1001-soal-dan-solusi-uas-kalkulus-i-ittelkom.pdf

1001 Pembahasan UAS Kalkulus I

i

KATA PENGANTAR

Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan ide menyelesaikan soal.

Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup. Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang

difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita.

1001 soal dan pembahasan ini dibuat bukan dengan tujuan agar mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca menyimak pembahasannya.


ii

Semoga bermanfaat !

Penulis

Arip Paryadi


iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...................................................................................... i

DAFTAR ISI ................................................................................................. iii

MATHEMATIC FORMULAE ....................................................................... v

SOAL SOAL ................................................................................................... 2

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................... 3 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 4

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 5

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 6

Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 ........................................................... 7

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 8

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 ............................................................ 9

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 10

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 ......................................................... 11

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 12

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 13

Uas 2002-2003 Kalkukus I ........................................................................ 14

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 15

Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 16

PEMBAHASAN ............................................................................................ 17

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................. 18 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 21

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 25

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 28


iv

Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 32

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 36

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 .......................................................... 40

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 45

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 49

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 52

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 56

Uas 2002-2003 kalkulus I .......................................................................... 61

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 66

Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 71

TRIGONOMETRY FORMULAE ................................................................ 76


v

MATHEMATIC FORMULAE

( ) uvvuuv ''' +=

2

'

''

v

uvvu

v

u =

dxdy

dydu

dxdu

=

( ) 1' = nn nxx ( ) xx ee =' ( ) aaa xx ln'= ( ) xx cossin '= ( ) xx sincos ' = ( ) xx 2' sectan = ( ) xx 2' csccot = ( ) xxx tansecsec ' = ( ) xxx cotcsccsc ' = ( )

xx

1ln ' =

( ) )(')(1)(ln ' xfxfxf =

( )2

'1

1

1sin

x

x

=

( )2

'1

1

1cos

x

x

=

( ) 2'1 1 1cot xx +=

= vduuvudv

++

=

+

cn

xdxxn

n

1

1

cxdxx

+= ln1

cea

dxe axax +=1

+

=

ca

x

xa

dx 122

sin

+= cxxdx cossin cxxdx += sincos

ca

x

ax

dx+

=

+

122

sinh

cxxdx += coslntan

cxxdx += sinlncot

cxxxdx ++= tanseclnsec

cxxxdx += cotcsclncsc

ca

x

aax

dx+

=

+1

22 tan1

( ) 2'1 1 1tan xx +=

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I

Arip Paryadi , IT Telkom 2

SOAL SOAL



UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010 KALKULUS I/MA1114

15 AGUSTUS 2009 TUTUP BUKU

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva xy = , garis 1=y , garis 4=x .

a. Gambarkan daerah D b. Hitung luas daerah D c. Hitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.

2. a. Cari turunan dari xey1sin

=

b. Hitung ( ) xxx

xe12lim +

bila ada

3. Hitung integral

a. 2

0

5cos

pi

xdx

b. +

dxxx

x

106

32

4. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( ) ++

0 234 dxxx

x

No 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4 Nilai 2 4 7 4 7 7 7 7

Selamat Bekerja dengan Jujur !



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009 KALKULUS I MA1114

SELASA / 13 JANUARI 2009 TUTUP BUKU

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 42 =+ yx dan garis

2+= xy a. Gambarkan daerah D dan cari titik-titik potongnya b. Hitung luas daerag D c. Hitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x

2. Bila ( )axxa

xf 11 tantan1)( += , a konstanta. Tentukan a sehingga

2)0(' =f 3. Hitung ( )x

x

xcotlim0+

, bila ada.

4. Hitung integral

a. + 342 xx

dx

b. dxxx + 423

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar dxex x

32

Soal 1 2 3 4 5 Nilai 8 8 8 8 8

Selamat Mengerjakan !



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008 KALKULUS I/MA1114

TUTUP BUKU Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114

1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 24 xy = , garis xy 3= dan sumbu y.

a. Gambarkan daerah D dan hitung luasnya b. Hitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis 4=x

2. Diketahui ( ) ( )

=

2

1

sinpix

xxf a. Hitung ( )xf

x

lim2

+pi

b. Tentukan turunan pertama dari ( )xf

3. a. Hitung integral

+ dxxxx

x

66

23

3

b. periksa kekonvergenan integral tak wajar

0dxxe x

No 1 2 3 Nilai 12 14 14

Selamat mengerjakan denga jujur !



