ALGEBRA LINEAL

TRABAJO COLABORATIVO FASE No.2

JUBE ALEXANDER NIO MISSE

DAVID ONOFRE BUITRAGO

JONATHAN SMIT PARADA PEREZ

GRUPO: 100408_273

Tutor

DIEGO FRANSISCO MARTINEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

NOVIEMBRE DE 2014.

INTRODUCCION El presente trabajo tiene como objetivo transmitir los conocimientos adquiridos en la

segundad unidad del curso acadmico Algebra lineal, el cual es objeto de en el campus

virtual de la UNAD, donde se resuelven algunos problemas propuestos empleando los

sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones lineales, mtodo de Gauss Jordan, mtodo de

factorizacin, matriz inversa, rectas y planos y espacios vectoriales.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Adquirir y aplicar conceptos relacionados con la unidad No.2 del curso

acadmico Algebra lineal.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Conocer la terminologa relacionada con Sistemas de Ecuaciones Lineales

Resolver sistemas lineales utilizando el mtodo de Jordn y Gauss

Resolver sistemas lineales utilizando factorizacin LU .

Hallar 1A en un sistema lineal

Identificar ecuaciones ecuaciones simtricas y paramtricas

Identificar y evidenciar puntos de interaccin en planos

Valorar la importancia del lgebra matricial y la adquisicin de estrategias para la

simplificacin de los clculos.

3. ACTIVIDAD A DESARROLLAR 1. Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss Jordn, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1.

464

575

174

zyx

zyx

zyx

Ecuacin 1

1 -4 7 1

5 - 7 1 5

-4 1 6 -4

1

5 R 2 + R1 R2

1 -4 -7 1

0 -13/5 -34/5 0

-4 1 6 -4

1

4 R 3 + R1 R3

1 -4 -7 1

0 -3/5 -34/5 0

0 -15/4 -11/2 0

13

5 R 3 +

15

4 R2 R3

1 -4 - 7 1

0 -13/5 -34/5 0

0 0 -27/10 0

1 -4 -7 1

0 -13/5 - 34/5 0

0 0 1 0

1 -4 -7 1

0 1 34/13 0

0 0 1 0

JORDAN

4 R 2 + R1 R1

1 0 -57/13 1

0 1 34/13 0

0 0 1 0

34

13 R 3 + R2 R2

1 0 -57/13 1

0 1 0 0

0 0 1 0

57

13 R 3 + R1 R1

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

Ecuacin 2

1.2. 1875

11743

zyx

zyx

[3 4 75 7 1

|11

18] f1/3

[1 4/3 7/35 7 1

|11/318

] 5f1 + f2

[1 4/3 7/30 1/3 32/3

|11/3

109/3] f2/1/3

[1 4/3 7/30 1 32

|11/3109

] 4/3f2 + f1

[1 0 450 1 32

|149109

]

x 45z = 149

y 32 z = 109 Variables libres: z

x = 149 + 45z

y = 109 + 32z

z = z

Ecuacin 3

1.3.

26

764

8575

11474

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

f2- 5f

f3+ 4f1

f4 -6f1

F1=f1+4f2

F3= f3+15f2

F4= f4-23f2

F3=13/224f3

6425-41230

51 15 22-15-0

472534130

11-47-4-1

21-1-16

7-1-6 1 4-

8- 51-7-5

11-47-4-1

6425-41230

51 15 22-15-0

47/1313/2534/131 0

11-47-4-1

13/249250/13249/13-00

42/13180/13-224/1300

47/1313/2534/131 0

45/1348/13-45/1301

13/249250/13249/13-00

3/1645/56-100

47/1313/2534/131 0

45/1348/13-45/1301

F1=f1 - f3

F2=f2 - f3

F4= f4 + f3

F4=

F1= f1 + f4

F2= f2 + f 4

F3= f3 + f4

Entonces tenemos

X= -

Y=

Z=

W=

16/249215/13000

3/1645/56-100

25/828/501 0

45/651/56-001

430/17431 000

3/1645/56-100

25/828/501 0

45/651/56-001

430/17431 000

132/43-0100

331/86001 0

189/215-0001

Ecuacin 4

1.4.

4164

275

34

yx

yx

yx

4164-

2-75

3-4-1=A

F2=f2 - 5f1

F3= f3+ 4f1

F2= 1

13 f2

La matriz presenta una inconsistencia el elemento del termino independiente (Tercera Columna) de la tercera fila es diferente a Cero (0); mientras que el resto de la fila es CERO Con lo que se concluye que el sistema no tiene solucin.

1600

13130

3-4-1=A

1600

110

3-4-1=A

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorizacin LU .

