ คือ รูปแบบความสัมพันธเชิงคณิตศาสตรของตวัแปรอิสระหลายตัว ( n ตัวแปร คอื nxxx ,...,, 21 ) และตวัแปรไมอิสระ หรือตัวแปรตาม ( y ) ในรูปแบบ

( )nxxxfy ,...,, 21=

ตัวอยางที่ 3 กําหนด ( ) 32 3212,, yzxyzyxzyxf +−= จงหาคาตอไปน้ี 1. ( )1,1,0 −−f

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,2,0f

3. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 1,1,

21f

วิธีทํา จาก ( ) 32 3212,, yzxyzyxzyxf +−= จะไดวา 1. ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )32 113110210121,1,0 −−+−−−−=−−f

300 +−= 3=

น่ันคือ 3 เปนคาของฟงกชัน f ที่ 2=x และ 1−=y

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,2,0f

3. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 1,1,

21f


- 5 -

แบบฝกหัดที ่2 กําหนด ( )y43

xz2z,y,xf

−−= จงหาคา ( )1,1,0f และ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 0,1,

2

1f


- 6 -

1.2 กราฟของฟงกชันสองตวัแปร 1.2.1 พิกัดจุดในปริภูมิสามมิติ

การบอกตําแหนงของจุดในปริภูมิสามมิติ ทําโดยการกําหนดพิกัด ซ่ึงระบบพิกดัที่ใช กันโดยทั่วไปมี 3 ระบบ ไดแก ระบบพิกดัฉาก (Rectangular Coordinates) ระบบพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical Coordinates) และระบบพิกดัทรงกลม (Spherical Coordinates) ซ่ึงสามารถกลาวในรายละเอยีดดังน้ี

1. ระบบพิกัดฉาก ระบบพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติ ประกอบดวยแกน 3 แกน คือแกน X แกน Y และ

แกน Z ซ่ึงเรียกวาแกนพิกดัฉาก ซ่ึงทั้งสามแกนดังกลาวจะตัดกันที่จุดกําเนิด(Origin) และการตัดกันของแกนทั้งสามทําใหเกิดระนาบคงที่ 3 ระนาบดังรูปที่ 1.1

รูปที่ 1.1

การเขียนจุด ( )000 ,, zyxP สามารถดําเนินการดังน้ี ข้ันที่ 1 วัดระยะตามแกน x เปนระยะ 0x ลากเสนขนานแกน z บนระนาบ xz และลากเสนขนานแกน y บนระนาบ xy ข้ันที่ 2 วัดระยะตามแกน y เปนระยะ 0y ลากเสนขนานแกน z บนระนาบ yz และลากเสนขนานแกน x บนระนาบ xy ซ่ึงจะทําใหเกิดจุดตัด ( )0,, 00 yxQ ข้ันที่ 3 วัดระยะตามแกน z เปนระยะ 0z ลากเสนขนานแกน x บนระนาบ xz และลากเสน ขนานแกน y บนระนาบ yz ซ่ึงจะทําใหเกิดจุดตดั ( )00 ,0, zxR และ ( )00 ,,0 zyD ข้ันที่ 4 จากจุด ( )0,, 00 yxQ ลากเสนตรงตั้งฉากกบัระนาบ xy จากจุด ( )00 ,0, zxR ลากเสนตรงตั้งฉากกับระนาบ xz และจากจุด ( )00 ,,0 zyD ลากเสนตรงตัง้ฉาก กับระนาบ yz ซ่ึงทําใหเกิดจุดตัด )z,y,x(P 000 ดังรูปที่ 1.2


- 7 -


ตัวอยางที่ 4 จงเขียนจุด ( )1,1,2A , ( )2,2,1 −−B , ( )2,2,1 −C และ ( )2,2,1 −−D ซ่ึงสามารถเขยีนจุดดงรูป


- 8 -

2. ระบบพิกัดทรงกระบอก ระบบพิกัดฉากทรงกระบอกในปริภูมิสามมิติ เปนระบบที่ประกอบไปดวยพิกัดเชงิขั้วใน

ระนาบ xy กับระยะในแกน z โดยกําหนดใหพิกัดทรงกระบอกดังกลาวแทนดวย ( )zrP ,, θ ซ่ึงสามารถพิจารณาดังรูปที่ 1.3

โดยที่ r คือระยะจากจุด O ไปยังจุด Q θ คือการวัดมุมระหวางแกน x ไปยัง OQ z คือระยะQP ในทศิทางขนานแกน z

รูปที่ 1.3 ตัวอยางที่ 5 จงเขียนจุด ( )3,30,2 oA , ( )2,120,3 −oB , ( )2,45,2 oC และ ( )3,210,4 −oD ซ่ึงสามารถเขียนจุดดงรูป


- 9 -

3. ระบบพิกัดทรงกลม ระบบพิกัดฉากทรงกลมในปริภูมิสามมิติ แทนดวย ( )φθρ ,,P ซ่ึงสามารถพิจารณา

ดังรูปที่ 1.4

โดยที่ φ คือการวัดมุมระหวางแกน z ไปยงั OP θ คือการวัดมุมระหวางแกน x ไปยงั OQ ρ คือระยะจากจุด O ไปยังจุด P


ตัวอยางที่ 6 จงเขียนจุด ( )oo 30,30,2A , ( )oo 30,120,3B และ ( )oo 60,45,2C ซ่ึง สามารถเขยีนจุดดงรูป (นักศึกษาทําเอง)


- 10 -

1.2.2 การเปลี่ยนพกัิดในปริภูมิสามมิติ การเปลี่ยนพกัิดฉากในปริภูมิสามมิติเปนพิกัดทรงกระบอก

กําหนด ( )zyxP ,, เปนจุดในระบบพกิัดฉาก ซ่ึงเปนจุดเดียวกับจุด ( )zrP ,, θ ในระบบพิกัดทรงกระบอก สามารถเขียนความสัมพันธของระบบพิกัดทัง้สองดังสมการตอไปน้ี

ความสัมพันธทั้งสองระบบ

θcosrx = θsinry =

zz = 222 ryx =+

xy

=θtan

ตัวอยางที่ 7 จงเปลี่ยนระบบพิกัดฉากตอไปน้ีใหเปนระบบพิกัดทรงกระบอก 1. ( )3,4,3P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 11 -

2. ( )4,1,3P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. ( )2,1,1 −−P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ( )1,5,2 −P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 12 -

ตัวอยางที่ 8 จงเปลี่ยนสมการระบบพิกดัฉากตอไปน้ีใหอยูในระบบพิกัดทรงกระบอก 1. 22 2227 yxz −−= ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. 233 xyxz −−= ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. yxz 33 +−= ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 13 -

