101212442 Stabilitatea Podurilor Metalice Cu Imperfectiuni de Executie

IONUŢ RADU RĂCĂNEL

CONSPRESS BUCUREŞTI

2007

Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a României

RĂCĂNEL, IONUŢ RADU

Stabilitatea podurilor metalice cu imperfecţiuni de executie / Ionuţ Radu Răcănel. – Bucureşti: Conspress, 2007

Bibliogr.

ISBN 978-973-100-006-2

ISBN 978-973-100-006-2

CONSPRESS B-dul Lacul Tei 124 sector 2 Bucuresti

Tel.: 021 242 27 19 / 183

PREFAŢĂ

Problema stabilităţii unei structuri de pod metalic în ansamblul ei pleacă de la constatarea că fenomenul de pierdere a stabilităţii se amorsează în zona în care predomină solicitarea de compresiune. În cazul podurilor simplu rezemate realizate sub formă de grindă cu zăbrele, aceste zone sunt desigur tălpile superioare. Fenomenul este mai puternic la podurile metalice fără contravântuire superioară. Am putea spune că, chiar dacă există legături între cele două tălpi superioare, dar numai sub formă de rigle fără a exista şi diagonale (adică fără să se formeze o grindă cu zăbrele la partea superioară), această soluţie se apropie mai mult de schema podului fără contravântuiri decât cea cu o contravântuire superioară propriu zisă (sub formă de grindă cu zăbrele).

Prin aceste consideraţii se justifică orientarea studiilor autorului către tabliere sub formă de grinzi cu zăbrele dar fără legături la partea superioară. Preocupându-se de efectul imperfecţiunilor, cea mai mare parte a lucrării este destinată calculului de ordinul II, deoarece structura pleacă de la bun început cu o deformată preexistentă ceea ce aduce chiar din primul pas momente încovoietoare.

Este, deci, firesc ca autorul volumului de faţă să acorde un spaţiu larg aspectelor teoretice de bază privind problemele de stabilitate elastică a structurilor, ceea ce se face în cadrul capitolelor II, III şi IV. Este de menţionat aici că se alocă o parte importantă problemei de stabilitate a barei pe mediu elastic care răspunde cel mai bine comportării tălpilor superioare ale grinzilor principale fără legături superioare între ele.

O trecere bine pusă la punct de la elemente strict teoretice la cele de aplicabilitate practică se face în capitolul V unde sunt analizate şi prespcripţiile tehnice de proiectare naţionale şi europene.

Răspunzând tematicii alese, autorul examinează cu atenţie problema imperfecţiunilor şi originea lor în capitolul VI şi plecând de la caracterul lor aleator, în a doua parte a capitolului VII, este analizată problema posibilităţilor de modelare a acestora în vederea introducerii în calcul atât sub aspect calitativ (forma acestora) cât şi sub aspect cantitativ (mărimea şi problemele de limitare ale lor). Elementele de inexactitate de execuţie sau abateri de la liniaritate sau planeitate consituie un sistem de constatări aleatorii şi de aceea a fost necesară o schematizare convenţională pentru a se putea prinde în calcul.

Capitolele VII si VIII sunt consacrate diferitelor metode de analiză efectivă a stabilităţii barei şi structurii de pod cu imperfecţiuni, modalităţilor de abordare simplificată a calculului, toate acestea fiind însoţite de studii de caz, sugestii pentru proiectare, abace etc.

Parcurgând lucrarea putem desprinde o serie de elemente meritorii atât în plan teoretic cât şi în planul propunerii de metodologii şi programe care să permită aplicarea lor în practica de proiectare, care sunt prezentate pe scurt în continuare.

Autorul realizează un studiu teroretic privind calculul de ordinul II şi de stabilitate a unei bare aşezate pe mediu elastic continuu, încărcată numai la capete cu forţe longitudinale, în literatură întâlnindu-se numai o dezvoltare parţială. Autorul completează studiul, arătând că există două grupe de soluţii în funcţie de discriminantul ecuaţiei caracteristice (pozitiv sau negativ) şi întocmeşte un program de calcul care constă în evoluţia valorii discriminantului prin paşi mici de variaţie a parametrului inclus în ecuaţia de stabilitate, până când determinantul se anulează. Desigur algoritmul şi programul alcătuit nu corespund strict cazului unei tălpi de pod nici ca variaţie a forţei axiale, dar pot constitui o orientare asupra ordinului de mărime.

În ceea ce priveşte abaterile şi imperfecţiunile, se selectează câteva tipuri de imperfecţiuni care ar putea fi întâlnite în practică sub o formă care să-i permită autorului să o aleagă pe cea mai periculoasă. De altfel, programul cu elemente finite folosit a evidenţiat faptul că pentru tipurile de tabliere examinate se pun în evidenţă trei semiunde. Urmărind evoluţia în calculul de ordinul II apar, evident, eforturi transversale chiar de la bun început şi în acest caz autorul propune două criterii, unul de limitare a efortului unitar maxim la valoarea σc şi altul de limitare a deplasării maxime. Limitarea la valoarea σc a tensiunii maxime se bazează pe faptul că de fapt aceasta ajunge să se realizeze într-o singură secţiune şi într-un singur punct. Evident, această limitare asigură faptul că elementul studiat este în întregime în domeniul elastic.

S-ar putea pune întrebarea ce se întâmplă după aceasta situaţie dar aceasta constituie o altă problemă: calculul neliniar geometric şi fizic care depăşeşte cu mult conţinutul volumului de faţă.

Era de aşteptat ca luând în considerare influenţa excentricităţilor, limitarea de mai sus să conducă la scăderi ale raportului dintre sarcina limită şi cea de exploatare, dar în orice caz în toate exemplele studiate nu s-a ajuns la valori neacceptabile.

Autorul arată că în anumite situaţii problema limitării deplasării maxime este mai restrictivă decât cea a limitării efortului unitar.

În considerarea tălpii superioare ca o grindă aşezată pe reazeme elastice laterale discrete, reazeme care să simuleze aportul adus de cadrul transversal (montanţi şi antretoaze), autorul aduce o contribuţie luând în considerare şi diagonalele, dacă sunt prezente, la nodul respectiv. În plus ia în considerare şi rigiditatea la torsiune a unor elemente, fapt care apropie rezultatele şi mai mult faţă de situaţia de referinţă obţinută prin program.

Autorul sesizează o anumită imperfecţiune a modelului şi anume: în calculul de stabilitate şi de ordinul II intervin deplasările longitudinale ale tălpii. Coroborând acest lucru cu existenţa unor penduli elastici de simulare rezultă că orientarea acestor pendului se schimbă şi forţele lor axiale intervin ca forţe parazitare longitudinale în grindă. Pe scurt, aceşti pendului dacă sunt scurţi, devin un fel de

frână mărind artificial forţa critică. Pentru înlăturarea acestui neajuns, autorul face câteva teste prin utilizarea unei lungimi mai mari a pendulilor (dar cu acelaşi răspuns elastic). Din aceste testări rezultă că mărind lungimea lor, rezultatul se apropie de cel de referinţă.

Autorul, utilizând programul LUSAS, constată că rezultatele sunt diferite dar nu cu procente însemnate. Pe baza structurilor studiate, autorul propune introducerea unui factor de ajustare. Acest factor exprimă de fapt că modelarea este dificil de făcut pentru structura spaţială ca grindă izolată. Modelarea este dificilă deoarece talpa superioară are o comportare mai complexă, face parte dintr- o structură complexă, are şi deplasări verticale şi este prezentă şi solicitarea la torsiune. Aceste elemente de diferenţiere fac necesară introducerea factorului de corecţie. Introducerea modelului simplificat este utilă pentru a studia rapid structurile, în diferite variante, în faza de proiectare.

O observaţie interesantă care rezultă din lucrare este aceea că dispunerea imperfecţiunilor la cele două tălpi superioare în aceeaşi parte este mai periculoasă decât cea simetrică. Concluzia este oarecum contrară cu intuiţia dar la o examinare mai atentă se dovedeşte că dispunerea în acelaşi sens a imperfecţiunilor (adică nesimetric) constituie o situaţie mai agravantă, deoarece se ia în considerare şi deplasarea de ansamblu la care se adună şi fenomenul de ordinul II la tălpi.

Lucrarea de faţă constituie o continuare mai veche a preocupărilor autorului materializată şi în teza de doctorat, dar aducând, faţă de aceasta, contribuţii teoretice însemnate, mai ales în aplicarea metodei elementelor finite la studiul stabilităţii.

Volumul aduce pe lângă elementele teoretice adâncite, programe şi metodologii noi şi originale pentru aplicarea în practica de proiectare a podurilor metalice.

Prof.univ.consultant.dr.ing. Nicolai ŢOPA

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE C U P R I N S I. INTRODUCERE 1

II. SCHEMATIZAREA FENOMENELOR DE INSTABILITATE 6

II.1 SCHEMATIZAREA STRUCTURILOR 6

II.1.1 Structuri continue, structuri discrete 8

II.1.2 Structuri reale, structuri ideale 8

II.1.3 Structuri cu comportare elastică, structuri cu comportare inelastică 10

II.2 SCHEMATIZAREA ACŢIUNILOR 12

II.2.1 Acţiuni statice şi dinamice 12

II.2.2 Acţiuni conservative şi neconservative 13

II.2.3 Acţiuni uni- şi multiparametrice 15

II.3 SCHEMATIZAREA COMPORTĂRII STRUCTURILOR 15

II.3.1 Comportarea precritică 17

II.3.2 Comportarea critică 18

II.3.3 Comportarea postcritică 23

III. CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL STRUCTURILOR 26

III.1 GENERALITĂŢI 26

III.2 TIPURI DE CALCUL DE ORDINUL II 27

III.3 CALCULUL DE ORDINUL II GEOMETRIC NELINIAR 32

III.3.1 Speficul calculului geometric neliniar 32

III.3.2 Suprapunerea efectelor în calculul geometric neliniar 36

III.4 CALCULUL DE STABILITATE 37

III.4.1 Specificul calculului de stabilitate 37

III.4.2 Metode pentru determinarea încărcării critice 43

III.4.2.1 Metoda energetică 43

III.4.2.2 Câtul Rayleigh 45

III.4.2.3 Câtul Timoshenko 47

III.4.2.4 Metoda variaţională Rayleigh-Ritz 48

I

CUPRINS

III.4.2.5 Metoda variaţională Galerkin 50

III.4.2.6 Metoda aproximaţiilor succesive 51

III.5 CALCULUL STRUCTURILOR PRIN METODELE GENERALE 52

III.5.1 Metoda eforturilor 56

III.5.2 Metoda deplasărilor 58

IV. CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE 62

IV.1 CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI CU IMPERFECŢIUNI 62

IV.1.1 Bara cu mici curburi iniţiale 62

IV.1.2 Bara comprimată excentric 63

IV.1.3 Bara cu mici încărcări transversale accidentale 65

IV.2 BARA SIMPLU REZEMATĂ CU IMPERFECŢIUNI. PROBLEMA LIMITĂRILOR ÎN CALCULUL DE ORDINUL II 67

IV.2.1 Stabilirea limitei de comportament elastic 67

IV.2.2 Consideraţii privind comportarea post-elastică 73

IV.2.3 Condiţionări de deformabilitate 77

IV.3 STABILITATEA BARELOR PE MEDIU ELASTIC 79

IV.3.1 Statica de ordinul II a barei comprimate aşezată pe mediu elastic 79

IV.3.1.1 Determinarea încărcării critice prin metoda energetică 85

IV.3.1.2 Program de calcul pentru determinarea valorii încărcării

critice 88

IV.3.2 Statica de ordinul II a barei comprimate cu imperfecţiuni aşezată pe mediu elastic 95

IV.3.2.1 Determinarea încărcării critice 95

IV.3.2.2 Model simplificat de abordare cu I=Iech 97

IV.3.2.3 Program de calcul pentru determinarea valorii încărcării

critice 101

II

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE V. PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL

PODURILOR METALICE 104 V.1 GENERALITĂŢI 104

V.2 CURBELE EUROPENE DE FLAMBAJ 109

V.2.1 Bazele experimentale ale curbelor europene de flambaj 109

V.2.2 Bazele teoretice ale curbelor europene de flambaj 112

V.2.3 Adoptarea celor patru curbe de flambaj 122

V.3 PRESCRIPŢII NAŢIONALE ŞI EUROPENE PRIVIND VERIFICAREA LA FLAMBAJ A ELEMENTELOR STRUCTURILOR DE PODURI METALICE 125

V.4 PRESCRIPŢII NAŢIONALE ŞI EUROPENE PRIVIND FLAMBAJUL LATERAL AL TĂLPILOR COMPRIMATE LA PODURILE METALICE CU GRINZI CU ZĂBRELE 133

VI. IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE ŞI INFLUENŢA LOR ASUPRA STABILITĂŢII PODURILOR METALICE 142

VI.1 GENERALITĂŢI 142

VI.2 IMPERFECŢIUNI GEOMETRICE 143

VI.2.1 Imperfecţiuni ale secţiunilor sudate 143

VI.2.2 Originea imperfecţiunilor geometrice 150

VI.2.3 Prevenirea defectelor de planeitate 152

VI.2.4 Verificarea elementelor structurale cu imperfecţiuni 157

VI.2.4.1 Stâlpi comprimaţi 157

VI.2.4.2 Grinzi 159

VI.2.4.3 Grinzi-coloane 160

VI.3 TENSIUNI REZIDUALE LA SECTIUNILE SUDATE 163

VI.3.1 Distribuţia tensiunilor reziduale 165

VI.3.2 Influenţa tensiunilor reziduale asupra capacităţii portante a barelor comprimate 168

VI.4 INFLUENŢA IMPERFECŢIUNILOR ASUPRA COMPORTĂRII ELEMENTELOR STRUCTURALE 171

III

CUPRINS VII. ANALIZA CU ELEMENTE FINITE A STABILITĂŢII GENERALE A PODURILOR METALICE 182

VII.1 GENERALITĂŢI 182

VII.2 FORMULĂRI MATEMATICE UTILIZATE ÎN METODA ELEMENTELOR FINITE 183

VII.3 EFORTURI UNITARE ŞI DEFORMAŢII, EFORTURI ŞI DEPLASĂRI ÎN CALCULUL GEOMETRIC NELINIAR 189

VII.4 CALCULUL GEOMETRIC NELINIAR UTILIZÂND METODA ELEMENTELOR FINITE 195

VII.4.1 Formularea directă (matricea de rigiditate secantă) 197

VII.4.2 Formularea incrementală (matricea de rigiditate tangentă) 200

VII.5 METODE DETERMINARE A SOLUŢIEI ÎN CALCULUL GEOMETRIC NELINIAR 203

VII.5.1 Metoda pur incrementală 204

VII.5.2 Metoda Newton-Raphson 207

VII.5.3 Metoda controlului deplasării 210

VII.5.4 Metoda lungimii arcului 212

VII.5.5 Metoda controlului energiei 214

VII.6 ANALIZA DE STABILITATE UTILIZÂND METODA ELEMENTELOR FINITE 216

VII.7 ANALIZA GEOMETRIC NELINIARĂ ŞI DE STABILITATE A PODURILOR METALICE CU GRINZI CU ZĂBRELE 218

VII.7.1 Prezentarea structurilor analizate 218

VII.7.2 Tipuri de elemente finite utilizate în analiză 226

VII.7.3 Necesitatea unei analize geometric neliniare 234

VII.7.4 Determinarea încărcării critice de flambaj a tălpii comprimate 239

VII.7.5 Modalităţi de considerare în modelare a imperfecţiunilor geometrice 245

VII.7.5.1 Influenţa formei imperfecţiunii asupra stabilităţii tălpii

comprimate 245

VII.7.5.2 Influenţa mărimii imperfecţiunii asupra stabilităţii tălpii

comprimate 258

IV

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE

VII.7.5.3 Influenţa variaţiei înălţimii grinzilor principale asupra

stabilităţii tălpii comprimate 264

VII.7.5.4 Efectul prezenţei ranforţilor cadrelor transversale

asupra stabilităţii tălpii comprimate 270

VII.7.5.5 Influenţa tipului de contravântuire superioară asupra

stabilităţii tălpii comprimate 275

VII.7.5.6 Influenţa imperfecţiunilor tălpii inferioare asupra

stabilităţii tălpii superioare 281

VIII. ANALIZA SIMPLIFICATĂ A STABILITĂŢII GENERALE LA PODURILE CU GRINZI CU ZĂBRELE 286

VIII.1 GENERALITĂŢI 286

VIII.2 MODELE SIMPLICATE DE CALCUL EXISTENTE ÎN LITERATURA DE SPECIALITATE 289

VIII.2.1 Prezentarea problemei. Sisteme statice utilizate 289

VIII.2.2 Calculul tălpilor comprimate cu rezemare elastică 293

VIII.2.3 Determinarea practică a încărcării critice 302

VIII.3 MODEL SIMPLIFICAT DE CALCUL PROPUS 307

VIII.3.1 Prezentarea modelului 309

VIII.3.2 Analiza comparativă model simplificat-model spaţial 316

VIII.3.3 Considerarea comportării neliniare a materialului 327

VIII.3.4 Abace de calcul 335

Bibliografie 345

Anexa

V


1

INTRODUCERE

Evoluţia societăţii omeneşti de-a lungul timpului s-a materializat şi în

domeniul construcţiilor, prin realizarea unor structuri cu destinaţii, forme şi

alcătuiri diverse (construcţii civile, industriale, construcţii pentru infrastructura

transporturilor, pentru instalaţii aeroportuare etc.). Complexitatea de alcătuire a

structurilor de rezistenţă a crescut odată cu dezvoltarea noilor metode de analiză

şi calcul, dar şi a introducerii unor noi tehnologii de execuţie.

În general, stabilirea soluţiei de proiectare a unei structuri are la bază

conceptele de siguranţă în exploatare sub încărcări exterioare, de simplitate în

execuţie şi de economicitate. Siguranţa în exploatare se bazează de fapt pe

analiza aprofundată a fenomenelor care generează răspunsul unei structuri pe

perioada ei de exploatare. Cunoaşterea răspunsului structurii presupune

stăpânirea în detaliu a legilor de comportare a materialelor din care este realizată

structura, dar şi a modalităţilor în care elementele structurale, în diverse stadii de

solicitare, răspund acţiunilor exterioare. Modul în care este cunoscut şi interpretat

răspunsul unei structuri în diverse etape ale exploatării influenţează decisiv

măsurile ce trebuie întreprinse pentru a asigura o exploatare viitoare în

siguranţă. Interpretarea răspunsului poate fi făcută fie calitativ, situaţie bazată în

exclusivitate pe observarea vizuală a unor parametri (deformaţii sau deplasări

excesive, fisuri ale materialului sau modificări ale geometriei elementelor

structurale), dar şi cantitativ, după evaluarea nivelului solicitărilor secţionale şi

deplasărilor diverselor puncte, apărute în fiecare element din structură, într-o

anumită ipoteză de încărcare. În practica curentă de proiectare, în ambele

situaţii, prin limitarea deformaţiilor elastice la valori admisibile menţionate în

norme, cât şi prin menţinerea valorilor eforturilor secţionale în anumite limite se

obţin rezultate bune.

CAPITOLUL I INTRODUCERE

2

Răspunsul unei structuri de rezistenţă sub acţiunea încărcărilor exterioare

presupune stabilirea unor modele matematice teoretice de comportare pentru

fenomenele fizice reale. Aceste modele matematice pot evolua de la forme foarte

simple, rezolvabile utilizând mijloace elementare de calcul şi un număr suficient

de restrâns de operaţii, la unele foarte complexe ce necesită un volum mare de

calcule, de cele mai multe ori fiind indispensabil apelul la metode numerice de

rezolvare şi la calculatoarele electronice. Totuşi, de cele mai multe ori, chiar dacă

modelul matematic ales este suficient de elaborat, răpsunsul structurii nu poate fi

evaluat cu exactitate datorită complexităţii fenomenelor fizice reale din natură. De

aceea, în problemele inginereşti, se porneşte de regulă de la modele matematice

simple, ce pot modela cu un anumit grad de acurateţe fenomenul studiat, iar după

interpretarea rezultatelor modelul ales poate fi extins şi îmbunătăţit introducându-se în

studiu alţi parametri.

Un model matematic de calcul pentru un anumit tip de analiză este eficient

atunci când el conduce la soluţia problemei cu un anumit grad de precizie şi cu

costuri minime din punct de vedere al calculelor şi timpului afectat. Siguranţa

unui model matematic ales rezidă în aceea că soluţia problemei analizate poate

fi estimată cu gradul de precizie dorit, ca o măsură a complexităţii modelului.

În decursul timpului s-au utilizat diferite modalităţi de schematizare a

comportării structurilor de rezistenţă, utilizând numeroase tipuri de modele

matematice. Cele mai simple dintre acestea considerau că structurile se

comportă liniar, răspunsul obţinut fiind de multe ori de partea siguranţei. Există

totuşi şi situaţii în care modelele matematice cu formulare liniară nu surprind

corect fenomenele reale apărute, fiind necesară considerarea în analiză a unor

parametri suplimentari.

În prezent, în domeniul construcţiilor metalice în general şi în cel al podurilor

metalice în particular, există tendinţa de a se realiza elemente structurale cu

dimensiuni tot mai mari fără însă a se aduce prejudicii importante din punct de

vedere al costurilor. Acest lucru implică două aspecte şi anume: pe de-o parte

îmbunătăţirea semnificativă a caracteristicilor mecanice ale materialului, iar pe de


3

altă parte eliminarea pe cât posibil din procesele de fabricaţie şi montaj a

imperfecţiunilor de execuţie. Îmbunătăţirea caracteristicilor mecanice ale

materialelor, în speţă ale oţelurilor carbon aliate, conduce la tendinţa utilizării

unor elemente structurale cu secţiuni transversale având dimensiuni mai reduse

şi deci având rigidităţi mai mici odată cu creşterea coeficienţilor de zvelteţe. Toţi

aceşti factori concură la posibilitatea apariţiei fenomenelor de instabilitate

(flambajul barelor comprimate, voalarea tolelor subţiri), în special pentru

elementele structurale puternic comprimate.

De-a lungul timpului, ca urmare a necunoaşterii suficiente a fenomenelor de

pierdere a stabilităţii şi a factorilor care le influenţează, s-au produs o serie de

accidente majore, mai ales în domeniul podurilor metalice, soldate de cele mai

multe ori cu pierderi de vieţi omeneşti şi cu însemnate pagube materiale. Merită

amintite aici accidentele produse la turnurile de răcire din Ferrybridge şi Ardeer

din Anglia, la cupola sălii de expoziţie din Bucureşti, la podurile metalice peste

Dunăre la Viena, Mildford Heaven din Anglia, West Gate Bridge din Melbourne şi

a podului peste Rhin la Koblenz. Toate aceste accidente au influenţat concepţia

ulterioară a structurilor de rezistenţă prin considerarea în analizele de

dimensionare, a fenomenelor de flambaj, respectiv voalare şi au impulsionat

cerectările în domeniu.

În modelarea fizică a fenomenului de flambaj al barelor drepte există două

teorii fundamentale şi anume : teoria bifurcării echilibrului, respectiv teoria

divergenţei echilibrului. Prima teorie are la bază studiile toretice şi practice

întreprinse de Leonhard Euler cu privire la flambajul barei drepte şi are la bază o

serie de ipoteze simplificatoare referitoare la materialul şi geometria barei, cât şi

la condiţiile de rezemare. Analizarea stabilităţii structurilor pe baza conceptului

eulerian de stabilitate a fost satisfăcătoare până la apariţia unor accidente, cum

au fost cele de la podul de cale ferată de la Mönchenstein din anul 1891 şi a

podului de pe fluviul Sf. Laurenţiu din Canada. În prima situaţie, accidentul a

scos în evidenţă diferenţa între bara ideală studiată de Euler şi bara reală din

structură, în a doua situaţie evidenţiindu-se efectul forţei tăietoare asupra

CAPITOLUL I INTRODUCERE

4

flambajului barelor cu secţiune compusă. În urma acestor evenimente s-a ajuns

la concluzia că analizarea stabilităţii structurilor utilizând teoria lui Euler şi

modelul bifurcării echilibrului este nesatisfăcătoare.

Modelul divergenţei echilibrului, cunoscut şi sub denumirea de limitare a

echilibrului este mai cuprinzător şi poate oferi rezultate mai apropiate de realitate

în studiul flambajului barelor. Limitarea în acest model poate surveni, fie în

domeniul post-elastic, ca urmare a alterării caracteristicilor materialului

(plastifiere parţială sau totală a secţiunii elementelor structurale), fie în

domeniul elastic, ca urmare a modificării semnificative a geometriei axei

elementului structural. Abordarea fenomenului de flambaj al barelor utilizând

metoda divergenţei echilibrului este mai realistă, întrucât se pot include atât în

comportarea fizică, cât şi în formularea matematică diferitele imperfecţiuni ce pot

apărea în procesele de fabricaţie şi montaj ale diverselor elemente structurale

(profile laminate, grinzi sudate sau îmbinări ale acestora în cadrul unei structuri).

Totuşi, numărul mare de tipuri de imperfecţiuni posibile în procesele tehnologice

de execuţie şi montaj face practic imposibilă stabilirea unor modele matematice

de comportare universal valabile pentru studiul flambajului barelor şi necesită

mai degrabă o tratare probabilistă. Mai mult, pentru structurile reale

tridimensionale alcătuite din bare, deformata elementului structural afectat de

imperfecţiuni este spaţială, pe lângă componenta din încovoiere apărând şi o

componentă rezultată din torsiune.

Recent au apărut şi au fost dezvoltate concepte noi privind comportarea

critică şi postcritică la stabilitate a structurilor. Potrivit acestor noi concepte,

comportarea structurii poate fi estimată şi după producerea fenomenelor de

pierdere a stabilităţii, prin analizarea unor forme cuplate de instabilitate rezultate

în urma unor bifurcări instabile foarte sensibile la prezenţa imperfecţiunilor.

Imperfecţiunile apărute la elementele structurilor metalice realizate pe cale

industrială pot fi geometrice, constând în abateri de la forma perfectă a

elementului atât în sens longitudinal, cât şi transversal, dar şi mecanice sau de


5

material, ce se manifestă în structura materialului şi determină comportarea

necorespunzătoare acestuia.

Pornind de la premiza că imperfecţiunile de execuţie nu pot fi total eliminate,

mai ales datorită proceselor tehnologice complexe de fabricare a elementelor

structurilor metalice (laminare, sudare, tratamente termice), s-a propus limitarea

mărimii imperfecţiunilor geometrice, la anumite valori prezente în codurile de

proiectare, valori numite toleranţe de execuţie. În ceea ce priveşte imperfecţiunile

mecanice ce pot apărea ca urmare a proceselor tehnologice de sudare sau a

tratamentelor termice a profilelor laminate, ele pot consta în prezenţa tensiunilor

reziduale, a căror formă şi distribuţie sunt greu de stabilit şi deci greu de

cuantificat prin valori în normele de proiectare. Este clar faptul că fiecare dintre

cele două tipuri de imperfecţiuni influenţează defavorabil comportarea la

stabilitate a elementelor structurilor metalice. Totuşi, în anumite situaţii de

solicitare, pentru structuri complexe, efectul defavorabil al unuia dintre tipurile de

imperfecţiuni amintite anterior poate fi diminuat de prezenţa celuilalt tip de

imperfecţiune.

Evoluţia tehnicii de calcul prin apariţia calculatoarelor şi metodelor

numerice, dublată de dezvoltarea şi implementarea unor tehnici de calcul neliniar

al structurilor, fac posibilă în prezent analizarea fenomenelor de instabilitate a

structurilor cu considerarea imperfecţiunilor de execuţie. Normele europene

recomandă efectuarea şi a unor calcule de ordinul II pentru proiectarea şi

verificarea structurilor metalice de poduri.

Pornind de la aceste considerente, obiectivele lucrării de faţă sunt de a

demonstra şi cuantifica într-o oarecare măsură influenţa imperfecţiunilor

geometrice de execuţie asupra stabilităţii şi calculului de ordinul II al structurilor

metalice de poduri. Aspectele teoretice sunt dublate de o serie de exemple,

analizate utilizând metoda elementelor finite, al căror obiect de studiu au fost

câteva tabliere de poduri metalice cu grinzi cu zăbrele cale jos. Pentru aceste

structuri a fost analizată influenţa imperfecţiunilor geometrice, dar şi a altor

parametri, asupra stabilităţii generale a tălpii comprimate.

CAPITOLUL II SCHEMATIZAREA FENOMENELOR DE INSTABILITATE

6

SCHEMATIZAREA FENOMENELOR DE INSTABILITATE

II.1 SCHEMATIZAREA STRUCTURILOR

În general, analiza comportării structurilor de rezistenţă are la bază

stabilirea unor modele teoretice de calcul. Indiferent de gradul de complexitate al

acestor modele, ele se alcătuiesc pe baza formei şi dimensiunilor generale reale

ale structurii ce constituie schema geometrică, pe baza rezemărilor structurii la

teren (interacţiunea structură-teren), pe baza unor legi constitutive de comportare

a materialului (comportare elastică, post-elastică, plastică) din care este alcătuită

structura şi în fine, pe baza modelării acţiunilor exterioare ce o solicită, acţiuni

care pot fi încărcări sau deplasări impuse (forţe statice, dinamice de tip şoc, forţe

de inerţie ca urmare a mişcării bazei de rezemare, cedări de reazeme, deformaţii

din variaţii de temperatură etc.).

Acurateţea rezultatelor obţinute în urma analizelor efectuate asupra unei

structuri depind, desigur, de exactitatea şi complexitatea modelelor teoretice

de calcul alese pentru modelarea tuturor factorilor ce influenţează răspunsul

structurii. În general, în practică, se adoptă în faza iniţială de proiectare modele

simplificate de calcul şi experimentale, pentru a obţine informaţii generale privind

comportarea structurii sub acţiunea încărcărilor considerate. Pe măsură ce

influenţa anumitor parametri asupra comportării structurii este intuită, se poate

trece gradual la introducerea acestora în studiu, modelul iniţial devenind din ce în

ce mai complex.

Totuşi, indiferent de complexitatea modelelor alese, datorită numărului mare

de factori existenţi în natură, ce influenţează comportarea structurilor de

rezistenţă, modelele au de cele mai multe ori un caracter punctiform, discret, ele

conducând la un răspuns al structurii ce diferă de cel real. Este evident că prin


7

metodele de studiu adoptate se urmăreşte apropierea într-o cât mai mare masură

de răspunsul real al structurii. Gradul de siguranţă obţinut în vederea exploatării în

siguranţă a unei structuri depinde în mod direct de gradul de aproximare acceptat

în studiu. Un model simplificat de studiu al răspunsului unei structuri considerând

parametri principali ce-l influenţează este arătat în figura II.1.

ACTIUNI EXTERIOARE

STRUCTURA

TEREN

LEGATURI(REZEMARI)

MODEL DE CALCUL=SCHEMA GEOMETRICA + LEGI CONSTITUTIVE

MODELAREA INCARCARII

MODELAREA STRUCTURII

MODELAREA INTERACTIUNIISTRUCTURA-TEREN

MODELAREA REZEMARILOR

RESORTURI ELASTICE

σ

ε

σ

ε

COMPORTAREA STRUCTURII

RASPUNSUL STRUCTURII

Figura II.1


8

II.1.1 Structuri continui, structuri discrete

În realitate o structură fizică este formată dintr-o infinitate de puncte

materiale răspândite în întregul ei volum, legate între ele prin forţe de

interacţiune. O astfel de structură se numeşte continuă. În elaborarea modelului

de calcul este imposibil să se ţină seama de toate legăturile între punctele

materiale care definesc structura şi chiar dacă acest lucru ar fi posibil, modelul

rezultat nu ar putea fi analizat datorită complexităţii sale. Prin urmare, aşa cum s-a

precizat anterior, structura continuă este simplificată, presupunându-se că ea

este subdivizată într-o serie de elemente izolate, rezultând o structură discretă.

Descrierea poziţiei deformate a unei structuri continui necesită un număr infinit

de grade de liberate, deoarece poziţia deformată a structurii este definită de

poziţia în spaţiu, într-un sistem de coordonate la care s-a făcut raportarea, a

fiecărui punct din structură. De regulă, rezolvarea unei astfel de probleme se

poate face prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale soluţia fiind analitică. În cazul

unei structuri discrete este suficient să se cunoască deplasările nodurilor pentru

a descrie deformata întregii structuri, în acest caz numărul gradelor de libertate

fiind limitat. Procesul prin care se trece de la o structură continuă la una discretă

se numeşte discretizare. Convenabil a fi utilizate pentru structuri discrete sunt

metodele numerice de calcul, între care metoda elementelor finite se evidenţiază

ca fiind una dintre cele care conduce la rezultate dintre cele mai bune. În

metoda elementelor finite, elementele ce înlocuiesc structura continuă analizată

pot fi unidimensionale (bare drepte sau curbe), bidimensionale (plăci, şaibe) sau

tridimensionale.

II.1.2 Structuri reale, structuri ideale

Datorită modului de execuţie şi mediului în care este construită şi exploatată

o structură, între structura elaborată şi ceea ce era prevăzut în stadiul de proiect

vor exista anumite nepotriviri. Erorile de construcţie ce conduc la comportări ale


9

structurii neconforme cu cele existente în stadiul de proiect poartă denumirea de

imperfecţiuni. Acestea au un rol determinant în studiul comportării unei structuri

şi cu precădere în cazul fenomenelor de pierdere a stabilităţii structurilor.

Structurile afectate de imperfecţiuni sunt structurile reale. În evaluarea

răspunsului structurilor sub acţiunea diferitelor tipuri de încărcări, un element

deosebit de important este cel al schematizării modului de comportare al

structurii reale prin considerarea diferitelor tipuri de imperfecţiuni. În cazul în care

imperfecţiunile apărute în procesele de elaborare ale diferitelor elemente

structurale nu sunt considerate, structura este numită ideală. Comportarea

structurii reale se poate stabili, de multe ori acoperitor, după evaluarea

răspunsului structurii ideale, ţinând seama de mărimea imperfecţiunilor şi

limitarea valorilor acestora atât în procesele de execuţie, cât şi în condiţiile de

exploatare.

Imperfecţiunile apărute la execuţia unei structuri ce pot afecta gradul de

stabilitate al structurii se împart, de regulă, în două categorii:

- imperfecţiuni geometrice, care diferă în funcţie de tehnologia de execuţie,

şi pot fi de natura unor abateri de la forma rectilinie a axei barei, aplicarea

excentrică a încărcării pe bară datorită unor erori de montaj sau apariţia

accidentală a unor sarcini perturbatoare a stării de echilibru

- imperfecţiuni mecanice (sau de structură), care se referă la modificarea

caracteristicilor materialului. Aceasta poate fi rezultatul proceselor complexe de

elaborare (răciri bruşte sau tratamente termice ale profilelor laminate, procese

de sudare) şi se manifestă sub forma tensiunilor reziduale sau poate apărea în

exploatare ca efect al deformaţiilor peste limitele admise ale elementelor

structurale sau structurii în ansamblu, când se atinge limita de curgere a

materialului într-un punct al secţiunii transversale. .

Normele de calcul şi proiectare ale structurilor metalice aflate în vigoare în

diferite ţări [102], [103], [104], [106], [107], [111] prevăd toleranţe de execuţie

pentru diferite tipuri de imperfecţiuni ce pot apărea în decursul elaborării pe cale

industrială a elementelor componente ale unei structuri.


10

II.1.3 Structuri cu comportare elastică, structuri cu comportare inelastică

Caracteristicile fizico-mecanice ale materialului din care sunt alcătuite

structurile au o importanţă majoră în ceea ce priveşte comportarea şi răspunsul

structurii sub sarcini. De regulă aceste caracteristici sunt evidenţiate de curba

caracteristică a materialului determinată pe cale experimentală. În general, în

modelele de calcul adoptate, pornind de la curba caracteristică şi utilizând

principiile rezistenţei materialelor şi teoriei elasticităţii sunt utilizate legi

constitutive pentru fiecare tip de comportare a materialului (elastic, elasto-plastic,

plastic, vâscos), iar curbele caracteristice se schematizează.

Atunci când pentru studiul unei structuri se iau în considerare numai

eforturile unitare şi deformaţiile specifice în domeniul elastic structura se

comportă elastic, iar pierderea de stabilitate se produce tot în domeniul elastic.

Dacă însă se iau în considerare şi deformaţiile plastice, atunci structura este

considerată inelastică, iar instabilitatea ei va fi numită inelastică. La rândul lor

deformaţiile elastice por fi liniare, când se acceptă ca universal valabilă legea lui

HOOKE sau neliniare. În ambele situaţii, după aplicarea sarcinilor pe structură şi

înlăturarea acestora, descărcarea va urma acelaşi traseu, în curba caracteristică,

ca şi la încărcare (Fig. II.2a şi b).

În cazul deformaţiilor plastice există mai multe moduri de schematizare a

comportării materialului: ideal-plastice (Fig. II.2c), ideal elasto-plastice (Fig. II.2d),

ideal elasto-plastice cu zonă de consolidare liniară (Fig. II.2e), ideal elasto-

plastice cu zonă de consolidare neliniară (Fig. II.2f) şi elasto-plastice cu variaţie

neliniară pe tot domeniul (Fig. II.2g).

Deformaţiile specifice de tip vâscos sunt studiate de ştiinţa numită reologie

şi se produc de regulă în timp, valorile lor putând creşte până la un anumit nivel,

apoi menţinându-se constante, dar există şi situaţii în care valorile deformaţiilor

se accentuează în timp. Se vorbeşte în aceste situaţii de deformaţii specifice

vâscoase amortizate (Fig. II.3a), respectiv neamortizate (Fig. II.3b).


11

În cazul structurilor metalice nu apar deformaţii specifice de tip vâscos, însă

pentru evidenţierea modului de comportare al materialului, acestea au fost

amintite aici numai cu titlu de informaţie.

a) b) c)

d) e)

f) g)

Figura II.2


12

a) b)

Figura II.3

II.2 SCHEMATIZAREA ACŢIUNILOR II.2.1 Acţiuni statice şi dinamice

Pe toată perioada de serviciu o structură de pod este supusă unor acţiuni

exterioare asimilate ca încărcări. Complexitatea în manifestare a acestor

încărcări, ar face practic imposibil de apreciat răspunsul structural, ca urmare a

acţiunii lor pe structura, motiv pentru care în analiza structurilor de rezistenţă se

face apel la diferite scheme de încărcare care să modeleze cât mai fidel efectul

încărcărilor considerate. Încărcările sunt considerate statice, respectiv dinamice,

în funcţie de modul în care acestea se manifestă pe structură. În situaţia în care

încărcarea variază lent de la valoarea zero la valoarea ei normată finală,

creşterea încărcării este proporţională cu intervalul de timp în care aceasta s-a

produs, în această situaţie încărcarea fiind denumită statică. Dacă încărcările

(forţele) aplicate pe structură evoluează într-un interval scurt de timp de la

valoarea zero la valoarea finală, atunci pe structură apar forţe de inerţie ce nu

pot fi neglijate şi în acest caz încarcarea este denumită dinamică. În cazul

structurilor de poduri încărcări considerate ca fiind aplicate static sunt greutatea

prorpie a structurii de rezistenţă, suprasarcinile permanente (greutatea căii şi a

instalaţiilor de pe pod), forţele de frânare, de şerpuire, forţele rezultate din

fenomenele de contracţie şi curgere lentă (pentru structuri din beton), forţele


13

rezultate din variaţii de temperatură sezoniere sau anuale. Pe de altă parte,

încărcările provenite din acţiunea vehiculelor care circulă pe structură, din

acţiunea vântului, din acţiunea seismică, forţele provenite din izbirea anumitor

elemente structurale de către vehicule se consideră ca fiind aplicate dinamic. În

cazul podurilor de deschideri mari, se urmăreşte realizarea unor suprastructuri

de greutate mică, zvelte, rigiditatea lor diminuându-se considerabil. În aceste

situaţii perioadele proprii de vibraţie cresc şi încărcările dinamice pot influenţa

semnificativ apariţia fenomenelor de pierdere a stabilităţii de care trebuie ţinut

seama în procesul de proiectare. În figurile II.4 a şi b sunt reprezentate

schematic o încarcare de tip static, respectiv una de tip dinamic.

a) b)

Figura II. 4

II.2.2 Acţiuni conservative şi neconservative

În cazul fenomenelor de instabilitate, pe măsură ce structura se

deformează, dacă forţele ce acţionează pe structură nu-şi schimbă poziţia şi

mărimea, atunci ele pot fi considerate conservative (Fig. II.5a). Din punct de

vedere pur matematic se spune că aceste forţe provin dintr-un potenţial, iar cel

mai simplu exemplu îl constituie greutatea proprie a unei structuri ce nu-şi

modifică nici orientarea şi nici mărimea indiferent de nivelul de deformare al


14

structurii. Există însă situaţii în care forţele îşi modifică mărimea chiar dacă

orientarea acestora în raport cu structura nu se schimbă.

De regulă fenomenele de instabilitate produse de forţe conservative se

pot studia prin minimizarea energiei potenţiale a structurii.

În cazul în care forţele îşi modifică poziţia pe parcursul deformării structurii,

ele se numesc neconservative (Fig. II.5b) şi nu provin dintr-un potenţial. Un

exemplu pentru această situaţie îl constituie flambajul general al tălpii superioare

comprimate a unui pod cu grinzi cu zăbrele. Pe măsură ce talpa îşi pierde

stabilitatea, forţa axială îşi modifică permanent orientarea, urmărind axa

longitudinală a tălpii ce devine tot mai curbă ca urmare a încovoierii.

a)

Forţe axiale în talpă

b) Figura II. 5


15

II.2.3 Acţiuni uni- şi multiparametrice

O structură de pod se află în exploatare sub influenţa unor acţiuni exterioare

care pot avea aceeaşi lege de variaţie în timp sau legi de variaţie diferite,

indiferent dacă este vorba despre încărcări statice sau dinamice. În cazul în care

valorile tuturor încărcărilor ce solicită structura cresc monoton de la valoarea

zero la valori normate maxime, atunci acţiunile cărora le corespund încărcările se

numesc uniparametrice.

De regulă însă acţiunile ce apar pe durata de exploatare a unui pod sunt

complexe şi variază în timp după legi total diferite. Astfel, greutatea proprie a

structurii de rezistenţă are valoare constantă indiferent de momentul la care se

măsoară, prin comparaţie cu încărcările date de convoaiele rutiere sau feroviare

care au un caracter aleator sau cu forţele de frânare produse de vehicule,

respectiv forţele generate de acţiunea vântului. Acţiunile corespunzătoare

încărcărilor ce sunt definite prin mai multe legi de variaţie, diferite în timp, se

numesc multiparametrice.

II.3 SCHEMATIZAREA COMPORTĂRII STRUCTURILOR

În general, sub acţiunea încărcărilor exterioare, răspunsul unei structuri de

rezistenţă se manifestă diferit în funcţie de o serie de factori: valoarea

încărcărilor şi poziţia acestora pe structură, geometria structurii incluzând sau nu

deformaţii iniţiale, caracteristicile şi legile ce guvernează comportarea

materialului din care sunt realizate elementele componente ale structurii. Toţi

aceşti parametri determină o serie de evenimente în răspunsul structurii, răspuns

ce se materializează în diferite moduri de comportare.

În calculele de ordinul II şi de stabilitate al structurilor, de regulă nivelul

încărcărilor exterioare determină direct modul în care structura răspunde prin

comportarea sa. Acest lucru poate fi pus în evidenţă prin exemplul simplu al unei

bile situate pe o suprafaţă. În cazul în care bila se situează pe o suprafaţă


16

concavă (Fig. II.6a) şi cu ajutorul unei forţe sau unui impuls i se imprimă o

tendinţă de mişcare către oricare din direcţii, bila va oscila în jurul punctului cel

mai de jos al suprafeţei. În această situaţie se spune că echilibrul este stabil.

Dacă dimpotrivă bila se situează pe o suprafaţă convexă, atunci orice mic

impuls sau forţă imprimate bilei vor schimba poziţia acesteia pe suprafaţă, de

această dată însă bila schimbându-şi fundamental poziţia, nemairevenind la

poziţia iniţială. Avem de-a face cu o nouă stare a echilibrului, cel instabil (Fig.

II.6b).

Există însă şi o situaţie intermediară de echilibru reprezentată în figura II.6c,

în care bila se află pe o suprafaţă orizontală. În acest caz, oricât de mare ar fi

impulsul sau forţa imprimată bilei această nu-şi va schimba fundamental poziţia,

rămânând în starea de echilibru indiferent.

a) b) c)

Figura II.6

Analizând cele trei stadii de echilibru prezentate anterior se poate spune că

există un anumit nivel al încărcării aplicate unei structuri pentru care aceasta

trece din starea de echilibru stabil în cea de echilibru instabil, iar aceasta este

numită încărcare critică.

Astfel, dacă încărcările exterioare se situează sub valoarea încărcării critice

structura nu prezintă riscuri din punct de vedere al exploatării. Totuşi, dacă

încărcările pot atinge sau depăşi încărcarea critică, în răspunsul structurii există

trei etape importante: prima etapă, înainte de atingerea valorii încărcării critice,

numită comportarea precritică, etapa a II-a ce defineşte comportarea structurii

când încărcările au valoarea critică, etapă care se numeşte comportare critică şi


17

o ultimă etapă, numită comportare postcritică, în care se manifestă o serie de

fenomene după ce are loc pierderea de stabilitate.

Comportarea statică a structurilor este caracterizată calitativ, în general, prin

trasarea unei curbe încărcare-deplasare, fiecare punct de pe această curbă

reprezentând o configuraţie posibilă a structurii, stabilă, în cazul în care porţiunea

de curbă pe care se găseşte punctul este situată înainte de atingerea valorii

încărcării critice, respectiv instabilă în caz contrar.

În prezent, în procesele de proiectare a structurilor în general, respectiv a

podurilor în particular, cunoaşterea comportării postcritice oferă informaţii

importante privind modul în care structura poate fi exploatată în condiţii de

siguranţă.

II.3.1 Comportarea precritică

Intervalul de timp cuprins între momentul în care încărcările exterioare încep

să se manifeste pe o structură şi momentul atingerii valorii încărcării critice la care

structura poate ieşi din poziţia de echilibru datorită fenomenelor de instabilitate

defineşte comportarea precritică a structurii. În literatura de specialitate curba

încărcare-deplasare ce descrie comportarea structurii în acest domeniu precritic

este cunoscută sub denumirea de cale fundamentală sau primară (curbă primară).

În acest interval de timp, dacă încărcările sunt direct proporţionale cu deplasările pe

care le produc structurii, curba încărcare-deplasare este liniară şi relaţia dintre

deformaţiile specifice şi deplasări este liniară, calculul static al structurii se poate

efectua prin scrierea ecuaţiilor de echilibru pe structura aflată în poziţie

nedeformată, deplasările fiind mici. Se spune că, pentru această situaţie,

comportarea precritică este liniară (Fig. II.7a).

În situaţia în care pe parcursul deformării structurii apar deplasări mari,

încărcările şi deplasările nu mai sunt proporţionale, curba încărcare-deplasare

devine neliniară, iar relaţiile de legătură dintre deformaţiile specifice şi deplasări

sunt liniare sau neliniare, incluzând şi termeni de ordin superior. Ecuaţiile de


18

echilibru ce servesc la calculul static al structurii trebuie scrise pe structura aflată

în poziţie deformată, în acest caz comportarea precritică fiind neliniară (Fig.

II.7b).

a) b)

Figura II.7

II.3.2 Comportarea critică

Analiza fenomenelor de instabilitate care se manifestă asupra unei structuri

implică de fapt calcularea mai multor stadii limită, materializate prin puncte

critice, în vecinătatea cărora rigiditatea de ansamblu a structurii devine zero sau

negativă pentru creşteri mici ale valorilor încărcării peste nivelul încărcării critice.

Aşa cum a postulat Thompson în 1970 [33], un punct critic este definit de

intersecţia a două curbe una primară, precizată anterior, ce defineşte

comportarea precritică a structurii şi o alta secundară (calea secundară), definind

comportarea postcritică, după ce structura şi-a pierdut stabilitatea. În orice punct

critic relaţia dintre încărcarea ce produce fenomenul de instabilitate şi deformaţia

asociată nu este unică, astfel comportarea structurii devenind necontrolabilă sau

doar parţial controlabilă.

Dacă cele două curbe (primară şi secundară) au pante diferite în punctul

critic atunci pierderea stabilităţii are loc prin bifurcarea echilibrului (Fig. II.8a),

punctul critic fiind numit punct de bifurcare. În acestă situaţie curba precritică

poate fi atât liniară, cât şi neliniară. De regulă prima situaţie caracterizează


19

pierderea liniară sau iniţială de stabilitate, ce are loc în domeniul micilor

deplasări, care este mult mai simplă decât pierderea de stabilitate neliniară. În

calculele de proiectare problema stabilităţii liniare este mai cunoscută şi pentru

determinarea valorii încărcării critice este suficientă, în general, o analiză de

determinare a valorilor proprii de pierdere a stabilităţii şi a vectorilor proprii

asociaţi. În cazul pierderii neliniare de stabilitate, stabilirea valorii încărcării critice

pe baza unei analize liniare de valori proprii nu este întotdeauna suficientă,

putând duce chiar la supraprecieri ale valorii încărcării crtitice, întrucât deplasările

fiind mari pe curba precritică, ecuaţiile de echilibru ar trebui exprimate în raport

cu forma deformată a structurii.

Există însă şi situaţia în care curba secundară sau cea care defineşte

comportarea postcritică şi cea primară au în punctul critic aceeaşi pantă, de

regulă egală cu zero (cele două curbe admit aceeaşi tangentă orizontală paralelă

cu axa deplasărilor). Curba postcritică este în fapt o continuare a curbei precritice

în această situaţie, pierderea de stabilitate realizându-se prin limitarea

echilibrului (Fig. II.8b), iar punctul critic este numit punct limită. Dacă pierderea

de stabilitate are loc prin limitare forma liniară a curbei precritice se păstrează

doar pe prima ei porţiune şi pe măsură ce nivelul încărcării creşte, forma

neliniară devine tot mai accentuată.

a) b)

Figura II.8


20

Fenomenele de instabilitate produse prin bifurcare pot fi de mai multe feluri,

aici fiind amintite bifurcarea simplă (simetrică stabilă, simetrică instabilă,

nesimetrică), respectiv bifurcarea simultană (simetrică, dublu-simetrică,

cvasisimultană). În cazul podurilor, în funcţie de modul de alcătuire şi

complexitatea structurii, de cazurile de încărcare, dacă pierderea de stabilitate se

produce prin bifurcare, atunci fenomenul se poate încadra întruna din categoriile

precizate mai sus.

Pierderea stabilităţii prin bifurcare se produce în general la următoarele

tipuri de structuri:

− structurile la care deformata premergătoare fenomenului de pierdere a

stabilităţii diferă de deformata apărută după ce structura şi-a pierdut

stabilitatea (Fig. II.9a);

− structurile ideale ce nu au imperfecţiuni (Fig. II.9b);

− structurile reale, ce au deformaţii iniţiale, dar la care forma imperfecţiunii

nu este afină cu cea a piederii stabilităţii (Fig. II.9c, vedere de sus a unui

pod cu grinzi cu zăbrele cale jos - deformata tălpii superioare

comprimate).

a) b)

XY

Z

c)

XY

Z

Figura II.9


21

În mod similar, există structuri pentru care geometria iniţială şi modul de

încărcare conduc spre o pierdere de stabilitate prin limitare. Astfel de structuri

sunt:

− structurile la care forma iniţială afectată de imperfecţiuni geometrice

(materializate în general prin deformaţii iniţiale ale axei barei) este afină

cu deformata de instabilitate (Fig. II.10a);

− structurile la care deformata premergătoare fenomenului de pierdere a

stabilităţii cuprinde şi deformata de instabilitate (Fig. II.10b).

XY

Z

XY

Z

a) b) Figura II.10

În afară de cele două tipuri de puncte critice corespunzătoare instabilităţilor

prin bifurcare şi limitare, pe curbele încărcare-deplasare pot fi prezente şi

puncte de întoarcere, respectiv puncte de cedare care de regulă apar după

punctele de bifurcare sau cele limită la structurile cu comportare ductilă cum sunt

podurile metalice.

Punctele de întoarcere (Fig. II.11a) nu sunt puncte critice şi au caracteristic

faptul că aici, tangenta la curba încărcare-deplasare este verticală. Ele nu au

practic o semnificaţie aparte, deoarece nu caracterizează decât configuraţii

intermediare şi nu limită ale structurii. Ele pot avea însă semnificaţie în calculul


22

numeric fiindcă pot afecta determinarea soluţiei prin metodele de calcul

cunoscute.

Punctele de cedare (Fig. II.11a,b) au caracteristic faptul că ele reprezintă

situaţii de cedare ale structurii, aici curba încărcare-deplasare oprindu-se brusc

sau căpătând o altă formă. Dacă cedarea este locală, adică afectează elemente

structurale secundare, este posibil să nu se producă cedarea de ansamblu a

structurii, pe curba încărcare-deplasare apărând un salt până la atingerea unei

noi configuraţii de echilibru (Fig. II.11b). În cazul în care însă cedarea se produce

la un element principal de rezistenţă, cedarea structurii devine ireversibilă.

a) b)

Figura II.11

Structurile reale afectate de imperfecţiuni geometrice şi mecanice nu se

comportă, în general, conform teoriei instabilităţii elastice produsă prin bifurcare,

respectiv limitare. Abaterile de la forma rectilinie a axei elementelor structurale,

aplicarea excentrică a încărcării, prinderea excentrică a unor elemente la

nodurile structurii, dar şi comportarea elasto-plastică sau chiar plastică a

materialului conduc la scăderi, de cele mai multe ori importante, ale capacităţii

portante.

Aceste tipuri de imperfecţiuni conduc la modificarea răspunsului structurii,

situaţie ce se poate observa în alura curbei încărcare-deplasare. În urma

modificării semnificative a geometriei dar şi a rigidităţii structurii răspunsul

structurii imediat în vecinătatea punctului critic se modifică, o instabilitate prin


23

bifurcare putând fi înlocuită de una prin limitare sau valoarea încărcării critice

corespunzătoare unei pierderi de stabilitate prin limitare poate scădea mult.

Este evident faptul că tipul şi mărimea imperfecţiunilor de execuţie

influenţează într-o manieră covârşitoare tipul instabilităţii şi comportarea

postcritică a unei structuri de rezistenţă, iar acest lucru va fi pus în evidenţă prin

exemple în capitolele următoare.

În figura II.12a şi b sunt schematizate cu linie punctată modificările calitative

survenite în comportarea critică şi postcritică a unei structuri ca urmare a

prezenţei imperfecţiunilor.

a) b)

Figura II.12

II.3.3 Comportarea postcritică În practică multe structuri îşi pierd stabilitatea la nivele de încărcare mult

sub valorile încărcărilor critice determinate printr-o analiză liniară de valori şi

vectori proprii, în timp ce alte structuri pot prelua în continuare încărcări cu valori

mult mai mari decât valoarea încărcării critice. Aceste situaţii au determinat, în

special în ultima perioadă de timp, manifestarea unui interes deosebit pentru

studiul comportării postcritice a structurilor de rezistenţă, pentru studiul influenţei

mărimii şi formei imperfecţiunilor de execuţie, în vederea stabilirii sensibilităţii

structurilor la astfel de factori.


24

Trasarea curbei încărcare-deplasare până la valori ale încărcării ce

depăşesc cu mult valorile corespunzătoare pierderii de stabilitate, utilizându-se în

special metode numerice de analiză a structurilor, oferă posibilitatea stabilirii

modului de comportare postcritică a unei structuri.

În figura II.13a şi b sunt prezentate schematic câteva modalităţi de răspuns

postcritic al unor structuri afectate sau nu de prezenţa unor imperfecţiuni de

execuţie. În primul caz (Fig. II.13a) curba primară este liniară şi structura îşi

pierde stabilitatea prin bifurcarea echilibrului, configuraţiile ulterioare pierderii

stabilităţii fiind definite de curba secundară. Studiul alurii curbei secundare poate

oferi informaţii esenţiale cu privire la nivelul încărcărilor pe care structura le poate

prelua în aşa fel încât să rămână în echilibru stabil.

a) b)

Figura II.13

În cazul în care curba secundară urcă înseamnă că structura prezintă

rezistenţă postcritică şi că încărcarea critică caracterizează în acest caz o

pierdere locală de stabilitate a unui element structural care afectează în mică

măsură stabilitatea generală. Instabilitatea generală şi cedarea structurii se

produc la o valoare mai mare a încărcării prin limitare, panta curbei încărcare-

deplasare devenind negativă şi rigiditatea de ansamblu a structurii reducându-se

semnificativ.

Figura II.13b prezintă un alt tip de comportare al unei structuri. Aşa cum

prezentam şi într-un paragraf anterior, calea primară este în acest caz neliniară,


25

iar curba secundară este descendentă şi are tangentă negativă, structura

nemaiavând rezerve de capacitate portantă.

Dacă cele două curbe primară şi secundară sunt relativ apropiate înseamnă

că instabilitatea structurii este puternic influenţată de prezenţa imperfecţiunilor şi

că instabilitatea se poate transforma din bifurcare în limitare.

Aşa cum se poate observa în figura II.11b există şi situaţii în care curba

postcritică este la început instabilă pentru ca mai apoi, după atingerea unui alt

punct limită să devină stabilă. În această situaţie în curba încărcare-deplasare

apare un salt, cedarea structurii făcându-se brusc până la atingerea unei noi

configuraţii de echilibru stabil, situaţie în care structura poate prelua în continuare

încărcări.

CAPITOLUL III CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL STRUCTURILOR

26

CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL STRUCTURILOR

III.1 GENERALITĂŢI Stabilirea răspunsului structurilor de rezistenţă sub acţiunea încărcărilor

exterioare implică analizarea efectelor produse de aceste încărcări din punct de

vedere al deformaţiilor structurii şi eforturilor generate în elementele structurale.

Se impune astfel realizarea unor modele matematice care să descrie cu

suficientă acurateţe fenomenele fizice produse ca urmare a aplicării diferitelor

tipuri de acţiuni pe structură. Variabilitatea acţiunilor exterioare atât ca poziţie în

spaţiu, dar şi ca valoare şi mod de manifestare (având o anumită lege de variaţie

în timp), precum şi variabilitatea caracteristicilor structurii (din punct de vedere al

dimensiunilor structurale, al rigidităţii elementelor, al condiţiilor de rezemare, al

legilor de comportare ale materialelor din care este alcătuită) conduc la

fenomene fizice reale foarte dificil de modelat prin legi constitutive simple, de tip

liniar. Acestea pot fi folosite pentru structuri simple, solicitate de acţiuni a căror

variabilitate nu există sau este foarte mică. Rezultatele obţinute în aceste cazuri

din punct de vedere al răspunsului structurii sunt suficient de exacte şi pot oferi

nivele de siguranţă acceptabile în proiectare.

Totuşi în marea majoritate a cazurilor, rezultatele unor astfel de analize nu

pot fi acceptate, întrucât pot conduce la supraevaluări ale capacităţii portante a

structurilor, în special în cazul fenomenelor de instabilitate (flambaj, respectiv

voalare). Pentru o analiză cât mai fidelă a fenomenelor ce determină

comportarea structurii sub încărcări trebuie să se recurgă la modele matematice

complexe, neliniare, atât în ceea ce priveşte comportarea materialului din care

este alcătuită structura (neliniaritate de tip fizic), dar şi influenţa pe care o are


27

modificarea formei structurii asupra nivelului eforturilor, ca urmare a deformării

produse de acţiunile aplicate (neliniaritate de tip geometric).

Calculul de ordinul II geometric neliniar şi cel de stabilitate (flambaj, voalare)

se încadrează în al doilea tip de neliniaritate şi implică relaţii matematice

complicate şi un volum mare de calcule. Între aceste două tipuri de analize există

însă o deosebire fundamentală generată de următoarele aspecte: în calculul de

stabilitate, mărimea forţelor axiale din structură nu este cunoscută, urmând să se

determine o anumită valoare a încărcării exterioare aplicate, numită încărcare

critică, pentru care valoarea forţelor axiale conduce la fenomene de instabilitate;

în calculul de ordinul II geometric neliniar, încărcările ce acţionează pe structură

sunt cunoscute atât ca valoare, cât şi ca poziţie, urmând a se determina valorile

eforturilor secţionale în elementele structurale şi deplasările structurii,

considerând influenţa mărimii deplasărilor asupra eforturilor (scrierea condiţiilor

de echilibru se face considerând structura în poziţie deformată).

Calculul de stabilitate este un caz particular al calculului de ordinul II

geometric neliniar, deoarece dacă, analizând modul de comportare al unei

structuri prin calcul de ordinul II se obţin, pentru un nivel al încărcărilor exterioare

aplicate, valori foarte mari ale deplasărilor, înseamnă că structura a ajuns într-o

situaţie limită a echilibrului stabil.

III.2 TIPURI DE CALCUL DE ORDINUL II

Stabilirea tipului de calcul (analiză) de ordinul II ce se efectuează pentru o

structură presupune considerarea atât a efectului produs de încărcările

exterioare aplicate asupra deformării structurii, prin relaţiile încărcare – deplasare

(P-Δ), cât şi a relaţiilor existente între eforturile unitare ce apar pe secţiunea

transversală a elementelor structurale şi deformaţiile specifice, definite de

curbele caracteristice ale materialelor (σ-ε).


28

a) Calcul de ordinul II, elastic liniar şi geometric neliniar

Pentru calculul geometric neliniar în domeniul de comportare liniar elastic al

materialului, relaţiile între eforturile unitare de pe secţiunea elementelor

structurale şi deformaţiile specifice pot fi exprimate prin funcţii a căror alură este

de tipul celor prezentate în Capitolul II, fig. II.2a. Expresiile relaţiilor de legătură

au fost stabilite pe baza legii generalizate a lui Hooke din teoria elasticităţii, ele

având forma următoare:

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

τE

)μ(γ

τE

)μ(γ

τE

)μ(γ

)]σσ(μσ[E

ε

)]σσ(μσ[E

ε

)]σσ(μσ[E

ε

+=

+=

+=

+−=

+−=

+−=

12

12

12

1

1

1

(III.1)

În calculul geometric neliniar pot apărea însă deplasări mari ale structurii şi

de aceea legătura între forţele aplicate şi deplasările structurii este exprimată

prin relaţii neliniare, dar se admite faptul că deplasările de tip corp rigid sunt mici.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

xw

zw

xv

zv

xu

zu

zu

xwγ

zw

yw

zv

yv

zu

yu

yw

zvγ

yw

xw

yv

xv

yu

xu

xv

yuγ

zw

zv

zu

zwε

yw

yv

yu

yvε

yw

yv

yu

yvε

zx

yz

xy

z

y

y

21

21

21

21

21

21

222

222

222

(III.2)


29

Pentru exprimarea matematică a relaţiilor de legătură între deformaţii

specifice şi deplasări se vor considera atât termenii caracteristici calculului de

ordinul I, dar şi termeni superiori, de ordinul II, rezultând forma dată de relaţiile

(III.2) pentru deformaţiile de tip alungiri din eforturi unitare normale

, respectiv pentru deformaţiile de lunecare din eforturile de

forfecare :

zyx ε,ε,ε

zyx σ,σ,σ zyx γ,γ,γ

zxyzxy τ,τ,τ

Analizând expresiile (III.2) de mai sus se pot identifica cele două

componente care definesc tensorul deformaţiilor specifice în calculul geometric

neliniar:

− componenta liniară, dată de expresia:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=zu

xw

yw

zv

xv

yu

zw

yv

xuT

L ,,,,,ε (III.3)

− componenta neliniară, care se poate scrie sub forma:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

xw

zw

xv

zv

xu

zu

zw

yw

zv

yv

zu

yu

yw

xw

yv

xv

yu

xu

zw

zv

zu

yw

yv

yu

xw

xv

xu

TNL

21,

21

,21,

21

,21,

21

222

222222

ε

(III.4)

Sub forma generală condensată, expresia deformaţiei specifice totale este:

{ } { } { }NLL εεε += (III.5)

Expresiile deformaţiilor specifice axiale εx, εy, εz date de (III.2) conţin însă

numai termenii stabiliţi pe baza ipotezei conform căreia asupra solidului

deformabil acţionează numai forţe axiale. În cazul în care se consideră şi

deformaţiile provenind din momente încovoietoare după două direcţii ortogonale,

aceste expresii capătă forma:


30

2

2

2

2222

2

2

2

2222

2

2

2

2222

21

21

21

dzvdy

dzudx

zw

zv

zu

zwε

dyudx

dywdz

yw

yv

yu

yvε

dxwdz

dxvdy

xw

xv

xu

xuε

z

y

x

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

(III.6)

b) Calcul de ordinul II, elastic neliniar şi geometric neliniar

În acest tip de calcul se consideră că atât relaţiile încărcare-deplasare, cât şi

relaţiile efort unitar-deformaţie specifică sunt neliniare, curbele ce definesc

aceste perechi de mărimi fiind asemănătoare celei prezentate în figura II.2b. Ca

şi pentru calculul elastic liniar şi geometric neliniar, structura poate suferi

deformaţii mari, însă rotirile de corp rigid trebuie să rămână mici.

Ca urmare a celor prezentate anterior se poate concluziona că pentru

ambele tipuri de calcul prezentate la punctele a) şi b) ecuaţiile de echilibru dintre

forţele aplicate şi eforturile de pe secţiunile transversale a elementelor trebuie

formulate considerând poziţia deformată a structurii. Întrucât, aşa cum precizam

anterior, sub acţiunea forţelor deplasările pot căpăta valori semnificative în

procesul de deformare, rigiditatea structurii va fi şi ea influenţată de poziţia şi

valorile încărcărilor aplicate.

Forma neliniară a relaţiilor încărcare-deplasare face ca principiul

suprapunerii efectelor, cunoscut din calculul de ordinul I pentru structuri acţionate

simultan de mai multe sisteme de forţe, să nu mai poată fi aplicat decât în

anumite condiţii particulare ce vor fi prezentate în cele ce urmează.

Aşa cum se arăta în Capitolul II, în special în cazul fenomenelor de

instabilitate considerate ca şi cazuri particulare ale calculului de ordinul II

geometric neliniar, soluţia problemei nu este unică, datorită faptului că pot exista

mai multe curbe încărcare-deplasare post-critice care caracterizează

comportarea structurii analizate. Necunoaşterea alurii curbei încărcare-deplasare

face ca soluţia atât în calculul de ordinul II elastic liniar şi geometric neliniar, cât


31

şi în cel elastic şi geometric neliniar să se obţină printr-un calcul iterativ,

considerând încărcarea aplicată în mai mulţi paşi consecutivi.

c) Calcul de ordinul II, elasto-plastic neliniar şi geometric neliniar

Acest tip de analiză prezintă particularitatea că alături de relaţiile încărcare-

deplasare şi efort unitar-deformaţie specifică considerate neliniare şi relaţia

moment încovoietor-curbură (M-φ) este neliniară. Din punct de vedere al alurii,

curbele obţinute din perechi de valori încărcare-deplasare, respectiv efort unitar-

deformaţie specifică seamănă cu cele prezentate în figurile II.2c-g.

