DO MATEMATYKIDLA KLASY ÓSMEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Zeszyt ćwiczeń

8

• około 1300 zadań,

• tematy ułożone zgodnie z układem lekcji w podręczniku,

• do każdego tematu trzy strony zadań:

– Rozgrzewka – dla uczniów potrzebujących prostych zadań,

– Trening – pozwalający uczniom utrwalić nabyte umiejętności,

– Na medal – dla uczniów szukających wyzwań.

• Na zakończenie każdego rozdziału zestaw zadań powtórzeniowych oraz sekcja To może być na egzaminie, zawierająca zadania opracowane przezCentralną Komisję Egzaminacyjną.

Zestawy zadań do każdego tematu z podręcznika, pogrupowane według stopnia trudności:

Zbiór zadań dla klasy 8 szkoły podstawowej

Zbiór zadań zawiera różnorodne zadania:

• wielokrotnego wyboru,• wymagające uzasadnienia,• otwarte,• do uzupełnienia,• konkursowe,• typu „PRAWDA/FAŁSZ”,• typu „TAK/NIE, ponieważ

A/B/C”.

Marcin Braun, Agnieszka Mańkowska, Małgorzata Paszyńska

8

DO MATEMATYKIDLA KLASY ÓSMEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Zeszyt ćwiczeń

Zeszyt ćwiczeń jest skorelowany z podręcznikiem Matematyka z kluczem dla klasy 8 dopuszczonym do użytku szkolnego i wpisanym do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki w klasach 4–8 szkoły podstawowej.

Numer ewidencyjny podręcznika w wykazie MEN: 875/5/2018

Nabyta przez Ciebie publikacja jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy o przestrzeganie praw, jakie im przysługują.

Zawartość publikacji możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym, ale nie umieszczaj jej

w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, to nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. Możesz skopiować

część publikacji jedynie na własny użytek.Szanujmy cudzą własność i prawo. Więcej na www.legalnakultura.pl

© Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. 2018ISBN 978-83-267-3375-8

Opracowanie redakcyjne i redakcja merytoryczna: Marcin Minda, Renata Sawicka, Magdalena Spalińska, Elżbieta Zięcina.

Współpraca redakcyjna: Anna Dubiel, Aleksandra Łukaszewicz.Redakcja językowa: Dorota Rzeszewska. Korekta językowa: Joanna Sawicka.

Konsultacja merytoryczna: Barbara Galas, Barbara Sasim-Leciejewska.Nadzór artystyczny: Kaia Juszczak. Opieka graficzna: Ewa Kaletyn, Ewelina Baran.

Projekt okładki: Maciej Galiński. Projekt graficzny: Maciej Galiński.Opracowanie graficzne: Klaudia Jarocka, Aleksandra Szpunar.

Rysunki: Marek Nawrocki, Ewa Sowulewska.Rysunki techniczne: Andrzej Oziębło. Fotoedycja: Katarzyna Iwan-Malawska.

Realizacja projektu graficznego: Mariusz Trzaskalski.

Zdjęcia pochodzą ze zbiorów:Zdjęcie na okładce: Getty Images/Score RF/Akihiro SugimotoFotografie: Marcin Braun s. 92, Shutterstock/amasterphotographer s. 89.

Wydawnictwo dołożyło wszelkich starań, aby odnaleźć posiadaczy praw autorskich do wszystkich utworów zamieszczonych w zeszycie ćwiczeń. Pozostałe osoby prosimy o kontakt z Wydawnictwem.

Nowa Era Sp. z o.o.Aleje Jerozolimskie 146 D, 02-305 Warszawa

www.nowaera.pl, e-mail: nowaera@nowaera.pl, tel. 801 88 10 10

Druk i oprawa: Drogowiec-PL Kielce, www.drogowiec.pl

WstępZeszyt ćwiczeń jest ściśle związany z  podręcznikiem Matematyka z kluczem. Do każdego z 33 tematów z podręcznika przygotowaliśmy zestawy zadań: łatwiejszy na stronie zielonej, trudniejszy – na niebieskiej oraz na medal – pod kodami QR prowadzącymi do portalu docwiczenia.pl. Dodatkowo w publikacji umieściliśmy dwa zestawy powtórzeniowe po szkole podstawowej, które będą pomocne w przygotowaniu do egzaminu ósmoklasisty.Po każdym dziale zamieściliśmy blok zadań Powtórzenie, których rozwiązanie pomoże Ci przygotować się do pracy klasowej. W publikacji znajdziesz zadania typu egzaminacyjnego, dzięki czemu możesz sukcesywnie oswajać się z nimi. W części To może być na egzaminie zebraliśmy zadania, które wystąpiły na egzaminach gimnazjalnych i są już w zasięgu Twoich możliwości.

Kolor zielony: Rozgrzewka, czyli zadania łatwiejsze.

Kolor niebieski: Trening, czyli zadania trudniejsze.

Na medal, zadania na stronie docwiczenia.pl.

Część zadań pocho-dzi z egzaminów gimnazjalnych, a część z egzaminów próbnych.

Przy każdym zadaniu informacja, kiedy wystąpiło ono na egzaminie lub w arkuszach przygo-towawczych.

Zadania wzorowane na egzaminacyjnych, typu: „PRAWDA/FAŁSZ” i wielo-krotnego wyboru.

Zadania typu egzaminacyj-nego: „TAK/NIE, ponieważ A/B/C” i wybór poprawnego uzasadnienia.

I. STATYSTYKA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO1. Diagramy i wykresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Średnia arytmetyczna i mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Zbieranie i porządkowanie danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144. Czy statystyka mówi prawdę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Proste doświadczenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Powtórzenie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26To może być na egzaminie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE I RÓWNANIA1. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Mnożenie sum algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323. Równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Powtórzenie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36To może być na egzaminie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III. FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE1. Własności kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382. Kąty – zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403. Twierdzenie matematyczne i jego dowód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444. Nierówność trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Powtórzenie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48To może być na egzaminie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV. WIELOKĄTY1. Figury przystające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522. Cechy przystawania trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543. Przystawanie trójkątów w dowodach twierdzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564. Wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Powtórzenie IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60To może być na egzaminie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

V. GEOMETRIA PRZESTRZENNA1. Graniastosłupy i ostrosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622. Długości odcinków w graniastosłupach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643. Objętość graniastosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684. Pole powierzchni graniastosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705. Długości odcinków w ostrosłupach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746. Objętość ostrosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787. Pole powierzchni ostrosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808. Bryły – zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Powtórzenie V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88To może być na egzaminie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Spis treści

VI. ZESTAWY POWTÓRZENIOWE1. Zestaw 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922. Zestaw 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

VII. KOŁA I OKRĘGI. SYMETRIE1. Długość okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022. Pole koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043. Długość okręgu i pole koła – zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064. Oś symetrii i środek symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Powtórzenie VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VIII. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA1. Reguła mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182. Zastosowania reguły mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203. Obliczanie prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244. Kombinatoryka a prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Powtórzenie VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Odpowiedzi do Zadań na medal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wpisz kod na:docwiczenia.plKod: M8H6M9

Rozg

rzew

ka

6

I.1 Diagramy i wykresy Na wykresie przedstawiono temperaturę mierzoną co godzinę pewnego dnia

w lutym w Ottawie. Odpowiedz na pytania, korzystając z informacji umieszczonych na wykresie.