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007 KALKULUS I MA1114

SABTU / 13 JANUARI 2007 TUTUP BUKU

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 Berdoalah sebelum mulai mengerjakan! Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik 21 xy = , garis x = 1, dan garis y = 1 d. Hitung luas daerah D e. Volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.

2. a. Tentukan 'y ( untuk x > 0 dan y > 0) jika yx xy = b. Diketahui =

3

0).1(cos)(

x

xxdttf pi Tentukan nilai f(8).

3. Hitung +

+ dxxx

x23

2 1

4. Selidiki kekonvergenan +

0

1 1dx

x

x

5. Diketahui 1

)(+

=

x

xxf

a. Selidiki apakah f(x) mempunyai invers ? b. Cari ( )11 f !

NOMOR 1 2a 2b 3 4 5 NILAI MAKS 8 4 4 8 8 8 PENGOREKSI FDA JDN ERW ZKA DMA SSI

-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006 KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006

TUTUP BUKU Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114

Berdoalah sebelum mulai mengerjakan! Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi dua bagian yang sama. a. Gambarkan daerah D b. Tentukan m

2. Tentukan panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).

3. Carilah a. dxxx )(cos)(sin 34

b. 1

0

1 )(tan dxx

4. Selidiki kekonvergenan

3

0 29 x

dx

5. Diketahui f(x) = (x-pi)tan x. Tentukan a. ( )xf ' . b. )(lim xf

x +pi

No 1 2 3 4 5 Jumlah Nilai Max 8 8 8 8 8 40 Pengoreksi ERW BZL FDA SSI JDN




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005 MA-1114 KALKULUS I

SENIN 10 JANUARI 2005 TUTUP BUKU

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y = 1

a. Hitung luas D b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap garis

x = 3

2. Bila xxxxf )sin()( += , tentukan : a. )(' xf b. )(lim

0xf

x +

3. Hitung ++

+

1

12 52

5 dxxx

x

4. Hitung

dxx 2

32 )14(1

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar 2

1)1ln( dxx




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1122 KALKULUS I

23 DESEMBER 2003 TUTUP BUKU

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122

1. Diketahui 1

)(2 +

=

x

xxf

Tentukan : a. Daerah dimana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta

jenisnya (bila ada) b. Daerah dimana grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik

beloknya (bila ada) c. Garis-garis Asimtot d. Sketsa grafik f

2. Diketahui +

=

4

2 4

3

,

1)(

x

x

dtt

xxH tentukan H(2)

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4 a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar

terhadap garis y = -1

4. Diberikan ( ) xxxf ln2 1)( += , tentuka f (x) 5. Hitung integral-integral berikut

a. dxe x9 Dengan menggunakan subtitusi xeu = 9

b. pi

0

2cos xdxx




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 PU 1333 KALKULUS


Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis

0=x dan garis y = 3 a. Hitung luas daerah D b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = -1

2. Diketahui ( ) ecxxxf coscos)( = a. Hitung : )(lim

0xf

x

b. Tentukan turunan pertama f(x) 3. Hitung integral berikut:

a. +

dxxx

x

522

2

b. ( ) + dxx2ln 4. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut:

a. ( ) ++

0 2332x

dx

b.

3

12 6

12 dxxx

x

Selamat Bekerja Dengan Jujur



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004


1. Tentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex

2. Hitung + dxx)2ln(

3. Diketahui

3

12 6

12 dxxx

x

a. Periksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar ? b. Jika integral tak wajar, periksa kekonvergenannya!

4. a. Tentukan selang kekonvergenan deret :

( ) +++=+=0

2...3211

n

n xxxn

b. Tentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :

xxxx

=++++1

1...1 32

5. Tentukan deret McLaurin dari fungsi x

xxf

+=

1)(




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS / PU 1333

6 JANUARI 2003 TUTUP BUKU

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 Kerjakan dengan singkat dan jelas! Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan!