Caracteristic comportării elasto-plastice a materialului din care sunt alcătuite

elementele structurale este faptul că datorită încovoierii excesive există pericolul

apariţiei unor articulaţii plastice. Întrucât în calculul de ordinul II efectul forţelor

axiale asupra valorii momentelor încovoietoare devine important, rezultă că

valorile momentelor încovoietoare plastice cresc şi deci odată cu creşterea

forţelor axiale, rigiditatea structurală se va reduce semnificativ.

Reducerea rigidităţii datorită apariţiei articulaţiilor plastice poate conduce la

colapsul structurii prin aparitia fenomenelor pierdere a stabilităţii la valori ale

încărcărilor mult sub cele corespunzând unor analize ce consideră o comportare

în domeniul elastic al materialului. Acest lucru este ilustrat cantitativ în figurile

II.12a şi b, respectiv II.13b. O astfel de comportare a materialului apare de regulă

în situaţii reale, ca urmare a proceselor complexe din timpul fabricării elementelor

structurale din oţel sau beton, dar şi ulterior prin procese fizico-mecanice ce se

dezvoltă în timp în structura materialelor (de exemplu contracţia şi curgerea lentă

a betonului, fisurarea secţiunilor din beton, fisurarea secţiunilor din oţel ca

urmare a fenomenului de oboseală etc.).


32

III.3 CALCULUL DE ORDINUL II GEOMETRIC NELINIAR

III.3.1 Specificul calculului geometric neliniar

În calculul geometric neliniar deplasările elementelor sub influenţa

încărcărilor aplicate pot deveni semnificative. În aceste situaţii, efectul pe care îl

au forţele axiale în element asupra încovoierii acestuia nu mai pot fi neglijate aşa

cum se întâmplă în cazul admiterii ipotezei micilor deplasări (calcul de ordinul I).

Influenţa forţelor axiale asupra deplasărilor şi eforturilor într-un element

structural, manifestată prin apariţia unui moment încovoietor suplimentar, poate fi

pusă în evidenţă considerând bara dublu articulată din figura III.1.

Figura III.1

În figura de mai sus MQ(x) reprezintă momentul încovoietor datorat forţelor

transversale Q, iar MP(x) momentul încovoietor datorat forţei axiale P, în

secţiunea x, care au expresiile simple:

MQ(x) = Q⋅x (III.7)

MP(x) = P⋅y(x) (III.8)


33

unde y(x), respectiv ymax sunt considerate deplasări de ordinul II.

Momentul încovoietor total, cunoscut şi ca moment de ordinul II, se poate

scrie pentru acest caz simplu astfel :

MII(x) = MQ(x) + MP(x) = Q⋅x + P⋅y(x) (III.9)

În calculul de ordinul I, valoarea forţelor axiale fiind mică, al doilea termen

din realţia (III.9) tinde către 0 şi deci expresia momentului încovoietor total se

obţine scriind echilibrul pe structura nedeformată. Aşa cum precizam la început,

esenţa calcului de ordinul II constă în exprimarea ecuaţiilor de echilibru pe

structura aflată în poziţie deformată, situaţie în care surplusul de moment dat de

forţele axiale P nu mai poate fi neglijat. Valorile momentului încovoietor total

MII(x) şi deplasării maxime ymax se pot stabili integrând ecuaţia fibrei medii

deformate a barei din figura III.1.

EI)x(My '' −= (III.10)

unde E reprezintă modulul de elasticitate al materialului barei, iar I momentul de

inerţie al secţiunii transversale a barei în raport cu axa de încovoiere.

Ţinând seama de relaţiile (III.8) şi (III.9) relaţia (III.10) se poate rescrie sub forma:

( yPxQEI1y '' ⋅+⋅⋅−= ) (III.11)

Dacă se introduce notaţia:

EIPk 2 = (III.12)

se obţine ecuaţia diferenţială liniară, de ordinul 2, neomogenă:

EIxQyky 2'' ⋅

−=⋅+ (III.13)

Soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este de forma:

xPQkxcosCkxsinCy 21 −+= (III.14)

Constantele C1 şi C2 se determină din condiţiile de margine astfel:

Pentru , iar pentru 0y0x =→= 0y2lx ' =→= .


34

Din prima condiţie de mai sus rezultă C2=0, iar a doua condiţie conduce la:

PQkxsinkCkxcosKCy 21

' −−= (III.15)

care pentru situaţia particulară 2lx = devine :

2klcosPk

QC0PQ

2klcoskC

2ly 11

' =→=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (III.16)

Ţinând seama de expresiile constatelor C1, respectiv C2 şi de relaţiile (III.9)

şi (III.14) se pot scrie expresiile generale ale deplasării şi momentului încovoietor

de ordinul II, în secţiunea curentă x a barei din figura III.1:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=−= x

2klcosk

kxsinPQx

PQkxsin

2klcosPk

Q)x(y II (III.17)

2klcosk

kxsinQx

2klcosk

kxsinQxQ)x(M II =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅= (III.18)

Deplasarea de ordinul II maximă se obţine din expresia (III.17) pentru

şi după prelucrări simple se poate scrie sub forma: 2/lx =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

k2kl

2kltg

2EIlk2Ql

2lyy 2max

II (III.19)

Introducând notaţia A2kl

= expresia (III.19) ce dă deplasarea maximă, devine:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

= 3

3

maxII

AAtgA

EI8lQy (III.20)

Exprimând forţa transversală Q aplicată pe bară în funcţie de deplasarea

maximă în calculul de ordinul II vom avea:

maxII

3

3 yAtgA

AlEI8Q ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= (III.21)


35

Conform relaţiei forţă-deplasare din calculul de ordinul I, forţa pe direcţia

unui grad de libertate este dată de produsul dintre rigiditate (K) şi deplasarea pe

direcţia aceluiaşi grad de libertate (U):

UKP ⋅= (III.22)

Extinzând acest principiu şi în calculul de ordinul II efectuat pentru bara din

figura III.1 şi analizând forma expresiei (III.21) se poate spune că factorul:

II3

3 KAtgA

AlEI8

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

(III.23)

reprezintă tocmai rigiditatea barei la încovoiere în calculul de ordinul II. Întrucât

expresia lui A depinde de valoarea forţei axiale P prin intermediul mărimii

introduse k, se poate concluziona că rigiditatea barei în calculul de ordinul II

depinde pe lângă E şi I şi de valoarea forţelor axiale din elementul structural.

Considerând câteva valori pentru parametrul A în domeniul de existenţă

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

2,0 al funcţiei tangentă, se poate arăta uşor că pe măsură ce forţa axială în

element creşte, valoarea rigidităţii se reduce.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 04KtgAlEI870.9

lEI4P

24A

2KlEI064.183K

lEI467.2

l4EI3P

43A

1KlEI024.222K

lEI617.0

l16EI2P

82A

lEI632.231K

lEI154.0

l64EI1P

161A

II22

2

II3

II22

2

II3

II22

2

3II

22

2

≅⇒∞→→=π

=→π

=

<=⇒=π

=→π

=

<=⇒=π

=→π

=

=⇒=π

=→π

=

(III.24)

Deci este posibil ca în calculul de ordinul II geometric neliniar să existe un

moment în care, datorită valorilor foarte mari ale forţelor axiale, rigidităţile unuia

sau mai multor elemente ce alcătuiesc o structură de rezistenţă să se reducă

foarte mult, situaţie în care se produce colapsul structurii, de exemplu prin

fenomene de prin pierdere a stabilităţii.


36

III.3.2 Suprapunerea efectelor în calculul geometric neliniar

Spre deosebire de calculul de ordinul I, în calculul de ordinul II

suprapunerea efectelor (eforturi, deplasări, deformaţii) se poate face numai în

anumite condiţii. Pentru exemplificare se consideră un element dintr-o

structură având rigiditatea la încovoiere constantă (EI = const) şi forţa axială N

constantă pe toată lungimea (Fig. III.2).

Figura III.2

Momentul încovoietor într-o secţiune curenţă a barei considerate se poate

scrie sub forma:

III MMM += (III.25)

în care:

MI este partea din moment care depinde de deplasările y şi în expresia

căreia intervin la puterea întâi atât forţa axială cât şi săgeata y;

MII cuprinde efectul dat de sarcinile verticale Q.

Ecuaţia axei medii deformate a barei se poate scrie sub forma:

III MMEIy −=+'' (III.26)

ceea ce reprezintă de fapt o ecuaţie diferenţială liniară, neomogenă, cu

coeficienţi constanţi. Soluţia acestei ecuaţii este de forma:

III yyy += (III.27)

în care yI este soluţia generală a ecuaţiei:

0'' =+ IMEIy (III.28)


37

iar yII este o soluţie particulară a ecuaţiei (III.28).

În relaţiile de mai sus yI este o funcţie neliniară de N şi de distanţa unde se

evaluează momentul încovoietor, măsurată în lungul barei x, iar yII este o funcţie

de Q, N şi x, în care Q intervine la puterea I. De aici se poate concluziona că y

este o funcţie liniară de Q şi neliniară în N şi x, deci principiul suprapunerii

efectelor poate fi aplicat numai în raport cu sarcinile verticale Q şi numai dacă

forţa axială N este constantă (Fig. III.3).

Figura III.3

Dacă forţa axială este constantă şi asupra elementului considerat

acţionează încărcările transversale Q1 şi Q2 putem scrie următoarea relaţie:

( ) ( ) ( N,2Q1QN,2QN,1Q yyy + )=+ (III.29)

Concluzia exprimată de relaţia (III.29) se poate extinde şi asupra

necunoscutelor de tip rotire ϕ ≈ y' şi a momentelor încovoietoare M = -EIy".

III.4 CALCULUL DE STABILITATE

III.4.1 Specificul calculului de stabilitate

Fenomenele de instabilitate pot fi considerate ca situaţii limită în calculul de

ordinul II geometric neliniar, ca urmare a deformării excesive a elementelor


38

structurale. Eforturile secţionale nu mai pot echilibra încărcările exterioare al

căror efect creşte tocmai datorită influenţei pe care forţele axiale o au asupra

momentelor încovoietoare şi elementul iese din poziţia de echilibru stabil sau

indiferent. Specificul calculului de stabilitate are poate fi evidenţiat pornind de la

metoda lui Leonhard Euler [8], [61], [77] care consideră modelul static al unei

bare simplu rezemate de lungime l şi articulată la capete (Fig. III.4).

Figura III.4

Bara este încărcată axial cu forţa P de compresiune, dar şi cu o forţă

transversală uniform distribuită destabilizatoare, q. Dezvoltările matematice

pentru stabilirea comportării barei sub încărcările aplicate au la bază următoarele

ipoteze:

− axa barei este considerată rectilinie (deci fără imperfecţiuni);

− forţa axială în bară N este considerată constantă;

− materialul rămâne în domeniul de comportare liniar elastic;

− rigiditatea barei la încovoiere, EI este considerată constantă în decursul

deformării.

Pornind de la exprimarea eforturilor pe axa deformată a barei, momentul

încovoietor are forma:

)(0 xMPyM +−= (III.30)

relaţie în care reprezintă momentul dat de sarcinile transversale q. )(0 xM


39

Ecuaţia axei deformate, ţinând seama de ipoteza micilor deplasări, pentru

modelul de calcul considerat este:

''EIyEIM ==ρ

, deoarece ''

1y

=ρ (III.31)

Egalând relaţiile (III.30) şi (III.31) şi făcând notaţia EIPk /2 = rezultă ecuaţia

diferenţială:

EIxMyky )(022'' =+ (III.32)

Presupunând că forţa transversală este egală cu (q=0), atunci devine

zero şi deci:

)(0 xM

022'' =+ yky (III.33)

care este o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi. Soluţia

generală a ecuaţiei de mai sus este de forma:

kxcosBkxsinAy += (III.34)

Constantele A şi B se pot determina din condiţiile la limită, care se pot scrie

astfel:

⎩⎨⎧

==

=

⎩⎨⎧

==

=

0M0y

:lx

0M0y

:0x (III.35)

obţinându-se următorul sistem de ecuaţii:

⎩⎨⎧

=+=⋅+⋅

0010

nlcosBnlsinABA

(III.36)

Deoarece condiţiile la limită au fost scrise în mai multe puncte, soluţia

ecuaţiei diferenţiale (III.37) nu este unic determinată, pe lângă soluţia banală

(y=0) existând şi soluţii nebanale (y≠0) corespunzătoare anumitor valori ale lui k,

numite valori proprii. Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii (III.36) şi admiterea


40

soluţiilor nebanale, se pune condiţia ca determinantul sistemului să fie egal cu zero,

deci:

πnklklsinklcosklsin

D =⇒=⇒== 0010

cu ,...)3,2,1(n = (III.37).

Ecuaţia D=0 se numeşte ecuaţie de stabilitate şi pe baza ei se pot

determina valorile încărcărilor pentru care bara analizată iese din poziţia de

echilibru sau îşi pierde stabilitatea prin flambaj. Acestea se numesc încărcări

critice şi pot fi determinate cu relaţia:

...),,(n,EIlπnP n,cr 3212

22

== (III.38)

Fiecărei valori a parametrului n, deci fiecărei valori a încărcării critice îi

corespunde o anumită formă deformată, numită formă proprie de pierdere a stabilităţii.

Expresiile formelor deformate se pot determina considerând o funcţie de forma:

lxπnsinqw n= (III.39)

Din punct de vedere teoretic, din infinitatea încărcărilor critice determinate,

interesează valoarea cea mai mică pentru care bara îşi pierde stabilitatea şi

anume pentru n=1:

EIlπPP E,cr 2

2

1 == (III.40)

Relaţia de mai sus a fost descoperită de Euler în anul 1744, dar are la bază

ipotezele prezentate la început. Încărcarea Euler reprezintă de fapt încărcarea de

pierdere a stabilităţii pentru barele cu axa rectilinie, la care exprimarea

echilibrului se face în raport cu poziţia nedeformată. Totuşi, pentru elemente

imperfecte, cum sunt de exemplu cele a căror axă nu este rectilinie, echilibrul

trebuie exprimat considerând poziţia deformată, valorile momentelor

încovoietoare ce conduc la fenomene de instabilitate fiind influenţate atât de

mărimea deplasărilor, cât şi de valorile forţei axiale. Această condiţie reprezintă,


41

aşa cum precizam în paragrafele precedente, esenţa calculului de ordinul II.

Pentru fiecare din valorile încărcărilor critice, bara poate fi în echilibru nu

numai când axa sa este rectilinie, ci şi atunci când este deformată (echilibru

indiferent, a se vedea Capitolul II) şi de aceea metoda de determinare a valorilor

încărcărilor critice se mai numeşte metoda echilibrului adiacent.

În momentul în care încărcările exterioare ating valorile critice, bara iese din

poziţia de echilibru şi tinde să ocupe o nouă poziţie de echilibru. Comportarea

barei corespunde modelului bifrucării echilibrului, prezentat în Capitolul II.

Dacă relaţia (III.40) se împarte la aria secţiunii transversale a barei, A, se

obţine expresia efortului unitar critic Euler:

( )E

i/l 2

2

Eπ

=σ (III.41)

relaţie în care A/Ii = , reprezintă raza de giraţie a secţiunii transversale a

barei considerate.

Raportul l/i este numit zvelteţe şi reprezintă parametrul de bază adimensional

care reflectă comportarea la flambaj a barei. Reprezentând grafic efortul unitar critic

Euler în funcţie de raportul Eσ i/l se obţine hiperbola Euler (Fig. III.5).

Figura III.5


42

Acest grafic are însă semnificaţie atât timp cât Eσ nu depăşeşte valoarea

limitei de curgere a materialului, fy, deci în domeniul liniar elastic. Conform figurii

III.5, pierderea de stabilitate prin flambaj a barelor comprimate poate apărea

atunci când zvelteţea barei depăşeşte valoarea limită:

yfEπ

il= (III.42)

Pentru barele imperfecte (reale), graficul prezintă o zonă de tranziţie de la

linia orizontală către hiperbola lui Euler schematizată în figura III.5, prin linia

punctată. Hiperbola lui Euler stă la baza determinării curbelor europene de

flambaj ce au o importanţă deosebită în studiul stabilităţii structurilor.

Relaţia (III.40) a fost ulterior generalizată şi pentru bare având alte condiţii

de rezemare decât bara analizată, prin introducerea noţiunii de lungime de

flambaj. Aceasta reprezintă lungimea unei bare fictive, dublu articulate care are

aceeaşi încărcare critică de flambaj ca şi bara cu rezemări particulare. Lungimea

de flambaj reprezintă, din punct de vedere geometric, distanţa dintre două puncte

de inflexiune ale deformatei barei.

Figura III.6


43

În figura III.6 sunt prezentate, pentru cazuri uzuale de rezemare, valorile

lungimilor de flambaj.

Folosind ca parametru lungimea de flambaj, relaţia (III.40) utilizată cel mai

adesea pentru determinarea valorii încărcării de flambaj capătă forma:

EIlπPP

fE,cr 2

2

1 == (III.43)

Pe baza celor prezentate mai sus se poate concluziona că specificul

calculului de stabilitate constă în stabilirea unei valori minime a încărcărilor

exterioare pentru care structura sau elementul structural îşi pierde stabilitatea,

exprimând relaţiile de echilibru considerând influenţa deplasărilor asupra

eforturilor.

III.4.2 Metode pentru determinarea încărcării critice III.4.2.1 Metoda energetică

Este cunoscut faptul că, pentru structurile conservative, lucrul mecanic al

forţelor exterioare se transformă integral în energie de deformaţie, iat în cazul în

care aceste forţe dispar, energia de deformaţie este consumată pentru a

readuce structura în poziţia iniţială, nedeformată. Metoda energetică [77] poate fi

utilizată pentru determinarea valorii încărcării critice de pierdere a stabilităţii în

cazul structurilor conservative. Principiul metodei constă în minimizarea variaţiei

energiei potenţiale totale utilizând relaţia:

0=∂∏∂

jα (III.44)

în care ∏ este energia potenţială, iar jα sunt parametrii nedeterminaţi ce

definesc o curbă înlocuitoare pentru axa deformată a barei care nu este

cunoscută.


44

Se consideră pentru studiu o bară simplu rezemată comprimată de forţa

exterioară P în două poziţii deformate: poziţia şi o poziţie deformată adiacentă

foarte apropiată de (Fig. III.7).

y'y y

Figura III.7

Celor două poziţii le corespund variaţii ale energiei potenţiale astfel: poziţiei

variaţia , iar poziţiei variaţia . Pentru ca echilibrul barei să fie

stabil trebuie ca energia potenţială

y )y(∏ 'y )y( '∏

)y(∏ să aibă valoare minimă, deci pentru

orice poziţie defomată apropiată , >'y )y( '∏ )y(∏ . Dacă efectul forţelor axiale

asupra deplasărilor barei în poziţia y este neglijat, atunci înseamnă că =0,

condiţia de minim a variaţiei energiei potenţiale fiind:

)y(∏

0220 0

22

>∫ ∫+=∏l l '''

' dxEIydxNy)Δ( (III.45)

Dacă se presupune că forţa axială în bară este constantă (N=P), din relaţia

(III.45) poate fi determinată valoarea forţei critice pentru care bara îşi pierde

stabilitatea:

∫

∫=< l

'

l''

cr

dxy

dxEIyPP

0

2

0

2

(III.46)

Totuşi considerând relaţia (III.46) se poate observa că, aplicarea acestei

metode pentru stabilirea valorii încărcării critice este posibilă numai alegând o

curbă înlocuitoare y(x) pentru forma deformată a structurii, iniţial necunoscută,

lucru ce atestă caracterul aproximativ al metodei.

Criteriul energetic de stabilitate este potrivit pentru analiza stabilităţii

sistemelor structurale conservative, metoda energetică putând fi utilizată pentru


45

determinarea valorilor aproximative ale încărcărilor critice ale structurilor

complexe (cazul barelor a căror rigiditate nu este uniformă, al barelor

comprimate ce au forţă axială variabilă etc.). Totuşi valorile încărcărilor critice

obţinute utilizând criteriul energetic reprezintă o limită superioară a valorii

încărcării critice. De interes în proiectarea structurilor ar fi însă găsirea unei limite

inferioare a încărcării critice ce nu trebuie depăşită. Plecând de la aceste

considerente, au fost dezvoltate alte procedee aproximative care pot furniza

valori satisfăcătoare ale încărcării critice.

III.4.2.2 Câtul Rayleigh

Metoda [8], [50] devine utilă atunci când forma deformată aproximativă

poate fi intuită în aşa fel încât să nu existe decât un singur parametru

necunoscut. Se porneşte de la formularea variaţională a energiei potenţiale:

∫=∏l

''' dx)y,y,y,x(Φ)]x(y[0

(III.47)

unde y(x) este o funcţie ce defineşte forma deformată a structurii. Limitând

problema de studiu a stabilităţii la bifurcarea echilibrului astfel încât y(x)=0 să fie

poziţia de echilibru a cărei stabilitate se studiază şi presupunând că toate

încărcările aplicate pe structură depind de un singur parametru P, energia

potenţială , care este o funcţională pătratică ( ) se poate exprima sub

forma:

∏ ∏δ=∏ 2

W)PP(WPUδ R −=−=∏=∏ 2 (III.48)

În relaţia de mai sus U este expresia pătratică pozitiv definită a energiei de

deformaţie independentă de încărcarea P, iar W este expresia pătratică poztiv

definită ce defineşte lucrul mecanic pe unitatea de încărcare. Din relaţia (III.48)

se poate deduce câtul Rayleigh sub forma:

W/UPR = (III.49)

care este funcţie de forma deformată a structurii ( )]x(y[PP RR = ).


46

Deoarece W este totdeauna pozitivă criteriul de stabilitate poate fi definit

astfel:

− echilibrul este stabil, dacă RPP < pentru orice funcţie )x(y admisibilă a

formei deformate;

− echilibrul este critic, dacă RPP ≤ pentru orice funcţie )x(y admisibilă şi

dacă RPP = numai pentru anumite valori ale funcţiei )x(y ;

− echilibrul este instabil, dacă RPP > pentru anumite valori ale funcţiei )x(y .

Deoarece, aşa cum s-a arătat anterior, ca limită de pierdere a stabilităţii se

consideră prima încărcare critică se poate scrie că: 1crP

)Pmin(P Rcr =1 (III.50)

relaţie care demonstrează proprietatea de limită superioară pentru încărcarea

critică a câtului Rayleigh. Relaţia (III.50) evidenţiază faptul că pentru curba

exactă deformată y(x), , ceea ce corespunde primei încărcări critice.

Această condiţie mai poate fi scrisă şi sub forma:

0PR =δ

∏=−=−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−δWδPUδ

WUWδUδW)WδUUδW(

WUδWPδW RR

1 (III.51)

expresie care demonstrează faptul că 0=∏δ (sau este echivalent

cu .

0)( 2 =∏δδ

0PR =δ

Câtul Rayleigh poate fi utilizat şi pentru determinarea încărcărilor critice

corespunzătoare modurilor superioare de pierdere a stabilităţii numai dacă

funcţiile ce definesc deformatele barei sunt combinaţii liniare între a doua formă

proprie şi formele superioare de pierdere a stabilităţii, excluzând însă prima

formă proprie. Este evident faptul că alegerea unei astfel de forme deformate se

poate face însă numai dacă prima formă proprie a fost deja stabilită.

Relaţia (III.49) este valabilă numai dacă poziţia de echilibru a barei este

caracterizată de o funcţie y(x)=0 (cazul pierderii de stabilitate prin bifurcarea

echilibrului). În caz contrar, energia potenţială de deformaţie nu mai coincide

cu variaţia sa de ordinul II

∏

WδPUδδ 222 −=∏ , iar şi UUδ ≠2 WWδ ≠2 . Se


47

poate arăta în mod similar celui anterior că încărcarea critică cu valoare minimă

este dată de relaţia:

WδUδminPcr 2

2

1 = (III.52)

III.4.2.3 Câtul Timoshenko

Pentru studiul structurilor static determinate există o altă metodă de găsire a

limitei superioare a încărcării critice, metoda câtului Timoshenko [8], care

furnizează aproximaţii destul de bune. Metoda se bazează pe evaluarea energiei

de deformţie din încovoiere corepunzătoare momentului încovoietor M, care

pentru bara simplu rezemată din figura (III.8a) are valoarea . PyM −=

a) b) c)

Figura III.8

Din condiţia ca variaţia energiei în stadiul critic să fie zero, rezultă:

∫ ∫ =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

l l

WPUPdxdxdyPdx

EI)Py(Φ

0 01

222

022

(III.53)

expresie în care U1 este energia de deformaţie provenită din M calculată pe baza

deformatei y(x), iar W este lucrul mecanic al încărcării similar cu cel de la câtul


48

Rayleigh. Din relaţia (III.53) se poate deduce expresia câtului Timoshenko , ca

limită superioară a valorii încărcării critice:

TP

∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∫==

l

l'

T

dx)x(EI

y

dxy

UWP

0

20

2

1

21

21

(III.54)

Relaţia de mai sus este însă valabilă doar în cazul structurilor static

determinate cum sunt consola din figura III.8b şi bara încastrată cu ghidaj din

figura III.8c. În cazul sistemelor static nedeterminate, cum sunt grinzile continue

comprimate, pentru utilizarea câtului Timoshenko în vederea stabilirii valorii

încărcării critice, se pot defini funcţii diferite y(x) ce caracterizează deformata pe

fiecare deschidere pentru a putea evalua momentele încovoietoare pornind de la

relaţia . PyM −=

Condiţia necesară ca PT să reprezinte un minim considerând forma

deformată de echilibru exactă y(x) este aceea ca 0PT =δ . Această proprietate

poate fi verificată pe baza relaţiei:

1

12111

1 U)UδPWδ(U)UδWWδU(

UWδPδ T

−=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − (III.55)

III.4.2.4 Metoda variaţională Rayleigh-Ritz

Deoarece în multe probleme nu este posibilă intuirea unei funcţii care să

ofere o aproximaţie suficient de bună a curbei deformate, aceasta din urmă

poate fi considerată ca o combinaţie liniară de mai multe funcţii. Soluţia

problemei se poate obţine fie prin minimizarea câtului Ryleigh, prezentat anterior,

fie prin minimizarea energiei potenţiale. Acesta este principiul metodei Rayleigh-

Ritz [8], [50].

Se porneşte de la aproximarea formei deformate printr-o combinaţie liniară

de mai multe funcţii, care se poate scrie sub forma:

(III.56) ∑==

N

kkk )x(φq)x(y

1


49

în care qk sunt coeficienţi necunoscuţi, iar φk sunt funcţiile considerate (Fig. III.9).

Expresia energiei potenţiale de deformaţie a barei dublu articulate din figura

III.9 comprimată de o forţă P şi având o încărcare transversală q de formă

arbitrară este:

∫−∫ −=∏−−

2

2

2

2

22

21 /l

/l

/l

/lqydxdx)'Py''EIy( (III.57)

Figura III.9

Introducând relaţia (III.56) în expresia energiei potenţiale (III.57) şi scriind-o

sub forma:

pWWPU −−=∏ (III.58)

impunând condiţia de minim a energiei potenţiale )N,...,,k(qk

210 ==∂∏∂ rezultă

ecuaţia:

)N,...,,k(qW

qWP

qU

k

p

kk

210 ==∂

∂−

∂∂

−∂∂ (III.59)

În relaţiile de mai sus W,U au semnificaţia prezentată anterior (pentru câtul

Rayleigh şi Timoshenko), iar reprezintă lucrul mecanic al încărcării

transversale perturbatoare. Pentru cazul în care

pW

0Wp = , deci când încărcarea


50

transversală lipseşte, ecuaţia (III.59) exprimată pentru diferite valori ale lui k

conduce la un sistem de ecuaţii liniare ai căror coeficienţi au forma:

(III.60) ∫ ⋅==

∫ ⋅⋅==

l

mkm'

k'

km

l

mkm''

k''

km

dx)x('φ)x('φP)φ,φP(B

dx)x(''φ)x(''φ)x(EI)φ,φEI(A

0

0

şi din anularea determinantului sistemului (având ordinul m×n) se obţine ecuaţia

de echilibru critic de forma prezentată la punctul III.4.1 care conduce la

determinarea valorii încărcărilor critice şi ale formelor proprii deformate ale barei.

În cazul în care , deci când există încărcare transversală destabilizatoare,

soluţia ecuaţiei (III.59) tinde către infinit dacă P se apropie de valoarea critică.

Minimizarea câtului Rayleigh este echivalentă cu minimizarea energiei

potenţiale conform relaţiei următoare:

0≠pW

RP

∏=−=−==−−−δW)WδPUδ(W)WδUUδW(W)

WU(δPδ RR

112 (III.61)

relaţie ce a furnizat şi numele metodei Rayleigh-Ritz.

III.4.2.5 Metoda variaţională Galerkin

Această metodă [8], [50] se bazează în principal pe ecuaţiile diferenţiale de

echilibru critic ale axei deformate şi mai puţin pe minimizarea energiei potenţiale,

ea putând fi aplicată şi problemelor unde nu există energie potenţială. Ideea de

bază a metodei constă în utilizarea faptului că o funcţională este identic

nulă în intervalul (0,l), dacă şi condiţia de mai jos :

)x(ψ

(III.62) 00

=∫ )x(φ)x(ψ k

l

este satisfăcută pentru toate fucţiile integrabile pătratice

considerate în aproximarea axei deformate a unei bare. Dacă se porneşte de la

ecuaţia diferenţială , cu L un operator diferenţial, atunci se poate scrie

că: şi impunând condiţia:

N)1,2,...,(k )x(φk =

0=)y(L

0== )]x(y[L)x(ψ


51

(III.63) ∫ =⋅l

k dx)x(φ)]x(y[L0

0

pentru toate funcţiile ne asigurăm că ecuaţia diferenţială

este identic satisfăcută.

)N,...,,k()x(φk 21=

În timp ce metoda Rayleigh-Ritz implică atât condiţii de echilibru cât şi de

stabilitate, metoda Galerkin implică doar condiţii de echilibru.

III.4.2.6 Metoda aproximaţiilor succesive

Principiul metodei [8] constă în considerarea unei ecuaţii diferenţiale de

forma:

0)y(PN)y(M =− (III.64)

în care M, N sunt operatori diferenţiali şi alegând în prima aproximaţie o funcţie

care respectă condiţiile cinematice, se procedează astfel: )x(yy )(1=

1. Se evaluează şi se rezolvă )]x(y[N)x(p )()( 11 = )x(p)]x(y[M )()( 12 =

2. Se evaluează şi se rezolvă )]x(y[N)x(p )()( 22 = )x(p)]x(y[M )()( 23 =

…..

n. Se evaluează şi se rezolvă )]x(y[N)x(p )n()n( = )x(p)]x(y[M )n()n( =+1

Dacă este o funcţie ce descrie o formă proprie de pierdere a

stabilităţii, atunci diferă de numai printr-un factor P atât timp cât

este valabilă ecuaţia: . sunt funcţii cunoscute care

pentru o bară simplu rezemată pot fi distribuţii ale încărcării transversale

necesare pentru scoaterea barei din poziţia de echilibru. Dacă este o funcţie

ce descrie o fromă proprie, atunci rezultă:

)x(y )(1

)x(y )( 2 )x(y )(1

012 =− )x(Ny)x(My )()( )x(p )n(

ny

n,crn

n P)y(N)y(M= (III.65)

raport care se apropie de o valoare proprie a lui P atunci când . Pentru a

elimina dependenţa de x, integrând de la 0 la l cu factorul , în a n-a

aproximaţie se obţine expresia încărcării critice sub forma:

∞→n

)x(y )n(


52

n

nl

)n()n(

l)n()n(

l)n()n(

)n(l

)n(

)n(

aa

dx)]x(y[N)x(y

dx)]x(y[N)x(y

dx)]x(y[N)x(y

dx)]x(y[M)x(yP 1

0

0

1

0

0 −

−

=∫

∫=

∫

∫= (III.66)

Pentru exemplificare să considerăm o bară dublu articulată cu secţiune

transversală constantă, supusă unei forţe de compresiune şi a cărei soluţie este

cunoscută. Ecuaţia diferenţială ce descrie echilibrul este caracterizată de

operatorii diferenţiali sunt: . Să considerăm în prima

aproximaţie că forma deformată este descrisă de funcţia: .

Conform algoritmului prezentat mai sus rezultă şi

rezolvând rezultă . Făcând raportul funcţiilor

utilizate în primele două aproximaţii rezultă:

22 dx/dM;EI/1N −==

)l/xsin(Aw )1( π=

)l/xπsin()EI/A()x(p )(1 =

)l/xπsin()πEI/Al(w )( 222 =

2221 l/EIπw/w )()( = .

Relaţia anterioară arată că raportul a două funcţii succesive tinde către

expresia ce defineşte forma proprie de pierdere a stabilităţii. În acest caz,

raportul a coincis cu expresia încărcării critice, deoarece s-a ales valoarea exactă pentru w

(1).

III.5 CALCULUL STRUCURILOR PRIN METODELE GENERALE

Cele două metode de calcul ale structurilor utilizate în calculul de ordinul I,

metoda generală a eforturilor şi metoda generală a deplasărilor [32], [77], [101]

se utilizează şi în calculul de ordinul II şi de stabilitate, dar cu anumite modificări,

determinate tocmai de caracteristica principală a calculului de ordinul II şi anume

scrierea ecuaţiilor de echilibru considerând structura în poziţie deformată şi de

faptul că rigiditatea structurii se modifică continuu, în funcţie de nivelul

încărcărilor exterioare aplicate şi de valoarea deplasărilor din procesul de

deformare.

În continuare vor fi amintite pe scurt caracteristicile celor două metode

utilizate pentru calculul de ordinul I.

În metoda generală a eforturilor:


53

− sistemul de bază provine din structura reală prin suprimarea unor legături;

− necunoscutele problemei sunt eforturile introduse pe direcţia gradelor de

libertate suprimate;

− ecuaţiile de condiţie care exprimă identificarea sistemului de bază cu

structura reală sunt ecuaţii de continuitate.

În metoda generală a deplasărilor:

− sistemul de bază provine din structura reală prin adăugarea unor legături;

− necunoscutele problemei sunt deplasările şi translaţiile nodurilor;

− ecuaţiile de condiţie sunt ecuaţii de echilibru.

Calculul propriuzis al structurilor prin aceste metode este precedat de o

determinare a forţelor axiale din bare în baza unui calcul de ordinul I. Admiţând

că distribuţia forţelor axiale rezultată în urma unui calcul de ordinul al II-lea este

aproximativ egală cu distribuţia forţelor axiale rezultată din calculul de ordinul I,

pentru fiecare bară aparţinând structurii se calculează factorul de încărcare

axială (numit şi factor de compresiune):

0

00 EI

Nlν = (III.67)

cu indicele "0" fiind notate caracteristicile barei alese ca etalon în raport cu care

se vor exprima toate forţele axiale ca şi factorii de încărcare axială evoluând

către starea critică a sistemului.

Pentru o bară oarecare se va putea scrie deci:

00

00

νλII

NN

ll

EIN

lν jj

jj

j

jjj === (III.68)

Deplasările elastice în calculul de ordinul II pot fi determinate printr-o

expresie analogă expresiei MAXWELL-MOHR:

∫=EIdxMmΔ II,xxiII,i (III.69)

indicele “II” exprimând faptul că echilibrul se scrie pe structura aflată în poziţie

deformată. Acest lucru implică însă cunoaşterea prealabilă a diagramei de

momente de ordinul al II-lea.


54

În ambele metode, identificarea sistemului de bază cu structura reală se

face prin intermediul ecuaţiilor de condiţie în care necunoscutele sunt fie forţe Xi,

fie deplasări de noduri . Coeficienţii necunoscutelor sunt funcţie de

caracteristicile geometrice-elastice ale barelor.

iϕ

Scriind sistemul ecuaţiilor de condiţie cu ajutorul determinanţilor,

necunoscutele se pot exprima sub forma:

DDX i

i −= , în metoda eforturilor (III.70)

DDφ i

i −= , în metoda deplasărilor (III.71)

D fiind determinantul realizat pe baza coeficienţilor necunoscutelor.

În Capitolul II se preciza că structurile îşi pot pierde stabilitatea în mai multe

moduri, lucru oglindit şi în alura curbelor încărcare-deplasare şi anume prin

flambaj (bifurcarea echilibrului) sau prin deformare continuă.

Pierderea stabilităţii prin flambaj (Fig. III.10a) implică faptul că în starea de

echilibru stabil, adică atunci când P<Pcr, barele structurii sunt solicitate exclusiv

de forţe axiale, adică se neglijează efectul scurtării sau lungirii barelor. În situaţia

în care P>Pcr se produc încovoieri ale barelor. În starea de echilibru critic P=Pcr,

mărimile Xi şi iϕ rămân nedeterminate, lucru apărut ca o consecinţă a

aproximării curburii în forma: ''yρ≅

1 . Scrisă cu ajutorul determinantului ecuaţia

de echilibru critic are forma:

(III.72) 0=D

şi se poate scrie că:

00

DD

00

DDX

ii

ii

=−=ϕ

=−= (III.73)

realţii din care rezultă existenţa nedeterminării.

În cazul pierderii stabilităţii prin deformare continuă (Fig. III.10b) înainte şi

după pierderea stabilităţii structurii, barele structurii sunt solicitate la încovoiere


55

cu forţă axială. În starea de echilibru critic p=pcr mărimile necunoscutelor Xi şi iϕ

cresc foarte mult, lucru apărut ca o consecinţă a considerării curburii în forma

simplificată ''yρ≅

1 .

Ecuaţia de echilibru critic are aceeaşi formă D=0, iar această creştere

nelimitată a necunoscutelor se poate scrie simplificat matematic sub forma:

∞→−=ϕ

∞→−=

DDDDX

ii

ii

(III.74)

a)

b)

Figura III.10


56

Rezolvând ecuaţia D=0 se reţine factorul de compresiune minim crmin νν = al

barei etalon, forţa axială şi sarcina critică pentru aceeaşi bară, urmând ca pe

baza acestor valori să fie calculate mărimile pentru restul barelor din structură.

Se poate observa că încărcarea critică depinde numai de caracteristicile

geometrice-elastice ale barelor şi de factorii de compresiune ν , prin urmare

dacă se schimbă încărcările ce acţionează pe structură astfel încât să nu varieze

forţele axiale, coeficientul de siguranţă la flambaj va rămâne neschimbat.

III.5.1 Metoda eforturilor

Calculul de ordinul II considerând forma deformată a structurii este similar

calculului de ordinul I. Se alege un sistem de bază şi se alcătuieşte următorul

sistemul de ecuaţii:

(III.75)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

0

0

02211

101122111

nnnnnn

nn

ΔδX...δXδX...

ΔδX...δXδX

Coeficienţii ai necunoscutelor şi termenii liberi δ Δ se calculează ţinându-

se seama de influenţa forţei axiale asupra încovoierii. Utilizarea metodei

eforturilor prezintă avantaje pentru două tipuri de sisteme de bare: cadre cu

noduri fixe care pot fi studiate alegând ca sistem de bază unul alcătuit din bare

dublu articulate, respectiv cadre cu noduri deplasabile cu un singur nivel, cu

stâlpi încastraţi la bază, care pot fi studiate pe un sistem de bază realizat din

bare în consolă şi bare dublu articulate cu deplasări normale pe bară nule.

Ordinea operaţiilor în calculul de ordinul II prin metoda eforturilor este

importantă pentru organizarea şi simplificarea calculului. Etapele sunt

următoarele:

1. Se determină forţele axiale printr-un calcul de ordinul I;

2. Se determină factorii de compresiune ν ;


57

3. Se alege sistemul de bază;

4. Se trasează diagramele de eforturi din forţe unitare şi din cele exterioare;

5. Se calculează deplasările ijδ pe baza factorilor de compresiune

determinaţi;

6. Se determină deplasările Δ cu expresia MAXWELL-MOHR;

7. Se rezolvă sistemului de ecuaţii;

8. Se va studia fiecare din barele sistemului sub influenţa forţelor

transversale şi a forţei axiale. Pentru barele care au valoarea factorului de

compresiune ν mai mică decât 20 % din valoarea factorului de

compresiune maxim, efectul de ordinul II nu se ia în considerare.

În vederea realizării calculului de stabilitate se urmăreşte, în prima etapă,

exprimarea tuturor factorilor de compresiune ν ai barelor structurii în funcţie de

factorul de compresiune etalon . În momentul în care există tendinţa structurii

de a-şi pierde stabilitatea are loc o creştere nelimitată a eforturilor deci şi a

necunoscutelor Xi din sistemul de ecuaţii. Matematic, momentul pierderii

stabilităţii poate fi exprimat egalând cu 0 determinantul matricei sistemului:

0ν

( ) 00

21

11211

=== νDδ...δδ

.δ...δδ

D

nnnn

n

(III.76)

Din ecuaţia de stabilitate de mai sus, rezultă valoarea factorului de

compresiune etalon . Dacă prin încărcare cu sarcinile exterioare se obţin în

barele structurii numai forţe axiale, sistemul de ecuaţii nu are termeni liberi, fiind

deci un sistem omogen, iar necunoscutele Xi au valoarea zero, ceea ce

reprezintă soluţia banală a sistemului. Pentru a obţine valorile nenule ale

necunoscutelor Xi, condiţia de determinant nul conduce la ecuaţia de stabilitate

de mai sus. În cazul în care pe bare acţionează şi forţe transversale, atât timp cât

structura se află în echilibru stabil, ecuaţiile de condiţie au forma relaţiilor (III.75)

de la calculul de ordinul II. Pentru ca structura să-şi piardă echilibrul este necesar

ca valorile necunoscutelor Xi să crească foarte mult, ceea ce presupune ca

determinantul matricei necunoscutelor să devină egal cu zero şi se ajunge deci

0ν


58

tot la ecuaţia de stabilitate dată de relaţia (III.76). După ce se determină factorul

etalon de compresiune , sistemul de ecuaţii devine compatibil. Se alege o

valoare arbitrară a necunoscutei Xi şi se determină toate celelalte în funcţie de

aceasta. Studiind apoi sistemul de bază sub influenţa acestor forţe se obţine din

punct de vedere calitativ forma de pierdere a stabilităţii.

0ν

III.5.2 Metoda deplasărilor

Similitudinea cu calculul de ordinul I se păstrează, însă în determinarea

coeficienţilor necunoscutelor se ţine seama de influenţa forţei axiale. Sistemul de baza

ales se consideră cu nodurile blocate la translaţii şi rotiri, iar barele componente

ale sistemului de bază sunt dublu încastrate sau încastrat-articulate. Momentele

încovoietoare de la capetele barei sunt puse în evidenţă prin articulaţii şi pentru a

determina expresiile momentelor se va considera cazul barei din figura III.11.

Figura III.11

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

+−−=+−−=

νθiνφiνφimMνθiνφiνφimM

ABABAABBABBABA

ABABBABAABABAB

432

432

624624

(III.77)

( ) ( )νφθiνφimM ABABAAB'

AB'

AB 11 33 +−= (III.78)


59

Relaţiile (III.77) sunt valabile pentru situaţia barei dublu încastrate, iar

relaţiile (III.78) pentru situaţia barei cu încastrare în A şi articulată în B.

Notaţiile utilizate în relaţiile de mai sus sunt:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

−=

−==

=

2212

242

2244

322

8433

1

2

224

223

222

2

1

ννtg

νtgν

βαβανφ

ννtgνsin

νsinννβα

βνφ

ννtgνtg

ννtgνβα

ανφ

ννtgνtgν

ανφ

lEIi

AB

ABAB

(III.79)

Expresiile momentelor de încastrare perfectă care intervin în relaţiile

momentelor încovoietoare pentru bara dublu încastrată, respectiv încastrat-

articulată sunt:

αim

βαβαim

βαβαim

AABAB

'

AAABBA

BAABAB

3

426

426

22

22

=

−+

=

−+

=

(III.80)

Rotirea de nod în calculul de ordinul al II-lea poate fi scrisă sub forma:

E

III

PPφ

−=

1

1 (III.81)

PE fiind forţa critică Euler, iar este rotirea de nod în calculul de ordinul I. Iϕ

Calculul de ordinul II constă în rezolvarea sistemului de ecuaţii:


60

(III.82) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++++

=++++

0

0

02211

101122111

nnnnnn

nn

RrZ...rZrZ.

RrZ...rZrZ

Deducerea coeficienţilor şi a termenilor liberi R se face utilizând principiul

deplasărilor virtuale ţinând seama şi de cuplul realizat de forţele longitudinale P

pentru cazul rotirilor de bară.

r

Făcând notaţia rotirilor de noduri prin indicii j, g, h (cu j’ şi h’ noduri

articulate) şi prin k, l a gradelor de libertate, se poate scrie:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )∑ ∑ +−+−=

∑ ∑+=

∑+∑−∑−=

∑ ∑+=

=

−=

∑ ∑−−=

jh 'jhk,Qk,'jh'jhk,jhhjjh0k

h h'jhjh0j

'h'j'h'jl,'h'jk,'h'jh'j'

'jh'jhl,'jhk,'jhjh'

jhjhl,jhk,jhjhkl

h 'h'jhk,'jhk,jh'jhk,jhjhjk

jg

jgjgjg

h 'h'jh'jhjhjhjj

Lθm'θmmR

m'mR

νθθiνηθθi3νηθθi12r

νφθi3νφθi6rrain structunu exista jg daca bara ,r

jg apentru bar ,νφi2r

νφi3νφi4r

î

212

14

3

12

0 (III.83)

În relaţiile de mai sus este rotirea barei ce corespunde gradului de

libertate Zk=1, LQ,k este lucrul mecanic efectuat de forţele exterioare transversale

parcurgând deplasările cinematice corespunzătoare gradului de libertate Zk=1, iar

funcţiile sunt definite astfel:

k,jhθ jh

21 η,η

12

32

42

2

11

ν)ν(φη

ν)ν(φη

−=

−= (III.84)

Etapele realizării unui calcul de ordinul II utilizând metoda deplasărilor sunt:

1. Se determină forţele axiale printr-un calcul de ordinul I;

2. Se calculează factorii de compresiune ν ;

3. Se determină coeficienţii r şi termenii liberi R din sistemul de ecuaţii;

4. Se rezolvă sistemul de ecuaţii;

5. Se calculează momentele de la capetele barelor;


61

6. Se determină eforturile în bare considerându-se bare dublu articulate

încărcate transversal cu forţe exterioare şi momente de capăt şi cu forţe

longitudinale, ţinând seama şi de deplasările de noduri.

Pentru efectuarea calculul la stabilitate, factorii de stabilitate ai structurii se

pot exprima în funcţie de factorul de compresiune etalon, iar ecuaţia de

stabilitate, exprimată prin determinantul sistemului de ecuaţii, devine:

( ) 0

21

11211

0 ==

nnnn

n

r.rr........

r.rr

νD (III.85)

Ecuaţia de stabilitate prezentată mai sus se rezolvă prin încercări. Se poate

demonstra că, în cazul în care structura se află în echilibru stabil, deci pentru

factori de compresiune mai mici decât factorul de compresiune critic

(pentru care structura se află în echilibru critic), valoarea determinantului

sistemului este pozitivă ( ). În cazul în care

0ν crν

00 >)ν(D crνν =0 , echilibrul este

stabil la limită şi . 00 =)ν(D

Pentru a reduce numărul de încercări efectuate se poate utiliza relaţia de

interpolare aproximativă:

ji

jjii

cr DDνDνDν

−⋅−⋅

≅ 00 (III.86)

în care reprezintă valorile determinantului sistemului dat de relaţia (III.85)

pentru factori de compresiune mai mici decât factorul de compresiune critic

ji D,Diν0

ν , respectiv pentru factori de compresiune mai mari decât cel critic. În relaţia

(III.84) valorile determinanţilor se introduc cu semnele lor, plus sau minus.

jν0

ji D,D

CAPITOLUL IV CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE

CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL

BAREI IZOLATE

IV.1 CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI CU IMPERFECŢIUNI

Cazul barei studiate de Euler reprezintă un caz ideal, foarte rar întâlnit în

practică, unde în general barele sunt afectate de prezenţa imperfecţiunilor de

diverse tipuri. Exemple ale unor astfel de imperfecţiuni sunt: deformări iniţiale ale

axelor elementelor, excentricităţi în aplicarea forţelor de compresiune şi apariţia

unor mici încărcări accidentale transversale.

IV.1.1 Bara cu mici curburi iniţiale

Pentru studiul problemei [8], [77], [90] se consideră o grindă simplu

rezemată ca cea din figura IV.1.

Figura IV.1

Se presupune că grinda are secţiune transversală constantă şi este

încărcată cu forţe longitudinale de compresiune P. Asimilând curbura iniţială a

barei cu o sinusoidă cu o singură undă:

lxπsinfy =0 (IV.1)

62


exprimând momentul încovoietor pe axa deformată a barei şi ţinând seama de

expresia curburii se ajunge la următoarea ecuaţie diferenţială:

lxπsinfkyk''y 22 −=+ cu

EIPk =2 (IV.2)

Soluţia acestei ecuaţii este de forma:

( )lxπsinf

lkπ

kxcosBkxsinAy1

1

22

2

−++= (IV.3)

Exprimând condiţiile la limită :

(IV.4)

⎩⎨⎧

==

=

⎩⎨⎧

==

=

0000

0

My

:lx

My

:x

rezultă forma ecuaţiei de echilibru critic:

010

==klcosklsin

D (IV.5)

care este identică cu cea a barei fără imperfecţiune.

În ipoteza D ≠ 0 rezultă A = 0; B = 0 şi pornind de la relaţia (IV.3), făcând notaţia:

2

22

22 π

lk

lEIπ

PPPα

cr

=== (IV.6)

se obţine soluţia descoperită de Stephen Timoshenko [90] şi anume:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

−=+=

−=

−=

00

0

11

11

11

yαl

xπsinfα

yyy

yα

αlxπsinf

ααk

tot

(IV.7)

IV.1.2 Bara comprimată excentric Bara considerată în studiul anterior este încărcată cu forţele longitudinale de

compresiune P, aplicate excentric, la distanţa e faţă de axa secţiunii (Fig. IV.2).

Forţa axială este presupusă constantă în lungul barei (N = P).

63


Figura IV.2

Expresia momentului încovoietor într-o secţiune curentă a barei este:

( ) ''EIyyePM −=+= (IV.8)

Făcând notaţia: EIPk =2 se obţine ecuaţia diferenţială de ordinul II:

(IV.9) keyky '' −=+ 2

având soluţia de forma:

( ekxcosCkxsinCy ) −+= 21 (IV.10)

Ecuaţia de echilibru critic: 010

==klcosklsin

D este exact cea din care s-a

dedus expresia încărcării critice a barei încărcate cu forţele longitudinale P aplicate

centric.

În ipoteza D ≠ 0 expresiile celor două constante din sistemul de ecuaţii,

expresiile săgeţilor grinzii şi ale momentelor încovoietoare maxime sunt:

( )

2

1

1222

21

21

klcosPeyePM

klcosklsinkltgey

eC;kletgklsin

klcoseC

maxmax

max

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

==−

=

(IV.11)

64


IV.1.3 Bara cu mici încărcări transversale accidentale

Modelul considerat în acest caz se referă din nou la bara simplu rezemată,

cu secţiune transversală constantă, dar de această având axa perfect rectilinie.

Bara este încărcată transvesal cu forţa distribuită p(x) şi cu două momente

încovoietoare M1 şi M2 (Fig. IV.3).

Figura IV.3

Bara se consideră încărcată în două etape: prima în care se aplică forţa

p(x), M1 şi M2 cărora le corespunde ca poziţie deformată y0(x), iar ca efort

momentul încovoietor M0(x). În a doua etapă este aplicată şi încărcarea axială P

care conduce la sporirea deformaţiei y(x), precum şi la modificarea valorii

momentelor încovoietoare după relaţia:

)x(Py)x(M)x(M −= 0 (IV.12)

Înlocuind în această expresie relaţia momentului ţinând seama de curbură

şi făcând notaţia ''EIyM = EI/Pk =2 se obţine ecuaţia diferenţială de mai jos:

EIM

yky '' 02 =+ (IV.13)

Dacă se dezvoltă momentele încovoietoare iniţiale în serie Fourier sub

forma:

65


∑=∞

=100

nn l

xπnsinQ)x(M (IV.14)

în care Q0n sunt coeficienţi Fourier şi au forma:

dxll

xπnsin)x(MQl

n12

000 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∫= (IV.15)

Aceşti coeficienţi pot fi determinaţi cunoscând forma funcţiei momentelor

încovoietoare iniţiale M0(x). Soluţia ecuaţiei diferenţiale (IV.15) se caută sub

forma unei serii Fourier în sinus:

∑=∞

=1nn l

xπnsinq)x(y (IV.16)

qn fiind coeficienţi necunoscuţi.

Fiecare din termenii ecuaţiei (IV.16) satisface condiţiile de margine

y(0)=y(l)=0. Înlocuind ecuaţiile (IV.14) şi (IV.16) în (IV.13) se obţine ecuaţia :

∑ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∞

1

02

2 0lxπnsin

EIQq

lπnqk n

nn (IV.17)

Ecuaţia de mai sus trebuie să fie îndeplinită pentru orice valoare x şi

deoarece funcţiile ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

lxπnsin sunt liniar independente, paranteza trebuie să fie

egală cu zero. Rezultă astfel coeficienţii necunoscuţi care definesc forma

deformată a barei:

nq

E

nn PnP

Qq 20

−= (IV.18)

Coeficienţii necunoscuţi ai formei defomate iniţiale pot fi obţinuţi similar

utilizând relaţii de forma (IV.16-IV.18) şi punând condiţia P=0. Rezultă:

nq0

)Pn/(Qq Enn2

00 −= (IV.19)

Deci exprimând forma deformată curentă a barei funcţie de forma

deformată iniţială coeficienţii sunt: nq

)P/P(

qqn,cr

nn −=

11

0 (IV.20)

66


în care 2

22

lEIπnP n,cr = este a n-a forţă critică a barei.

IV.2 BARA SIMPLU REZEMATĂ CU IMPERFECŢIUNI. PROBLEMA LIMITĂRILOR ÎN CALCULUL DE ORDINUL II

IV.2.1 Stabilirea limitei de comportament elastic Se cunoaşte faptul că, în domeniul elastic se pot scrie relaţiile :

2

2

2

2

dxydP)x(q

dxdT

TdxdM

EIM

dxyd

+−=

=

−=

(IV.21)

care corespund unei bare simplu rezemate solicitate de o forţă transversală q(x)

şi de foţele P aplicate la capete, pe direcţia axei barei.

Ecuaţia diferenţială de ordinul IV în statica de ordinul II a barei este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

2

2

4

4 11dx

ydP)x(qEIdx

MdEIdx

yd (IV.22)

Dacă încărcarea transversală pe bară q(x) = 0, dar avem o imperfecţiune

iniţială de tip sinusoidal: xlπsinee 0= atunci se poate face notaţia (Fig.IV.4):

(IV.23) )x(e)x(y)x(V +=

Figura IV.4

67


Tot ceea ce ţine de deplasările suplimentare în raport cu e, adică 4

4

dxyd

depinde de y, iar efectul forţei exterioare P (în principal momentele

încovoietoare), ţine de V. Deci în continuare putem scrie:

xlπsin

lπe

EIPx

lπsin

lπe

EIP

dxed

EIP

dxyd

EIP

dxyd

dxedP

dxydP

EIdxVdP

EIdxyd

2

2

02

2

02

2

2

2

4

4

2

2

2

2

2

2

4

4 11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

(IV.24)

Făcând notaţia 2kEIP

= se ajunge la următoarea ecuaţie diferenţială de

ordinul IV:

xlπsin

lπek

dxydk

dxyd

2

2

02

2

22

4

4

=+ (IV.25)

Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este:

yCxCkxcosCkxsinCy ++++= 4321 (soluţia particulară) (IV.26)

Să încercăm găsirea soluţiei particulare, considerând o soluţie de forma:

xlπsinα)x(y = (IV.27)

Se înlocuieşte această formă a soluţiei în relaţia (IV.25) şi rezultă:

2

2

2

2

0

2

2

02

2

22

4

4

1πl

EIPπle

EIP

αlπek

αlπk

lπα

−=→=− (IV.28)

Deci o altă formă finală a lui α este:

cr

cr

PP

ePP

−=α

1

0

(IV.29)

Dacă bara este simplu rezemată (Fig. IV.4), aşa cum s-a presupus la

începutul paragrafului, condiţiile de margine sunt:

(IV.30)

⎩⎨⎧

==

=

⎩⎨⎧

==

=

0000

0

My

:lx

My

:x

68


Ţinând seama de configuraţia lui )x(y rezultă că soluţia particulară se

anulează atât pentru x =0 cât şi pentru x = l, lucru valabil şi pentru derivata

secundă a soluţiei particulare. Rezultă un sistem omogen în C1, C2, C3 şi C4 de

unde rezultă că toate aceste constante sunt la rândul lor nule.

Deci soluţia (IV.26) a ecuaţiei diferenţiale de ordinul IV rămâne:

xlπsin

PP

ePP

y

cr

cr

−=

1

0

(IV.31)

Pornind de la premiza enunţată anterior conform căreia V = y + e (Fig. IV.4)

şi scriind ca M = P·V rezultă:

xlπsin

PP

PP

Pexlπsin

PP

ePP

PxlπsinPeM

cr

cr

cr

cr

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+=

−+=

11

10

0

0 (IV.32)

cr

I

cr

II

PP

M

PP

xlπsinPeM

−=

−=

1

1

1

10 (IV.33)

Diagramele de variaţie încărcare-deplasare (P-Δ) şi moment încovoietor-

încărcare pentru diverse valori ale lui P au formele din figura IV.5.

Figura IV.5

Din examinarea figurii IV.5 rezultă că diagramele încărcare-deplasare şi

moment încovoietor-încărcare P sunt afine. Pentru o valoare nulă a forţei (P = 0)

şi valoarea momentului încovoietor M = 0, deoarece M = P (y + e) = 0.

69

CAPITOLUL IV CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE Trebuie menţionat faptul că diagramele prezentate mai sus sunt valabile

pentru o comportare elastică a materialului şi că deci 2

2

lEIPP EULERcr

π== . Pentru

extinderea calculului aceasta rămâne doar o notaţie. Se pune problema găsirii

punctului limită până la care scenariul prezentat mai sus este valabil.

O primă posibilitate de a găsi o limită pentru practica inginerească este ca,

efectuând un calcul de ordinul II, să se considere ca situaţie limită aceea când

fibra cea mai comprimată ajunge la limita de curgere a materialului, cσ .

Considerând, în mod aproximativ, că limita de proporţionalitate este destul de

aproape de , aceasta ar fi o limită de valabilitate a calculului efectuat.

pσ

cσ

În punctul de maxim al secţiunii transversale a barei, s, putem scrie că (Fig.

IV.6):

Figura IV.6

el

maxs W

MAP+=σ (IV.34)

011

11

1

1

,

02

,

02

,

0

,

0

,

max

,

max

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−

=+++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

+

=+

=+=

ccr

c

xelcr

ccr

cxelcr

crc

xelcr

c

cr

xel

cxel

cxel

s

PWe

AP

APP

PP

WeP

AP

APP

PP

WPe

PP

AP

PPW

PeAP

WP

AP

WM

AP

σσ

σσ

σ

σ

σΔ

σσ

(IV.35)

70


Ultima expresie se constituie într-o ecuaţie de gradul II, necunoscută fiind

mărimea forţei P.

Soluţia acestei ecuaţii de ordinul al II-lea în P furnizează tocmai expresia

încărcării limită elastice, care este următoarea:

cr

cr

c

cr

c

xelcr

c

xelcr

c

xelcr

c

xel

AP

APPWe

PAWe

APWe

APWe

AP

2

42121211

,

0

,

02

2

2,

20

2,

0 σσσσσ−+++++±++

=(IV.36)

Pentru exemplificare să considerăm un caz numeric.

EXEMPLU NUMERIC

Se consideră o grindă simplu rezemată ale cărei dimensiuni sunt

prezentate în figura IV.7 şi se presupune că încovoierea se face numai în planul

vertical.

P P

5 mx

y

Figura IV.7

Datele iniţiale cunoscute ale problemei sunt:

− profilul utilizat este un profil I 40, realizat din oţel OL 52;

− aria este 210 mm4; 118×=A

− momentele de inerţie sunt Ix = 29210×104 mm4, Iy= 1160×104 mm4, iar

modulele de rezistenţă sunt Wx = 1460×103 mm3,Wy = 149×103 mm3;

− σc = 240 N/mm2;

− excentricitatea iniţială a grinzii are formă sinusoidală, cu valoarea

maximă: 1500500

5001

0 === le cm, după axa y (Fig. IV.7).

Considerând deformaţia în planul vertical, rezultă că încărcarea critică Pcr

elastică (după Euler) are valoarea:

71


72

62

2

2

1042102500

292101012×=

×××π=

π= .,

lEIPcr N

68

63

,

0

52

1262

10991.0104210.2

240

10685.0101460

1

10475.810118

11

1035.0104210.210118

11

−

−

−

−

×=×

=

×=×

=

×=×

=

×=×××

=

cr

c

xel

cr

P

We

A

AP

σ

După înlocuiri şi prelucrări se ajunge la următoarea ecuaţie de gradul al II-

lea:

sau multiplicând cu 1012

rezultă:

01040210151010350 17212 =×+×−× −−− .P.P.

701033381510

701036310043103101510

010402101510350511105

1152

.)..(

....P

.P.P.

×±=

×−×±×=→

=×+×−

Se reţine doar soluţia:

ellim,P...

.P =×=×=×

= N102597010597270

108181 755

Deoarece s-a considerat atingerea lui cσ în punctul extrem, acestei mărimi

i se poate aplica un coeficient de siguranţă.

N 72 10283024010118 ×=××=σ×= .AN cpl

O primă verificare este:

107.04210.22597.0

4210,2

lim, ==cr

el

PP

87

lim,0lim, 10290818.0

107.01110102597.0

1

1×=

−×××=

−=

cr

elel

II

PP

ePM N

240101460

10290818.010118

102597.03

8

2

7

,

lim,max =

××

+××

=+=xel

IIel

WM

AP

σ N/mm2

72


IV.2.2 Consideraţii privind comportarea post-elastică Aşa cum s-a arătat anterior şi s-a reprezentat în principiu în figura IV.5, se

poate trasa o curbă de legătură (interacţiune) între momentul încovoietor maxim

şi încărcarea exterioară P, curbă a cărei formă este similară cu cea care

defineşte relaţia Δ−P .

Pe de altă parte, între mărimile şi M N se pot stabili relaţii de condiţionare.

Astfel, dacă se pune problema stabilirii legăturii funcţionale între M şi N astfel

încât toate punctele de pe secţiune să rămână în domeniul elastic, considerând

valorile absolute ale lui şi presupunând că elementul studiat are secţiune

transversală simetrică, se poate scrie următoarea relaţie:

σ

cel

max WM

AN

σ≤+=σ (IV.37)

Se obţine astfel, în planul MN − , o dreaptă ca în figura IV.8. Orice punct de

pe această dreaptă respectă condiţia că inalargmσ (din fibrele extreme ale

secţiunii) este egal cu . De precizat faptul că s-a presupus că materialul are un

comportament liniar elastic până la atingerea lui

cσ

cσ .

Figura IV.8

73

CAPITOLUL IV CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE Se poate însă propune, ca şi condiţionare, să găsim o relaţie între M şi N

astfel încât pentru o pereche de valori secţiunea să fie integral plastifiată. Se

cunoaşte din literatură [22], [93], că pentru o secţiune dreptunghiulară relaţia

este:

N,M

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

plpl NN

MM (IV.38)

Această curbă parabolică este valabilă numai pentru secţiunea

dreptunghiulară şi este arătată în principiu în figura IV.8. Pentru alte tipuri de

secţiuni relaţiile sunt mult mai complicate, dar practic se poate accepta o

parabolă (bineînţeles că valorile de la capete şi trebuie să corespundă

secţiunii). Se poate accepta chiar o dreaptă în loc de curba parabolică.

plM plN

Pornind de la o curbă Δ−P cunoscută şi considerând diverse curbe de

interacţiune între momentul încovoietor şi forţa axială se poate remarca faptul că

aceste curbe de intercaţiune sunt intersectate în diferite puncte de curba Δ−P .

Întrebarea care se pune pentru rezolvarea problemei este cum evoluează curba

începând din punctul (Fig. IV.8), având în vedere faptul că limita

elastică a fost depăşită. În orice caz, din punctul mai departe, valorile

încărcării mai pot creşte, deoarece în acest punct secţiunea este încă integral

elastică. Dacă valorile lui P cresc, vor creşte şi valorile momentului încovoietor

M, deoarece

Δ−P 1O

1O

( yePM + )= . Cum numai în fibrele marginale rigiditatea se

micşorează (prin atingerea limitei de curgere), rigiditatea generală nu poate să fie

afectată prea mult.

Lucrarea de faţă este limitată la ipoteza comportării elastice a materialului.

Problema comportării în calculul de ordinul II şi a stabilităţii în domeniul post-

elastic reprezintă numai o problemă practic în studiu şi depăşeşte obiectul lucrării

de faţă.

Din acest motiv se vor face aici numai câteva propuneri de studiu calitativ.

Ţinând seama de forma relaţiei restrânse între curbele limitei elastice şi

plastice, vom accepta că alura curbei Δ−P pe această zonă rămâne valabilă

cea care a fost dedusă pâna acum (în ipoteza comportării elastice).

74


În aceste condiţii, o situaţie limită ar constitui-o atingerea stării de plastifiere

a secţiunii (punctul ), care reprezintă intersecţia dintre curba de interacţiune

plastică şi curba . Coordonatele punctelor de intersecţie ar constitui

răspunsul căutat, adică mărimea

2O

Δ−P

NP = constând în limita la care trebuie aplicat

coeficientul de siguranţă corespunzător.

Revenind la profilul I 40 utilizat în precedentul exemplu numeric, se poate

calcula Wpl după cum urmează:

3xpl W mm1018.172510

284.1744.192.1816.25.152 33

2

, ×=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+××=

Eforturile secţionale în stadiul plastic se pot calcula astfel:

Nmm1014.42401018.1725 83,, WM cxplxpl ×=××=×= σ

N10283.0 7 Npl ×=

Nmm105,3240101460 83,,lim, WM cxelxel ×=××=×= σ

(calculat neţinând seama de încărcarea P)

Având în vedere că valoarea lui Pcr este mai mare decât Npl atunci problema

limitării poate fi discutată în acest caz, cum s-a arătat anterior, după diagrama

din figura IV.8.

Considerând acum flambajul în celălalt plan şi urmărind evaluarea aceloraşi

mărimi ca şi în cazul precedent putem scrie că:

259616945000

10116010122

452

2

2

..πlEIπPcr =

××××== N

4

43

,

0

42

112

104956.225.961694

240

10671.010149

10

108475.010118

11

10812.825.96169410118

11

−

−

−

−

×==

×=×

=

×=×

=

×=××

=

cr

c

yel

cr

P

We

A

AP

σ

75

CAPITOLUL IV CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE Ecuaţia de gradul al II-lea este în acest caz:

cu soluţia acceptată: 0102401014.40812.8 1162 =×+×− PP

36.707928812.82

10525.84591022.16111014.40 11126

=×

×−×±×=→ P N

Sarcina critică în acest al doilea caz este mai mică decât Npl şi deci

problema se studiază într-o manieră puţin diferită de precedenta, în ceea ce

priveşte curba de interacţiune. Valorile momentului încovoietor limită elastic

Mlim,el şi momentului încovoietor plastic Mpl sunt:

N 3576000024010149 3,,lim, =××== cyelyel WM σ

62272800240105,1532,441 32

,, =××××== cyplypl WM σ Nmm

Dacă se calculează momentul încovoietor din acţiunea încărcării limită

elastice:

69.26828295

25.96169436.7079281

1036.707928

1

0 =−

×=

−=

cr

l

PP

PeM Nmm

Sistemul de curbe după care se poate studia problema în acest al doilea

caz este cel din figura IV.9.