1

W jakich godzinach temperatura rosła? O której godzinie zanotowano najwyższą temperaturę? Jaka to była temperatura? O której godzinie zanotowano najniższą temperaturę? Jaka to była temperatura? W jakich godzinach temperatury były ujemne? O jakich godzinach notowano temperaturę 5 stopni Celsjusza?

Na podstawie wykresu z  zadania 1 sporządź diagram kołowy procentowy ilustrujący, przez ile godzin temperatura była: ujemna; powyżej 0, ale poniżej 5 stopni oraz wyniosła 5 stopni i więcej.

2

godzina

temperatura [ C]°

–2

1234567

–3–4–5–6–7

18.0016.0014.0012.0010.008.006.00–10

Użyj kątomierza100% to 360°1% to 3,6°

7

Rozgrzewka

I.1. Diagramy i wykresy

Wykres przedstawia, w jakiej odległości od domu znajdował się Maciek o różnych godzinach w  czwartek po południu. Tego dnia o  godzinie 14.15 Maciek wyszedł na angielski, który zaczynał się o 14.30, potem wrócił do domu i zjadł obiad. Następnie poszedł na przystanek i pojechał autobusem na trening. Wracając z treningu, wysiadł z autobusu wcześniej i poszedł do kolegi z klasy, razem odrobili chemię, po czym wrócił do domu na piechotę.

Podpisz wskazane fragmenty wykresu, a następnie odpowiedz na pytania.

3

200

14.15godzina

1000

15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00

odległość od domu [m]

2000

3000

O której godzinie Maciek wrócił do domu na obiad? Ile czasu był w domu? Ile czasu był na angielskim? Ile czasu był na treningu? Ile czasu Maciek czekał na autobus w drodze na trening? Ile czasu zajęła mu droga od kolegi do domu?

powrót z angielskiego

8

Tren

ing

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

2010

-05-

1220

10-0

5-19

2010

-05-

2620

10-0

6-02

2010

-06-

0920

10-0

6-16

ZawichostPuławy

Przepływ Q [ m /s]3

Odpowiedz na pytania, korzystając z wykresu z zadania 3.

Jak daleko od Maćka mieszka kolega, z którym odrabiał chemię?

Dokąd Maciek ma dalej: na angielski czy do kolegi?

Na podstawie wykresu można też obliczać prędkości, z jakimi poruszał się Maciek.Droga na angielski: 1 km; Czas: 15 min; Prędkość: 15 min

1 km , czyli 4 hkm

Oblicz podobnie.Prędkość, z jaką Maciek wracał od kolegi do domu:Droga: ; Czas: ;Prędkość: .Przybliżoną średnią prędkość, z jaką jechał autobus na trening:Droga (zaokrąglona do pełnych kilometrów): ;Czas: ; Prędkość: .

4

Informacja do zadań 5–7Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej regularnie przeprowadza pomiary stanu wód w głównych rzekach Polski. Poziom wody w Wiśle oraz jej przepływ (czyli ile metrów sześciennych wody przepływa w  ciągu sekundy przez dane miejsce) są mierzone m. in. w Zawichoście, Puławach i Warszawie. W Zawichoście średni przepływ, czyli ilość wody przepływającej przez poprzeczny przekrój rzeki, wynosi około 450 m3/s. Późną wiosną 2010 roku w Polsce wystąpiły powodzie spowodowane dużymi opadami.

Przeanalizuj wykres pokazujący przepływ wody zanotowany w  wybranych dniach w Zawichoście i w Puławach i odpowiedz na pytania.

5

Źródło: https://www.mazowieckie.pl/pl/urzad/aktualneprojekty/kleskizywiolowe/bezpieczenstwopowodzi/ archiwum/2012/ekspertyzy2012 OkresleniewarunkowprzejsciawielkichwodwrzekachregionuwodnegoWislySrodk.html s. 56

I.1. Diagramy i wykresy

9

Trening

Na medaldocwiczenia.plKod: M86T7C

Jakiego okresu dotyczy wykres? Ile to tygodni? Ile metrów sześciennych wody przepływało w Wiśle w ciągu sekundy w Zawichoście 12 maja 2010? Ile razy większy był ten przepływ od przeciętnego przepływu? Jaki był największy przepływ w Zawichoście między 19 a 26 maja?

Kiedy zanotowano najwyższy przepływ w  Zawichoście, a  kiedy w  Puławach?

W tabeli podano zaokrąglone wartości przepływów wody w Wiśle w Warszawie w maju i w czerwcu 2010. Na podstawie tych danych uzupełnij wykres z ćwiczenia 5, aby przedstawiał dane dla trzech miejscowości.

Data 12.05 19.05 21.05 26.05 2.06 3.06 9.06 10.06 16.06

Przepływ w [m3/s] 1200 1200 6000 5000 2000 1800 5000 5200 1500

6

Którego dnia w czerwcu 2010 zanotowano najwyższy przepływ wód w Zawichoście, a którego w Warszawie?Gdzie ten najwyższy przepływ nastąpił wcześniej? Dlaczego?

7

I.1. Diagramy i wykresy

10

Rozg

rzew

ka

Średnia arytmetyczna i medianaI.2 Uzupełnij okienka tak, aby średnia arytmetyczna każdej pary liczb wynosiła 4.1

5 4,2 4

3,991 11

Ania przeprowadziła badanie. Zapytała wszystkich w klasie, ile mają dziś ze sobą długopisów. Wyniki przedstawiła na diagramie, uwzględniła w nich również swoją odpowiedź. Korzystając z wykresu, uzupełnij tabelę i napisz, czy dziś w klasie Ani na jednego ucznia przypadają więcej niż dwa długopisy.