1. Diketaui ecxxxf cos)1()( += a. Tentukan )(' xf b. Hitung )(lim

0xf

x+

2. Hitung integral berikut a. ( )dxx 25ln + b.

22 4 xx

dx

3. Selidiki kekonvergenan dari

a. ( ) ++

0231x

dx

b. +

0

21dx

e

ex

x

4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = , x = 4 , sumbu x. a. Tentukan luas D b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y.




UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003 MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003


1. Hitung

a. ( ) ( ) + + 41 643 2223

xx

xxx

b. +

dxxx 1

122

2. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar ( ) dxxx

+

+

1232 1

3. Diketaui ( ) 2cot)( xxxf = Tentukan : a. Turunan pertama dari f(x) ! b. )(lim

0xf

x +

4. Tentukan selang kekonvergenan ( ) +=

+1 2121

nn

n

n

x




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS I TUTUP BUKU

Uas 2002-2003 Kalkukus I

1. Hitunglah ( ) xx

xsin

0tanlim

+

2. Tentukan )(' xf dari 2)sin2()( xxxf +=

3. Hitung integral berikut dx

x

x 14 2

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar di bawah a. dx

e

ex

x

+

21

b.

xx

dx3ln

5. a. Periksa kekonvergenan deret

=

+

1

1

!3

n

n

n

b. Tentukan selang kekonvergenan deret +

=

0 2

1

)1(2

n

nn

n

x




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002 DA 1314 KALKULUS I


Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 1. Diberikan fungsi 1,22)( 2 ++= xxxxf . Tunjukkan bahwa fungsi

)(xf mempunyai invers kemudian carilah )(1 xf

2. a. Carilah integral tak tentu +

+ dxxx

x

44

3

b. Hitunglah

3

12

29 dxx

x

3. selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut a. dxx +

0)1ln(

b. 1

0

2

dxx

ex

4. Tentukan selang/himpunan kekonvergenan dari deret pangkat

+

=

+

0

1

32)2(

n

nn

n

x

5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin (minimal 4 suku pertama) untuk fungsi 24

1)(x

xf

=




UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001 KALKULUS 1

SENIN / 24 NOVEMBER 2000 TUTUP BUKU

Uas 2000-2001 Kalkulus I

1. Diketahui xxxxf 1)42()( += a. Tentukan )(' xf b. Hitunglah )(lim xf

x ( jika ada )

2. Hitung

a. ( )( ){ } 53

21ln dxxx

b.

dxx

x

29

32

3. Hitung ++

dxxxx

xx

)22)(1(32

2

2

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut :

a. 2

0tan

pi

d

b.

0 2dxxex

5. Tentukan selang ( himpunan ) kekonvergenan deret +

=

+

1

1

)1()1(kk

k

kkx




PEMBAHASAN



PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010

KALKULUS I/MA1114 15 AGUSTUS 2009

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva

xy = , garis 1=y , garis 4=x .

a. Gambar daerah D diperlihatkan pada gambar di samping

b. Menghitung luas daerah D luas salah satu partisi dari D adalah :

( ) yyA = 24 apabila luas seluruh partisi dari D dijumlahkan akan diperoleh luas daerah D yaitu

( ) 21

331

2

1

2 44 yydyyA = = ( ) ( ) 353138 48 ==

c. Menghitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.

Jika salah satu partisi dari D diputar terhadap sumbu y maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari-jari bagian dalam 2y dan jari-jari bagian luar 4 serta tebal y . Volume cakram tersebut yaitu

( ) ( ) yytrrV dl == 422 16pipi Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah

( ) ( ) pipipi 5492155121 4 1616 == = yydyyV

1

xy =

40

D

Ddaerah

y

1 24 y

40 1

2

y

2yrd =

4=lr



2. a. Mencari turunan dari xey1sin

=

misalkan xu 1sin= maka 21

1

xdxdu

= ,

uey = dan uedudy

= .

Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh :

2

sin

2 11

11

x

e

x

edxdu

dudy

dxdy xu

=

==

b. Menghitung ( ) xxx

xe12lim +

( ) xxx

xe12lim +

( ) ( )212 ln1limexplnexplim xe

xxe

x

x

xx

x

+=+=

( )

**2

limexp*ln

limexp 22

xe

xe

x

xex

x

x

x

x +

+=

+=

( ) 10exp22

limexp ==+

+=

xe

ex

x

x

Note : * dan ** limit berbentuk / sehingga LH dapat diterapkan.