Figura IV.9

76


Valorile numerice obţinute pentru cazul prezentat mai sus sugerează o

relativă apropiere între cele două curbe de interacţiune. Pe baza acestei

constatări, în lucrare se propune să se considere drept punct limită punctul . 1O

IV.2.3 Condiţionări de deformabilitate

Pentru această ultimă situaţie, corespunzătoare calculului geometric neliniar

se poate stabili o condiţie şi anume:

a) nl

V 1≤ sau (IV.39)

b) nl

y 1≤ (cu n putând lua valorile 200, 300, 400 etc.) (IV.40)

Prima relaţie presupune limitarea deformaţiei totale (provenită atât din

excentricitatea iniţială a barei cât şi din deformaţiile ulterioare ale acesteia). După

înlocuirea lui V(x) vom avea:

0max

0

max

1

1)()(

eePP

ePP

y

nlxexy

cr

cr

=

−=

≤+

(IV.41)

Rezolvând în continuare inegalitatea vom avea:

lne

PP

lne

PP

nl

e

PP

ePP

cr

cr

cr

cr

0

0

0

0

1

111

−≤

≥−→≤

+−

(IV.42)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤⇒lne

PP cr01 (IV.43)

77


Pentru cazul particluar n = 200 ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−≤→l

l

PP cr

2005001 (IV.44)

crcr PPPP 6,05002001 ≤⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −≤ (IV.45)

Se poate observa că n poate varia în acest caz pâna la valoarea de

500 pentru care P = 0. Deci criteriul limitării lui V(x) este destul de restrictiv în

ceea ce priveşte valoarea forţei P.

Dacă pornim de la relaţia b) atunci ţinând seama de relaţia (IV.31) putem

scrie că:

ln

PP

ePP

y

cr

cr 1

1

0

max ≤−

= (IV.46)

nle

nl

PP

nle

nl

PP

nl

nl

PPe

PP

crcr

crcr

+≤→

+≤

≤+

00

0

(IV.47)

Dacă se consideră cazul particular n = 200 rezultă:

crcrcr PPPPll

l

PP 71,0002.0005,0

005,0

200500

200 ≤→+

≤→+

≤ (IV.48)

Pentru n = 500 (IV.49) crPP 5,0≤→

Revenind la exemplul analizat, conform relaţiei (IV.48), încărcarea trebuie

să aibă valoarea limită:

N 92.68280225.96169471,071,0 =×=≤ crPP

Conform relaţiei (IV.49) rezultă:

N 13.48084725.96169450,050,0 =×=≤ crPP

78


De aici se poate concluziona că pentru anumite situaţii apărute în practică,

condiţia de deformabilitate ar putea fi mai restrictivă de cât celelalte enunţate. În

această lucrare se recomandă a fi utilizată forma b) a condiţiei de

deformabilitate.

IV.3 STABILITATEA BARELOR PE MEDIU ELASTIC

IV.3.1 Statica de ordinul II a barei comprimate aşezată pe mediu elastic

În cazul podurilor metalice cu grinzi cu zăbrele fără contravântuire

superioară ce au calea situată la partea inferioară, pentru o anumită valoare a

încărcărilor exterioare, talpa superioară comprimată poate flamba lateral.

Deoarece, în sens transversal, tendinţei de deplasare laterală a tălpii se opun

doar semicadrele transversale formate din antretoaze şi montanţi, în studiul tălpii

comprimate se poate admite ca model simplificat de calcul, modelul barei

aşezată pe mediu elastic. Fie un mediu elastic caracterizat de relaţia:

yβpel = (IV.50)

în care β reprezintă răspunsul mediului la o deplasare unitară a unei grinzi şi

având dimensiunea [FL-2], iar p [FL-1]. Pe de altă parte, se ştie că în stare

deformată există relaţiile (IV.51), (Fig. IV.10):

Figura IV.10

în care q(x) este încărcarea efectivă pe bară

79


y

dxydPxq

dxdT

TdxdM

β++−=

=

2

2

)( (IV.51)

Se cunoaşte faptul că între momentul încovoietor şi deplasare există relaţia:

EIM

dxyd

−=2

2

(IV.52)

Derivând încă de două ori şi presupunând EI=constant se obţine:

EI

xqyEIdx

ydEIP

dxyd )(

2

2

4

4

=++β (IV.53)

Se notează:

4

2

4λEIβ

kEIP

=

= (IV.54)

⇒ EI

)x(qyλdx

ydkdx

yd=++ 4

2

22

4

4

4 (IV.55)

O verificare de principiu a relaţiei (IV.55) este următoarea:

a) Dacă răspunsul mediului este nul, adică β =0 ⇒ 4 = 0 şi se ajunge la

ecuaţia:

4λ

EI

xqdx

ydkdx

yd )(2

22

4

4

=+ (IV.56)

ecuaţie ce corespunde staticii de ordinul al II-lea a barei comprimate.

b) Dacă P = 0 ⇒ k = 0 şi rezultă:

EIxqy

dxyd )(4 44

4

=+ λ (IV.57)

relaţie corespunzătoare grinzii pe mediu elastic.

Pentru rezolvarea ecuaţiei (IV.55) trebuie ţinut cont de faptul că este o

ecuaţie diferenţială de ordinul al II-lea. Pentru ecuaţia omogenă, ecuaţia

caracteristică are forma:

(IV.58) 04 4224 =++ λrkr

80


( ) ( )44

42222

1604

λkΔλrkr

−=

=++

2

16 4422 λkkr −±−= (IV.59)

Relaţia (IV.59) se mai poate scrie sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±−= 4

422 1611

2 kλkr (IV.60)

Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale va fi diferită după cum discriminantul Δ este

pozitiv sau negativ. Se începe discuţia cu cazul în care discriminantul este

pozitiv [121], [122] (adică pentru valori mici ale lui λ şi valori mari ale lui k)

I. 0161 4

42 >−=

kλΔ (IV.61)

Deci ( )Δkr ±−= 12

22

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

+−

Δk

Δk

12

12

2

2

(IV.62)

Soluţiile finale sunt:

βiΔikr

Δkβ unde βiΔikr

αiΔikr

Δkα unde αiΔikr

−=−−=

−==−=

−=+−=

+==+=

121

12

121

121

12

121

4

3

2

1

(IV.63)

Soluţia ecuaţiei omogene este:

(IV.64) xβixβixαixαiom DeCeBeAey −− +++=

Dar (IV.65) xβsinixβcose xβsinixβcosexβsinixβcose xαsinixαcose

xβixβi

xβixαi

−=−=

+=+=−−

şi înglobând i în constante se poate scrie:

⇒ xβsinCxβcosCxαsinCxαcosCyom 4321 +++= (IV.66)

iar soluţia generală este:

81

CAPITOLUL IV CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE partom yyy += (IV.67)

party pentru ecuaţia (IV.55) depinde de forma funcţiei q(x), adică de

încărcare. Constantele de integrare se determină din condiţiile de margine.

O verificare a relaţiei (IV.65) este următoarea:

a) Dacă λ = 0 , din relaţia (IV.60) rezultă: Δ =1 şi α = k, iar β = 0, deci r3 = r4

=0 şi forma generală devine:

4321 CxCkxsinCkxcosCyom +++= , (IV.68)

adică exact partea omogenă a ecuaţiei axei deformate a barei comprimate în statica

de ordinul II.

II. 0161 4

42 <−=

kλΔ (IV.69)

( 1

22 1

2Δikr ±−= ) (IV.70)

unde Δ1 este aici pozitiv, adică 116 4

42

1 −=kλΔ

Pentru ecuaţia omogenă soluţiile sunt:

1412

1311

1211

21

1211

21

Δiikr Δiikr

Δiikr Δiikr

−−=+−=

−=+= (IV.71)

Să încercăm o transformare a relaţiilor (IV.71), pentru rădăcina r1:

( ) ABiBAΔik

iBAΔiki

212

12

221

2

1

+−=+−

+=+ (IV.72)

⇓

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=−

1

2

222

22

2

ΔkAB

kBA ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

21

422

222

44

2

ΔkBA

kBA (IV.73)

82


21

4222

424 ΔkkAA =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ⇒ 0

424 2

1

4224 =−+ ΔkkAA (IV.74)

→ ( )21

221

2221

4422 11

441

8442

ΔkΔkkΔkkkA +±−=

+±−=

+±−= (IV.75)

de unde reţinând din paranteză partea pozitivă rezultă:

⇒ 112

21 −+±= ΔkA (IV.76)

În mod similar rezultă că:

( ) ( ) ( )21

22

1

222

1

2222 11

4211

4211

42ΔkΔkkΔkkAB ++=+++−=+++−=+= (IV.77)

⇒ 112

21 ++±= ΔkB (IV.78)

Pentru rădăcina a doua r2, se pot scrie relaţiile:

( ) CDiDCΔik

iDCΔiki

212

12

221

2

1

+−=+−

+=+− (IV.79)

⇓

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=−

1

2

222

22

2

ΔkCD

kDC ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

21

422

222

44

2

ΔkDC

kDC (IV.80)

21

4222

424 ΔkkCC =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ⇒ 0

424 2

1

4224 =−+ ΔkkCC (IV.81)

→ ( )21

221

2221

4422 11

441

8442

ΔkΔkkΔkkkC +±−=

+±−=

+±−= (IV.82)

şi reţinând din paranteză partea pozitivă rezultă:

⇒ 112

21 −+±= ΔkC (IV.83)

Similar rezultă că:

( ) ( ) ( )114

21142

1142

21

22

1

222

1

2222 ++=+++−=+++−=+= ΔkΔkkΔkkCD (IV.84)

83


⇒ 112

21 ++±= ΔkD (IV.85)

Pentru a treia rădăcină r3, vom avea:

( ) EFiFEΔik

iFEΔiki

212

12

221

2

1

+−=−−

+=− (IV.86)

⇓

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

1

2

222

22

2

ΔkEF

kFE ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

21

422

222

44

2

ΔkFE

kFE (IV.87)

21

4222

424 ΔkkEE =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ⇒ 0

424 2

1

4224 =−+ ΔkkEE (IV.88)

→ ( )21

221

2221

4422 11

441

8442

ΔkΔkkΔkkkE +±−=

+±−=

+±−= (IV.89)

şi după reţinerea părţii pozitive rezultă:

⇒ 112

21 −+±= ΔkE (IV.90)

( ) ( ) ( )21

22

1

222

1

2222 11

4211

4211

42ΔkΔkkΔkkEF ++=+++−=+++−=+= (IV.91)

⇒ 112

21 ++±= ΔkF (IV.92)

Pentru rădăcina a patra r4, relaţiile de calcul sunt:

( ) GHiHGΔik

iHGΔiki

212

12

221

2

1

+−=−−

+=−− (IV.93)

⇓

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

1

2

222

22

2

ΔkGH

kHG ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

21

422

222

44

2

ΔkHG

kHG (IV.94)

84


21

4222

424 ΔkkGG =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ⇒ 0

424 2

1

4224 =−+ ΔkkGG (IV.95)

→ ( )21

221

2221

4422 11

441

8442

ΔkΔkkΔkkkG +±−=

+±−=

+±−= (IV.96)

şi după reţinerea părţii pozitive rezultă:

⇒ 112

21 −+±= ΔkG (IV.97)

( ) ( ) ( )21

22

1

222

1

2222 11

4211

4211

42ΔkΔkkΔkkGH ++=+++−=+++−=+= (IV.98)

⇒ 112

21 ++±= ΔkH (IV.99)

Deci pentru toate rădăcinile ecuaţiei omogene (IV.58) r1, r2, r3, r4 am obţinut

aceeaşi formă. Se introduc în continuare notaţiile:

414

211

2

414

211

2

414

211

2

414

211

2

22

2

22

1

22

2

22

1

22

2

22

1

22

2

22

1

kλkλkγΔk

kλkλkδΔk

kλkλkγΔk

kλkλkδΔk

−−=−−=−=−+−

+−=+−=−=++−

−=−==−+

+=+==++

(IV.100)

Deci soluţia ecuaţiei omogene va fi de forma:

( ) ( )xδsinCxδcosCexδsinCxδcosCey xγxγom 4321 +++= − (IV.101)

O verificare imediată a soluţiei (IV.101) este următoarea:

Când k = 0 (deci nu există forţa P) rezultă:

şi soluţia (IV.101) capătă exact forma soluţiei corespunzătoare

grinzilor pe mediu elastic.

λδγ ==

IV.3.1.1 Determinarea încărcării critice prin metoda energetică

În vederea utilizării metodei energetice se presupune existenţa unei

deformate de formă sinusoidală cu mai multe semiunde a barei studiate, aşa

85

CAPITOLUL IV CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE AL BAREI IZOLATE cum este arătat în figura IV.11 de mai jos.

Figura IV.11

Energia provenită din deformaţia prin încovoiere a barei se poate scrie sub

forma:

(IV.102) ( )∫=m/lM

i dx''yEIU0

2

Pentru deformata y se poate considera următoarea formă:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

=

=

lxπmsin

lπmC''y

lxπmcos

lπmC'y

lxπmsinCy

2

22

1

1

1

(IV.103)

Înlocuind relaţiile (IV.103) în (IV.102) se obţine:

ml

lπmEICxdx

lπmsin

lπmEICU

m/lMi 2

122 4

4421

0

24

442

1 =∫= (IV.104)

Energia provenită din răspunsul elastic al mediului este:

mlCβdx

lxπmsinCβdxyβydxyβU

m/lm/lm/lβi 2

12222

1 21

22

01

0

2

0=∫=∫=∫= (IV.105)

în care akβ = reprezintă rigiditatea mediului elastic care depinde de constanta

elastică a reorturilor izolate k şi de distanţa dintre ele a.

Lucrul mecanic efectuat de forţa critică poate fi scris astfel:

ml

lπmCPx

lπmcos

lπmCPdx'yPU cr

m/lcr

m/lcr

l 21

222 2

222

10

22

222

10

2 =∫=∫= (IV.106)

Sumând expresiile (IV.104) şi (IV.105) şi egalând cu (IV.106) rezultă:

86


22

2

2

22

2

222

1

214

442

1

221

2222πmlβ

lmEIπ

ml

lπmC

mlβC

ml

lπmEIC

Pcr +⋅

=+

=→ (IV.107)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒

EIπlβ

mm

lEIπPcr 4

4

22

2

2 1 (IV.108)

În relaţia de mai sus “m” este numărul de semiunde sinusoidale în care

poate fi împărţită bara flambată, β furnizează informaţii cu privire la rezemarea

elastică a barei, iar l, E, I sunt caracteristicile intrinseci ale barei.

Pentru determinarea numărului de semiunde pentru care expresia de mai

sus a încărcării critice este minimă considerăm pentru început cazul pentru

care nu avem mediu elastic şi deci m=1. Aceasta este cazul banal al flambajului

unei bare articulate.

Dacă 0 < β << 1 şi considerând m =1 în ecuaţia (IV.108) se poate

observa că dacă mediul elastic este foarte flexibil, bara poate flamba fără să

prezinte puncte intermediare de inflexiune. Dacă β > 1, se ajunge la situaţia în

care forţa din ecuaţia (IV.108) este mai mica pentru m = 2 decât pentru m = 1 şi

deci bara va flamba cu două semiunde egale. Valoarea limită a mărimii β se

găseşte din condiţia ca la această valoare limită, forţa P dedusă din ecuaţia

(IV.108) să dea aceeaşi valoare şi pentru m = 1 sau m = 2.

Deci se poate scrie:

EIπlβ

EIπlβ

4

4

4

4

41 +=+ ⇒ 44

4

=EIπlβ (IV.109)

Scriind aceeaşi ecuaţie când numărul de semiunde trece de la m la m +1

vom obţine valoarea limită a lui β pentru acest caz:

( )( ) EIπm

lβmEIπm

lβm42

42

42

42

11

+++=+ ⇒ ( 222

4

4

1+= mmEIπlβ ) (IV.110)

Relaţia (IV.108) care dă valoarea încărcării critice Pcr poate fi scrisă şi sub

forma:

87


2

2

LEIπPcr = (IV.111)

L fiind cunoscută în literatură sub denumirea de lungime redusă. Valorile lungimii

reduse pot fi obţinute pe baza unor tabele de valori în care au fost stabilite

rapoarte L/l în funcţie de valori EIlβ

16

4

.

Din ecuaţia ( 2224

4

1+= mmEIπlβ ) neglijând pe 1 în raport cu m, ecuaţia se

mai poate scrie:

44

4

mEIπlβ

= sau 4βEIπ

ml= (IV.112)

şi introducând valoarea de mai sus pentru m în relaţia (IV.108) a lui P se obţine:

2

222l

EIπmPcr = (IV.113)

Din cele arătate mai sus se poate observa că forţa critică de pierdere a

stabilităţii pentru o bară cu reazeme marginale aşezată pe mediul elastic este de

două ori mai mare decât pentru o bară dublu articulată de lungime l/m. Formulele

precedente pot fi utilizate şi în cazul unei rezemări discrete elastice a barei cu

condiţia ca mărimile ce definesc bara şi mediul elastic să conducă la cazul în

care unei semiunde a barei flambate să-i corespundă cel puţin trei reazeme

elastice.

IV.3.1.2 Program de calcul pentru determinarea valorii încărcării critice

În studiul problemei de stabilitate se porneşte de la soluţia (IV.101) a

ecuaţiei omogene, deoarece se constată că pentru cazurile frecvente din practică

relaţia (IV.69) este îndeplinită.

Caracteristicile barei şi ale mediului elastic sunt definite, aşa cum s-a arătat

mai înainte, prin mărimile: k, λ, γ, δ. Se disting trei cazuri posibile:

a) Cazul barei cu reazeme marginale rezemată pe mediul elastic;

88


b) Cazul barei fără reazeme marginale şi rezemată pe mediul elastic -

cazul forţelor neconservative;

c) Cazul barei fără reazeme marginale şi rezemată pe mediul elastic -

cazul forţelor conservative.

a)

b)

c)

Figura IV.12

În cazul a) condiţiile de margine sunt:

x=0: x=l: (IV.114) ⎩⎨⎧

==

00

My

⎩⎨⎧

==

00

My

Ţinând seama de mărimile exprimate anterior k, λ, δ, γ , şi de relaţiile

(IV.51), (IV.52) şi (IV.101) sistemul de ecuaţii omogen la care se ajunge este

următorul:

89


(IV.115) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−++−

++−+−−

=+++

=−−++−

=+

−

−

02222

0022

0

422

322

222

122

4321

422

3222

1

31

ClδcosγδlδsinδγeClδsinγδlδcosδγeClδcosγδlδsinδγeClδsinγδlδcosδγe

lδsinClδcosCelδsinClδcosCeγδCδγCγδCδγC

CC

lγlγ

lγlγ

lγlγ

Rezolvând sistemul (IV.115) de mai sus, adică anulând determinantul, se

ajunge în cele din urmă la o ecuaţie transcendentă în k (adică în P) care se

poate rezolva de exemplu printr-o reprezentare grafică în paşi foarte mici a

funcţiei Δ' (determinantul sistemului de ecuaţii) pentru diferite valori ale lui k (deci

ale lui P). Prima valoare nulă pentru Δ' va conduce deci la soluţia căutată.

În mod similar se rezolvă şi celelalte două cazuri corespunzând barei fără

reazeme marginale şi rezemată pe mediu elastic (forte neconservative – cazul b)

şi conservative – cazul c)).

În cazul b) al forţelor neconservative se pot scrie următoarele condiţii de

margine:

x=0: x=l: (IV.116) ⎩⎨⎧

==

00

TM

⎩⎨⎧

==

00

TM

Aceste condiţii conduc la următorul sistem omogen de ecuaţii liniare: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( ) ([ ]

( )[ ] ( )[ ]⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−−++−+−+

+−+−++−−

=−−++−+

+−++−−

=−+−−−+−

=−−++−

−−

−−

42332

33223

22332

13223

422

322

222

122

224

223

222

221

422

3222

1

33333333

02222

03333022

ClδsinγδlδsinγlδcosδlδcosδγeClδsinδlδsinδγlδcosγδlδcosγeClδsinγδlδsinγlδsinδlδcosδγClδsinδlδsinδγlδcosγδlδcosγe

ClδcosγδlδsinδγeClδsinγδlδcosδγeClδsinδγlδcosγδeClδsinγδlδcosδγe

δγδCδγγCδγδCδγγCγδCδγCγδCδγC

lγlγ

lγ

lγlγ

lγlγ

)

(IV.117)

În situaţia forţelor conservative, cazul c), se pot introduce următoarele condiţii

limită:

x=0: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

=

dxdvP

dxvdEIT

M

3

3

0 x=l:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

=

dxdvP

dxvdEIT

M

3

3

0 (IV.118)

În mod similar obţinerii sistemului de ecuaţii (IV.118) se obţine şi sistemul

de ecuaţii ce corespunde acestui ultim caz şi care este prezentat mai jos:

90


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]⎪

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−++−

+−−+−−++−

++−+−−++−

=−−++−+

+−++−−

=+−++−−+−++−

=−−++−

−

−

−−

033333

333022

2203333

022

4222222

3222222

2222

2221

222222

422

322

222

122

2224

2223

2222

2221

422

3222

1

CllδsinkγδγlδcoskδγδeClδsinkγδδlδcoskγδγeC]lδsinkδγγ

lδcoskδγδ[eClδsinkγδδlδcoskδγγeClδcosγδlδsinδγeClδsinγδlδcosδγe

ClδsinδγlδcosγδeClδsinγδlδcosδγekδγδCkδγγCkδγδCkδγγC

γδCδγCγδCδγC

lγ

lγ

lγlγ

lγlγ

lγlγ (IV.119)

Pe baza considerentelor teoretice prezentate anterior au fost realizate

programele de calcul PASFOR şi GRIMEL, care furnizează valoarea încărcării

critice pentru grinda aşezată pe mediu elastic ce are şi reazeme marginale.

Schemele logice şi programele sursă sunt date în Anexă.

EXEMPLU NUMERIC

Pentru exemplificare să consdeirăm talpa superioară a unei structuri de

pod cu grinzi metalice cu zăbrele ale cărei formă şi dimensiuni generale sunt

date în figura IV.13. În aceeaşi figură este reprezentată şi secţiunea transversală

a tălpii superioare considerate.

A

55.00

8.47

A

A - A

Figura IV.13

Reazemele elastice ale tălpii superioare sunt constituite din cadrele

transversale realizate din antretoaze şi montanţi (Fig. IV.14).

91


Figura IV.14

Reacţiunea unitară a reazemului (ţinând cont de caracteristicile geometrice

ale secţiunilor transversale ale montanţilor şi antretoazelor) este:

15.36

10435910101.2247.81.5

1037588101.2347,8

1

23

11

87

2

87

323=

×××××

+××××

=+

==

−−am EI

dhEIhy

r tf/m

În relaţia de mai sus intervin următoarele mărimi:

h este înălţimea grinzilor principale;

d reprezintă distanţa dintre axele grinzilor principale;

E este modulul de elasticitate al oţelului (E = 2.1 × 107 tf/m2);

Im este momentul de inerţie al secţiunii transversale a montanţilor;

Ia este momentul de inerţie al secţiunii transversale a antretoazelor;

y reprezintă deplasarea în sens transversal a tălpilor superioare cauzată

de aplicarea unor forţe unitare la capetele montanţilor.

Reacţiunea pe unitatea de lungime a reazemelor elastice se poate stabili,

ţinând cont de distanţa dintre două reazeme elastice consecutive, deci de

distanţa dintre cadre, pe baza relaţiei:

576551536

55.

.

..rβ === tf/m2

Momentul de inerţie al secţiunii transversale a tălpii superioare a fost

considerat ca o medie ponderată a momentelor de inerţie ale tronsoanelor din

care este alcătuită talpa superioară, după cum urmează:

92


( ) 50100446212158879305

41215882793052

1

14

1

4

1 .l

l

l

lII

ii

iii

TS =+

=×+×

=∑

∑=

=

= cm4

Considerând sistemul de ecuaţii (IV.115) şi ţinând seama de mărimile ale

căror expresii au fost prezentate în paragraful IV.3.1 şi furnizând (pe baza

programului de calcul PASFOR) un număr de paşi de forţă ca una din datele de

intrare ale programului GRIMEL s-a obţinut o reprezentare grafică a funcţiei

determinant al sistemului de ecuaţii (IV.115) în funcţie de paşii de forţă. Valoarea

abscisei pentru care funcţia determinant se anulează reprezintă chiar valoarea

încărcării critice pentru care bara aşezată pe reazeme elastice îşi pierde

stabilitatea. Această valoare obţinută conform programului de calcul este Pcr =

747 tf. (Graficul P - Δ' este prezentat în figura IV.15, Δ' fiind valoarea

determinantului sistemului de ecuaţii (IV.115), aici neavând semnificaţia generală

de deplasare).

Pornind acum, pentru o confruntare cu programul propus, de la ecuaţia

(IV.112) ( 2224

4

1+= mmEIπlβ ) şi ţinând seama de caracteristicile tălpii superioare

se obţine o ecuaţie de gradul al II-lea în m care rezolvată furnizează numărul de

semiunde m ale barei, în momentul pierderii stabilităţii.

Ecuaţia de gradul al doilea este:

431

284141

2841311

04632

...m

.mm

=+−

=+±−

=→

=−+

Această valoare a lui m introdusă în ecuaţia (IV.109) conduce la următoarea

valoare a încărcării critice Pcr:

528494319811431

44105010044610121

22

2

872

4

4

22

2

2

......π

EIπlβ

mm

lEIπPcr =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

××××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

tf

deci o valoare destul de apropiată de cea obţinută cu programul de calcul

GRIMEL.

93


VARIATIA Δ' IN FUNCTIE DE PASII DE FORTA P

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

5 95 185

275

365

455

545

635

725

Pasi de forta P[tf]

Δ'

-0.00006

-0.00005

-0.00004

-0.00003

-0.00002

-0.00001

0.00000

720.

00

729.

00

738.

00

747.

00

756.

00

Figura IV.15

O valoare şi mai apropiată de cea obţinută în urma calculului prin program

este cea obţinută pe baza tabelelor de valori din [101], care furnizează valoarea

raportului L/l pe baza raportului EIl

16

4β . Valoarea acestui raport pentru cazul

considerat este 72.96 şi interpolând liniar în tabele se obţine valoarea raportului

L/l = 0.3784. De aici valoarea lungimii reduse este (în funcţie de lungimea

teoretică a barei): L = 16.65 m. Forţa critică Pcr rezultă în acest caz utilizând

relaţia (IV.110):

94


977506516

105010044610122

872

2

2

..

..πLEIπPcr =

××××==

−

tf

O altă analiză a fost făcută cu ajutorul programului cu elemente finite

LUSAS, care va fi descris într-un capitol ulterior al lucrării. Utilizând două tipuri

de elemente finite (BM3 şi BAR2), ale căror caracteristici vor fi prezentate

ulterior, valoarea forţei critice de flambaj găsite a fost 45.751=crP tf.

IV.3.2 Statica de ordinul II a barei comprimate cu imperfecţiuni aşezată pe mediu elastic

IV.3.2.1 Determinarea încărcării critice

Pentru analizarea problemei se consideră o grindă aşezată pe mediu elastic

conform schemei din figura IV.16.

Figura IV.16

Se consideră că valoarea totală a deplasării din încovoiere a axei grinzii provine

din imperfecţiunea iniţială (e(x)), la care se adaugă deformaţia suplimentară cauzată

de efectul forţelor de compresiune (y(x)).. Deci se poate scrie relaţia:

V = e(x) + y(x) (IV.120)

Se ştie că (presupunând EI=constant):

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒−=

++−=

=

yβdx

VdP)x(qEIdx

MdEIdx

ydEIM

dxyd

yβdx

VdPxqdxdT

TdxdM

2

2

2

2

4

4

2

2

2

2

11

(IV.121)

Trecând în membrul stâng, după înlocuirea lui V(x) = e(x) + y(x) obţinem:

95


2

2

2

2

4

4

dxed

EIP

EI)x(qy

EIβ

dxyd

EIP

dxyd

−=++ (IV.122)

În cazul în care q(x) lipseşte şi toată solicitarea provine din excentricităţi

(adică din deformata iniţială) membrul drept devine:

2

2

dxed

EIP

− (IV.123)

şi poate fi considerat similar cu o încărcare fictivă:

2

2

dxedP)x(qfictiv −= (IV.124)

şi problema se rezolvă ca şi în cazul precedent dar cu o încărcare dată q(x)fictiv.

Dacă de exemplu lxπsinee 0= (IV.125)

lxπsine

lπPqfictiv 02

2

=→ (IV.126)

Termenul din partea dreaptă devine:

lxπsine

lπk

lxπsine

lπ

EIP

02

22

02

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− (IV.127)

O soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (IV.122) prezentată anterior este:

lxπsinCy = şi înlocuind în ecuaţia diferenţială de ordinul patru rezultă:

lxπsine

lπk

lxπsinCλ

lπCk

lπC 02

224

2

22

4

4

4 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ (IV.128)

4

2

2

4

4

02

22

41 λEIP

πl

lπ

elπk

C+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒ (IV.129)

O verificare de principiu se poate face considerând 0=λ , când rezultă:

cr

cr

cr PP

ePP

PP

eπl

EIP

C−

=−

=11

002

2

(IV.130)

ceea ce constituie un rezultat cunoscut.

96


Dacă deformata iniţială se alege de forma unei sinusoide cu mai multe semiunde:

l

xπmsinee 0= (IV.131)

procedând ca mai înainte se obţine următoarea expresie a constantei C:

4

22

2

4

44

02

222

41 λEIP

πml

lπm

elπmk

C+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒ (IV.132)

Se poate arăta că momentul încovoietor în statica de ordinul II este:

( )

( )

cr

I

II

PP

M

EIπlβ

lEIπ

Pe

lEIπx

lπsineC

lEIπ

xlπsin

lπe

lπCEI

dxed

dxydEI

dxVdEIxM

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−=

1

1

11

1

4

4

2

2

02

2

02

2

2

2

02

2

2

2

2

2

2

2

(IV.133)

În relaţia de mai sus s-a utilizat expresia (IV.108) prezentată în paragrafele

anterioare pentru m=1.

Introducând expresia obţinută pentru constanta C (IV.132) în expresia

soluţiei particulare y a ecuaţiei diferenţiale şi punând condiţia ca deformaţia

maximă să devină infinită pentru valoarea Pcr, devine imperios necesar ca

numitorul lui C să fie nul. Deci se poate scrie că:

041 422

2

4

44

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒ λ

EIP

πml

lπm (IV.134)

De aici rezultă aceeaşi expresie pentru încărcarea critică ca cea prezentată

în subcapitolele precedente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒ 44

442

2

2 41πmlλm

lEIπPcr (IV.135)

IV.3.2.2 Modelul simplificat de abordare cu I = Iech

Pornind de la relaţiile stabilite mai sus problema poate fi studiată în

următoarele variante, conform figurii IV.17 :

97


a) Grindă rezemată pe mediu elastic, comportând o imperfecţiune iniţială

şi având reazeme rigide la capete;

b) Grindă rezemată pe mediu elastic, comportând o imperfecţiune iniţială

fără reazeme marginale (cazul forţelor neconservative);

c) Grindă rezemată pe mediu elastic, comportând o imperfecţiune iniţială

fără reazeme marginale (cazul forţelor conservative).

a)

b)

c)

Figura IV.17

Să considerăm ca exemplu cazul c). Pornind de la expresia determinantului

ecuaţiei caracteristice a ecuaţiei dieferenţiale (IV.53) (în care q(x) este considerat

0) şi presupunând că excentricitatea iniţială a barei este o sinusoidă cu o singură

semiundă dată de relaţia (IV.131), condiţiile de margine se pot scrie astfel:

x = 0: x = l: (IV.136) ⎩⎨⎧

==

00

TM

⎩⎨⎧

==

00

TM

Soluţia ecuaţiei este dată de relaţia (IV.101) (pentru discriminant negativ) la

care se adaugă soluţia particulară:

98


( ) ( )l

xπmsinCxδsinCxδcosCexδsinCxδcosCey xγxγ ++++= −4321 (IV.137)

Relaţiile de calcul pentru momentul încovoietor şi forţa tăietoare sunt:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

3

3

2

2

dxydEIT

dxydEIM

(IV.138)

Se obţine astfel un sistem de patru ecuaţii cu patru necunoscute care nu

este omogen deoarece T=0 nu anulează termenul cu soluţia particulară:

xlπcos

lπCm

dxyd

3

33

3

3

−= nici pentru x = 0 şi nici pentru x = l. Deci, din rezolvarea

sistemului de ecuaţii se obţin constantele C1, C2, C3 şi C4.

Dacă dimpotrivă considerăm cazul a) al grinzii cu reazeme marginale,

condiţiile de margine sunt:

x = 0: x = l: (IV.139) ⎩⎨⎧

==

00

My

⎩⎨⎧

==

00

My

În cazul discriminatului negativ, pentru condiţiile de margine scrise mai sus

conduc la anularea soluţiei particluare, deoarece xlπmsinCy = şi

lxπmsin

lπmC

dxyd

2

22

2

2

−= se anulează şi pentru x = 0 şi pentru x = l, aşadar

sistemul de mai sus este omogen, adică C1 = C2 = C3 =C4 =0 şi rămâne soluţia

ecuaţiei xlπmsinCyy == (pentru mai multe semiunde ale excentricităţii iniţiale).

Ţinând seama de expresia constantei C se poate găsi o curbă de variaţie P - ymax.

În cazul în care se presupune că excentricitatea iniţială are o singură semiundă:

xlπsin

λEIP

πl

lπ

elπk

y4

2

2

4

4

02

22

41 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒ (IV.140)

Pe măsură ce forţa P creşte (adică k2 creşte), creşte şi deplasarea y şi tinde

spre infinit când numitorul expresiei de mai sus este nul, deci:

99


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⇒

+== 4

44

2

2

2

2

44

4

2 414

πlλ

lEIπP

lπ

λlπ

EIPk λ

cr (IV.141)

Din relaţia de mai sus se observă că valoarea încărcării critice pentru bara

rezemată pe mediu elastic este mai mare decât cea corespunzând barei simplu

rezemată pentru care λ = 0. Se poate spune că soluţia găsită corespunde cu cea

pentru o grindă dublu articulată, dar având alt moment de inerţie echivalent

( ) dat de expresia: λechiv II =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 4

4441π

lλII λ (IV.142)

Din cele arătate până acum se poate concluziona că o bară aşezată pe

mediu elastic, ale cărei caracteristici geometrice sunt cunocute se poate studia

de aceeaşi manieră cu o bară simplu rezemată, dar ţinând seama de faptul că

momentul de inerţie se modifică conform relaţiei (IV.142). Trebuie ţinut cont însă

de faptul că, pentru determinarea eforturilor unitare pe secţiunea elementului de bară se

va lucra cu I şi nu cu Iech = Iλ.

Dacă se presupune acum că discriminantul ecuaţiei (IV.53) este pozitiv şi

considerând cazul barei fără reazeme marginale, cu forţe neconservative, deci

cazul b), soluţia ecuaţiei diferenţiale este dată de relaţia (IV.66) la care se

adaugă soluţia particulară. Rescriind condiţiile de margine vom avea:

x = 0: x = l: (IV.143) ⎩⎨⎧

==

00

TM

⎩⎨⎧

==

00

TM

şi scriind că:

xlπcos

lπCxβcosβC

xβsinβCxαcosαCxαsinαEICdx

ydEIT

xlπsin

lπCxβsinβC

xβcosβCxαsinαCxαcosαCEIdx

ydEIM

3

33

4

33

32

313

3

2

22

4

23

22

212

2

−−

−+−−=−=

−−

−−−−−=−=

(IV.144)

rezultă sistemul de ecuaţii de mai jos:

100


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−+−

=−−−

=+++

=+

0

0

00

3

33

43

33

23

1

3

33

43

2

24

23

22

21

23

21

lπClβcosβClβsinβClαcosαClαsinαC

lπCβCαC

lβsinβClβcosβClαsinαClαcosαCβCαC

(IV.145)

Din sistemul de mai sus se deduc constantele C1, C2, C3 şi C4. Calculul

mărimii ymax se poate face dând diferite valori încărcării P şi calculând la fiecare

pas valorile mărimilor k, λ, δ, γ, fie prin intermediul relaţiei (IV.66), fie prin

intermediul relaţiei (IV.68) la care se adaugă bineînţeles soluţia particulară a

ecuaţiei diferenţiale.

În cazul c) al forţelor conservative condiţia ce se schimbă este aceea că:

dxdyP

dxydEITT =−=→≠ 3

3

0 (IV.146)

şi în final se ajunge la un sistem de ecuaţii similar cu sistemul (IV.145).

IV.3.2.3 Program de calcul pentru determinarea valorii încărcării critice

În scopul găsirii formei curbei P - ymax pentru cazul grinzii rezemate pe

mediu elastic, cu reazeme marginale şi având o imperfecţiune iniţială, a fost

întocmit programul de calcul GRINEL, ale cărui schemă logică şi sursă sunt de

asemenea prezentate în Anexa acestei cărţi. Trebuie menţionat faptul că şi acest

program de calcul se utilizează în legătură cu programul de calcul PASFOR.

Datele de intrare ale programului de calcul le constituie următorii parametrii:

− secţiunile unde se calculează ymax, prin parametrul x (distanţă);

− paşii de forţă (incrementrul forţei) P (tf);

− caracteristicile geometrice ale barei şi materialul din care este

confecţionată: E, I, l;

− caracteristicile elastice ale terenului, prin mărimea β ;

− valoarea excentricităţii iniţiale e0;

− numărul de semiunde ale excentricităţii barei, m;

101


− numărul de paşi până la atingerea forţei critice, np.

EXEMPLU NUMERIC

Considerând drept obiect de studiu tot talpa superioară a grinzii prezentată

în paragraful precedent au fost obţinute curbele P - ymax prezentate în figura

IV.18 (pentru m=1), atât pentru cazul grinzii rezemate pe mediu elastic cu

reazeme marginale, cât şi pentru cazul grinzii simplu rezemate.

În figura IV.19 sunt prezentate curbe de variaţie a deplasărilor maxime ymax

în funcţie de paşii de forţă, pentru diverse valori ale numărului de semiunde m.

Din graficul prezentat se poate observa că valoarea minimă a lui m, pentru care

se obţine încărcarea critică de ≈ 750 tf , este 1.86, aşa cum rezultă şi prin

efectuarea calcului cu ajutorul tabelelor de valori (adică utilizând relaţia (IV.111).

DIAGRAMA P - ymax

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

5 75 145

215

285

355

425

495

565

635

705

775

845

915

985

1055

1125

1195

1265

1335

Pasi forta [tf]

Dep

lasa

rea

y max

[m]

Grindå rezematå pe mediu elastic

Grindå simplu rezematå

Figura IV.18

102


CURBE DE VARIATIE P - ymax

pentru diferite valori ale numårului de semiunde

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

5 65 125

185

245

305

365

425

485

545

605

665

725

785

845

905

965

1025

1085

1145

1205

1265

1325

1385

Pasi de fortå [tf]

Dep

laså

ri [m

]

m=1m=1.1m=1.2m=1.4m=1.86m=2m=3

Figura IV.19

103

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE

PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE

V.1 GENERALITĂŢI

O structură metalică este în cele mai multe dintre cazuri realizată din

elemente liniare (tip bară) sau plane (tip placă, şaibă, membrană) care pot fi total

comprimate (cazul coloanelor, stâlpilor) sau parţial comprimate (cazul grinzilor).

În majoritatea cazurilor rezistenţa ultimă a elementelor comprimate nu mai este

definită printr-un criteriu de rezistenţă, cel al limitei elastice, ci printr-un criteriu de

stabilitate de formă.

Aşa cum s-a precizat anterior, studiul stabilităţii unui sistem constă în

determinarea încărcării exterioare pentru care sistemul se află în echilibru

metastabil, încărcare care a fost denumită încărcare critică. Cercetările teoretice

şi experimentale efectuate în decursul timpului au condus la ideea că o structură

îşi poate pierde stabilitatea prin depăşirea încărcării critice pe element, caz în

care se spune că fenomenul caracterizează instabilitatea locală (flambajul local

al elementelor uniaxiale, voalarea tolelor) sau, datorită depăşirii încărcării critice

a unui element se ajunge la depăşirea capacităţii portante a structurii în

ansamblul ei, situaţie în care avem de-a face cu fenomenul de instabilitate

generală (flambajul general al tălpii comprimate la podurile metalice). Studiul

fenomenelor de acest tip a condus la concluzia că structurile de poduri metalice

cele mai periclitate sunt în general cele pentru care nu există elemente

transversale de legatură suficient de rigide între grinzile principale portante.

Acesta este cazul podurilor pe grinzi principale cu zăbrele sau arce cu înălţime

mare, la care calea este situată la partea inferioară şi nu există contravântuire

superioară, sau al podurilor pe grinzi cu inimă plină calea jos la care înălţimea

grinzilor este de asemenea importantă, iar semicadrele transversale sunt

104


singurele elemente structurale care participă la limitarea deformaţiilor în plan

transversal ale tălpilor superioare comprimate.

În 1744 Euler a stabilit teoria liniară a flambajului elastic, iar modelul de

calcul ce a stat la baza acestei teorii a fost prezentat în capitolul III. În cadrul

acestei teorii este tratat cazul barei drepte simplu rezemate comprimate, studiul

având la bază o serie de ipoteze simplificatoare care de asemenea au fost

prezentate în capitolul III.

Teoria liniară a flambajului elastic este bazată pe abordarea fenomenului de

pierdere a stabilităţii prin bifurcarea echilibrului, ceea ce înseamnă că în curba

efort axial-deformaţie (P-u) apare un punct de bifurcare (a se vedea capitolul II),

de ordonată P=Pcr. Poziţiile barei determinate de puncte intermediare situate pe

cele două porţiuni de dreaptă îngroşate din figura V.1 reprezintă de fapt stări de

echilibru posibile.

Figura V.1

În figura V.1 deplasările barei au fost notate generic cu u pentru a face mai

uşor legătura cu aspectele calitative privind curbele P-u preznetate şi discutate în

capitolul II.

Determinarea încărcării critice, în cadrul teoriei liniare a flambajului elastic,

are la bază o ecuaţie de echilibru a momentelor exterioare şi interioare pentru o

bară dublu articulată comprimată, rezultând o ecuaţie diferenţială de forma:

105


02

2

=+ Nydx

ydEI (V.1)

în care y este funcţia ce descrie axa deformată a barei.

Euler a propus pentru funcţia y a deplasărilor, o funcţie de tip sinusoidal,

care introdusă în ecuaţia diferenţială şi integrată ţinând cont de condiţiile de

rezemare a condus la următoarea expresie a încărcării critice de flambaj sau

încărcării Euler:

2

2

lEIπNN Ecr == (V.2)

S-a demonstrat că aceeaşi expresie pentru încărcarea critică poate fi

obţinută prin metoda energetică şi anume exprimând egalitatea între variaţia

energiei de deformaţie datorată unei deplasări impuse şi lucrul mecanic efectuat

de sarcinile exterioare. Pe baza încărcării critice Euler a fost stabilită şi expresia

efortului unitar normal critic:

2

2

2

2

λEπ

AlEIπ

ANσ cr

cr === (V.3)

unde s-a notat ilλ = , zvelteţea barei.

Reprezentarea grafică a acestei relaţii a condus la descoperirea hiperbolei

lui Euler a cărei formă a fost prezentată în figura III.5. Dacă însă relaţia de mai

sus se reprezintă grafic pentru trei cazuri: cel al materialului infinit elastic, al unei

bare ideale şi al unei bare realizate pe cale industrială, curbele λσ cr − au

apectul celor prezentate în figura V.2.

Figura V.2

106


Se poate observa că pentru elementele din oţel realizate pe cale industrială,

pentru domeniul zvelteţilor mari, curbele de flambaj sunt apropiate de hiperbola

Euler, iar pe măsură ce zvelteţile scad, aceste curbe se depărtează de curba

stabilită de Euler. Acest lucru a condus la concluzia că valorile forţelor axiale

, pentru valori ale zvelteţilor sub , se situează sub valoarea

încărcărilor critice de flambaj,

AσN kk = kλ maxλ

AσN crcr = .

Se poate afirma deci teoria stabilită de Euler este insuficientă pentru

determinarea rezistenţei ultime a unei bare comprimate, demonstrând în acelaşi

timp şi faptul că zvelteţea are o mare influenţă asupra valorii încărcării critice,

. De fapt, pentru zvelteţi mari, calculul încărcării critice devine o problemă de

deformaţii (se ajunge la valori inacceptabile ale săgeţilor) şi nu de rezistenţă.

λ

crP

Teoria liniară a flambajului elastic [1], [8] a permis stabilirea expresiei

încărcării critice de flambaj pentru situaţiile în care sunt utilizate bare ideale. În

realitate însă, în practică, multe dintre ipotezele acceptate de teoria liniară a

flambajului nu se mai respectă. Axele barelor realizate pe cale industrială au mici

abateri şi nu mai sunt perfect rectilinii, iar în exploatare, aplicarea încărcărilor nu

se face niciodată perfect centric. Toate aceste elemente conduc la eforturi axiale

suplimentare în bare. Cedarea unui astfel de produs industrial apare atunci când

echilibrul între forţele exterioare şi interioare nu mai este posibil din cauza

diminuării rezistenţei, când încărcarea atinge o valoare limită , dar care este

mai mică decât încărcarea critică . Cazul acesta este corespunzător unei

situaţii de pierdere a stabilităţii prin divergenţa echilibrului şi diagrama încărcare -

deplasare (săgeată) arată ca în figura V.3 [1].

kP

crP

Valorile limită ale încărcării au fost stabilite pe baza rezultatelor

cercetărilor teoretice şi experimentale ale Comisiei Europene pentru Construcţii

Metalice (CECM) privind curbele de flambaj pentru profile industriale ce

comportă imperfecţiuni. Imperfecţiunile considerate au fost:

kP

− mărimea şi distribuţia eforturilor reziduale pe secţiunea transversală a

elementelor;

− mărimea deformaţiilor iniţiale ale elementelor structurale;

107


− variaţia limitei elastice;

− valoarea modulului de elasticitate longitudinal, E;

− toleranţele de laminare;

− excentricitatea încărcărilor axiale aplicate.

Figura V.3

Pornind de la considerentele teoriei liniare a flambajului elastic, ţinând

seama de cele două modele de pierdere a stabilităţii prin flambaj (bifurcarea

echilibrului şi divergenţa echilibrului) şi având în vedere rezultatele cercetărilor

CECM, se poate afirma că nu este posibilă verificarea tuturor elementelor

comprimate pe baxa unei singure curbe de flambaj. Fiecare caz în parte trebuie

analizat separat, ţinând cont de forma secţiunii transversale, de modul de

elaborare şi de geometria sa.

108


V.2 CURBELE EUROPENE DE FLAMBAJ V.2.1 Bazele experimentale ale curbelor europene de flambaj

Comisia Europeană pentru Construcţii Metalice înfiinţată în anul 1955 a analizat

comportarea elementelor structurale ale construcţiilor metalice, scopul său fiind nu

numai de a oferi soluţii avansate d. p. v. tehnic diverselor probleme apărute în

practica inginerească, ci şi de a contribui prin aceste soluţii la realizarea unor

construcţii metalice din ce în ce mai sigure în procesul de exploatare.

În cadrul fenomenului de pierdere a stabilităţii prin flambaj, comisia CECM a

abordat într-o primă fază cazul elementar al barei drepte, dublu articulată şi cu

secţiune constantă. Cercetările comisiei aveau ca principal scop stabilirea unor

reguli de proiectare aplicabile în toate ţările europene printr-o soluţie riguroasă d.

p. v. ştiinţific şi satisfăcătoare d. p. v. economic.

Pentru început au fost efectuate în paralel în 7 ţări europene peste 1000 de

teste pe elemente ce conţineau defecte inevitabile apărute în practică (abateri de

la forma rectilinie a axei barei, tensiuni reziduale rezultate în urma proceselor de

sudare sau tratamentelor termice ale profilelor metalice laminate, dimensiuni ale

platbandelor ce compun secţiunea elementului situate în afara toleranţelor) care

să conducă, la determinarea cu o anumită probabilitate a încărcării critice.

Pentru realizarea încercărilor experimentale, elementele au fost alese

dintr-un eşantion reprezentativ al producţiei europene, ele prezentând

imperfecţiuni întâlnite frecvent în practică. Programul de încercări a fost orientat

în principal către elemente ale căror zvelteţi interesau în practică. Pentru

limitarea numărului de încercări la o cifră rezonabilă, studiul influenţei zvelteţii s-a

făcut pe câte un element din fiecare categorie de secţiuni (laminate, tuburi

rotunde şi tuburi rectangulare), iar pentru studiul influenţei formei secţiunii s-au

efectuat teste pentru diferite tipuri de bare şi câteva valori ale zvelteţilor, dar în

special pentru valoarea de 90 a zvelteţii considerată capabilă să furnizeze

împrăştierea cea mai mare a rezultatelor.

109

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE Elementele utilizate trebuia să fie rectilinii deformaţia axei longitudinale fiind

verificată vizual. Lungimea elementelor de probă a fost de 15-20 m cu excepţia

tuburilor a căror lungime era de numai 7,5-10 m. A fost impusă de asemenea o

regulă în ceea ce priveşte centrarea elementelor studiate în presă şi încărcarea

acestora. Centrarea trebuia să conducă la situaţii de rezemare şi încărcare

similare celor din practica execuţiei construcţiilor metalice. Pentru elementele cu

secţiune în formă de T şi I centrarea s-a făcut după axa inimii, încărcarea

acestora s-a făcut continuu şi progresiv, unitatea de timp pentru aplicarea

încărcării fiind minutul, iar cea pentru tensiunile măsurate pe secţiune, Kg/mm2.

Influenţa fiecărui parametru (excentricitate a încărcării, curbură iniţială etc.)

a fost evaluată pe baza măsurătorilor şi plecând de la aceste valori, rezistenţa

ultimă a elementelor testate a fost determinată analitic. În dimensionarea

elementelor încercate s-a ţinut seama de următoarele considerente: lungimea

lor trebuia să fie, pe de-o parte, destul de redusă pentru a evita apariţia

fenomenelor de piedere locală a stabilităţii şi pe de altă parte suficientă pentru a

determina neinfluenţarea bazei de măsurare de către condiţiile de rezemare.

Într-o primă etapă s-a urmarit stabilirea unei curbe experimentale bazată pe

exploatarea statistică a rezultatelor provenite din studiul profilelor laminate IPE 160 (Fig. V.4a). Această curbă era deci aplicabilă profilelor care făceau parte din

aceeaşi categorie cu profilul testat.

a) Profil IPE 160 b) Profil DIE 20

Figura V.4

110


Plecând de la premiza că rezistenţa ultimă, pentru un tip de profil şi o

anumită valoare a zvelteţii, avea o distribuţie statistică apropiată de distribuţia

Gauss, a fost trasată curba de flambaj pe baza valorilor caracteristice (σk),

calculate scăzând din valorile medii (σm), de două ori valoarea abaterii pătratice

medii (2s) (Fig. V.5).

Figura V.5

Din rezultatele obţinute până în momentul respectiv se putea concluziona

[80] că forma curbei obţinute permitea aplicarea ei în condiţii bune la studiul

profilelor tubulare. În acelaşi timp însă, studiul profilelor laminate de grosimi mari

sau al profilelor realizate prin sudură, pe baza aceleiaşi curbe, nu a condus la

rezultate bune.

Pentru generalizarea aplicării rezultatelor cercetărilor însă, s-a urmărit

trasarea curbelor de flambaj în funcţie de parametri adimensionali, situaţie în

care se elimina influenţa mărcii oţelului.

În cercetările experimentale efectuate [80] s-a ţinut seama şi de variaţia

limitei elastice a oţelului în funcţie de grosimea produsului laminat.

111


V.2.2 Bazele teoretice ale curbelor europene de flambaj

Fiecare element realizat pe cale industrială posedă în realitate o curbură

iniţială, şi de foarte multe ori forţa axială se aplică excentric. Pentru a ţine cont de

aceste elemente s-a impus ideea de a considera în studiul fenomenului de

flambaj imperfecţiunile de tip geometric. În această situaţie ipotezele

simplificatoare ale modelului bifurcării echilibrului au determinat practic

inacceptarea acestuia pentru studii viitoare pe elemente de construcţie reale.

Cercetări efectuate în SUA au scos în evidenţă faptul că eforturile reziduale au o

mare influenţă asupra valorii încărcării de cedare şi de aceea trebuie ţinut cont,

în studiul profilelor realizate pe cale industrială şi de dispersia limitei elastice pe

secţiunea transversală şi pe lungimea barei [10].

Determinarea încărcării de cedare, ţinând seama de prezenţa imperfecţiunilor,

s-a făcut pe o secţiune simetrică, numai faţă de o axă, a unei bare comprimate

solicitată de o forţă axială N şi un moment încovoietor M (Fig. V.6).

Deformaţiile specifice corespunzătoare stării de solicitări au fost notate

astfel:

− cele din eforturi reziduale preexistente din procesul de realizare pe cale

industrială Eε ;

− cele din încărcări exterioare Pε ;

Corespunzător acestor valori ale deformaţiilor au fost calculate eforturile

unitare care au condus la solicitările rezultante, cupluri de valori ale lui M şi N. PEσ +

În ipoteza că secţiunea nu-şi modifică dimensiunile şi geometria sub

influenţa încărcării exterioare N se pot calcula rapoarte alungire/curbură şi se

poate deduce rigiditatea la încovoiere în domeniul elasto-plastic, notată mai jos

cu B:

; ; (V.4) ∫=A

dAσN ∫=A

ydAσM ρMB =

şi

)ε)(ε(h

)ε(ε)ε(ερ E

GP

G

Ea

Pa

Ei

Pi

−−⋅

−−−=

111111 (V.5)

112


În relaţiile de mai sus reprezintă curbura elementului analizat. ρ

Concluzia ce s-a impus în urma acestui studiu a fost aceea că, în stabilirea

încărcării de cedare a unui element care comportă imperfecţiuni şi este

comprimat axial, trebuie cunoscută rigiditatea la încovoiere a secţiunii parţial

plastifiate, în funcţie de valoarea momentului încovoietor şi a efortului axial care

solicită elementul.

Figura V.6

Determinarea încărcării de flambaj în funcţie de zvelteţe şi pornind de la

concluziile anterioare s-a făcut printr-o iteraţie în doi paşi. În studiu au fost

utilizate perechi de curbe λN − ceea ce semnifică faptul că încărcarea de cedare

113

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE a barei N este forţa axială corespunzătoare limitei de curgere , fiind aria

secţiunii elementului. Zvelteţea

Aσe A

λ depinde la rândul ei de zvelteţea:

ee σ

Eπλ = (V.6)

în care efortul unitar de flambaj Euler poate atinge valoarea limitei de elasticitate

. eσ

Calculul încărcării de cedare poate rămâne, în anumite cazuri, independent

de limita elastică şi prin urmare de calitatea oţelului din care este realizat

elementul. S-a constatat totuşi, că o dependenţă între încărcarea de cedare şi

limita elastică există în cazul prezenţei unei deformaţii iniţiale aşa cum este

arătat şi în figura V.7. Deformaţia iniţială a fost considerată 1/1000 din lungimea

elementului analizat, un profil DIE 20 (Fig. V.4b).

f 0

f 0

Figura V.7

Stabilirea formei reale a curbelor de flambaj s-a făcut pornind de la fascicule

de curbe ce definesc rigiditatea la încovoiere în domeniul elasto-plastic în funcţie de

valoarea momentului încovoietor relativ aplicat pe secţiune (Fig. V.8).

114


Figura V.8

Calculul valorilor ce definesc curba de flambaj s-a făcut iterativ [10], pentru

o grindă simplu rezemată încărcată cu o sarcină verticală q uniform distribuită şi

comprimată de o forţă axială N (Fig. V.9).

Figura V.9

Relaţiile utilizate în calcul au fost următoarele:

eAσ

NN = ; (V.7)

115


eσEπ

λλ = ; (V.8)

ilλ = (V.9)

Ca deformată iniţială a grinzii încovoiate s-a considerat valoarea jlf =0

(unde j poate fi 1/2000;1/1000 sau 1/500). Scriind că:

λjf =0 în care hff 0

0 = (V.10)

rezultă:

hσEijπ

j e= (V.11)

Etapele calculului iterativ sunt următoarele:

1. Se consideră o zvelteţe iniţială a elementului analizat 1λ căreia îi este

asociată o deplasare hff /11 = (h fiind înălţimea secţiunii considerate) şi

care poate fi exprimată prin aproximarea curbei necunsocute a

deformatei printr-o sinusoidă;

2. Se stabileşte curba momentelor încovoietoare M în ipoteza unui efort

axial cunoscut şi adoptat N şi se construiesc curbele corespunzătoare

de încovoiere cu ajutorul rigidităţii B la încovoiere, extrasă din diagrame

de tipul celei din figura V.8 şi împărţită la rigiditatea EI a barei elastice.

Curbe asemănătoare celei din Fig. V.8 au fost trasate pentru fiecare tip

de profil testat şi ele au fost numite diagrame fundamentale.

Ţinând seama de faptul că există relaţia:

eλiλl = (V.12)

introducând 1λ şi 1η şi notând 10

1 λjf = se obţine:

( )ηηeNM ++= 0 (V.13)

de unde rezultă valoarea zvelteţii:

116


m

πfnλm

122 = (V.14)

şi de asemenea 2η , valori cu care se poate începe etapa următoare de

iteraţie. Semnificaţia lui se poate observa în figura V.9, iar n

reprezintă numărul de iteraţii.

mm

Pentru o valoare constantă a lui N se ajunge la cuplul de valori fλ − ,

atunci când 1−≡ nn λλ şi 1−≡ nn ηη .

3. Compatibilitatea între săgeata nou calculată şi cea dată 1f se realizează

prin calcularea unei noi valori pentru zvelteţea intrinsecă 2λ .

4. Curba de încovoiere obţinută şi valoarea calculată 2λ constituie punctul

de pornire pentru o a doua etapă de iteraţie. Iteraţia trebuie repetată

până când va exista o corespondenţă satisfăcătoare între săgeţile 1+mf

şi mf şi între zvelteţile 1+mλ şi mλ . Se va obţine astfel un punct al curbei

de flambaj ( )fFλ = şi întregul proces se va repeta cu valori crescătoare

ale lui 1f până când maximul acestei curbe va fi atins.

5. Calculul de mai sus se va face în continuare utilizând alte valori pentru

efortul normal N până când se găseşte un număr suficient de cupluri de

valori λN − în domeniul zvelteţilor întâlnite în practică şi curba de flambaj

se va trasa pe baza acestor valori (figura V.10).

Figura V.10

117


Forma curbelor de flambaj poate fi însă stabilită şi pe cale analitică [51].

Pentru aceasta se va considera cazul unei secţiuni solicitate de o forţă axială de

compresiune aplicată excentric. Secţiunea studiată este realizată dintr-un

material a cărui curbă caracteristică este dată de diagrama PRANDTL (Fig.

V.11).

Se consideră ca stare limită de rezistenţă stadiul elastic limită, în care

valoarea maximă a efortului unitar normal în secţiunea cea mai solicitată

atinge valoarea eforului de curgere sub efectul forţei axiale de compresiune P

şi a momentului încovoietor de ordinul al II-lea:

maxσ

cσ

cr

III

PPMM

−=

1

1 (V.15)

în care:

, (V.16) PeMI =

e fiind excentricitatea de aplicare a forţei de compresiune P.

Figura V.11

Eforturile unitare normale maxime pe secţiune se pot calcula cu relaţia:

cr

II

max

PP1

1WPe

AP

WM

APσ

−+=+= (V.17)

cu formula pentru Pcr:

118


2f

2

cr lEIπP = (V.18)

Se introduce notaţia: APσ0 = , ca fiind efortul unitar normal (tensiunea) pe

secţiune. Cu această notaţie rezultă:

Eπλσ

λEπ

σσσ

AσAσ

PP

2

20

2

20

cr

0

cr

0

cr

==== (V.19)

Introducând expresia raportului de mai sus (V.19) în formula lui (V.17)

se poate scrie:

maxσ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

cr

00max

σσ1

1WeA1σσ (V.20)

Făcând mai departe notaţia se

WeAm == (s fiind distanţa limită a sâmburelui

central al secţiunii considerate) relaţia de mai sus devine:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

Eπλσ1

1m1σ

σσ1

1m1σσ

2

20

0

cr

00max (V.21)

Dacă se admite pentru valoarea şi se notează efortul unitar cu

se poate scrie:

maxσ cσ 0σ

lim0,σ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

Eπλσ

1

1m1σσ

2

2lim0,

lim0,c (V.22)

Prelucrând relaţia de mai sus rezultă:

( ) mσEπλσ

1σσ lim0,2

2lim0,

lim0,c =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− (V.23)

Dacă m=0 rezultă cazul flambajului teoretic, fără excentricitate:

119


( ) 0Eπλσ

1σσ 2

2lim0,

lim0,c =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− (V.24)

Pentru rezultă: climo, σσ <

0Eπλσ

1 2

2lim0, =− şi cr2

2

lim0, σλ

Eπσ == (V.25)

Pentru rezultă: clim0, σσ =

crclim0, σσσ == şi 2

2

cr λEπσ = (Euler) (V.26)

Se obţine astfel o curbă simplificată a lui , în care efortul unitar normal

critic a fost extins dincolo de limita de proporţionalitate

crσ

crσ pσ , până la limita de

curgere cσ . Efectul racordării punctelor în curba PRANDTL se resimte în curba

prin racordarea punctată (Fig. V.12). λ)(σ cr −

Figura V.12

Dacă , dezvoltând relaţia: 0≠m

( ) mσEπλσ

σσ lim,lim,

lim,c 02

20

0 1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− (V.27)

se ajunge la o relaţie de forma:

( ) 012

2

2

2

02

0 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−

λEπσ

λEπmσσσ c

clim,lim, (V.28)

120


care este o ecuaţie de gradul al II-lea în lim,0σ în raport cu λ . Extrăgând soluţia

posibilă a acestei ecuaţii obţinem valoarea lui lim,0σ :

( ) ( )2

22

2

2

2

2

01

411

21

λEπσ

λEπmσ

λEπmσσ c

cclim, −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++= (V.29)

Considerând diverse valori ale zvelteţii, tipul de oţel OL37 pentru care se

cunoaşte valoarea efortului unitar de curgere σ şi adoptând pentru m valorile

0.1; 0.2; 0.3; …; 2 rezultă familii de curbe de flambaj (Fig. V.13).

Dacă barele sunt foarte scurte, adică 0=λ atunci:

m

σσ clim, +

=10 (V.30)

ca şi în cazul calculului de ordinul I.

Dacă se priveşte forţa axială limită AP lim,lim 0σ= drept forţă critică de

flambaj, aşa cum rezultă şi analizând figura V.13, ea este totdeauna mai mică

decât forţa critică corespunzătoare flambajului ideal (Pcr), deoarece toate curbele

sunt situate sub curba 0≠m 0=m .

Figura V.13

121

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE V.2.3 Adoptarea celor 4 curbe de flambaj

Încercările efectuate pe elemente comprimate având forme diferite, dar şi

calculele analitice şi prelucrările statistice au condus la ideea necesităţii adoptării

mai multor curbe de flambaj în care să poată fi încadrate profilele realizate pe

cale industrială. Au fost stabilite trei curbe de flambaj, pornind de la premiza că

ele sunt suficient de depărtate ca valori astfel încât permit încadrarea

corespunzătoare a diferitelor profile utilizate în construcţii (Fig. V.14).

Figura V.14

Curbele au fost trasate pentru profilele laminate şi secţiunile sudate

având tensiuni reziduale care au fost măsurate şi o săgeată iniţială de

l/1000, l fiind lungimea profilului. Repartiţia profilelor pe curbe s-a făcut în

felul următor:

1. Curba a corespunde profilelor ale căror fibre extreme prezintă

tensiuni reziduale de întindere şi acelor profile care nu au tensiuni

reziduale (profile tubulare, profile laminate la rece);

2. Curba b este aplicabilă profilelor dublu T care flambează după axa

lor puternică şi profilelor care nu se încadrează în categoriile a şi c;

3. Curba c corespunde secţiunilor ale căror fibre extreme sunt supuse

tensiunilor reziduale de compresiune (profile T, corniere, profile

dublu T flambând după axa lor de inerţie slabă).

122


Pentru variaţia limitei elastice, la oţelurile de tipul OL 37 şi OL 52 s-au

considerat trei trepte pentru grosimile laminatelor. S-a observat că limita

elastică determinată prin încercări la tracţiune nu este neapărat necesară

pentru exploatarea curbelor λN − de flambaj, dar că limitele elastice globale

determinate din încercări pe elemente scurte sunt importante în studiul

fenomenului de flambaj. Valoarea încărcării de cedare a elementelor supuse

fenomenului de flambaj pentru secţiunile cu tălpi de lăţime mare flambând după

axa lor de inerţie puternică este mai redusă faţă de încărcarea ce corespunde

aceloraşi profile cu tălpi mai puţin late. Reducerea este chiar mai pronunţată

pentru secţiunile cu înălţime mai mică şi cu tălpi cu lăţime mare care au

pereţi subţiri.

Încercările efectuate pe elemente confecţionate din diferite tipuri de

oţeluri au condus la concluzia că influenţa tensiunilor reziduale asupra

încărcării critice de flambaj se diminuează pentru oţelurile de înaltă

rezistenţă.

Pentru secţiuni ale elementelor structurale realizate cu ajutorul

îmbinărilor sudate, influenţa determinată de deformarea apărută ca urmare a

procesului de sudare este comparabilă cu cea a unei excentricităţi iniţiale

provenită din procesul de laminare.

Cele trei curbe recomandate pentru caracterizarea tuturor tipurilor de

profile metalice existente acoperă practic categoriile de elemente realizate

din OL 37 şi OL 52. În cazul profilelor de construcţie mai specială, dacă

profilul se situează între două curbe şi există dificultăţi în alegerea curbei s-a

constatat că este preferabil şi de partea siguranţei să se aleagă curba care

este plasată mai jos. Valorile eforturilor determinate pe cele 3 curbe a, b şi c

au fost multiplicate, în funcţie de tipurile de oţel, cu valoarea limitei elastice

sau cu zvelteţea corespunzătoare limitei elastice, rezultând astfel

curbele de flambaj

eσ eλ

λσ fl −

Pentru a ţine cont de diversitatea profilelor ce se laminează, studii

teoretice şi experimentale au condus la ideea adoptării curbelor de flambaj

123

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE în funcţie de diferitele grosimi ale pereţilor profilelor. Au fost stabilite astfel

curbele de flambaj cu indicii 1, 2, 3 corespunzând limitelor de grosime ale

pereţilor: pentru grosimi mai mici de 20 mm indicele 1, pentru grosimi

cuprinse între 20 şi 30 mm indicele 2 şi pentru grosimi ce depăşesc 30 mm,

indicele 3.