2

0123456789

liczba osób

liczba długopisówu jednego ucznia

0 1 2 3 4 5

Liczba długopisów u jednego ucznia

Liczba osób, które mają tyle długopisów

Liczba długopisów u tych uczniów

0 2 0 2 0$ =

1

2

3

4 4 1 4$ =

5 1

RAZEM

Wszystkich długopisów w klasie jest , a osób w klasie jest .Średnio na osobę przypada długopisa, czyli niż 2 długopisy.

11

Rozgrzewka

I.2. Średnia arytmetyczna i mediana

Uzupełnij oceny w ostatniej kolumnie tak, aby zgadzała się obliczona średnia.

Imię i nazwisko Oceny Średnia

Klaudia Banach 5 3 2 4 4,0

Wojciech Borsuk 3 nb 5 5 4,25

Anna Mazur nb 5 nb 3 4,67

3

Poniżej pokazano zestaw uporządkowanych danych. Skreślaj po tyle samo liczb z obu końców, aby znaleźć medianę.a) 0, 0, 0, 2, 3, 3, 3, 4, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 13, 13, 13, 14, 17, 22, 23, 24, 28, 32, 32, 32,

32, 39, 40Mediana podanego zestawu liczb:

b) 1, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 23, 23, 23, 25, 70Mediana podanego zestawu liczb:

4

Bartek i  Gosia zadali kilku znajomym pytanie: „Ile psów lub kotów mieszka w twoim domu?”. Poniżej pokazano odpowiedzi, które uzyskali. Przepisz je w sposób uporządkowany i podaj mediany podanych zestawów liczb.

Wyniki ankiety

Bartek 1, 0, 2, 0, 0, 3, 1 Gosia 7, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1

Bartek: Gosia: mediana: mediana:

5

Uzupełnij tabelę.6

Dane surowe

Dane uporządkowane (otocz medianę lub podkreśl liczby

potrzebne do jej obliczenia)Mediana

3, 5, 11, 2, 8

4, 7, 0, 0, 2, 2

4, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 5, 4

5, 128, 777, 2, 11, 9

12

Tren

ing

I.2. Średnia arytmetyczna i mediana

Uzupełnij puste okienka tak, aby średnia każdego zestawu liczb wynosiła 4.7

7

3

4

2 1

5

4

6

4 2

40 3 182

3

0

4

3

Liczba osób Średnia wieku Łączny wiek

Harcerze bez drużynowegoHarcerze z drużynowym

W drużynie harcerskiej średnia wieku piętnastu harcerzy wynosi 13 lat, a  jeśli uwzględnimy również drużynowego, to średnia wzrośnie do 13,5 roku. Ile lat ma drużynowy? Rozwiąż zadanie, uzupełniając tabelę.

8

Wiek drużynowego:

W drużynie piłkarskiej średnia wieku dziesięciu zawodników bez bramkarza wynosi 18 lat, a z bramkarzem 19 lat. Ile lat ma bramkarz? Do rozwiązania zadania wykorzystaj tabelę.

9

Wiek bramkarza:

13

Trening

Na medaldocwiczenia.plKod: M8BKMV

I.2. Średnia arytmetyczna i mediana

Na diagramie przedstawiono oceny z klasówki uczniów pewnej klasy. Przeanalizuj diagram i odpowiedz na pytania poniżej.

10

01234567

liczba osób

ocena1 2 3 4 5 6

Ile osób otrzymało jedynki? Ile osób otrzymało dwójki? Ile osób otrzymało trójki? Ile osób pisało klasówkę? Wyobraź sobie, że piszących klasówkę ustawiamy w szeregu według uzyskanych ocen – od najniższej do najwyższej – i wydajemy komendę „kolejno odlicz”. Jaki numer ma osoba stojąca w środku? A jaką ocenę dostała ta osoba? Jaka jest mediana tego zestawu danych?

14

Rozg

rzew

kaI.3 Zbieranie i porządkowanie danych

Ania z 8a, Bartek z 8b i Czarek z 8c zebrali w swoich klasach informacje o wynikach ostatniej klasówki z  matematyki. Dostali odpowiedzi od wszystkich uczniów ze swoich klas. Zapisali wyniki z uwzględnieniem własnych ocen.Podsumuj dane zebrane przez każdego z uczniów (pomiń plusy i minusy przy ocenach). Przedstaw je w formie tabeli oraz na wykresach.

1

Wyniki klasówki z matematyki, klasa 8a:1 2 3 4 5 6

Wyniki klasówki z matematyki, klasa 8b:1 2 3 4 5 6

Wyniki klasówki z matematyki, klasa 8c:5-, 3, 3-, 4, 5, 1, 5-, 4+, 5-, 3-, 3+, 5, 3-, 2, 6, 6-, 4, 5, 5, 4-, 4+, 5, 3, 3+, 4+Wyniki klasówki z matematyki: Klasa 8a

Ocena Liczba osób

123456

Klasa 8b

Ocena Liczba osób

123456

Średnia ocen z klasówki w klasie 8b:

01234567

ocena1 2 3 4 5 6

liczba osób

89

101112

01234567

ocena1 2 3 4 5 6

liczba osób

89

101112

Średnia ocen z klasówki w klasie 8a:

15

Rozgrzewka

I.3. Zbieranie i porządkowanie danych

Klasa 8c

Ocena Liczba osób

123456

Klasy 8a, 8b i 8c razem

Ocena Liczba osób

123456

Średnia ocen z klasówki w klasie 8c:

Średnia ocen z klasówki we wszystkich trzech klasach:

Średnia liczba uczniów w klasach ósmych:

0

5

10

15

20

25

ocena1 2 3 4 5 6

liczba osób

3035

40

Korzystając z  informacji z  zadania 1, oblicz liczbę uczniów w poszczególnych klasach. Dane przedstaw na wykresie słupkowym. Następnie oblicz średnią liczbę uczniów w klasach ósmych.

2

0

5

10

15

20

25

30

klasa8a 8b 8c

liczba uczniów w klasach ósmych35

01234567

ocena1 2 3 4 5 6

liczba osób

89

101112

16

Tren

ing

Znajdź medianę ocen dla każdej z klas z zadania 1.3

W pewną upalną sobotę w lodziarni „Inuita” sprzedano bardzo dużo porcji lodów. Najwięcej, bo aż 108, stanowiły porcje po dwie gałki. Sprzedano także 80 porcji jednogałkowych i 84 trzygałkowych. Wyraźnie mniej chętnych było na porcje po cztery gałki, bo zamówiono ich tylko 27. Za to rekordowy łakomczuch kupił sobie porcję z aż siedmiu gałek.Zapisz dane w tabeli i na tej podstawie sporządź diagramy słupkowe. Do pierwszego diagramu słupkowego narysuj diagram procentowy kołowy.