Ecuacin 5

x-4y-7z+4w=-11 5x-7y-z-5w =-8 -4x+y+6z-w =-7 6x-y-z-w =-2

1 4 7 4

5 7 1 5 A=

4 1 6 1

6 1 1 1

1 4 7 4

5 7 1 5 5f1 + f2 U=

4 1 6 1 4f1 + f3

6 1 1 1 6f1 + f4

1 4 7 4

0 13 34 25 U=

0 15 22 15 15/13f2 + f3

0 23 41 25 23/13f2 + f4

1 4 7 4

0 13 34 25 U=

0 0 224/13 180/13

0 0 249/13 250/13 249/224f3 + f4

1 4 7 4

0 13 34 25 U=

0 0 224/13 180/13

0 0 0 215/56

1 0 0 0

5 1 0 0 L=

4 15/13 1 0

6 23/13 249/224 1

1 0 0 0 11

5 1 0 0 8 5f1 + f2

4 15/13 1 0 7 4f1 + f3

6 23/13 249/224 1 2 6f1 + f4

1 0 0 0 11

0 1 0 0 47

0 15/13 1 0 51 15/13f2 + f3

0 23/13 249/224 1 64 23/13f2 + f4

1 0 0 0 11

0 1 0 0 47

0 0 1 0 42/13

0 0 249/224 1 249/13 249/224f3 + f4

1 0 0 0 11

0 1 0 0 47

0 0 1 0 42/13

0 0 0 1 249/16

1 4 7 4

0 13 34 25 U=

0 0 224/13 180/13

0 0 0 215/56

1 4 7 4 11

0 13 34 25 47 f2/13

0 0 224/13 180/13 42/13

0 0 0 215/56 249/16

1 4 7 4 11 4f2 + f1

0 1 34/13 25/13 47/13

0 0 224/13 180/13 42/13

0 0 0 215/56 249/16

1 0 45/13 48/13 45/13

0 1 34/13 25/13 47/13

0 0 224/13 180/13 42/13 f3/224/13

0 0 0 215/56 249/16

1 0 45/13 48/13 45/13 45/13f3 + f1

0 1 34/13 25/13 47/13 34/13f3 + f2

0 0 1 45/56 3/16

0 0 0 215/56 249/16

1 0 0 51/56 45/16

0 1 0 5/28 25/8

0 0 1 45/56 3/16

0 0 0 215/56 249/16 f4/215/56

1 0 0 51/56 45/16 51/56f4 + f1

0 1 0 5/28 25/8 5/28f4 + f2

0 0 1 45/56 3/16 45/56f4 + f3

0 0 0 1 1743/430

1 0 0 0 189/215

0 1 0 0 331/86

0 0 1 0 132/43

0 0 0 1 1743/430

x = 189/215

y = 331/86

z = 132/43

w = 1743/430

3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el mtodo

que prefiera para hallar 1A ).

Ecuacin 6

764

9275

11743

zyx

zyx

zyx

[3 4 75 7 2

4 1 6|1 0 00 1 00 0 1

] f1/3

[1 4/3 7/35 7 2

4 1 6|1/3 0 00 1 00 0 1

] 5f1 + f2

4f1 + f3

[1 4/3 7/30 1/3 29/30 13/3 10/3

|1/3 0 0

5/3 1 04/3 0 1

] f2/1/3

[1 4/3 7/30 1 290 13/3 10/3

|1/3 0 05 3 0

4/3 0 1]

4/3f2 + f1

13/3f2 + f3

[1 0 410 1 290 0 129

|7 4 05 3 023 13 1

] f3/129

[1 0 410 1 290 0 1

|7 4 05 3 0

23/129 13/129 1/129]

41f3+f1

29f3+f2

[1 0 00 1 290 0 1

|40/129 17/129 41/12922/129 10/129 29/12923/129 13/129 1/129

] Inversa

40/129 17/129 41/129 11 f1 40/129

22/129 10/129 29/129 9

23/129 13/129 1/129 7

1 17/40 41/40 1419/40

22/129 10/129 29/129 9 22/129f1 + f2

23/129 13/129 1/129 7 23/129f1 + f3

1 17/40 41/40 1419/40

0 3/20 1/20 59/20 f2 3/20

0 1/40 7/40 533/40

1 17/40 41/40 1419/40 17/40f2 + f1

0 1 1/3 59/3

0 1/40 7/40 533/40 1/40f2 + f3

1 0 7/6 263/6

0 1 1/3 59/3

0 0 1/6 77/6 f3 1/6

1 0 7/6 263/6

0 1 1/3 59/3

0 0 1 77 f3 1/6

1 0 7/6 263/6 7/6f3 + f1

0 1 1/3 59/3 1/3f3 + f2

0 0 1 77

1 0 0 46

0 1 0 6

0 0 1 77

: = 46 , = 6, = 77,

4. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que: Ecuacin 7

. = (, , ) = (,,)

= = ( + ) + ( ) + ( )

=

: ECUACIONES PARAMETRICAS

x = 8 + 7t

y = 4 12t

z = 1 4t ECUACIONES SIMETRICAS x + 8

7=

y 4

12=

z 1

4

4.2 Contiene a y es paralela a la recta

Solucin

Como la recta es paralela a la recta dada, entonces el vector de direccin es el

mismo.