De dată mai recentă este introducerea, în urma analizelor teoretice şi

experimentale efectuate, a celei de-a patra curbe de flambaj (curba d), corespunzătoare elementelor structurale ale căror secţiuni sunt realizate prin

sudură, care au tensiuni reziduale ca urmare a procesului de sudare, dar şi

secţiunilor ce au în componenţă grosimi de platbande ce depăşesc valoarea

de 40 mm. De asemenea, noile standarde europene EUROCODE şi normele

germane DIN 18800 consideră şi o a cincea curbă de flambaj (a0) repsectiv bdk

– biegedrillknicken - flambaj lateral şi torsiune), astfel că reprezentarea celor 5

curbe fundamentale arată ca în figura V.15.

a0

Fact

or d

e re

duce

re, κ

Hiperbola Euler

kλ Factor de zvelteţe,

Figura V.15

124


Noile curbe europene de flambaj conduc la o reală economie de material în

ceea ce priveşte procesul de dimensionare şi reprezintă un real progres în

studiul fenomenului de flambaj pentru profilele realizate pe cale industrială,

utilizate pe scară largă în practica inginerească a construcţiilor.

V.3 PRESCRIPŢII NAŢIONALE ŞI EUROPENE PRIVIND VERIFICAREA LA FLAMBAJ A ELEMENTELOR STRUCTURILOR DE PODURI METALICE

Pornind de la cele 5 curbe fundamentale referitoare la flambajul barelor

stabilite pe baza studiilor efectuate de CECM şi având în vedere modalităţile de

determinare ale încărcărilor de cedare, au fost continuate studiile teoretice şi

experimentale, scopul urmărit fiind realizarea unor prescripţii de verificare la

flambaj unitare, utilizabile la nivel european. În continuare vor fi prezentate pe scurt

normele aflate în prezent în vigoare în Germania (DIN 18800, Teil 1), normele

europene EUROCODE (Part 1. 1) şi cele româneşti SR1911/1998.

Normele EUROCODE şi DIN 18800

În prezent, atât normele europene cât şi cele germane utilizează 4 clase de

secţiuni pentru studiul fenomenului de pierdere a stabilităţii (flambaj). Cele 4

clase pot fi definite astfel:

Clasa 1: Profile ale căror secţiuni transversale pot determina apariţia

articulaţiilor plastice cu posibilităţi de rotaţie necesare în

calculele din domeniul plastic;

Clasa 2: Această clasă include acele secţiuni transversale ale

elementelor structurale la care se pot dezvolta momente

încovoietoare de rezistenţă plastice, dar care au capacitate de

rotire limitată;

125


Clasa 3: Pentru secţiunile transversale din această clasă eforturile

unitare de compresiune calculate în fibrele extreme pot atinge

limita de curgere în puncte defavorabile ale secţiunii, dar nu

pot utiliza rezervele plastice din cauza pierderii locale a

stabilităţii;

Clasa 4: Sunt elementele structurale pentru ale căror secţiuni

transversale trebuie precizată explicit admisibilitatea efectelor

de pierdere locală de stabilitate atunci când se determină

momentele lor de rezistenţă sau rezistenţa la compresiune.

În prezent verificarea pierderii de stabilitate [102], [103] pentru elementele

supuse la compresiune pură se face cu relaţia:

1M

yAb,R γ

fAχβN

d= (V.31)

Aβ fiind un coeficient de corecţie ce are următoarele valori:

, pentru elemente de clasă 1, 2 şi 3 1=Aβ

A

Aβ efectivåA = , pentru elemente de clasă 4

A reprezintă aria secţiunii transversale a elementului verificat, χ este un

factor de reducere pentru modul relevant de flambaj, iar este un coeficient de

siguranţă la flambaj, de regulă adoptat în calcule cu valoare unitară dacă nu sunt

făcute alte precizări.

1Mγ

Factorul de reducere χ , pentru elemente a căror secţiune transversală

rămâne constantă pe lungimea elementului şi având forţa axială constantă,

depinde de gradul de zvelteţe λ . Valoarea maximă a factorului de reducere este

1.0. Valoarea factorului de reducere se poate stabili pe baza relaţiei:

[ ] 5022

1.

λφφχ

−+= , (V.32) 1≤χ

în care

( )[ ]220150 λ.λα.φ +−+= (V.33)

126


În formula factorului φ intervine valoarea α prin intermediul căreia se iau în

considerare imperfecţiunile profilelor realizate pe cale industrială. Factorul de

zvelteţe λ este funcţie de factorul Aβ definit mai sus, de modulul de elasticitate E

şi de limita elastică a oţelului din care este alcătuit elementul respectiv.

[ ] 50

1

50.

A

.

cr

yA βλλ

NAfβ

λ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= şi

50

1

.

yfEπλ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= (V.34)

În formulele de mai sus λ reprezintă zvelteţea care se consideră conform

schemei statice adoptate în calcul, reprezintă limita elastică, iar este forţa

critică elastică pentru modul fundamental de flambaj.

yf crN

În funcţie de curba de flambaj “a”, “b”, “c” sau “d” coeficientul α poate lua

valorile 0.21; 0.34; 0.49 sau 0.76.

Pentru elementele structurale din oţel, alcătuite din profile laminate la cald, ce au

secţiuni transversale utilizate frecvent în alcătuirea barelor comprimate, de regulă

modul relevant de flambaj este flambajul prin încovoiere, dar în anumite cazuri poate

fi determinant flambajul prin torsiune sau încovoiere-torsiune. Pentru calculul

elementelor încovoiate formula de verificare[102], [103] este:

1M

ypl,yWLTb,R γ

fWβχM

d= (V.35)

Semnificaţia factorilor care intervin este analogă cu cea din cadrul verificării la

flambaj în cazul compresiunii pure. În locul ariei secţiunii transversale intervine de

această dată modulul de resitenţă W. Valorile coeficientului se modifică după

cum urmează:

Wβ

, pentru elemente de clasă 1 şi 2 1=Wβ

y,pl

y,elW W

Wβ = , pentru elemente de clasă 3 (V.36)

pl,y

eff,yW W

Wβ = , pentru elemente de clasă 4

127

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE relaţii în care este modulul de rezistenţă elastic, este modulul de

rezistenţă plastic, iar este modulul de rezistenţă efectiv pentru secţiunile

transversale din Clasa 4.

y,elW y,plW

y,effW

Atât aria efectivă, cât şi modulele de rezistenţă efective pentru Clasa 4 de

secţiuni transversale se determină pe baza prescripţiilor din [102], [103], [104].

În cazul elementelor încovoiate, pentru valori ale zvelteţii reduse mai mari

decât 0.4 factorul de reducere χ se poate determina pe baza aceleaşi formule

ca în cazul compresiunii, iar pentru valori ale zvelteţii reduse 40.λLT < , 1=LTχ .

Pentru factorul prin care se consideră imperfecţiunile, , care intervine în

calculul coeficientului φ, au fost adoptate valorile (Fig. V.16):

LTα

Figura V.16

210.αLT = , curba “a” de flambaj, secţiuni din profile laminate

, “curba c” de flambaj, secţiuni sudate. 490.αLT =

Valorile zvelteţii reduse se determină pe baza relaţiei de mai jos:

128


50.

cr

ypl,ywLT

MfWβ

λ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= (V.37)

Valorile momentului critic elastic de flambaj lateral şi torsiune se

determină pentru secţiunea transversală brută a elementului structural considerat

ţinând seama de formulele de calcul prezentate în [102], [103], [104].

crM

După cum se poate observa, în normele actuale intervin cu pondere foarte

mare, factorul de reducere χ , respectiv care influenţează direct valoarea

rezistenţei de cedare a secţiunii.

LTχ

Totuşi studiind atât cele 4 curbe de flambaj şi mai ales variaţia factorului de

reducere în cazul pierderii stabilităţii elementelor încovoiate, se poate

concluziona [48] că pentru valoarea zvelteţii reduse de 0.4 , apare o

discontinuitate a coeficientului de reducere

LTχ

( 40.λLT = )χ care nu poate fi justificată nici pe

cale fizică, nici pe cale matematică. Această discontinuitate are valoarea de 5%

în cazul curbei “a” de flambaj şi de 11% în cazul curbei “c” (Fig. V.16). Utilizarea curbelor “a” şi “c” de flambaj pentru verificarea la stabilitate are

deci tendinţa de a "exagera" fenomenul de instabilitate. Pentru eliminarea

discontinuităţii coeficientului de reducere χ după studii teoretice s-a propus

înlocuirea formulei factorului astfel: LTφ

( )[ ]240150 LTLTLTLT λ.λα.φ +−+= (V.38)

pentru propunându-se două noi valori: LTα

, pentru profile laminate (curba I, Fig. V.16) 270.αLT =

, pentru secţiuni sudate (curba II, Fig. V.16)) 600.αLT =

Folosind noua relaţie pentru , discontinuitatea pentru LTφ 40.λLT = ar fi

eliminată, atât în cazul curbei “a“, cât şi în cazul curbei “c“, valoarea lui fiind

1.0. Cu noile valori propuse se poate observa că în domeniul în care zvelteţea

redusă a elementului este superioară valorii unitare

LTχ

( )1>LTλ curbele nou

propuse I şi II se suprapun perfect peste curbele “a“ şi “c“. Diferenţe apar însă în

intervalul 140 << LTλ. . Pentru clarificarea acestui aspect s-a făcut apel şi la

129

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE partea a II-a a normelor germane DIN 18800 [102]. Aici coeficientul de reducere

este notat KM şi are formula:

n

nLT

M λK

1

211

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

= (V.39)

n fiind elementul ce introduce în calcule influenţa imperfecţiunilor (n=2,5 pentru

profile laminate, respectiv n=2,0 pentru secţiuni sudate).

Confruntând rezultatele încercărilor experimentale efectuate pe 88 de profile

laminate şi 42 de secţiuni sudate, pentru valori ale zvelteţii reduse în domeniul

140 << LTλ. se poate confirma faptul că utilizând următoarea formulă, propusă

în [48] pentru coeficientul de reducere, se acoperă practic de o manieră

satisfăcătoare, întregul domeniu al zvelteţii reduse LTλ pentru cazul barelor

încovoiate:

( ) ( )[ ]2

2222

24401401

LT

LTLTLTLTLTLTLTLT λ

λλ.λαλ.λαχ

−+−+−+−+= (V.40)

În formula prezentată mai sus valorile factorului sunt 0.27 pentru profile

laminate şi 0.60 pentru cazul secţiunilor sudate. Acest lucru este confirmat de

următoarele elemente:

LTα

− discontinuitatea pentru LTλ în tabelele de valori ale coeficientului de

reducere LTχ este eliminată, ajungându-se la valori 01. ; χLT =

− în intervalul 140 << LTλ. toate momentele de calcul 1M

ypl,yWb,R γ

fWβM

d=

au fost inferioare valorilor determinate pe cale experimentală, atât

pentru profilele laminate cât şi pentru cele sudate, cu două mici excepţii;

− pentru domeniul 11.λLT > , valorile coeficientului de reducere LTχ sunt mai

mici decât valorile corespunzând curbei de flambaj “a” pentru 270.αLT = ,

respectiv curbei de flambaj “c” pentru 600.αLT = .

În cazul solicitării simultane la efort axial de compresiune şi la moment

încovoietor, în lipsa unui calcul de ordinul doi şi presupunând că elementele nu

130


sunt periclitate de deformaţii din torsiune relaţiile de verificare prevăzute în

normele EUROCODE [103] şi în normele germane DIN 18800 [102] sunt:

− pentru secţiunile ce se încadrează în Clasele 1 şi 2:

1

111

≤++

M

ypl,z

z,Sdz

M

ypl,y

y,Sdy

M

ymin

Sd

γf

W

Mk

γf

W

Mk

γf

Aχ

N (V.41)

Formula (V.41) este corespunzătoare compresiunii cu încovoiere după cele

două direcţii y respectiv z, cărora îi corespund cele două momente încovoietoare

de calcul şi . În relaţia (V.41): Sd,yM Sd,zM

yy

Sdyy Afχ

Nμk −= 1 şi (V.42) 51.ky ≤

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

el,y

el,ypl,yMyyy W

WWβλμ 42 şi 900.μy ≤ (V.43)

Aceleaşi relaţii sunt valabile şi pentru mărimile şi introducând însă

eforturile de calcul, caracteristicile geometrice ale secţiunii şi factorii de reducere

corespunzători încovoierii după axa z, după cum urmează:

zk zμ

AfχNμk

z

Sdzz −= 1 şi (V.44) 51.kz ≤

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

el,z

el,zpl,zMzzz W

WWβλμ 42 şi 900.μz ≤ (V.45)

Valoarea factorului de reducere din relaţia (V.41) se alege ca cea mai

mică valoare dintre cele ale factorilor de reducere pentru cele două direcţii, deci

minχ

( )zymin ,χχminχ = .

Pentru elementele structurale ce au secţiuni transversale ce corespund

Clasei 3 relaţia de verificare este următoarea:

1

111

≤++

M

yel,z

z,Sdz

M

yel,y

y,Sdy

M

ymin

Sd

γf

W

Mk

γf

W

Mk

γf

Aχ

N (V.46)

relaţie în care mărimile ce intrevin au semnificaţia prezentată anterior singurele

modificări fiind pentru şi astfel: yμ zμ

131


( )42 −= Myyy βλμ şi (V.47) 900.μy ≤

( )42 −= Mzzz βλμ şi (V.48) 900.μz ≤

În formulele de verificare corespunzătoare elementelor structurale ce au

secţiuni transversale corespunzând Clasei 4 de secţiuni, expresiile sunt similare

celor date de relaţiile (V.41) şi (V.46), modificări intervenind prin considerarea

caracteristicilor geometrice efective ale secţiunii şi în plus considerarea acţiunii

forţei axiale cu o anumită excentricitate în raport cu cele două axe ale secţiunii.

Relaţia are forma:

1

111

≤+

++

+

M

yeff,z

NzSdz,Sdz

M

yeff,y

NySdy,Sdy

M

yeffmin

Sd

γf

W

)eN(Mk

γf

W

)eN(Mk

γf

Aχ

N (V.49)

Mărimile şi se numesc factori ai momentelor încovoietoare

uniforme echivalente şi se determină în funcţie de forma diagramei de momente

încovoietoare, între secţiunile considerate cu legături în plan lateral.

Myβ Mzβ

Normele româneşti SR 1911/1998

Relaţia de verificare la flambaj a elementelor structurale cu secţiune unitară

care sunt solicitate la compresiune centrică sau excentrică se face cu relaţia

[106]:

ayb

y

zb

z

b

σWM

.WM.

AφNσ ≤++= 9090 (V.50)

relaţie în care intervin următoarele mărimi:

N este efortul axial centric de compresiune;

My, Mz sunt momentele încovoietoare după cele două axe y-y respectiv z-z;

Ab, Wyb, Wzb sunt caracteristicile geometrice brute ale secţiunii verificate;

φ este coeficientul de flambaj a cărui valoare se extrage din tabele funcţie

de valoarea zvelteţii elementului şi de gupa de secţiuni pentru calculul la

flambaj în care se încadrează secţiunea transversală a elementului

verificat.

132


Zvelteţea elementului se determină, ţinând seama de schema statică

adoptată, ca raport între lungimea de flambaj lf în raport cu axa faţă de care se

verifică flambajul şi raza de giraţie a secţiunii transversale brute în raport cu

aceeaşi axă , pe baza relaţiei:

i

i

λ fl= (V.51)

Atât standardul românesc SR1911 [106], cât şi prescripţiile europene

cuprind relaţii de verificare multiple pentru elementele structurale ce nu au

secţiuni transversale unitare. Datorită faptului că în prezent, secţiunile

elementelor de poduri metalice sunt realizate utilizând sudura, au fost prezentate

în lucrare numai relaţile de verificare din norme corespunzătoare secţiunilor

unitare sudate.

V. 4 PRESCRIPŢII NAŢIONALE ŞI EUROPENE PRIVIND FLAMBAJUL LATERAL AL TĂLPILOR COMPRIMATE LA PODURILE METALICE CU GRINZI CU ZĂBRELE

NORMELE EUROCODE ŞI DIN 18800

În cazul podurilor metalice realizate în varianta cu grinzi cu zăbrele deschise la

partea superioară, datorită forţelor axiale de compresiune ce se dezvoltă în tălpile

superioare acestea îşi pot pierde stabilitatea prin flambaj lateral. Verificarea la flambaj

a acestor elemente componente ale structurii podului [102], [104], [107] se poate face

considerând talpa comprimată ca fiind rezemată continuu sau discret pe resorturi

elastice şi acţionată de o forţă de compresiune . SdN

Constantele elastice ale reazemelor elastice se pot determina [102], [103], [104]

analizând rigiditatea în plan lateral a cadrelor transversale alcătuite din montanţi,

diagonale şi antretoaze ale podului studiat. În figura V.17 este prezentată schema de

calcul a constantei elastice a resorturilor pentru cazul podurilor pe grinzi cu zăbrele ce

au montanţi.

133

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE Relaţia de determinare a constantei elastice a resorturilor este:

q

vqv

dvd

IIbhh

)(EIC

23

23

+= (V.52)

relaţie în care semnificaţia fiecărei mărimi poate fi dedusă din figura V.17.

Figura V.17

În cazul în care grinzile principale ale podurilor nu au montanţi, schemele de

calcul sunt cele prezentate în figura V.18.

Relaţiile de calcul ale constantei elastice a resorturilor sunt în acest caz date

de formula de mai jos:

dud )EI(DAB

DBAC 2

2−−+

= (V.53)

În relaţia (V.53) de mai sus mărimile şi se determină ţinând seama

de rigidităţile la încovoiere şi răsucire ale elementelor adiacente cadrului

transversal considerat, pe baza următoarelor relaţii :

B,A D

134


33

232 uaIId

nIhA

dl

ul

l

u ++=

33

232 ubIId

nIhB

dr

ur

r

u ++= (V.54)

abuD61

=

relaţii în care:

l

Tlql

ql Eu

GIIb

n +=2

r

Trqr

qr Eu

GIIb

n +=2 (V.55)

Figura V.18

135

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE Lungimile şi cuprinse în formulele de mai sus sunt

corespunzătoare figurii V.18, valorile lor putând fi reduse în cazul în care se

apreciază că nodurile grinzii cu zăbrele considerate au o anumită rigiditate, care

de altfel apare în realitate. Semnificaţia rigidităţilor ce intervin în relaţiile de mai

sus este următoarea:

u,b,a,d,d rl qb

qdrdl EI,EI,EI sunt rigidităţi la încovoiere ale diagonalelor şi tălpilor în afara

planului de încovoiere;

qrql EI,EI sunt rigidităţi la încovoiere ale antretoazelor;

TrTl GI,GI sunt rigidităţi la torsiune ale tălpilor adiacente cadrului

transversal considerat.

Odată determinată valoarea constantei elastice a resorturilor, verificarea la

flambaj a tălpii comprimate se poate face pe baza relaţiilor corespunzătoare

flambajului lateral şi torsiune (V.32), (V.35) şi (V.38) cu modificarea că zvelteţea LTλ se

determină cu formula următoare:

cr

yfALT

NfAβ

λ = (V.56)

unde este aria brută a tălpii comprimate. fA

Modul relevant de flambaj şi forţa axială critică de flambaj se pot

determina dintr-o analiză a formelor proprii de flambaj.

crN

Deoarece în procesul de execuţie şi montaj al elementelor structurilor de

poduri metalice apar imperfecţiuni, efectul acestora precum şi efectul de ordinul

doi al resorturilor poate fi considerat prin introducerea unor forţe laterale

adiţionale în secţiunile unde sunt resorturile. Valoarea forţelor transversale

se poate determina cu relaţiile:

SdF

100

SdSd

NF = pentru 211.k ≤l

cr

Sd

Sd

kSd

NN

NF−

=1

180l

l pentru (V.57) 211.k >l

136


În relaţiile de mai sus este distanţa dintre reazemele elastice, iar se

poate stabili cu formula:

l kl

cr

k NEIπ=l (V.58)

În cazul în care forţa axială de compresiune este constantă pe

lungimea tălpii comprimate, forţa critică de flambaj poate fi determinată cu

relaţia:

SdN

crN

(V.59) Ecr mNN =

unde 22

LEINE

π= este forţa critică Euler. Coeficientul se stabileşte astfel: m

γπ 2

2=m (V.60)

în care

EIcLγ

4

= (V.61)

şi

ldCc = (V.62)

În relaţiile de mai sus, este distanţa dintre reazemele de capăt rigide,

reprezintă distanţa dintre reazemele elastice ale tălpii iar este constanta

elastică a resorturilor determinată pe baza relaţiilor de calcul prezentate anterior.

L l

dC

În cazul în care forţa axială de compresiune nu este constantă pe lungimea

tălpii comprimate şi dacă momentul încovoietor M este maxim în secţiunea

unuia dintre rezemele elastice ale tronsonului de talpă ce se verifcă, se poate

folosi pentru verificarea la flambaj lateral şi torsiune relaţia (V.35) calculând

momentul încovoietor într-o secţiune situată la 0.2l de secţiunea unde acesta

este maxim şi considerând în locul deschiderii dintre două resorturi consecutive

valoarea determinată pe baza relaţiei (V.58) în loc de . kl l

137

CAPITOLUL V PRESCRIPŢII PRIVIND CALCULUL LA FLAMBAJ AL PODURILOR METALICE NORMELE ROMÂNEŞTI SR 1911/1998

Verificarea la flambaj general a tălpii comprimate a unei grinzi cu zăbrele

[106] presupune de asemenea că în plan normal pe planul grinzii talpa este

rezemată elastic pe semicadrele formate din montanţi şi antretoaze. Secţiunea

transversală a grinzii cu zăbrele considerate este prezentată în figura V.19.

Relaţiile de verificare sunt următoarele:

011 HCH ≥

(V.63) 022 HCH ≥

În relaţiile de mai sus şi (Fig. V.19) reprezintă eforturile (în kN)

aplicate extremităţilor cadrelor intermediare, respectiv finale, pentru a se produce

deplasarea pe orizontală cu 1 cm a punctului unde talpa reazemă pe semicadru.

Aceste eforturi se determină, în cazul deformării simetrice a semicadrelor la

poduri pe grinzi cu zăbrele cu relaţia:

1H 2H

m

v

a

aa

Ih

Ibh

EH

32

32

+= (V.64)

iar în cazul deformării antisimetrice la poduri pe grinzi cu zăbrele oblice şi fără

montanţi falşi cu relaţia:

m

v

a

a

Ih

Ibh

EH 320

3

+= (V.65)

Semnificaţia mărimilor ce intervin se poate considera conform figurii V.19.

Coeficienţii şi se calculează astfel: 1C 2C

( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+

+= 21 601

441112601

m

mm

αβ.αβ.αβ.C (V.66)

αCC 1

2 = (V.67)

138


Figura V.19

În relaţia (V.67) reprezintă raportul : α

2

1

HHα min= (V.68)

minH1 fiind cea mai mică dintre valorile efortului calculată pentru semicadrele

intermediare, iar este rezistenţa semicadrelor finale.

1H

2H

Valoarea lui ce intervine în relaţiile de verificare (V.63) se determină în

modul următor:

0H

min

max

m

f Nβ

v.Hl20

52= (V.69)

în care: este efortul maxim de compresiune în panoul de talpă cel mai

solicitat, ţinând seama şi de coeficientul dinamic, iar este lungimea tălpii celei

mai scurte din şirul de panouri ale tălpii superioare considerate. Mărimea se

determină ca medie artimetică a coeficienţilor , definiţi în continuare,

determinaţi pentru toate panourile tălpii superioare considerate. Pentru

maxN

minl

mβ

β

β există

relaţia:

139


y

y'

λλβ = (V.70)

relaţie în care este zvelteţea secţiunii barei din panoul considerat în raport cu

axa verticală

y'λ

yy − , iar este zvelteţea determinată pentru fiecare panou de

talpă, din tabele, pe baza unui coeficient de flambaj :

yλ

y'ϕ

ab

y'

σANφ = (V.71)

Se poate observa că depinde de efortul de compresiune în bară y'φ N

(multiplicat cu coeficientul dinamic pentru solicitările din convoaiele de calcul) în

panoul considerat, de aria brută a secţiunii transversale a barei şi de

rezistenţa admisibilă din bară,

bA

aσ .

Coeficientul de siguranţă la flambaj ce apare în relaţia (V.69) se

determină, corespunzător valorii celei mai mari a lui (pentru şirul de panouri

considerat), din tabele de valori în funcţie de grupa de secţiuni în care se

încadrează secţiunea transversală a elementului ce trebuie verificat la flambaj, în

funcţie de marca oţelului, de clasa de calitate şi de gruparea de acţiuni.

fv

y'λ

În calculele efectuate frecvent în proiectarea podurilor metalice pe grinzi cu

zăbrele, pentru determinarea coeficienţilor şi se poate alege o valoare

, iar se poate determina cu formula:

1C 2C

211 .C ≥ 2C

mβC.C.C

136060

1

12 −

−= (V.72)

Pentru podurile metalice pe grinzi cu zăbrele de formă parabolică, se poate

aprecia că rigiditatea cadrelor transversale finale este suficientă pentru a putea

considera că extremităţile tălpii superioare sunt fixe. În acest caz particular se

poate admite că ∞===∞= 212 10 ;C;C;αH şi verificarea la flambaj general se

poate face, pentru toate cadrele intermediare, pe baza relaţiei:

(V.73) 01 HH ≥

140


Relaţiile de verificare la flambaj a tălpii superioare comprimate în cazul

structurilor de poduri metalice pe grinzi cu zăbrele, prezentate mai sus, ce se

găsesc în normele româneşti, se regăsesc şi în [16].

141

CAPITOLUL VI IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE ŞI INFLUENŢA LOR ASUPRA STABILITĂŢII PODURILOR METALICE

IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE ŞI INFLUENŢA LOR ASUPRA STABILITĂŢII PODURILOR METALICE

VI.1 GENERALITĂŢI

În ultimele decenii realizarea construcţiilor metalice zvelte, dar prezentând o

rezistenţă sporită în exploatare, a reprezentat ţelul proiectanţilor de structuri.

Realizarea unor astfel de elemente de construcţie presupune stăpânirea mai

multor tehnologii de execuţie dintre care pot fi amintite aici realizarea profilelor

metalice prin profilare la rece sau îndoire, prin sudare, realizarea profilelor pentru

silozuri metalice, caroserii auto şi coca navelor maritime.

De cele mai multe ori realizarea acestor tipuri de profile metalice nu se

poate face fără apariţia mai multor tipuri de imperfecţiuni datorate tocmai

tehnologiilor utilizate. Aceste imperfecţiuni pot fi :

− defecte de planeitate sau curburi ale tălpilor şi inimilor;

− curburi şi răsuciri de ansamblu ale elementului;

− apariţia tensiunilor reziduale.

De obicei atunci când se vorbeşte de imperfecţiuni pentru un element din

componenţa unei structuri metalice, acestui termen i se asociază scăderea

caracteristicilor de rigiditate şi rezistenţă ale respectivului element de construcţie.

În general autorităţile din diferite ţări europene au impus anumite toleranţe de

fabricaţie ale elementelor metalice de construcţie în ceea ce priveşte

imperfecţiunile, ceea ce implică faptul că depăşirea acestor toleranţe atrage după

sine în general un aviz defavorabil al controlului de calitate. Totuşi prejudiciul

adus de existenţa imperfecţiunilor în rezistenţa şi rigiditatea unui element

structural există, în ultima perioadă de timp perefecţionându-se metode pentru

cuantificarea sa.

142

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE De cele mai multe ori însă toleranţele de fabricaţie au fost stabilite ţinând

seama de alte criterii decât cele de rezistenţă şi anume:

− alterarea esteticii lucrării de artă sau a elementului structural;

− dificultăţi întâlnite în transport şi manipulare;

− dificultăţi în procesele de montaj pe şantier;

− dificultăţi de montare a diferitelor accesorii ce trebuie poziţionate în

vecinătatea elementelor structurale ce prezintă imperfecţiuni.

Având în vedere tehnologiile de realizare pe cale industrială a profilelor

metalice utilizate pentru poduri este evident că apariţia imperfecţiunilor de

execuţie este absolut inevitabilă. Deci este mai economic ca aceste imperfecţiuni

să fie considerate într-o anumită măsură în calcul printr-o reducere a capacităţii

portante, decât să se limiteze strict valorile acestor imperfecţiuni, lucru mult mai

greu de realizat. Normele internaţionale moderne conţin relaţii de calcul şi

verificare ce includ, prin coeficienţi de siguranţă, anumite nivele de imperfecţiune.

Structurile şi elementele structurale din oţel pot fi afectate de două tipuri de

imperfecţiuni şi anume:

− imperfecţiuni geometrice, de cele mai multe ori constând în deformaţii

iniţiale;

− imperfecţiuni mecanice de tipul tensiunilor reziduale.

Datorită influenţei diferite pe care fiecare din aceste imperfecţiuni o asupra

comportării structurilor metalice, ele sunt separat tratate în teorie şi practică.

VI.2 IMPERFECŢIUNI GEOMETRICE

VI.2.1 Imperfecţiuni ale secţiunile sudate

Realizarea secţiunilor sudate oferă simultan două avantaje majore:

− fabricarea unor elemente structurale cu zvelteţe apreciabilă, având inimi

foarte înalte, ceea ce permite acoperirea unor deschideri importante;

143


− modelarea caracteristicilor geometrice în funcţie de tipul şi variaţiile

eforturilor de pe secţiune. Astfel înălţimea inimilor, grosimile inimilor şi

tălpilor variază în funcţie de necesităţi conducând la termenul cunoscut

sub denumirea de moment de inerţie variabil. Aceste tipuri de grinzi îşi

găsesc o aplicabilitate largă în domeniul podurilor metalice.

Scopul urmărit în ultimii ani de constructori în general, vis-à-vis de utilizarea

secţiunilor sudate în detrimentul profilelor laminate la cald, a fost reducerea

masei secţiunilor sudate şi deci a costurilor. Înălţimea variabilă şi domeniul mare

al deschiderilor acoperite sunt încă un argument în acest sens.

Dimensiunile unor atfel de grinzi sudate le conferă o foarte mare supleţe şi

o rezistenţă sporită, iar greutatea lor redusă scade mult cheltuielile necesare

transportului, manipulării şi montajului. Zvelteţea secţiunilor sudate sporeşte însă

riscul apariţiei imperfecţiunilor geometrice în decursul proceselor de fabricaţie.

Imperfecţiunile de natură geometrică, cum sunt răsucirea ansamblului grinzii

sudate sau abaterile de la forma rectilinie a axei longitudinale, pot face

inutilizabile din punct de vedere al procesului de montaj aceste elemente.

Pentru elementele frecvent utilizate la realizarea podurilor metalice,

distribuţia şi valoarea tensiunilor ce apar ca urmare a solicitărilor exterioare este

puternic influenţată de imperfecţiuni geometrice, imperfecţiuni ce pot apărea de

exemplu la platbandele ce alcătuiesc o secţiune sau chiar imperfecţiuni ale

elementului structural în asamblu. În ceea ce priveşte imperfecţiunile

platbandelor (tolelor), în normele internaţionale sunt date limite ale deformaţiilor

secţiunilor transversale ale unor secţiuni sudate. Pentru cazul imperfecţiunilor de

ansamblu, este bine cunoscut faptul că influenţa celor geometrice se manifestă

mai puternic în cazul barelor comprimate sau supuse la forţe de compresiune,

momente încovoietoare şi momente de torsiune. Scopul studiilor prezente şi

viitoare este acela de a limita valorile imperfecţiunilor la nivele ce nu influenţează

hotărâtor capacitatea portantă a elementelor structurilor cărora le aparţin.

În cazul secţiunilor I sudate [5], utilizate frecvent la realizarea podurilor

metalice, flambajul tălpii comprimate afectează capacitatea portantă într-o

măsură mai mare decât flambajul local (voalarea) al inimii. În norme sunt

144

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE considerate pentru aceste secţiuni, două tipuri de imperfecţiuni geometrice şi

anume înclinarea tălpii în raport cu inima (Fig. VI.1a), respectiv deplanarea

(“ciupercarea”) tălpii (Fig. VI.1b):

a) b)

Figura V.1

Limitele maxime admise în norme pentru valoarea lui Δp (Fig. VI.1), în cazul

înclinării tălpilor reprezintă maximul valorii dintre (b/100) şi 5 mm, unde b

reprezintă lăţimea tălpii. Asemenea imperfecţiuni, se arată în [5], nu au influenţă

asupra flambajului local. Totuşi, Earls [27] în studii efectuate în anul 1999

sugerează că, la elemente structurale realizate din oţel de înaltă rezistenţă slab

aliate, dacă cele două tălpi sunt înclinate în sensuri opuse este posibilă apariţia

unui mod de pierdere a stabilităţii în care flambajul local şi general se cuplează

după o formă nesimetrică.

În cazul deplanării ("ciupercării") tălpilor, limita maximă admisă pentru Δp se

consideră valoarea maximă dintre (b/150) şi 3 mm.

În urma numeroaselor studii efectuate, relaţiile prin care se estimează

lăţimea activă a unei tole, ce intră în componenţa unui secţiuni a unui element

structural din oţel, conţine într-o formă implicită influenţa imperfecţiunilor. Pornind

de la valoarea cunoscută a zvelteţii unei platbande pλ (pusă sub formă

adimensională) şi cunoscând limita de curgere a materialului din care este

realizată, precum şi raportul , unde reprezintă tensiunile reziduale

existente în tolă datorate procesului de fabricaţie, se poate determina o valoare

yf

yrez f/σ rezσ

145


limită Δp/c (raportul între deformaţia iniţială şi jumătate din lăţimea tălpii (Fig.

VI.1) pentru care întreaga lăţime de talpă devine activă. Studii parametrice au

permis pentru tipurile de oţel frecvent utilizate în practică OL37 (fy=235 N/mm2) şi

OL 52 (fy=340 N/mm2), trasarea unor grafice Δp/c funcţie de pλ pentru diferite

valori ale raportului . (Fig. VI.2a şi b). yrez f/σ

Δp/

c

pλ

OL 37

a)

p/c

Δ

OL 52

pλ b)

Figura VI.2

În figura VI.3, este reprezentat raportul Δp/c funcţie de raportul c/t , t fiind

grosimea tolei considerate în analiză. Se poate constata că limita pentru care

întreaga lăţime a tălpii devine activă, este mai mică pentru oţelul OL 37 decât

pentru oţelul OL 52.

146


OL 37 OL 52

c/t

Δp/

c

Figura VI.3

În [30] autorii au considerat o imperfecţiune geometrică ce variază de-a

lungul unui element structural metalic după o funcţie sinusoidală, presupunându-

se în analiză un raport egal cu 2, adică lungimea unei semiunde este egală cu

lăţimea tălpii b. Dacă se consideră că deplanarea ("ciupercarea") tălpii este

aceeaşi în toate secţiunile transversale, atunci aceste imperfecţiuni nu

influenţează flambajul local al tălpii. Ideea sugerată de către autori este aceea

de a compara limita lui Δp cu ceea ce în norme se numeşte distorsiune (în cazul

considerat această noţiune se referă la deformaţia iniţială a muchiei tălpii

măsurată în raport cu o dimensiune longitudinală egală cu lăţimea tălpii

comprimate b).

Valorile limită ale raportului Δp/c pentru diferite valori ale zvelteţii pλ şi

pentru rapoarte sunt date în tabelul VI.1. 30.)f/σ( yrez =

Este cunoscut faptul că secţiunile sudate prezintă deformaţii locale mai mari

decât profilele laminate la cald. Sugestia autorilor în [30] este aceea că este mai

bine să se determine zvelteţea tolelor pλ pornind de la limita de curgere utilizată

la dimensionare (cu coeficient de siguranţă) în loc să se utilizeze

limita de curgere nominală .

1My γ/f 1Mγ

yf

147


Tabelul VI.1

pλ /cΔp 0.2 1/39 0.3 1/61 0.4 1/97 0.5 1/153 0.6 1/241 0.7 1/380 0.8 1/599 0.9 1/944 1.0 1/1488 1.1 1/2350 1.2 1/3702

Aşa cum pentru tolele ce compun secţiunea transversală a unui

element structural, termenul de imperfecţiune geometrică este cel mai adesea

asociat cu abaterea de la forma plană a tolei, pentru barele realizate pe cale

industrială, inexactităţile de execuţie conduc la elemente structurale reale a căror

axă longitudinală nu mai este perfect rectilinie, ci descrie o curbă oarecare în

spaţiu. Această deformată iniţială provoacă eforturi unitare secundare care se

manifestă prin reducerea rezistenţei ultime la flambaj (Fig. VI.4).

Figura VI.4

S-a arătat în capitolul IV că pentru o bară simplu rezemată, ca cea din figura

de mai sus, comprimată axial şi care are o deformată iniţială y0 de formă

sinusoidală, săgeata totală maximă se calculează cu relaţia:

011 yα

ytot −= (VI.1)

în care

148


crPP α = (VI.2)

Pcr fiind forţa critică de flambaj elastic a barei.

ecţiune I, având lungimea l=3500

În f influenţa deformatei iniţiale asupra

is

Studii efectuate pe un profil laminat cu s

mm, o săgeată iniţială 40 =y mm şi supus unei forţe axiale de compresiune cu

valoare P=820 kN au condus la o valoare a săgeţii totale ytot=3.5 mm. Deci

creşterea săgeţii (de aproximativ 50%) şi implicit a momentului încovoietor

( yPM ⋅= ) nu se poate neglija în practică.

igura VI.5 se poate observa

rez tenţei ultime la flambaj pentru două valori ale zvelteţii λ . Diagramele

încărcare – deplasare (deformaţie elastică) reprezentate au fost deduse din

încercări pe elemente de bară dublu articulate de secţiune rectangulară care

aveau o deformaţie iniţială în planul de încovoiere. Se poate observa că pentru o

zvelteţe mică ( 40=λ ), comportamentul barei este cvasi-liniar până la cedare.

Pentru zvelteţi m 120= ) săgeţile finale totale sunt mult mai mari şi curbele

încărcare - deplasar mai sunt liniare. Se poate observa diminuarea

semnificativă a capacităţii portante în funcţie de valoarea săgeţii iniţiale a barei.

ari ( λ

e nu

Figura VI.5

λ = 40 λ = 120

y0=l/90 y0=l/110 y0=l/170 y0=l/330

y0=l/90 y0=l/110 y0=l/170 y0=l/330

ytot = y0+y

ytot [mm]

149


VI.2.2 Originea imperfecţiunilor geometrice

Cel mai frecvent tip de imperfecţiune întâlnit în cazul secţiunilor metalice

suda

r. Cel mai adesea cele trei

tola de oţel. În tolele ce alcătuiesc secţiunile

te îl reprezintă, aşa cum arătam mai înainte, apariţia deplanărilor tolelor ce

compun secţiunea. Cauza esenţială a defectelor de planeitate ale inimii şi tălpilor

secţiunilor metalice realizate prin sudură (SMRS) o constituie cel mai adesea

scurtarea cordonului de sudură la zona de contact dintre inimă şi talpă, scurtare

datorată în principal proceselor de răcire la care sunt supuse secţiunile. Aceste

procese de răcire induc în element, în zonele învecinate cordonului de sudură,

eforturi unitare longitudinale de compresiune. Dacă tolele care alcătuiesc secţiunea

sunt prea subţiri nu pot suporta aceste eforturi unitare şi voalează.

Alte elemente care trebuie considerate sunt:

− dimensiunile relative ale inimii şi tălpilo

platbande care alcătuiesc în mod curent un element SMRS pot absorbi

eforturile unitare de compresiune din cordoanele de sudură datorate pro-

cesului de răcire, cele mai groase suferind o scurtare elastică, iar cele mai

subţiri voalând. Se ştie că în general secţiunea I cea mai raţională este realizată

din tălpi relativ groase şi o inimă zveltă. Deci în general inimile unui

element SMRS sunt cele afectate de fenomenele de ondulare. Defectele

de planeitate apărute la aceste secţiuni sunt şi mai importante dacă ţinem

seama de variabilitatea dimensiunilor secţiunii transversale. Variaţia

grosimilor celor trei tole care alcătuiesc secţiunea se traduc, în general, în

variaţii importante ale amplitudinii ondulării inimii şi de asemenea variaţia

înălţimii inimii antrenează la rândul ei variaţii ale amplitudinii şi lungimii de

undă ale deformaţiilor;

− tensiunile reziduale în

transversale ale elementelor podurilor metalice există tensiuni reziduale

datorate procesului de laminare. Aceste tensiuni sunt mai mult sau mai

puţin importante după modul cum s-a făcut procesul de laminare: răcire

cu apă a rulourilor laminorului, răcire la rece, rectificări de planeitate etc.;

150


− operaţiile de sudare. Parametri de sudare (tipul sudurii, natura

electrodului utilizat, intensitatea curentului, diferenţa de potenţial, viteza

de avansare) şi dimensiunea transversală a cordonului de sudură joacă

un rol foarte important. Deformaţiile inimii şi ale tălpilor, dar şi alte

imperfecţiuni sunt cu atât mai importante cu cât cantitatea de energie

pusă în operă în procesul de sudare este mai însemnată. De asemenea

metodologia de sudare are o mare importanţă. În majoritatea cazurilor

grinzile sunt realizate prin sudare continuă şi simultană a tălpilor la cele

două margini ale inimii, dar numai de o parte a acesteia, fie că maşina de

sudură se deplasează în lungul grinzii, fie că grinda se deplasează

transversal unei instalaţii fixe de sudură;

− tratamentele termice. Se poate întâmpla ca elementul structural să fie

supus unui anumit procedeu de răcire pentru a reduce tensiunile

reziduale existente. Această operaţie făcută deja dificilă prin dimensiunile

elementelor, nu este adesea recomandabilă. Chiar dacă elementul SMRS

este simetric, de cele mai multe ori distribuţia tensiunilor reziduale şi

deformaţiilor nu este simetrică şi operaţia de detensionare, care se

realizează la o temperatură de aproximativ 600oC, se poate solda cu un

rezultat neaşteptat;

− galvanizarea la cald. Această operaţie care urmăreşte asigurarea

protecţiei oţelului împotriva fenomenului de coroziune este destul de des

întâlnită. Pentru galvanizare elementul este introdus câteva minute într-o

baie de zinc în fuziune, la o temperatură de aproximativ 450oC. Această

temperatură şi durata operaţiei conduc de asemenea la o detensionare

parţială a tensiunilor reziduale cu atât mai delicată cu cât numai suprafaţa

profilelor atinge temperatura băii. În general pot rezulta alte deformaţii

(ondulări) care le pot accentua pe cele deja existente;

− tratamentele mecanice. Decaparea cu jet de alice colţuroase sub

presiune, efectuată în general în vederea executării operaţiunilor de

vopsire, poate modifica sensibil starea de tensiuni reziduale existentă la

151


suprafaţa plăcilor şi în cordoanele de sudură şi de asemenea distribuţia

tensiunilor reziduale pe grosimea tolelor ce alcătuiesc elementul metalic.

VI.2.3 Prevenirea defectelor de planeitate

Este cunoscut faptul că tensiunile reziduale joacă un rol important în

diversele etape de fabricaţie ale unui element SMRS şi în fenomenele de apariţie

ale imperfecţiunilor. Deci cunoaşterea precisă a distribuţiei tensiunilor reziduale

este absolut necesară pentru prezicerea defectelor de planeitate ale plăcilor ce

alcătuiesc un SMRS. În acelaşi timp pare aproape imposibil de prevăzut

amplitudinea şi distribuţia tensiunilor reziduale în tola de bază. Şi chiar dacă

acest lucru ar fi posibil, decuparea acestor tole, cel mai adesea oblic pentru

realizarea înălţimii variabile a inimilor face şi mai dificilă cunoaşterea stării de

tensiuni reziduale. Existenţa sudurilor complică şi mai mult starea de tensiuni

existentă în element. În urma cercetărilor efectuate pe plan mondial au fost

elaborate metode menite să prevadă apariţia deformaţiilor tolelor ce compun un

SMRS şi mai ales să ofere soluţii în ceea ce priveşte modalităţile de împiedicare

a apariţiei acestor imperfecţiuni.

Procedeele cunoscute până în prezent nu sunt în măsură decât să

controleze amplitudinea unor astfel de defecte, deoarece ele nu pot fi evitate

sistematic în practică.

Bazându-se tot pe o rezultatele unor încercări, Faulkner a elaborat o

formulă [119], care dă defectul de planeitate probabil al unei tole (Fig. VI.6):

20 βktδ

×= (VI.3)

în care:

Ef

thβ y= (VI.4)

cu k având valori între 0.10 şi 0.15.

152


Figura VI.6

Mărimile care intervin în formulele de mai sus sunt:

0δ reprezintă defect de planeitate;

h este înălţimea;

yf este limita de curgere a oţelului;

E este modulul de elasticitate al oţelului.

În acelaţi timp Carlsen şi Czujko [119] au propus utilizarea expresiei

liniare de mai jos:

36001600 .th.

tδ

−= (VI.5)

De asemenea, P. Dubas [119], ţinând seama de lucrările Grupului 8.3 al

CECM a propus un domeniu limitat de curbele ce corespund între

şi . 2050 β. 2150 β.

Cele trei propuneri sunt schematizate de figura VI.7, în care este

reprezentată imperfecţiunea relativă δ0/t în funcţie de raportul h/t în cazul

particular al oţelului OL37.

153


δ0/t

h/t

Figura VI.7

Defectele de planeitate ale inimilor profilelor SMRS sunt deci inevitabile. Se

pot limita totuşi mărimile imperfecţiunilor controlând strict anumiţi factori ce apar

în timpul fabricării tolelor, respectiv profilelor metalice.

Foarte multe din încercările experimentale efectuate în ultimii 30 de ani au

avut ca modele elemente izolate ale secţiunilor transversale supuse unor forţe de

compresiune. Experimente asupra grinzilor în ansamblul lor s-au făcut mai rar,

ele limitându-se la zonele de reazem unde influenţa eforturilor unitare de

forfecare ale inimilor este mare. S-a constatat totuşi că modul de solicitare al

elementelor structurale influenţează forma şi mărimea defectelor de planeitate.

În acelaşi timp, forma geometrică a imperfecţiunii inimii sau tălpii, înţelegând

prin aceasta expresia matematică a deformatei sale, incluzând şi lungimea de

undă a acesteia, are o influenţă asupra modului de comportare al elementului

structural. În plus, s-a concluzionat că există o formă geometrică defavorabilă

pentru fiecare tip de solicitare în parte: încovoiere, compresiune etc. Din studii

teoretice a reieşit faptul că pentru a fi de partea siguranţei, trebuie reţinută,

pentru fiecare tip de solicitare, configuraţia geometrică cea mai defavorabilă,

considerând însă forme ale imperfecţiunilor posibil a fi întâlnite în realitate.

154


Un alt factor ce poate conduce la defecte de planeitate se bazează pe

conceptul de lăţime activă, bine cunoscut şi utilizat în prezent în toate normele

internaţionale pentru evaluarea rezistenţei secţiunilor cu pereţi subţiri. Baza acestui

concept este de a lua în considerare grosimea pereţilor sau a tolelor constituind

secţiunea, precum şi pericolul apariţiei fenomenului de voalare. Formulele utilizate

în paralel cu noţiunea de lăţime activă sunt însă valabile numai pentru un anumit

nivel de imperfecţiune, deoarece ele au fost stabilite pe cale empirică în urma unor

teste de laborator. Dacă se poate determina nivelul de imperfecţiune asociat unei

formule de lăţimi active pentru un anumit tip de secţiune transversală, atunci acest

nivel poate fi cel acceptabil în practică. Imperfecţiunile care sunt superioare acestui

nivel, acoperite de formula lăţimilor active considerată, nu trebuie să ducă neapărat

la respingerea elementelor care sunt afectate de aceste imperfecţiuni, ci pentru

acest nou nivel de imperfecţiune ar trebui condus un alt calcul utilizând dacă este

cazul o formulă mai severă a lăţimilor active.

Normele internaţionale propun limitele δ0 ce nu pot fi depăşite pentru o

anumită valoare a deformatei iniţiale a inimii nerigidizate a unui element SMRS.

Aceste limite corespunzând toleranţelor de fabricaţie, sunt de cele mai multe ori

exprimate sub forma următoare:

φhδ ≤0 (VI.6)

în care h reprezintă înălţimea inimii , iar un număr. Valorile date pentru numărul ϕ

diferă în funcţie de normele internaţionale utilizate aşa cum se arată în tabelul VI.2.

φ

Tabelul VI.2

Denumirea codului sau documentului

φ

prEN 1090-1 100 DIN 18800 250

DASt Richtlinie 012 250 BS 5950 150 AS 1250 200 SIA 161 150 MBMA 72 OTUA 50

155


Se poate observa din tabelul de mai sus că valorile lui ϕ variază în raportul

de 1 la 5. Trebuie de asemenea remarcat faptul că atunci când se vorbeşte de

toleranţe sub forma raportului h/ϕ nu se face referire decât la înălţimea inimii,

neluându-se în considerare alt parametru. Deci nu se ţine seama de limita

elastică a oţelului din care este realizat elementul respectiv şi nici de modul de

încărcare. Mai mulţi autori luând în considerare aceste inexactităţi au propus

utilizarea formulei de mai jos pentru exprimarea toleranţelor pentru abaterea de

la planeitate a inimii:

(..)ftδ

≤0 (VI.7)

în care este o funcţie fie de grosimea realtivă h/t a plăcii, fie de parametrul

deja definit în formula (VI.4). Rangelov a propus utilizarea unei expresii de

forma:

( )..f

β

)β(ftδ

≤0 (VI.8)

pentru caracterizarea toleranţelor de execuţie. Toate aceste formule propuse

pentru exprimarea toleranţelor nu ţin însă seama de faptul că inima nu intervine

decât într-o anumită măsură în rezistenţa globală a secţiunii. Deci influenţa

imperfecţiunii inimii se reduce. În urma analizelor efectuate s-a ajuns la concluzia

că parametri precizaţi anterior (grosimea inimii, limita de elasticitate a

materialului, modul de solicitare) influenţează hotărâtor apariţia defectelor de

planeitate ale tolelor utilizate la realizarea secţiunilor metalice.

Valorile adoptate de obicei în norme pentru raportul h/t care exprimă

valoarea imperfecţiunii iniţiale a inimii (h/t=h/72) nu sunt importante în cele mai

multe dintre cazurile din practică ale utilizării elementelor SMRS zvelte. În stadiul actual al cercetărilor, numeroase norme internaţionale prevăd

utilizarea combinată a conceptului de lăţime activă şi a formulei lui Winter [119]

pentru calculul rezistenţei tolelor subţiri supuse la compresiune, încovoiere şi la

combinaţii ale acestor două solicitări. Nivelul imperfecţiunilor acoperit de

formula lui Winter, variază puternic cu zvelteţea redusă a tolei şi într-o mai mică

măsură cu tipul de solicitare la care este supusă. Din punct de vedere pur

156

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE teoretic, ar trebui ca imperfecţiunea geometrică a tolei să fie raportată la grosimea ei

şi nu la lăţimea ei aşa cum indică cele mai multe dintre normele internaţionale, care

dau şi toleranţele de fabricaţie. Dacă defectul de planeitate al unei tole este exprimat

ca un multiplu de grosimea sa, atunci rezistenţa relativă a platbandei imperfecte

raportată la cea a celei perfecte depinde numai de imperfecţiunea astfel exprimată,

de zvelteţea redusă a tolei, de tipul de solicitare, respectiv de aspectul plăcii.

Din punct de vedere practic este totuşi interesant să se raporteze defectele de

planeitate ale tolelor la lăţimile lor. În acest caz însă, rezistenţa relativă a tolei

imperfecte faţă de cea a tolei fără defecte depinde şi de limita elastică a oţelului din

care este confecţionată.

Valoarea de δ0 = h/72 propusă ca nivel de imperfecţiune de către MBMA

(Asociaţia americană a constructorilor de structuri din oţel) nu are o incidenţă

semnificativă asupra rezistenţei unei secţiuni supuse la încovoiere pură. Din

studiile efectuate s-a constatat că situaţia solicitării de compresiune pură este

cea în care pierderea de rezistenţă este mult mai importantă. Această pierdere

nu depăşeşte însă valoarea de 12% pentru o imperfecţiune a inimii δ0 = h/72 şi o

zvelteţe redusă unitară. Aceste condiţii sunt practic incompatibile şi situaţiile în

care ele sunt efectiv întâlnite în practică nu depăşesc valoarea de 5%.

Se constată deci că în cazurile curente din practică de utilizare a secţiunilor

sudate SMRS (grinzi încovoiate, reţele de grinzi etc.), defectele de planeitate ale

inimii nu sunt importante.

Valoarea adoptată în prezent pentru δ0 este de h/100 şi ea poate fi încă

revizuită ţinând cont de elementele expuse în ceea ce s-a prezentat până acum.

VI.2.4 Verificarea elementelor structurale cu imperfecţiuni

VI.2.4.1 Stâlpi comprimaţi

Normele europene, în special normele EUROCODE 3 [103] ţin seama, în

relaţiile de dimensionare şi verificare propuse, de imperfecţiunile geometrice şi

157


mecanice (de tipul tensiunilor reziduale) prin introducerea unui factor de

imperfecţiune α .

În [72] autorii demonstrează că dacă imperfecţiunea geometrică asimilată

prin săgeata iniţială a barei, , diferă de o valoare standard acceptată de

L/1000 (unde L este lungimea de flambaj a barei), factorul de reducere la

flambaj considerat în norme,

oge

χ poate fi determinat pornind de la un factor de

imperfecţiune modificat . Acest din urmă factor depinde de ∗α α , de raza de

giraţie a secţiunii transversale a elementului analizat şi de distanţa de la fibra

extremă comprimată până la centrul de greutate.

i

În tabelul VI.3 este prezentată modificarea de capacitate portantă pentru un

element structural comprimat, cu considerarea mai multor tipuri de secţiuni

transversale:

− profile I laminate la cald, cu rapoarte înălţime/lăţime, 21.bh > flambând

după axa puternică ( aA );

− acelaşi tip de secţiune, flambând după axa lor slabă ( bA );

− profile T, flambând după axa lor puternică ( aB );

− aceleaşi secţiuni flambând după axa lor slabă ( bB );

− profile tubulare laminate la cald (C ).

Toate valorile presupun considerarea unei zvelteţi adimensionale unitare

1=λ (pentru care se presupune că imperfecţiunea atinge valoarea maximă).

Tabelul VI.3

e0g/L Caz 1/250 1/500 1/750 1/1500 1/2000 Aa -21.1 -8.8 -3.3 +3.7 +5.8 Ab -27.5 -12.0 -4.5 +5.3 +8.3 Ba -28 -12.1 -4.5 +5.2 +8.1 Bb -24.9 -10.5 -3.9 +4.3 +6.7 C -24.2 -10.5 -3.9 +4.6 +7.2

Din tabel se poate observa că variaţia capacităţii portante rămâne în limite

acceptabile pentru valori ale săgeţii iniţiale 7501≤Leog , dar devine importantă

158

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE la valori mai mari ale imperfecţiunii, de 5001 sau 2501 . De asemenea poate fi

menţionat faptul că diferenţele pentru factorul de reducere χ în raport cu

valoarea standard devin mai mici (pentru orice raport Leog ) dacă zvelteţea λ

diferă mult faţă de valoarea 1.

Şi din aceste considerente se impune ideea că ar fi mai corect, din punct de

vedere practic, să se determine valoarea lui λ pornind de la 1My γf în loc de . yf

Luând în discuţie cazul pierderii de stabilitate prin flambaj lateral şi torsiune

al barelor comprimate, propunerea autorilor în [72] de considerare a lui

devine justificată. Excepţie de la acest caz fac profilele cu pereţi subţiri, aflate în

aceeaşi situaţie de solicitare, dar la care săgeata iniţială este mai mare decât

rotirea iniţială .

∗α

oge

0φ

VI.2.4.2 Grinzi

Considerarea imperfecţiunilor în normele germane DIN 18800 [102] s-a

făcut prin a accepta, în anumite condiţii, de a înlocui verificarea exactă la

stabilitate printr-o verificare aproximativă, de exemplu prin verificarea la

stabilitate a unui element structural fictiv comprimat. Secţiunea transversală a

unui astfel de element se presupune a fi alcătuită din talpa comprimată şi 51 din

înălţimea inimii. Formula de verificare considerată este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=∗ 00101590 .Le

vi.αα

LT

og

LTLTLT (VI.9)

în care:

şi sunt factori prin care se consideră influenţa imperfecţiunilor; LTα LTα ∗

este raza de giraţie a secţiunii fictive în raport cu axa de simetrie; LTi

v este jumătate din lăţimea tălpii comprimate;

este lungimea de flambaj a tălpii. LTL

159


Şi aici, este sugerată ideea înlocuirii limitei de curgere cu yf 1My γf pentru

deducerea valorii zvelteţii λ .

VI.2.4.3 Grinzi-coloane

Cazul acestui tip de element structural este considerat în normele europene

EUROCODE 3 [103]. Relaţia de verificare, considerând Clasele 1 şi 2 de secţiuni

transversale din cele 4 clase prezentate în Capitolul V al lucrării, în cazul

solicitărilor de compresiune şi încovoiere după axa puternică (axa y), prevăzută

în norme este:

1

11

≤+

M

yy,pl

Sd,yy

M

ymin

Sd

γf

W

Mk

γf

Aχ

N (VI.10)

Pentru relaţia de mai sus, expresia factorului este dată explicit în

normele EUROCODE 3 [103].

yk

În relaţia (VI.10) intervin următoarele mărimi:

SdSd M,N reprezintă solicitările, forţa de compresiune respectiv momentul

încovoietor;

minχ este factorul de reducere la flambaj;

y,plW,A reprezintă aria secţiunii transversale considerate, respectiv

modulul de rezistenţă plastic al aceleaşi secţiuni;

yf este limita de curgere a oţelului;

1Mγ este un coeficient de siguranţă al materialului din care este

alcătuit elementul verificat.

În norme, în expresia lui apare un alt factor , care la rândul său

înglobează în expresia prezentată în EUROCODE 3 [103], modulul de rezistenţă

elastic al secţiunii şi un coeficient care depinde de variaţia diagramei de

momente încovoietoare de-a lungul elementului structural.

yk yμ

Mβ

Dacă se fac notaţiile următoare:

160


( )y

SdN fA

Nk⋅

= ; A

Wr y,pl

pl = ; Sd

Sd,y

NM

e = (VI.11)

şi se presupune că şi că bara a atins limita capacităţii sale portante,

relaţia (VI.11) se poate scrie sub forma:

111 .γM =

11111

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

y

Ny

plmin

N

χkμ

re

χ,k (VI.12)

Factorii de reducere ce apar în formula (VI.12) sunt consideraţi pentru o

săgeată iniţială 10001=Leog . Dacă rămâne constant şi e 10001≠Leog ,

încărcarea de flambaj capăta o valoare diferită . Factorii de reducere

se modifică la valoarea ( şi

SdSd' NN ≠

) minχΔ+1 ( ) yy χΔ+1 . Valoarea pentru se poate

deduce din relaţiile (VI.11) dacă se înlocuieşte prin . Presupunând că

flambajul apare în planul barei (deci

Nk

SdN Sd'N

ymin χχ = şi yΔΔ = ) şi considerând valorile

151.WW y,ely,pl = , şi 52.βM = 1== ymax λλ , în tabelul VI.4 sunt prezentate

modificările lui (în procente) ce se datorează modificării valorii imperfecţiunii

geometrice.

Nk

Tabelul VI.4

e0g/L e/rpl 1/250 1/500 1/750 1 -20.48 -8.45 -3.16 2 -4.59 -1.08 -0.34 3 -0.66 -0.19 -0.05 5 -0.18 -0.09 -0.04 8 -0.09 -0.07 - 10 -0.07 - - 100 - - -

Pentru elementele structurale ale căror secţiuni transversale aparţin

Claselor 1 şi 2, 900151 ..μy >= în timp ce pentru clasa 3, . Deci se

poate considera, în general, că

9001 .μy >=

900.μy = şi deci valorile din tabelul VI.4 sunt

161


aplicabile şi secţiunilor transversale din Clasa 3, cu diferenţa că (raza de

giraţie a secţiunii în domeniul plastic) trebuie înlocuita prin

plr

AW

r y,el= .

Se poate observa faptul că pentru flambajul în planul elementului structural

studiat, reducerea încărcării de flambaj datorată imperfecţiunilor geometrice este

importantă doar în cazul rapoartelor plre mici. Pentru excentricităţi mai mari,

influenţa imperfecţiunilor geometrice este mai mică şi chiar neglijabilă în anumite

situaţii.

e

Datorită naturii diferite a imperfecţiunilor geometrice şi a celor mecanice, ele

trebuie considerate separat în analiza stabilităţii elementelor structurale

comprimate. Imperfecţiunile geometrice pot fi înlocuite prin încărcări transversale

adiţionale (uniform distribuite, concentrate sau momente de torsiune) în timp ce

imperfecţiunile mecanice cauzează o reducere a rigidităţii elementului.

În cazul unui element structural considerat ca fiind izolat de structura din

care face parte, ambele categorii de imperfecţiuni acţionează în aceeaşi direcţie

prin reducerea capacităţii portante a elementului. De aceea conceptul de

imperfecţiune geometrică echivalentă, incorect din punct de vedere teoretic,

poate fi acceptat însă din punct de vedere practic. Problema este mult mai

complexă în cazul considerării structurii în ansamblul său. Efectul imperfecţiunilor

geometrice este în mod clar dăunător pentru elementul structural afectat.

Imperfecţiunile mecanice au însă efecte contradictorii: scăderea rigidităţii

datorată acestor imperfecţiuni afectează capacitatea portantă a barei, dar în

acelaşi timp, momentele de capăt la aceste elemente sunt mai mici decât la

elementele structurale considerate fără imperfecţiuni.

Influenţa imperfecţiunilor geometrice globale asupra încărcării de flambaj

poate fi substanţială pentru elemente comprimate (stâlpi) şi poate fi la fel în cazul

flambajului lateral cu torsiune al grinzilor sau grinzilor-coloane. În general,

sensibilitatea unui mod de pierdere a stabilităţii la imperfecţiuni este mai mică ori

de câte ori deformata de ordinul I a unui element structural determinată de

încărcări exterioare conţine vectorul propriu fundamental al modului respectiv de

162

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE pierdere a stabilităţii. De aceea, flambajul în planul său al unei grinzi-coloană este mai

puţin afectat de imperfecţiuni şi cu cât momentele încovoietoare sunt mai mari, cu

atât este mai mică influenţa imperfecţiunilor.

Aplicarea noţiunii de imperfecţiune geometrică echivalentă este acoperitoare în

ceea ce priveşte proiectarea structurală, deoarece desconsideră aspectul favorabil

determinat de influenţa imperfecţiunilor mecanice.

Din moment ce anumite categorii de imperfecţiuni au o mai mare influenţă decât

altele, limitele permise în norme trebuie să fie diferite. Mai mult, se pot oferi chiar

condiţii pentru depăşirea limitelor standardizate ale imperfecţiunilor, presupunând că

evaluarea capacităţii portante se face pornind de la valorile actuale ale

imperfecţiunilor. Acest punct de vedere este important în aprecierea siguranţei unui

element structural şi al momentului când trebuie efectuate operaţii de consolidare.

VI.3 TENSIUNI REZIDUALE LA SECŢIUNILE SUDATE Tensiunile reziduale, care formează un sistem autoechilibrat pe o secţiune

plană, pot fi de origine termică (laminare, decupare cu flacără şi sudare) sau de

origine mecanică (îndreptare).

În general, influenţa tensiunilor reziduale asupra comportării unei bare

comprimate este următoarea: anumite fibre ale secţiunii se plastifică înainte ca

tensiunea medie să atingă limita de curgere a materialului (Fig.VI.8a şi b). )f(σ yc

Zonele astfel plastifiate au drept consecinţă diminuarea rigidităţii secţiunii.

Atunci când deformaţia specifică depăşeşte domeniul elastic, modulul de

elasticitate devine, teoretic, egal cu zero. Acest fenomen, ilustrat de figura VI.8

reprezintă evoluţia zonelor plastifiate pe secţiunea unui element supus unei

încărcări axiale de compresiune crescătoare.

ε

Se poate observa că rigiditatea secţiunii este crescătoare până când

încărcarea exterioară atinge o valoare limită, . Această valoare limită poate fi

definită ca fiind încărcarea maximă care poate fi suportată de elementul

structural analizat fără ca vreo fibră a secţiunii transversale să fie plastifiată.

limP

163


a)

b)

Figura VI.8

Măsurători ale tensiunilor reziduale pe elemente cu secţiuni transversale I sudate ale elementelor realizate din oţel de înaltă rezistenţă, au demonstrat că

tensiunile reziduale de întindere în vecinătatea cordoanelor de sudură sunt mai mici

decât efortul de curgere al materialului de bază. S-a constatat totodată, că aceste

tensiuni reziduale sunt mai mici decât în cazul secţiunilor realizate din oţel moale,

pentru care tensiunile reziduale ating valoarea efortului de curgere în vecinătatea

sudurii. Din acest motiv şi tensiunile reziduale de compresiune ce apar în tălpile

unei secţiuni I sudate sunt relativ mici, ceea ce are o influenţă pozitivă asupra

stabilităţii structurilor din oţel.

164

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE VI.3.1 Distribuţia tensiunilor reziduale

Pe baza măsurătorilor efectuate până în prezent s-a stabilit că se poate

considera o distribuţie idealizată a tensiunilor reziduale pe secţiunea transversală a

unui element structural. Utilizând apoi această distribuţie şi efectuând simulări

numerice neliniare pe computer, se poate determina capacitatea portantă a barelor

comprimate realizate din oţel de înaltă rezistenţă, considerând şi flambajul. Această

valoare poate fi apoi comparată cu cea a elementelor realizate din oţel moale.

Teste efectuate pe o serie de secţiuni I sudate, ale căror rezultate sunt

prezentate în [12], au confirmat faptul că tensiunile reziduale de compresiune

predomină în tălpi, iar cele de întindere în inimă. Explicaţia ar consta în faptul că

inima elementelor studiate ar avea o grosime mai mică decât tălpile şi s-ar manifesta

mai puternic influenţa nefastă a energiei rezultată din preîncălzirea pieselor în

vederea sudării.

În figura VI.9 este prezentată distribuţia tensiunilor reziduale pe secţiunea

transversală a unor secţiuni I sudate. Dimensiunile secţiunii elementelor analizate şi

caracteristicile mecanice ale oţelurilor utilizate sunt prezentate în tabelul V.5. Sudurile

executate la secţiunile din categoriile A, B şi C prezentate în tabel au fost execuate

prin trei treceri ale aparatului de sudură, iar grosimea sudurii a fost între 7 şi 8 mm.

Pentru sudurile efectuate la secţiunile din grupul D, cordoanele de sudură s-au

executat într-o singură trecere, iar grosimea sudurii a fost între 5 şi 6 mm.

Preîncălzirea a fost utilizată în toate cazurile prezentate.