Liczba gałek 1 2 3 4 5 więcej

Sprzedane porcje

4

I.3. Zbieranie i porządkowanie danych

0

liczba gałek1

102030405060708090

100110120

sprzedane porcje

2 3 4 więcej5

I. II.

0

liczba gałek1–2

20406080

100120140160180200220

sprzedane porcje

3–4 5 i więcej

17

Trening

Na medaldocwiczenia.plKod: M847TX

Przeprowadź własne badanie. Zapytaj wszystkich uczniów swojej klasy na przykład o ulubiony gatunek muzyczny. Wyniki zapisz w poniższej tabeli. Następnie przedstaw wyniki na diagramach słupkowym i kołowym.

5Pytanie (na przykład): „Jakiego rodzaju muzyki lubisz słuchać najbardziej?”

rock pop reggae rap inne

Temat badania: Liczba uczniów w klasie: Pytanie:

?

Odpowiedzi do wyboru:

0

5

10

15

20

25

30

liczba osób35

I.3. Zbieranie i porządkowanie danych

Oblicz, ile średnio gałek lodów jest sprzedawanych w tej lodziarni w ciągu dnia.

Odpowiedzi

18

Rozg

rzew

ka

Czy statystyka mówi prawdęI.4 W  tabeli pokazano wyniki ankiety przeprowadzonej w  trzech szkołach 15.03

i 15.05. Zapytano uczniów, kto przyjechał do szkoły na rowerze. Uzupełnij podpisy pod diagramami. Pokreśl nazwy szkół, w których w maju na rowerze przyjechało co najmniej dwa razy więcej osób niż w marcu.

SP 267 SP 37 SP 17

W marcu do szkoły na rowerze przyjechało około

osób.

W marcu do szkoły na rowerze przyjechało około

osób.

W marcu do szkoły na rowerze przyjechało

osób.

W maju do szkoły na rowerze przyjechało o około

osób więcej niż w marcu.

W maju do szkoły na rowerze przyjechało o około

osób więcej niż w marcu.

W maju do szkoły na rowerze przyjechało o osób więcej niż w marcu.

1

020

15.03

406080

100120140160

15.052025

15.03

30354045505560

15.054546

15.03

47484950515253

15.05

W wyższych szkołach artystycznych w Polsce studiuje około tysiąca cudzoziemców. Tabela przedstawia dokładne dane z lat 2014–2016. Przedstaw te same dane na trzech różnych diagramach. Liczba studentów cudzoziemców w wyższych szkołach artystycznych w Polsce:

2014/15 2015/16 2016/17

Liczba studentów 886 871 944

2

Źródło: rocznik statystyczny GUS 2017, kultura w 2016

0100200300400500600

2014

/15

700800900

1000liczba studentów

2015

/16

2016

/17

870

880

890

900

910

920

930

940

950liczba studentów

2014

/15

2015

/16

2016

/17 500

550600650700750800850900950

1000liczba studentów

2014

/15

2015

/16

2016

/17

19

Rozgrzewka

I.4. Czy statystyka mówi prawdę

Obok każdego wykresu znajduje się tabela. Wpisz do niej dane odczytane z wykresu.

3

0

10 000

20 000

30 000

40 000

1 2 3 4

20042014liczba turystów

kraje

05 000

10 00015 00020 00025 00030 00035 000

1 2 3 4

20042014

liczba turystów

kraje

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

1 2 4

35 000

3

20042014

kraje

liczba turystów

niebieski czerwony

Australia (1)

Chorwacja (2)

Polska (3)

Wielka Brytania (4)

niebieski czerwony

Australia (1)

Chorwacja (2)

Polska (3)

Wielka Brytania (4)

niebieski czerwony

Australia (1)

Chorwacja (2)

Polska (3)

Wielka Brytania (4)

Wszystkie wykresy narysowane powyżej powstały na podstawie tych samych danych, zebranych w tabeli obok. Porównaj swoje odczyty z danymi z tabeli i odpowiedz na pytania.

Źródło: rocznik statystyczny GUS, https://stat.gov.pl/statystykamiedzynarodowa/porownaniamie dzynarodowe/tabliceokrajachwedlugtematow/turystyka/

Przyjazdy turystyczne (w tysiącach)2004

(niebieski)2014

(czerwony)Australia 5 215 6 868Chorwacja 7 912 11 623Polska 14 290 16 000Wielka Brytania 25 678 32 613Z którego diagramu najłatwiej odczytać

informacje? Które diagramy uniemożliwiły ci prawidłowe odczytanie danych?

I.

II.

III.

20

Tren

ing

W tabeli przedstawiono wyniki sprawdzianu pisanego przez 100 uczniów klas ósmych pewnej szkoły. Uzupełnij diagramy słupkowe. Odpowiedz na pytanie, jaki błąd popełniono podczas planowania diagramu IV.

4

0

punkty0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

123456789

10111213141516

liczba osób

0

punkty

0–4

369

121518212427303336394245

5–8

9–12

13–1

617

–20

485154

liczba osób

0

punkty

0–5

6–10

11–1

516

–20

369

12151821242730333639424548

liczba osób

5154

0

punkty

0–7

8–9

10–1

112

–13

14–2

0

369

12151821242730333639424548

liczba osób

5154

Punkty 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Liczba osób 0 0 1 0 2 1 3 4 7 13 16 15 10 7 5 4 3 4 2 1 2

I.4. Czy statystyka mówi prawdę

Diagram I

Diagram II Diagram III Diagram IV

21Na medaldocwiczenia.plKod: M831HZ

Trening

Na grupie stu osób przeprowadzano badanie ankietowe. Każdemu ankietowanemu zadano jedno pytanie, podane w ramce. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie poniżej.

5

05

101520253035

zdecydowanie tak

40

nie mam zdaniaraczej niezdecydowanie nieraczej tak

liczba osób

Czy lubisz koszykówkę? zdecydowanie tak zdecydowanie nie nie mam zdania raczej tak raczej nie

Oceń, czy podane zdanie jest prawdziwe (P) czy fałszywe (F).

Ponad 30% ankietowanych nie lubi koszykówki. Koszykówki nie lubią osoby, które w ankiecie zaznaczyły odpowiedź „raczej nie” lub „zdecydowanie nie”. Takich osób jest 31. Ponieważ badanie przeprowadzo-no na grupie 100 osób, zatem 31 osób to 31% ankietowanych.

Jedna czwarta ankietowanych nie lubi koszykówki.

Tylko 12% ankietowanych zdecydowanie lubi koszykówkę.

Prawie 70% ankietowanych nie jest przeciwnikami koszykówki.

Tylko 6% ankietowanych zdecydowanie nie lubi koszykówki.

