11. 2. OSTROSŁUPY Ostrosłupy - zstwl.nazwa.plzstwl.nazwa.pl/matematyka/11. Stereometria/11.2. Ostrosłupy.pdf · podstawa ostrosłupa - dowolny wielok ąt Wysoko ść ostrosłupa

11 2 OSTROSŁUPY

Ostrosłupy

ściana boczna - troacutejkąt podstawa ostrosłupa - dowolny wielokąt

Wysokość ostrosłupa H ndash odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy prostopadły do podstawy Czworościan - ostrosłup troacutejkątny ( podstawą tego ostrosłupa jest troacutejkąt) Ostrosłup prawidłowy ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest wielokąt foremny a ściany boczne są przystającymi troacutejkątami roacutewnoramiennymi Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

bpc PPP += HPV p sdot=3

1

H

Kąty w ostrosłupie

Ostrosłup prawidłowy czworokątny α ndash kąt płaski przy wierzchołku α β ndash kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy γ ndash kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy δ ndash kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi δ γ β Ostrosłup prawidłowy troacutejkątny

α ndash kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy β ndash kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy γ ndash kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy δ ndash kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi δ γ α β

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest kwadrat a ściany

boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi

a ndash krawędź podstawy b - krawędź boczna

1h - wysokość ściany bocznej

H ndash wysokość ostrosłupa

d ndash przekątna podstawy 2ad =

Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

12

2

14 haaPc sdotsdot+=

Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego HaV sdot= 2

3

1

b H

1h

05d 05a a

Przykład 1121 Przekroacutej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego utworzony przez

płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne i przekątna podstawy jest

troacutejkątem prostokątnym o polu 18 2cm Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Rozwiązanie Komentarz

Dane Szukane Wzory

218cmP = =cP 12

2

14 haaPc sdotsdot+=

deg= 90α =V HaV sdot= 2

3

1

2ad =

2bP =

Analiza zadania Przy obliczaniu objętości ostrosłupa

wykorzystujemy wzoacuter HPV p sdot=3

1

PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest kwadrat

to 2aPp = zatem HaV sdot= 2

3

1

Pisząc wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy

wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ 2aPp =

oraz powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i

wysokości 1h zatem

12

2

14 haaPc sdotsdot+=

W obliczeniach wykorzystujemy roacutewnieŜ

wzoacuter na przekątną kwadratu 2ad = Przekrojem ostrosłupa jest troacutejkąt prostokątny ADF o przyprostokątnych b

Zatem pole tego troacutejkąta 2bP = 2bP =

232918

18 2

=sdot==

=

b

b

Obliczamy b

( ) ( ) ( )

23

18

2362

21818

21818

2

2

2

222

222

=

=

=

=+

=+

=+

a

a

a

a

a

dbb

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość podstawy ostrosłupa

Wykorzystujemy wzoacuter 2ad =

( )

( )22

2

222

182

2

50

=

+

=+

aH

bdH

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa


3

918

184

182

184

2

2

2

22

=minus=

=sdot+

=+

H

H

H

aH

( )

( )

2

63

2

69

2

54

4

544

18

4

72

184

18

182

23

50

1

21

21

21

22

21

2221

=sdot==

=

minus=

=+

=

+

=+

h

h

h

h

h

bah

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa

2

12

318183491812918

2

6323218

2

14

cm

haaPc

+=sdot+=+=

=sdotsdot+=sdotsdot+=

32 18318

3

1

3

1cmHaV =sdotsdot=sdot=

Obliczamy V i cP

Przykład 1122 Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego

czworokątnego ktoacuterego krawędź podstawy ma długość 36 m Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem deg70 Ile sztuk dachoacutewek naleŜy kupić

aby pokryć ten dach wiedząc Ŝe do pokrycia 1 2m potrzebne są 22 dachoacutewki


Dane Szukane

ma 63= x ndash ilość dachoacutewek deg= 70α

221 2 minusm dachoacutewki

Wzory 12

14 haPb sdotsdot=

Analiza zadania Powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i

wysokości 1h zatem 12

14 haPb sdotsdot=

1

1

8170cos

50cos

h

h

a

=deg

=α

26534200

81

8134200

1

1

asymp=

=

h

h

Obliczamy wysokość ściany bocznej 1h

Wykorzystujemy definicję kosinusa

stokatnaprzeciwpro

y_αkatna_ przprzyprostocosα =

Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość deg70cos

21 87237265632

2

14 mhaPb =sdotsdot=sdotsdot=

Obliczamy powierzchnię dachu


xm minus287237 dachoacutewek

1848338723722 =sdot=x Odp NaleŜy kupić 834 dachoacutewek

Obliczamy ilość dachoacutewek potrzebnych na pokrycie dachu W tym celu układamy proporcję