Tabelul VI.5

Grupul Tip probă b/t hw/d a fytalpă

[N/mm2] fyinimă

[N/mm2] A P1, P2 160/15 270/10 7-8 580 810 B P3, P4 200/15 170/10 7-8 580 810 C P5, P6 200/15 170/10 7-9 540 525

D1 220/12 220/10 5-6 873 775 D D2 270/12 220/10 5-6 797 775

165


P5 P6

P3 P4D2

P1 P2

D1

exterior

Par

tea

stân

gă

Exterior sau partea dreaptă

Interior sau partea stângă

Media

interior P

arte

a dr

eaptă

Figura VI.9

166

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Tensiunile reziduale au fost măsurate prin metoda clasică de relaxare,

e ambele feţe ale tolelor

observat că tensiunile

conform căreia ele au fost relaxate printr-o metodă adecvată de tăiere cu

fierăstrăul. Barele au fost mai întâi tăiate în direcţie transversală şi apoi între

poziţiile mărcilor tensometrice, în direcţie longitudinală.

Au fost măsurate deformaţiile specifice reziduale p

ce compun fiecare dintre secţiunile analizate, iar apoi, pe baza acestor

deformaţii specifice au fost calculate tensiunile reziduale.

Din rezultatele obţinute şi prezentate în [12] s-a

reziduale măsurate la marginea exterioară a tălpilor, opusă cordoanelor de

sudură, au valoare foarte apropiată de zero sau sunt chiar de compresiune.

Aceasta înseamnă că în vecinătatea sudurilor există un puternic gradient de

tensiuni pe grosimea tălpii, chiar şi atunci când ele sunt relativ subţiri (în cazul

studiat t=15 mm). Se presupune că acest gradient se datorează faptului că

pentru oţelurile de înaltă rezistenţă (din care sunt executate piesele folosite în

teste) nu apare nici o plastifiere a materialului şi nu are loc o redistribuire a

eforturilor unitare în zona sudurilor.

Figura VI.10

167


În figura VI.10 sunt prezentate distribuţiile idealizate, rectangulare ale

nsi

VI.3.2 Influenţa tensiunilor reziduale asupra capacităţii portante a

Pentru proiectarea barelor comprimate cu secţiune I sudată realizate din

el

tante

erfecţiune

te unilor reziduale care se acceptă de regulă în practică. Se poate observa că

pentru secţiunile transversale ale elementelor realizate din oţel moale, tensiunile

reziduale cu valori mari şi plastifierea materialului în vecinatătatea sudurii sunt

tipice.

barelor comprimate

oţ moale, în conformitate cu normele EUROCODE 3 [103], se pot utiliza

curbele de flambaj b şi c, iar pentru profilele laminate se pot utiliza curbele a şi b.

Conform anexei D a EUROCODE 3 [103], care se referă la elemente realizate

din oţeluri de înaltă rezistenţă, pentru profilele laminate se pot utiliza curbele de

flambaj cu un nivel mai ridicate, adică a şi a0, în timp ce pentru secţiunile sudate

curbele de flambaj b şi c ca şi în cazul elementelor realizate din oţel moale.

Pentru urmărirea influenţei tensiunilor reziduale asupra capacităţii por

a barelor comprimate s-a ales ca model o bară dublu articulată (Fig. VI.11) ce

are secţiunea transversală conform tabelului VI.5, grupa B de secţiuni.

În testele considerate de autori în [12] s-a considerat o imp

geometrică iniţială a barei de formă sinusoidală, cu valoare maximă în mijlocul

deschiderii L, egală cu 1000L . Au fost analizate bare alcătuite din oţel de înaltă

rezistenţă cu limita de cu 580rgere =)f(σ yc N/mm2 şi din oţel moale cu limita

de curgere 240=)f(σ yc N/m ba caracteristică a oţelului utilizat a

fost considera zul ideal elasto-plastic (Fig. VI.11).

m2 , iar cur

tă pentru ca

168


Figura VI.11

În figurile VI.12 şi VI.13 sunt prezentate comparativ, în formă

adimensională, capacităţile portante ultime (sub forma curbelor de flambaj)

pentru bare pe a căror secţiune transversală există distribuţie de tensiuni

reziduale idealizate sau fără tensiuni reziduale, realizate din oţel de înaltă

rezistenţă şi oţel moale.

Flambaj după axa puternică

Euler a,b,c,d OM – fără tensiuni reziduale OM – distribuţia dreptunghiulară a tensiunilor reziduale OÎR – fără tensiuni reziduale OÎR – distribuţia dreptunghiulară a tensiunilor reziduale OÎR – distribuţia dreptunghiulară a tensiunilor reziduale şi influenţa tăierii cu flacăra P-B.W. Young

κ

λ

Figura VI.12

169


Flambaj după axa slabă

Euler a,b,c,d OM – fără tensiuni reziduale OM – distribuţia dreptunghiulară a

κ

tensiunilor reziduale OÎR – fără tensiuni reziduale OÎR – distribuţia dreptunghiulară a tensiunilor reziduale OÎR – distribuţia dreptunghiulară a tensiunilor reziduale şi influenţa tăierii cu flacăra P-B.W. Young

λ

Figura VI.13

Se poate observa că din punct de vedere al capacităţii portante ultime,

aceasta este mai scăzută în cazul barelor comprimate realizate din oţel moale,

faţă de barele comprimate fabricate din oţel de înaltă rezistenţă.

În plus, curbele κ- λ pentru bare comprimate din oţel moale prezintă un

platou evident în domeniul zvelteţilor cuprins între 0.3 şi 1.0 ( 0130 .λ. << ).

Ambele efecte apar ca o consecinţă a distribuţiei defavorabile a tensiunilor

reziduale pe secţiunea transversală a elementelor realizate din oţel moale. În curbele de flambaj platoul apare datorită considerării distribuţiei constante

a tensiunilor reziduale de compresiune pe secţiunea tălpilor. În realitate însă,

secţiunile transversale pentru astfel de secţiuni sudate nu prezintă în nici un caz

distribuţii constante ale tensiunilor reziduale de compresiune (Fig. VI.9). De

asemenea, tensiunile reziduale de întindere de la colţurile tălpilor influenţează

pozitiv capacitatea portantă a barelor comprimate. Acestea sunt şi motivele

pentru care platoul în curbele de flambaj reale nu este chiar uşor sesizabil.

170

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Rezultatele obţinute au permis formularea concluziei că, pentru bare cu

secţiune transversală sudată, utilizarea după normele în vigoare a curbelor de

flambaj b şi c este corespunzătoare realităţii, dar pot fi utilizate cu bune rezultate

chiar şi curbele a şi b.

Din studiile efectuate şi prezentate în [12] se poate concluziona că la

secţiunile I sudate realizate din oţel de înaltă rezistenţă, tensiunile reziduale de

întindere în vecinătatea cordonului de sudură nu ating limita de curgere a

materialului şi nu depind de calitatea oţelului. Totuşi, nivelul relativ al tensiunilor

reziduale de compresiune este mai scăzut în cazul oţelului de înaltă rezistenţă

decât în cazul oţelului moale. Este interesant de asemenea faptul că, gradientul

de tensiuni în vecinătatea sudurii pe grosimea tălpii apare la grosimi mai mici ale

tălpii pentru oţelul de înaltă rezistenţă faţă de oţelul moale. O consecinţă a

nivelului mai scăzut al tensiunilor reziduale de compresiune rezidă într-o valoare

mai ridicată a capacităţii portante a barelor comprimate cu secţiune I sudată

realizate din oţel de înaltă rezistenţă, comparativ cu barele comprimate realizate

din oţel moale.

De asemenea, un lucru de mare interes în practica de proiectare este acela

că pentru dimensionarea barelor comprimate cu secţiune transversală în formă

de I sudată, realizate din oţel de înaltă rezistenţă pot fi utilizate curbele de

flambaj a şi b, în timp ce pentru cele realizate din oţel moale este recomandabilă

utilizarea curbelor de flambaj b şi c.

VI.4 INFLUENŢA IMPERFECŢIUNILOR ASUPRA COMPORTĂRII ELEMENTELOR STRUCTURALE

În practică se ţine cont de imperfecţiunile geometrice prin adoptarea, pentru

elementele metalice, a unor deformaţii iniţiale cu valoarea de l/500 până la

l/1000, l fiind lungimea şi se determină influenţa lor asupra încărcării de cedare

(Fig. VI.14).

171


(+ întindere)

(- compresiune)

Figura VI.14

Studiile pe anumite tipuri de profile au arătat că încărcarea critică de flambaj

scade în limite cunsocute şi este practic independentă de tipul profilului metalic

lipsit însă de tensiuni reziduale. Profilele metalice tubulare a căror comportare

este schematizată de diagrama din figura VI.15 arată aceeaşi tendinţă de

diminuare a încărcării critice, raportul grosime perete-diametru având o influenţă

relativ scăzută. Calculele şi încercările experimentale efectuate asupra profilelor

metalice de mai multe tipuri şi forme au arătat faptul că, presupunând că toate

imperfecţiunile datorate procesului de fabricaţie apar simultan, adoptarea unei

săgeţi iniţiale de valoare egală cu l/1000 în mijlocul deschiderii grinzii sau

profilului se situează de partea siguranţei. Cele mai multe norme internaţionale

utilizează în calcul această valoare pentru considerarea imperfecţiunilor

geometrice.

172


Figura VI.15

Mai mult, atât timp cât profilul metalic este lipsit de tensiuni reziduale, forma

profilului nu are decât o influenţă foarte redusă asupra încărcării critice de

cedare. În figura VI.16, în care au fost trasate curbele eforturilor de flambaj, se

poate observa că dintre toate profilele metalice cunsocute, profilele T se

detaşează net de celelalte profile, în ceea ce priveşte încărcarea critică de

flambaj.

Dreptunghi

Ţeavă circulară D/t=10.4

Ţeavă pătrată

Figura VI.16

173


Aceste profile se caracterizează printr-o valoare mai ridicată a încărcării

critice pentru talpa comprimată şi mai scăzută pentru partea comprimată a inimii.

În figura VI.17 este prezentată variaţia încărcării de flambaj în funcţie de

zvelteţea elementelor pentru profile metalice casetate, fiind considerate în studiul

efectuat profile metalice cu secţiune pătrată şi dreptunghiulară. Şi aici diferenţele

mari între grosimea pereţilor şi valori mult diferite ale raportului înălţime perete -

lăţime perete nu au decât o influenţă scăzută asupra încărcării critice de flambaj N .

Figura VI.17

Lucrurile se schimbă însă în mod evident dacă se iau în discuţie şi

tensiunile reziduale proprii introduse inevitabil forţat în orice profil metalic ca

urmare a procesului de fabricaţie. Datorită unui program susţinut şi foarte bine

organizat, influenţa tensiunilor reziduale proprii asupra sarcinii de cedare la

flambaj a putut fi studiată la Universitatea Lehigh din Pennsylvania, de către

Thürlimann, L. S. Beedle şi L. Tall [9].

În figura VI.18 este schematizată forma şi distribuţia tensiunilor reziduale

proprii în diferite tipuri de profile metalice în I, formă şi distribuţie ce depind în

mod clar de geometria profilului. Se poate observa că repartiţia tensiunilor proprii

174

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE depinde de valorile raportului înălţime-lăţime h/b. În timp ce pentru profilele

având un raport h/b ≤ 1.2 tensiunile proprii de compresiune pot fi, fie relativ

puternice σE = 0.5σe la extremităţile tălpilor, fie mai reduse σE = 0.3σ e dar cu o

distribuţie mai defavorabilă pe toată talpa, pentru valori ale raportului 1.2 < h/b < 1.7

ele ating valori mult mai reduse cu o repartiţie mai favorabilă (numai partea

exterioară a tălpii este comprimată). Pentru profile zvelte cu h/b ≥ 1.7 această

tendinţă este chiar mai pronunţată şi se poate chiar produce o inversare, aşa

cum se întâmplă pentru profilele mai vechi normalizate, tensiunile proprii de

întindere fiind repartizate pe toată talpa. Cauzele acestor distribuţii foarte diferite

ale tensiunilor proprii se găsesc în procesele diverse de răcire care corespund

diferitelor geometrii ale profilelor.

Figura VI.18

175


Se poate deci concluziona, că pentru profilele laminate în formă de I se

poate determina o valoare limită până la care existenţa tensiunilor reziduale

proprii influenţează sarcina critică de flambaj, pentru un raport h/b aproximativ

egal cu 1.2.

Profilele mai zvelte arată un comportament la flambaj mult mai favorabil

d.p.v. ale existenţei şi distribuţiei tensiunilor reziduale. Acest lucru este ilustrat şi

de figura VI.19 în care au fost trasate curbele de cedare pentru diferite tipuri de

profile laminate având tensiuni reziduale. Se poate observa că grinzile cu tălpi

late şi cu inimă înaltă şi de asemenea profilele IPE zvelte au un comportament

favorabil, în timp ce profilele de tipul DIE 20 au încărcările de cedare cele mai

mici.

Tensiuni proprii de compresiune destul de ridicate în părţile exterioare ale

tălpilor se produc în secţiunile I sudate cu tălpi laminate. Aceste profile fac

dovada unui comportament defavorabil la cedare similar profilelor cu tălpi mai

puţin late.

Figura VI.19

Este cunoscut faptul că limita elastică nu este constantă pe secţiune şi că

procedeele de fabricaţie sunt la originea dispersiei acestei limite. În figura V.20 a

fost reprezentată influenţa exercitată de dispersia limitei elastice asupra sarcinii

176

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE de flambaj, profilele considerate fiind DIE 20 comportând tensiuni reziduale.

Imperfecţiunile structurale au fost reprezentate prin valoarea lor intrinsecă E

σ =

σE/σe media globală pentru tensiunile reziduale şi eσ = σe/σe media globală

pentru limita elastică. Concluzia formulată este aceea că tensiunile reziduale

exercită o influenţă mai importantă asupra sarcinii de cedare decât variaţia limitei

elastice.

Figura VI.20

Influenţa exercitată de tensiunile reziduale asupra încărcării critice de

cedare a profilelor casetate cu pereţi subţiri este prezentată în figura VI.21.

Secţiunile sudate au tensiuni puternice de întindere în zona cordonului

de sudură: (E

σ = 1), cărora, din motive de echilibru le corespund tensiuni

reziduale de compresiune în zonele centrale ale peretelui. Repartiţia şi

ordinul de mărime al acestor tensiuni depind de dimensiunile casetei. În timp

ce pentru casetele cu dimensiuni reduse tensiunile reziduale de compresiune

pot atinge cel mult nivelul tensiunilor de întindere, ele ating valori mult mai

mici prin raport cu media în profilele casetate de dimensiuni mai mari.

Se poate concluziona că sarcina de flambaj este practic independentă de

repartiţia tensiunilor reziduale dacă se consideră că în secţiunea sudurii :E

σ = 1.

177


Figura VI.21

Un alt studiu important a fost cel efectuat asupra profilelor T pentru diferite

ipoteze posibil de întâlnit în practică ale distribuţiei tensiunilor reziduale (Fig. VI. 22).

(întinder

(compresiune)

e)

Figura VI.22

Măsurătorile efectuate au arătat faptul că în părţile exterioare ale inimii există

în general tensiuni reziduale de întindere care pot, după caz, să se transforme în

178

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE tensiuni reziduale de compresiune cu valoare mică. Această schimbare a fost

observată numai la secţiunile sudate. Pentru profilele T rezultate din decuparea

grinzilor I, se observă existenţa tensiunilor reziduale de întindere pe partea

exterioară a inimii. În figura VI. 22 se poate observa o reducere semnificativă a

încărcării de cedare în ipoteza tensiunilor reziduale de compresiune la marginea

inimii. Dacă în aceste puncte există însă tensiuni reziduale de întindere se constată

o creştere a capacităţii portante prin comparaţie cu profilele care sunt lipsite de

tensiuni reziduale.

Un alt gen de imperfecţiune care influenţează sarcina de cedare este aplicarea

excentrică a încărcării la extremităţile unei bare. În figura VI.23 sunt prezentate

curbele de cedare pentru profilele I DIE 20 solicitate la flambaj după axa lor slabă

de inerţie, fie având o săgeată iniţială de l/1000, fie având diferite excentricităţi

iniţiale (i/10, i/20, i/40), unde i este raza de giraţie a secţiunii transversale a profilului.

Studiile efectuate au demonstrat faptul că adoptarea unei săgeţi iniţiale de l/1000

acoperă practic şi existenţa imperfecţiunilor mergând până la valoarea de i/20. Din

figura VI.23 se poate deduce de asemenea că excentricităţile iniţiale de aplicare a

forţei exercită, în domeniul zvelteţilor mici, o influenţă asupra sarcinii de cedare

similară celei exercitate de o coborâre a limitei de elasticitate.

Figura VI.23

179


Prin adoptarea unei lungimi de flambaj corespunzătoare, în calcul, este

posibilă eliminarea excentricităţilor datorate imperfecţiunilor şi să se considere că

aplicarea încărcării pe bara comprimată se face centric la extremităţile barei.

Cercetări ulterioare au permis stabilirea faptului că încărcări laterale de

valoare scăzută, aşa cum sunt greutatea proprie a barei sau presiunea vântului

exercită o influenţă asupra sarcinii de cedare la flambaj, care nu este neglijabilă,

în special pentru barele zvelte. Această influenţă a fost studiată de către G.

Schultz [11]. Obiectul încercărilor experimentale au fost tot profilele I DIE 20 şi se

poate observa în fig. VI.24 variaţia sarcinii de cedare în funcţie de valoarea

încărcărilor laterale. Valorile pentru încărcările laterale au fost alese de 0.5, 1.0,

respectiv 1.5 ori mai mari decât valoarea greutăţii proprii a barei. Conform

diagramelor din figura VI.24 procentajul de diminuare al sarcinii de cedare creşte

cu zvelteţea şi devine foarte important pentru bare foarte zvelte.

Figura VI.24

G. Schultz a demonstrat (Fig. VI.25) că influenţa încărcărilor laterale poate fi

luată în considerare prin formula:

)q(Nk)q(Nq

01 === (VI.13)

datorită unui factor de corecţie q

k care se poate determina cu relaţia:

180


)λ(fDik

q

2

1−= (VI.14)

Funcţia )λ(f poate fi reprezentată suficient de exact printr-o dreaptă. În

figura VI.25 este prezentat cazul unui profil tubular.

Figura VI.25

Eliminarea săgeţilor inadmisibil de mari ale barelor se poate face prin

procedeul numit redresaj. Acest procedeu produce o plastifiere parţială a

secţiunii şi prin aceasta o modificare a stării existente a tensiunilor reziduale.

Pe căi teoretice, Charles Massonet a demonstrat că redresajul are o

influenţă favorabilă asupra repartiţiei tensiunilor reziduale.

181

CAPITOLUL VII ANALIZA CU ELEMENTE FINITE A STABILITĂŢII GENERALE A PODURILOR METALICE

ANALIZA CU ELEMENTE FINITE A STABILITĂŢII GENERALE A PODURILOR METALICE

VII.1 GENERALITĂŢI

Este cunoscut faptul că metoda elementelor finite a devenit în utlimii ani o

procedură standard de analiză structurală atât în inginerie, cât şi în alte domenii

ale ştiinţei. Această metodă are la bază modelarea matematică a fenomenelor

fizice complexe din natură şi prin utilizarea unor condiţii iniţiale, respectiv a unor

condiţii la limită, face posibilă simplificarea unor procese, care altfel ar fi dificil

sau imposibil de rezolvat.

Metoda elementelor finite utilizează formularea integrală a fenomenelor

fizice, fie direct, fie prin transformarea modelului fizic diferenţial cu ajutorul

calculului variaţional. Analiza răspunsului structurilor sub acţiunea încărcărilor

exterioare utilizând metoda elementelor finite, presupune aproximarea mărimilor

variabile pe subdomenii având formă şi dimensiune arbitrare. Acesta este un

avantaj major, deoarece cu ajutorul metodei elemmentelor finite se pot aborda

probleme de calcul ale structurilor uni-, bi- şi tridimensionale, având formă şi

condiţii de rezemare arbitrare şi fiind supuse unor sisteme de forţe exterioare

având intensităţi diferite şi orientări oarecare în spaţiu.

Apariţia metodei elementelor finite poate fi datată în jurul anilor 1950. După

apariţie, metoda a cunoscut o dezvoltare rapidă şi concomitent, datorită

dezvoltării progresive a tehnicii de calcul, metoda a putut fi implementată pe

calculatoare electronice.

Algoritmii de calcul utilizaţi la inceput şi posibilităţile limitate oferite de

tehnica de calcul a acelor ani a condus la posibilitatea rezolvării numai a unui

număr limitat de probleme, analizele efectuându-se în domeniul elastic de

comportare a materialului. S-a constatat totuşi de-a lungul timpului, că anumite

182

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE structuri pot avea un răspuns neliniar sub acţiunea încărcărilor ce le solicită şi astfel a

apărut necesitatea considerării în analize a unor procedee prin care să se ţină seama

atât de posibilitatea apariţiei deplasărilor mari, dar şi depăşirii limitei de elasticitate a

materialelor. Utilizând formulări matematice din mecanica mediului continuu, s-au

impus treptat algoritmi sofisticaţi de rezolvare iterativă sau incremental-iterativă a

problemelor neliniare, rezultatele obţinute descriind mult mai fidel comportarea

structurilor, lucru atestat şi de încercările ulterioare pe modele.

Metoda elementelor finite a rezultat de fapt în urma formulării matriceale a

metodei deplasărilor cunoscută din statica construcţiilor. Atât în cazul analizelor

liniare cu elemente finite, cât şi cazul celor neliniare, utilizarea metodei constă în

scrierea şi rezolvarea ecuaţiilor de echilibru pentru un sistem structural aflat sub

influenţa unor factori externi perturbatori, care pot fi încărcări, variaţii de

temperatură, fenomene cauzate de comportarea în timp a materialelor etc.

În lucrarea de faţă nu se urmăreşte prezentarea pe larg a metodei elementelor

finite, deoarece există în prezent, atât la nivel naţional, cât şi mondial, un număr

impresionant de referinţe bibliografice care se referă strict la acest subiect. Scopul

urmărit este de a prezenta rezultatele unor analize neliniare, cu elemente finite,

efectuate pentru câteva structuri particulare de poduri metalice, în vederea stabilirii

nivelului încărcărilor exterioare pentru care se pot produce fenomene de instabilitate.

Pentru aceasta s-a considerat necesară o prezentare succintă a principiilor de bază

şi algoritmilor de calcul, ce au cea mai mare utilizare în marea majoritate a

programelor de calcul existente în prezent.

VII.2 FORMULĂRI MATEMATICE UTILIZATE ÎN METODA ELEMENTELOR FINITE

Stabilirea relaţiilor matematice prin care se pot descrie fenomenele fizice în

mecanica mediului continuu are la bază câteva formulări matematice, care se

diferenţiază prin tipurile de variabile şi ipotezele de calcul considerate precum şi

prin tipul relaţiilor matematice folosite. Cele mai uzuale formulări matematice sunt

183


formularea Lagrange cu cele două forme ale sale, totală, respectiv actualizată,

formularea Euler şi formularea co-rotaţională introdusă mai recent.

În toate cele trei tipuri de formulări exprimarea mărimilor variabile (eforturi

unitare, deformaţii specifice, eforturi secţionale, respectiv deplasări) se

raportează la sisteme carteziene de coordonate. Relaţiile matematice utilizate în

formulările Lagrange total şi actualizat au la bază principiile energetice şi relaţiile

matematice care decurg din utilizarea acestor principii, în timp ce formulările

Euler şi co-rotaţională utilizează relaţii matematice analitice de tipul ecuaţiilor

diferenţiale, metodelor variaţionale etc.

În calculul geometric neliniar soluţia se obţine efectuând un calcul iterativ în

cicluri de încărcare, deoarece răpsunsul structurii sub încărcări nu este cunoscut

de la început. De aceea, pentru utilizarea oricăreia dintre formulările prezentate

anterior este necesară divizarea stării de încărcare a unui solid deformabil

(structuri) într-un număr de configuraţii succesive de echilibru. Într-un sistem

cartezian de coordonate, o reprezentare a acestor configuraţii succesive poate fi

cea din figura VII.1.

Formularea Lagrange [7], [20], [21], [124], [125] are la bază următoarele

ipoteze:

− elementele ce compun mediul continuu (structura) sunt deformabile şi pot

suferi deformaţii mici sau mari, măsurate în diverse puncte aparţinând

elementelor;

− punctele care se situează în înteriorul unui element, respectiv pe graniţa

acestuia înainte de deformare, se găsesc în interiorul elementului,

respectiv pe graniţa acestuia şi pe parcursul procesului de deformare;

− deformarea elementului presupune modificarea volumului şi formei

acestuia. Deformaţiile specifice pot fi axiale, dar şi de forfecare.

184


Figura VII.1

Conform acestor ipoteze, formularea Lagrange este indicată în probleme

legate de mecanica solidului şi a structurilor de rezistenţă implicând deplasări

mari şi utilizează eforturile unitare de ordinul II Piola-Kirchhoff şi deformaţiile

specifice Green-Lagrange (a se vedea pct. VII.3.). Acest tip de eforturi unitare

sunt însă lipsite de semnificaţie fizică în special în cazul mediilor continui în

mişcare, unde este indicat să se utilizeze formularea Euler.

Formularea Euler [7], [20], [21], [124], [125] se bazează pe următoarele

ipoteze:

− mediul continuu este deformabil în ansamblul său sau se găseşte în

mişcare;

− punctele materiale situate în interiorul unui element din mediul continuu

deformabil sau pe graniţa acestuia atunci când elementul este în poziţie

185


nedeformată, pot ajunge în alte elemente sau pot părăsi graniţa

elementului în decursul procesului de defomare;

− deformarea elementului se face fără modificare de volum şi nu pot exista

deformaţii specifice provenind din forfecare.

În formularea Euler toate variabilele sunt exprimate în raport cu configuraţia

deformată C1 (Fig. VII.1). Acest tip de exprimare matematică a fost preferat în

trecut pentru analiza curgerii fluidelor, însă în prezent se utilizează, cu anumite

restricţii şi în analiza structurilor de rezistenţă. Limitările sunt impuse de faptul că

trebuie monitorizate în permanenţă modificările de volum, ceea ce implică

dificultăţi în realizarea algoritmilor de calcul.

Spre deosebire de formularea Lagrange, în formularea Euler eforturile

unitare utilizate sunt de tip Cauchy, iar deformaţiile specifice sunt cele logaritmice

(naturale)(a se vedea VII.3) Un avantaj major ale acestui tip de formulare este

acela că prin tensorii eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice utilizaţi este

descrisă în mod realist comportarea materialului din care este realizat elementul

structural.

Formularea co-rotaţională [20], [21] reprezintă un concept mai recent şi este

indicat a fi utilizată în cazul în care rotirile elementelor structurale sau ale unor

părţi ale acestora sunt mari. Principala caracteristică a acestei formulări o

reprezintă faptul că variabilele sunt exprimate în raport cu un sistem de

coordonate cartezian ataşat elementului şi care se mişcă odată cu acesta.

Caracterul geometric neliniar este dat tocmai de rotirea continuă a acestui sistem

de referinţă.

În analizele geometric neliniare cu elemente finite ce au avut ca obiect de

studiu câteva tabliere de poduri metalice şi care vor fi prezentate în continuare a

fost utilizată formularea Lagrange şi ca atare, în această lucrare se vor face

referiri la acest tip de formulare matematică.

În formularea Lagrange toate variabilele pot fi raportate la o configuraţie de

referinţă, care poate fi configuraţia iniţială nedeformată C0 (Fig. VII.1), caz în care

vorbim despre o formulare Lagrange totală, sau ultima configuraţie de echilibru

C1 (Fig. VII.1), anterioară configuraţiei momentane (curente) a solidului C2 (Fig.

186

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE VII.1), situaţie în care formularea utilizată va fi cea Lagrange actualizată. Asociat

formulării Lagrange se utilizează noţiunile de rigiditate secantă, respectiv

rigiditate tangentă, care vor fi definite în paragrafele care urmează.

Se consideră că toţi parametrii, tensiuni, deformaţii specifice şi deplasări

sunt cunoscuţi pentru configuraţia C1. Presupunând că valoarea încărcării

aplicată pe configuraţia C1 creşte cu o anumită valoare, problema ce trebuie

rezolvată este cea de găsire a unei teorii incrementale pentru exprimarea tuturor

variabilelor pentru poziţia deformată C2. Pasul de încărcare ce caracterizează

procesul de deformare al corpului solid între stările C1 şi C2 se numeşte pas

incremental. În timp ce deformaţiile în pasul incremental de la configuraţia C1 la

configuraţia C2 sunt presupuse ca fiind mici, deformaţiile acumulate de corp în

ansamblu, în procesul de deformare de la C0 la C1 sau chiar C2 pot fi mari.

Avantajul principal al procedurilor incrementale pentru găsirea soluţiei în

calculul geometric neliniar constă în faptul că, o problemă neliniară ce implică

deformaţii mari, poate fi descompusă într-un număr de paşi incrementali în care

deformaţiile sunt mici. Exemplificarea comportării structurii între configuraţiile C1

şi C2 prezentate anterior poate fi uşor făcută, considerând formularea Lagrange

actualizată, ce consideră configuraţia C1 ca fiind de referinţă.

Aşa cum se ştie, orice structură reală poate fi asimilată ca fiind alcătuită din

mai multe elemente de dimensiuni reduse (elemente finite) legate între ele în

punctele de intersecţie (noduri).

Ecuaţia incrementală ce exprimă relaţia între forţe şi deplasări pentru un

element finit are forma:

(VII.1) [ ]{ } { } { }12 ffuk −=

în care:

[ ]k este matricea de rigiditate tangentă a elementului;

{ }u este vectorul deplasărilor nodale incrementale între configuraţiile C1 şi C2;

{ }1f este vectorul forţelor iniţiale ce acţionează asupra solidului la începutul

pasului (configuraţia C1);

187


{ }2f este vectorul forţelor totale ce acţionează asupra solidului la sfârşitul

pasului (configuraţia C2);

Matricea de rigiditate [ poate fi exprimată, aşa cum se va vedea ulterior,

sub forma:

]k

[ ] [ ] [ ]ge kkk += (VII.2)

unde este matricea de rigiditate elastică utilizată în calculul liniar de ordinul I, [ ek ][ ]gk este matricea de rigiditate geometrică care înglobează modificările în

geometrie suferite de elementele finite şi este caracteristică analizelor de ordinul II.

Trebuie menţionat faptul că ecuaţia (VII.2) reprezintă doar primul pas în

cadrul unei analize neliniare pas cu pas şi ea poate fi scrisă pentru fiecare dintre

elementele finite ce definesc structura analizată. Respectând condiţiile de

compatibilitate a deformaţiilor în nodurile elementelor finite, ecuaţiile de tipul (VII.2)

pot fi asamblate într-o ecuaţie structurală de forma:

[ ][ ] { } { }12 PPUK −= (VII.3)

unde mărimile ce intervin au aceeaşi semnificaţie ca în relaţia (VII.2), dar de

această dată se referă la structura analizată în ansamblu.

NOTĂ: Anterior au fost utilizate notaţiile C0,C1, C2 care definesc configuraţii

succesive ale unui corp în procesul de deformare şi nu se referă la clase

de continuitate ale unor funcţii. Corespunzător, vectorii { } sunt

definiţi în raport cu aceste configuraţii.

{ } { }P,U,f

Într-o analiză neliniară pas cu pas se presupune că toate informaţiile despre

structură (coordonate ale nodurilor, forma deformată a fiecărui element ce

compune structura, forţele iniţiale { }1f ce acţionează pe fiecare element şi

încărcările aplicate { acţionând în nodurile elementelor) sunt cunoscute la

sfârşitul configuraţiei C1. Presupunând că încărcările se modifică de la

}1P

{ }1P la

pentru rezolvarea problemei trebuie găsite soluţiile ecuaţiilor neliniare

pentru deplasările incrementale

{ }2P

{ }U ale structurii.

188

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Odată cu creşterea deplasărilor { }U , geometria deformată a întregii structuri

poate fi actualizată şi trasate curbele încărcare-deplasare pentru anumite grade

de libertate ale structurii similare celor prezentate în Capitolul II, (Fig. II.11, II.13).

Aşa cum s-a precizat în Capitolul II, curba încărcare-deplasare oferă un

“istoric” al solicitării structurii şi pot fi identificate zone de echilibru stabil,

respectiv instabil, corespunzător cărora structura poate fi în stadiu de încărcare

dar şi de descărcare. Astfel de fenomene sunt însoţite de apariţia punctelor

particulare (critice) pe aceste curbe, care conduc la dificultăţi în aplicarea

diferitelor metode utilizate pentru stabilirea soluţiei în calculul geometric neliniar.

VII.3 EFORTURI UNITARE ŞI DEFORMAŢII, EFORTURI ŞI DEPLASĂRI

ÎN CALCULUL GEOMETRIC NELINIAR

Definirea eforturilor unitare şi a deformaţiilor specifice este foarte importantă

deoarece de ele depind atât formularea matematică utilizată, cât şi rigurozitatea

relaţiilor de calcul în analizele de ordinul II neliniare.

Întrucât eforturile secţionale sunt obţinute prin integrarea eforturilor unitare

pe secţiunea transversală a elementelor structurale, trebuie stabilite mai întâi

relaţiile de legătură între eforturile unitare şi deformaţiile specifice. Conform

principiilor energetice enunţate în paragrafele precedente, eforturile unitare

trebuie să fie compatibile cu deformaţiile specifice şi anume cu acelea care

produc lucru mecanic.

Pentru a prezenta tipurile de eforturi unitare şi deformaţii specifice utilizate

în calculul neliniar, se va considera cel mai simplu caz de solicitare şi anume

solicitarea cu forţă axială (Fig. VII.2).

În această figură, L0 şi A0 (lungimea barei şi aria secţiunii transversale)

definesc geometria barei sub acţiunea forţei P0, în timp ce L şi A definesc

geometria barei acţionată de forţa P.

189


Figura. VII.2

În urma proceselor de deformare bara îşi modifică forma şi dimensiunile şi

de aceea pentru definirea eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice trebuie

stabilit la ce configuraţie a barei se face raprortarea, la cea iniţială nedeformată

(sau foarte puţin deformată) sau la cea finală, deformată. Pornind de la aceste

precizări simple, în calculul de ordinul II neliniar al structurilor se utilizează mai

multe tipuri de eforturi unitare şi deformaţii specifice.

Eforturile unitare şi deformaţiile specifice inginereşti sunt cele cunoscute din

calculul de ordinul întâi, liniar elastic. Eforturile unitare sunt cunoscute şi sub

denumirea de tensiuni PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul I (σPKI).

Relaţiile matematice care definesc aceste eforturi unitare şi deformaţii

specifice sunt:

0

0

APσ PKI = (VII.4)

100

0

0

−=−

==LL

LLL

LLΔε I (VII.5)

Relaţia de legătură între eforturi unitare şi deformaţii specifice este: IPKI εEσ ⋅= (VII.6)

unde E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului.

Eforturile unitare şi deformaţiile specifice inginereşti se stabilesc alegând ca

şi configuraţie a structurii pe cea finală, nedeformată, iar raportarea lor se face la

configuraţia iniţială, nedeformată.

190


Eforturile unitare de tip CAUCHY se determină în configuraţia finală

deformată a structurii şi se raportează la această configuraţie (Fig. VII.1, VII.3).

Expresia matematică generală a acestor eforturi unitare este:

APσ C = (VII.7)

Figura VII.3

În figura VII.3, niniţial(final) reprezintă normala la suprafaţă, iar dPiniţial(final) forţa

pe unitatea de volum.

Eforturile unitare de tip CAUCHY sunt reale, cu semnificaţie fizică bine

precizată şi se asociază cu două tipuri de deformaţii specifice:

− deformaţii specifice naturale sau logaritmice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0LLlnεN (VII.8)

− deformaţii spcifice tip ALMANSI

2

1

22

20

2

20

20

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

=

+

⋅−

=⋅−

= LL

LLL

L

LL

LLL

LL

LLLε mediuA (VII.9)

Eforturile unitare PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul II se exprimă sub forma

matematică:

191


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

00 AP

AAσ PKII (VII.10)

dar ţinând seama de faptul că 00 LALA ⋅=⋅ rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

0

0

AP

LLσ PKII (VII.11)

Aceste eforturi unitare sunt asociate cu deformaţiile specifice numite

GREEN-LAGRANGE care sunt date de următoarea expresie:

2

1

2

20

20

20

2

00

0

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−

=⋅−

=LL

LLL

LL

LLLε mediuGL (VII.12)

Eforturile unitare PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul II şi deformaţiile specifice

GREEN-LAGRANGE sunt stabilite în configuraţia finală deformată a structurii,

dar se raportează la configuraţia iniţială nedeformată (Fig. VII.1, VII.3).

În general, pentru simplificarea calculelor, în analizele neliniare de ordinul II

se utilizează eforturile unitare PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul II şi deformaţiile

specifice GREEN-LAGRANGE, stabilite în poziţia finală deformată a structurii. În

schimb, pentru verificările de rezistenţă ale secţiunilor transversale ale

elementelor structurale, aceste eforturi unitare sunt transformate în cele de tip

CAUCHY, iar deformaţiile specifice în cele de tip ALMANSI.

Ca şi eforturile unitare şi deformaţiile specifice, eforturile secţionale utilizate

în calculul neliniar sunt de mai multe feluri, în funcţie de geometria structurii la

momentul determinării lor şi de geometria structurii la care ele se raportează.

Eforturi secţionale inginereşti (PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul I) sunt acele

eforturi secţionale care se determină pe structura aflată în poziţie nedeformată

(C0) şi care se raportează la axele locale ale secţiunii transversale a elementului

structural aflat în poziţie nedeformată (C0 ) (Fig. VII.4).

192


Figura VII.4

Eforturile secţionale de tip PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul II în formulare

Lagrange total se determină considerând configuraţia deformată a structurii (Ci)

şi se raportează la axele locale ale secţiunii transversale a elementului structural

pe configuraţia iniţială nedeformată (C0) (Fig. VII.5).

Figura VII.5

Eforturile secţionale de tip PIOLA-KIRCHHOFF de ordinul II în formulare

Lagrange actualizat se determină pe configuraţia deformată (în pasul i, Ci) şi se

raportează la configuraţia deformată din pasul anterior (i-1, Ci-1) şi nu la

configuraţia finală (Fig. VII.6).

193


Figura VII.6

Altă categorie de eforuri secţionale o reprezintă eforturile secţionale de tip

CAUCHY. Acestea se stabilesc considerând configuraţia finală deformată a

structurii (Ci), iar raportarea se face la axele locale ale secţiunii transversale a

elementului structural în aceeaşi poziţie deformată a structurii (Ci) (Fig. VII.7).

Figura VII.7

194


VII.4 CALCULUL GEOMETRIC NELINIAR UTILIZÂND METODA ELEMENTELOR FINITE

Principiul metodei elementelor finite aplicat pentru calculul structurilor în

domeniul elastic este valabil şi în cazul calculului de ordinul II geometric neliniar,

deosebirea constând, aşa cum s-a arătat anterior în faptul că scrierea condiţiilor

de echilibru se face considerând structura în poziţie deformată.

În metoda elementelor finite, un mediu continuu (o structură) este

discretizată în elemente finite care sunt conectate între ele în noduri unde se

impun condiţiile de compatibilitate a deformaţiilor şi de echilibru. Analiza stării de

eforturi şi deformaţii se face raportând toate mărimile de pe element la un sistem

local de coordonate care poate fi fix, dacă se utilizează formulările Lagrange total

sau Euler (a se vedea paragraful VII.3) sau mobil, însoţind deformata

elementului, cum este cazul formulării Lagrange actualizat (paragraful VII.3).

Pentru scrierea ecuaţiilor de echilibru ale structurii în ansamblu,

considerând forma deformată a acesteia, toate mărimile raportate la sistemul

local de axe al elementului (eforturi, deplasări) se transformă, utilizând

transformări de coordonate, în mărimi similare dar raportate la sistemul global de

coordonate al structurii.

În capitolele precedente a fost subliniat faptul că în calculul neliniar relaţia

între forţele aplicate asupra unei structuri şi deplasările produse de aceste forţe (P-u)

sunt neliniare la fel ca şi relaţiile ce caracterizează comportarea materialului

exprimând legătura între eforturile unitare şi deformaţiile specifice (σ-ε).

Să considerăm că deformarea unei structuri sub încărcările exterioare poate

fi descrisă schematic prin curba neliniară din figura VII.8.

Ecuaţiile de echilibru exprimate considerând structura în poziţie deformată

pot fi scrise astfel:

αtguPK PuK

i

iSiiS ==→=⋅ (VII.13)

195


( ) βtgdudPK dPduK

i

iTiiT ==→=⋅ (VII.14)

Figura VII.8

În aceste expresii reprezintă rigidităţile secantă, respectiv tangentă,

sunt valorile forţei, respectiv deplasării pentru un anumit nivel de încărcare,

iar sunt variaţia forţei, respectiv variaţia deplasării. În mod uzual,

variaţiile infinitezimale ale forţelor şi ale deplasărilor se înlocuiesc în

calculul geometric neliniar cu variaţii finite mici ale forţelor şi ale deplasărilor

, ecuaţiile de echilibru păstrându-şi forma dată de (VII.14).

TS K,K

ii u,P

ii du,dP

idP idu

iPδ

iuδ

Din figura VII.8 se poate observa că valorile rigidităţilor depind de

nivelul de încărcare al structurii, dar şi de deplasările necunoscute şi deci nu

pot fi determinate direct pentru o poziţie reală, curentă, deformată a structurii. Din

acest motiv, analizarea structurilor în calculul geometric neliniar se realizează în

mai multe etape succesive (cicluri de încărcare) pornind de la structura

nedeformată. Calculul se încheie în momentul în care relaţiile de echilibru pentru

structura deformată, la un anumit nivel de încărcare, sunt verificate.

TS K,K

iu

196

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE VII.4.1 Formularea directă (matricea de rigiditate secantă) Formularea directă în metoda elementelor finite constă în exprimarea

condiţiilor de echilibru între încărcările exterioare ce solicită o structură şi

eforturile secţionale interioare pe fiecare element finit, iar apoi pe structură în

ansamblu, în funcţie de necunoscutele care sunt deplasările nodurilor.

Cea mai generală metodă, utilizată pentru exprimarea condiţiilor de echilibru

este metoda energetică, deoarece aceasta este independentă de tipul mărimilor

care intrevin (eforturi şi deplasări, eforturi unitare şi deformaţii specifice etc.).

Condiţiile de echilibru se scriu exprimând egalitatea, la nivelul fiecărui

element finit, dintre variaţia energiei de deformaţie şi variaţia lucrului mecanic

(lucrul mecanic virtual) efectuat de forţele exetrioare ce acţionează pe element.

Matematic relaţiile de echilibru sunt descrise astfel:

(VII.15) dLdW =

în care dW este variaţia energiei de deformaţie, iar dL este variaţia lucrului

mecanic efectuat de forţele exterioare.

Exprimând dW în funcţie de eforturile unitare şi deformaţiile specifice pe

element se poate scrie:

(VII.16) { } { }dVσεddWV

T∫=

Variaţia lucrului mecanic efectuat de forţele exterioare dL în funcţie de

deplasările virtuale ale nodurilor elementului finit { }δd şi de forţele echivalente

actionând in noduri { este: }eP

(VII.17) { } { }eT PδddL =

Ţinând seama de relaţila (VII.15) rezultă:

(VII.18) { } { } { } { }eT

V

T PδddVσεd =∫

Se ştie din calculul de ordinul I că transformarea deplasărilor nodurilor { }δ

în deformaţii specifice { se face prin intermediul matricii geometrice }ε [ ]B

utilizând relaţia:

(VII.19) { } [ ]{ }δBε =

197


Ţinând seama de (VII.18) şi de (VII.19) rezultă:

(VII.20) { } [ ] { } { } { }∫ =V

eTTT PδddVσBδd

Rezultă astfel relaţiile de echilibru între forţele echivalente aplicate la

nodurile elementului şi eforturile unitare pe element sub forma:

[ ] { } { }∫ =V

eT PdVσB (VII.21)

Tot din calculul de ordinul I în care se consideră comportarea liniar elastică

a materialui se cunoaşte că tranformarea deformaţiilor specifice { în eforturi

unitare { se face utilizând matricea de elasticitate

}ε}σ [ ]D după relaţia:

(VII.22) { } [ ]{ }εDσ =

şi considerând relaţia (VII.19):

(VII.23) { } [ ][ ]{ }δBDσ =

Rezultă, utilizând relaţiile (VII.21), (VII.22) şi (VII.23) ecuaţiile de condiţie

între încărcările echivalente aplicate în nodurile elementului finit şi deplasările

nodurilor:

(VII.24) [ ] [ ][ ] { } { }eV

T Pδ)dVBDB( =∫

Relaţia (VII.24) se mai poate scrie sub forma generală:

(VII.25) [ ] { } { }eS Pδk =

[ ]Sk fiind matricea de rigiditate secantă exprimată în sistemul de coordonate local

al fiecărui element finit.

Pentru exprimarea condiţiilor de continuitate la nivelul întregii structuri,

deplasările nodurilor elementelor finite în coordonate locale , precum şi

matricile de rigiditate secante trebuie transformate în sistemul de coordonate

global al structurii. În acest sistem, relaţia (VII.24) devine:

{ }δ[ ]Sk

[ ] { } { }iE

iiS PΔK = (VII.26)

în care

este matricea de rigiditate secantă a elementului în coordonate

globale;

[ ]iSK

198


reprezintă vectorul deplasărilor nodale în coordonate globale; { }iΔ

{ }iEP este vectorul forţelor echivalente în nodurile elementului în coordonate

globale.

Scriind ecuaţiile de forma (VII.26) pentru toate elementele finite ce compun

structura se obţine sistemul de ecuaţii următor:

[ ] { } { }PΔK S = (VII.27)

în care

este matricea de rigiditate secantă a structurii în coordonate globale; [ ]SK

{ }Δ reprezintă vectorul deplasărilor nodurilor structurii în coordonate

globale;

{ }P este vectorul forţelor în nodurile structurii în coordonate globale.

Matricea de rigiditate a structurii se obţine prin suprapunerea

algebrică, în nodurile comune, a rigidităţilor secante ale elementelor finite. Pentru

a pune în evidenţă caracterul neliniar al relaţiilor utilizate în calculul geometric

neliniar se reconsideră relaţia (VII.24), ţinând seama de faptul că deformaţiile

specifice pe element au componente liniare (din calculul de ordinul I) şi

componente neliniare (specifice calculului de ordinul II). Se poate scrie deci că:

[ ]sK

{ } { } { } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ]( ){ }δBBδBδBεεε NLLNLLNLL +=+=+= (VII.28)

Rezultă deci că matricea geometrică [ ]B are atât componente liniare, cât şi

neliniare şi poate fi scrisă sub forma:

[ ] [ ] [ ]NlLL BBB += (VII.29)

Revenind la relaţia (VII.24) rezultă:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∫∫ +∫ ++

∫ +∫ =++∫ ==

VNL

TNL

VL

TNL

VNL

TL

VL

TL

VNLL

TNLL

V

TS

dVBDBdVBDBdVBDB

dVBDBdVBBDBBdVBDBk (VII.30)

Primul termen din relaţia de mai sus reprezintă matricea de rigiditate

secantă din calculul liniar elastic, în timp ce următorii trei termeni alcătuiesc

matricea de rigiditate geometrică secantă ce conţine efectul neliniarităţilor

geometrice. Rezumativ, relaţia (VII.30) se poate scrie:

[ ] [ ] [ ]GSES kkk += (VII.31)

199


şi exprimă diferenţa care apare în calculul de ordinul II faţă de calculul de ordinul

I, utilizând noţiunea de rigiditate secantă.

VII.4.2 Formularea incrementală (matricea de rigiditate tangentă) Formularea incrementală se utilizează pentru a permite aplicarea

procedeelor incrementale şi incremental iterative în calculul geometric neliniar,

procedee ce vor fi prezentate în paragrafele următoare.

Avantajul utilizării matricei de rigiditate tangente rezidă în simplificarea

relaţiilor de calcul, curba neliniară uP − fiind descompusă într-o succesiune de

porţiuni liniare pentru fiecare increment al încărcării exterioare aplicate. Fiecărui

increment al încărcării îi corespunde un increment al deplasării, pentru fiecare nod

al elementelor finite, deci al structurii.

Utilizând variaţii infinitezimale ale eforturilor unitare şi ale forţelor

echivalente în nodurile elementului finit şi utilizând procedeul de diferenţiere prin

părţi, relaţia (VII.18) se scrie sub forma:

{ } { } [ ] { } [ ] { } { }∫ =∫+=∫V

eV

TT

V

T dPdVσdBdVσBd)dVσεd(d (VII.32)

Considerând relaţiile (VII.22), (VII.23) şi (VII.29) rezultă:

{ } [ ]{ }( ){ } [ ]{ } [ ] [ ] [ ]( ){ }δdBBDεdDεDdσd NLL +=== (VII.33)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]TNLT

NLLT BdBBdBd =+= (VII.34)

Matricea geometrică în calculul geometric neliniar [ ]NLB se poate scrie sub

forma:

(VII.35) [ ] [ ][ ]GAB NL =

matricile [ , respectiv [ fiind definite în cele ce urmează. ]G ]A

Matricea [ se obţine prin derivarea matricei funcţiilor de interpolare

(funcţiilor de formă) utilizate pentru definirea câmpului deplasărilor elementelor

finite. Această matrice are forma:

]G

200


[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

{ }δ

Nz

Ny

Nx

G

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

∂∂

= (VII.36)

în care [ este matricea funcţiilor de interpolare. ]N

Matricea [ conţine vectorii transpuşi ai tangentelor trigonometrice la axa

deformată a elementului într-un punct curent de coordonate x,y,z şi depinde de

tipul funcţiilor de interpolare alese pentru exprimarea câmpului deplasărilor

elementelor finite. Matricea [ se scrie sub forma:

]A

]A

[ ]

{ } [ ]

{ } [ ]

{ } [ ]

{ } [ ] { } [ ]

{ } [ ] { } [ ]

{ } [ ] { } [ ] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

= .

Nx

δNz

δ

Ny

δNz

δ

Nx

δNy

δ

Nz

δ

Ny

δ

Nx

δ

A

TTTT

TTTT

TTTT

TT

TT

TT

0

0

0

00

00

00

(VII.37)

Ţinând seama de (VII.36) şi (VII.37) şi reluând relaţia (VII.34) rezultă:

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ TTTTNL dAGGAdBd == ] (VII.38)

relaţie în care s-a ţinut seama de faptul că matricea [ ]G nu depinde de

deplasările { ale nodurilor. }δ Considerând toate precizările anterioare, relaţiile (VII.32) devin:

(VII.39) [ ] { } [ ] [ ] { }∫∫ =V

TT

V

T dVσdAGdVσBd

(VII.40) [ ] { } [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] { }∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∫ ++=

V VNLL

TNLL

T δddVBBDBBdVσdB

201


În relaţia (VII.39) produsul de sub semnul integralei [ ] { }σdA T se poate scrie

sub forma:

[ ] { } [ ][ ]{ }δGMσdA T = (VII.41)

în care matricea [ ]M se defineşte în funcţie de tensorul eforturilor unitare astfel:

(VII.42) [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333

333

333

IσIτIτIτIσIτIτIτIσ

M

zzyzx

yzyyx

xzxyx

cu

(VII.43) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

3I

Relaţia (VII.39) se poate rescrie acum sub forma:

(VII.44) [ ] { } [ ] [ ][ ] { }δddVGMGdVσBdV

T

V

T⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∫∫ =

Însumând relaţiile (VII.40) şi (VII.44) rezultă expresia generală a ecuaţiilor

de condiţie pe element, în metoda elementelor finite, utilizând matricea de

rigiditate tangentă:

(VII.45) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { } { }eV

T

VNLL

TNLL dPδddVGMGδddVBBDBB =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∫+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∫ ++

sau sub forma generală:

(VII.46) [ ] { } { }eT dPδdk =

Ca şi în cazul matricei de rigiditate secante, relaţia (VII.46) se poate raporta

la sistemul global de coordonate rezultând o relaţie de forma:

(VII.47) [ ] { } { }iE

iiT dPΔdK =

în care

[ ]iTK este matricea de rigiditate tangentă a elementului în coordonate

globale;

{ }iΔd reprezintă vectorul variaţiei deplasărilor nodale în coordonate globale;

{ }iEdP este vectorul variaţiei forţelor echivalente în nodurile elementului în

coordonate globale.

202


Scriind ecuaţiile de forma (VII.47) pentru toate elementele finite ce compun

structura se obţine sistemul de ecuaţii următor:

[ ] { } { }dPΔdK T = (VII.48)

în care

[ ]TK este matricea de rigiditate tangentă a structurii în coordonate globale;

{ Δd }

}

reprezintă vectorul variaţiei deplasărilor nodurilor structurii în

coordonate globale;

{dP este vectorul variaţiei forţelor în nodurile structurii în coordonate

globale.

Expresia matricii de rigiditate tangente a elementului poate fi scrisă pornind

de la expresia (VII.45), pentru a pune în evidenţă componentele liniare şi cele

neliniare, sub forma:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∫+∫∫ +∫ ++

∫ +∫ =∫+++=

V

T

VNL

TNL

VL

TNL

VNL

TL

VL

TL

V V

TNLL

TNLLT

dVGMGdVBDBdVBDBdVBDB

dVBDBdVGMGdVBBDBBk (VII.49)

La fel ca în cazul matricii de rigiditate secante, primul termen din relaţia

(VII.49) reprezintă matricea de rigiditate a elementului finit în calculul liniar

elastic, în timp ce restul termenilor formează matricea de rigiditate tangentă

geometrică care conţine efectul neliniarităţii de tip geometric. Deci relaţia (VII.49)

se poate scrie mai condensat sub forma:

[ ] [ ] [ ]GTET kkk += (VII.50)

VII.5 METODE DE DETERMINARE A SOLUŢIEI ÎN CALCULUL GEOMETRIC NELINIAR

Dintre metodele numerice utilizate pentru stabilirea soluţiei în analizele

geometric neliniare vor fi prezentate aici câteva dintre cele mai utilizate şi anume:

metoda pur incrementală, metoda Newton-Raphson, metoda controlului

deplasării, metoda lungimii arcului şi metoda controlului energiei.

203


VII.5.1 Metoda pur incrementală

Această metodă [6], [100] face parte din categoria metodelor incrementale

şi constă în divizarea încărcării { }P aplicată unei structuri într-o analiză

geometric neliniară, într-un număr de paşi succesivi de încărcare , suficient

de mici, astfel încât problema neliniară poate fi transformată într-o succesiune de

probleme liniare. Considerând două configuraţii de echilibru ale unei structuri Ci-1

şi Ci cărora le sunt asociate nivelele de încărcare

{ Pδ }

{ } 1−iP , respectiv{ , metoda se

bazează pe formularea Lagrange actualizată şi constă în exprimarea ecuaţiilor

de echilibru pentru fiecare configuraţie Ci, utilizând matricea rigidităţilor tangente

determinată pentru configuraţia Ci-1. Matematic acest lucru se poate exprima sub

forma:

}iP

(VII.51) ( )[ ] { } { }iiiT PδuδuK =⋅−1

Figura VII.9

NOTĂ: Relaţiile matematice sunt scrise utilizând matrici şi vectori întrucât

ele au aplicabilitate în cazul structurilor cu mai multe grade de

libertate.

204


Urmărind figura VII.9 se poate scrie că:

{ } { } { } 1−−= iii PPPδ (VII.52)

{ } { } 1−ii P,P fiind forţe exterioare acţionând pe structură în configuraţiile Ci-1,

respectiv Ci. La sfârşitul pasului i de încărcare, încărcările exterioare totale { }iP

ce acţionează pe structură pot fi calculate ca o “acumulare” a tuturor treptelor

(incrementelor) de încărcare anterioare şi pot fi exprimate sub forma:

(VII.53) { } { }∑==

i

rri PδP

1

În aceslaşi mod deplasările acumulate de structură până la sfârşitul treptei i

de încărcare se pot scrie:

(VII.54) { } { }∑==

i

rri uδu

1

Presupunând că ecuaţiile de echilibru sunt îndeplinite pentru configuraţia Ci-1

rezultă că rigiditatea structurii (exprimată prin matricea de rigiditate) ( )[ ] 1−iT uK

este cunoscută pentru această configuraţie.

Se procedează în mod similar pentru toate treptele de încărcare până la

atingerea valorii maxime a încărcării, . Treptele de încărcare pot fi sau

nu egale, însă dacă acestea sunt mici, variaţia rigidităţii structurii în cadrul unei

trepte de încărcare se poate neglija. Aplicând relaţia (VII.51) se determină

incrementele deplasărilor şi cu acestea se poate actualiza geometria

deformată a structurii şi corecta rigiditatea, obţinându-se . Pentru

încărcarea finală se obţine o valoare a deplasării care esre diferită de

deplasarea reală . Se observă, urmărind figura VII.9, că metoda nu conduce

la soluţia exactă, iar diferenţele sunt cu atât mai mari cu cât incrementele de

încărcare { sunt mai mari.

nP { }iPδ

{ }iuδ

( )[ iT uK ]

nu

realu

}iPδ

Soluţia exactă se poate obţine dacă la sfârşitul fiecărei trepte de încărcare

se revine pe curba reală prin evaluarea valorilor forţelor neechilibrate

(reziduale), schematizate în figura VII.9 prin

uP −

{ }iR . În acest caz metoda devine

însă o metodă incremental-iterativă. Valorile forţelor neechilibrate se determină

205


ca diferenţă între valoarea forţei { }iP în treapta i de încărcare şi rezultanta

eforturilor secţionale din element pe direcţia fiecărui grad de libertate considerat.

Considerând că se realizează corecţia pentru revenirea pe curba reală

încărcare-deplasare în treapta i de încărcare (Fig. VII.10), se determină forţele

neechilibrate , iar în noua treaptă de încărcare dată de suma forţelor

se utilizează matricea de rigiditate tangentă din pasul i, .

{ }iR

{ } { } 1++ ii PδR ( )[ ]iT uK

Figura VII.10

Ecuaţia de echilibru pentru pasul i+1, se poate scrie sub forma:

( )[ ] { } { } { } 11 ++ +=⋅ iicorectatiiT PδRuδuK (VII.55)

de unde rezultă valoarea corectată a incrementului deplasării în pasul i+1:

{ } ( )[ ] { } { }( 11

1 +−

+ +⋅= iiiTcorectati PδRuKuδ ) (VII.56)

şi imediat se poate determina valoarea corectată a deplasării corespunzătoare

forţei { } : 1+iP

(VII.57) { } { } { }corectatii

corectati uδuu 11 ++ +=

Cu această valoare se pot determina rigidităţile tangente ce vor fi utilizate în

ecuaţiile de echilibru în treapta următoare de încărcare.

206

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Acest algoritm conduce la curbe încărcare-deplasare mai apropiate de

curba reală, aşa cum se poate observa şi din figura VII.10 (punctul A’ este mai

aproape de curba reală decât punctul A).

Procedeul prezentat mai sus pentru situaţia unui singur grad de libertate

poate fi extins la cazul structurilor complexe, având mai multe grade de libertate,

iar prin aplicarea unor trepte de încărcare moderate ca valoare se poate obţine o

bună convergenţă a soluţiei.

VII.5.2 Metoda Newton-Raphson

Metoda Newton-Raphson [6], [20], [21], [100], [127] este una dintre cele mai

vechi metode utilizate şi face parte din categoria metodelor incremental-iterative.

În metodele de acest tip, încărcarea exterioară este divizată în mai multe trepte

(incremente), dar spre deosebire de metoda pur incrementală, în cadrul fiecărei

trepte de încărcare, se realizează interaţii pentru restabilirea echilibrului

structural şi revenirea pe curba reală uP − .

Ecuaţiile de echilibru, pentru o structură cu comportare neliniară se pot

exprima sub forma:

( )[ ] { } { } { } 11 −− −=⋅ ji

ji

ji

jiT EPuδuK (VII.58)

unde i reprezintă un indice ce corespunde treptei (incrementului) de încărcare, j

este un indice care corespunde iteraţiei, iar { } 1−jiE reprezintă eforturile secţionale

(forţele interioare) pe elementul structural în treapta de încărcare i şi în iteraţia j-1

La sfârşitul fiecărui increment de forţă, eforturile secţionale (forţele interioare)

se determină integrând pe volumul elementelor structurale eforturile

unitare, cu considerarea expresiilor neliniare ale deformaţiilor specifice

corespunzătoare deplasărilor produse. Ceilalţi termeni au aceeaşi semnificaţie de

până acum, cu referire însă la trepte de încărcare, respectiv la iteraţii.

{ } 1−jiE

În fază iniţială, pentru prima treaptă de încărcare, rigidităţile şi deplasările

structurii, precum şi forţele interne se determină dintr-o analiză liniară. Pentru

207


treapta de încărcare i se utilizează valorile acestor mărimi determinate în treapta

anterioară, i-1. Se poate scrie astfel că:

( )[ ] ( )[ ]{ } { }{ } { } 1

0

10

10

−

−

−

=

=

=

ii

ii

iTiT

uu

EE

uKuK

(VII.59)

Considerând că forţele exterioare în treapta i de încărcare şi în iteraţia j

provin din forţele exterioare considerate în aceeaşi treaptă de încărcare, dar în

iteraţia j-1 putem scrie că:

{ } { } { }ji

ji

ji PδPP += −1 (VII.60)

sau

{ } { } { }PλPP ji

ji

ji ⋅+= −1 (VII.61)

În relaţia de mai sus, încărcarea exterioară aplicată a fost exprimată în

raport cu o încărcare de referinţă { }P prin intermediul parametrului cunoscut

în literatură sub denumirea de factor de încărcare.

jiλ

Considerând că forţele neechilibrate se pot exprima sub forma:

(VII.62) { } { } { } 111 −−− −= ji

ji

ji EPR

relaţia (VII.58) se poate rescrie sub forma:

( )[ ] { } { } { } 11 −− +=⋅ ji

ji

ji

jiT RPλuδuK (VII.63)

Se obsrevă că membrul drept al ecuaţiei (VII.63) este liniar în astfel că

soluţia în deplasări se poate obţine ca o combinaţie liniară de forma:

jiλ

(VII.64) { } { } { }ji

Rji

ji

ji uδuδλuδ +=

în care { reprezintă deplasări corespunzând încărcării exterioare de referinţă }jiuδ

{ }P , iar { sunt deplasări corespunzătoare forţelor neechilibrate { } şi

care pot fi obţinute utilizând relaţiile de mai jos:

}ji

Ruδ 1−jiR

( )[ ] { } { }( )[ ] { } { } 11

1

−−

−

=⋅

=⋅ji

ji

RjiT

ji

jiT

RuδuK

PuδuK (VII.65)

208

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Cu ajutorul relaţiei (VII.64) se poate stabili deplasarea totală în treapta i de

încărcare şi în iteraţia j, deplasare ce corespunde încărcării exterioare aplicate

{ }Pλji ⋅ :

{ } { } { }ji

ji

ji uδuu += −1 (VII.66)

şi cu aceasta valoarea rigidităţii necesară continuării procesului incremental-

iterativ de calcul.

Specificul metodei Newton-Raphson constă în faptul că încărcările

exterioare cresc cu o cantitate constantă doar în cadrul primei iteraţii (j=1),

pentru celelalte iteraţii ( ) icrementul încărcării fiind nul. Condensat acest

lucru se poate exprima matematic sub forma:

2≥j

(VII.67) ⎩⎨⎧

≥=

=20

1j ,

j constant,λj

i

Având în vedere cele precizate anterior, metoda Newton-Raphson se mai

numeşte şi metoda controlului încărcării.

O prezentare schematică a procesului incremental-iterativ Newton-Raphson

pentru o structură cu un singur grad de libertate este dată în figura VII.11.

Figura VII.11

Deşi metoda Newton-Raphson asigură o rată a convergenţei mai bună

decât metoda pur incrementală, totuşi metoda diverge în apropierea punctelor

209


critice de tipul punctelor limită (Fig. VII.12), deoarece “direcţia” fiecărei iteraţii

este controlată de linia orizontală ce reprezintă nivelul actual de încărcare. Atunci

când încărcările aplicate depăşesc încărcarea utlimă corespunzătoare punctului

limită, linia orizontală ce direcţionează iteraţia nu mai intersectează curba

încărcare-deplasare şi metoda diverge.

Figura VII.12

VII.5.3 Metoda controlului deplasării

Metoda a fost prezentată de Argyris (1965) şi modificată mai târziu de (Pian

şi Tong 1971, Zienkiewicz 1971). Principiul metodei [20], [21], [100], [127] este

asemănător cu al metodei Newton-Raphson, diferenţa constând în faptul că

iteraţiile sunt făcute la deplasare constantă.

În această metodă este necesară stabilirea unei componente particulare a

deplasării, să presupunem componenta q, ca parametru de control pentru

realizarea iteraţiilor. Fie deplasarea incrementală pentru componenta q, în

cadrul treptei i de încarcare, în iteraţia j. Condiţia de limitare a metodei se poate

scrie sub forma:

ji,quδ

210


(VII.68) ⎩⎨⎧

≥=

=20

1j,

j,ttanconsuδ j

i,q

Componenta q a încărcării poate fi separată în doi termeni:

{ } { } { } { }ji

RTq

ji

Tq

ji

ji,q uδbuδbλuδ += (VII.69)

în care { }qb este un vector cu toate elementele egale cu zero cu excepţia celui

situat pe rândul q, care are valoarea 1.

Din relaţia (VII.69) rezultă parametrul de încărcare incremental sub forma: jiλ

{ } { }

{ } { }ii

Tq

ji

RTq

ji,qj

i uδbuδbuδ

λ−

= (VII.70)

În relaţiile de mai sus { reprezintă vectorul deplasare corespunzător

unui vector al încărcării de referinţă

}jiuδ

{ }P , iar { }ji

Ruδ este un vector deplasare

corespunzător vectorului forţelor neechilibrate în cadrul procesului iterativ, { } 1−jiR .

Pentru prima iteraţie a fiecărui increment de forţă, de exemplu j=1, forţele

neechilibrate { } , deci şi 00 =iR { } 01=i

Ruδ

Ţinând seama de relaţiile (VII.68) şi de precizarea anterioară, factorul de

încărcare poate fi scris sub forma: jiλ

{ } { }

{ } { }{ } { } ⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥−

=

=

2

1

j,uδb

uδb

j,uδb

uδ

λ

ji

Tq

ji

RTq

ji

Tq

ji,q

ji (VII.71)

O schematizare a metodei controlului deplasărilor este dată în figura VII.13.