Prawie połowa ankietowanych lubi koszykówkę.

I.4. Czy statystyka mówi prawdę

P

22

Rozg

rzew

ka

Proste doświadczenia losoweI.5 Rzucamy sześcienną kostką do gry. Zaznacz wybranym kolorem

możliwe wyniki i oblicz:a) prawdopodobieństwo, że wypadnie mniej niż 5 oczek:

Liczba wszystkich możliwych wyników:

Liczba interesujących nas wyników (mniej niż 5 oczek): p – prawdopodobieństwo, że wylosujemy mniej niż 5 oczekp =

b) prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba oczek podzielna przez 4: Liczba wszystkich możliwych wyników:

Liczba interesujących nas wyników (podzielnych przez 4): p – prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę oczek podzielną przez 4p =

c) prawdopodobieństwo, że wypadnie mniej niż 7 oczek: Liczba wszystkich możliwych wyników:

Liczba interesujących nas wyników (mniej niż 7 oczek): p – prawdopodobieństwo, że wylosujemy mniej niż 7 oczekp =

d) prawdopodobieństwo, że liczba oczek jest dzielnikiem 12: Liczba wszystkich możliwych wyników:

Liczba interesujących nas wyników (liczba oczek to dzielnik liczby 12):

p – prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę, która jest dzielnikiem 12p =

1

23

Rozgrzewka

I.5. Proste doświadczenia losowe

Na podstawie informacji z ramki oceń, czy opisane zdarzenie jest pewne, niemożliwe czy ani niemożliwe, ani pewne. Podaj jego prawdopodobieństwo.

2

Opis doświadczenia: Wybieramy losowo jedną osobę z twojej klasy. Opis zdarzenia:a) Wylosowano dziewczynę

zdarzenie p =

b) Wylosowano dziesięcioletniego chłopca zdarzenie p =

c) Wylosowano osobę, która nie jest pełnoletniazdarzenie p =

Zdarzenie niemożliwe – jeśli prawdopodobieństwo jest równe 0.Zdarzenie pewne – jeśli prawdopodobieństwo jest równe 1.Zdarzenie nie jest ani niemożliwe, ani pewne – jeśli prawdopodobieństwo jest równe liczbie pomiędzy 0 a 1.

Na podstawie  informacji z  ramki z zadania 2 oceń, czy opisane zdarzenie jest pewne, niemożliwe czy ani niemożliwe, ani pewne. Podaj jego prawdopodobieństwo.

3

Opis zdarzenia: a) Wylosowano białą kulę

zdarzenie p =

b) Wylosowano kulę zieloną lub w kropki zdarzenie p =

c) Wylosowano kulę, która nie jest czarnazdarzenie p =

d) Wylosowano jedną kulę, która nie jest białazdarzenie p =

Opis doświadczenia: w pudełku jest 11 kul takich jak na rysunku, losujemy jedną z nich.

24

Tren

ing

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

Rzucamy dwunastościenną kostką. Które prawdopodobieństwo jest większe: prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba będzie liczbą złożoną, czy prawdopodobieństwo, że będzie podzielna przez 3? Zaznacz odpowiednie wyniki i uzupełnij:

4

I.5. Proste doświadczenia losowe

Liczba interesujących nas wyników:

Prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę złożoną:

Prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba będzie liczbą złożoną.Liczba wszystkich możliwychwyników:

Prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba będzie podzielna przez 3.Liczba wszystkich możliwychwyników:

Liczba interesujących nas wyników:

Prawdopodobieństwo, że wylosujemy dzielnik liczby 6:

Liczba wszystkich możliwychwyników:

Liczba interesujących nas wyników:

Prawdopodobieństwo, że wylosujemy dzielnik liczby 12:

Liczba wszystkich możliwychwyników:

Liczba interesujących nas wyników:

Prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę podzielną przez 3:

Większe jest prawdopodobieństwo, że

Większe jest prawdopodobieństwo, że

Co jest bardziej prawdopodobne:to, że rzucając sześcienną kostką, wylosujemy dzielnik liczby 6,czy że rzucając dwunastościenną kostką, otrzymamy wynik, który jest dzielnikiem 12?

5

25

TreningI.5. Proste doświadczenia losowe

W pudełku jest 12 kul w trzech kolorach: białym, zielonym i niebieskim. Ile jest kul każdego koloru, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania z tego pudełka zielonej kuli jest równe 3

1, a kuli, która nie jest biała, jest równe 43? Poko

loruj odpowiednio kule.

6

W  klasie Alicji miejsca w  ławkach przydzielane są losowo. Zaznacz różnymi kolorami odpowiednie miejsca i oblicz prawdopodobieństwo, że Alicja będzie siedziała:a) w rzędzie ławek pod oknem,

(kolor ) p =

b) pod samą ścianą,(kolor ) p =

c) w ostatniej ławce, (kolor ) p =

d) w trzeciej ławce od tablicy. (kolor ) p =

7

Na medaldocwiczenia.plKod: M87WKQ

26

Pow

tórz

enie

Powtórzenie I

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo wylosowania ósmoklasisty jest większe niż 21. P F

Prawdopodobieństwo wylosowania czternastoletniego ucznia klasy 8 jest większe niż prawdopodobieństwo wylosowania siódmoklasisty. P F

2

Wskaż zdarzenie pewne.A. Wylosowano chłopca.B. Wylosowana osoba zdobyła więcej niż 19 punktów.C. Nie wylosowano Zosi.D. Wylosowany uczeń ma ponad 11 lat.

Średnia arytmetyczna wyników uzyskanych przez uczniów, którzy zakwalifikowali się do dzielnicowego konkursu matematycznego, jest równa

A. 20,125. B. 20,75. C. 21,25. D. 21,375.

Mediana wyników uczniów, którzy przeszli do etapu dzielnicowego w konkursie matematycznym, wynosiA. 20. B. 20,5. C. 21,5. D. 23,5 .

3

4

5

Informacja do zadań 1–5Oto lista uczniów, którzy przeszli do dzielnicowego etapu konkursu matematycznego. Osoba wylosowana spośród nich będzie obecna przy otwieraniu koperty z zadaniami w kolejnym etapie konkursu.

Imię i nazwisko Klasa Liczba punktów WiekAnna Banko 8a 19 14Piotr Ciech 8b 21 15Zuzanna Droś 7a 20 14Damian Graski 5c 25 11Maciej Kalemba 7a 22 13Jan Pawłowski 8b 19 15Daria Zin 8b 25 14Piotr Żółty 6a 19 13

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wylosowana dziewczyna?A.