การเปลี่ยนพกัิดฉากในปริภูมิสามมิติเปนพิกัดทรงกลม กําหนด ( )zyxP ,, เปนจุดในระบบพกิัดฉาก ซ่ึงเปนจุดเดียวกับจุด ( )θφρ ,,P ในระบบพิกัดทรงกลม สามารถเขียนความสัมพันธของระบบพิกัดทั้งสองดังสมการตอไปน้ี

ความสัมพันธทั้งสองระบบ

θφρ cossin=x θφρ sinsin=y

φυ cos=z 2222 ρ=++ zyx

xy

=θtan

222cos

zyxz

++=φ

ตัวอยางที่ 9 จงเปลี่ยนระบบพิกัดฉากตอไปน้ีใหเปนระบบพิกัดทรงกลม 1. ( )3,4,3P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. ( )4,1,3P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 14 -

3. ( )2,1,1 −−P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ( )1,5,2 −P ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ตัวอยางที่ 10 จงเปลี่ยนสมการระบบพกิัดฉากตอไปนี้ใหอยูในระบบพิกัดทรงกลม 1. 22 2227 yxz −−= ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 15 -

2. 233 xyxz −−= ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. yxz 33 +−= ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

1.2.3 สมการและกราฟของระนาบในปริภูมิสามมิติ นิยามที่ 7 ระนาบ ระนาบ คือพ้ืนผิวที่ประกอบดวยจุดทั้งหลายที่สอดคลองกับสมการกําลังหน่ึงของสามตัวแปร x , y และ z ดังน้ี

DCzByAx =++ โดยที่ A , B , C และ D เปนคาคงที่ และ A , B และ C มีคาเปนศนูยไมพรอมกัน

การเขียนกราฟของระนาบในปริภูมิสามมิติ

จากสมการระนาบ DCzByAx =++ สามารถดําเนินการเขียนกราฟตามขั้นตอนตอไปน้ี

ข้ันที่ 1 แทนคา x และ y เทากับ 0 จะไดคา CDz = ดังรูป

ข้ันที่ 2 แทนคา x และ z เทากับ 0 จะไดคา BDy = ดังรูป

ข้ันที่ 3 แทนคา y และ z เทากับ 0 จะไดคา ADx = ดังรูป


- 16 -

ข้ันที่ 4 เชื่อมจุดทั้งสามจะไดระนาบ ดังรูป ข้ันที่ 1

ข้ันที่ 2



ตัวอยางที่ 9 จงเขียนระนาบที่กําหนดตอไปน้ี

1. 3=x 2. 2−=y 3. 4=z วิธีทํา จากสมการระนาบสามารถเขียนระนาบในปริภูมิสามมิติ ดังน้ี 1. 3=x


- 17 -

2. 2−=y

3. 4=z

ตัวอยางที่ 10 จงเขียนระนาบที่กําหนดตอไปน้ี 1. 632 =+ yx 2. 22 =− zx 3. 2423 =+ zy 4. 126 =−− zyx 5. 632 =−− zyx วิธีทํา จากสมการระนาบสามารถเขียนระนาบในปริภูมิสามมิติ ดังน้ี 1. 632 =+ yx


- 18 -

2. 22 =− zx

3. 2423 =+ zy

4. 126 =−− zyx

5. 632 =−− zyx


- 19 -

1.2.4 สมการและกราฟของทรงกลมในปริภูมิสามมิติ นิยามที่ 7 ทรงกลม ทรงกลม คือพ้ืนผิวที่ประกอบดวยจุด ( )zyx ,, ทั้งหมดในสามมิติ ที่หางจากจุดคงที่จุดศูนยกลาง เปนระยะคงที่ ซ่ึงเรียกวารัศมี

สมการมาตรฐานของทรงกลม

1. ทรงกลมที่มีรัศมี r หนวย และมีจุดศูนยกลาง ( )0,0,0 ดังรูป คือ 2222 rzyx =++

2. ทรงกลมที่มีรัศมี r หนวย และมีจุดศูนยกลาง ( )lkhC ,, ดังรูป คือ ( ) ( ) ( ) 2222 rlzkyhx =−+−+−

และสามารถเขียนสมการทัว่ไปของทรงกลม คือ

0222 =++++++ GFzEyDxzyx

ตัวอยางที่ 11 จงเขียนทรงกลมที่กําหนดตอไปน้ี 1. 4222 =++ zyx 2. ( ) ( ) ( ) 1121 222 =++−+− zyx 3. 02642222 =−+−+++ zyxzyx


- 20 -

1.2.5 กราฟของฟงกชันสองตวัแปรอิสระ สําหรับการเขยีนกราฟของฟงกชันสองตัวแปรอิสระนัน้ ในการเขียนดวยมือคอนขาง

จะยุงยากมาก ในที่น้ีจึงจะนําเสนอการเขียนกราฟดังกลาวดวยโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร MATHLAB 6.5 โดยพิจารณาตัวอยางตอไปน้ี ตัวอยางที่ 12 จงเขียนกราฟของฟงกชันสองตัวแปรอิสระที่กําหนดตอไปน้ี 1. ( ) 22, yxyxf −−= 2. ( ) 33, yxyxf −−= 3. ( ) 33, yxyxf +−= 4. ( ) ( )22

, yxeyxf −−= 5. ( ) xyyxf 4, = 6. ( ) 2sin2, yxyxf −= 7. ( ) yxyxf cossin, −= วิธีทํา เขียนกราฟของฟงกชันสองตัวแปรอิสระที่กําหนด ดวยโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร MATHLAB 6.5 โดยใชคําสั่งดังน้ี 1. ( ) 22, yxyxf −−=

>> [X,Y] = meshgrid([-2:0.1:2]); Z = 6*X-Y-12; (ระบุฟงกชันท่ีตองการเขียนกราฟ) plot3(X,Y,Z) grid on


- 21 -

2. ( ) 33, yxyxf −−=

3. ( ) 33, yxyxf +−=

4. ( ) ( )22

, yxeyxf −−=

5. ( ) xyyxf 4, =


- 22 -

6. ( ) 2sin2, yxyxf −=

7. ( ) yxyxf cossin, −=

1.2.6 กราฟของพื้นผิวกําลังสอง นิยามที่ 9 พื้นผิวกําลังสอง พ้ืนผิวกําลังสอง คือพ้ืนผิวที่ประกอบดวยจุดทั้งหลายที่สอดคลองกับสมการ กําลงัสองของสามตัวแปร zyx ,, ดังน้ี

0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx โดยที่ JIHGFEDCBA ,,,,,,,,, เปนคาคงที่ และ CBA ,, มีคาเปนศูนยไมพรอมกัน