Ostrosłup prawidłowy troacutejk ątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest troacutejkąt roacutewnoboczny a

ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi




h ndash wysokość podstawy 2

3ah =

r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę

hr3

1= 6

3ar =

R ndash promień okręgu opisanego na podstawie

hR3

2= 3

3aR =

Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego

1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego troacutejkątnego Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

b

1h H

r h R a

Przykład 1123 W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą

kąt deg30 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jeśli krawędź podstawy wynosi 6




1

PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt

roacutewnoboczny to4

32aPp = zatem

Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2


wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ

Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4

32aPp = oraz powierzchnię boczną

tworzą trzy troacutejkąty roacutewnoramienne o

podstawie a i wysokości 1h zatem

1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę

6

3ar = oraz na promień okręgu opisanego

na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H

Obliczamy wysokość ostrosłupa H Korzystamy z definicji tangensa

ααα

__

__

przykatnaprzyprosto

naprzeciwkatnaprzyprostotg =

Wykorzystujemy roacutewnieŜ wzoacuter 3

3aR =

Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa

1h

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa


3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

=sdot=sdotsdot=sdotsdot= Ha

V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=

=sdotsdotsdot+=sdotsdot+= haa

Pc

Obliczamy V i cP

Czworościan foremny ndash ostrosłup ktoacuterego wszystkie ściany są troacutejkątami roacutewnobocznymi

a ndash krawędź czworościanu

H ndash wysokość czworościanu 3

6aH =

h ndash wysokość ściany 2

3ah =

r ndash promień okręgu wpisanego w ścianę

hr3

1= 6

3ar =

R ndash promień okręgu opisanego na ścianie

hR3

2= 3

3aR =

Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego 4

34

2aPc sdot=

Wzoacuter na objętość czworościanu foremnego Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a

Przykład 1124 Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest roacutewne 2336 cm Oblicz objętość tego czworościanu


Dane Szukane

2336 cmPc = =V Wzory

4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =

Analiza zadania Przy obliczaniu objętości czworościanu


1 PoniewaŜ

podstawą ostrosłupa jest troacutejkąt roacutewnoboczny

to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery troacutejkąty roacutewnoboczne Zatem

4

34

2aPc sdot=

WykaŜemy Ŝe wysokość czworościanu foremnego

jest roacutewna3

6aH =

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na

podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc

Wykorzystując wzoacuter 4

34

2aPc sdot= obliczamy

długość krawędzi czworościanu a

623

66

3

6 === aH

Obliczamy wysokość czworościanu foremnego

wykorzystując wzoacuter 3

6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot

=sdotsdot=sdotsdot= Ha

V

Obliczamy objętość czworościanu

Przykład 1125 Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego


Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =

Analiza zadania W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego

2

3ah = oraz promień okręgu wpisanego

w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα

Obliczamy αcos korzystamy z definicji kosinusa

stokatnaprzeciwpro


Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest sześciokąt foremny

a ściany boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi



H ndash wysokość ostrosłupa r ndash promień okręgu wpisanego w podstawę

2

3ar =

R ndash promień okręgu opisanego na podstawie aR =

Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego 1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a

Przykład 1126 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

w ktoacuterym wysokość ściany bocznej wynosi 9 natomiast roacuteŜnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi π8


Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1

PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest

sześciokąt foremny to 6

36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36

2aPp sdot= oraz powierzchnię

boczną tworzy sześć troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o podstawie a i

wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

W obliczeniach wykorzystamy roacutewnieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w

podstawę 2

3ar = promień okręgu

opisanego na podstawie aR = oraz wzoacuter

na pole koła 2rP π=

π8=minus wo PP

ππππ 822 =minus rR

82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa

Obliczamy długość krawędzi podstawy a

Wykorzystujemy wzory 2

3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH

Obliczamy wysokość ostrosłupa Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

Wykorzystujemy wzoacuter 2

3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=

=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot= Ha

V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP

ĆWICZENIA Ćwiczenie 1121 (4pkt) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

prawidłowego czworokątnego wiedząc Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem deg45 i krawędź podstawy ma długość cm10 schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew

1 Podanie wysokości ostrosłupa 1

2 Podanie wysokości ściany bocznej 1

3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 1

4 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1122 (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym troacutejkątnym krawędź boczna długości

cm24 jest nachylona do podstawy pod kątem deg30 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

schemat oceniania Numer

odpowiedzi Odpowiedź

Liczba punktoacutew



3 Podanie długości krawędzi podstawy 1


5 Podanie objętości ostrosłupa 1 Ćwiczenie 1123 (2pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego wiedząc Ŝe jego

wysokość wynosi 66 cm schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew

1 Podanie długości krawędzi czworościanu 1

2 Podanie objętości czworościanu 1 Ćwiczenie 1124 (5pkt) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną

przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest troacutejkątem prostokątnym o polu 36 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew





5 Podanie objętości ostrosłupa 1

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ndash ostrosłup ktoacuterego podstawą jest kwadrat a ściany

boczne są troacutejkątami roacutewnoramiennymi




d ndash przekątna podstawy 2ad =

Wzoacuter na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

12

2

14 haaPc sdotsdot+=

Wzoacuter na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego HaV sdot= 2

3

1

b H

1h

05d 05a a

Przykład 1121 Przekroacutej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego utworzony przez

płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne i przekątna podstawy jest

troacutejkątem prostokątnym o polu 18 2cm Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa


Dane Szukane Wzory

218cmP = =cP 12

2

14 haaPc sdotsdot+=

deg= 90α =V HaV sdot= 2

3

1

2ad =

2bP =



1

PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest kwadrat

to 2aPp = zatem HaV sdot= 2

3

1


wzoacuter bpc PPP += PoniewaŜ 2aPp =

oraz powierzchnię boczną tworzą cztery troacutejkąty roacutewnoramienne o podstawie a i

wysokości 1h zatem

12

2

14 haaPc sdotsdot+=




232918

18 2

=sdot==

=

b

b

Obliczamy b

( ) ( ) ( )

23

18

2362

21818

21818

2

2

2

222

222

=

=

=

=+

=+

=+

a

a

a

a

a

dbb



( )

( )22

2

222

182

2

50

=

+

=+

aH

bdH



3

918

184

182

184

2

2

2

22

=minus=

=sdot+

=+

H

H

H

aH

( )

( )

2

63

2

69

2

54

4

544

18

4

72

184

18

182

23

50

1

21

21

21

22

21

2221

=sdot==

=

minus=

=+

=

+

=+

h

h

h

h

h

bah


2

12

318183491812918

2

6323218

2

14

cm

haaPc

+=sdot+=+=


32 18318

3

1

3


Obliczamy V i cP





Dane Szukane



Wzory 12

14 haPb sdotsdot=



14 haPb sdotsdot=

1

1

8170cos

50cos

h

h

a

=deg

=α

26534200

81

8134200

1

1

asymp=

=

h

h



stokatnaprzeciwpro



21 87237265632

2













3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

b

1h H

r h R a






1



32aPp = zatem

Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2



Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4




1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


6


na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H


ααα

__

__

przykatnaprzyprosto



3aR =


1h



3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew









232918

18 2

=sdot==

=

b

b

Obliczamy b

( ) ( ) ( )

23

18

2362

21818

21818

2

2

2

222

222

=

=

=

=+

=+

=+

a

a

a

a

a

dbb



( )

( )22

2

222

182

2

50

=

+

=+

aH

bdH



3

918

184

182

184

2

2

2

22

=minus=

=sdot+

=+

H

H

H

aH

( )

( )

2

63

2

69

2

54

4

544

18

4

72

184

18

182

23

50

1

21

21

21

22

21

2221

=sdot==

=

minus=

=+

=

+

=+

h

h

h

h

h

bah


2

12

318183491812918

2

6323218

2

14

cm

haaPc

+=sdot+=+=


32 18318

3

1

3


Obliczamy V i cP





Dane Szukane



Wzory 12

14 haPb sdotsdot=



14 haPb sdotsdot=

1

1

8170cos

50cos

h

h

a

=deg

=α

26534200

81

8134200

1

1

asymp=

=

h

h



stokatnaprzeciwpro



21 87237265632

2













3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

b

1h H

r h R a






1



32aPp = zatem

Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2



Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4




1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


6


na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H


ααα

__

__

przykatnaprzyprosto



3aR =


1h



3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew






3

918

184

182

184

2

2

2

22

=minus=

=sdot+

=+

H

H

H

aH

( )

( )