5

3 B. 85 C.

5

8 D. 83

1

27

Powtórzenie

Oto dwa uporządkowane zestawy danych. Wyznacz medianę każdego z  nich. Czy mediana zestawu II jest większa niż zestawu I? Wybierz odpowiedź TAK lub NIE i jej uzasadnienie spośród zdań A–C.

I. 2, 4, 7 mediana: II. 3, 3, 4, 9, 11 mediana:

TAKponieważ

A. obie mediany są równe.B. niektóre liczby w II zestawie są większe niż w I.

NIE C. w zestawie II jest więcej danych.

6

Informacja do zadań 7–9Uczniowie klasy 8d wybrali się na wycieczkę po swojej miejscowości śladami patrona szkoły. Wycieczka rozpoczynała się w szkole. Następnie uczniowie udali się pod ratusz gdzie mieli dłuższe spotkanie z przewodnikiem miejskim. Później pokonywali wyznaczoną trasę i po drodze wykonywali zadania, a na koniec zwiedzali muzeum patrona. Na wykresie przedstawiono zależność między odległością uczniów od szkoły a czasem.

1

odległość od szkoły [km]

godzina

3

5

2

4

9.300

10.00 10.30 11.00 11.30 12.00 12.30 13.00 13.30 14.00

Ile czasu minęło od wyjścia uczniów klasy 8d ze szkoły do powrotu do szkoły?A. 4

21 godziny B. 5 godzin C. 9

21 godziny D. 14 godzin

O której godzinie uczniowie znaleźli się pod ratuszem?A. o 9.30 B. o 10.00 C. o 11.30 D. o 14.00

Które z poniższych zdań jest fałszywe?A. Spotkanie uczniów na rynku trwało 30 minut.B. Muzeum znajduje się w odległości 5 kilometrów od szkoły.C. Pokonywanie trasy z rynku do muzeum trwało dłużej niż zwiedzanie muzeum.D. O 10.00 uczniowie byli w odległości 3 kilometrów od szkoły.

7

8

9

28

Pow

tórz

enie

To może być na egzaminie

Zadanie 1. (0–1) kwiecień 2017

Turysta A szedł ze schroniska w kierunku szczytu, natomiast turysta B schodził ze szczytu w kierunku schroniska. Obaj szli tym samym szlakiem i tego samego dnia. Wykresy przedstawiają, na jakiej wysokość względem poziomu morza znajdowali się turyści w określonym czasie.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Turyści spotkali się na szlaku między godzina 13.00 a 14.00. P FTuryści spotkali się w miejscu położnym między 1700 a 2000 m n.p.m. P F

1000

Wysokość [m n.p.m.]

10.00Godzina

1200

1400

1600

1800

2000

11.00 12.00 13.00 14.00

Turysta A

1000

Wysokość [m n.p.m.]

10.00Godzina

1200

1400

1600

1800

2000

11.00 12.00 13.00 14.00

Turysta A

1000

Wysokość [m n.p.m.]

12.00Godzina

1200

1400

1600

1800

2000

13.00 14.00 15.00 16.00

Turysta B

1000

Wysokość [m n.p.m.]

12.00Godzina

1200

1400

1600

1800

2000

13.00 14.00 15.00 16.00

Turysta B

Zadanie 3. (0–1) kwiecień 2013

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.Mediana wieku uczestników obozu jest równaA. 14 lat. B. 14,5 roku. C. 15 lat. D. 15,5 roku.

Informacja do zadań 3 i 4W tabeli przedstawiono informacje dotyczące wieku wszystkich uczestników obozu narciarskiego.

Wiek uczestnika Liczba uczestników

10 lat 514 lat 315 lat 416 lat 8

Zadanie 2. (0–1) kwiecień 2016

Kasia ma 6 lat. Średnia arytmetyczna wieku Ani i Pawła jest równa 12 lat. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna wieku Kasi, Ani i Pawła jest równa A. 6 lat. B. 9 lat. C. 10 lat. D. 15 lat.

29

Powtórzenie

Zadanie 6. (0–1)) kwiecień 2012

Glazurnik układa płytki. Wykres przedstawia liczbę ułożonych płytek w zależności od czasu w trakcie ośmiogodzinnego dnia pracy.

Na podstawie wykresu wybierz zdanie fał-szywe.A. O  godzinie 1000 glazurnik rozpoczął go

dzinną przerwę.B. Od 700 do 800 glazurnik ułożył mniej płytek

niż od 1100 do1200.C. W ciągu każdej godziny glazurnik układał

taką samą liczbę płytek.D. Przez ostatnie trzy godziny pracy glazurnik

ułożył 50 płytek.

liczba płytek

700godzina

100

150

200

900 1100 1300 1500

50

02468

10liczba ocen

ocena1 2 3 4 5 6

Zadanie 5. (0–1) kwiecień 2012

Na diagramie przedstawiono wyniki pracy klasowe z matematyki w pewnej klasie.

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

Z informacji podanych na diagramie wynika, żeA. pracę klasową pisało 30 uczniów.B. najczęściej powtarzającą się oceną jest 4.C. mediana wyników z pracy klasowej wynosi 2.D. średnia wyników z pracy klasowej jest równa 3,6.

Zadanie 4. (0–1) kwiecień 2013

Na którym diagramie poprawnie przedstawiono procentowy podział uczestni-ków obozu ze względu na wiek? Wybierz odpowiedź spośród podanych.

C.A.

D.B.

100%80%60%40%20%0%

10 lat 14 lat 15 lat 16 lat

100%80%60%40%

40%

20%0%

25%16 lat

20%15 lat

15%14 lat

10 lat

16 lat10 lat25%

15%20%

40%14 lat

15 lat

100%80%60%40%20%

25% 20% 15%

40%

0%10 lat 14 lat 15 lat 16 lat

Rozg

rzew

ka

30

II.1 Wyrażenia algebraiczne Oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości x i y.

a) x xy y2 52 + + dla x 3= , y 5=x xy y2 52 + + = 2 + 2 $ $ + 5 $ =

b) x y3 2 7- - +^ h dla x 3= , y 2=x y3 2 7 3 2 $- - + = -^ h ( - ) + 7 =

1

Zredukuj wyrazy podobne. Litery odpowiadające wynikom wpisz w kratki, a otrzymasz hasło.x y x y x2 7 3 5 2+ - + - - =

x y y x y5 2 5 4 3- + - - + =

x x3 2 10 5 8y2$- + - + =^ h

y x x5 2 2 7 1 2 2$ $- + - + - + + =^ ^ ^h h h

y x y y4 2 2 5 2 7 2 1 3$ $ $- + - - + + - + =^ ^ ^h h h

2

W kolejnych wyrażeniach wpisz także brakujące znaki mnożenia. Gdy do wyrażenia w miejsce liter wstawiamy liczby, tych znaków nie można już pomijać!