v = 6i 6j + 2k

p = (5,3, 7)

7,3,5 P2

4

6

3

6

9

zyx

Ecuaciones paramtricas son:

x = 5 6t

y = 3 6t

z = 7 + 2t

Ecuaciones simtricas son:

x5

6=

y3

6=

z+7

2

5. Encuentre la ecuacin general del plano que:

Ecuacin 8

5.1 Contiene los puntos: P=(-8,4,1), Q=(-1,-8,-3), R=(-3,-2,-1)

Formamos los vectores

PQ = v = (1 + 8) + (8 4) + (3 1) = 7 12 4

PR = u = (3 + 8) + (2 4) + (1 1) = 5 6 2

Ahora, encontramos un vector Normal al realizar el producto cruz entre los vectores

directores u y v:

= |i j k5 6 27 12 4

| = |6 212 4

| i |5 27 4

| j + |5 67 12

|

= 0i + 6j 18k

Por ltimo, la ecuacin general de la recta est dada por:

a = 0 ; b = 6 ; C = 18

a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0

0(x + 8) + 6(y 4) 18(z 1) = 0

6y 24 18z + 18 = 0

=

5.2. Contiene al punto P(-1,-8,-3) y tiene como vector normal a

n= 3i + 2j 5k

Dado que tiene como vector normal a n = 3i + 2j 5k, la ecuacin del plano es:

Ecuacin 9

a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0

3(x + 1) + 2(y + 8) 5(z + 3) = 0

3x 3 + 2y + 16 5z 15 = 0

3x + 2y 5z 2 = 0

6. Encuentre todos los puntos de interseccin de los planos:

Ecuacin 10

1: 9x 2y 8z = 10 y 2: 5x 7y 8z = 2

[9 2 8

5 7 8|102

] f1/9 [1 2/9 8/9

5 7 8|12

] 5f1 + f2

[1 2/9 8/90 73/9 112/9

|13

] f2/73/9 [1 2/9 8/90 1 112/73

|1

27/73]

2/9f2 + f1

[1 0 40/730 1 112/73

|67/7327/73

]

x 40/73 = 67/73

y + 112/73 = 27/73

Variable libre :z

Haciendo z = t , nos queda

x = 67/73 + 40/73t

y = 27/73 112/73t

z = t

7. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de 2 , constituyen un espacio

vectorial.

Nota : Muestre que cada uno de los axiomas se satisfacen.

Ecuacin 11

= [

]22

, = [

]22

, = [

]22

7.1 +

[

] + [

] = [ + + + +

]22

7.2.

Ecuacin 12

[

] = [

]22

7.3 . ( + ) + = + ( + )

Ecuacin 13

([

] + [

]) + [

] = ([ + + + +

]) + [

]

= [( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) +

] =

[ + + + + + + + +

] = [ + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )

] = [

] + ([ + + + +

])

=

[

] + ([

] + [

]) = + ( + )

7.4. 0 + = + 0 =

Ecuacin 14

[

] + [0 00 0

] = [0 + 0 + 0 + 0 +

] = [ + 0 + 0 + 0 + 0

] = [

] + [0 00 0

] = + 0 =

7.5. + () = 0

Ecuacin 15

[

] + [

] = [

] = [0 00 0

] = 0

7.6. + = +

Ecuacin 16

+ = [

] + [

] = [ + + + +

] = [ + + + +

] = [

] + [

]

= +

7. ( + ) = +

([

] + [

]) = [

] + [

] = [

] + [

] = +

8. ( + ) = +

( + ) [

] = [( + ) ( + )( + ) ( + )

] = [ + + + +

]

= [

] + [

] = +

9. =

[1 00 1

] [

] = [

] =

CONCLUSIONES

Se estudiaron y se aplicaron los conceptos relacionados con la Unidad No.2 del

curso acadmico algebra lineal.

Con el desarrollo del ejercicios adquirimos conocimientos sobre la terminologa del

sistema de ecuaciones lineales.

BIBLIOGRAFIA

Modulo Algebra Lineal, Unidad Dos, Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.

Recuperado el 20 de octubre de 2014 de

http://66.165.175.239/campus09_20142/mod/lesson/view.php?id=142.

Algebra Lineal, Determinantes, Septiembre 2009, I.Q. MGTVE

Ziga, C. (2010). Mdulo Algebra Lineal. Bogot D.C: Universidad Nacional Abierta y A

Distancia UNAD.

Grossman, S. I. (2012). lgebra Lineal, 7.Edicin. Mxico: McGraw Hill,.

www.thenacoosweb.com

J. Rojo. (2001). Algebra Lineal. Ed. McGraw-Hill.

S. Lipschutz. (2003). Algebra Lineal. Ed. McGraw-Hill.