2

63

2

69

2

54

4

544

18

4

72

184

18

182

23

50

1

21

21

21

22

21

2221

=sdot==

=

minus=

=+

=

+

=+

h

h

h

h

h

bah


2

12

318183491812918

2

6323218

2

14

cm

haaPc

+=sdot+=+=


32 18318

3

1

3


Obliczamy V i cP





Dane Szukane



Wzory 12

14 haPb sdotsdot=



14 haPb sdotsdot=

1

1

8170cos

50cos

h

h

a

=deg

=α

26534200

81

8134200

1

1

asymp=

=

h

h



stokatnaprzeciwpro



21 87237265632

2













3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

b

1h H

r h R a






1



32aPp = zatem

Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2



Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4




1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


6


na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H


ααα

__

__

przykatnaprzyprosto



3aR =


1h



3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew







Dane Szukane



Wzory 12

14 haPb sdotsdot=



14 haPb sdotsdot=

1

1

8170cos

50cos

h

h

a

=deg

=α

26534200

81

8134200

1

1

asymp=

=

h

h



stokatnaprzeciwpro



21 87237265632

2













3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

b

1h H

r h R a






1



32aPp = zatem

Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2



Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4




1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


6


na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H


ααα

__

__

przykatnaprzyprosto



3aR =


1h



3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew












3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

b

1h H

r h R a






1



32aPp = zatem

Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2



Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4




1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


6


na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H


ααα

__

__

przykatnaprzyprosto



3aR =


1h



3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew






Dane Szukane Wzory

6=a =V Ha

V sdotsdot=4

3

3

1 2

deg= 30α =cP 1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=

6

3ar =

3

3aR =

4




1

2

2

13

4

3ha

aPc sdotsdot+=


6


na podstawie 3

3aR =

3

330

a

Htg

R

Htg

=deg

=α

2

363323

3

3

363

3

==

=

=

H

H

H

H


ααα

__

__

przykatnaprzyprosto



3aR =


1h



3ar =

7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew






7

43

46

36

26

3

1

21

22

1

22

21

2221

=

+=

+

=

+

=

+=

h

h

h

ah

Hrh

36233

212

3362

4

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=


V

79397334

336

762

13

4

36

2

13

4

3 2

1

2

+=sdot+=


Pc

Obliczamy V i cP




6aH =


3ah =


hr3

1= 6

3ar =


hR3

2= 3

3aR =


34

2aPc sdot=


V sdotsdot=4

3

3

1 2

a h H

r h R a



Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Dane Szukane


4

34

2aPc sdot= H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2

3

6aH =



1 PoniewaŜ


to4

32aPp = zatem H

aV sdotsdot=

4

3

3

1 2


4

34

2aPc sdot=


jest roacutewna3

6aH =


podstawie3

3aR =

3

6

9

6

9

3

3

3

22

222

22

2

222

aH

aH

aaH

aa

H

aRH

=

=

minus=

=

+

=+

6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew






6

36

33336

4

34

2

2

2

==

=

sdot=

a

a

a

aPc


34



623

66

3

6 === aH



6aH =

218296

18662336212

336

624

36

3

1

4

3

3

1 22

=sdot=

==sdot=sdot


V




Szukane Wzory

cos =α 2

3ah =

6

3ar =


2


w ścianę 6

3ar =

3

1

3

2

6

3

2

36

3

cos =sdot===a

a

a

a

h

rα


stokatnaprzeciwpro







2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew











2

3ar =



2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

b H

1h

r R a




Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew







Dane Szukane

91 =h =cP

π8=minus wo PP =V

Wzory

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=

Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2

2RPo π= 2rPw π=

2

3ar = aR =



1



36

2aPp sdot=

zatem Ha

V sdotsdotsdot=4

36

3

1 2



6

36



wysokości 1h zatem

1

2

2

16

4

36 ha

aPc sdotsdot+sdot=


podstawę 2




π8=minus wo PP


82

32

2 =

minus a

a

24

32

3234

484

3

2

22

22

=

=

=minus

sdot=minus

a

a

aa

aa



3ar = i

aR =

2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew






2

122 hrH =+

( )

57

2481

6281

812

324

92

3

2

22

22

22

2

=

minus=

minus=

=

sdot+

=

+

H

H

H

H

aH



3ar =

( )

19481991657316574

3322

574

3246

3

1

4

36

3

122

=sdot=sdot=sdot=


V

( )

2108348

210838623634

3326

9242

16

4

3246

2

16

4

36

2

1

2

+=

=+sdot=sdot+sdot=

=sdotsdotsdot+sdot=

=sdotsdot+sdot= haa

Pc

Obliczamy V i cP



Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew








Liczba punktoacutew







Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew




Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktoacutew






Documents

11. 2. OSTROSŁUPY Ostrosłupy - zstwl.nazwa.plzstwl.nazwa.pl/matematyka/11. Stereometria/11.2. Ostrosłupy.pdf · podstawa ostrosłupa - dowolny wielok ąt Wysoko ść ostrosłupa