Liczby ujemne wpisuj w nawiasach.

c) xy x y2 5 2 3+ dla x 2= , y 1=xy x y2 5 22 3+ = + 5 2 3 =

d) xy x y2 2 5 2 3- + dla x 2= , y 1= -xy x y2 2 5 2 22 3- + = - + 5 2 3 =

e) x y5 2-^ h dla x 3= - , y 1= -x y5 52 $- =^ h ( - )2 =

x y2 5 5- - - Kx y2 5 5+ + Ax y2 5 5- + P

x y2 5 5- + - Ux y2 5 5- - + Ś

x y2 5 5- - C

x y2 5 5+ - Ix y2 5 5- + + E

Na diagramie pokazano, jak mnożyć sumę przez jednomian. Wpisz w figurach odpowiednie wyrażenia, a następnie uzupełnij obliczenia.

3

a)

b)

· = · · =–2a + ( )3a b +

· = · · =– 4 ( )a 5–

31

Trening

o 20% więcej o 50% więcej

o % więcej1

Na medaldocwiczenia.plKod: M8ARLN

II.1. Wyrażenia algebraiczne

4 Wpisz właściwe znaki (+ i -) w kwadraty, a następnie zredukuj wyrazy podobne. Otrzymasz dwie pary identycznych wyników.

a) a b a b2 3- + - + =^ ^h h 2a 2b 3a 3b = b) a a b a ab3 2 6 3 5- + - + + =^ ^h h 6a a3 2 3ab 6a 3ab 5 =

=

c) a b b a a4 1 5 2 10 521

- + + - =^ ah k 4a 20ab b 20ab 5a =

d) a a a a7 5 2 2 4 5 62- - - - + =^ ^h h 7 10a a5 2 a8 2 10a 12 ==

5 Każda z narysowanych figur ma taki sam obwód. Uzupełnij na rysunkach brakujące długości boków.

6 Uzupełnij diagramy.

Obwód każdej figury =

trójkąt równobocznytrójkąt równoramienny

sześciokąt foremny (o równych bokach)kwadrat

a)

b)

x y+ + 2 3 – 5x2 + 3

o 20% więcej o 50% więcej

o % więcejx

100

o 20% więcej

o 100% więcej

o %mniej

o %mniej

o %

o %

o 20% więcej

o 100% więcej

o %mniej

o %mniej

o %

o %

x

Rozg

rzew

ka

32

Mnożenie sum algebraicznychII.2 Na diagramie pokazano, jak mnożyć sumy algebraiczne. Wpisz odpowiednie

wyrażenia w figurach, a następnie uzupełnij obliczenia.1

Uzupełnij tabelę i dokończ obliczenia.2

Uzupełnij obliczenia.

a) a b a b3 7 2+ + =^ ^h h + + + a ab b7 23 62 2= + +

b) x x5 3 1 5- + + = -^ ^h h ( + + + ) =

= 5 - ( + + ) = = c) t t t3 5- + - =^ ^h h =

= d) y y y2 3 1 2- - - =^ ^h h

3

x x2 3 1 =- -^ ^h h

= =

x x2 5 32= - +

a a bb2 5 =+ -^ ^h h

= =

a ab b5 9 22 2= + -

a a a5 32 2 =+ -^ ^h h

= =

=

a)

b)

c)

=

=

= W tym przykładzie dopisz też znaki + i –.

x -1

2x 2x2 –2x

-3 –3x 3

3a a2-

a2

5

b) c)a)

zredukuj

zredukuj

zredukujzlikwiduj nawias, uwaga na znaki!

pomnóż

pomnóż

· + + + = · · 3b( )a 2 ( )b + 3 a a 2 b 2 3+ =

· + =( )a 2b ( ) – – + 2a – 7 =· ·

· =( )m 2– ( )2– n m2

33

Trening

Na medaldocwiczenia.plKod: M8AMSG

II.2. Mnożenie sum algebraicznych

4 Uzupełnij obliczenia. W każdym przykładzie wynik powinien być taki sam.

a) ab a b b b 11515 - - =+ -+ - ^ ^^ h hh +

- ( ) - 1 = =

=

b) aa bbb 3 51 29 22 5 7 + - + =+ -+ - ^ ^^ ^ h hh h +

+ - 3b + 5 =

c) a aa a a85 4 12 1 4 2 2- + =- -+ - ^ ^^ ^ h hh h +

- ( ) + a8 2 = a a a a a84 6 4 4 9 5 22 2- + =- + + - +^ h = + a8 2 =

5 Oblicz dwoma sposobami. Sprawdź, czy wyniki są takie same.

Sposób I

Sposób II

x x x2 5 2 4+ - - =^ ^ ^h h h ^ h x2 4-^ h =

= ^ ) x2 4-^ h = =

x x x x2 5 2 4 2+ - - = +^ ^ ^ ^h h h h^ h =

= x 2+^ h^ h = =

zredukuj

zredukuj

pomnóż

pomnóż

zredukuj

zredukuj

pomnóż 5 – x przez 2x – 4

pomnóż x + 2 przez 5 – x

6 Na rysunku obok pokazano kwadrat ABCD o boku 1 oraz ćwiartkę okręgu o środku w punkcie B i promieniu AB. Uzupełnij rozwiązanie zadania.a) Uzasadnij, że DE 2 1= -

DB jest przekątną kwadratu o boku 1, więc DB =

EB i AB są promieniami tego samego okręgu, więc EB =

Wobec tego DE = b) Oblicz pole P kwadratu o boku DE.

P 2 1 2 1 2 12= - = - - =^ ^ ^h h h

Rozg

rzew

ka

34

II.3 Równania2.3. Równania//Rozgrzewka

RAMKAAnna: Podzieliłam obie strony przez Ula: Podzieliłam obie strony przez Jan: Przeniosłem niewiadome na prawą stronę, a liczby na lewąKuba: Przeniosłem niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawąAsia: Dodałam do obu stron Maja: Odjęłam od obu stron

Dokończ obliczenia w ramce, a następnie uzupełnij rozwiązanie równania.

42 5, x x2

3

3

6+ - =+ + | · 6

+ x3 9+ - ( ) =

x = 12 Sprawdzenie:

L = , ,2 5 2 5x x2

3

2

12 3

3

6

3

12 6+ - = + - =+ ++ + P = 4

2

Rozwiąż równanie dwoma sposobami. 3

Sposób I

1 4x x3

2 44

- = -+ | 12$

x x12 4 2 4 3 48- + = -^ h x3 48= -

x3 48= -

=

=

x =

Sposób II

1 4x x3

2 44

- = -+

x x1 432

34

41

- + = -a k

Sprawdzenie:

L = P =

Który sposób jest dla ciebie łatwiejszy?