3. Menghitung integral

a. 2

0

5cos

pi

xdx

xdx5cos ( )= xdxx coscos 22 ( ) = xdxx cossin1 22 ( ) += xdxxx cossinsin21 42

( ) ( ) += xdxx sinsinsin21 42

cxxx ++= 5513

32 sinsinsin

2

0

5cos

pi

xdx

( ) 1580551332 2sinsinsin =+=pi

xxx

b. +

dxxx

x

106

32

+

dxxx

x

106

32

( )

+

+=

106

1062

2

21

xx

xxd

cxx ++= 1062



Alternative lain adalah dengan melihat kenyataan bahwa

+

dxxx

x

106

32

( ) +

= dxx

x

13

32

kemudian lakukan substitusi

tx tan3 =

4. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( ) ++

0 234 dxxx

x

( )( ) ++

0 234 dxxx

x ( )( ) ( )( ) +

++

+

+=

+

3

202 234

lim234

limbb

a

a

dxxx

xdxxx

x

( )( ) ( )*........234

lim3

+

++

c

c

dxxx

x

Misalkan ( )( ) ( ) ( )23234

++

=

+

+

x

bx

a

xx

x. Untuk mendapatkan nilai a dan b

kita kalikan kedua ruas dengan ( )( )23 + xx menjadi ( ) ( )324 ++=+ xbxax

untuk 2=x diperoleh b56 = atau 56=b

untuk 3=x diperoleh a51 = atau 51=a sehingga

( )( ) ++ dx

xx

x

234

( ) ( ) cxxdxxx +++=

++

= 2ln3ln25

635

156

51

.

Sekarang kita selesaikan limit bagian pertama pada ruas kanan (*)

( )( ) ++

a

a

dxxx

x

02 234

lim ( )aa

xx 056

51

22ln3lnlim ++=

( ) ( ) =+++=

2ln3ln2ln3lnlim 56

51

56

51

2aa

a

Ini menunjukkan bahwa ( )( ) ++

a

a

dxxx

x

02 234

lim divergen yang berakibat

( )( ) ++

0 234 dxxx

x juga divergen.



PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009

KALKULUS I MA1114 SELASA / 13 JANUARI 2009

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh

kurva 42 =+ yx dan garis 2+= xy a. Menggambar daerah D dan mencari

titik-titik potongnya Titik potong kurva antara 42 =+ yx dan

2+= xy

42 =+ yx

422 =++ xx 022 =+ xx

( )( ) 012 =+ xx 2=x atau 1=x

b. Menghitung luas daerah D luas salah satu partisi dari D adalah :

( ) ( )( ) xxxA ++= 242 ( ) xxx += 22

Jika luas semua partisi dari D kita jumlahkan akan didapat luas daerah D yaitu :

( ) +=

1

2

2 2 dxxxA

1

2

23 221

31

+= xxx

2942

382

21

31

=

+=

2+= xy

42 += xy

2

D

1

x

( ) ( )242 ++ xx



c. Menghitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x.

Bila sebuah partisi dengan tinggi 22 + xx dan alas x diputar terhadap

sumbu x maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam 2+xdan jari jari bagian luar 42 + x serta tebal x . Luas volume cakram tersebut adalah

( )trrV dl 22 = pi ( ) ( ) xxx

++= 2

22 24pi

( ) ( )( ) xxxxx +++= 44168 224pi ( ) xxxx += 1249 24pi

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :

( ) +=

1

2

24 1249 dxxxxV pi1

2

235 122351

+= xxxxpi

+

+= 24824

5321223

51

pi pi5

108=

2. Menentukan a sehingga 2)0(' =f jika ( )axxa

xf 11 tantan1)( +=

( ) ( )22 1111

'

ax

a

xaxf

++

+=

karena 2)0(' =f maka

aa

+=12

212 aa += 0122 =+ aa

( ) 01 2 =a ,

1=a

x

2+= xrd

42 += xrl



3. Menghitung ( )xx

xcotlim0+

( )xx

xcotlim0+

( ) ( )xxxx

x

x

cotlnlimexpcotlnexplim00 ++

==

( )*

1cotln

limexp0

=

+

x

x

x

=+

2

2

0 1

cotcsc

limexp

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx coslim

sinlimexp

cos

sinsin

limexp002

2

0 +++ ==

( ) 10.1exp ==

Note : *limit berbentuk / sehingga LH bisa diterapkan.