1.3 ลิมิตและความตอเน่ือง 1.3.1 นิยามลิมิตของฟงกชันสองตัวแปร

นิยามที่ 10 ลิมิตของฟงกชันสองตวัแปร ให f เปนฟงกชันสองตัวแปร ซ่ึงมีโดเมนเปนจุดทั้งหมดในระนาบ xy ที่อยูภายในวงกลมบางวงที่มีจุดศูนยกลางที ่ ( )ba, ยกเวนจุด ( )ba, แลวลิมิตของ ( )yxf , ขณะที่ ( )yx, เขาใกล ( )ba, เทากับ L แทนดวย

( ) ( )( ) Lyxf

bayx=

→,lim

,,


- 23 -

1.3.2 คาลิมิตโดยใชทฤษฎ ีทฤษฎีเกี่ยวกบัลิมิตของฟงกชันหลายตวัแปร สามารถพิจารณาเชนเดียวกับลิมิตของ

ฟงกชัน 1 ตัวแปร ดังตอไปน้ี ถา

( ) ( )( ) 1,,

,lim Lyxfbayx

=→

และ( ) ( )

( ) 2,,,lim Lyxg

bayx=

→ แลวจะไดทฤษฎตีอไปน้ี

1. ( ) ( )

axbayx

=→ ,,

lim

2. ( ) ( )

bybayx

=→ ,,

lim

3. ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) 1,,,,,lim,lim cLyxfcyxcf

bayxbayx=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→ เม่ือ c เปนคาคงที ่

4. ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )

( )( ) ( )

( ) 21,,,,,,,lim,lim,,lim LLyxgyxfyxgyxf

bayxbayxbayx±=±=±

→→→

5. ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )

( )( ) ( )

( ) 21,,,,,,,lim,lim,,lim LLyxgyxfyxgyxf

bayxbayxbayx=⋅=⋅

→→→

6. ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 2

1

,,

,,

,, ,lim

,lim

,,lim

LL

yxg

yxf

yxgyxf

bayx

bayx

bayx==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

→

→

→

7. ถา m และ n เปนจํานวนเตม็แลว

( ) ( )

( )[ ]( ) ( )

( ) nm

bayxn

m

bayxyxfyxf ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

→→,lim,lim

,,,,

8. ถา ( )yxP , เปนฟงกชันพหุนามของ x และ y แลว

( ) ( )( ) ( )baPyxP

bayx,,lim

,,=

→

ตัวอยางที่ 13 จงหาลิมิตของฟงกชันที่กําหนดดังตอไปนี้ 1.

( ) ( )( )2

2,1,2lim yx

yx−

→

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 24 -

2. ( ) ( )

( )2

3,1,3lim yx

yx−

−−→

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3.

( )( )18lim 2

21,1,

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −→

xyxyx

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4.

( )( )83lim 2

23,2,

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−→

xyx

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 25 -

5. ( ) ( )

( )2

3,1,225lim yxy

yx−+

−−→

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 6.

( ) ( )( )22

4,2,25lim xyyx

yx−+

−→

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

7. ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−→ 3

22

10, 225lim

xyxyxyx

yx

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 26 -

8. ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

→ yxyx

yx

22

1,1,lim

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

9. ( ) ( ) ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

→ 25,1, 44lim

yyxxyx

yx

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10. ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

→ yxyxx

yx

23

0,0,lim

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


- 27 -

2.1 ทบทวนการหาอนุพันธของฟงกชัน 2.1.1 อนุพันธของฟงกชัน 1 ตวัแปรอิสระ

การหาอนุพันธของฟงกชันโดยใชนิยาม นิยามที่ 11 การหาอนุพันธของฟงกชัน 1 ตัวแปรอิสระ กําหนดให ( )xfy = เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา อนุพันธของฟงกชัน แทน

ดวย dxdy หรือ ( )

dxxdf หรือ y′ หรือ ( )xf ′

นิยามที่ 12 การหาอนุพันธของฟงกชันโดยใชนิยาม กําหนดให ( )xfy = เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา อนุพันธของฟงกชัน สามารถหาจาก

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=→Δ x

xfxxfdxdy

x 0lim

ตัวอยางที่ 14 กําหนด ( ) 1053 2 +−= xxxf จงหา ( )xf ′ โดยใชนิยาม

วิธีทํา จากนิยาม ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=′→Δ x

xfxxfxfx 0

lim

ดังน้ัน ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ+−−+Δ+−Δ+

=′→Δ x

xxxxxxxfx

10531053lim22

0

( )( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−+−+Δ−−Δ+Δ+

=→Δ x

xxxxxxxxx

1053105523lim222

0

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−+−+Δ−−Δ+Δ+

=→Δ x

xxxxxxxxx

10531055363lim222

0


- 28 -

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΔΔ−Δ+Δ

=→Δ x

xxxxx

536lim2

0

( )x

xxxx Δ

−Δ+Δ=

→Δ

536lim0

( )536lim0

−Δ+=→Δ

xxx

56 −= x ดังน้ัน ( ) 56 −= xxf

ตัวอยางที่ 15 กําหนด ( ) xxf = จงหา ( )xf ′ โดยใชนิยาม


⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=′→Δ x

xfxxfxfx 0

lim

ดังน้ัน ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−Δ+

=′→Δ x

xxxxfx 0

lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+Δ++Δ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−Δ+

=→Δ xxx

xxxx

xxxx 0

lim

( ) ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+Δ+Δ−Δ+

=→Δ xxxx

xxxx

22

0lim

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛

+Δ+Δ−Δ+

=→Δ xxxx

xxxx 0

lim

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛

+Δ+ΔΔ

=→Δ xxxx

xx 0

lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+Δ+=

→Δ xxxx

1lim0

xx ++

=01

x2

1=

ดังน้ัน ( )x

xf2

1=′


- 29 -

ตัวอยางที่ 16 กําหนด ( )x

xf 1= จงหา ( )xf ′ โดยใชนิยาม


⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=′→Δ x

xfxxfxfx 0

lim

ดังน้ัน ( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ

−Δ+=′

→Δ xxxxxf

x

11

lim0

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ΔΔ+Δ+−

=→Δ x

xxxxxx

x 0lim

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ++Δ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ+Δ+−

=→Δ x

xxxxxx

xxxxxx

x 0lim

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ++Δ+

Δ−−

=→Δ x

xxxxxxxxx

x 0lim

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

Δ++Δ+−

=→Δ xxxxxxx

1lim0

( )001

+++−

=xxxx

( )xxxx +−

=1

( )xx 21−

=

xx2

1−=

ดังน้ัน ( )xx

xf2

1−=′


- 30 -

2.1.2 การหาอนุพันธของฟงกชันพีชคณติ นิยามที่ 13 การหาอนุพันธของฟงกชันพีชคณติโดยใชสูตร กําหนด ( )xf และ ( )xg เปนฟงกชันพีชคณิตที่สามารถหาอนุพันธได สําหรับทุกคา x และ c เปนคาคงที่ สูตรในการหาอนุพันธ เปนดังน้ี