Metoda controlului deplasărilor poate diverge în cazul în care curbele

încărcare-deplasare prezintă porţiuni de întoarcere (“snap-back”) şi

prezintă dezavantajul că pentru structuri cu un număr mare de grade de libertate

selectarea deplasării corespunzătoare ce se monitorizează în procesul de calcul

este dificilă.

uP −

211


Figura VII.13

VII.5.4 Metoda lungimii arcului

Principiul metodei [20], [21], [100], [127] are la bază următoarea relaţie limită

pentru determinarea incrementelor de încărcare şi pentru realizarea iteraţiilor:

(VII.72) { } { } ( )211 Sδλλuδuδ jii

ji

T

i =+

în care { şi reprezintă deplasările incrementale pentru prima iteraţie şi

pentru iteraţia j ale pasului incremental i, iar reprezintă lungimea arcului

corespunzător tangentei la curba încărcare-deplasare (

}1iuδ { }j

iuδ

Sδ

uP − ) în pasul i-1 anterior, în

care soluţia a convers. Condiţia de limitare a metodei poate fi scrisă sub forma:

(VII.73) ⎩⎨⎧

≥=

=20

1j,

j,ttanconsSδ

Ţinând seama de relaţia (VII.69) se poate scrie relaţia:

(VII.74) { } { } { }ji

Rji

ji

ji uδuδλuδ +=

Pentru fiecare pas incremental, în prima iteraţie, j=1, nu există forţe

neechilibrate, deci { } 01=i

Ruδ . Rezultă deci, ţinând seama de relaţia (VII.74):

212


(VII.75) { } { }111iii uδλuδ =

relaţie care introdusă în (VII.72) şi considerând j=1 conduce la :

{ }{ } { } 111

1

+±=

i

T

i

i

uδuδ

Sδλ (VII.76)

Această relaţie reprezintă exact factorul de încărcare ce trebuie aplicat la

începutul pasului incremental i. Semnul “+” din relaţia (VII.76) se referă la stadiul

de încărcare al structurii, iar semnul “-“ la stadiul de descărcare.

Pentru , iteraţiile sunt făcute în aşa fel încât nu există modificări ale

lungimii arcului .

2≥j

Sδ

Reconsiderând relaţia (VII.74) şi introducând-o în relaţia (VII.72) şi

ţinând cont de faptul că pentru , parametrul de încărcare rezultă: 0=Sδ 2≥j jiλ

{ }{ } { }{ }{ } { }

211

1

≥+

−= j,λuδuδ

uδuδλi

ji

T

i

ji

RT

iji (VII.77)

Metoda lungimii arcului nu presupune nici iteraţii la valoare constantă a încărcării,

nici a deplasării şi oferă posibilităţi mai bune de depăşire a punctelor limită decât

metodele prezentate anterior. O schematizare a metodei este dată în figura VII.14.

Figura VII.14

213


VII.5.5 Metoda controlului energiei

Metoda propusă de Yang şi McGuire în 1985 [100] se bazează pe

următoarea relaţie de limitare:

{ }{ } { } WΔ)Pλ(uδ ji

Tji = (VII.78)

unde energia incrementală este definită astfel: WΔ

⎩⎨⎧

≥=

=20

1j,

j,ttanconsWΔ (VII.79)

Pentru prima iteraţie , ecuaţia de limitare indică faptul că parametrul de

încărcare este determinat pe baza unui increment de energie constant.

Prin înlocuirea relaţiei (VII.75) în (VII.78) rezultă:

1=j1iλ WΔ

{ }{ } { }PuδWΔλ T

i

i 1

1 ±= (VII.80)

Pentru , este determinat din condiţia 2≥j jiλ 0=WΔ . Utilizând relaţia

(VII.74) în relaţia (VII.78) rezultă pentru expresia: jiλ

{ }{ } { }{ }{ } { } 2≥−= j,

Puδ

Puδλ Tji

Tji

Rji (VII.81)

În practică, factorul de încărcare corespunzător primei iteraţii se poate

raporta la CSP (parametrul curent de rigiditate). Relaţia propusă în acest scop de

Bergan (1978; 1980) este următoarea:

1iλ

2111

1 /i CSPλλ ±= (VII.82)

unde este factorul de încărcare pentru prima iteraţie, iar CSP este definit

astfel:

1iλ

{ }{ } { }

{ }{ } { }Puδλ

PuδλCSP

T

ii

T

11

111

1

1

1

= (VII.83)

214

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE în care { şi reprezintă incrementele deplasărilor corespunzătoare primei

iteraţii ale primului pas de încărcare şi ale pasului i de încărcare. Verificarea relaţiei

(VII.82) se poate face introducând în ea expresia CSP (VII.83). Rezultă:

}11uδ { }1

iuδ

{ }{ } { }( ) { }{ } { }( ) 2111

11

2111/T/T

ii PuδλPuδλ = (VII.84)

sau rearanjând termenii:

{ }{ } { }( ) { }{ } { }( PλuδPλuδT

i

T

i11

11

11 = )= constant (VII.85)

Pentru orice structură cu comportare neliniară CSP are iniţial valoarea 1,0.

O proprietate generală a acestui parametru este aceea că, tendinţa lui este să

crească la structurile care sunt încărcate în stadiul de rigidizare (“stiffening”) şi să

scadă la cele în stadiu de scădere a capacităţii portante (“softening”).

Încărcare

Punct limită

CSP <0 PIVmin<0 CSP >0

PIVmin>0

Deplasare

a)

Încărcare

CSP >0 PIVmin<0

Punct de bifurcare

CSP >0 PIVmin>0

Deplasare

b) Figura VII.15

215


Urmărind valorile parametrului curent de rigiditate (CSP) şi semnul pivotului

minim din matricea de rigiditate (PIVmin), se poate stabili natura punctelor critice

întâlnite pe parcursul unei analize geometric neliniare. Iniţial, ambele mărimi au

valori pozitive. Dacă pe parcursul analizei ambii parametri precizaţi mai sus devin

negativi înseamnă că a fost depăşit un punct limită (Fig. VII.15a), iar atunci când

numai pivotul minim din matricea de rigiditate este negativ, a fost depăşit un

punct de bifurcare (Fig. VII.15b).

VII.6 ANALIZA DE STABILITATE UTILIZÂND METODA ELEMENTELOR FINITE

Pentru a stabili condiţia de echilibru stabil a unei structuri, se utilizează

ecuaţiile de condiţie din formularea incrementală a metodei elementelor finite,

date de expresiile (VII.46):

[ ] { } { }eT dPδdk = (VII.86)

Situaţia limită a echilibrului critic presupune că deplasările pot creşte

nelimitat, fără însă a mai exista variaţie a forţelor exterioare aplicate (deci a

forţelor echivalente din nodurile elementelor finite). Matematic, această situaţie

se exprimă egalând cu zero determinantul coeficienţilor necunoscutelor din

sistemul de ecuaţii de echilibru dat de (VII.86). Acest determinant este însă

tocmai determinantul matricei de rigiditate tangente [ ]Tk . Deci condiţia de

echilibru limită se poate scrie sub forma:

[ ] [ ] [ ] 0=+= GTET kkk (VII.87)

Anularea rigidităţii tangente se materializează practic printr-o tangentă

orizontală la curba încărcare-depasare ( uP − ), rezultând un punct care

defineşte încărcarea de pierdere a stabilităţii (Fig. VII.16).

Analizând relaţiile (VII.42) şi (VII.49) se poate observa că matricea de

rigiditate tangentă depinde liniar de eforturile unitare σ prin matricea , deci

matricea de rigiditate geometrică tangentă

[ ]M

[ ]crGTk care corespunde încărcării

critice, se poate exprima în funcţie de matricea de rigiditate tangentă ce

216

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE corespunde încărcărilor exterioare aplicate [ ]initial

GTk cu ajutorul unui parametru,

care reprezintă tocmai factorul de încărcare ce arată de câte ori ar trebui

mărită încărcarea aplicată pentru ca structura să-şi piardă stabilitatea.

iλ

Matematic, factorul de încărcare se poate scrie astfel: iλ

initial

cri P

Pλ = (VII.88)

Introducând această relaţie în (VII.87) şi considerând că forţele sunt de

compresiune, deci schimbând semnul “+” cu “-“ rezultă:

[ ] [ ] [ ] 0=−= initialGTiET kλkk (VII.89)

Figura VII.16

Relaţia (VII.89) reprezintă ecuaţia de stabilitate în formulare matriceală

utilizată în calculul cu elemente finite, care reprezintă de fapt o problemă de

calcul de valori şi vectori proprii. Soluţiile ecuaţiei de stabilitate (VII.89) sunt

tocmai valorile factorilor critici de încărcare , numite valori proprii de pierdere a

stabilităţii, fiecărei valori proprii corespunzându-i o formă prorpie de pierdere a

stabilităţii definită de vectorul propriu asociat.

iλ

217


Cea mai mică dintre valorile este de fapt de interes în calculul de

stabilitate, definind încărcarea de pierdere a stabilităţii, în practică urmărindu-se

ca forţele axiale din elementele comprimate să se situeze sub nivelul .

iλ

initialPλ1

Este de menţionat faptul că, întrucât problema de stabilitate constă de fapt

în a determina valorile proprii ale matricei [ ]Tk , calculul este liniar. Totuşi, o

imagine completă privind rezervele de capacitate portantă pe care o structură le

posedă se poate obţine numai efectuând un calcul neliniar şi trasând curba

completă încărcare-deplasare ( uP − ).

VII.7 ANALIZA GEOMETRIC NELINIARĂ ŞI DE STABILITATE A PODURILOR METALICE CU GRINZI CU ZĂBRELE

VII.7.1 Prezentarea structurilor analizate

În această parte a lucrării vor fi prezentate rezultatele analizelor geometric

neliniare şi de stabilitate cu elemente finite, efectuate pe patru tabliere de poduri

metalice, realizate în soluţia pe grinzi cu zăbrele cu calea jos. Structurile au fost

alese astfel încât să reprezinte trei dintre cele mai frecvent utilizate soluţii

constructive şi anume: grinzi cu zăbrele cu tălpile paralele în sistem trapezoidal,

grinzi cu zăbrele cu tălpi paralele dreptunghiulare şi grinzi cu zăbrele parabolice.

Domeniul de deschideri al structurilor analizate este cuprins între 32 şi 55 m, iar

înălţimea grinzilor principale este situată în intervalul 4.18 şi 8.47 m. Cele patru

tabliere sunt poduri existente, aflate în exploatare pe reţeaua de căi ferate din

România şi anume:

− podul peste Canalul Jiu situat la km 21+604 pe linia Turceni-Peşteana, cu

deschiderea de 42. 00 m;

− un tablier tipizat cu deschiderea de 55.00 m al cărui proiect s-a executat

la ISPCF (Institutul de Studii şi Proiectări Căi Ferate) în perioada 1985-

1986;

− podul peste râul Olt cu deschiderea de 48.00;

218


− podul situat pe linia Podul Iloaiei-Hârlău, la km 6+327, cu deschiderea de

32. 05 m.

Toate tablierele analizate sunt realizate din oţel OL37, două dintre ele

având grinzile principale realizate din bare cu secţiune unitară sudată (podul

peste Canalul Jiu şi tablierul tipizat proiectat la ISPCF), în timp ce pentru

celelalte, barele sunt cu secţiune compusă, iar elementele ce compun secţiunile

sunt îmbinate cu nituri. Două dintre tabliere, respectiv tablierul ISPCF şi cel peste

râul Olt, datorită înălţimii mari a grinzilor principale sunt prevăzute cu sistem de

contravântuire şi rigle la talpa superioară. Pentru a putea însă studia

comportarea acestor tabliere într-un calcul geometric neliniar, contravântuirile au

fost, într-o primă fază, intenţionat eliminate.

Podul peste Canalul Jiu (Fig. VII.17) este situat în aliniament şi palier, are o

deschidere de 42.00 m (10 panouri de câte 4200 mm) şi o înălţime a grinzilor

principale de 4600 mm. Grinzile principale cu zăbrele sunt executate în sistem

trapezoidal cu tălpi paralele. Distanţa în plan, în secţiune transversală între cele

două grinzi este de 4900 mm. Podul este deschis la partea superioară, iar la

partea inferioară este prevăzut cu un sistem de contravântuire cu diagonale

dispuse în sistem X. Deoarece deschiderea este mai mică de 60.00 m, podul

este prevăzut cu un singur dispozitiv de preluare şi transmitere a forţei de frânare

amplasat în mijlocul deschiderii. Stabilitatea tălpii superioare a lonjeronilor este

asigurată prin prevederea unui sistem de contravântuire a lonjeronilor. Distanţa

în plan între axele secţiuniii lonjeronilor, în sens transversal este de 1500 mm.

Tălpile superioare şi diagonala de capăt au secţiunile transversale casetate aşa

cum reiese şi din tabelul în care sunt date caracteristicile geometrice ale

secţiunilor (Tabelul A.1 din Anexă).

219


L=42.00 m

H=4

.60

m

λ=4.20m

10 x 4.20 = 42.00 m

B=

4.90

m

b=1.

50 m

H=4

.60

m

I III V III' I'

10 2 3 4 5 4' 3' 2' 1' 0'

ELEVATIE

VEDERE IN PLAN

VEDERE IN PLAN CONTRAVANTUIRE LONJERONI

10 x 4.20 = 42.00 m

B=

4.90

m

XY

Z

b=1.

50 m

PERSPECTIVA

Figura VII.17

220


Tablierul tipizat proiectat la ISPCF (Fig. VII.18), are o deschidere de 55.00

m (10 panouri de căte 5500 mm) şi înălţimea grinzilor principale de 8470 mm.

Grinzile principale sunt de formă trapezoidală cu tălpi paralele şi au montanţi

suplimentari, pentru reducerea deschiderii lonjeronilor şi lungimii de flambaj a

tălpii superioare comprimate. Distanţa în plan, în sens transversal între axele

grinzilor principale este 5100 mm. Pentru asigurarea stăbilităţii tălpii superioare

comprimate, podul este prevăzut la partea superioară cu sistem de

contravântuire cu diagonale în sistem X şi cu rigle transversale. La partea

inferioară există de asemenea un sistem de contravântuiri cu diagonale în X, la

mijlocul dechiderii fiind prevăzut dispozitivul de preluare şi transmitere a frânării.

Lonjeronii sunt prevăzuţi şi ei cu sistem de contravântuire. Distanţa în plan între

axele lonjeronilor este de 1800 mm. Forma secţiunii transversale a elementelor

ce alcătuiesc grinzile principale şi caracteristicile geometrice ale secţiunilor sunt

date în tabelul A.2 din Anexă.

Tablierul podului peste râul Olt (Fig. VII.19) are deschiderea de 48.00 m (8 x

4800 + 5785 + 3815) şi înălţimea grinzilor principale de 7.20 m. Tablierul este

oblic, oblicitatea fiind de aproximativ 68o. Grinzile cu zăbrele sunt

dreptunghiulare, având tălpile paralele şi au montanţi suplimentari. Distanţa în

plan, în sens transversal, între axele grinzilor principale este de 5000 mm, iar

între axele lonjeronilor de 1800 mm. Tablierul este prevăzut cu sistem de

contravântuire la talpa superioară cu diagonale dispuse în X şi cu rigle

transversale. Cadrele finale verticale, alcătuite din antretoaze şi montanţi sunt

mai puternice decât cele intermediare, secţiunea transversală a montanţilor finali

fiind mai mare. La parte inferioară este prevăzut un sistem de contravântuire ce

include şi dispozitivul de preluare şi transmitere a frânării. Contravântuirea

lonjeronilor este realizată din rigle dispuse transversal între secţiunile celor doi

lonjeroni, numai în panourile de capăt existând şi diagonale dispuse în sistem

triunghiular. Barele grinzilor principale sunt cu secţiune compusă şi sunt îmbinate

cu nituri. Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunilor elementelor

grinzilor principale sunt date în tabelul A.3 din Anexă.

221


B=5

.10

m

10 x 5.50 = 55.00 m

L=55.00 m

H=8

.47

m

B=5

.10

m

44.00 m

10 x 5.50 = 55.00 m

b=1.

80 m


VEDERE IN PLAN H

=8.4

7 m

ELEVATIE

PERSPECTIVA

VEDERE IN PLAN CONTRAVANTUIRE SUPERIOARA

I II III IV V IV' III' II' I'

0 1 2 3 4 5 4' 3' 2' 1' 0'

XY

Z

λ=5.50m

λ=5.50m

Figura VII.18

222


XY

Z

L=48.00 m

H=7

.20

m

X IX VIII VII VI V IV III II I 0

10 9 8 67 5 24 3 1 0

H=8

.47

m

VEDERE IN PLAN

ELEVATIE

PERSPECTIVA

b=1.

80 m

10 x 4.80 = 48.00 m

10 x 4.80 = 48.00 m

B=5

.00

mB

=5.0

0 m


λ=4.80m

Figura VII.19

223


Figura VII.20

224

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Podul de pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău (Fig. VII.20) are o deschidere de 32.05

m şi o înălţime maximă a grinzilor principale în secţiunea din mijlocul deschiderii

de 4180 mm. Podul a fost realizat înainte de anul 1959 şi a fost consolidat în

anul 1968. Cadrele de capăt au înălţime redusă (1260 mm), iar secţiunile

montanţilor ce alcătuiesc aceste cadre sunt puternice. Panourile au dimensiuni

diferite, cuprinse între 2350 mm la capete şi 3715 mm pentru panourile centrale.

Grinzile principale au diagonale descendente, în panourile din mijloc existând şi

diagonale ascendente şi descendente care se intersectează. Podul este deschis

la partea superioară, iar la partea inferioară are prevăzut sistem de

contravântuire cu diagonale sistem X. Deoarece înălţimile lonjeronilor şi

antretoazelor sunt comparabile, prinderea lonjeron-antretoază este realizată cu

talpa superioară a lonjeronilor la nivelul tălpii superioare a antretoazelor şi nu

există dispozitive speciale pentru preluarea forţei orizontale provenită din frânare.

Diagonalele contravântuirii inferioare sunt prinse de talpa inferioară a lonjeronilor.

Distanţa în plan, în sens transversal, între axele grinzilor principale este de 5000

mm, iar între axele lonjeronilor de 1800 mm. Lonjeronii sunt prezvăzuţi cu sistem

de contravântuire, în sistem triunghiular, alcătuit din diagonale şi montanţi.

Barele grinzilor principale sunt cu secţiune compusă îmbinate cu nituri.

Dimensiunile, forma şi caracteristicile geometrice ale secţiunilor reies din tabelul

A.4 din Anexă.

Analizele numerice efectuate asupra tablierelor prezentate au avut drept scop:

− determinarea valorii încărcării la care se produce flambajul general al

tălpii comprimate pentru fiecare structură, în ipoteza considerării

comportării liniar elastice a materialului, precum şi stabilirea încărcării la

care se atinge valoarea limitei de curgere a oţelului într-un punct al

secţiunii transversale a celui mai solicitat element;

− determinarea influenţei formei şi mărimii imperfecţiunii iniţiale asupra

încărcării ultime de pierdere a stabilităţii;

− stabilirea influenţei înălţimii cadrelor transversale asupra încărcării ultime.

În plus, pentru tablierul podului peste Canalul Jiu s-a analizat influenţa

prezenţei ranforţilor asupra rigidităţii semicadrelor formate din montanţi şi

225


antretoaze, pentru tablierul ISPCF s-a analizat influenţa unor sisteme de

contravântuire superioară asupra stabilităţii structurii, iar pentru tablierul peste

râul Olt a fost evaluat efectul prezenţei unor imperfecţiuni şi la talpa inferioară

asupra stabilităţii şi încărcării ultime a structurii.

În toate analizele efectuate, ca încărcare utilă a fost folosit convoiul feroviar

T8.5 (Fig. VII.21), care a fost aşezat simetric faţă de mijlocul dechiderii, aşa cum

reiese şi din figurile VII.17 – VII.20.

Figura VII.21

Acţiunea convoiului a fost considerată statică, deci în evaluarea eforturilor

unitare nu s-a ţinut seama de valoarea coeficientului dinamic cu care trebuie

multiplicate solicitările provenite din încărcare.

Pentru toate cazurile analizate comportarea materialului a fost considerată

liniar elastică, iar valoarea limitei de curgere pentru oţelul OL 37 din care au fost

executate structurile, conform SR 1911 [106], este de 230 N/mm2.

VII.7.2 Tipuri de elemente finite utilizate în analiză

Pentru modelarea celor patru structuri de poduri metalice a fost utilizat

programul cu elemente finite LUSAS şi din biblioteca de elemente finite a

acestuia au fost alese trei tipuri de elemente finite, două elemente finite plane

BAR2 şi BM3 şi un element finit tridimensional BS4. Toate elementele finite sunt

astfel formulate încât permit realizarea analizelor geometric neliniare. Cele mai

importante caracteristici ale lor, precum şi formulările sunt precizate în

continuare.

226


Elementul finit BAR2 prezentat în figura VII.22 este un element

isoparametric rectiliniu bidimensional, eforturile interne pe element fiind doar

forţe axiale, de-a lungul elementului aria secţiunii transversale putând fi variabilă.

Elementul are două noduri, iar geometria sa este definită de coordonatele X, Y

ale fiecărui nod. Gradele de libertate sunt reprezentate de deplasările u, v ale

fiecărui nod.

Caracteristica geometrică a secţiunii transversale este aria. Elementul

poate fi utilizat în cadrul analizelor static liniare considerând comportarea liniar-

elastică a materialului. În cadrul analizelor geometric neliniare elementul poate fi

utilizat cu formularea Total Lagrange pentru deplasări mari şi deformaţii specifice

mici. Pentru modelarea comportării neliniare a materialului, elementul poate fi

utilizat cu următoarele criterii: Tresca, Von-Mises, Mohr-Coulomb, Drucker-

Prager şi cu definirea proprietăţilor materialului corespunzând fluajului.

Figura VII.22 [113]

Încărcările care pot fi utilizate cu acest tip de element finit sunt deplasările

impuse la fiecare nod, forţe concentrate la fiecare nod, încărcări volumice, viteze

iniţiale la noduri, tensiuni şi deformaţii specifice iniţiale pe element şi la nodurile

acestuia, tensiuni reziduale în punctele de integrare Gauss şi încărcări din

temperatură pe element şi la noduri.

227


Ca rezultate se obţin foţele axiale şi deformaţiile specifice la noduri şi în

punctele de integrare Gauss.

Din punct de vedere al formulării, pentru elementul finit BAR2 în analizele

statice liniare relaţia dintre deformaţiile specifice şi deplasări este :

xuε x ∂

∂= (VII.90)

iar legea constitutivă elastică a matrialului este guvernată de legea lui Hooke:

xx εEσ = (VII.91)

Forţele axiale şi deformaţiile specifice sunt furnizate de către programul

LUSAS în sistemul de coordonate local al elementului. Axa locală x este situată

de-a lungul elementului finit în ordinea definirii nodurilor, axa locală y este

perpendiculară pe axa x şi coplanară cu ea, iar axa locală z este perpendiculară

pe planul definit de axele locale x şi y.

Relaţia neliniare dintre derformaţiile-specifice şi deplasări au forma: 22

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=xv

xu

xuε x (VII.92)

Forţele axiale şi deformaţiile specifice rezultate în urma unei analize

geometric neliniare sunt eforturile Piola-Kirchhoff de ordinul 2 şi deformaţiile

specifice Green-Lagrange, care sunt raportate la configuraţia iniţială

nedeformată.

Elementul finit BM3 (Fig. VII.23), este un element neconform curb de grindă

subţire bidimensional pentru care deformaţiile din forfecare sunt excluse.

Elementul poate avea caracteristici geometrice variabile de-a lungul său.

Elementul are două noduri extreme şi un nod central. Geometria

elementului este definită prin specificarea coordonatelor X, Y ale fiecărui nod.

Gradele de libertate sunt translaţiile nodurilor de capăt u, v, rotirile nodurilor de

capăt , precum şi deplasarea relativă a nodului central, du . zθ

228


Variabile deplasări finale Variabile deplasări iniţiale

Figura VII.23 [113]

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a elementului sunt:

aria, momentul de inerţie în raport cu axa z, momentul static în raport cu aceeaşi

axă. Elementul poate fi utilizat în analize statice liniare dar şi în cele geometric

neliniare cu formulările Total Lagrange în cazul marilor deplasări, micilor rotiri şi

micilor deformaţii specifice sau Lagrange actualizat pentru deplasări mari, rotiri

mari, dar deformaţii specifice mici.

Proprietăţile de material corespund materialelor izotropice şi elasto-plastice.

Pentru utilizarea cu un material cu comportare elasto-plastică, trebuie specificate

suplimentar următoarele caracteristici geometrice ale secţiunii: aria plastică,

modulul de rezistenţă plastic în raport cu axa de încovoiere, aria plastică de

forfecare. Încărcările ce se pot utiliza cu acest tip de element finit sunt deplasările

impuse la nodurile de capăt, forţe concentrate şi momente concentrate la

nodurile de capăt şi o încărcare concentrată orientată după axa locală x la nodul

central, încărcări şi momente uniform distribuite în sistem local şi global de

coordonate, încărcări distribuie pe element în coordonate locale şi globale,

încărcări punctuale pe element în sistem local şi global de coordonate, încărcări

uniform distribuite în coordonate locale, încărcări volumetrice pe element,

tensiuni şi deformaţii specifice iniţiale la noduri, pe element şi în punctele de

integrare Gauss în coordonate locale, tensiuni reziduale la noduri, pe element şi

229


în punctele de integrare Gauss în coordonate locale şi încărcări din temperatură

la noduri şi pe element.

Ca rezultate se obţin forţele axiale , momentele încovoietoare ,

deformaţiile specifice axiale şi deformaţiile specifice din încovoiere .

xF zM

xε zψ

Elementul finit a fost formulat considerând că deplasările globale şi rotirile

sunt iniţial funcţii pătratice şi sunt interpolate independent utilizând funcţii de

formă liniare Lagrange pentru nodurile de capăt şi o funcţie pătratică pentru

nodul central.

Condiţia Kirchhoff de deformaţie specifică din forfecare egală cu zero este

aplicată în două puncte de integrare şi exprimată prin relaţia:

0=−∂∂

=∂∂

+∂∂

zθxv

zu

xv (VII.93)

şi eliminând gradele de libertate transversale de translaţie şi rotire pentru nodul

central.

Axele locale x, y şi z au aceeaşi orientare ca cea prezentată în cazul

elementului finit BAR2. Forţele şi momentele rezultate pot fi obţinute atât în

noduri dar şi în punctele de integrare Gauss, cu menţiunea că acurateţea

rezultatelor este mai mare în punctele de integrare.

În cazul unei analize geometric neliniare, elementul finit BM3 utilizat în

formulare Total Lagrange presupune existenţa următoarelor relaţii de legătură

între deformaţii specifice şi deplasări:

2

2

2

2

2

2

22

21

21

xu

xv

xv

xu

xvψ

xv

xu

xuε

z

x

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

= (VII.94)

Forţele şi deformaţiile specifice rezultate dintr-o analiză geometric neliniară

sunt eforturi Piola-Kirchhoff de ordinul 2 şi respectiv deformaţii specifice Green-

Lagrange, cu referire la configuraţia nedeformată a elementului finit. Utilizarea

formulării Lagrange Actualizat ţine seama de deplasările şi rotirile mari, dar

consideră mici defomaţiile specifice, considerând că în cadrul unui increment al

încărcării rotirile sunt mici.

230


În ceea ce priveşte rotirile secţiunii transversate a elementului, se consideră

că acestea sunt limitate la o valoare de 1 radian în cazul formulării Total

Lagrange şi la o valoare de 1 radian, dar în cadrul unui increment al încărcării,

pentru formularea Lagrange Actualizat.

Restricţiile în utilizarea acestui tip de element finit sunt legate de

poziţionarea nodului central (care trebuie să fie egal depărtat de extremităţi) şi de

curbura excesivă a elementului.

Elementul finit BS4 (Fig. VII.24) este un element finit neconform curb de

grindă subţire tridimensional pentru care sunt excluse deformaţiile din forfecare.

Caracteristicile secţionale pot varia de-a lungul elementului finit. Elementul are 4

noduri, nodul 4 fiind utilizat pentru definirea planului local xy.

Gradele de libertate iniţiale ale elementului sunt translaţiile şi rotirile în

sistemul local de axe pentru nodurile de capăt 1 şi 3, precum şi

pentru nodul 2 din mijloc. Geometria elementului se

defineşte prin coordonatele X, Y ale fiecărui nod.

zyx θ,θ,θ,w,v,u

zyx θΔ,θΔ,θΔ,wΔ,vΔ,uΔ

Variabile deplasări finale Variabile deplasări iniţiale

Figura VII.24 [113]

231


Caracteristicile geometrice ale elementului sunt: aria secţiunii transversale,

momentele de inerţie în raport cu axele locale y, respectiv z, momentul de

torsiune, momentele statice în raport cu axele locale y şi z şi momentul de inerţie

polar.

Elementul poate fi utilizat în analize statice împreună cu caracteristici de

elastice şi elasto-plastice ale materialului. Pentru a folosi elementul finit în

analize în care comportarea materialului este considerată elasto-plastică trebuie

specificate caracteristici geometrice suplimentare ale secţiunii transversale după

cum urmează: aria plastică, modulele de rezistenţă plastice pentru încovoierea în

raport cu axele y şi z, modulele de rezistenţă pentru torsiunea în raport cu axele

y şi z şi aria plastică de forfecare.

Din punct de vedere al încărcărilor, elementul finit BS4 poate fi utilizat cu

următoarele tipuri de încărcări: deplasări impuse la nodurile extreme şi la nodul

central, încărcări concentrate la nodurile extreme şi la nodul central, încărcări

uniform distribuite, încărcări volumetrice la noduri şi pe element, viteze iniţiale la

nodurile de capăt, tensiuni şi deformaţii specifice iniţiale la noduri şi pe element

în sistemul local de coordonate, tensiuni reziduale în punctele de integrare

Gauss, încărcări din temperatură la noduri şi pe element.

Ca rezultate ale analizelor cu acest tip de element finit se obţin forţa axială,

momentele încovoietoare după direcţiile locale y şi z, precum şi momentele de

torsiune după aceleaşi direcţii. De asemenea se obţin şi deformaţiile specifice

axiale, din încovoiere şi torsiune după axele locale de coordonate.

Elementul poate fi utilizat în cadrul analizelor geometric neliniare cu

formularea TotaL Lagrange pentru deplasări mari, dar rotiri şi deformaţii specifice

mici.

Formularea elementului finit BS4 a fost făcută astfel încât deplasările

globale şi rotirile sunt iniţial pătratice şi sunt interpolate independent utilizând

funcţii de formă Lagrange liniare pentru nodurile de capăt şi o funcţie pătratică

pentru nodul central. Acest lucru furnizează respectarea condiţiei de clasă C0

(continuitatea deplasărilor) în planul elementului finit.

232


Condiţia Kirchhoff de deformaţie specifică zero este aplicată în două puncte

de integrare impunând ca:

0

0

=+∂∂

=∂∂

+∂∂

=−∂∂

=∂∂

+∂∂

y

z

θxw

zu

xw

θxv

yu

xv

(VII.95)

şi eliminând translaţiile transversale locale şi rotirile din încovoiere la nodul

central. Gradele de libertate finale pentru elementul BS4 sunt:

pentru nodurile de capăt, şi pentru nodul central. reprezintă

deplasarea locală relativă axială şi rotirea datorată torsiunii pentru nodul

central.

zyx θ,θ,θ,w,v,u

uΔ xθΔ uΔ

xθΔ

Sistemul local de coordonate este definit astfel: planul xy este definit de

toate cele 4 noduri presupuse coplanare. Axa locală y este perpendiculară pe

axa locală x şi cu sensul de partea unde este situat nodul 4.

Forţele şi eforturile unitare obţinute în urma analizelor ce se efectuează utilizând

acest tip de element finit pot fi obţinute atât în nodurile elementului, cât şi în

punctele de integrare Gauss, acurateţea fiind mai mare în punctele de integrare.

Pentru analizele geometric neliniare legătura între deformaţiile specifice şi

deplasări este dată de relaţiile de mai jos:

xw

xvγ

xv

xv

yxw

xu

yxwψ

xv

xw

yxw

xu

yxwψ

xw

yw

xu

xv

xv

xu

xvψ

xv

yw

xu

xw

xw

xu

xwψ

xv

xu

xuε

yz

xy

xz

z

y

x

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂∂

−∂∂

∂−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂∂

−∂∂

∂−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

−=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=

2

222

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

21

21

(VII.96)

În relaţiile (VII.96) sunt deformaţiile specifice din torsiune. xyxz ψ,ψ

233


Eforturile obţinute dintr-o analiză geometric neliniară sunt eforturi de ordinul

2 Piola-Kirchhoff şi deformaţii specifice Green-Lagrange în raport cu configuraţia

nedeformată. Încărcările sunt considerate conservative.

Ipotezele iniţiale pe baza cărora este formulat elementul finit limitează

rotirile secţiunii la 1 radian în formularea Total Lagrange şi rotirile incrementale la

1 radian pentru formularea Lagrange Actualizat.

Restricţiile în utilizarea acestui tip de element finit sunt legate de

poziţionarea nodului central (care trebuie să fie egal depărtat de extremităţi) şi de

curbura excesivă a elementului.

VII.7.3 Necesitatea unei analize geometric neliniare

În general, în proiectarea structurilor, se admit rezultatele unei analize

liniare, considerând structura ideală (fără imperfecţiuni), ele reuşind să furnizeze

informaţii cu privire la comportarea structurii sub influenţa diferitelor tipuri de

încărcări. Totuşi, atunci când deplasările diferitelor părţi ale structurii devin mari,

influenţa forţelor axiale asupra momentelor încovoietoare creşte şi neglijarea

acestui efect poate conduce la supraestimări ale capacităţii ultime a structurii. În

plus, această situaţie poate fi mult accentuată în cazul prezenţei imperfecţiunilor

de execuţie. Acest lucru se întâmplă şi în cazul fenomenelor de pierdere a

stabilităţii când este imperios necesară efectuarea unei analize geometric

neliniare pe baza căreia, urmărind curba încărcare-deplasare, să se poată stabili

încărcarea la care structura devine instabilă. Fenomenul de pierdere a stabilităţii

(flambaj general) apare în cazul podurilor cu grinzi cu zăbrele, ce au calea

situată la partea inferioară şi nu sunt prevăzute cu sistem de contravântuire la

partea de sus a tablierului. În aceste situaţii talpa superioară se poate deforma

ieşind din planele verticale ale grinzilor principale, flambând lateral.

Pentru a pune în evidenţă diferenţele care apar între analiza liniară

obişnuită ce se efectuează în vederea proiectării unei structuri şi analiza

geometric neliniară, s-a analizat cazul tablierului peste Canalul Jiu în cele două

variante.

234


Modelul discret tridimensional de analiză a rezultat utilizând elemente finite

curbe de bară subţire tip BS4 pentru care se neglijează defomaţiile din forfecare.

Numărul de elemente finite s-a ales astfel încât barele comprimate ale structurii să fie

modelate cu un număr mai mare de elemente. S-au ales câte patru elemente finite

pentru talpa superioară şi digonalele comprimate, în timp ce pentru restul s-a utilizat

în discretizare câte două sau trei elemente finite. Este de menţionat faptul că

structura s-a analizat şi cu dispunerea unui număr mai mic de elemente finite pentru

barele comprimate şi s-a constatat că atunci când se utilizează 3 elemente finite şi

respectiv 4 elemente finite, diferenţele nu sunt semnificative. Au rezultat un număr de

589 de noduri şi 223 de elemente finite.

Podul s-a considerat încărcat cu convoiul T8,5, dispunerea acestuia pe structură

făcându-se ca în fig. VII.17, simetric faţă de mijlocul deschiderii. Comportarea

materialului a fost considerată liniar elastică. Pentru efectuarea comparaţiei între

rezultatele celor două analize, liniară şi geometric neliniară, structura a fost

considerată pentru analiza liniară, ideală (neafectată de imperfecţiuni de execuţie), iar

pentru analiza geometric neliniară a fost considerată o deformată a tălpii superioare

în sens transversal podului. Această deformată a fost aleasă o sinusoidă cu trei

semiunde, valoarea maximă fiind considerată în punctul situat în secţiunea din

mijlocul deschiderii şi egală cu , L fiind deschiderea tablierului. 500/L

În cadrul analizei geometric neliniare s-a utilizat formularea Total Lagrange,

încărcarea fiind aplicată în mai multe trepte. Pentru comparaţie s-a urmărit evoluţia

deplasării punctului marcat în figura VII.25 situat pe talpa superioară, precum şi

evoluţia eforturilor unitare normale în elementul (cel mai solicitat) indicat în aceeaşi

figură. Punctul considerat

Elementul considerat

Figura VII.25

235


În figura VII.26a sunt prezentate curbele încărcare-deplasare rezultate

din cele două tipuri de analize efectuate, cu precizarea că materialul a fost

considerat infinit liniar elastic.

Dacă analiza este oprită la factorul de încărcare corespunzător atingerii

limitei de curgere a oţelului OL 37 (σc=230 N/mm2) din care este realizat

podul, pentru una dintre cele două situaţii (analiza liniară şi geometric

neliniară) se poate stabili procentual diferenţa între rezultatele celor două

analize efectuate. În această situaţie însă, problema de stabilitate a tălpii

superioare comprimate se transformă deci într-o problemă de rezistenţă.

Pentru stabilirea momentului atingerii lui σc într-un punct al secţiunii

transversale, efortul unitar σ a fost calculat, ţinând seama că solicitarea

panoului de talpă considerat este de încovoiere cu forţă axială:

z

zi

y

yii

i WM

WM

AφNσ ++= (VII.97)

în care reprezintă eforturile secţionale ce acţionează talpa în

pasul i de încărcare, reprezintă caracteristicile geometrice ale

secţiunii, iar este coeficientul de flambaj.

zi

yii M,M,N

zy W,W,A

φ

În cazul analizat, σc este atins în pasul 11 al analizei geometric-

neliniare, pentru panoul de talpă superioară marcat în fig. VII.25. Analizând

figura VII.26b, unde curbele încărcare-deplasare sunt limitate la factorul de

încărcare pentru care se atinge σc , se poate arăta că diferenţa între valorile

celor două deplasări este de aproximativ 77,6 %, rezultând de aici importanţa

considerării efectului pe care îl au imperfecţiunile considerate asupra valorii

deplasărilor prin considerarea analizei geometric-neliniare.

236


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

()

Liniar_idealNeliniar_imperfect

a)

Curbe P-Δ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

()


b)

Figura VII.26

237


Variatia eforturilor unitare, σ

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0 5000 10000 15000 20000 2500

Efort unitar, σ [daN/cm2]

Fact

or d

e in

carc

are

()


a)

Variatia eforturilor unitare, σ

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Efort unitar, σ [daN/cm2]

Fact

or d

e in

carc

are

()


b)

Figura VII.27

În figura VII.27a şi b sunt prezentate variaţiile eforturilor unitare σ , în

funcţie de factorul de încărcare.

Diferenţele ce apar între valorile eforturilor unitare (în momentul atingerii limitei de

curgere pentru structura imperfectă) de aproximativ 23 %, rezultate din cele două

tipuri de analiză, precum şi diferenţa de dintre deplasări prezentată mai înainte

238

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE sunt argumente ce vin în sprijinul analizelor numerice geometric neliniare

efectuate în această lucrare.

VII.7.4 Determinarea încărcării critice de flambaj a tălpii comprimate

Aşa cum s-a precizat în primul paragraf al acestui capitol, efectuând o

analiză geometric neliniară se poate urmări evoluţia deplasărilor unui anumit

punct al structurii cu creşterea încărcării. Deşi ca rezultat nu se obţine direct

valoarea încărcării de pierdere a stabilităţii, trasând curba completă încărcare-

deplasare se poate aprecia valoarea încărcării (a factorului de încărcare λ ) la

care structura devine instabilă.

Toate cele patru poduri au fost analizate utilizând în modelare elementul

finit BS4 care a fost prezentat în paragrafele precedente ale capitolului. Pentru

tablierul peste Canalul Jiu au fost precizate considerentele care au stat la baza

realizării modelului discret. Aceleaşi idei au stat la baza realizării celorlalte trei

modele: utilizarea unui număr de cel puţin 4 elemente pentru barele comprimate

ale fiecărei structuri analizate şi câte unu, două sau trei elemente pentru barele

întinse. Numărul de noduri şi de elemente rezultate ca urmare a operaţiei de

discretizare pentru fiecare structură sunt prezentate mai jos:

− tablier peste Canalul Jiu: 589 noduri, 223 elemente;

− tablier ISPCF: 631 noduri, 241 elemente;

− tablier peste râul Olt: 658 noduri, 247 elemente;

− tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău: 1137 noduri, 423 elemente.

Structurile au fost analizate ca structuri ideale, nedeformate şi comportarea

materialului a fost considerată infinit liniar elastică. Analizele geometric neliniare

au fost precedate de analize de valori proprii la flambaj care au furnizat informaţii

utile asupra valorii încărcării la care structura îşi poate pierde stabilitatea, dar şi

despre formele proprii la flambaj. Aşa cum se preciza anterior, analiza de valori

proprii de flambaj este o analiză liniară şi ea nu este suficientă pentru aprecierea

valorii încărcării critice, de regulă astfel de analize oferind valori mai mari ale

încărcării de pierdere a stabilităţii decât cele reale. Prima formă proprie de

239


pierdere a stabilităţii obţinută în urma unei analize de valori proprii la flambaj este

dată pentru cele 4 structuri în figura VII.28-VII.31.

Figura VII.28 Podul peste Canalul Jiu Prima formă de pierdere a stabilităţii

Figura VII.29 Tablier tipizat I.S.P.C.F. Prima formă de pierdere a stabilităţii

240


Figura VII.30 Pod peste râul Olt

Prima formă de pierdere a stabilităţii

Figura VII.31 Pod pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău

Prima formă de pierdere a stabilităţii

În toate analizele geometric neliniare efectuate, formularea folosită a fost

Total Lagrange, împreună cu utilizarea metodei lungimii arcului modificat

formulată de Crisfield [20], [21] şi au fost parcurse mai multe etape:

241


− în prima etapă încărcarea a fost aplicată într-un număr de paşi suficient

de mare astfel încât, ţinând seama de rezultatele analizei de valori proprii

de flambaj, să se atingă valoarea factorului de încărcare unde ar fi putut

exista puncte critice. Pentru toate structurile, în ipotezele de încărcare şi

de comportare a materialului considerate, pierderea de stabilitate se

produce prin bifurcarea echilibrului. În vecinătatea primului punct critic (de

bifurcare) soluţia nu a mai convers, deoarece apar valori proprii negative.

S-a trecut astfel la cea de-a doua etapă;

− în a doua etapă, ţinând seama de parametri furnizaţi de program pe

parcursul derulării analizei (valoarea factorului de încărcare în

vecinătatea punctului de bifurcare, de lungimea arcului, de valoarea

parametrului curent de rigiditate al structurii, de vectorul propriu asociat

formei de pierdere a stabilităţii), s-a reluat analiza, determinând soluţia să

urmărească o curbă alternativă celei de echilibru stabil.

Trebuie menţionat aici faptul că odată cu reluarea analizei, se găsesc şi alte

puncte critice, pentru valori mai mari ale factorului de încărcare, dar ele nu sunt

menţionate în lucrare, deoarece de interes este doar primul punct critic întâlnit, el

furnizând cea mai mică valoare a încărcării de pierdere a stabilităţii.

Curbele încărcare-deplasare ( ΔP − ) pentru toate cele 4 tabliere sunt

prezentate în figurile VII.32–VII.35, iar valorile încărcării critice apreciate în

punctul de bifurcare găsit pentru fiecare tablier sunt date în tabelul VII.1. Tot în

acest tabel se regăsesc valorile factroului de încărcare λ , extrase din curbele

ΔP − , în cazul în care analiza se limitează la atingerea limitei de curgere a

materialului , într-un punct pe secţiunea transversală. cσ

Tabelul VII.1 Structura λ ,material infinit liniar elastic λ , cu limitare la cσ

Pod peste Canalul Jiu 8.4136 2.9990Tablier tipizat ISPCF 6.8993 3.3989Tablier peste râul Olt 8.2798 3.9992Tablier Podul Iloaiei-Hîrlău 5.0722 2.9960

242


Curba P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_spatial

Punct de bifurcareSe atinge σc

Figura VII.32 Curba ΔP − , Pod peste Canalul Jiu

Curba P-Δ

0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_spatial


Figura VII.33 Curba ΔP − , tablier tipizat ISPCF

243


Curba P-Δ

0

5

10

15

20

25

30

0 0.5 1 1.5 2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_sp_dreptMod_sp_oblic


.

Figura VII.34 Curba ΔP − , pod peste râul Olt

Curba P-Δ

0

5

10

15

20

25

30

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_spatial

Punct de bifurcare

Se atinge σc

Punct limitå

Figura VII.35 Curba ΔP − , pod pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău

În figurile VII.32–VII.35, în curbele încărcare-deplasare a fost monitorizată

deplasarea punctului situat pe talpa superioară, în secţiunea de mijloc a

tablierului, aşa cum s-a arătat în figura VII.25.

244


Din analizele efectuate, se poate concluziona că toate structurile analizate

îşi pierd stabilitatea prin bifurcarea echilibrului. Urmărind formele proprii de

pierdere a stabilităţii, se observă că tendinţa de flambaj a tălpii superioare este

către o formă antisimetrică cu trei semiunde. Acest lucru poate fi interpretat dacă

se are în vedere faptul că deformata tălpii superioare depinde de rigiditatea

semicadrelor formate din antretoaze, montanţi şi diagonale. Deşi intuiţia ar spune

că tendinţa de flambaj general ar fi cu o semiundă şi cu ambele tălpi

deformându-se către interiorul structurii datorită faptului că acestei forme îi

corespunde valoarea minimă a energiei de deformaţie, lucrurile pot fi

interpretate. Conform celor arătate în paragraful IV.3.2.3, dacă se consideră că

antretoaza se comportă ca o grindă rezemată elastic pe lonjeroni, iar în punctele

de la capete, unde se realizează prinderea de montanţi există resoturi cu o

anumită rigiditate la rotire, atunci în lumina celor arătate în paragraful mai sus

meţionat, tendinţa de deformare a antretoazei ar fi cu un număr de semiunde

m=1.86. Acestă valoare este mai apropiată de 2 decât de 1 şi deci ar putea

constitui o explicaţie pentru forma antisimetrică a deformatei de flambaj a tuturor

structurilor analizate.

În cazul în care analiza este limitată la atingerea limitei de curgere într-un

punct al secţiunii transversale a tălpii superioare (care reprezintă elementul cel

mai solicitat pentru toate tablierele), problema de stabilitate se transformă într-o

problemă de rezistenţă, factorul de încărcare λ variind între 40.9 % şi 64.3 % din

valoarea aceluiaşi factor corespunzând ipotezei materialului infinit liniar elastic.

VII.7.5 Modalităţi de considerare în modelare a imperfecţiunilor geometrice

VII.7.5.1 Influenţa formei imperfecţiunii asupra stabilităţii tălpii comprimate

Pentru a studia influenţa formei imperfecţiunii de execuţie asupra valorii

factorului de încărcare λ , la care se produce fenomenul de flambaj lateral al

tălpii comprimate, au fost considerate abateri de la forma rectilinie a tălpii în plan

245


perependicular pe planul grinzilor principale, deoarece s-a considerat că acestea

au o influenţă mai mare în fenomenul de pierdere de stabilitate, decât

imperfecţiuni ale barelor situate în planul grinzilor principale.

Abaterile de la axa rectilinie a barei au fost considerate presupunând

existenţa unei deformate sinusoidale cu una, două şi trei semiunde, ecuaţia

curbei deformate fiind de forma:

Lxπn

sinee ii 0= (VII.98)

în care:

ie reprezintă valoarea deformatei în secţiunea curentă;

0e reprezintă valoarea maximă a deformatei în punctul aparţinând tălpii

superioare şi situat în mijlocul deschiderii podului;

n reprezintă numărul de semiunde considerate pentru definirea funcţiei

axei deformate;

ix este abscisa curentă pentru valoarea a funcţiei; ie

L este deschiderea tablierului analizat.

Valoarea maximă a fost considerată pe baza specificaţiilor făcute în

normele europene DIN 18800 şi EUROCODE 3 (Part 1.1) [102], [103], fiind

adoptate valori între

0e

2000L şi

500L . Studiul a fost realizat pentru toate cele 4

tabliere, considerând cazul cel mai defavorabil cu având valoarea 0e500L .

Forma iniţială defomată a tălpii superioare în sens transversal structurii a

fost obţinută prin modificarea coordonatelor nodurilor situate la partea superioară

a semicadrelor formate din montanţi, diagonale şi antretoaze ale grinzii cu

zăbrele, sau numai din montanţi şi antretoaze, pentru structurile care au şi

montanţi suplimentari (tablierul tipizat ISPCF, tablierul peste râul Olt).

Formele deformatei iniţiale considerate în analiză sunt prezentate în figura

VII.36.

246


i i

B

e

L

e

B

L

a) 1 semiundă sensuri opuse (1s_so) b) 1 semiundă acelaşi sens (1s_as)

B

e

L

i

e

B

L

i

c) 2 semiunde sensuri opuse (2s_so) d) 2 semiunde acelaşi sens (2s_as)

i i

B

e

L

B

e

L

e) 3 semiunde sensuri opuse (3s_so) f) 3 semiunde acelaşi sens (3s_as) Figura VII.36

În figurile de mai sus reprezintă deschiderea tablierului, iar B lăţimea

acestuia. Nu s-au analizat cazuri cu o valoare , deoarece din analiza

valorilor proprii s-a dedus că prima formă proprie de pierdere a stabilităţii este cu

3 semiunde.

L

3>n

Rezultatele analizei geometric neliniare efectuate pe cele 4 tabliere au

condus la realizarea curbelor încărcare-deplasare ( ΔP − ) prezentate în figurile

VII.37–VII.39 pentru podul peste Canalul Jiu.

Pentru a putea trage o concluzie asupra formei celei mai defavorabile a

imperfecţiunii, curbele ΔP − au fost cuplate câte trei corespunzând

imperfecţiunilor iniţiale în acelaşi sens, respectiv în sensuri opuse, obţinându-se

graficele din figurile VII.40–VII.41.

247


Curbe P-ΔDeformata initiala - 1 semiunda

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO1S_AS

Figura VII.37

Curbe P-ΔDeformata initiala - 2 semiunde

0

2

4

6

8

10

12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

2S_SO2S_AS

Figura VII.38

248


Curbe P-ΔDeformata initiala - 3 semiunde

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

3S_SO3S_AS

Figura VII.39

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Deplasare [m]

Fact

or d

ein

carc

are

(λ)

1S_SO2S_SO3S_SO

Figura VII.40

249


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_AS2S_AS3S_AS

Figura VII.41

Se poate observa, din figurile prezentate mai sus, că cel mai defavorabil tip

de imperfecţiune este corespunzător situaţiei în care deformata iniţială a axei

barei are trei semiunde orientate în acelaşi sens, raportat la axa longitudinală a

tablierului. Trebuie precizat faptul că indiferent de forma imperfecţiunii iniţiale,

defomata tălpii superioare tinde către o formă asemănătoare celei prezentate în

figura VII.42 (pentru tablierul tipizat ISPCF), lucru valabil pentru toate tablierele

analizate.

Figura VII.42

Prin forma imperfecţiunii iniţiale presupuse, una dintre grinzile principale

este “ajutată” să flambeze lateral, deplasările transversale ale grinzilor fiind

diferite.

250


În continuare, în figurile VII.43–VII.47 sunt prezentate graficele

corespunzătoare tablierului tipizat ISPCF pentru situaţia deformatei iniţiale cu

una două şi trei semiunde, precum şi comparativ, graficele cuprinzând toate

formele deformatei iniţiale, în situaţia când defomaţiile sunt în acelaşi sens şi în

sensuri opuse.

Curbe P-Δ Deformata initiala 1 semiunda

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO1S_AS

Figura VII.43

Curbe P-Δ Deformata initiala 2 semiunde

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

2S_SO2S_AS

Figura VII.44

251



0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

3S_SO3S_AS

Figura VII.45

Curbe P-Δ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO2S_SO3S_SO

Figura VII.46

252


Curbe P-Δ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_AS2S_AS3S_AS

Figura VII.47

Acealeaşi grafice sunt prezentate în continuare pentru tablierul podului

peste râul Olt, în figurile VII.48–VII.52.

Curbe P-ΔDeformata initinala cu 1 semiunda

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO1S_AS

Figura VII.48

253


Curbe P-Δ Deformata initiala cu 2 semiunde

0

2

4

6

8

10

12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

2S_SO2S_AS

Figura VII.49

Curbe P-Δ Deformata initiala cu 3 semiunde

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

3S_SO3S_AS

Figura VII.50

254


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO2S_SO3S_SO

Figura VII.51

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_AS2S_AS3S_AS

Figura VII.52

În figurile VII.53–VII.57 sunt arătate graficele pentru podul de pe linia Podul

Iloaiei-Hîrlău, ţinând seama de numărul de semiunde ale deformatei iniţiale şi de

255


sensul în care sunt introduse abaterile de la axa rectilinie a tălpii superioare,

precum şi cele două grafice comparative cuprinzând în acelaşi grafic toate

tipurile de imperfecţiuni în sensuri opuse sau în acelaşi sens.

Curbe P-Δ Deformata initiala 1 semiunda

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO1S_AS

Figura VII.53


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

2S_SO2S_AS

Figura VII.54

256



0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

3S_SO3S_AS

Figura VII.55

Curbe P-Δ

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_SO2S_SO3S_SO

Figura VII.56

257


Curbe P-Δ

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

1S_AS2S_AS3S_AS

Figura VII.57

VII.7.5.2 Influenţa mărimii imperfecţiunii asupra stabilităţii tălpii comprimate

Valoarea maximă a abaterii de la axa rectilinie a barei (tălpii comprimate) a

fost luată în considerare în 5 situaţii distincte şi anume: Le500

10 = ,

L,L,L,L2000

11500

11000

1750

1 . Pe baza acestor excentricităţi iniţiale s-au stabilit

poziţiile deformate ale tălpii comprimate pentru toate cele 4 tabliere de pod

analizate. În analizele numerice efectuate a fost luat în considerare numai cazul

în care deformaţiile iniţiale sunt în acelaşi sens, aceasta fiind cea mai

defavorabilă situaţie, aşa cum s-a demonstrat în paragraful precedent.

Analizele geometric neliniare efectuate pe toate cele 4 structuri discrete

considerate au urmărit realizarea unor înfăşurători de curbe încărcare-deplasare

ΔP − , care să reliefeze influenţa pe care o are mărimea abaterii de la axa

rectilinie a barei asupra factorului de încărcare corespunzător flambajului lateral

al tălpii comprimate.

S-a urmărit de asemenea evoluţia deplasărilor pentru cele 5 valori ale lui ,

rezultând apoi o comparaţie cu situaţia în care structura ar fi considerată ideală.

0e

258


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

( λ) e0=0

e0=L/2000

e0=L/1500

e0=L/1000

e0=L/750

e0=L/500

Figura VII.58 Pod peste Canalul Jiu

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

e0=0e0=L/2000e0=L/1500e0=L/1000e0=L/750e0=L/500

Figura VII.59 Tablier tipizat ISPCF

259


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

e0=0e0=L/2000e0=L/1500e0=L/1000e0=L/750e0=L/500

Figura VII.60 Tablier pod peste râul Olt

Curbe P-Δ

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

e0=0e0=L/2000e0=L/1500e0=L/1000e0=L/750e0=L/500

Figura VII.61 Tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău

În figurile VII.58–VII.61 sunt reprezentate înfăşurătorile curbelor ΔP −

pentru toate cele 4 structuri de pod analizate, iar în tabelul VII.2 sunt date

260

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE comparativ valorile factorului de încărcare λ în cazul structurii ideale, în cazul

celei mai mari valori a imperfecţiunii L/500 şi în cazul valorii celei mai mici a

imperfecţiunii L/2000, pentru situaţia în care se atinge (limita de curgere) într-

un punct al secţiunii tălpii comprimate.

cσ

Tabelul VII.2

Tablierul

λ pentru

structura ideală

la cσ

λ pentru

structura cu

Le2000

10 la

cσ

λ pentru

structura cu

Le500

10 la

cσ

Diferenţe

(%)

Pod peste Canalul Jiu 2.9990 2.599 2.196 13.3-26.8

Tablier tipizat ISPCF 3.3989 2.797 2.184 17.7-35.7

Tablie peste râul OLT 3.9992 3.396 2.581 15.1-35.5

Tablier Podul Iloaiei-Hîrlău 2.996 2.593 1.78 13.5-40.6

Pentru a evidenţia influenţa mărimii imperfecţiunii asupra deplasărilor

punctului situat pe talpa superioară, s-a realizat tabelul VII.3, în care sunt date

comparativ valorile deplasărilor în momentul atingerii lui pentru structura

ideală şi pentru structura afectată de imperfecţiunile de execuţie.

cσ

Tabelul VII.3

Tablierul

λ pentru

structura

ideală la maxv

λ pentru

structura cu

Le2000

10 la

maxv

λ pentru

structura cu

Le500

10 la

maxv

Diferenţe

(%)





261


Dacă s-ar adopta ca şi criteriu de limitare a analizei criteriul deplasărilor,

atunci este posibil ca analiza să fie condusă aşa cum se va arăta în continuare.

Pornind de la ideea că deplasările totale transversale ale punctului monitorizat se

compun din mărimea imperfecţiunii iniţiale şi dintr-un surplus de deplasare

apărut ca urmare a calculului de ordinul II (analiza geometric neliniară) notat cu

0e

v , atunci se poate scrie relaţia:

0evV += (VII.99)

unde V reprezintă deplasarea totală a punctului situat pe talpa superioară. Se

propune în continuare ca şi caz de studiu situaţia în care valoarea lui v , deci a

sporului de deplasare, să nu depăşească mărimea lui , adică L/500. Aceasta

rezidă în faptul ca

0e

V să nu depăşească valoarea L/250 ( fiind deschiderea

elementului), valoare pentru săgeata iniţială ce se regăseşte în normele DIN

18800 şi EUROCODE 3 [102], [103], pentru elemente izolate cu secţiune

casetată ce au grosimi ale platbandelor mai mici decât 30 mm.

L

În tabelul VII.4 sunt date valorile factorului de încărcare λ , în cazul

structurii ideale, a celei cu Le2000

10 = şi cu Le

5001

0 = .

Tabelul VII.4

Tablierul

λ pentru

structura

ideală la maxv

λ pentru

structura cu

Le2000

10 la

maxv

λ pentru

structura cu

Le500

10 la

maxv

Diferenţe

(%)





Din rezultatele prezentate în cadrul acestui paragraf se distinge clar faptul

ca atât forma imperfecţiunii iniţiale cât mai ales mărimea ei au efecte

defavorabile atât asupra valorii încărcării, fie ea încărcare critică de flambaj, în

cazul materialului considerat infinit liniar elastic, fie încărcare ultimă, când analiza

262

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE este oprită la atingerea lui într-un punct al secţiunii, dar şi asupra deplasărilor

transversale pe care le au în procesul de deformare tălpile superioare.

cσ

Se poate observa din graficele prezentate că valoarea încărcării de flambaj

a tălpii superioare se reduce în mod semnificativ, chiar pentru valori mici ale

imperfecţiunii.

Indiferent de forma iniţială a imperfecţiunii, deformata în momentul atingerii

limitei de curgere pe secţiune tinde să aibă trei semiunde. Cea mai defavorabilă

formă pentru abaterile de la forma rectilinie a barei a rezultat cea cu trei

semiunde. Deplasările transversale ale celor două grinzi principale, în situaţia

cea mai defavorabilă impusă de imperfecţiunea iniţială, sunt diferite, una dintre

grinzi fiind “ajutată “ în defomarea ei, iar deplasarea celeilalte este limitată,

datorită semicadrelor transversale şi conlucrării spaţiale dintre elementele

structurii. Totuşi, dacă se adoptă un număr suficient de mare de paşi de

încărcare se poate demonstra că de la un anumit nivel al încărcarii situaţia se

poate schimba în ceea ce priveşte deplasările transversale ale grinzilor

principale.

Aşa cum se poate vedea din compararea valorilor tin tabelele VII.2, VII.3 şi

VIî.4 rezultă că mai restrictiv este criteriul de rezistenţă când se limitează analiza

la atingerea lui , decât în cazul în care analiza este limitată la valoarea

maximă a surplusului de deplasare

cσ

v . Totuşi trebuie remarcat faptul că dacă se

restricţionează foarte mult valoarea lui v , atunci este posibil ca al doilea criteriu,

al deformatelor maxime, să devină mai restrictiv.

În standardul românesc SR 1911 [106] sunt date valori cu privire la

deplasarea laterală elastică a tablierelor de poduri metalice de cale ferată.

Aceste valori, foarte restrictive ( L5000

1 sau mRmin 1700= , cu R raza de curbură

a deformatei) demonstrează faptul că în aceste situaţii cel mai restrictiv devine

criteriul deplasărilor.

263


VII.7.5.3 Influenţa variaţiei înălţimii grinzilor principale asupra stabilităţii

tălpii comprimate

Pentru a studia influenţa acestui parametru asupra stabilităţii şi calculului de

ordinul II al tălpii comprimate, s-a considerat că toate cele 4 tabliere de pod

analizate sunt afectate de imperfecţiunea iniţială de valoare maximă, iar forma

defomatei iniţiale a fost aleasă cu trei semiunde.

Domeniul de variaţie al înălţimii a fost ales astfel încât să se păstreze

parametri precizaţi de standardele în vigoare referitori la geometria podurilor

metalice realizate în soluţia pe grinzi cu zăbrele. Astfel, limitele minimă şi

maximă ale înălţimii au fost stabilite pentru toate tablierele astfel încât unghiul de

înclinare al diagonalelor să fie cuprins între 45o-60o.

Deşi au fost efectuate analize geometric neliniare pentru câte 10 valori de

înălţime la fiecare dintre structuri, totuşi în graficele ce vor fi prezentate în

continuare s-a reprezentat variaţia factorului de încărcare cu înălţimea grinzii

numai pentru anumite valori ale acesteia din urmă. Acest lucru s-a datorat

faptului că, în domeniul de variaţie al unghiurilor considerate, paşii de înălţime

aleşi nu variau foarte mult şi diferenţele nu erau semnificative.

S-au ales pentru exemplificare acele valori ale înălţimii care ilustrează în

mod evident influenţa variaţiei înălţimii grinzilor asupra valorii încărcării de

flambaj sau ultime şi asupra deplasărilor tălpii comprimate.

În figurile VII.62– VII.65 sunt prezentate înfăşurătorile curbelor încărcare-

deplasare ΔP − , rezultate din analize geometric neliniare, pentru toate

tablierele.

Valorile factorilor de încărcare λ pentru care se atinge şi valorile

deplasării transversale a tălpii sunt date în tabelele VII.5 şi VII.6 pentru înălţimile

maximă şi minimă considerate.

cσ

264


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

H=4.20 mH=4.60 mH=5.70 mH=6.60 m


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

H=5.50 mH=7.10 mH=8.47 mH=9.50 m


265


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

H=4.80mH=5.80mH=7.20mH=8.40m

Figura VII.64 Pod peste râul Olt

Curbe P-Δ

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

H=4.18 mH=5.00 mH=5.70 mH=6.20 m


266

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Tabelul VII.5

Tablier λ la cσ

pentru Hminim

λ la cσ

pentru H maxim

Diferenţe

(%)

Pod peste Canalul Jiu 1.997 2.786 28.3

Tablier tipizat ISPCF 1.596 2.179 26.7

Pod peste râul Olt 1.994 2.768 27.9

Tablier Podul Iloaiei-Hîrlău 1.780 2.15 17.2

Tabelul VII.6

Tablier Δ la cσ

pentru Hminim

Δ la cσ

pentru H maxim

Diferenţe

(%)

Pod peste Canalul Jiu 0.0393 0.0753 47.8

Tablier tipizat ISPCF 0.0504 0.0939 46.3

Pod peste râul Olt 0.0462 0.0859 46.2

Tablier Podul Iloaiei-Hîrlău 0.0760 0.100 24.0

Scăderea factorului de încărcare la care se atinge odată cu creşterea

înălţimii poate fi explicată prin faptul că solicitările axiale în talpa superioară scad

odată cu creşterea înălţimii. Se poate observa din tabelele prezentate mai sus că

variaţia înălţimii influenţează şi ea într-o măsură destul de mare atât valoarea

încărcării ultime cât şi valoarea deplasărilor pentru tablierele studiate.

cσ

În ceea ce priveşte valoarea încărcării de flambaj (factorului de încărcare) în

ipoteza materialului infinit liniar-elastic, se poate vedea, urmărind înfăşurătorile

prezentate în fig. VII.62–VII.65, că aceasta scade cu creşeterea înălţimii. Totuşi,

scăderea nu este la fel de pronunţată ca în cazul arătat la influenţa formei şi

mărimii imperfecţiunii iniţiale.

Ţinând seama de forma şi mărimea celei mai defavorabile imperfecţiuni de

execuţie iniţiale (cu 3 semiunde şi 5000

Le = ) s-a analizat distribuţia eforturilor

unitare normale σ în câteva din barele fiecăruia dintre cele 4 tabliere metalice

analizate. În figurile VII.66–VII.69 este reprezentată evoluţia eforturilor unitare în

funcţie de factorul de încărcare λ pentru următoarele bare, cele mai solicitate, ale

267


fiecărui tablier: talpa superioară, talpa inferioară, diagonala de capăt, antretoază

curentă, lonjeron curent.

Variatia eforturilor unitare σ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700

Efort unitar σ, [daN/cm2]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

TS_III-VTI_4-5D_0-IAntret_cLonj_cen



0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 500 1000 1500 2000 2500


Fact

or d

e in

carc

are

(λ) TS_III-VTI_4-5D_0-IAntret_cLonj_c


268



0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000


Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

TS_VII-VTI_6-5_5-4Diag_IX-10Lonj_cAntret_c

Figura VII.68 Tablier peste râul Olt


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

TS_V-VITI_5-6D_I-2Lonj_cAntret_c


269


Pentru realizarea graficelor prezentate anterior s-a considerat ca şi criteriu

de oprire al analizei momentul în care, în elementul de talpă superioară cel mai

solicitat, se atinge într-un punct al secţiunii valoarea lui . Poziţia fiecărei bare

(pentru care este dată distribuţia lui σ ) în structură se poate aprecia cu ajutorul

indicilor barei şi urmărind figurile VII.17–VII.20.

cσ

Variaţia eforturilor unitare este aproape liniară până la apariţia curgerii, lucru

ce demonstrează faptul că deplasările structurii nu au devenit foarte mari, astfel

încât valorile momentelor încovoietoare în raport cu axa faţa de care se

produce flambajul lateral (axa verticală y), nu aduc încă un aport substanţial în

evaluarea eforturilor unitare.

yM

VII.7.5.4 Efectul prezenţei ranforţilor cadrelor transversale asupra stabilităţii

tălpii comprimate

În toate analizele geometric neliniare efectuate pentru cele 4 tabliere nu s-a

ţinut seama de efectul favorabil al prezenţei ranforţilor semicadrelor transversale

asupra stabilităţii tălpii comprimate. Pentru a avea o măsură a acestei influenţe,

s-a analizat cazul tablierului peste Canalul Jiu. Schema de discretizare a

structurii nu s-a modificat, ci s-a ţinut seama de existenţa ranforţilor utilizând

metoda din SR 1911 [106], metodă în care ranfortul este împărţit în mai multe

zone, caracteristicile geometrice ale montantului fiind modificate astfel încât să

cuprindă şi sporul de rigiditate oferit de ranforţi.

Relaţia de calcul pentru stabilirea momentelor de inerţie în cazul montanţilor

cu secţiune variabilă sau a celor care au ranfort este:

∑−

=

n

nsnim

Ihh

hI 33

3

(VII.100)

în care:

h este distanţa de la centrul de greutate al tălpii comprimate până la

muchia superioară a antretoazei;

270


nins h,h este distanţa de la centrul de greutate al tălpii comprimate la limita

superioară, respectiv inferioară, a tronsonului de montant (cu

ranfort) considerat;

nI este momentul de inerţie mediu al montantului cu ranfort pe

tronsonul n.