4. Mengitung integral

a. + 342 xx

dx

( )*

21 2

=

x

dx ( ) cx += 2sin 1

Note: * jika kurang faham lakukan substitusi tx sin2 =

b. dxxx + 423

misalkan : 42 += xu maka xdxdu 2= atau x

dudx2

=

sehingga

dxxx + 423 =x

duux2

3 = duux 22

1

( ) = duuu 421

= duuu 2

12

34

21

cuu +

=

23

25

38

52

21

( ) ( ) cxx +++= 232252 4344

51



5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar dxex x

32

dxex x

32 +=

bx

ba

x

a

dxexdxex0

20

2 33 limlim

misalkan 3xu = maka dxxdu 23= sehingga

dxex x

32 = dueu3

1 ceu +=

31

ce x += 3

31

dxex x

32b

x

ba

x

a

ee0

033

31

lim31

lim

+=

=+++=

31

31

lim31

31

lim33 b

b

a

a

ee

Jadi dxex x

32 divergen.



PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008

KALKULUS I/MA1114 Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114

1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 24 xy = , garis xy 3= dan sumbu y. a. Gambar daerah D luas daerahnya

Perhatikan gambar disamping ! Titik potong antara kurva 24 xy = dan

xy 3= terjadi saat xx 34 2 = yaitu 0432 =+ xx

( )( ) 014 =+ xx 4=x (tidak memenuhi karena D pada

kwadran I) atau 1=x Luas salah satu partisi dari D adalah :

( )( ) ( ) xxxxxxA +== 4334 22 Jika kita jumlahkan luas seluruh partisi dari D akan didapat luas daerah D yaitu

( ) += 10

2 43 dxxxA

6131

02

233

31 4 =+= xxx

satuan luas.

b. Menghitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis 4=x Apabila salah satu partisi dengan tinggi

432 += xxt dan alas x serta berjarak x4 dari garis 4=x diputar terhadap garis 4=x akan diperoleh sebuah kulit tabung dengan dengan tinggi 432 += xxt , jari-jari xr = 4 serta tebal x .

xy 3= 1

( ) xx 34 2 x



Volume kulit tabung tersebut adalah : ( )( ) xxxxrrtV +== 43422 2pipi ( ) xxxx += 16162 23pi

Apabila volume seluruh kulit tabung dijumlahkan akan diperoleh volume benda putar yang dimaksud yaitu

( ) += 10

23 16162 dxxxxV pi ( ) pipi 65102331441 151682 =+= xxxx 2. Diketahui ( ) ( ) ( )21sin pi= xxxf

a. Menghitung ( )xfx

lim2

+pi

( ) ( ) ( )21

22

sinlnexplimlim pipipi

++

=xxxf

xx

( ) ( )*

sinlnlimexp

sinlnexplim

22 22pipi

pipi

=

=++

x

x

x

x

xx

( ) 10expsincos

limexp2

===+

x

x

x pi

Note :*limit berbentuk 0/0 sehingga LH dapat diterapkan.

b. Menentukan turunan pertama dari ( )xf

( ) ( ) = 21

sinpix

xxf

( ) ( )2

2

1sinln

sinlnlnpi

pi

==

x

xxxf x

( )

=

2

sinlnlnpix

xDxfD xx

( )( )

( )( )22

2sincos sinln'

pi

pi

=

x

xx

xfxf xx

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

=

= 2

1

22

22

2

2 sinsinlncotsinlncot

'

pi

pi

pi

pi

pix

xx

xxxxf

x

xxxxf



3. a. Menghitung integral ( )( ) ++

=

+ dxxxx

xdxxxx

x

236

66 3

23

3

misalkan ( )( ) 232363

++

++=+

+

x

dx

c

x

ba

xxx

x

untuk mendapatkan nilai a, b, c dan d kita kalikan kedua ruas dengan ( )( )23 + xxx menghasilkan