1. 0=dxdc

2. 1=dxdx

3. 1−= nn

xndxdx

4. ( ) ( )( ) ( ) ( )xgdxdxf

dxdxgxf

dxd

±=±

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfdxdxgxg

dxdxfxgxf

dxd

±=

6. ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]2xg

xgdxdxfxf

dxdxg

xgxf

dxd −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

7. ( )[ ] ( )xfdxdcxfc

dxd

=

8. ( )[ ] ( )[ ] ( )dx

xdfxfnxfdxd nn 1−=

ตัวอยางที่ 17 กําหนด ( ) 432 2 +−= xxxf จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร

วิธีทํา จาก ( ) ( )xfdxdxf =′

ดังน้ัน ( ) ( )432 2 +−=′ xxdxdxf

dxdx

dxdx

dxd 432 2 +−=

( ) ( ) 01322 +−= x น่ันคือ ( ) 34 −= xxf

ตัวอยางที่ 18 กําหนด ( ) 21

21

23

754−

−+= xxxxh จงหา ( )xh′ โดยใชสูตร

วิธีทํา จาก ( ) ( )xhdxdxh =′


- 31 -

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=′

−21

21

23

754 xxxdxdxh

21

21

23

754−

−+= xdxdx

dxdx

dxd

1

211

211

23

217

215

234

−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= xxx

2

72

5623

21

21 −−

++=xxx

น่ันคือ ( )23

21

21

2

7

2

56xx

xxh ++=′

ตัวอยางที่ 19 กําหนด ( ) ( )423

5194 xxxf −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


ดังน้ัน ( ) ( )423

5194 xxdxdxf −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

3442

3

94515194 xdxdxx

dxdx

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

34

423

94515194 xdxd

dxdx

dxdx

dxdx

( )( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

1432

3

23905145094 xxxx

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

1432

3

227512094 xxxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

921

29

3 1352

2718080 xxxx

21

329

22780315 xxx −−=

น่ันคือ ( ) 21

329

22780315 xxxxf −−=′


- 32 -


2

3452xxxg

−−

= จงหา ( )xg′ โดยใชสูตร

วิธีทํา จาก ( ) ( )xgdxdxg =′

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=′3

2

3452

xx

dxdxg

( ) ( ) ( ) ( )

( )23

3223

34

34525234

x

xdxdxx

dxdx

−

−−−−−=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )23

223

343305225034

xxxxx

−

−−−−−=

( ) ( ) ( ) ( )( )23

223

349521034

xxxxx

−

−−−−−=

( ) ( )( )23

424

3445183040

xxxxx

−

+−−+−=

( )23

424

344583040

xxxxx

−

−++−=

( )23

42

3415840

xxxx

−

−+−=

น่ันคือ ( )( )23

42

3415840

xxxxxg

−

−+−=′

ตัวอยางที่ 21 กําหนด ( ) ( )42 34 −= xxf จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )42 34 −= xdxd

( ) ( )34344 2142 −−=− x

dxdx

( ) ( )08344 32 −−= xdxdx

( )32 3432 −= xx น่ันคือ ( ) ( )32 3432 −=′ xxxg


- 33 -


2

3452xxxf

−−

= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


3

2

3452xx

dxd

−−

=

21

3

2

3452

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=xx

dxd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

3

2121

3

2

3452

3452

21

xx

dxd

xx (จากตัวอยางที่ 7)

( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

23

4221

3

2

3415840

3452

21

xxxx

xx

น่ันคือ ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−−−

=′23

42

2

3

34215840

5234

xxxx

xxxf

2.1.3 การหาอนุพันธของฟงกชันอดิศัย

นิยามที่ 14 การหาอนุพันธของฟงกชันชี้กําลังโดยใชสูตร กําหนดให ( )xuu = และ ( )xvv = เปนฟงกชันสําหรับตัวแปรอิสระ x , a เปน

คาคงที่ และ ...718.2=e

1. ( )dxduaaa

dxd uu ln=

2. ( )dxduee

dxd uu =

3. ( )dxdvuu

dxduuvu

dxd vvv ln1 += −

ตัวอยางที่ 23 กําหนด ( ) ( )2515 xxf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )2515 x

dxd −=

( ) ( )251 515ln52

xdxdx −= −

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= − 251 515ln5

2

xdxd

dxdx


- 34 -

( ) ( )( )xx 2505ln5251 −= −

( ) ( )xx 105ln5251 −= −

น่ันคือ ( ) ( ) 5ln510251 xxxf −−=′

ตัวอยางที่ 24 กําหนด ( ) ( )243 xexf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( ) 243 xedxd −=

( ) ( )243 432

xdxde x −= −

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−= − x

dxdxe x 43432

243

( ) ( )( ){ }4432243 −−= − xe x

น่ันคือ ( ) ( ) ( ) 243438 xexxf −−−=′ ตัวอยางที่ 25 กําหนด ( ) 231 xxxf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )231 xxdxd −=

( ) ( )2311312 31ln3122

xdxdxx

dxdxxx xx −+−= −−−

( ) ( ) ( ) ( )xxxxx xx 6ln3122 3132 −+−= −−

น่ันคือ ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxf xx ln63122 3132 −− −−=′

ตัวอยางที่ 25 กําหนด ( ) 252 xexxf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )252 xexdxd −=

( ) ( )dxdxee

dxdx xx 22 5252 −− +=

( ) ( )22 52252 52 xx exdxdex −− +−=

( ) ( )22 5252 10 xx exex −− +−=

22 5252210 xx eex −− +−=


- 35 -

( ) 2522 110 xex −+−= น่ันคือ ( ) ( ) 2522101 xexxf −−=′


exfx

−=

1 จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

xe

dxd x

1

( ) ( )

( )21

11

x

xdxdee

dxdx xx

−

−−−=

( ) ( )

( )21

11

x

exdxdex xx

−

−−−=

( )

( )21

12

11

x

ex

x x

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

( )

( )21

121

x

exx x

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

น่ันคือ ( ) ( )( )21221

xxexxxf

x

−+−

=′

นิยามที่ 15 การหาอนุพันธของฟงกชันลอการิทมึโดยใชสูตร

กําหนดให ( )xuu = เปนฟงกชันสําหรับตวัแปรอิสระ x , a เปนคาคงที่ และ ...718.2=e

1. dxdue

uu

dxd

aa log1log =

2. dxdu

uu

dxd 1ln =

ตัวอยางที่ 27 กําหนด ( ) ( )2

4 51log xxf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )24 51log x

dxd

−=


- 36 -

( )242 51log

511 x

dxde

x−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

( )xex

10log511

42 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

น่ันคือ ( ) 24

51log10x

exxf−

−=′

ตัวอยางที่ 28 กําหนด ( ) ( )25ln xxxf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )25ln xxdxd