În figura VII.70 se poate vedea semnificaţia distanţelor h din relaţia (VII.

100) de mai sus. Forma secţiunii transversale a montantului la care se adaugă

cea a ranfortului, precum şi modificarea caracteristicilor geometrice este dată în

tabelul VII.7.

Figura VII.70

În tabelul VII.7, elementele desenate punctat alcătuiesc secţiunea

ranfortului, variabilă pe înălţimea sa. Aria medie a tronsoanelor ranfortului, cât şi

momentul de torsiune mediu necesare ca date de intrare în programul de calcul

cu elemente finite LUSAS pentru analiza geometric neliniară, s-au calculat pe

baza unor relaţii asemănătoare relaţiei (VII.100).

271


Tabelul VII.7

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Model_fara_ranfortModel_cu_ranfort

Figura VII.71

272


Curbe P-Δ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Model_fara_ranfortModel_cu_ranfort

Figura VII.72

Analiza geometric neliniară a fost realizată ţinând seama de cazul cel mai

defavorabil al imperfecţiunii iniţiale de execuţie, cu trei semiunde şi valoarea

maximă Le500

10 = . În figura VII.71 sunt prezentate curbele încărcare-deplasare

( ΔP − ) pentru cazul structurii cu deformaţie iniţială, dar fără ranfort şi ale

structurii care prezintă ranfort, iar în figura VII.72 aceleaşi curbe sunt limitate la

atingerea lui pe secţiunea tălpii structurii care nu are ranfort. Se poate

obsserva, că în situaţia în care analiza este oprită la atingerea lui pe

secţiune, diferenţa între deplasările transversale ale nodului situat pe talpa

superioară în mijlocul deschiderii (fig. VII.25) diferă cu aproximativ 9.6 %.

cσ

cσ

Pentru a vedea ce efect ar avea prezenţa ranfortului pentru o înălţime mai

mare a grinzilor principale, în aceleaşi ipoteze ale deformatei iniţiale, a fost

analizat şi cazul corespunzător înălţimii maxime 606.H = m (din considerente de

geometrie), la care pot ajunge grinzile principale ale tablierului podului peste

Canalul Jiu. Curbele ΔP − rezultate sunt date în figura VII.73, iar curbele limitate

la atingerea lui în figura VII.74. cσ

273


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_fara_ranfortMod_cu_ranfort

Figura VII.73

Curbe P-Δ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_fara_ranfortMod_cu_ranfort

Figura VII.74

Analizând figura VII.74 se constată că în acest caz, diferenţa înregistrată

între deplasările transversale extrase din curbele ΔP − pentru acelaşi punct al

structurii, se situează în jurul valorii de 6.6 %.

274


Din analizele efectuate pe structura cu ranfort se poate concluziona că

prezenţa ranfortului influenţează într-o oarecare măsură, chiar dacă nu

semnificativ, încărcărea critică de flambaj (factorul de încărcare λ ) lateral a tălpii

comprimate (lucru ce se poate deduce din curba ΔP − acolo unde ea devine

tangentă la o dreaptă orizontală), încărcarea la atingerea limitei de curgere şi

deplasările în sens transversal ale tălpii.

Se constată de asemenea că influenţa ranfortului se modifică cu înălţimea

grinzilor principale, ea diminuându-se pe măsură ce înălţimea grinzilor principale

creşte. Trebuie menţionat faptul că toate caracteristicile geometrice ale

montantului cu ranfort au fost recalculate pentru cazul înălţimii de 6.60 m.

VII.7.5.5 Influenţa tipului de contravântuire superioară asupra stabilităţii

tălpii comprimate

Contravântuirile sunt elemente ce asigură legătura între grinzile principale

ale suprastructurii unui pod. Pentru înălţimi mari ale grinzilor principale cu zăbrele, în vederea limitării

deplasărilor laterale ale tălpilor superioare, ce pot apărea ca urmare a producerii

fenomenului de flambaj, dar şi pentru reducerea lungimilor de flambaj şi a

solicitărilor pe secţiunea tălpii se prevăd sisteme de contravântuiri superioare.

În funcţie de rigiditatea semicadrelor transversale, de înălţimea grinzilor

principale şi de solicitările la care este supus tablierul de pod, contavântuirea

superioară poate fi, ţinând seama de geometria ei, de mai multe feluri. Cele mai

utilizate sisteme de contravântuire sunt: contravântuirile realizate doar din rigle

transversale dispuse între grinzile principale (utilizate mai des la podurile în arce

acolo unde arcele şi tablierul sunt foarte flexibile în sens transversal şi pot

apărea fenomene de pierdere a stabilităţii), sisteme de contravântuire în K şi

sisteme de contravântuire în X.

Dispunerea contravântuirilor superioare trebuie să ţină seama de gabaritele

vehiculelor care circulă pe pod, gabarite ce sunt specificate pentru lucrările de

artă în standardul românesc STAS 4392/84 [120].

275


Pentru a analiza influenţa sistemelor de contravântuire asupra stabilităţii

tablierelor de poduri metalice pe grinzi cu zăbrele a fost studiat tablierul tipizat

proiectat la ISPCF ale cărui formă şi dimensiuni au fost prezentate în figura VII.18

Structura s-a considerat afectată de imperfecţiuni de execuţie, modelate prin

considerarea unor abateri de la axa rectilinie, în sens transversal, ale tălpii

superioare. Forma iniţială deformată a fost considerată cea cu trei semiunde în

acelaşi sens, iar mărimea imperfecţiunii a presupus existenţa valorii maxime

5000Le = .

Analiza geometric neliniară a fost efectuată în patru situaţii distincte:

− pod fără contravântuire superioară;

− pod cu contravântuire formată doar din rigle transversale;

− pod cu contravântuire formată din rigle transversale şi diagonale dispuse

în formă de X;

− pod cu contravântuire formată din rigle transversale şi diagonale dispuse

în formă de K.

Caracteristicile geometrice ale riglelor transversale şi ale diagonalelor de

contravântuire sunt cele prezentate în tabelul A.2 din Anexă.

Încărcarea a fost aplicată într-un număr suficient de mare de paşi astfel

încât să poată fi atins momentul când talpa superioară comprimată tinde să-şi

piardă stabilitatea.

În figura VII.75 sunt reprezentate curbele încărcare-deplasare ΔP − pentru

situaţiile în care modelul nu are contravântuire superioară şi pentru cazul în care

la partea superioară a tablierului există doar rigle transversale.

În analiza geometric neliniară nu au fost întâlinite, pe parcursul soluţiei pentru

numărul de paşi considerat, puncte critice, dar din analiza celor două curbe se

poate distinge clar creşterea încărcării (a factorului de încărcare λ ), datorită

prezenţei riglelor, la care structura tinde să-şi piardă stabilitatea. Concomitent se

observă o reducere a deplasărilor punctului situat pe talpa superioară în mijlocul

deschiderii.

276


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Model_fara_CVSModel_cu_rigle

Figura VII.75

Curbe P-Δ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

CVSup_X

Figura VII.76 Tablier cu CVSup în X

277


Curbe P-Δ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

CVSup_K

Figura VII.77 Tablier cu CVSup în K

În figurile VII.76 şi VII.77 sunt prezentate curbele ΔP − în celelalte două

cazuri, în care structura este prevăzută cu sisteme de contravântuire în X,

respectiv în K.

Urmărind figurile prezentate mai sus se poate constata cu uşurinţă faptul că

cea mai mare rigiditate a structurii se obţine, aşa cum era de aşteptat, în situţia

sistemului de contravântuire în X. Diferenţele între deplasări sunt evidente şi

acesta a fost şi motivul pentru care nu au fost reprezentate toate curbele ΔP −

pe acelaşi grafic.

Pentru cele două sisteme de contravântuire X şi K, s-au găsit pe parcursul

analizei geometric neliniare puncte de bifurcare, iar valorile factorilor de încăcare

( λ ) corespunzători acestor puncte sunt:

− 477.14=λ pentru sistemul X;

− 312.14=λ pentru sistemul K.

Se poate remarca faptul că, în timp ce pentru valoarea lui λ diferenţele sunt

mici, de numai 1.1%, diferenţa deplasărilor în momentul atingerii punctului de

bifurcare este mult mai mare de 91.2%, deplasările crescând pentru sistemul K

de peste 10 ori.

278


În cazul în care analiza geometric neliniară este oprită în momentul atingerii

limitei de curgere într-un punct al secţiunii transversale a panoului de talpă

considerat (Fig. VII.25), pentru a ilustra modul în care diferitele sisteme de

contravântuire influenţează calculul de ordinul II, în tabelul VII.8 sunt precizate

valorile factorilor de încărcare şi ale deplasărilor punctului monitorizat, în

momentul opririi analizei.

cσ

Tabelul VII.8

Structura λ la atingerea lui cσ Δ la atingerea lui cσ

Tablier fără CVSup 2.184 0.0886

Tablier cu rigle 2.393 0.0528

Tablier cu CVSup în sistem K 3.200 0.00516

Tablier cu CVSup în sistem X 3.997 0.000881

În tabelul VII.9 sunt date valorile solicitărilor secţionale pentru elementul de

talpă considerat în momentul atingerii limitei de curgere pe secţiune.

Tabelul VII.9

Structura N [tf] My[tfm] Mz[tfm]

Tablier fără CVSup -435.30 -38.58 -6.71

Tablier cu rigle -479.30 -29.53 -7.689

Tablier cu CVSup în sistem K -695.90 -3.888 -11.37

Tablier cu CVSup în sistem X -851.60 -2.911 -14.20

În figura VII.78 a,b,c sunt prezentate deformatele tablierului analizat în

momentul atingerii lui pe secţiunea tălpii în situaţia existenţei celor trei

sisteme de contravântuire.

cσ

279


a) Contravântuire doar cu rigle (b) Contravântuire sistem K

transversale

c) Contravântuire sistem X

Figura VII.78

Din rezultatele analizelor efectuate pe tablierul tipizat proiectat la ISPCF

pentru mai multe tipuri de sisteme de contravântuire se poate concluziona că

tipul de contravântuire superioară influenţează în mod semnificativ atât

stabilitatea tălpii comprimate a structurii, cât şi calculul de ordinul II al acesteia.

Analizând curbele încărcare-deplasare prezentate în figurile VII.75–VII. 77

se observă o creştere mare a factorului de încărcare corespunzător producerii

fenomenului de flambaj, de la valorile aproximative (estimate din curba ΔP − ) de

6 în cazul absenţei contravântuirii superioare, respectiv 8 în cazul existenţei

riglelor, până la valorea 14 în cazul sistemelor de contravântuire în K şi X.

Trebuie menţionat că în toate analizele materialul a fost considerat infinit liniar

elastic.

Dacă problema de stabilitate se transformă în cea de rezistenţă, cu limitarea

la fenomenul este acelaşi, de creştere pregnantă a valorii factorului de

încărcare, pornind de la sistemul fără contravântuiri, până la cel mai rigid, cu

contravântuiri în X. În tabelul VII.8 se poate vedea că deplasările se reduc de

cσ

280

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE peste 100 de ori în situaţia utilizării sistemului de contravântuire în X faţă de

cazul când nu ar exista contravântuire.

Analizând tabelul VII.9 se poate observa modul în care se schimbă

ponderea eforturilor secţionale în talpa superioară, lucru determinat de reducerea

deplasării transversale a tălpii, odată cu rigidizarea prin dispunerea

contravântuirilor superioare şi de accentuarea încovoierii în plan vertical a întregii

structuri.

Din figura VII.78 se constată că în situaţia în care există numai rigle

transversale la partea superioară a grinzii, forma deformată nu diferă mult de

situaţia în care nu este prevăzut sistem de contravântuire. În celelalte două

situaţii însă, deformaţiile transversale sunt foarte mici, accentuându-se

deplasările în plan vertical. Se observă că prezenţa celor două sisteme de

contravântuire determină structura să se deformeze ca ansamblu. Totuşi, chiar

prin prevederea sistemelor de contravântuire tendinţa deformatei de a avea trei

semiunde se păstrează.

VII.7.5.6 Influenţa imperfecţiunilor tălpii inferioare asupra stabilităţii tălpii

superioare

În continuare va fi analizată influenţa prezenţei imperfecţiunilor de diferite

forme ale tălpii inferioare asupra stabilităţii şi calculului de ordinul II al tălpii

superioare.

Studiul a fost făcut pentru tablierul podului peste râul Olt, cu considerarea

unei imperfecţiuni iniţiale la talpa superioară, cu trei semiunde în acelaşi sens şi

de valoare maximă 5000

Le = . Suplimentar, s-a presupus că şi talpa inferioară a

grinzilor principale este imperfectă. În ceea ce priveşte mărimea imperfecţiunii,

valoarea maximă a acesteia a fost considerată egală cu cea a tălpii superioare.

Forma imperfecţiunii a fost presupusă în trei cazuri, cu o singură semiundă, cu

două semiunde şi respectiv cu trei semiunde. Semiundele tălpii inferioare au fost

considerate în toate cele trei cazuri în acelaşi sens, lucru impus de faptul că

281


antretoazele trebuie să-şi păstreze lungimea în sens transversal podului. Totuşi,

raportat la sensul imperfecţiunii tălpii superioare, toate cele trei forme de

imperfecţiune de la talpa inferioară au fost studiate atât în cazul în care au

acelaşi sens cu imperfecţiunea tălpii superioare, cât şi in situaţia în care au sens

opus acesteia.

Efectuând analize geometric neliniare pentru toate cazurile, prin

considerarea unui număr suficient de mare de paşi, s-au putut trasa curbele

încărcare-deplasare prin comparaţie cu situaţia în care doar talpa inferioară era

imperfectă, aşa cum s-a presupus până acum în paragrafele precedente ale

acestui capitol al lucrării.

Comportarea materialului a fost considerată şi pentru aceste analize ca fiind

infinit liniar elastică în problema studiului stabilităţii tălpii comprimate.

În figurile VII.79–VII.82 sunt prezentate curbele ΔP − pentru cazul

considerării şi deformatei tălpii inferioare cu una, două, respectiv trei semiunde

(trebuie menţionat faptul că în grafice, TS înseamnă talpă superioară, iar TI talpa

inferioară, 1s, 2s, 3s reprezintă numărul semiundelor, iar as sau so indică sensul

considerării imperfecţiunii). Urmărind evoluţia deplasărilor în cele trei situaţii cu

variaţia factorului de încărcare λ , se poate observa că există o influenţă a

deformaţiilor iniţiale prezente şi la talpa inferioară asupra stabilităţii, dar şi asupra

rezistenţei tălpii superioare comprimate.

Aprecierea mărimii acestei influenţe s-a făcut considerând că analiza este

oprită la atingerea limitei de curgere în elementul cel mai solicitat al structurii,

care şi în aceste cazuri este panoul de talpă similar cu cel din figura VII.25.

cσ

282


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

TS_3s_asTI_1s_soTI_1s_as

Figura VII.79

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)


Figura VII.80

283


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)


Figura VII.81

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

TI_1s_asTI_2s_asTI_3s_as

Figura VII.82

Din prezentarea figurilor anterioare se poate vedea că situaţia cea mai

defavorabilă este cea în care talpa inferioară are imperfecţiunea iniţială tot cu trei

semiunde ca şi cea superioară şi sensul imperfecţiunii este acelaşi cu al tălpii

superioare.

284


Pentru a vedea ce modificări valorice aduce prezenţa imperfecţiunii tălpii

inferioare asupra factorului de încărcare λ şi asupra mărimii deplasării Δ , s-au

analizat în situaţia limitării analizelor la atingerea lui , structura cu

imperfecţiuni numai la talpa superioară şi cea cu imperfecţiuni la ambele tălpi.

cσ

În tabelul VII.10 sunt date valorile lui λ şi ale deplasării Δ .

Tabelul VII.10

Structura λ la atingerea lui cσ Δ la atingerea lui cσ

Imperfecţiune doar la TS 2.581 0.0724

Imperfecţiune la TS şi TI 2.572 0.0882

Diferenţe (%) 0.3 17.9

Din analizele numerice efectuate se constată că prezenţa imperfecţiunilor la

talpa inferioară are o influenţă asupra stabilităţii şi calculului de ordinul II al tălpii

superioare. Forma deformatei iniţiale a tălpii inferioare care are cea mai

defavorabilă influenţă este cea cu trei semiunde când deformaţiile sunt în acelaşi

sens cu cele de la talpa superioară.

Din tabelul VII.10 se poate observa că diferenţele între factorii de încărcare

corespunzători atingerii limitei de curgere pe secţiunea tălpii superioare, chiar

dacă există, sunt extrem de mici, în timp ce diferenţa între deplasări este destul

de mare. Deci şi în această situaţie se poate aprecia că dacă se ia ca şi criteriu

de limitare a analizei geometric neliniare criteriul deplasărilor transversale ale

tălpii comprimate, atunci acesta ar putea fi mai restrictiv decât cel cu

considerarea lui . cσ

Toate analizele efectuate demonstrează faptul că imperfecţiunile

geometrice având anumite dimensiuni şi forme afectează valoarea încărcării de

pierdere a stabilităţii tălpii comprimate a podurilor metalice cu grinzi cu zăbrele.

Efectul acestor imperfecţiuni este cu atât mai mare cu cât forma lor este afină

primei forme proprii de pierdere a stabilităţii.

285

CAPITOLUL VIII ANALIZA SIMPLIFICATĂ A STABILITĂŢII GENERALE LA PODURILE CU GRINZI CU ZĂBRELE

ANALIZA SIMPLIFICATĂ A STABILITĂŢII GENERALE LA PODURILE CU GRINZI CU ZĂBRELE

VIII.1 GENERALITĂŢI

Stabilitatea laterală a tălpilor comprimate, cunoscută sub denumirea de

stabilitate generală (flambaj general), a reprezentat şi reprezintă în continuare un

subiect de studiu pentru proiectarea în deplină siguranţă a structurilor de poduri.

Dacă în cazul podurilor cu calea jos respectarea gabaritului de liberă trecere nu

permite construirea unei contravântuiri superioare, atunci talpa superioară

comprimată trebuie asigurată împotriva fenomenului de flambaj lateral astfel

încât, nodurile de prindere ale tălpii de semicadrele formate din montanţi,

diagonale şi antretoaze să fie mai rigide în sens transversal (Fig. VIII.1).

Figura VIII.1

În acelaşi timp, la podurile pe grinzi cu inimă plină cu calea jos, talpa

superioară trebuie asigurată împotriva flambajului, prin prevederea unor ranforţi,

care formeaza cu antretoazele un cadru cu rigiditate corespunzătoare la încovoiere

în sens transversal podului.

286

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Aceste cazuri de rezemare pe semicadre ale tălpii superioare comprimate

pot fi tratate însă într-un mod simplificat. Astfel, talpa rezemată elastic discret în

anumite puncte, poate fi considerată ca o grindă continuă pe mediu elastic,

mediu ce are un anumit coeficient de pat.

Dificultăţi în studiul flambajului tălpii comprimate apar la podurile care au

placă de beton la partea superioară (structuri mixte cu conlucrare) şi ale căror

tălpi inferioare pot flamba (pe reazem) dacă nu există contravântuire inferioară

(Fig. VIII.2). Deoarece eforturile din grindă îşi schimbă semnul în apropierea

reazemului, o rezolvare a problemei în mod simplificat nu este posibilă, decât

analizând fenomenul separat, pe deschideri în funcţie de forţele de întindere şi

de compresiune care apar în grindă.

Figura VIII.2

În cazul podurilor care au o singură grindă principală centrală (poduri pe

grinzi cu zăbrele sau arce), ca în figura VIII.3, grinda principală reazemă elastic

pe montanţi în sens transversal şi pentru asigurarea împotriva flambajului

general grinzii, o importanţă deosebită o are şi rigiditatea la încovoiere a

tablierului (grinzii de rigidizare). Constantele elastice ale resorturilor finale şi

intermediare sunt în acest caz diferite între ele, datorită secţiunii diferite a

montanţilor, însă pentru a fi de partea siguranţei, ele pot fi considerate cu

aceeaşi rigiditate.

287


Figura VIII.3

În perspectiva realizării unei dimensionări economice, este necesară

modelarea într-un mod realist a comportării tălpilor comprimate rezemate elastic.

Tratarea cât mai exactă a problemei presupune verificarea sistemului static

considerat la acţiunea celei mai defavorabile combinaţii de încărcări, considerând

deformaţiile iniţiale existente şi excentricităţile apărute în faza de montaj.

În cazul podurilor realizate în sistem grinzi cu zăbrele trebuie luat în

considerare faptul că talpa comprimată formează cu elementele componente ale

grinzilor principale (diagonale şi montanţi) un sistem cu rigiditate la încovoiere şi

torsiune.

SCHIEBLER [16] a studiat influenţa deformaţiilor iniţiale ale semicadrelor

asupra stabilităţii tălpii comprimate, deformaţii apărute ca urmare a solicitărilor

provenind de la vehiculele care circulă pe pod. Verificările şi calculele efectuate,

care cuprind şi influenţa tensiunilor reziduale ce-şi au originea în solicitările de

încovoiere şi torsiune la nodurile grinzilor cu zăbrele spaţiale, au condus la

concluzia că, efectul defavorabil al încărcării antretoazelor asupra stabilităţii tălpii

comprimate la podurile de cale ferată simplă, poate ajunge la aproximativ 25%.

La podurile de cale ferată dublă având semicadre relativ zvelte, o asemenea

valoare defavorabilă poate fi chiar mai mare, o influenţă mare având şi caracterul

nesimetric al încărcărilor în situaţia încărcării numai a unui fir de circulaţie. Pentru

evitarea apariţiei deformaţiilor iniţiale ale semicadrelor, se recomandă realizarea

unor grinzi principale cu înălţime relativ redusă, având astfel o rigiditate mai mare

288

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE la încovoiere, iar antretoazele ar trebui să fie proiectate cu înălţime mare.

Considerarea prinderilor cu rigiditate la încovoiere şi torsiune ale tălpii

comprimate în nodurile superioare ale grinzilor principale, poate conduce,

conform studiului precizat anterior, la podurile cu două grinzi principale, la o

creştere a capacităţii portante de aproximativ 5%. La podurile cu o singură grindă

nu se poate conta pe un astfel de spor.

VIII.2 MODELE SIMPLIFICATE DE CALCUL EXISTENTE ÎN LITERATURA DE SPECIALITATE

VIII.2.1 Prezentarea problemei. Sisteme statice utilizate

În figura VIII.4 [61], sunt prezentate două exemple de alcătuire a

suprastructurii frecvent întâlnite în domeniul podurilor metalice cu grinzi cu

zăbrele, la care tălpile comprimate sunt asigurate împotriva fenomenului de

flambaj prin asigurarea rigidităţii corespunzătoare semicadrelor alcătuite din

antretoaze, montanţi şi diagonale (Fig. VIII.4a), respectiv prin asigurarea,

suplimentar celor precizate anterior, a unei rigidităţi corespunzătoare la torsiune

a grinzii de rigidizare (tablierului), în cazul podurilor cu o singură grindă

principală. (Fig. VIII.4b).

a) Talpa comprimată

b) Talpa comprimată

Figura VIII.4

289


Tălpile comprimate pot fi considerate într-un calcul simplificat, pentru

ambele tipuri de structuri precizate anterior, ca grinzi continue rezemate elastic

discret. Totuşi, rezemarea discretă poate fi înlocuită, pentru simplificare, printr-o

rezemare continuă pe mediu elastic.

În cazul podurilor deschise la partea superioară, tălpile superioare

comprimate se încovoaie către interior ca urmare a eforturilor apărute în grinzile

principale din încărcările apărute în exploatare. Sub încărcare constantă şi

considerând aceeaşi rigiditate a cadrelor transversale, axele tălpii rămân

(teoretic) şi în stare deformată linii drepte, astfel încât ipotezele teoriei de ordinul

II sunt respectate. La podurile ce au o singură grindă principală centrală, la

încărcarea ambelor căi, solicitarea de compresiune în talpa superioară este

centrică, iar la încărcarea numai a unei căi a podului apare însă încovoierea tălpii

numai într-un singur sens. În astfel de cazuri se pune problema stării de eforturi

conform teoriei de ordinul II. Totuşi, pentru evaluarea gradului de stabilitate al

structurii încărcarea poate fi considerată perfect centrică, deoarece rezolvarea

problemei prin metoda încărcării critice este de partea siguranţei. Dacă s-ar

considera, de exemplu, pentru talpa superioară comprimată a unei astfel de

structuri, pe toată lungimea podului o deformată sinusoidală cu o singură undă,

la atingerea încărcării critice, aceasta s-ar transforma într-o deformată cu mai

multe unde, care poate fi antisimetrică sau simetrică, lucru ce depinde de

Pentru stabilirea valorii constantei resorturilor în cazul rezemării elastice

discrete, trebuie stabilit în prealabil dacă resorturile sunt cuplate. Atât timp cât la

podurile deschise, reazemele elastice se consideră că provin doar din

semicadrele transversale formate din antretoaze şi montanţi (fără considerarea

antretoazelor), reazemele elastice nu sunt cuplate, deoarece la un flambaj al

tălpii apare întotdeauna (raportat la axa longitudinală a podului) o deformată de

290

rezemarea transversală. Intensitatea fenomenului de flambaj care rezultă

considerând o deformată iniţială este în concordanţă cu cea a flambajului ce nu

ia în considerare această deformată. Din acest motiv, verificările de stabilitate ale

unor astfel de tălpi comprimate pot lua în considerare rezolvările date

considerând încărcările de cedare ale unor grinzi solicitate centric.

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE flambaj simetrică, constantele elastice corespunzătoare fiind mai mici decât în

situaţia flambajului antisimetric (Fig. VIII.5).

Csimetric Cantisimetric

Figura VIII.5

Atât în cazul deformării simetrice ale semicadrelor, cât şi în cazul deformării

antisimetrice, constantele elastice ale reazemelor elastice pot fi stabilite conform

precizărilor din capitolul V, cu relaţiile (V.64), respectiv (V.65), prin introducerea

unor forţe unitare la capetele semicadrelor şi evaluarea deplasărilor

corespunzătoare acestor forţe.

În cazul montanţilor cu vute sau în cazul cadrelor prevăzute cu ranforţi,

înălţimea semicadrului trebuie considerată cu valoare redusă.

Dacă la un pod deschis cu calea jos se consideră şi rezemarea transversală

prin intermediul diagonalelor sau dacă grinda cu zăbrele nu are montanţi, atunci

apare o cuplare a reazemelor elastice, adică forţa ce apare într-un nod al tălpii

superioare produce o deplasare nu numai în nodul unde acţionează, ci şi în

nodurile vecine. Şi la podurile cu o singură grindă centrală portantă şi la

structurile asemănătoare (de tipul structurilor cu arce de exemplu), apare prin

torsiunea grinzii de rigidizare o cuplare a resorturilor.

În cazul apariţiei fenomenului de flambaj, deformarea tălpii superioare

comprimate, atrage după sine înclinarea grinzilor principale. Se pune astfel problema

direcţiei forţelor care vor fi introduse în talpa superioară ca urmare a forţelor axiale

din diagonale. Deoarece talpa inferioară poate fi considerată ca indeformabilă (în

sens transversal), se poate aprecia că forţele de compresiune îşi păstrează direcţia:

toate triunghiurile formate din diagonale şi montanţi se rotesc în jurul axei tălpii

291


inferioare şi componentele longitudinale din talpa comprimată, care provin din

diagonale îşi pastrează direcţia după axa tălpii inferioare (Fig. VIII.6)

Figura VIII.6

Distribuţia forţei axiale de compresiune în talpa comprimată, N(z) şi mărimea

constantelor elastice ale resorturilor C, precum şi coeficientul de pat dedus din

acestea c(z), în cazul considerării unei rezemări elastice continue depind, în general,

de modul cum sunt alcătuite grinzile principale. Figura VIII.7 arată cele mai

importante trei variante de sisteme statice existente în literatura de specialitate [16].

N(z)

Sisteme statice

c(z)

a) b) c)

Figura VIII.7

292

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE În cazul grinzilor cu zăbrele parabolice, de foma celor prezentate în figura

VIII.7a, forţa de compresiune în talpa superioară poate fi considerată constantă,

coeficientul de pat este însă puternic variabil, deoarece montanţii devin din ce în

ce mai scurţi, deci mai rigizi, către capătul grinzilor. Talpa comprimată poate fi

considerată articulată sau cu o anumită rigiditate la rotire K, în sens transversal.

La grinzile de formă trapezoidală ca cele din figura VIII.7b, forţa de

compresiune în talpă N(z) variază doar către panourile de capăt ale suprastructurii,

dar coeficientul de pat este relativ constant. Sistemul static ce poate fi ales

pentru talpa superioară comprimată depinde de modul în care diagonalele de

capăt sunt legate de talpă. La legarea articulată a acestora pot fi introduse

reazeme elastice discrete în punctele marginale ale tălpii, constanta elastică a

acestor resorturi marginale fiind însă semnificativ mai mare decât a celor de pe

parcursul tălpii.

Pentru grinzile cu tălpi paralele şi cadre finale verticale, aşa cum sunt cele

prezentate în figura VIII.7c, există remarci asemănătoare celor corespunzătoare

structurilor prezentate în figura VIII.7b. Şi aici se poate recomanda utilizarea, ca

model simplificat de calcul, a unei grinzi continui pe mediu elastic cu reazeme

elastice discrete la capete, deoarece de regulă, semicadrele de capăt au o

rigiditate diferită (în general mai mare) faţă de semicadrele intermediare.

În ciuda mărimilor şi sistemelor statice diferite rezultă, în general, utilizând

modelele simplificate prezentate, o apreciere corectă a siguranţei la flambaj, în

special pentru predimensionări şi verificări, dacă se poate găsi un sistem static şi

o lungime de flambaj pentru o grindă înlocuitoare.

VIII.2.2 Calculul tălpilor comprimate cu rezemare elastică

În general, verificarea exactă la stabilitate poate fi transformată cu suficientă

acurateţe într-o problemă de bifurcare a echilibrului, dar pentru aceasta trebuie

ţinut seama de următoarele aspecte:

− talpa comprimată este considerată, înaintea apariţiei flambajului, ca o

grindă continuă ideală perfect rectilinie, care reazemă elastic sau este

293


fixată în anumite puncte. Dacă talpa este, ca în cazul grinzilor parabolice,

curbată, atunci această ipoteză furnizează un rezultat utilizabil numai

dacă înclinarea în raport cu orizontala a tălpii este relativ mică;

− este necesar să se considere o legătură cu rigiditate la încovoiere şi

torsiune între grinzile principale, montanţi şi diagonale. Neglijarea acestor

influenţe, care nu schimbă caracterul de problemă de cedare, se situează

de partea siguranţei;

− problema flambajului poate fi tratată plan, adică nu se ţine seama de

reducerea încărcării critice în cazul fenomenului flambaj lateral şi

torsiune. Pentru a cuprinde o astfel de reducere, o soluţie ar putea fi

introducerea în relaţiile de calcul a unor momente de inerţie reduse fată

de cele considerate în cazul flambajului lateral.

Pentru considerarea simplificată a problemei de stabilitate a tălpii

comprimate trebuie decis dacă rezemarea elastică trebuie considerată continuă

sau discontinuă. În primul caz pot fi considerate formule de calcul acoperitoare,

în timp ce în cel de-al doilea trebuie făcut un calcul mai amănunţit.

Modelele de calcul utilizate pentru stabilirea relaţiilor de calcul în cazul

flambajului grinzilor rezemate pe mediu elastic sunt prezentate în figura VIII.8.

a) b)

Figura VIII.8

Dacă se notează cu s distanţa dintre resorturi şi cu C constanta elastică a

resortului individual, la un număr mare de resorturi se poate considera o

rezemare pe mediu elastic, pentru care coeficientul de pat c are valoarea,

precizată şi în [61], [90]:

294


sCc = (VIII.1)

Pentru a fi de partea siguranţei, poate fi utilizată pentru stabilirea

coeficientului de pat relaţia (Fig. VII.7c):

n

nsCc 1−

= (VIII.2)

în care n reprezintă numărul resorturilor considerate.

Încărcarea de flambaj, pentru cazul unei bare rezemate elastic şi având

reazeme rigide la capete (Fig. VIII.8a), a cărei axă deformată are mai multe

semiunde în momentul flambajului, se poate determina cu formula:

EIcPP Engki 2== (VIII.3)

PEng fiind încărcarea critică determinată de Engesser, E modulul de elasticitate al

materialului din care este realizată bara, iar I momentul de inerţie constant al

secţiunii transversale a barei.

Dacă se egalează forţa critică dată de (VIII.3) cu încărcarea de flambaj

Euler de ordinul II a unei grinzi înlocuitoare de lungime sk şi se are în vedere şi

relaţia (V.64) din capitolul V atunci rezultă relaţia :

4

23

4

812114 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

−=

amk I

bhI

hn

nIsπn

nCsEIπs (VIII.4)

Dacă se doreşte stabilirea unui anumit coeficient de siguranţă la flambaj ,

după reconsiderarea relaţiilor (VIII.2) şi (VIII.3) rezultă:

kiν

( ) ( ) sEIPν

nnCC

EIPν

nn

sCc ki

Engki

4141 22

−==⇒=

−= (VIII.5)

În relaţiile de mai sus CEng reprezintă constanta elastică a resortului stabilită

de ENGESSER.

Dacă se consideră lungimea de flambaj exprimată sub forma ks sβsk = şi

EI se deduce din relaţia:

22

2

sβEIπPki = (VIII.6)

rezultă pentru constanta elastică CEng expresia:

295


sP

βν,

sβPπ

nnC kiki

Eng 22

2

5241

≅−

= (VIII.7)

La valori variabile ale lui N(z), EI (z) şi s(z) (Fig. VIII.7), valoarea lui pentru

care rezemarea discretă a grinzii poate fi înlocuită cu o rezemare pe mediu elastic

continuu este greu de dedus. În urma cercetărilor efectuate, de către CHWALLA,

SCHWEDA şi BLEICH [61], a fost stabilită următoarea relaţie pentru valoarea

constantei elastice a resorturilor în cazul rezemării discrete:

β

βπε;

εsinεεsinε

βsPνC ki

Bleich =+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

132 (VIII.8)

Relaţia de mai sus este valabilă pentru EI şi D constante. Dacă se introduc

în (VIII.8) relaţiile :

Bki

BleichEki

Eng φsDνC;φ

sDνC == (VIII.9)

şi se calculează valorile pentru diferite mărimi (rezultatul este prezentat în

tabelul VIII.1), se poate observa diferenţa dintre constantele elastice (considerate

ca medie a tuturor resorturilor), diferenţă care este de 5,5% pentru , în

timp ce pentru diferenţa este de cel mult 4%. De aici pare a rezulta că

este necesară o valoare a lui de cel puţin 1.2 pentru a putea fi luată în

considerare o rezemare continuă pe mediu elastic.

β

21.β =

31.β ≥

β

Tabelul VIII. 1

β Eφ Bφ B

EB

φφφ −

1 2.500 4.000 0.375

1.1 2.066 2.269 0.089

1.2 1.736 1.805 0.039

1.3 1.479 1.505 0.017

1.4 1.276 1.283 0.006

1.5 1.111 1.110 -0.001

1.6 0.977 0.972 -0.005

296

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Dacă extremităţile tălpii rezemate elastic nu sunt fixe, adoptarea valorii

pentru rigiditatea semicadrelor după relaţia (VIII.7) nu ar furniza siguranţa la

flambaj dorită. Pentru acest caz este necesară o dezvoltare a teoriei.

Aşa cum se poate observa în figura VIII.8b, constantele elastice ale

resorturilor intermediare se notează cu C1 şi constantele elastice ale resorturilor

de capăt cu C2.

Forţa de compresiune se va considera şi în acest caz constantă (lucru ce ne

situează de partea siguranţei). Prin raport cu CEng dedus din relaţia (VIII.7),

constanta elastică necesară a resorturilor trebuie mărită. Aceasta se poate face

în două feluri, fie se sporeşte valoarea lui C1 şi rezultă C2 sau se procedează

invers. Rezultă deci:

(VIII.10) EngCνC 11 =

Dacă se alege cu valoare mare, atunci rigiditatea în sens transversal a

cadrelor finale rezultă mai mică. Pentru o valoare aleasă a lui , constanta

elastică ce defineşte rigiditatea necesară a cadrelor finale poate fi stabilită cu

formula:

1ν

1ν

(VIII.11) CνC Eng22 =

în care

21

221112 bcosbcosh

bsinabsinhaπνβ

ν±

=m (VIII.12)

121

2121

1

121 m

m

mν

βπnb;

ν

νa ,, == (VIII.13)

Semnele + sau - se bazează, cel de sus pe o formă de flambaj simetrică,

semnul de jos pe o formă de flambaj antisimetrică. În ambele cazuri trebuie

demonstrat că cea mai mare valoare a lui C2 este hotărâtoare pentru

dimensionarea cadrelor finale. Relaţiile (VIII.12), (VIII.13) au fost dezvoltate de

CHWALLA. SCHWEDA, găsise anterior soluţia pentru rezemarea discretă. Se

297

Factorul de mărire 1ν poate fi ales arbitrar, de exemplu de la 1.1 la 1.5

Dacă 1ν este mic, cadrele finale rezultă foarte rigide, dacă 11 =ν rezultă ∞=2C .


poate demonstra că soluţiile în cazul rezemărilor discrete şi continue pentru

practic coincid. 3121 ..β ÷≥

Pentru grinzile de formă trapezoidală, procedeul prezentat pentru cazul

tălpilor paralele trebuie completat astfel încât cadrele finale servesc şi la

rezemarea diagonalelor de capăt. Valoarea lui C2 conform relaţiei (VIII.11)

trebuie sporită cu:

PνCΔ ki

22 l

= sau 2

2 lDνCΔ k= (VIII.14)

În relaţia de mai sus este efortul în diagonală multiplicat cu

şi l2 este lungimea diagonalelor.

)Pν(Pν kki

)ν(ν kki

Aceste considerente teoretice au stat la baza relaţiilor de calcul pentru

verificarea la stabilitate (flambaj lateral) a tălpii superioare comprimate din

SR 1911/98 [106], prezentate în capitolul V.

Calculele exacte ale problemelor de cedare prin flambaj şi în ceea ce

priveşte teoria de ordinul al II-lea pot fi, în multe situaţii, simplificate în modul

prezentat în paragraful precedent, iar verificările se vor rezuma la o jumătate de

deschidere. Condiţiile de margine trebuie introduse atunci cu respectarea formei

de pierdere a stabilităţii (Fig. VIII.9).

Figura VIII.9

Deformaţiile iniţiale ale semicadrelor transversale apărute ca urmare a

încovoierii antretoazelor încărcate direct (Fig. VIII.10) pot fi eliminate prin faptul că

298


a) c)

b) d)

Figura VIII.10

În figura VIII.10c,d sunt arătate schemele corespunzătoare calculelor

făcute după metoda matricilor de translaţie sau procedeul marilor deplasări.

Cuplările resorturilor pomenite în paragraful VIII.2.1 apar frecvent în cazul

construcţiilor moderne. Figura VIII.11a prezintă schematizat o talpă comprimată

rezemată elastic discret pe o grindă cu un capăt liber, grindă ce se poate

încovoia.

Pentru utilizarea metodei matricilor de translaţie, calculul trebuie condus în

următoarele etape:

299

în primul rând se calculează deplasările transversale sub acţiunea unei încărcări

multiplicate cu 1ν , aceste deplasări fiind notate cu 0aΔ (Fig. VIII.10a).

Această stare va fi considerată momentul zero sau altfel spus starea iniţială,

ceea ce înseamnă că forţele din resorturi se deduc întâi din 0aΔ (Fig. VIII.10b).


1. În primul rând se calculează deplasările punctelor de legătură prin

introducerea unor forţe unitare. În punctul unde acţionează forţa unitară,

deplasarea provine atât din încovoierea locală a grinzii, cât şi din

comprimarea resortului, aaδ . Punctele vecine suferă deplasări care sunt

determinate doar de încovoierea grinzii, baδ (Fig. VIII.11b).

a)

b)

c)

d)

Figura VIII.11

Cu ajutorul deplasărilor este construită matricea [ ]D :

300


(VIII.15) [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

.δ..δδ..

...δ

..δδ

D

ba

abaa

21

1211

2. Din [ ]D se construieşte matricea de revenire [ ]C :

(VIII.16) [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

.C..CC..

...C

..CC

C

ba

abaa

21

1211

Matricea [ se mai numeşte matrice elastică. Calculul în mod direct al lui

este arătat în figura VIII.11c: toate punctele de legătură sunt fixate şi

unuia (de exemplu punctului a) i se imprimă deplasarea 1. Reacţiunea ca

urmare a acestei constrângeri furnizează coloana a în matricea [ .

]C

[ ]C

]C

3. Starea de deformaţie a problemelor de stabilitate sau de eforturi unitare

corespunzând teoriei de ordinul al II-lea se poate descrie prin deplasările

aΔ . Dacă sunt prevăzute n puncte de rezemare, ecuaţiile de echilibru în

sens transversal, conform cu figura VIII.11d se pot scrie sub forma:

)n,...,,a( ΔCTT

...ΔCΔCTTn

bbabaral

babaaaaral

210

0

1==∑+−

=+++−

=

(VIII.17)

Ecuaţiile momentelor la noduri sunt:

(VIII.18) )n,...,a( MM aral 210 ==+

Înlocuirea mărimilor şi ale grinzii (Fig. VIII.11 d) prin formulele de

bază ale procedeului marilor deplasări furnizează ecuaţii pentru

unghiuri de rotire a nodurilor şi deplasări nodale

M T

n2 n

φ n Δ . Ecuaţiile

cinematice ale deplasărilor se consideră sub forma:

ab

abab l

Δ−Δ=ψ (VIII.19)

4. În cazul unei probleme de pierdere a stabilităţii prin flambaj, valoarea

proprie se stabileşte din condiţia ca determinantul sistemului dat de

301


relaţiile de echilibru (VIII.17), (VIII.18) să fie nul. Pentru stabilirea

eforturilor în cazul unei analize de ordinul II, sistemul de ecuaţii se rezolvă

după deplasările nodale şi de aici se deduc mărimile pe secţiunea

transversală.

KLÖPPEL şi EBEL au arătat cum poate fi calculată matricea [ în cazul

podurilor cu calea jos fără montanţi (Fig. VIII.12a).

]D

a)

b)

Figura VIII.12

Pe baza multor studii parametrice efectuate a fost propus ca model de

studiu înlocuitor cel din figura VIII.12b, rigiditatea cadrelor fiind calculată neţinând

seama de cuplarea resoturilor. Încercări efectuate pe modele au confirmat faptul

că prinderea diagonalelor de talpa comprimată prezintă rigiditate la încovoiere.

VIII.2.3 Determinarea practică a încărcării critice Fenomenul de flambaj lateral poate apărea în cazul podurilor metalice

realizate pe grinzi cu zăbrele atunci când încărcarea provenită din sarcinile

exterioare din exploatare depăşeşte o anumită valoare. Pentru determinarea

302

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE practică a valorii încărcării critice se consideră ca exemplu o grindă cu zăbrele ca

cea din figura VIII.13 [78].

Figura VIII.13

Talpa superioară a grinzii cu zăbrele din figura de mai sus este comprimată

datorită forţelor axiale din diagonale, forţe care cresc dinspre reazeme către

mijlocul deschiderii. Pentru o anumită valoare a acestor forţe, talpa superioară va

flamba lateral şi se va deforma în plan orizontal. Modelul de calcul [78], pentru

determinarea încărcării la care talpa îşi pierde stabilitatea, consideră talpa ca o

grindă continuă pe reazeme elastice.

Dacă numărul de reazeme este mare şi caracteristicile acestor reazeme sunt

identice, atunci grinda rezemată, în speţă talpa superioară, poate fi considerată în

comportare ca o grindă pe mediu elastic, aşa cum s-a precizat în paragraful

anterior.

Utilizând teorema energiei potenţiale totale, se poate determina valoarea

încărcării critice.

303


Ţinând cont de figura VIII.13 pentru simplificarea calculelor se vor face

următoarele ipoteze:

− secţiunile transversale ale tălpilor comprimate sunt constante şi nu sunt

rezemate decât la extremităţi unde grinzile cu zăbrele au cadre portal

puternice;

− montanţii sunt legaţi rigid de antretoaze, formând cadre transversale

deschise la partea superioară;

− rigidităţile la încovoiere ale diagonalelor întinse sunt neglijabile.

Deoarece sarcinile concentrate Fi variază în trepte (Fig. VIII.13) ele pot fi

înlocuite printr-o sarcină uniform distribuită cu distribuţie liniară, variind de la

valoarea maximă p0 în dreptul reazemelor, până la 0 în secţiunea de la mijlocul

deschiderii. Se poate admite pentru variaţia încărcării o lege de forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

lxppx

210 (VIII.20)

Într-o secţiune oarecare x, forţa axială din talpă va avea expresia:

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+=

lxxpx

lxppxppN x 121

21

21

0000 (VIII.21)

considerând o încărcare uniform distribuită pe lungimea x, încărcare a cărei

valoare este egală cu media valorilor p0 şi px.

Ţinând seama de cele precizate în paragrafele anterioare, aplicând la

extremitatea superioară a montanţilor cadrelor transversale deschise forţe

unitare şi exprimând deplasarea relativă, în ipoteza în care tălpile superioare

flambează simetric în raport cu un plan longitudinal vertical, se poate scrie

(Figura IV.14, capitolul IV):

av

rel EIdh

EIhy

23

2 += (VIII.22)

Pentru o singură talpă:

av

rel

EIdh

EIhyy

22

23

+== (VIII.23)

Forţa necesară pentru a imprima sistemului o deplasare egală cu 1 va fi:

304


av EIdh

EIhy

2

1123

+= (VIII.24)

Pentru un mediu deformabil, aşa cum am considerat că este cel pe care

reazemă talpa superioară a grinzii cu zăbrele, trebuie avută în vedere reacţiunea

unitară pe metru de lungime, deci rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

av EIdh

EIh

yr

2

11

23

11 ll

(VIII.25)

Admiţând pentru axa deformată a tălpii superioare o curbă de forma

şi aplicând teorema variaţiei energiei potenţiale totale, ecuaţia de

echilibru critic are forma:

( )xyy =

(VIII.26) 0=+ defext ΠΠ

În cazul flambajului energia potenţială a forţelor exterioare este:

dxyrdxyxxpdxyrdxyNΠl'll'l

ext

221

22

2

0

2

00

2

0

2

0∫+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫−=∫+∫−=

l (VIII.27)

iar energia potenţială de deformaţie:

∫ ∫+=Πl l

yy

def dxwEIdxEIM

0 0

2''2

21

21 (VIII.28)

Din egalarea relaţiilor (VIII.27) şi (VIII.28) rezultă:

∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∫+∫=

l'

l''

y

l

cr,

dxyxx

dxyEIdxyrp

0

2

0

2

0

2

0

1l

(VIII.29)

Curba ( )xyy = are un număr de semiunde care depinde de

deformabilitatea mediului. Pentru dimensiunile uzuale ale elementelor de poduri

pe grinzi cu zăbrele este suficientă studierea flambajului simetric cu una şi două

semiunde.

În cazul flambajului simetric cu o semiundă se propune admiterea unei axe

deformate a tălpii descrisă de funcţia sinusoidală:

305


lxπsinαw = (VIII.30)

Condiţii de margine sunt:

00000

===

===''

''

y;y...xy;y...x

l (VIII.31)

Înlocuind y, y' şi y'' în formulele lui po,cr şi efectuând integralele rezultă:

( γ.EIπ

p ycr, += 16283

2

0 l) (VIII.32)

relaţie în care

yEIπrγ 4

4l= (VIII.33)

Aplicând însă teorema variaţiei energiei potenţiale totale şi admiţând o

curbă înlocuitoare pentru axa deformată cu doi parametri, de forma:

llxπsinαxπsinαy 31 += (VIII.34)

rezultă:

( γ.EI

πp ycr, += 12483

20 l

) (VIII.35)

ceea ce reprezintă o soluţie mai exactă decât precedenta.

Pentru flambajul antisimetric cu două semiunde se consideră o curbă de

forma:

lxπsinαw 2

= (VIII.36)

Condiţii de margine care se pot scrie de această dată sunt:

(VIII.37) 002

000===

===''

''

y;y.../xy;y...x

l

Înlocuind y, y' şi y'' în ecuaţia curbei adoptate şi efectuând integralele

rezultă:

( γ.EI

πp ycr, += 165013

20 l

) (VIII.38)

306

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Pentru determinarea reacţiunii unitare limită, care separă flambajul simetric

de cel antisimetric vom egala valorile încărcărilor critice p0,cr obţinute pentru cele

două situaţii:

(VIII.39) ( ) ( γ.λ. +=+ 165011628 ) Rezultă

yEIπ

r.γ 4

4

162 l== (VIII.40)

şi

444 210162

llyy

limEIEI

π.r == (VIII.41)

Se poate concluziona deci că în cazul în care 4210l

yEIr < deformata critică

a tălpilor comprimate ale structurilor de poduri pe grinzi cu zăbrele are o singură

semiundă, în caz contrar deformata critică având două semiunde.

VIII.3 MODEL SIMPLIFICAT DE CALCUL PROPUS

Problema stabilităţii tălpii comprimate a podurilor pe grinzi cu zăbrele a fost

tratată de-a lungul timpului în diferite lucrări, de către numeroşi autori ca

Timoshenko [90], Engesser, Chwalla, Bleich [61] .

Deoarece la vremea respectivă nu se dispunea de mijloacele numerice şi de

tehnica de calcul existentă în prezent, pentru rezolvarea problemelor de

stabilitate ale unor structuri complexe, aşa cum este şi flambajul lateral al tălpii

comprimate la poduri, erau propuse metode şi modele simplificate de calcul. O

parte dintre aceste metode au fost prezentate în paragrafele precedente ale

acestui capitol.

Totuşi, modelul de calcul simplificat utilizat cel mai adesea este cel propus

de Engesser [16], [39], [61], al grinzii rezemate pe mediu elastic continuu. Aşa

cum s-a putut vedea din cele prezentate anterior, metoda de calcul este una

aproximativă, iar modelul are la bază următoarele ipoteze simplificatoare:

307


− tălpile grinzii cu zăbrele reazemă la capete pe semicadre rigide

(indeformabile), iar în lungul suprastructurii pe un mediu elastic

continuu, rezultat prin distribuirea rezemării elastice punctuale,

determinată de existenţa semicadrelor formate din antretoaze şi montanţi;

− tălpile grinzilor principale sunt paralele şi au aria şi momentul de inerţie

constante pe toată lungimea (în caz contrar se pot considera acoperitor

valorile medii);

− efortul axial de compresiune în talpă este considerat constant;

− tălpile superioare flambează cu un număr de semiunde necunoscut, o

semiundă conţinând însă un număr întreg de panouri ale tălpii superioare.

În prezent, numărul şi varietatea mare de programe şi metode numerice de

calcul fac posibilă analizarea problemei de stabilitate a tălpilor comprimate la

grinzile cu zăbrele, adoptând modele spaţiale de calcul, în care se ţine seama de

conclucrarea între toate elementele structurale. Astfel, apropierea modelului de

calcul de comportarea reală a structurii este mult îmbunătăţită şi în plus

problema stabilităţii tălpii comprimate poate fi studiată într-un mod mult mai

obiectiv.

Ipotezele simplificatoare ce stau la baza modelului Engesser, lucru

demonstrat de cercetări ulterioare în domeniu, conduc la valori mult acoperitoare

ale încărcării de flambaj a tălpii comprimate. Această situaţie, dacă ar fi utilizată

în proiectarea tălpilor superioare ale unei grinzi cu zăbrele, ar conduce la

supradimensionări şi deci la costuri mai ridicate ale construcţiei.

Chiar dispunând de programe de calcul sofisticate, cum sunt în prezent cele

bazate pe metoda elementelor finite, deşi furnizează rezultate destul de bune,

problema de studiat este destul de costisitoare din punct de vedere al timpului

necesar pentru realizarea modelului discret şi efectuarea unor analize de calcul

geometric neliniar pe baza cărora, trasând curbele încărcare-deplasare, să poată

fi estimată încărcarea de flambaj. Mai mult, datorită numărului mare de elemente

(cel mai adesea bare sau grinzi), în procesul de discretizare pot interveni erori de

modelare sau de introducere a datelor, care pot conduce în final la rezultate

308

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE eronate. Suplimentar, pentru modelarea şi rezolvarea unor astfel de structuri

spaţiale este nevoie şi de tehnică de calcul adecvată.

Acesta este motivul pentru care în acest capitol al lucrării este propus un alt

model de calcul, bazat bineînţeles pe modelele existente prezentate anterior, dar

ale cărui rezultate, aşa cum se va arăta în continuare, se apropie mai mult de

modelul discret spaţial decât modelul simpificat propus de Engesser. Modelul

simplificat oferă avantaje în ceea ce priveşte timpul necesar realizării modelului

discret şi poate fi realizat şi analizat cu ajutorul unor programe de calcul cu

elemente finite ce nu necesită tehnică de calcul foarte performantă.

VIII.3.1 Prezentarea modelului Pentru analizarea celor 4 tabliere de poduri metalice prezentate în capitolul

precedent au fost propuse două modele simplificate de calcul: un model pentru

tablierele podurilor peste Canalul Jiu şi pentru tablierul tipizat proiectat la ISPCF

care au cadrele finale înclinate şi un alt model pentru podul peste râul Olt şi

podul de pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău, la care cadrele finale sunt verticale.

Modelele simplificate de calcul presupun considerarea unei grinzi, a cărei

lungime rezultă prin proiectarea în plan orizontal a tălpii superioare şi

diagonalelor de capăt. Grinda are extremităţile fixe în cazul primului model şi

rezemate discret în cazul celui de-al doilea model. De-a lungul său grinda se

consideră că reazemă elastic dicret pe resorturi dispuse în secţiunile unde există

semicadrele transversale formate din antretoaze, montanţi şi diagonale sau

numai din antretoaze şi montanţi, pentru tablierele cu montanţi suplimentari. În

aceste secţiuni s-au considerat suplimentar şi resorturi cu rigiditate la rotire

determinată de intersecţia în nodurile tălpii superioare atât a tălpii şi montanţilor,

cât şi a diagonalelor.

Încărcarea ce produce fenomenul de flambaj lateral al tălpii s-a considerat

chiar forţa axială din talpă, aplicată sub forma unor încărcări concentrate de-a

lungul grinzii, în nodurile unde sunt dispuse semicadrele transversale. Aceste

forţe concentrate pot fi determinate fie printr-un calcul manual al grinzii cu

309


zăbrele, considerând nodurile articulate, fie printr-un calcul spaţial, modelând

discret întreaga structură şi preluând solicitările în talpa superioară ce rezultă

dintr-o astfel de analiză. Utilizând programul de calcul cu elemente finite LUSAS,

această ultimă metodă a fost utilizată şi în lucrare pentru determinarea valorilor

forţelor axiale în talpa superioară.

a)

b)

Figura VIII.14

Cele două modele simplificate de calcul sunt prezentate în figura VIII.14a şi b.

Analizând cele două figuri se observă că extremităţile grinzii, în cazul

primului model sunt fixe, considerându-se că diagonala de capăt, care este o

310

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE continuare a tălpii superioare, este prinsă în nodul de capăt, astfel încât

prinderea la nod împiedică translaţiile dar permite rotirea. În cazul celorlalte două

structuri, deoarece cadrele finale sunt verticale, deplasările în sens transversal

podului ale punctelor din vârful semicadrelor (reprezentând extremităţile grinzii

simplificate) sunt libere. Astfel, pentru realizarea modelului simplificat în acest

caz s-au considerat rezemări elastice discrete la capătul grinzii .

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii rezemată

elastic au fost considerate cele reale, deci variabile în lungul deschiderii.

Rigiditatea axială şi cea la rotire a resorturilor a fost determinată ţinând

seama şi de precizările existente în standardele europene în vigoare, DIN 18800

şi EUROCODE 3 [102], [103]. Aceste precizări au fost prezentate anterior, în

capitolul V. Pentru a determina rigiditatea axială a fiecărui resort, au fost

analizate cadrele spaţiale formate din antretoaze montanţi şi diagonale (cum

sunt cele din figura VIII.15 pentru tablierele podurilor peste Canalul Jiu şi cel

tipizat ISPCF, respectiv cele din figura VIII.16 pentru podurile peste râul Olt şi cel

de pe linia Podul Iloaiei-Hârlău) introducând în nodurile situate la extremităţile

superioare ale cadrelor forţe unitare. Pentru determinarea rigidităţii la rotire au

fost introduse în aceleaşi noduri momente încovoietoare egale cu unitatea.

Deoarece caracteristicile geometrice ale cadrelor transversale (ariile şi momente

de inerţie) diferă pentru fiecare cadru, fiindcă se schimbă dimensiunile secţiunilor

transversale ale tălpii inferioare, montanţilor şi diagonalelor, au fost efectuate

analize statice pentru fiecare cadru în parte.

Ţinând seama de mărimea deplasărilor transversale şi rotirilor nodurilor de

pe talpa superioară (Fig. VIII.15) ale fiecărui cadru, s-au determinat prin

inversarea acestor mărimi constantele elastice ale resorturilor.

Trebuie precizat faptul că resorturile cu rigiditate axială au fost modelate în

programul de calcul LUSAS cu elemente finite de bară dublu articulată – penduli

(BAR2, prezentate în Capitolul VII) ce pot prelua numai solicitări axiale. Aria

secţiunii transversale a fost determinată ţinând seama de rigiditatea axială a

resortului, presupunând că elementele au lungimea egală cu unitatea (1 metru),

pe baza relaţiei:

311


EkA l

= (VIII.42)

în care:

A reprezintă aria secţiunii transversale a resortului;

k este rigiditatea axială a resortului, determinată din analiza statică

efectuată pe semicadrele încărcate cu forţe şi momente egale cu unitatea;

l lungimea pendulilor presupusă egală cu unitatea (pentru simplificarea

analizei);

E modulul de elasticitate al oţelului ( N/mm2). 51012 ×= .E

Figura VIII.15

Talpa superioară comprimată reprezentând grinda ce reazemă transversal

pe resorturi, în cazul modelelor simplificate, a fost modelată cu elemente finite de

bară subţire BM3, a căror descriere şi formulare a fost prezentată în Capitolul VII,

utilizând pentru fiecare panou de talpă dintre noduri câte 4 elemente finite.

312


Figura VIII.16

Semicadrele spaţiale care au fost analizate (Fig. VIII.15, Fig. VIII.16) au fost

modelate spaţial cu elemente de bară subţire BS4, utilizând pentru toate

elementele semicadrului câte 4 elemente finite.

Pentru toate cele 4 tabliere, ţinând seama de modelele simplificate propuse,

s-au efectuat analize de valori proprii la flambaj, pentru estimarea încărcării la

care se produce fenomenul de pierdere a stabilităţii şi apoi s-a trecut la

efectuarea analizelor geometric neliniare pentru a aprecia comportarea celor

două modele simplificate, comparativ cu a modelelor discrete spaţiale

corespunzătoare.

Prima formă proprie de pierdere a stabilităţii este prezentată în figurile VIII.14a,b

şi trebuie menţionat faptul că pentru toate cele 4 tabliere, modelul simplificat

conduce la această formă.

Pentru a aprecia justeţea modelelor simplificate propuse, s-au analizat

comparativ, prin analize geometric neliniare efectuate cu ajutorul programului cu

elemente finite LUSAS următoarele structuri statice ale tablierului peste Canalul

Jiu:

1. Modelul spaţial ideal, fără imperfecţiuni;

2. Modelul simplificat propus de Engesser, ţinând seama de ipotezele

simplificatoare;

3. Modelul simplificat propus de SR 1911 (cu considerarea imperfecţiunilor);

4. Modelul simplificat propus în această lucrare, fără imperfecţiuni

313


Comportarea materialului a fost considerată pentru toate modelele ca fiind

liniar elastică.

Analizele geometric neliniare au fost efectuate aplicând încărcarea în paşi,

formularea utilizată pentru găsirea soluţiei a fost Total Lagrange, iar ca procedeu

incremental s-a utilizat metoda lungimii arcului modificat (formulată de Crisfield).

Incrementarea s-a făcut automat şi prin analiză, specificând programului

instrucţiuni specifice, s-a reuşit trasarea curbelor încărcare-deplasare ( )ΔP − ,

detectarea tipului de punct critic ce indică natura pierderii stabilităţii şi valoarea

factorilor de încărcare ce corespund atingerii acestui stadiu limită.

Curbele ΔP − pentru toate cele patru cazuri analizate sunt prezentate în

figura VIII.17, iar valorile factorilor de încărcare λ la care are loc fenomenul de

flambaj, precum şi deplasările transversale ale punctului situat pe talpa

superioară în mijlocul deschiderii la modelul spaţial, respectiv la mijlocul

deschiderii grinzii la modelul simplificat, sunt prezentate în tabelul VIII.2.

Curbe P-Δ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Engesser (b)

Mod_lucr (d)

Spatial (a)

STAS (c)

Figura VIII.17

314

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Tabelul VIII. 2

Modelul analizat Factor de încărcare λ

la flambaj

Deplasare Δ la flambaj

Model spaţial (a) 8.4136 0.184

Modelul Engesser (b) 5.3133 0.0367

Modelul din SR 1911 (c) 5.8456 0.0569

Modelul propus în teză (d) 8.6349 0.0964

Analizând tabelul VIII.2 se constată că modelele (b) şi (c) sunt foarte

acoperitoare, în timp ce factorul de încărcare furnizat de modelul (d) propus în

teză este destul de aproape de factorul de încărcare ce rezultă din analiza pe

modelul spaţial (diferenţa este de doar 2.5 %, dar în sens descoperitor). De

remarcat este faptul că deplasările ce rezultă din analiza pe toate modelele

simplificate sunt mult mai mici decât cele rezultate din analiză spaţială. Acest

lucru se datorează faptului că, prin introducerea pendulilor, se produce o limitare

a deplasărilor pe modelul simplificat.

În timp ce la modelul spaţial pierderea de stabilitate se produce prin

bifurcarea echilibrului, la toate modelele simplificate, datorită efectelor produse

de penduli (care limitează deplasările şi introduc în calculul de ordinul II forţe

neechilibrate mari, ei nerămânând verticali, ci înclinându-se aşa cum se vede în

figura VIII.14), flambajul se produce prin limitare şi nu prin bifurcare cum este

cunoscut că se întâmplă în cazul barei ideale Euler, dublu articulată şi cu forţe

axiale la capete.

Din punct de vedere al formei deformate, aşa cum reiese şi din figura VIII.18,

toate modelele simplificate tind în momentul flambajului către o formă cu trei

semiunde, lucru ce a reieşit şi din analiza de valori proprii de flambaj.

Metoda propusă în SR 1911/98 [106], ce ţine seama şi de prezenţa

imperfecţiunilor prin introducerea forţelor concentrate în secţiunile unde există

semicadre transversale oferă deci un calcul acoperitor, ce poate fi utilizat pentru

verificările curente din proiectare.

315


Modelul propus în teză este mai apropiat de modelul spaţial, dar este

descoperitor, încărcarea de flambaj rezultată fiind puţin mai mare (cu aproximativ

2.6%) decât cea rezultată în urma efectuării analizei geometric neliniare pe

modelul spaţial.

Figura VIII.18

Aşa cum se va arăta mai departe în acest capitol, s-au făcut o serie de

analize ce demonstrează că modelul propus poate fi utilizat în locul modelului

discret spaţial, dacă se consideră nişte coeficienţi de siguranţă.

VIII.3.2 Analiza comparativă model simplificat-model spaţial Pentru a ilustra comportamentul celor două modele simplificate propuse în

raport cu modele spaţiale, s-au realizat analize geometric nelinare pe ambele

modele. Aceste analize au avut drept scop stabilirea diferenţelor care apar între

cele două modele şi găsirea unei strategii pentru validarea modelelor de calcul

simplificate.

Pornind de la considerentul că, aşa cum s-a arătat în Capitolul VII,

imperfecţiunile iniţiale de execuţie afectează, uneori semnificativ, stabilitatea şi

calculul de ordinul II al tălpii comprimate a podurilor pe grinzi cu zăbrele,

modelele simplificate au fost şi ele analizate pornind de la premiza că sunt

afectate de imperfecţiuni.

316

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Imperfecţiunile au fost considerate similare cu cele presupuse la modelele

spaţiale şi anume o deformată iniţială cu trei semiunde şi valoarea maximă a

deformatei 5000

Le = . Deschiderea grinzii simplificate a fost considerată egală cu

lungimea tălpii superioare la care s-a adăugat proiecţia pe orizontală a

diagonalelor de capăt, în cazul tablierelor peste Canalul Jiu şi cel tipizat proiectat

de ISPCF. Pentru tablierul podului peste râul Olt deschiderea grinzii simplificate

a fost chiar lungimea tălpii superioare, iar pentru tablierul podului de pe linia

Podul Iloaiei-Hîrlău s-a considerat de asemenea proiecţia tălpii superioare

parabolice pe orizontală.

În curbele încărcare-deplasare ( ΔP − ) obţinute ca urmare a analizelor

neliniare efectuate s-a monitorizat pentru toate modelele deplasarea punctului

situat pe talpa superioară pe una dintre grinzi (pentru care s-a verificat că

deplasările sunt mai mari) şi aflat în secţiunea din mijlocul deschiderii.

În acestă etapă, comportarea materialului a fost considerată liniar elastică.

Curbele ΔP − obţinute pentru toate cele 4 tabliere şi pentru modelele

simplificate corespunzătoare sunt prezentate în figurile VIII.19 – VIII.22.

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e

Inca

rcar

e ( λ )

Mod_simplif

Mod_spatial

Figura VIII.19 Tablier peste Canalul Jiu (model simplificat şi spaţial)

317


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

( λ)

Mod_simplifMod_spatial

Figura VIII.20 Tablier tipizat ISPCF (model simplificat şi spaţial)

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Deplasare [m]

Fact

or d

e

inca

rcar

e (λ

)


Figura VIII.21 Tablier peste râul Olt (model simplificat şi spaţial)

318


Curbe P-Δ

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

Deplasare [m]

Fact

or d

e

inca

rcar

e (λ)


Figura VIII.22 Tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău

(model simplificat şi spaţial)

Dacă se limitează analizele geometric neliniare la atingerea limitei de

curgere pe secţiunea transversală a panoului de talpă considerat, se pot

determina valorile factorilor de încărcare λ şi deplasărilor pentru modelele

simplificate comparativ cu cele spaţiale.

În figurile VIII.23 – VIII.26 sunt reprezentate curbele ΔP − pentru modelele

simplificate şi pentru cele spaţiale cu limitare la momentul atingerii lui , iar în

tabelul VIII.3 sunt date valorile factorilor de încărcare

cσ

λ şi ale deplasărilor Δ

pentru toate cele 4 tabliere, atât în varianta modelului discret spaţial, cât şi în

varianta modelelor simplificate propuse.