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*....................32232363 ++++++=+ xdxxcxxxbxxaxx kemudian dengan menyulihkan nilai 0=x , 3=x , 2=x dan 1=x ke dalam (*) secara berturut turut kita peroleh

b66 = atau 1=b c1533 = atau 5

11=c

d102 = atau 51

=d

dcba 4445 += atau 1=a Dengan demikian kita memiliki

( ) ( ) Cxxxxdx

xxxdx

xxx

x

+++=

+

+=

+

2ln3lnln23

116

6

51

511

51

511

23

3

b. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar

0dxxe x

Misalkan xu = dan dxedv x= maka dxdu = dan xev = sehingga ==

vduuvudvdxxe x

cexedxexe xxxx +=+=

0dxxe x

axx

a

ax

a

exedxxe00

limlim

==

11lim1**1

lim11lim =

+=

+=+=

aaaa

aa

a ee

aeae

Jadi

0dxxe x

konvergen ke 1.

Note :** limit berbentuk / sehingga LH dapat diterapkan

1001 Soal & Pembahasan UAS

Arip Paryadi , IT Telkom


KALKULUS I MA1114 SABTU / 13 JANUARI 2007

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik

21 xy = , garis x = 1, dan garis y = 1. a. Menghitung luas daerah D

Perhatikan gambar di samping ! Luas salah satu partisi dari D adalah

xxxxA == 22 ))1(1( . Sehingga luas daerah D adalah :

luassatuan31

31 1

0

31

0

2=== xdxxA

b. Menentukan volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.

Metode kulit tabung Jika salah satu irisan dengan tinggi

22 )1(1 xx = dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi 2x , jari jari x dan tebal x . Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :

( ) xxxxxV == 32 22 pipi 24

1221

0

41

0

3 pipipi =

== xdxxV

1=y

1y =

Pembahasan UAS Kalkulus I

28

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007

x

y

1=x2x

Dx



2. a. Menentukan 'y

jika yx xy = yx xy =

yx xy lnln = xyyx lnln =

( ) ( )xyDyxD xx lnln = y

xxyxy

yy 1ln''1ln +=+

yx

yxyy

yx lnln'' =

yx

yyxyx ln'ln =

xyx

yx

y

yln

ln'

=

b. Menentukan f(8) jika diketahui ( )*........).1(cos)(3

0 =x

xxdttf pi

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspilisit dari f(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus pada (*)

]).1(cos[)(3

0 =x

xx xxDdttfD pi

pipipi )sin()1(cos3)( 23 xxxxxf += 1sincos3)( 23 = xxxxxf pipipi

23

31sincos)(

x

xxxxf = pipipi

Dengan menyulihkan nilai x = 2 ke persamaan terkahir kita peroleh

23

2.312sin22cos)8()2( == pipipiff 0

12101

=

=



3. Menghitung +

+ dxxx

x23

2 1

misalkan 1)1(

122

2

+++=

+

+

x

c

x

bx

a

xx

xmaka :

)1()1()1(

)1(1

2

2

2

2

+

++++=

+

+

xx

cxxbxaxxx

x

22 )1()1(1 cxxbxaxx ++++=+ untuk 0=x kita peroleh 1=b untuk 1=x kita peroleh 2=c untuk 1=x kita peroleh cba ++= 222 atau 1=a sehingga :

+

+ dxxx

x23

2 1

+++= dx

xxx 1211

2 Cxxx +++= 1ln21ln

4. Menyelidiki kekonvergenan +

0

1 1dx

x

x

+

=+

0

1

0

1 1lim

1 aadx

x

xdxx

x

+

+=

0

1 11)1(

limaa

dxx

x

++=

0

1 111lim

aa

dxx

x

dxxxaa

++=

21

210

1)1()1(lim

02

12

3

1)1(2)1(

32

limaa

xx

++=

34)1(2)1(

322

32

lim 21

23

1=

++

=

aa

a

Dengan demikian +

0

1 1dx

x

x konvergen ke 34



5. Diketahui 1

)(+

=

x

xxf

a. Menyelidiki apakah )(xf mempunyai invers Untuk menyelidikinya kita periksa apakah f monoton murni untuk setiap selang pada R (sesuai dengan domainnya). Sekarang perhatikan bahwa