−=

( )22

55

1 xxdxd

xx−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= xxxx

102

15

12

น่ันคือ ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=′xxx

xxxf2

15

2012

ตัวอยางที่ 29 กําหนด ( ) ( )3ln5 xxxxf −= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )3ln5 xxxdxd

−=

( ) ( )xxxdxdxxx ln5ln53 2 −−=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

dxdxxx

dxdx

xxxx lnln5

21ln53 2

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= x

xx

xxxx ln15

21ln53 2

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−= x

xxxx ln55

21ln53 2

น่ันคือ ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=′

xxxxxxxxg

2ln10101ln53 2


- 37 -

นิยามที่ 16 การหาอนุพันธของฟงกชันตรีโกณมิติโดยใชสตูร กําหนดให ( )xuu = เปนฟงกชันสําหรับตวัแปรอิสระ x และ ...718.2=e

1. dxduuu

dxd cossin =

2. dxduuu

dxd sincos =

3. dxduuu

dxd 2sectan =

4. dxduuuecuec

dxd cotcoscos −=

5. dxduuuu

dxd tansecsec =

6. dxduuecu

dxd 2coscot −=

ตัวอยางที่ 30 กําหนด ( ) ( )231sin xxg −= จงหา ( )xg′ โดยใชสูตร


( )231sin xdxd

−=

( ) ( )22 3131cos xdxdx −−=

( ) ( )xx 6031cos 2 −−= ( ) ( )xx 631cos 2 −−= น่ันคือ ( ) ( )231cos6 xxxg −−=′ ตัวอยางที่ 31 กําหนด ( ) ( )45cos 2 −= xxh จงหา ( )xh′ โดยใชสูตร

วิธีทํา จาก ( ) ( )xhdxdxh =′

( )45cos 2 −= xdxd

( ) ( )4545sin 22 −−−= xdxdx

( )( )01045sin 2 −−−= xx น่ันคือ ( ) ( )45sin10 2 −−=′ xxxh


- 38 -

ตัวอยางที่ 32 กําหนด ( ) xxxf 2cot3tan += จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


( )xxdxd 2cot3tan +=

xdxdx

dxd 2cot3tan +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= x

dxdxecx

dxdx 22cos33sec 22

น่ันคือ ( ) xecxxf 2cos23sec3 22 −=′ ตัวอยางที่ 33 กําหนด ( ) ( )22 51sin xxxg −= จงหา ( )xg โดยใชสูตร


( )[ ]22 51sin xxdxd

−=

( ) ( ) 2222 51sin51sin xdxdxx

dxdx −+−=

( ) ( ) ( ) ( )xxxdxdxx 251sin5151cos 2222 −+−−=

( )( ) ( )222 51sin21051cos xxxxx −+−−= น่ันคือ ( ) ( ) ( )223 51sin251cos10 xxxxxg −+−−=′


xxfsec

= จงหา ( )xf ′ โดยใชสูตร


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

xx

dxd

sec

( )2sec

secsec

x

xdxdxx

dxdx −

=

( )221

sec

tansecsec

x

xxxxdxdx −

=

( )2

121

sec

tansec21sec

x

xxxxx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−


- 39 -

( )2sec

tansec2

1sec

x

xxxx

x −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

น่ันคือ ( )( )2sec2

tansec2secxx

xxxxxf −=′

ตัวอยางที่ 35 กําหนด ( ) ( )( )xxecxg coscos= จงหา ( )xg′ โดยใชสูตร

วิธีทํา จาก ( ) ( )xgdxdxg =

( )( )xxecdxd coscos=

xecdxdxx

dxdxec coscoscoscos +=

( ) ( )xxecxxxec cotcoscossincos −+−= ( ) ( )xxecxxxec cotcoscossincos −−=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

xxxx

x sin1cotcossin

sin1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

xxx

sincoscot1

( )xx cotcot1 −−= x2cot1 −−= น่ันคือ ( ) ( )xxg 2cot1 +−=′

2.1.3 อนุพันธอันดับสูงของฟงกชัน 1 ตัวแปรอิสระ นิยามที่ 17 การหาอนุพันธอันดับสูงของฟงกชัน 1 ตัวแปรอิสระ กําหนดให ( )xfy = เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา

อนุพันธอันดับ 2 ของฟงกชัน แทนดวย 2

2

dxyd หรือ ( )

2

2

dxxfd หรือ y ′′ หรือ ( )xf ′′

โดยที่ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dxdy

dxd

dxyd2

2

อนุพันธอันดับ 3 ของฟงกชัน แทนดวย 3

3


3

3

dxxfd หรือ y ′′′ หรือ ( )xf ′′′

โดยที่ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

3

3

dxyd

dxd

dxyd

และในทํานองเดียวกัน สามารถสรุปไดวา


- 40 -

อนุพันธอันดับ n ของฟงกชัน แทนดวย n

n


n

n

dxxfd หรือ ( )ny หรือ ( ) ( )xf n

โดยที่ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

1

1

n

n

n

n

dxyd

dxd

dxyd

ตัวอยางที่ 36 กําหนด ( ) 5525 23 −+−= xxxxg จงหา ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxgxgxg 4,,, ′′′′′′ โดยใชสูตร


ดังน้ัน

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 541501522355525 2223 +−=−+−=−+−=′ xxxxxxxdxdxg

จาก ( ) ( )xgdxdxg ′=′′

ดังน้ัน ( ) ( ) ( ) ( ) 4300142155415 2 −=+−=+−=′′ xxxxdxdxg

จาก ( ) ( )xgdxdxg ′′=′′′

ดังน้ัน ( ) ( ) ( ) 300130430 =−=−=′′′ xdxdxg

จาก ( ) ( ) ( )xgdxdxg ′′′=4

ดังน้ัน ( ) ( ) ( ) 0304 ==dxdxg

ในทํานองเดียวกัน ถาตองการหาอนุพันธ อันดับสูงกวา 4 ก็จะได ผลลัพธเปน 0 เสมอ ตัวอยางที่ 37 กําหนด ( ) ( )xxf 43sin −= จงหา ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf 5,,, ′′′′′′ โดยใชสูตร