Dlaczego?

x x4 6 2 10- + = -

x x4 2 10 6- - = - -

x6 6 10- + = - x6 6 10= -

x x2 3 5- = - +x x2 3 5- + = -

x x6 10 2 4+ = +

Uwaga.6 2 5,$ =

x x6 3 3 3 9x2

3$ = + = ++

^ h

6x3

6$ =+

= 6 4$ =

Sześcioro uczniów przekształcało równanie. Wszystkie przekształcenia były poprawne. Zapisz przy strzałkach imiona uczniów zgodnie z opisem w ramce.

1

Ania: Podzieliłam obie strony przez -2. Ula: Podzieliłam obie strony przez 2.Asia: Dodałam do obu stron 4x.Maja: Odjęłam od obu stron 2x.

Janek: Przeniosłem niewiadome na prawą stronę, a liczby na lewą.

Kuba: Przeniosłem niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą.

35

Trening

Na medaldocwiczenia.plKod: M85K91

II.3. Równania

4 Połącz strzałkami kolejne kroki obliczeń.

x x x x3 1 2 1- + - = +^ ^ ^h h h xx x x3 22 2- +- + =^ h

x x x xx3 2 22 2- - + = +-^ hx x x x3 22 2- + - = +

x x3 2- - = x1 2=

x x1 - =

x x 182 2 2 6 =- -^ h

x x2 4 12 18- + =

x x2 3 9- + =^ h

x x2 2 6 9- - =^ h

x x2 6 9- + =

x x2 4 2 6 18- - =^ h

x x2 3 9- - =^ h

x x2 6 9- - =

x21

=

5 Dobierz w pary równania równoważne. Nie musisz ich rozwiązywać!

6 Zastanów się, jaką operację wykonano w pierwszym kroku rozwiązywania danego równania. Następnie rozwiąż te równania z ramki, do których da się zastosować poniższą metodę. Pozostałe równania z ramki skreśl.

34x x

24

36 18

+ =-

x x2 2 6 34+ - =^ h

1x x

36

99

+ =-

3x x7

14 218

16 24+ =

+ +

1x x3

8 44

6 3- -

+ +

81x x

5

5 1039

+ =-

3x x2

2 46

12 6- =

+ -

36

Pow

tórz

enie

Powtórzenie II

1 Które z podanych wyrażeń jest równe wyrażeniu x2 3 5 5- - +^ h ?A. x3 2- + B. x3 12- + C. x3 8- + D. x3 22- +

2 Dane są trzy wyrażenia:F x x2 5 6= - -^ ^h h, G x x x2 1 15 2= - - -^ ^h h, H x x2 17 302= + + . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdej wartości x wyrażenia F i G mają równą wartość. P F

Różnica F - H jest równa -34x. P F

Dla x = 2 wyrażenie G przyjmuje wartość 4. P F

3 Dane są dwie liczby: a 3 2= - , b 3 2= + . Czy iloczyn tych liczb jest liczbą wymierną? Wybierz odpowiedź TAK lub NIE i jej uzasadnienie spośród zdań A–C.

TAKponieważ

A. każda z tych liczb jest niewymierna.B. liczba -1 jest wymierna.

NIE C. iloczyn liczb niewymiernych może być zarówno liczbą wymierną, jak i niewymierną.

4 W pewnej klasie chłopcy stanowią 40%, a dziewczyny 60% wszystkich uczniów. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Dziewczyn jest o 20% więcej niż chłopców. P F

Dziewczyn jest o 50% więcej niż chłopców. P F

Chłopców jest o około 33% mniej niż dziewcząt. P F

5 Dany jest prostokąt, w którym jeden z boków jest 2 razy dłuższy od drugiego. Gdyby dłuższy bok wydłużyć o 6 cm, a krótszy skrócić o 1 cm, to pole prostokąta pozostałoby takie samo. Oblicz, ile centymetrów ma obwód danego prostokąta.

37

Powtórzenie

6 Pani Karolina pracuje w firmie remontującej mieszkania. Podczas przeglądania rachunków zauważyła, że do remontu jednego z mieszkań kupiła tyle litrów farby, ile złotych kosztował litr tej farby. Do drugiego mieszkania kupiła o 4 litry mniej farby, ale była ona droższa o 6 zł za litr. W rezultacie za farbę wykorzystaną do malowania drugiego mieszkania zapłaciła o 24 zł więcej. Oblicz, ile kosztował litr tańszej farby.

Zadanie 1. (0–1)) grudzień 2011

Ania i Tomek mają razem 14 lat. Dwa lata temu Tomek był 4 razy starszy od Ani. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ania jest dwa razy młodsza od Tomka. P FTomek jest o 6 lat starszy od Ani. P F

Zadanie 2. (0–3)) kwiecień 2016

Uczniowie klas trzecich pewnego gimnazjum pojechali na wycieczkę pociągiem. W każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym przedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o 3 przedziały więcej. Ilu uczniów pojechało na tę wycieczkę? Zapisz obliczenia.

To może być na egzaminie

Na portaluumieściliśmydodatkowewielostopniowezadania.

Zeszyt ćwiczeń do klasy ósmej zawiera zadania uczące rozwiązywaniatypowych problemów matematycznych. Ich ciekawe formy oraz możliwość uzupełniania rozwiązań sprawia, że nauka staje się przyjemniejsza.

Stopniowanie trudności zadań

Na stronach zielonych Rozgrzewka – zadania pomagające wyćwiczyć proste umiejętności.

Na stronach niebieskich Trening – zadania, dzięki którym biegle opanujesz temat.

Pod kodami QR Na medal – zadania dla uczniów szukających wyzwań.

Rozwiążdodatkowezadaniedocwiczenia.pl Kod: M86T7C

Zeskanuj kod QR, który znajdziesz wewnątrz zeszytu ćwiczeń, lub wpisz kod na docwiczenia.pl.

www.nowaera.pl matematyka@nowaera.pl

infolinia: 801 88 10 10, 58 721 48 00

M86T7C

Powtórzenie

Zadania podsumowujące wiadomości i sprawdzające stopień opanowaniamateriału.

To może być na egzaminie

To wybór zadań z egzaminów z poprzednich lat, które już potrafisz rozwiązać.

Dopasowanie do podręcznika

Do każdego tematuz podręcznika dwie,czasami cztery, stronyzadań ćwiczeniowych,ułożonych od najłatwiejszych do najtrudniejszych.