Rxxx

xxxf >

+=

+

+= 0

)1(1

)1()1()(' 22

Ini menunjukkan bahwa f selalu naik yaitu f monoton murni sehingga f memiliki invers.

b. Mencari )1(1 f misalkan )(1 yfx =

1)(

+=

x

xxf

1+=

x

xy

xxy =+ )1( xyyx =+

yxyx =

yxy = )1(

yy

yy

x

=

=

11

yyyf

=

1)(1

x

xxf

=

1)(1

21

)1(11)1(1 =

=f



2xy =

xy =

mxy =


KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006

Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi

y=xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama. a. Menggambar daerah D

b. Menentukan nilai m Karena Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama, maka luas daerah yang dibatasi fungsi y = xm dan y = x adalah setengah luas D. secara matematis dapat dituliskan dalam :

= 1

0

21

0)(

21)( dxxxdxxx m

1

0

321

0

12

31

21

21

11

21

=

+

+ xxxm

x m

=

+

31

21

21

11

21

m

121

11

21

=

+

m

125

121

21

11

==

+m

57

= m

2xy =

xy =



2. Menentukan l = panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).

+=

1

0

2

1 dxdxdyl

+=

1

0

22

1

231 dxx

+=1

0 491 dxx

1

0

23

94

491

32

+= x

= 1

413

278 2

3

3. Menentukan : a. dxxx )(cos)(sin 34

dxxx )(cos)(sin 34 = dxxxx )cos()(cos)(sin 24 ( ) = dxxxx )cos()(sin1)(sin 24

( ) = dxxxx )cos()(sin)(sin 64 ( ) ( ) = xdxx sin)(sin)(sin 64

( ) ( ) cxx += 75 sin71

sin51

b. 1

0

1 )(tan dxx

misalkan : )(tan 1 xu = dan dxdv =

maka : dxx

du 211

+= dan xv = sehingga

=

udvdxx)(tan 1 = vduuv dxx

xxx

+=

21

1)(tan

( )