ดังน้ัน ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxdxdxx

dxdxf 43cos44343cos43sin −−=−−=−=′

จาก ( ) ( )xfdxdxf ′=′′

ดังน้ัน ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )xxxdxdx

dxdxf 43sin16443sin443cos443cos4 −−=−−−−=−−=−−=′′


- 41 -

จาก ( ) ( )xfdxdxf ′′=′′′

ดังน้ัน ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx

dxdxx

dxdx

dxdxf 43cos644343cos1643sin1643sin16 −=−−−=−−=−−=′′′

จาก ( ) ( ) ( )xfdxdxf ′′′=4

ดังน้ัน ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxdxdxx

dxdx

dxdxf 43sin2564343sin6443cos6443cos644 −=−−−=−=−=

จาก ( ) ( ) ( ) ( )xfdxdxf 45 =

ดังน้ัน ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxdxdxx

dxdxf 43cos024,14343cos25643sin2565 −−=−−=−=

ตัวอยางที่ 38 กําหนด ( ) 52 += xexf จงหา ( ) ( ) ( )xfxf 4,′ โดยใชสูตร


ดังน้ัน ( ) ( ) 525252 252 +++ =+==′ xxx exdxdee

dxdxf


ดังน้ัน ( ) ( ) 525252 45222 +++ =+==′′ xxx exdxdee

dxdxf

จาก ( ) ( )xfdxdxf ′′=′′′

ดังน้ัน ( ) ( ) 525252 85244 +++ =+==′′′ xxx exdxdee

dxdxf

จาก ( ) ( ) ( )xfdxdxf ′′′=4

ดังน้ัน ( ) ( ) ( ) 5252524 165288 +++ =+== xxx exdxdee

dxdxf

ตัวอยางที่ 39 กําหนด ( ) xexxf 2= จงหา ( )xf ′′′ โดยใชสูตร


ดังน้ัน ( ) xxedxdxf 2=′


- 42 -

dxdxee

dxdx xx 22 +=

( )12 22 xx exdxdex +=

xx eex 222 +=


ดังน้ัน ( ) ( )xx eexdxdxf 222 +=′′

xx edxdex

dxd 222 +=

( ) xdxdeeex xxx 222 222 ++=

xxx eeex 222 224 ++= xx eex 22 44 +=

2.2 อนุพันธยอย (Partail Differentail) 2.2.1 นิยามของอนุพันธยอย

นิยามที่ 18 การหาอนุพันธยอยของฟงกชันสองตัวแปรอิสระ กําหนดให ( )yxfz ,= เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา

อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ x แทนดวย xz∂∂ หรือ

xf∂∂ หรือ xz หรือ xf

อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ y แทนดวย yz∂∂ หรือ

yf∂∂ หรือ yz หรือ yf

นิยามที่ 19 การหาอนุพันธยอยของฟงกชันหลายตัวแปรอิสระ กําหนดให ( )nxxxfy ,...,, 21= เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา

อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ 1x แทนดวย 1xy

∂∂ หรือ

1xf

∂∂ หรือ

1xf

อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ 2x แทนดวย 2xy

∂∂ หรือ

2xf

∂∂ หรือ

2xf

.

.

.

อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ nx แทนดวย nxy

∂∂ หรือ

nxf

∂∂ หรือ

nxf


- 43 -

นิยามที่ 20 การหาอนุพันธยอยของฟงกชันสองตัวแปรอิสระโดยใชนิยาม กําหนดให ( )yxfz ,= เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ x และ y สามารถหาจาก

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ xyxfyxxf

xz

x

,,lim0

และ ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ yyxfyyxf

yz

y

,,lim0

ตามลําดับ

ตัวอยางที่ 40 กําหนด ( ) 22 432, yxxyyxf +−= จงหา xf∂∂ และ

yf∂∂ โดยใชนิยาม

วิธีทํา จากนิยาม ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ xyxfyxxf

xf

x

,,lim0

ดังน้ัน ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+−−+Δ+−Δ+=

∂∂

→Δ xyxxyyxxyxx

xf

x

2222

0

432432lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−+−+Δ−−Δ+=

→Δ xyxxyyxxxyxy

x

22222

0

43243322lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Δ−Δ=

→Δ xxxy

x

32lim2

0

( )x

xyx Δ

Δ−=

→Δ

32lim2

0

น่ันคือ 32 2 −=∂∂ yxf

จากนิยาม ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ yyxfyyxf

yz

y

,,lim0

ดังน้ัน ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ+−−Δ++−Δ+

=∂∂

→Δ yyxxyyyxyyx

yf

y

2222

0

432432lim

( )( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+−−Δ+Δ++−Δ+Δ+=

→Δ yyxxyyyyyxyyyyx

y

222222

0

43224322lim

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−+−Δ+Δ++−Δ+Δ+

=→Δ y

yxxyyyyyxyxyxyxyy

222222

0

4324843242lim

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΔΔ+Δ+Δ+Δ

=→Δ y

yyyyxyxyy

22

0

4824lim

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

ΔΔ++Δ+=

→Δ yyyyyxxy

y

4824lim0

( )yyyxxyy

Δ++Δ+=→Δ

4824lim0

น่ันคือ yxyyf 84 +=∂∂


- 44 -

แบบฝกหัดที ่3 กําหนด ( ) 22 45, yyxxyxf +−= จงหา xf∂∂ และ



⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ xyxfyxxf

xf

x

,,lim0

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ yyxfyyxf

yz

y

,,lim0

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 45 -

นิยามที่ 21 การหาอนุพันธยอยของฟงกชันหลายตัวแปรอิสระโดยใชนิยาม กําหนดให ( )nxxxfy ,...,, 21= เปนฟงกชันทีส่ามารถหาอนุพันธได จะไดวา อนุพันธยอยของฟงกชัน เทียบกับ nxxx ,...,, 21 สามารถหาจาก

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ1

21211

01

,...,,,...,,lim1 x

xxxfxxxxfxz nn

x

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ2

21221

02

,...,,,...,,lim2 x

xxxfxxxxfxz nn

x

. . . .