Trebuie precizat faptul că, în pasul de încărcare ce corespunde terminării

analizelor geometric neliniare datorită atingerii limitei de curgere a materialului,

deformatele pe ambele modele (spaţial şi simplificat) au trei semiunde. Aceste

forme deformate au fost deja prezentate în Capitolul VII pentru toate structurile

spaţiale analizate şi în figura VIII.14 din acestui capitol.

319


Curbe P-Δ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

Deplasare [m]

Fact

or d

e

Inca

rcar

e (λ )


Figura VIII. 23 Pod peste Canalul Jiu

Curbe P-Δ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)


Figura VIII.24 Tablier tipizat ISPCF

320


Curbe P-Δ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

( λ )

Mod_simplif

Mod_spatial

Figura VIII.25 Pod peste râul Olt

Curbe P-Δ

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Deplasare [m]

Fact

or d

e

inca

rcar

e ( λ)



321


322

Tabelul VIII.3

Tablierul λ la

atingerea cσ simplificat

λ la atingerea

cσ spaţial

Δ la atingerea cσ simplificat

Δ la atingerea

cσ spaţial

Pod peste Canalul Jiu 2.251 2.196 0.0298 0.0458

Tablier tipizat ISPCF 2.354 2.184 0.0573 0.0886

Tablier peste râul Olt 2.600 2.581 0.0519 0.0724

Tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău 1.934 1.780 0.0527 0.0760

Analizând tabelul de mai sus se poate vedea că valorile factorului de

încărcare la atingerea limitei de curgere a materialului, cσ sunt destul de

apropiate, dar totuşi se constată că fenomenul de flambaj al tălpii comprimate se

produce mai repede pe structura spaţială decât pe cea plană. Diferenţele

procentuale dintre valorile lui λ se situează în domeniul 2.4 – 7.96 %, cea mai

mare diferenţă dintre modele în privinţa factorului de încărcare fiind înregistrată

în cazul modelului tablierului de pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău, iar cea mai mică în

cazul tablierului peste Canalul Jiu.

Diferenţele dintre deplasări sunt însă relativ mari, fiind cuprinse în domeniul

28.31% - 35.32 %. Cea mai mare diferenţă corespunde modelului tablierului

tipizat ISPCF, iar cea mai mică tablierului peste râul Olt.

Cu ajutorul programului LUSAS se poate urmări evoluţia rigidităţii globale a

structurii în funcţie de evoluţia factorului de încărcare. Acest lucru este posibil

prin intermediul mărimii numită parametru curent de rigiditate (CSP – current

stiffness parameter) care a fost definită în capitolul VII al acstei lucrări. Trebuie

menţionat că acest parametru este o măsură a rigidităţii întregii structuri şi nu a

unui element particular al structurii.

Valoarea iniţială a CSP este 1.0, ea crescând pentru structurile care sunt

încărcate în stadiul de rigidizare (stiffening) şi reducându-se pentru structuri ce

sunt încărcate în stadiul de “înmuiere” (softening).

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE O valoare pozitivă a parametrului curent de rigiditate pune totdeauna în

evidenţă o porţiune stabilă a curbei încărcare-deplasare. În figurile VIII.27 – VIII.

30 este prezentată variaţia CSP cu încărcarea pentru toate cele 4 structuri, atât

pentru modelele spaţiale cât şi pentru cele simplificate.

Variatia rigiditatii

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Parametru rigiditate curent, CSP

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)


Figura VIII.27 Pod peste Canalul Jiu


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Parametru rigiditate curenta, CSP

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)



323



0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2


Fact

or d

e in

carc

are

(λ)




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2


Fact

or d

e in

carc

are

(λ)



324

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Deoarece s-a observat că diferenţele, în privinţa deplasărilor, între modelul

simplificat propus şi modelul spaţial sunt destul de mari, s-a încercat analizarea

tuturor modelelor simplificate pentru mai multe valori ale lungimii pendulilor,

intuindu-se că în calculul de ordinul II, acest parametru ar avea o oarecare

influenţă. S-au obţinut astfel graficele din figurile VIII.31 – VIII.34.

Curbe P-Δ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Deplasare [m]

Fact

or d

e In

carc

are

(λ)

Mod_simplifMod_spatialMod_simplif (5m)Mod_simplif (10m)

Figura VIII.31 Pod peste Canalul Jiu

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mod_simplifMod_spatialMod_simplif_5mMod_simplif_10m


325


Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.5 1 1.5 2

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)



Curbe P-Δ

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)


Figura VIII.34 Podul pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău

Din analizele efectuate şi prezentate în acest paragraf rezultă că modelele

simplificate propuse se apropie destul de mult în comportare de modelele

326

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE discrete spaţiale. În privinţa factorului de încărcare, se remarcă faptul că

(urmărind aspectul curbelor ΔP − din figurile VIII.19 – VIII.22) din punct de

vedere al fenomenului de flambaj, el are o valoare mai mare pentru modelul

simplificat, lucru ce conduce la concluzia că modelul simplificat plan introduce

nişte restricţii din punct de vedere al deplasărilor.

Prin limitarea analizei geometric neliniare la atingerea lui pe secţiune, se

constată că diferenţa între factorii de încărcare

cσ

λ nu mai este foarte mare,

limitele fiind precizate în tabelul VIII.3. Acest lucru conduce la concluzia că din

punct de vedere al solicitărilor pe secţiune, în domeniul elastic, modelele

simplificate sunt destul de apropiate de cele spaţiale, cu toate că se atinge

mai întâi pe modelul spaţial şi deci modelul simplificat propus este descoperitor.

Deplasările transversale ale punctului de pe talpă considerat diferă însă destul

de mult, comparativ cu factorii de încărcare. Aşa cum s-a intuit, în calculul de

ordinul II geometric neliniar, lungimea pendulilor în cazul modelului simplificat are

o oarecare influenţă, lucru demonstrat de tendinţa de apropiere a curbelor

cσ

ΔP −

ale modelelor simplificate de cea a modelului spaţial. Se poate deci determina o

lungime a pendulilor pentru care diferenţa deplasărilor între modelul simplificat şi

cel spaţial să fie în limite dorite.

Domeniul de interes în practica inginerească fiind cel situat înainte de

atingerea limitei de curgere, se va încerca în continuare în lucrare, să se facă o

echivalare a celor două modele, atât în ceea ce priveşte eforturile unitare pe secţiunea

transversală, cât şi deplasările, astfel încât modelul simplificat să nu mai fie

descoperitor.

VIII.3.3 Considerarea comportării neliniare a materialului

În toate analizele efectuate, comportarea materialului a fost considerată

liniar elastică. În continuare, pentru un singur model, se va încerca ilustrarea

influenţei considerării şi neliniarităţii fizice (a comportării neliniare a materialului)

asupra stabilităţii şi calculului de ordinul II al tălpii comprimate.

327


Deoarece scopul prezentului capitol a fost propunerea unui model

simplificat de calcul, modelul considerat a fost cel simplificat propus în situaţia

tablierului peste Canalul Jiu. Pentru analiza efectuată cu programul cu elemente

finite LUSAS s-au utilizat în dicretizare elemente finite de grindă subţire cu

secţiune transversală (BSX4), pentru care se poate defini şi neliniaritate de

material. Elementele finite sunt spaţiale, curbe, cu 4 noduri şi exclud existenţa

deformaţiilor provenite din forfecare (Fig. VIII.35).

Figura VIII.35 [113]

Formularea matematică a elementului finit BSX4 este identică cu cea

descrisă în capitolul VII pentru elementele BS4. Caracteristicile geometrice nu

mai sunt însă definite direct, ci se defineşte geometria indicând coordonatele (yi,

zi) ale fiecărui element rectangular care compune secţiunea (Fig. VIII.36),

programul calculând automat toate caracteristicile geometrice ce intervin în

matricea de rigiditate (arii, momente de inerţie, momente de tosiune, arii de

forfecare).

Figura VIII.36 [113]

y

z

2

3 4

1

123 4

123 4

12

3 4

12

3 4

328

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Elementul finit se poate utiliza împreună cu următoarele legi constitutive:

Tresca, Drucker-Prager, Von Mises, Mohr-Coulomb, putându-se simula

comportarea liniar elastică a materialului, elasto-plastică, plastică, vâscoasă,

starea de fisurare. Tipurile de încărcări ce pot fi utilizate cu acest element finit

sunt similare cu cele descrise pentru elementul finit BS4. Ca rezultate se obţin pe

lângă forţa axială, momentele încovoietoare, momentele de torsiune şi

deformaţiile specifice axiale, din încovoiere şi din torsiune.

Analizele geometric neliniare se pot efectua numai utilizând formularea

Total Lagrange. Restricţiile impuse în utilizarea elementului sunt legate de poziţia

celui de-al 4-lea nod central şi de curbura excesivă a elementului.

Pentru exemplificarea influenţei comportării neliniare a materialului asupra

factorului de încărcare în analizele de stabilitate şi în calculul de ordinul II, s-a

realizat o analiză combinată: geometric neliniară şi cu considerarea neliniarităţii

în comportarea materialului. Pentru simularea comportării neliniare a oţelului s-a

utilizat criteriul de cedare Von Mises, definind o curbă caracteristică de întărire

izotropică pentru oţelul OL 37 , care este prezentată în figura VIII.37.

Curba caracteristica întarire izotropica

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Deformatie specifica ε (%)

E

fort

unita

r σ [t

f/m2 ] σcurgere

Figura VIII.37

329


Criteriul von Mises utilizat este cel mai acceptat criteriu pe plan universal

pentru metale.

Relaţia propusă de Von Mises este:

( ) ( ) ( )[ 2223

232

2212

1cσσσσσσσ =−+−+− ] (VIII.43)

relaţie în care

σ1, σ2, σ3 sunt tensiunile principale între care există relaţia:

(VIII.44) 321 σσσ >>

iar σc reprezintă limita de curgere a materialului.

Într-o formă mai generală, criteriul de cedare von Mises se scrie astfel:

(VIII.45) zy,x,ji, ;)k,σ(f ij == 0

sau utilizând intensitatea tensiunilor normale, σi:

(VIII.46) 0=−= ci σσf

În relaţia (VIII.45) σij reprezintă componentele tensorului eforturilor

unitare în număr de nouă, iar k este un parametru ce diferă în funcţie de tipul

materialului şi caracterizează, pentru exemplul studiat, fenomenul de întărire izotropică.

Mărimea σi se poate exprima în funcţie de al doilea invariant al tensiunilor

deviatorice sub forma:

)s(Iσ i 23 ⋅= (VIII.47)

în care:

[ ]( )[ ]222222

3132212

32

22

1

1332212

33131

zxyzxyzxzyyxzyx τττσσσσσσσσσ

σσσσσσσσσ

)ssssss()s(I

+++−−−++=

=−−−++=

=++−=

(VIII.48)

Mărimile s1, s2, s3 reprezintă componentele tensorului deviator ce corespund

schimbării de formă.

Este cunoscut faptul că, în metoda elementelor finite, matricea de rigiditate

elementală este dată de expresia:

(VIII.49) [ ] [ ] [ ][ ]∫=V

T BDBk

330

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE în care [ este matricea geometrică de transformare a deplasărilor în

deformaţii specifice

]B δ

ε , iar [ este matricea de rigiditate a materialului sau de

transformare a deformaţiilor specifice

]D

ε în eforturi unitare σ .

Relaţiile în care intervin matricile [ ]B şi [ ]D definite mai sus sunt:

(VIII.50) { } [ ]{ }δBε =

(VIII.51) { } [ ]{ }εDσ =

(VIII.52) { } [ ][ ]{ }δBDσ =

În cazul comportării neliniare a materialului, matricea [ este notată de

regulă [ şi are forma:

]D

]

)

ωD

(VIII.53) [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

3

3

122

212

221

000000000000000000000000

ωω

ωωωωωωωωωω

'λDω

în care:

( )( νννE'λ

211 −+= este una din constantele lui Lamé (VIII.54)

E este modulul de elasticitate al materialului

ν este coeficientul lui Poisson

iar mărimile ce definesc comportarea elasto-plastică a materialului au

expresiile:

321 ω,ω,ω

( )

( )ωννω

νωνω

ννω

ννω

−−

=

+−=

−−−

=

12

2133

21

21321

3

2

1

(VIII.55)

Mărimea este un raport de depinde de alura curbei caracteristice a

materialului utilizat şi este definit în [123] sub forma:

ω

(VIII.56) ( ωεEσ xx −= 1 )

331


Se pot determina astfel matricile de rigiditate ale elementelor finite,

modificate în conformitate cu legea de cedare adoptată şi apoi, prin rezolvarea

sistemului de ecuaţii de echilibru ce caraterizează metoda elementelor finite se

pot calcula eforturile unitare şi deformaţiile specifice.

Aşa cum s-a precizat în capitolul anterior, calculul se face iterativ,

considerând că parametrul ω are iniţial valoarea zero, adică materialul se

comportă elastic. Se alcătuieşte matricea [ ]ωD , se rezolvă sistemul de ecuaţii de

echilibru şi se determină deplasările nodurilor, iar apoi utilizând

relaţiile (VIII.50) şi (VIII.52) se stabilesc eforturile unitare şi deformaţiile specifice,

inclusiv valorile σi.

[ ]{ } { }PΔK =

Se verifică apoi condiţia dată de relaţia (VIII.43), iar dacă această condiţie

este îndeplinită calculul se opreşte. Dacă nu, în elementele unde s-au înregistrat

depăşiri se recalculează σi în baza relaţiei (VIII.47) şi din curba caracteristică a

materialului, considerând se deduce ix σσ = ix εε = şi pe baza relaţiei (VIII.56)

se poate stabili o nouă valoare pentru mărimea . Se alcătuieşte din nou

matricea şi se reia calculul, care se opreşte în momentul în care diferenţele

ω[ ωD ]

Considerarea întăririi izotropice presupune că deformaţia plastică produce o

schimbare a suprafeţei de cedare, care creşte în dimensiune odată cu creşterea

deformaţiilor specifice plastice, dar îşi păstrează forma iniţială (Fig. VIII.38).

Figura VIII.38

σ

σσ 2

1

3

PoziÆia originalåPoziţia iniţială PoziÆia dupå întårire izotropicåPoziţia după întărire izotropică

332

între valorile eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice calculate sunt mai mici

decât o toleranţă admisă.

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Ţinând seama de aceste minime informaţii privind modelul neliniar utilizat în

comportarea materialului, trebuie specificat că limita de curgere a oţelului, de la

care începe definirea curbei de întărire izotropică, a fost considerată 240 N/mm2

(24000 tf/m2).

Modelul discret a presupus existenţa unei imperfecţiuni iniţiale geometrice

de forma abaterii de la forma rectilinie a axei barei, cu valoarea maximă

5000Le = aşa cum s-a considerat şi pentru modelul simplificat la care

comportarea materialului a fost presupusă liniar elastică. Forma deformatei

iniţiale a fost considerată ca şi până acum cu trei semiunde.

Aplicând încărcarea în trepte s-a efectuat analiza combinată geometric

neliniară şi fizic neliniară obţinându-se curbele încărcare-deplasare ΔP −

prezentate în figura VIII.39.

Curbe P-Δ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Deplasare [m]

Fact

or d

e in

carc

are

(λ)

Mat_liniarMat_neliniar

Figura VIII.39

Pentru a putea cunatifica influenţa considerării comportării neliniare a

materialului, s-au urmărit două situaţii:

− compararea valorii factorului de încărcare λ , urmărind alura curbelor

încărcare-deplasare complete, rezultate din analize geometric neliniare în

333


cele două situaţii (cu comportare liniar elastică a materialului şi respectiv

cu comportare plastică);

− compararea valorii lui λ în cazul în care deplasarea elastică suplimentară

y a tălpii în sens transversal este limitată la valoarea maximă 500L , aşa

cum s-a procedat şi în capitolul VII. y este surplusul de deformaţie ce

intervine în relaţia:

0eyV += (VIII.57)

V fiind deplasarea elastică totală, iar mărimea imperfecţiunii iniţiale. 0e

Rezultatele au fost centralizate în Tabelul VIII.4.

Tabelul VIII.4

Tipul de material considerat λ la atingerea lui

500Lymax = pe

modelul cu material elastic liniar

Liniar elastic 4.588

Neliniar (întărire izotropică) 1.982

Aşa cum se observă din analizarea figurii VIII.39, considerarea comportării

neliniare a materialului influenţează semnificativ calculul la stabilitate şi de ordiul

II al modelului simplificat propus. Din curbele ΔP − se observă diferenţa foarte

mare între încărcările de pierdere a stabilităţii prin flambaj între cele două modele

cu materiale diferite (se constată o reducere a factorului de încărcare de peste 4

ori).

Dacă analiza se limitează la atingerea lui pe secţiune pentru modelul

simplificat pentru care materialul a fost considerat cu comportare liniară, se poate

remarca faptul că pe această zonă, nu există diferenţe între cele două curbe

încărcare-deplasare, deoarece materialul se situează încă în domeniul de

comportare elastică. Alegând însă ca moment de limitare a analizei criteriul de

deplasări elastice expus anterior, valoarea factorului de încărcare se reduce de

2.31 ori.

cσ

334

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Din cele prezentate mai sus rezultă diferenţa evidentă între comportarea

celor două modele, atunci când se ţine seama şi de neliniaritatea fizică (de

material).

Analiza geometric neliniară cu considerarea comportării neliniare a

materialului s-a efectuat doar pentru modelul simplificat deoarece, cuplarea celor

două analize este greu de realizat pentru modele de dimensiuni mari cum sunt

cele spaţiale prezentate în capitolul VII.

Acest studiu a fost prezentat numai cu titlu informativ, comportarea neliniară

a materialului nefăcând parte din obiectul de studiu al cărţii. Totuşi exemplul

demonstrează importanţa considerării comportării reale a materialului într-o

analiză de ordinul II.

VIII.3.4 Abace de calcul Aşa cum s-a arătat anterior, atingerea limitei de curgere are loc mai

repede în cazul analizelor ce consideră modelele spaţiale (pe modelul spaţial

cσ

σ

se determină cu formula de la încovoiere oblică, aportul momentului după axa

normală la planul de flambaj fiind acela care determină valoarea mai mare a

tensiunilor decât la modelul plan, unde încovoierea cu forţă axială este într-un

singur plan), deci din acest punct de vedere modelele simplificate de calcul

propuse sunt descoperitoare. În plus, valorile deplasărilor sunt şi ele diferite între

cele două modele, constatându-se că ele sunt mai mari în cazul modelelor

discrete spaţiale.

Pentru a putea utiliza în condiţii de siguranţă modelele simplificate propuse,

plecând de la premiza că valorile factorilor de încărcare λ la atingerea limitei de

curgere într-un punct al secţiunii transversale, precum şi valorile deplasărilor cσ

Δ la acelaşi moment sunt mai apropiate de valorile reale, în cazul considerării

modelului de calcul discret spaţial, s-a urmărit determinarea unor coeficienţi care

să echivaleze cele două modele.

335


Studiul s-a făcut presupunând ca parametru de variaţie înălţimea grinzilor

principale cu zăbrele ale modelelor spaţiale, în timp ce deschiderea a fost

considerată cu valoarea corespunzând situaţiei existente pentru fiecare dintre

cele 4 tabliere. Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale ale barelor

au fost păstrate constante în cadrul analizelor. S-a ales această modalitate de

studiu deoarece variind înălţimea grinzilor principale între anumite limite, variază

şi unghiul de înclinare al diagonalelor grinzilor principale (Fig. VIII.40). α

Figura VIII.40

Valoarea unghiului de înclinare a diagonalelor este un parametru foarte

important ce defineşte geometria grinzilor principale, iar limitele sale de variaţie

au fost considerate între 45-60o, ţinând seama de prevederile constructive

existente în standardele în vigoare. Mărimea unghiului se poate stabili cu relaţia:

LHarctanα = (VIII.58)

Valoarea unghiului de înclinare a diagonalelor este deci un parametru cu

caracter mai general, el putând avea aceeaşi valoare pentru mai multe seturi de

valori ale deschiderii panoului ( 'λ ) şi înălţimii grinzii (H ) (Fig. VIII.40), putându-se

trece uşor, prin extrapolare, de la valoarea lui H la valoarea corespunzătoare a

lui α .

Studiul propus în continuare are drept scop stabilirea unor coeficienţi cu

care să fie afectate eforturile unitare σ şi deplasările Δ obţinute prin analiză geometric

neliniară pe modelul simplificat pentru a ajunge la limita de curgere a oţelului

OL37, respectiv la deplasările de pe modelul spaţial considerate ca fiind

apropiate de realitate.

cσ

336

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Relaţiile de echivalare a eforturilor unitare şi deplasărilor în condiţiile precizate

mai sus vor fi:

spσ

s σcσ

≤ (VIII.59)

spΔ

s ΔcΔ

≤ (VIII.60)

În relaţiile de mai sus intervin următoarele mărimi:

sσ valoarea ef. unitare pe modelul simplificat de calcul propus la pasul de

încărcare λ corespunzător atingerii lui pe modelul spaţial; cσ

spσ valoarea ef. unitare pe structura spaţială, considerată la limită egală cu

limita de curgere ; cσ

σc coeficientul de echivalare al eforturilor unitare;

sΔ valoarea deplasărilor transversale ale nodului situat în mijlocul

deschiderii grinzii pentru modelul simplificat, în momentul atingerii lui

pe modelul spaţial; cσ

spΔ valoarea deplasărilor transversale ale nodului situat în secţiunea de

mijloc a tălpii superioare pe modelul spaţial, la atingerea lui într-un

punct al secţiunii tălpii pe acest model;

cσ

Δc coeficientul de echivalare al deplasărilor.

În analizele efectuate ambele modele au fost presupuse ca fiind afectate de

imperfecţiuni de execuţie iniţiale, abateri de la forma rectilie a axei barei, de

forma unor deformate sinusoidale cu trei semiunde (pentru structura spaţială

semiundele fiind în acelaşi sens), valoarea maximă a deformatei fiind

considerată ca şi până acum egală cu 5000Le = .

Calculele au decurs în mai multe etape pentru fiecare dintre cele 4 tabliere

analizate:

− s-au efectuat mai întâi analizele geometric neliniare pe modelele discrete

spaţiale, pentru 10 valori ale înălţimii H ale grinzilor principale situate în

337


domeniul de existenţă al unghiului α obţinându-se 10 valori pentru

eforturile unitare spσ şi pentru deplasările spΔ . Este de menţionat faptul că

analizele au fost limitate la momentul când csp σσ = . Valorile lui spσ s-au

determinat pe baza relaţiei corespunzând încovoierii oblice cu forţă axială

prezentată în Capitolul VII;

− s-au efetuat analizele liniare pentru stabilirea eforturilor axiale în tălpile

superioare şi diagonalele de capăt ale modelului spaţial care devin

încărcări pe modelul simplificat propus (solicitările din diagonale au fost

considerate proiectate pe orizontală, aşa cum s-a precizat la începutul

acestui capitol, la prezentarea modelului de calcul simplificat propus).

− s-au efectuat analizele geometric neliniare pe modelele simplificate

propuse, ţinând seama de variaţia secţiunii pendulilor şi de variaţia

rigidităţii la rotire a resorturilor de pe modelul simplificat, variaţie apărută

ca urmare a modificării înălţimii semicadrelor transversale. Ca urmare a

acestor analize, limitate şi ele la atingerea lui cσ pe modelul spaţial, s-au

obţinut 10 valori pentru eforturile unitare sσ şi 10 valori pentru deplasările

transversale sΔ . Eforturile unitare în cazul modelelor simplificate au

fost calculate cu relaţia de la încovoiere cu forţă axială în plan.

Ţinând apoi seama de relaţiile (VIII.59) şi (VIII.60) s-au determinat câte 10

valori pentru coeficienţii , respectiv în cazul fiecărei structuri. σc Δc

Reprezentând grafic coeficienţii astfel determinaţi în funcţie de valorile

înălţimilor grinzilor principale (valori considerate pe domeniul în care poate varia

unghiul definit anterior) s-au obţinut abacele prezentate în figurile de mai jos

VIII.41 – VIII.48. Valorile coeficienţilor au fost corelate obţinându-se natura

funcţiei şi coeficienţii de corelare prezentaţi şi ei în graficele corespunzătoare

fiecăruia dintre cele 4 tabliere.

α

338


Coeficienti de echivalare tensiuni, σ

y = -0.0063x2 + 0.0677x + 0.697R2 = 0.9776

0.5

1

4.1 4.6 5.1 5.6 6.1 6.6 7.1

Inaltimea tablierului, H [m]

Cor

fient

ul C

σ

Figura VIII.41 Coeficienţii pod peste Canalul Jiu σc

Coeficienti de echivalare deplasari, Δ

y = -0.0082x2 + 0.0632x + 0.4734R2 = 0.9987

0.5

1

4.1 4.6 5.1 5.6 6.1 6.6 7.1

Inaltimea grinzii, H [m]

Coe

ficie

ntul

C∆

Figura VIII.42 Coeficienţii pod peste Canalul Jiu Δc

Coefienti de echivalare tensiuni, σ

y = -0.0031x2 + 0.0545x + 0.6871R2 = 0.9953

0.5

1

5.4 6.4 7.4 8.4 9.4 10.4


Coe

ficie

ntul

Cσ

Figura VIII.43 Coeficienţii tablier tipizat ISPCF σc

339



y = -0.0041x2 + 0.0654x + 0.326R2 = 0.9393

0.5

1

5.4 6.4 7.4 8.4 9.4 10.


Coe

ficie

ntul

C∆

4

Figura VIII.44 Coeficienţii tablier tipizat ISPCF Δc

Coeficienti de chivalare tensiuni, σ

y = 0.0003x3 - 0.0067x2 + 0.0569x + 0.78R2 = 0.9944

0.5

1

4.7 5.2 5.7 6.2 6.7 7.2 7.7 8.2 8.7


Coe

ficie

ntul

Cσ

Figura VIII.45 Coeficienţii pod peste râul Olt σc


y = 0.0007x3 - 0.0172x2 + 0.1509x + 0.2663R2 = 0.992

0.5

1

4.7 5.2 5.7 6.2 6.7 7.2 7.7 8.2 8.7


Coe

ficie

ntul

C∆

Figura VIII.46 Coeficienţii pod peste râul Olt Δc

340


Coeficienti de echivalare tensiuni, σ

y = 0.0062x2 - 0.0742x + 1.1565R2 = 0.9957

0.5

1

3.9 4.4 4.9 5.4 5.9 6


Coe

ficie

ntul

Cσ

.4

Figura VIII.47 Coeficienţii tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău σc


y = -0.0034x2 + 0.0105x + 0.6276R2 = 0.9897

0.5

1

3.9 4.4 4.9 5.4 5.9 6.4


Coe

ficie

ntul

C∆

Figura VIII.48 Coeficienţii tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău Δc

Valorile coeficienţilor şi , pe baza cărora s-au realizat abacele

prezentate, sunt date în tabelele VIII.5 – VIII.8.

σc Δc

341


Tabelul VIII.5 Pod peste Canalul JIU

Înălţimea H [m] σc Δc 4.20 0.869112 0.59312

4.30 0.872296 0.593824

4.60 0.875044 0.591366

4.80 0.87604 0.588582

5.10 0.878426 0.58309

5.40 0.87804 0.575705

5.70 0.878117 0.566572

6.00 0.875657 0.556793

6.30 0.873362 0.545554

6.60 0.86881 0.534474

Tabelul VIII.6 Tablier tipizat ISPCF


5.90 0.903342 0.568828

6.30 0.908265 0.578035

6.70 0.914913 0.58072

7.10 0.919118 0.584454

7.50 0.922509 0.584795

7.90 0.925069 0.583986

8.47 0.929368 0.582411

9.00 0.928505 0.580383

9.50 0.927644 0.578369

342

STABILITATEA PODURILOR METALICE CU IMPERFECŢIUNI DE EXECUŢIE Tabelul VIII.7 Pod peste râul Olt


5.20 0.932836 0.683527

5.50 0.935454 0.688705

5.80 0.93633 0.69735

6.20 0.938967 0.700771

6.60 0.941 0.708717

7.20 0.942507 0.713776

7.50 0.942507 0.71736

7.90 0.942507 0.723066

8.40 0.943396 0.722022

Tabelul VIII.8 Tablier pe linia Podul Iloaiei-Hîrlău

Înălţimea H [m]* σc Δc 3.92 0.961538 0.618047

4.18 0.95511 0.610874

4.42 0.948767 0.606796

4.70 0.944287 0.60024

5.00 0.940734 0.593472

5.25 0.938967 0.587544

5.50 0.93633 0.584112

5.70 0.935454 0.578369

5.90 0.935454 0.573066

6.20 0.934579 0.558347

* În tabelul VIII.8 s-a specificat în coloana pentru H valoarea înălţimii

semicadrului din mijlocul deschiderii, înăţimea semicadrelor fiind variabilă,

deoarece grinda cu zăbrele este de formă poligonală.

343


Rezultatele obţinute pe modelele simplificate de calcul propuse se apropie

de o manieră satisfăcătoare de rezultatele obţinute pe modelele de calcul

spaţiale. Urmărind figurile VIII.41 – VIII.48 şi tabelele de valori se poate vedea că

diferenţele între valorile maxime şi minime ale aceluiaşi tip de coeficient nu sunt

mari, iar coeficienţii de corelare au valori foarte bune pentru tipurile de curbe de

corelare propuse.

Toate abacele sunt funcţii polinomiale de gradul doi sau trei.

Din analizele efectuate se poate concluziona că se poate efectua calculul

de ordinul II pe un model simplificat de tipul celui propus în lucrare, cu condiţia

evaluării eforturilor unitare şi deplasărilor ţinând seama de coeficienţii şi

prezentaţi în tabele. Pentru alte valori ale înălţimii (deci şi ale unghiului α ) în

domeniul considerat se poate intra în fiecare din grafice cu valoarea lui

σc Δc

H sau α

extrăgându-se valoarea corespunzătoare a coeficientului de echivalare.

Trebuie specificat însă, că pentru stabilirea unor coeficienţi universal valabili

este necesară o analiză mai aprofundată, pe un număr mai mare de tabliere,

variind şi dechiderile acestora.

344


BIBLIOGRAFIE

1. Badoux J. Cl. Conception des structures metalliques, Partie A, Notions fondamentales et dimensionnement des elements de constructions metalliques, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 1979

2. Baker G. Lateral buckling of nonprismatic cantilevers using weighted residuals, Journal of engineering mechanics, Vol. 119, Nr. 10, 1993

3. Ballio G. Design for strength (Stability), Second century of the skyscraper, Council of tall buildings and urban habitat, New York, 1983

4. Băluţ N. Some remarks concerning the buckling reduction factors, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

5. Băluţ N., Moldovan A.

Sensitivity of Steel Structures to different categories of imperfections, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

6. Bănuţ V. Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1981

7. Bathe K. J. Finite element procedures in engineering analysis, Prentice-Hall Inc., 1982

8. Bazant P. Zdenek, Cedolin Luigi

Stability of structures, Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories, Oxford University Press, New York, Oxford, 1991

9. Beedle S., Tall L.

Basic column strength, Journal of structural division, Vol. 86, Nr. 7, 1960

10. Beer H., Schultz G.

Bases théoriques des courbes européennes de flambement, Construction métallique, Nr. 3, 1970

11. Beer H., Schultz G.

Die Traglast des planmäßig mittig gedrückten Stabs mit imperfektionen, VDI – Zeitschrift, Vol. 111, Nr. 21, 23, 24, 1969

12. Beg D., Hladnik L.

Residual stresses at welded I-profiles made of high-strength steel and their influence on column strength, Nordic Steel Construction Conference, Vol. 1, Malmö, Sweden, 19-21 June, 1995

13. Beg D., Hladnik L.

Slenderness limit of Class 3 I Cross-sections made of high strength steel, Journal of Constructional steel research, Vol. 38, Nr. 3, 1996

14. Bjorhovde R. Research needs in stability of metal structures, Journal of structural division, Vol. 106, Nr. 12, 1980

15. Bondariuc V., Băncilă R. Poduri metalice. Calcul şi alcătuire, 1987

16. Bürgermeister G., Steup H., Kretzschmar H.

Stabilitätstheorie. Teil II mit Erläuterungen zu den Knick-und Beulverschriften, Akademie Verlag, Berlin, 1963

17. Chan S. L., Zhou Z. H.

Second-order elastic analysis of frames using simple imperfect element per member, Journal of structural engineering, Vol. 121, Nr. 6, 1995

18. Chen N. C. Solution of beam on elastic foundation by DQEM, Journal of engineering mechanics, Vol. 124, Nr. 12, 1998

345

BIBLIOGRAFIE

19. Collin P., Möller M.

On lateral torsional buckling of bridge girders near support, Nordic Steel Construction Conference, Vol. 1, Malmö, Sweden, 19-21 June, 1995

20. Crisfield M. A. Non-linear finite element analysis of solids and structures, Vol. 1 Essentials, John Wiley&Sons, 1991

21. Crisfield M. A. Non-linear finite element analysis of solids and structures, Vol. 2 Advanced topics, John Wiley&Sons, 1991

22.

Dalban C., Dima S., Chesaru E., Şerbescu C.

Construcţii cu structură metalică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1997

23. Drdácky M. Stability of perforated webs, Fourth International Colloquium on Structural Stability, Mediteranean Session, Istanbul, Sept. 16-20, 1991

24. Dubas P., Gehri E.

Behaviour and design of steel plated structures, ECCS – Technical Committee 8 – Structural Stability, Technical Working Group 8. 3 – Plated structures, Zürich, Switzerland, 1986

25. Dubina D., Georgescu M.

Interactive buckling of cold formed thin walled compression members. Design curves, Steel Structures, Eurosteel 1995, Kounadis 1995, Balkena, Rotterdam

26. Dunai L., Nézö J.

Interaction of stiffener-end-gap and stiffener size in the ultimate strength of thin-walled girders, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

27. Earls C. On the inelastic failure of high strength steel I-shaped beams, Journal of Constructional Steel Researc, Vol. 49, No. 1, 1999

28. Foucriat J. A propos de l’étude théorique du flambement des barres réelles, Construction métallique, Nr. 4, 1970

29. Fukumoto Yushi Structural stability design - Steel and composite structures, Elsevier Science, Tokyo, Japan, 1997

30. Ge H., Usami T.

Ultimate Strength of Steel Outstands in compression, Journal of Structural Engineering, Nr. 122, 1996

31. Georgescu M., Dubina D.

E.C.B.L. and EUROCODE 3 Annex Z based calibration buckling curves of compression steel members, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

32. Gheorghiu Al. Statica, stabilitatea şi dinamica construcţiilor, Ediţia a II-a, Editura didactică şi pedagogică, 1974

33. Gioncu V., Ivan M.

Bazele calculului structurilor la stabilitate, Editura Facla, Timişoara, 1983

34. Gioncu V., Ivan M.

Teoria comportării critice şi postcritice a structurilor elastice, Editura Academiei R. S. R., 1984

35. Greiner R., Offner R.

Validation of design rules for member stability of european standards – proposal for buckling rules, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

36. Gummandi L. N. B., Palazotto A. N.

Nonlinear analysis of beams and arches undergoing large rotations, Journal of engineering mechanics, Vol. 123, Nr. 4, 1997

37. Ioannidis G. I., Kounadis A. N.

Lateral elastic post-buckling analysis of elastically rotationally restrained I beam-colums, Steel structures, Eurosteel 1995, Kounadis 1995, Balkena, Rotterdam

346


38. Jacquet J. Essais de flambement et exploitation statistique, Construction métallique, Nr. 3, 1970

39. Jantea C., Varlam Fl.

Poduri metalice. Alcătuire şi calcul, Casa Editorială Demiurg, Iaşi 1996

40. Jaspart J. P, Briquet Ch., Maquoi R.

Étude comparative des diverses formules d’interaction des barres comprimées fléchies, Construction Metallique, Nr. 4, 1993

41. Johnson R. P., Chen S.

Stability of continous composite plate girders with U-frame action, Proc. Instn. Civ. Engineerings Structures and Building, Nr. 99, 1993

42. Kabir M. Z., Sherbourne A. N.

Lateral-torsional buckling of post local buckled fibrous composite beams, Journal of engineering mechanics, Vol. 124, Nr. 7, 1998

43. Krysl P. Complete stiffness matrices for buckling analysis of frames, Journal of engineering mechanics, Vol. 119, Nr. 2, 1999

44. Lagerqvist O., Johansson B.

Rezistance of I-girders to concentrated loads, Journal of Construction Steel Research, vol. 39, Nr. 2, 1996

45. Lindner J. Shear capacity of beams with trapezoidally corrugated webs and openings, Fourth International Colloquium on Structural Stability, Mediteranean Session, Istanbul, Sept. 16-20, 1991

46. Lindner J., Rusch A.

Influence of local buckling of flanges on the ultimate load of I-sections, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

47. Lui E. M. Geometrical imperfections on inelastic frame behaviour, Journal of structural engineering, Vol. 118, 1992

48. Mateescu D. Considération sur la valeur du coefficient de réduction pour le déversement des éléments fléchis, Construction Métallique Nr. 1/1994

49. Mateescu D. Influenţa eforturilor reziduale asupra stabilităţii unui element de oţel supus la compresiune, Stability of steel structures, Preliminary report, Liege, 13 – 15 april, 1997

50. Mateescu D., Apeltauer I., Cuteanu E.

Stabilitatea la compresiune a structurilor din bare de otel, Editura Academiei R. S. R., 1980

51. Mazilu P. Rezistenta Materialelor, Note de curs, 1983

52. Mc. Connel R. E. Force-deformation equations for initially curved laterally loaded beam columns, Journal of structural engineering, Vol. 118, Nr. 7, 1992

53. Michaltsos G. T., Sofianopoulos D. S., Petrovits N. E.

The effect of shear deformation on the lateral-torsional buckling of thin-walled steel members, Steel structures, Eurosteel 1995, Kounadis 1995, Balkena, Rotterdam

54. Mohri F., Kamal E.

Behaviour and instabilities of open thin-walled elements. Part 1: Behaviour, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

55. NAFEMS Lyons P., Holsgrove S.

Finite-element benchmarks for 2D beams and Axisymmetric Shells Involving geometric nonlinearity (Summary), NAFEMS, 1994

56. Nazmy A. S. Stability and load-carrying capacity of three-dimensional long-span steel-arch bridges, Computers and Strustures, Vol. 65, Nr. 6, 1997

57. Norric D. H. Finite-element method for instability analysis, Finite-element handbook, Mc. Grow Hill Company, 1987

347

BIBLIOGRAFIE

58.

Osterrieder P., Werner F., Friedrich M., Ortlepp O.

Advanced finite element analysis in engineering practice, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

59. Pantelides C. P. Buckling of elastic columns using convex model of uncertain springs, Journal of engineering mechanics, Vol. 121, Nr. 7, 1995

60. Pastrenak H., Schilling S., Engst W.

How welding does influence the ultimate load capacity of thin-walled structural members - an example. European Workshop Thin-Walled Steel Structures, 1996

61. Petersen Ch. Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2 Auflage, Berlin, 1982

62. Petrescu I., Popa N.

Comparative study of a bowstring arch bridge stability with various types of wind bracings, Stahlbau, Heft 2, 1999

63. Plumier A. The improvement of the load carrying capacity of webs by means of appropriate residual stresses, Stability of steel structures, Preliminary report, Liege, 13 – 15 april, 1997

64. Răcănel I. R. Considerente privind stabilitatea laterală a podurilor metalice realizate în soluţia pe arce, Conferinţa Tehnico-Ştiinţifică Jubiliară: Tehnologii moderne în construcţii, Chişinău, 24-26 mai, 2000

65. Răcănel I. R. Contravântuirile şi stabilitatea podurilor metalice pe grinzi cu zăbrele, Revista Drumuri şi Poduri, Nr. 54, mai – iunie, 2000

66. Răcănel I. R., Teodorescu M. E.

Contributions regarding the simplified stability calculation of the open truss steel bridges top chord, The 9-th International Conference on metal structures, Timişoara, 19-22 Octombrie, 2000

67. Ramm E. Strategies for tracing the nonlinear response near limit points, 1992

68. Rangelov N. Influence of web imperfections in welded I-beams with slender webs, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

69. Rasmussen K. J. R., Rondal Jaques

A unified concept for the stability check of metal columns, Stability and Ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

70. Ren Wei-Xin, Zeng Qing-Yuan

Interactive buckling behaviour and ultimate load of I-section steel columns, Journal of structural engineering, September, 1997

71. Rondal J. On the buckling length of bracing members in tubular lattice girder, Fourth International Colloquium on Structural Stability, Mediteranean Session, Istanbul, Sept. 16-20, 1991

72. Rondal J., Maquoi R.

Formulations d’Ayrton-Perry pour le flambement des barres métalliques, Construction Métallique, Nr. 4, 1979

73. Rouvé B. Calcul du comportement postcritique des plaques raidies par la methode des elements finis, Thèse présentée à L’ecole Polytechnique Federale de Zürich, 1975

74. Sadovsky Z., Balász

Tolerances of initial defelections of steel plates and strength of I Cross-section in compression and bending, Journal of Construction Steel Research, Vol. 38, Nr. 3, 1996

348


75. Salzberger G. Elasto-plastic stability of columns with an unsymmetrically strengthened I-cross section, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

76. Samavedam G. Teoria stabilităţii căii cu şine lungi sudate, Membri Comitetului de experţi D202, 1995

77. Scarlat A. Stabilitatea şi calculul de ordinul II al structurilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1969

78. Scarlat A. Stabilitatea structurilor. Probleme speciale, Editura Tehnică, Bucureşti, 1969

79. Serrette R., Pekös J.

Strength of letrally unsupported flanges and panels, Fourth International Colloquium on Structural Stability, Mediteranean Session, Istanbul, Sept. 16-20, 1991

80. Sfinţesco D. Fondement expérimental des courbes européennes de flambament, Construction métallique, Nr. 3, 1970

81. Sokol L. Lateral stabilization by steel sheeting of structural members, Nordic Steel Construction Conference, Vol. 2, Malmö, Sweden, 19-21 June, 1995

82. Solland G., Rotheim M.

Prediction of buckling strength of stiffened plates by use of the optimum eccentricity method, Stability and ductility of steel structures, Elsevier Science, 1999

83. Stevenson & Associates

Pipe-line simulation finite element analysis program – Task 1, Theory, July 1997


Pipe-line simulation finite element analysis program – Task 2, Program design, September 1997


Pipe-line simulation finite element analysis program – Task 3, Upheaval buckling, November 1997


Pipe-line simulation finite element analysis program – Task 4, Program validation, December 1997

87. Teodorescu M. E. Studiu comparativ al metodelor pentru determinarea soluţiei în calculul neliniar al structurilor, Teză de doctorat, 1999

88. Thomson J. M. T., Hunt G. W.

The instability of evolving systems, Interdisciplinary Science Revue,Vol. 2, Nr. 3, p. 240

89. Thürlimann B. Der Einfluß von Eigenspannungen auf das Knicken von Stahlstützen, Schweizer Archiv für angewandte Wissenschaft und Technick, Nr. 12, 1957

90. Timoshenko St. P., Gere M. James

Teoria stabilităţii elastice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967

91. Ţopa N. Aspecte ale flambajului stâlpilor acţionaţi de forţe cu direcţie variabilă, Buletinul Ştiinţific, Număr special, 1995

92. Ţopa N. Particularităţi privind stabilitatea laterală a arcelor de rigidizare la tablierele de poduri tip Langer, Buletinul Ştiinţific, Nr. 2, 1995

93. Ţopa N., Răcănel I. R.

Studiu asupra stabilităţii barelor pe mediu elastic, Gazeta AICR, Nr. 43-44, noiembrie 2000

94. Vasek M.

Small strain non-linear relations for 3D Space beams systems, IABSE SYMPOSIUM, Long-span and high-rise structures, Kobe, 1998, International Association for bridge and structural engineering

95. Villette M. Considérations sur le flambement, proposition de révision de l’EUROCODE 3, Construction Métallique, Nr. 3, 1997

349

BIBLIOGRAFIE

96. Wang C. M., Ang K. K.

Beam-buckling analysis via automated Rayleigh-Ritz method, Journal of structural engineering, Vol. 120, Nr. 1, 1994

97. Wang Y. C., Emopoulos J. Ch., Vlahinos. A. S.

Three-dimensional buckling analysis of tapered built-up columns, Steel structures, Eurosteel 1995, Kounadis 1995, Balkena, Rotterdam

98. Weng C. C. Effect of residual stress on cold-formed steel column strength, Journal of structural engineering, Vol. 117, Nr. 6, 1991

99. Wright H. D. Local stability of filled and encased steel sections, Journal of structural engineering, Vol. 121, Nr. 10, 1995

100. Yang Y. B., Kuo S. R.

Theory and analysis of nonlinear framed structures, Prentice-Hall Inc., 1994

101. *** Manualul pentru calculul construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977

102. *** DIN 18800, Teil 1, Stahlbauten, Bemessung und Konstruktion, Deutsche Norm, Berlin, 1990

103. *** EUROCODE 3: Design of Steel structures, Part 1. 1: General rules and rules for buildings, European Standard, 1993

104. *** Proiectarea podurilor metalice de cale ferată şi şosea având la bază metoda stărilor limită – Proiect de standard, Contract Nr. 33, 1998

105. *** Acţiuni la poduri - Proiect de standard, Contract Nr. 33, 1998

106. *** Poduri metalice de cale ferată – Prescripţii de proiectare, SR 1911, 1998

107. *** EUROCODE 3: Design of steel structures, Part. 2: Steel bridges, European standard, 1993

108. Stahlbau Handbuch – für Studium und Praxis, Stahlbau- Verlag-Gmbh, Köln, 1982

109. *** Efectul imperfecţiunilor iniţiale asupra încărcării de cedare elasto-plastică la bare simple, Stability of steel structures, Preliminary report, Liege, 1987

110. *** Aproximare statistică a problemei stabilităţii referitoare la abaterea de la liniaritate, Stability of steel structures, Preliminary report, Liege, 1987

111. *** SIA Norme, Construction métalliques, Edition de 1990, Sociéte Suisse des ingénieurs et des architectes, Zürich

112. *** LUSAS Finite-element system: Theory Manual 1, Version 13. 1. 2 , FEA Ltd.

113. *** LUSAS Finite-element system: Theory Manual 2, Version 13. 1. 2 , FEA Ltd.

114. *** LUSAS Finite-element system: LUSAS Modeller User Manual, Version 13. 1. 2, FEA Ltd.

115. *** LUSAS Finite-element system: Solver Reference Manual, Version 13. 1. 2, FEA Ltd.

116. *** LUSAS Finite-element system: Element Reference Manual, Version 13. 1. 2, FEA Ltd

117.Mazilu P., Ţopa N., Ieremia M.

Aplicarea teoriei elasticităţii şi a plăcilor în calculul construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

350


118.Mazilu P., Ţopa N., Ieremia M.

Teoria şi calculul plăcilor ortotrope, Editura Tehnică, 1983

119.

Braham M., Maquoi R., Rangelov N., Richard C.

L’influence des défauts de planéité de l’âme des profilés reconstitués soudés sur leur résistance en flexion et compression, Construction métallique, Nr. 1, 1995

120. *** STAS 4392-84, Gabarite, Institutul Român de Standardizare, Bucureşti, 1984

121. Voinea R. P., Beleş A. A.

Rezistenţa Materialelor, Vol. II, Editura Tehnică, 1958

122.Voinea R. P., Voiculescu D., Simion E. P.

Introducereîn mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei, 1989

123. Ţopa N. Teoria Elasticităţii şi plasticităţii, Atelierul de tipografie al I.C.B., 1994

124. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.

The Finite Element Method. Volume 1: The Basis, Fifth Edition, Butterworth-Heinemann, 2000

125. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.

The Finite Element Method. Volume 1: Solid Mechanics, Fifth Edition, Butterworth-Heinemann, 2000

126. Stănilă N. Comportarea inelastică şi analiza neliniară a structurilor de rezistenţă, Note de curs, Anul VI, Studii aprofundate, 2004

127. Ivan A. Stabilitatea cupolelor metalice simplu strat, Editura Orizonturi Univeristare, Timişoara, 2000

128. Mirzaei M. Finite Element Methods, Lectures Notes, 2005 129. Papadrakakis M. Inelastic post-buckling analysis of space frames, 2000 130. Jeremic B. A tour of nonlinear analysis, 2004

131.Ivan M., Vulpe A., Bănuţ V.

Statica, stabilitatea şi dinamica construcţiilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982

132. *** Esdep WG6: Concepts of Stable and Unstable Equilibrium, 2006

351

ANEXA

ANEX

A-2

A

SCHEMA LOGICĂ A PROGRAMULUI GRIMEL

START

Citeşte datele de intrare: - caracteristici bară şi teren

(E, Iz, β) - nr. paşi forţă (np)

- valori forţă (P)

i = 1, np

Determină valorile mărimilor: k, λ, γ, δ

şi discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea rezultată din ecuaţia caracteristică, dp

DA NU

dp < 0 Ec. utilizată este (IV. 25) Ec. utilizată este (IV. 12)

Evaluează ceoficienţii nec. aij Evaluează coeficienţii nec. aij

Calculează valoarea lui Δ Calculează valoarea lui Δ Tipăreşte valoarea lui Δ

STOP


A-3

SURSA PROGRAMULUI GRIMEL (TURBO PASCAL) {$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N+,O-,P-,Q-,R-,S+,T-,V+,X+,Y+} {$M 65520,0,655360} uses dos, crt; type matrice1=array[1..6000] of extended; matrice2=^matrice1; var contor,np:word; c,s,cc,ss,ccc,sss,dp,alfa,beta1,gama,delta,cube:extended; e,inert,beta,lambda,l:real; k,a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23:extended; a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a3,a44:extended; f,g:text; fin,fout:string; i,j,m,n:integer; p,det:matrice2; a1,a2,a3,a4:extended; ai1,ai2,ai3,bi1,bi2,bi3,ci1,ci2,ci3,di1,di2,di3:extended; procedure citeste_date; begin write('Modulul de elasticitate longitudinal: '); readln(e); write('Momentul de inertie: '); readln(inert); write('Coeficientul de pat á: '); readln(beta); write('Deschiderea grinzii: '); readln(l); write('Nr. pasi forta: '); readln(np); write('NUME FISIER PASI FORTA: '); readln(fin); assign(f,fin); reset(f); write('NUME FISIER DATE DE IESIRE: '); readln(fout); assign(g,fout); rewrite(g); for contor:=1 to np do begin readln(f,contor,p^[contor]); end; close(f); end; procedure calcul_marimi; begin lambda:=sqrt(sqrt(beta/(4*e*inert))); for contor:=1 to np do begin k:=sqrt(p^[contor]/(e*inert)); delta:=sqrt(sqr(lambda)+sqr(k)/4); cube:=(sqr(lambda)-sqr(k)/4); if cube < 0 then begin dp:=1-16*sqr(lambda)*sqr(lambda)/(sqr(k)*sqr(k)); alfa:=(k*sqrt(1+sqrt(dp)))/sqrt(2);

ANEXA

A-4

beta1:=(k*sqrt(1-sqrt(dp)))/sqrt(2); cc:=cos(pi*alfa*l/180); ss:=sin(pi*alfa*l/180); ccc:=cos(pi*beta1*l/180); sss:=sin(pi*beta1*l/180); a11:=1; a12:=0; a13:=1; a14:=0; a21:=-sqr(alfa); a22:=0; a23:=-sqr(beta1); a24:=0; a31:=cc; a32:=ss; a33:=ccc; a34:=sss; a41:=-sqr(alfa)*cc; a42:=-sqr(alfa)*ss; a43:=-sqr(beta1)*ccc; a44:=-sqr(beta1)*sss; ai1:=a22*(a33*a44-a43*a34); ai2:=-a23*(a32*a44-a42*a34); ai3:=a24*(a32*a43-a42*a33); a1:=a11*(ai1+ai2+ai3); bi1:=a12*(a33*a44-a43*a34); bi2:=-a13*(a32*a44-a42*a34); bi3:=a14*(a32*a43-a42*a33); a2:=-a21*(bi1+bi2+bi3); ci1:=a12*(a23*a44-a43*a24); ci2:=-a13*(a22*a44-a42*a24); ci3:=a14*(a22*a43-a42*a23); a3:=a31*(ci1+ci2+ci3); di1:=a12*(a23*a34-a33*a24); di2:=-a13*(a22*a34-a32*a24); di3:=a14*(a22*a33-a32*a23); a4:=-a41*(di1+di2+di3); det^[contor]:=a1+a2+a3+a4; writeln(g,p^[contor],' ',det^[contor]); end else begin gama:=sqrt(cube); c:=cos(pi*delta*l/180); s:=sin(pi*delta*l/180); a11:=1; a12:=0; a13:=1; a14:=0; a21:=sqr(gama)-sqr(delta); a22:=2*gama*delta; a23:=sqr(gama)-sqr(delta); a24:=-2*gama*delta; a31:=(exp(gama*l))*c; a32:=(exp(gama*l))*s; a33:=(exp(-gama*l))*c; a34:=(exp(-gama*l))*s; a41:=(exp(gama*l))*((sqr(gama)-sqr(delta))*c- 2*gama*delta*s); a42:=(exp(gama*l))*((sqr(gama)- sqr(delta))*s+2*gama*delta*c); a43:=(exp(-gama*l))*((sqr(gama)- sqr(delta))*c+2*gama*delta*s); a44:=(exp(-gama*l))*((sqr(gama)-sqr(delta))*s- 2*gama*delta*c); ai1:=a22*(a33*a44-a43*a34); ai2:=-a23*(a32*a44-a42*a34);


A-5

ai3:=a24*(a32*a43-a42*a33); a1:=a11*(ai1+ai2+ai3); bi1:=a12*(a33*a44-a43*a34); bi2:=-a13*(a32*a44-a42*a34); bi3:=a14*(a32*a43-a42*a33); a2:=-a21*(bi1+bi2+bi3); ci1:=a12*(a23*a44-a43*a24); ci2:=-a13*(a22*a44-a42*a24); ci3:=a14*(a22*a43-a42*a23); a3:=a31*(ci1+ci2+ci3); di1:=a12*(a23*a34-a33*a24); di2:=-a13*(a22*a34-a32*a24); di3:=a14*(a22*a33-a32*a23); a4:=-a41*(di1+di2+di3); det^[contor]:=a1+a2+a3+a4; writeln(g,p^[contor],' ',det^[contor]); end; end; end; {program principal} begin clrscr; new(p); new(det); citeste_date; calcul_marimi; dispose(p); dispose(det); close(g); end.

ANEXA

A-6

SCHEMA LOGICÅ A PROGRAMULUI DE CALCUL GRINEL

START Se citesc valorile: E, I, np, β, l,m, P Se evaluează mărimea Pcr i = 1,np Se evaluează mărimile k, C P, vmax DA P < Pcr NU Tipăreşte valorile lui vmax, P STOP


A-7

SURSA PROGRAMULUI GRINEL (TURBO PASCAL) uses crt; label 1; var f,g:text; k,p,vmax,a1,a2,s:array[1..300] of real; pcr,a,m,e,inert,l,lambda,beta,e0,alfa,x:real; contor,np:integer; fin,fout:string; function putere(baza,exponent:real):real; begin putere:=exp(exponent*ln(baza)); end; begin clrscr; write('Modulul de elasticitate longitudinal: '); readln(e); write('Momentul de inertie: '); readln(inert); write('Coeficientul de pat á: '); readln(beta); write('Deschiderea grinzii: '); readln(l); write('Sectiunea in care se calculeaza deplasarea: '); readln(x); e0:=l/750; write('Numarul de semiunde ale imperfectiunii: '); readln(m); write('Nr. pasi forta: '); readln(np); write('NUME FISIER PASI FORTA: '); readln(fin); assign(f,fin); reset(f); write('NUME FISIER DATE DE IESIRE: '); readln(fout); assign(g,fout); rewrite(g); for contor:=1 to np do begin readln(f,contor,p[contor]); end; lambda:=sqrt(sqrt(beta/(4*e*inert))); a:=sqr(m)+4*sqr(lambda)*sqr(lambda)*putere(l,4)/(putere(pi, 4)*sqr(m)); pcr:=sqr(pi)*e*inert*a/sqr(l); writeln(g,'Forta critica este Pcr: ',pcr:5:4); for contor:=1 to np do begin if p[contor] > pcr then goto 1; k[contor]:=sqrt(p[contor]/(e*inert)); a1[contor]:=sqr(k[contor])*sqr(m)*sqr(pi)*e0/sqr(l); a2[contor]:=1(sqr(k[contor])*sqr(l))/(sqr(m)*sqr(pi)); alfa:=sqr(m)*sqr(m)*sqr(pi)*sqr(pi)/(sqr(l)*sqr(l)); s[contor]:=sin(m*pi*pi*x/(180*l)); vmax[contor]:=(a1[contor]*s[contor])/(alfa*a2[contor]+ 4*sqr(lambda)*sqr(lambda)); writeln(g,p[contor]:5:3,' ',vmax[contor]:10:7,' ',s[contor]); end; 1: writeln(g,'DEPLASARE INFINITA !'); end.

close(g);

ANEXA

A-8

SURSA PROGRAMULUI PASFOR (TURBO PASCAL) uses crt,dos; var g:text; i:integer; p:array[1..1800] of real; nume:string; begin clrscr; write('NUME FISIER DE IESIRE: '); readln(nume); assign(g,nume); rewrite(g); for i:=1 to 300 do begin writeln(g,i:2,' ',i*5); end; end.

close(g);


A-9

Tabelul A.1 SECŢIUNI TRANSVERSALE BARE ŞI CARACTERISTICI GEOMETRICE PENTRU TABLIERUL PODULUI PESTE CANALUL JIU

Bara Sectiunea A [cm²] I [cm ]z4 4I [cm ]y I [cm ]t

4

0 1 2 3 4

LON

JER

ON

IA

NTR

ETO

AZE

I - II

IIII

- V

0 - 1

- 2

TALP

A IN

FER

IOA

RA

2 - 3

- 4

z

5

y

Pb 420x14Pb 200x15

Pb 160x20

136.8 44898.95 3313.604 162.40

z

y

Pb 840x12

Pb 220x30

309146.40232.80 5336.10 577.70

TALP

A S

UP

ER

IOA

RA z

y Pb 420x16

Pb 420x16

Pb 95x30

68361.26258.60 61472.62 343.03

Pb 90x30

Pb 420x25z

Pb 420x20y

85748.38348 90851.5 711.5

y

z

Pb 120x12

Pb 400x10

Pb 340x10

36206.37142.8 36947.6 53.16

Pb 400x18

Pb 150x20

y

z

Pb 340x25

67195.26289 69802.85 412.60

ANEXA

A-10

Tabelul A.1 (Continuare)

4 - 5

0 - I

I - 2

2 - I

IIIII

- 4

4 - V

DIA

GO

NA

LE

P 2

60-

1; 1

-2M

DP

TF

MO

NTA

NTI

TALP

A IN

FER

IOAR

A

91101.90368 99762.29 829.15

Pb 340x30

Pb 400x25

Pb 150x22

y

z

y

z

Pb 420x10

Pb 420x12

Pb 80x14

165.20 41314.9740269.08 77.01

y

z

133.60 24728.535212.37 194.30Pb 280x12

Pb 250x20

y

z

Pb 300x14

Pb 250x14154 23565.7313457.31 100.61

y

z Pb 220x10

Pb 300x1012824.671777.1774 32.07

16858.803127.5090 50.44y

z Pb 250x12

Pb 300x10

y

z

Pb 280x10

Pb 220x20

21658.673551.67116 164.67

CO

NTR

AV

.LO

NJE

RO

NI

P 2

5

z

y

17717719.2 6.33

z

y

L 100x100x10

L 80x80x812.30 72.20 72.20 2.60

z

y

CO

NTR

AV.

PR

INC

IPA

LA

L 100x100x10

38.40 777.26777.26 12.67

z

yL 80x80x8

24.60 331.80331.80 5.19

0 1 2 3 54


A-11

Tabelul A.2 SECŢIUNI TRANSVERSALE BARE ŞI CARACTERISTICI GEOMETRICE PENTRU TABLIERUL TIPIZAT I.S.P.C.F.

LON

JER

ON

IA

NTR

ETO

AZE

I - II

- III

III -

IV -

V0

- 1 -

2

TALP

A

INFE

RIO

AR

A2

- 3 -

4

202.50 120047 5776 312

435910275.50 7350 380

TALP

A S

UP

ER

IOA

RA 91124234 79305 141

131035336 121588 392

68537188 73751 62

114712288 94574 295

z

y

z

y

z

y

y

z

y

z

z

y


4

0 1 2 3 54

ANEXA

A-12


4 - 5

0 - I

I - 2

2 - I

IIIII

- 4

4 - V

DIA

GO

NA

LE

0 - 1

- 2

- 33

- 4 -

5

CO

NTR

AV

.IN

FER

IOA

RA

TALP

A IN

FER

IOA

RA y

z 127963314 106794 330

256.80 9782893265 172

156 54474714294 199

210 6518717867 377

360548578121.60 53

y

z

y

z

y

z

y

z

121.60y

z

360548578 53

MO

NTA

NTI z

y 127 375886753 80

y

z3061306175.20 73

z

y

46.40 13911391 16

0 1 2 3 54


A-13


DP

TF (A

B)

DPT

F (B

C)

CO

NTR

AV

.IN

FER

IOA

RA

z

y

92.80 34003400 31

z

y 38.40 1071354 13

DP

TF (B

D';

CD

)

z

y

19.2 177177 7

0 1 2 3 54

ANEXA

A-14

Tabelul A.3 SECŢIUNI TRANSVERSALE BARE ŞI CARACTERISTICI GEOMETRICE PENTRU TABLIERUL PODULUI PESTE RÂUL OLT

LON

JER

ON

IA

NTR

ETO

AZE

X-V

II; II

I-0

TALP

A

INFE

RIO

ARA

TALP

A

INFE

RIO

AR

A10

-9; 9

-8; 2

-06-

5; 5

-4y

z

Pb 210x12

L 90x90x11Pb 515x11

181.85 2923.3788090.50 100.14

z

y Pb 290x12

L 120x120x11

Pb 850x1012640.48325.8 739960.77 176.76

TALP

A

SU

PE

RIO

AR

A

348

z

y Pb 560x12

U 35

79310.98221.8 41033.33 188.55

z

y Pb 560x12

U 35

348

Pb 850x10

VII-

V; V

-III

120843.12345 56727.47 407.34

z

y

404

U 35

Pb 560x12126207.95259.6 36398.75 249

8-6;

4-2

z

y

404

U 35

Pb 140x16

Pb 350x14

241364.47395.4 46420.07 362.79

z

y

404

Pb 350x14

Pb 140x16

U 35

263852.88440.2 51542.2 412.49


4

0 1 2 3 54


A-15

Tabelul A.3 (Continuare) M

ON

TAN

TIC

ON

TRA

V. P

RIN

CIP

ALA

L 100x100x10

D-E

y

z 19.2

L 100x100x10

L 90x90x11

L 90x90x9

L 120x80x10

10-1

; 0-9

; 6-A

; 2-

7; 7

-4; 3

-61-

8; 9

-2; 8

-3;

B-D

A-D

; D-5

FIN

ALI

(0-0

; X-1

0)

y

z

y

z

y

z

31

38.4

37.4

yPb 320x10

z

108.4

177 177 8.23

432432

659.37 659.37

532.73 532.73

10.80

16.47

19.49

18204.622280.66 46.8

L 90x90x9

Pb 310x10

Pb 280x14

VII-

6; 6

-V; V

-4; 4

-III

CU

RE

NTI

DIA

GO

NA

LE

IX-8

; 2-I;

VII-

8; II

I-2

U 35

y

z

Pb 320x11

320

z

97.20

179.6

320

y

yU 35

z 196

Pb 350x14

Pb 100x14IX

-10;

I-0

320

zU 35

y

316.6

26757.43

14700.37867.55

30960.67

40.06

121.09

21182.13 46367 160.81

65359.3857130.78 300.85

0 1 2 3 54

ANEXA

A-16

Tabelul A.4 SECŢIUNI TRANSVERSALE BARE ŞI CARACTERISTICI GEOMETRICE PENTRU TABLIERUL PODULUI DE PE LINIA PODUL ILOAIEI-HÂRLĂU

Pb 220x15

Pb 680x9

y

z

LON

JER

ON

I

127.20 103293.9 2666.1 85.8

z

y

Pb 250x12

Pb 705x9

AN

TRE

TOA

ZE

123.45 103400.7 3129.29 59.71

z

y

Pb 300x15

Pb 390x7

L 80x80x12

Pb 90x15

I - II 215.9 33072.86 27427.26 164.20

Pb 90x15

z

y

Pb 300x15

Pb 390x7

L 80x80x12

II - I

II; II

I - IV

165

180215.9 33072.86 30631.46 164.20

IV -

V; V

- V

I

Pb 390x7

180

y

zL 80x80x12

Pb 90x15Pb 300x15

Pb 140x12

249.5 33621.69 34775.35 185.17

y

z210

L 80x80x12Pb 300x12

143.6 17157.18 23542.75 89.26

TALP

A IN

FER

IOA

RA

1 - 2

TALP

A S

UP

ER

IOA

RA


4

0 1 2 3 54


A-17


143.6

177.2

215.4

83.9

69.44

55.86

48.08

58.58

62.63

Pb 155x10

MO

NTA

NTI

L 70x70x9V -

5

Pb 167x9y

z

Pb 234x9

L 65x65x7

L 65x65x9VI -

65

- VI

Pb 166x8

Pb 162x9y

z

z

y

L 75x75x10

L 65x65x7

III -

4; IV

- 5

DIA

GO

NA

LE

V -

6

Pb 163x8

z

y

z

y

z

2 - 3

; 3 -

4

L 80x80x12

TALP

A IN

FER

IOAR

A

L 100x65x11

L 100x65x11II - 3

I - 2

z

y

z

Pb 220x30

Pb 150x10

y

L 80x80x12

4 - 5

; 5 -

6

Pb 140x12185

z

Pb 300x12

y

185

y

508.91 2448.95 21.82

415.42 2159.10

1886.32 310.48

20.41

11

4470.95 319.11

2564.31 670.50

9.22

27.88

3059.22 1709.66

13617.49 7033.61

42.25

556.82

17705.98 23350.12 110.22

17157.18 19243.44 89.26

0 1 2 3 54

ANEXA

A-18


y

10 -

10; 1

0 - 2

; 8 -4

L 100x100x10

L 90x90x11

L 80x80x12

2L 100x100x10

z

L 100x100x12

11 -

10;0

- 1 y

CO

NTR

AVAN

TUIR

E P

RIN

CIP

ALA

6 - 6

y

z

7 - 3

y

z

9 - 3

z

y

z

901.3038.40 659.37 16.47

138

10217.9

18.7

102 11.08

138 9.75

177

20722.7

19.2

207 14.08

177 8.23

L 90x90x9

z

CO

NTR

AVLO

NJ.

z

L 75x65x10I - 1

y

y

MO

NTA

NTI

L 100x65x11II - 2

y

z

L 80x65x10III -

3

y

z

z

L 75x75x10IV -

4

y

116

4578.47

15.5

Pb 145x9151.25

116 5.4

1952.26 89.94

1709.66

836.14

Pb 155x10

Pb 145x9

83.9

Pb 155x10

69.9

3059.22 42.25

2422.95 32.12

701.18

Pb 165x10

2717.51 31.42

0 1 2 3 54

Documents

101212442 Stabilitatea Podurilor Metalice Cu Imperfectiuni de Executie