และ ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δn

nnn

xn x

xxxfxxxxfxz

n

,...,,,...,,lim 2121

0 ตามลําดับ

ตัวอยางที่ 42 กําหนด ( ) zxyzyxf 22,, = จงหา xf∂∂

yf∂∂ และ

zf∂∂ โดยใชนิยาม


⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ xzyxfzyxxf

xf

x

,,,,lim0

ดังน้ัน ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ xzxyzyxx

xf

x

22

0

22lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

→Δ xzxyzxyzxy

x

222

0

222lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Δ=

→Δ xzxy

x

2

0

2lim

zyx

2

02lim

→Δ=

น่ันคือ zyxf 22=∂∂


⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ yzyxfzyyxf

yf

y

,,,,lim0


⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ yzxyzyyx

yf

y

22

0

22lim

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−Δ+Δ+

=→Δ y

zxyzyxyzxyzxyy

222

0

2242lim

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Δ+Δ=

→Δ yzyxyzxy

y

2

0

24lim

( )y

yzxxyzyy Δ

Δ+Δ=

→Δ

24lim0


- 46 -

( )yzxxyzy

Δ+=→Δ

24lim0

น่ันคือ xyzyf 4=∂∂

จากนิยาม ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ zzyxfzzyxf

zz

z

,,,,lim0


⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ zzxyzzxy

zf

z

22

0

22lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

→Δ zzxyzxyzxy

z

222

0

222lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=→Δ z

zxyz

2

0

2lim

2

02lim xy

z→Δ=

น่ันคือ 22xyzf=

∂∂

ตัวอยางที่ 43 กําหนด ( ) yzxyxyzyxf 6, ++= จงหา xf∂∂ ,

xf∂∂ และ



⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ xzyxfzyxxf

xf

x

,,,,lim0

ดังน้ัน ( ) ( )( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ++−+Δ++Δ+

=∂∂

→Δ xyzxyxyzyzyxxyzxx

xf

x

66lim0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−−−+Δ++Δ+

=→Δ x

yzxyxyzyzxyxyxxyzx

66lim0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ+Δ

=→Δ x

xyxx 0

lim

( )x

yxx Δ

+Δ=

→Δ

1lim0

( )yx

+=→Δ

1lim0

y+= 1

น่ันคือ yxf

+=∂∂ 1


- 47 -


⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ+=

∂∂

→Δ yzyxfzyyxf

yf

y

,,,,lim0

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

จากนิยาม ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ zzyxfzzyxf

zf

z

,,,,lim0

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 48 -

นิยามที่ 22 การหาอนุพันธยอยของฟงกชันหลายตัวแปรอิสระโดยใชสตูร (ใชสูตรจากอนุพันธของฟงกชัน 1 ตัวแปรอิสระ)

ตัวอยางที่ 44 กําหนด ( ) 22 45, yyxxyxf +−= จงหา xf∂∂ และ

yf∂∂ โดยใชสูตร

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 49 -

ตัวอยางที่ 45 กําหนด ( ) yzxyxyzzyxf 6,, ++= จงหา x

f

∂∂

, y

f

∂∂

และ z

f

∂∂

โดยใชสูตร

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 50 -


3 23, yxxyyxf +−= จงหา xf∂∂ และ


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 51 -

ตัวอยางที่ 47 กําหนด ( ) xyzzyxf =,, จงหา x

f

∂∂

, y

f

∂∂

และ z

f

∂∂


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 52 -


4, −= xyyeyxf จงหา xf∂∂ และ


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 53 -

ตัวอยางที่ 49 กําหนด ( ) 233,, yzxzyxf −= จงหา x

f

∂∂

, y

f

∂∂

และ z

f

∂∂


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 54 -

ตัวอยางที่ 50 กําหนด ( ) ( ) 232sin5, xyxyyxf −= จงหา xf∂∂ และ


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 55 -

ตัวอยางที่ 51 กําหนด ( ) ( )351cos2,, xyzzyxf −= จงหาx

f

∂∂

, y

f

∂∂

และ z

f

∂∂


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 56 -

ตัวอยางที่ 52 กําหนด ( ) ( )xyyxf 34tan2, −= จงหา xf∂∂ และ


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 57 -

ตัวอยางที่ 53 กําหนด ( ) ( )yxxyxf 223ln2, −= จงหา xf∂∂ และ


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 58 -

ตัวอยางที่ 54 กําหนด ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 3

1394log,, zxyzyxf จงหา

x

f

∂∂

, y

f

∂∂

และz

f

∂∂


……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 59 -

2.2.2 การหาอนุพันธยอยโดยใชกฎลูกโซ (Chain Rule) นิยามที่ 23 การหาอนุพันธยอยโดยใชกฎลูกโซ

กําหนดให ( )yxgu ,= ( )yxhv ,= เปนฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธไดที่ ( )yx , และ ( )vufz ,= เปนฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธไดที่ ( ) ( )( )yxuyxu ,,, จะไดวา ( ) ( )( )yxuyxufz ,,,= สามารถหาอนุพันธไดที่ ( )yx , และ

xv

vz

xu

uz

xz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

และ yv

vz

yu

uz

yz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

ซ่ึงสามารถพิจารณาดังรูปตอไปน้ี

ตัวอยางที่ 55 กําหนดให 3xy2x3u 32 −−= , yx21v 2−= และ vuz 3=

จงหา x

z

∂∂

และ y

z

∂∂

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 60 -

ตัวอยางที่ 56 กําหนดให tcosr2x = , tsin4y = และ x

y

ez =

จงหา r

z

∂∂

และ t

z

∂∂

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 61 -

นิยามที่ 24 การหาอนุพันธยอยโดยใชกฎลูกโซ กําหนดให ( )yxgu ,= ( )yxhv ,= และ ( )yxlw ,= เปนฟงกชันที่สามารถ

หาอนุพันธไดที่ ( )yx , และ ( )wvufz ,,= เปนฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธไดที่ ( ) ( ) ( )( )yxwyxuyxu ,,,,, จะไดวา ( ) ( ) ( )( )yxwyxuyxufz ,,,,,= สามารถหาอนุพันธไดที่ ( )yx , และ

xw

wz

xv

vz

xu

uz

xz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

และ yw

wz

yv

vz

yu

uz

yz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

ซ่ึงสามารถพิจารณาดังรูปตอไปน้ี

ตัวอยางที่ 57 กําหนดให 3xyx7 3 −−=θ , 2x2y −=λ , xy3=β และ

βλ−θ= 2z จงหา x

z

∂∂

และ y

z

∂∂

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 62 -

2.2.3 คาเชิงอนุพันธรวม (Total Differential) นิยามที่ 25 การหาคาเชิงอนุพันธรวม ถา ( )yxfz ,= เปนฟงกชันสองตัวแปรอิสระที่สามารถหาอนุพันธยอยได คาเชิงอนุพันธรวมของ z กําหนดดังน้ี ( ) ( )yxfyyxxfz ,, −Δ+Δ+=Δ

และ dyyfdx

xfdz

∂∂

+∂∂

=

เม่ือ dx และ dy เปนสวนที่เปลี่ยนแปลงของ x และ y ตามลําดับ โดยที่ xdx Δ= และ ydy Δ= ตัวอยางที่ 58 กําหนด ( ) yxyxf 53, −= จงหา fΔ และ df

เม่ือ 2.0=Δx , 1.0=Δy , 1−=x และ 2=y ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 63 -

นิยามที่ 26 การหาคาเชิงอนุพันธรวม ถา ( )zyxfu ,,= เปนฟงกชันสองตัวแปรอิสระที่สามารถหาอนุพันธยอยได คาเชิงอนุพันธรวมของ u กําหนดดังน้ี ( ) ( )zyxfzzyyxxfu ,,,, −Δ+Δ+Δ+=Δ

และ dzzfdy

yfdx

xfdu

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

เม่ือ dx , dy และdz เปนสวนที่เปลี่ยนแปลงของ x , y และ z ตามลําดับ โดยที่ xdx Δ= , ydy Δ= และ zdz Δ= ตัวอยางที่ 59 กําหนด ( ) 35,, −= xyzzyxf จงหา fΔ และ df

เม่ือ 2.0=Δx , 1.0=Δy , 3.0=Δz , 1=x , 1=y และ 1−=z ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 64 -

นิยามที่ 27 การหาคาเชิงอนุพันธรวม ถา ( )nxxxfy ,...,, 21= เปนฟงกชันสองตัวแปรอิสระที่สามารถหาอนุพันธยอยได คาเชิงอนุพันธรวมของ y กําหนดดังน้ี ( ) ( )nnn xxxfxxxxfy ...,,,...,, 2111 −Δ+Δ+=Δ

และ nn

dxxfdx

xfdx

xfdy

∂∂

++∂∂

+∂∂

= ...22

11

เม่ือ 1dx , 2dx , … , ndx เปนสวนที่เปลี่ยนแปลงของ 1x , 2x , … , nx ตามลําดับ โดยที่ 11 xdx Δ= , 22 xdx Δ= , … , nn xdx Δ= ตัวอยางที่ 60 จงหาคาเชิงอนุพันธรวมของฟงกชันที่กําหนดตอไปน้ี 1. ( ) 135, 2 −−= yxyyxf ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 2. ( ) zyxyzyxf 535,, 2 −−= ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 3. ( ) zxyyxzyxf 222 535,, −−−= ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 4. ( ) wzxwyxywzyxf 22 539,,, −−= ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 65 -

2.2.4 อนุพันธของฟงกชันโดยปริยาย นิยามที่ 28 ฟงกชันโดยปริยาย ฟงกชันโดยปริยาย คือฟงกชันที่ไมสามารถเขียนในรูป ( )yxfz ,= ได และมักนิยมเขียนในรูป ( ) 0,, =zyxF การหาอนุพันธยอยของฟงกชันโดยปริยาย ข้ันที่ 1 จัดใหอยูในรูป ( ) 0,, =zyxF ข้ันที่ 2 หาอนุพันธยอยเทียบกับตัวแปรอิสระที่ตองการดังน้ี

ถาตองการหา xz∂∂ ใหใส

x∂∂ ทั้งสองขาง จะไดวา ( ) 0,, =

∂∂ zyxFx

ถาตองการหา yz∂∂ ใหใส

y∂∂ ทั้งสองขาง จะไดวา ( ) 0,, =

∂∂ zyxFy

ข้ันที่ 3 แกสมการเพื่อหา xz∂∂ และ

yz∂∂

ตัวอยางที่ 61 กําหนดให 8zyzxyy 33 =++− โดยกําหนดให ( )yxfz ,= จงหา xz∂∂

และ yz∂∂

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 66 -

2.3 การประยุกตอนุพนัธยอย การประมาณคาของฟงกชันและคาคลาดเคลื่อน (Approximation and error) กําหนด ( )yxfz ,= เปนฟงกชันสองตัวแปรอิสระ และ xΔ และ yΔ มีคานอยมาก dz จะเปนคาโดยประมาณของ zΔ ถา z คือปริมาณใดๆ ที่ตองการประมาณคา dz คือคาคลาดเคลื่อน (error) ของ z

zdz คือคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ (relative error) ของ z

และ zdz คือคาคลาดเคลื่อนรอยละ (percentage error) ของ z

หรือ เปอรเซ็นตความคลาดเคลือ่นของ z ตัวอยางที่ 62 จงหาคาโดยประมาณของ 4 17125 โดยใชคาอนุพันธรวม ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 67 -

ตัวอยางที่ 63 จงหาคาโดยประมาณของ 3 26140 โดยใชคาอนุพันธรวม ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 68 -

ตัวอยางที่ 64 ตองการสรางกลองโลหะทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ถาดานทั้งสามวัดไดยาว x , y และ z เซนติเมตร ตามลําดับ แลอาจจะมีความผิดพลาดในการวัดไมเกิน 0.1 เซนติเมตร จงใชคาเชิงอนุพันธประมาณคาความผิดพลาดสูงสุดในการคํานวณคาปริมาตรของกลองน้ี ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 69 -

ตัวอยางที่ 65 วัตถุช้ินหน่ึงช่ังในอากาศหนัก A และช่ังในนํ้าหนัก w ถาความถวงจําเพาะ

ของวัตถช้ิุนน้ัน คือ wA

As−

= เม่ือ A ของวัตถุน้ันเทากับ 20 ปอนด และ w ของวัตถุน้ัน

เทากับ 10 ปอนด ถาคาคลาดเคลื่อนของการชั่งนํ้าหนักในอากาศและในน้ําผิดพลาดไปอยางละไมเกิน 5 % จงหาคาโดยประมาณของคาคลาดเคลื่อนรอยละที่มากทีสุ่ดของความถวงจําเพาะน้ี ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………


- 70 -

สูตรการอนิทริเกรต การอินทริเกรตฟงกชันพีชคณิต 1. ∫ = Cdx0

2. ∫ += cxdx

3. ∫ ∫= dxaadx

4. 1,1

1

−≠∫ ++

=+

ncnx

dxxn

n

5. 1,1

1

−≠++

=∫+

ncnuduu

nn

6. ∫ ∫= duuaduau nn

7. ∫ ∫ ∫ ∫±±=±± dwdvdudwdvdu

สูตรการอินทริเกรตฟงกชันลอการทิึม

1. ∫ += cxdxx

ln1

2. ∫ += cudxu

ln1

สูตรการอินทริเกรตฟงกชันชี้กําลัง

1. 1,0,ln

≠>∫ += aaca

adxa

xx

2. ∫ += cedxe xx


- 71 -

3. 1,0,ln

≠>+=∫ aaca

adxau

u

4. ∫ += cedxe uu

สูตรการอินทริเกรตฟงกชันตรีโกณมิต ิ1. cuduu +−=∫ cossin

2. cuduu +=∫ sincos

3. cuduu +−=∫ coslntan cu += secln

4. cuduu +=∫ sinlncot cuec +−= cosln 5. cuuduu ++=∫ tanseclnsec

6. cuuecduuec +−=∫ cotcoslncos

7. cuduu +=∫ tansec2

8. cuduuec +−=∫ cotcos 2

9. cuduuu +=∫ sectan.sec

10. cuecduuuec +−=∫ coscot.cos

Documents

1.1 ฟ งก ชัน n ตัวแปรอ ิสระ · เอกสารประกอบการสอน วิชาแคลค ูลัส 2 อ.เพลิฬ