+

+=

2

221

1

1

1)(tanx

xdxx

Cxxx ++= 21 1ln21)(tan

dengan demikian 1

0

1 )(tan dxx1

0

21 1ln21)(tan

+= xxx

=

1ln2102ln

21)1(tan 1 2ln

21

4=

pi



4. Menyelidiki kekonvergenan

3

0 29 x

dx

3

0 29 x

dx

=

a

a x

dx0 23 9

lim

misalkan : sin3=x maka ddx cos3= jika 0=x maka 0= jika 3x maka

2pi

sehingga

a

a x

dx0 23 9

lim

=

b

b

d0 2

2sin99

cos3lim

pi

=

b

b

d0 2

2)sin1(9

cos3lim

pi=

b

b

d0 2

2cos9

cos3lim

pi

=

b

b

d0

2cos3

cos3lim

pi

=

b

b

d0

2

lim pi 2

lim

2

pi

pi==

bb

Jadi

3

0 29 x

dx konvergen ke

2pi

Alternative lain

3

0 29 x

dx

=

a

a x

dx0 23 9

lim a

a

x

0

1

3 3sinlim

=

23sinlim 1

3

pi=

=

a

a

yaitu

3

0 29 x

dx konvergen ke

2pi



5. Diketahui ( ) xxxf tan)( pi= a. Menentukan ( )xf '

xxy tan)( pi= xxy tan)ln(ln pi=

)ln()tan(ln pi= xxy ( ) ( )[ ]pi= xxDyD xx lntanln

( ) ( )xx

xxyy

tan1ln)(sec'1 2

pipi

+=

( ) ( ) ( ) yxx

xxy

+= tan1lnsec' 2

pipi

( ) ( ) ( ) ( ) xxxx

xxy tan2 tan1lnsec' pipi

pi

+=

b. Menghitung )(lim xfx +pi

)(lim xfx +pi

x

x

xtan)(lim pi

pi=

+

=

+

x

x

x tan)ln(explim pipi

[ ])ln()tan(explim pipi

=+

xxx

[ ])ln()tan(limexp pipi

=+

xxx

( ) *)cot(

lnlimexp

=

+ x

x

x

pi

pi

=+ )(csc

1

limexp 2 xx

x

pi

pi

*2 )(sinlimexp

pipi =

+ x

x

x 1)cos()sin(2

limexpxx

x

=+pi

( ) 10exp 0 === e

note : * limit bernilai 0/0 sehingga LH dapat diterapkan




MA-1114 KALKULUS I SENIN 10 JANUARI 2005

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y

= 1 a. Menghitung luas D

Luas salah satu partisi pada D adalah ( ) xxA = 12

sehingga luas daerah D adalah

( ) = 21

2 1 dxxA

2

1

3

31

= xx

341

312

38

=

=

b. Menghitung volume benda jika D diputar terhadap garis x = 3 jika salah satu irisan dengan tinggi 12 x dan alas x serta berjarak x3 dari garis x = 3 diputar terhadap garis 3=x akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi

12 x , jari jari x3 dan tebal x . Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :

( )( )( ) xxxx

xxxV

++==

332132

23

2

pi

pi

( ) ++= 21

23 332 dxxxxV pi

112

7321

412

2

1

234==

++=

pipi xxxx

}x

2xy =

1=y

2=x1

4

x

y

} 12 x

}x

30 x

x3



2. Diketahui xxxxf )sin()( += a. Menentukan )(' xf

xxxy )sin( += xxxy )sinln(ln += xxxy )sinln(ln += ( )( )xxxDyD xx sinln)(ln +=

( ) xxx

xxxy

y sincos1

sinln'1+

+++=

( ) yxxx

xxxy

+

+++=

sincos1

sinln'

( ) ( )xxxxxx

xxxy sin

sincos1

sinln' +

+

+++=

b. Menghitung )(lim0

xfx +

)(lim0

xfx

+( )x

x

xx sinlim0

+=+

( )xx

xx sinlnexplim0

+=+

( )[ ]xxxx

sinlnexplim0

+=+

( )[ ]xxxx

sinlnlimexp0

+=+

( )*

1sinln

limexp0

+=

+

x

xx

x

+

+

=+

20 1

sincos1

limexp

x

xx

x

x

( )**

sincos1

limexp2

0

+

+=

+ xx

xx

x

( ) ( )

+

++=

+ x

xxxx

x cos1sincos12

limexp2

0

1)0exp(20

exp 0 ===

= e

Note : * limit berbentuk / **(0/0) sehingga LH dapat diterapkan.



3. Menghitung ++

+

1

12 52

5 dxxx

x

++

+

1

12 52

5 dxxx

x

( ) +++

=

1

1 22 215 dx

x

x

misalkan : tan21 =+x maka ddx 2sec2= jika 1=x maka 0= jika 1=x maka

4pi = sehingga

( ) +++

1

1 22 215 dx

x

x

+

+=

4

0

22 sec24tan4

5)1tan2(pi

d

+

+=

4

0

22 sec2)1(tan4

4tan2pi

d +

=

4

0

22 sec2)(sec4

4tan2pi

d

( ) += 40

4tan221

pi

d [ ] 40

4cosln221

pi

+=

( )

+= 02

21ln2

21

pi 221ln

2=

pi

4. Menghitung

dxx 2

32 )14(1

misalkan : sec21

=x maka dxd tansec21

= sehingga

dxx 2

32 )14(1

( ) = dtansec21

1sec

12

32

=

d2

32 )(tantansec

21

=

d3tantansec

21

=

d2tan

sec

21

= d

cos

1sincos

21

2

2

= d

sincos

sin1

21

= dcotcsc21 C+= csc

21 Cx += 241

21

x2

1 241 x



5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar 2

1)1ln( dxx

2

1)1ln( dxx =

+

2

1)1ln(lim

aa

dxx

Misalkan )1ln( = xu dan dxdv = maka 1

=

x

dxdu dan xv = sehingga

== vduuvudvdxx )1ln(

= dxx

xxx

1)1ln(

+= dx

x

xxx

11)1()1ln(

+= dxx

xx1

11)1ln(

( ) Cxxxx ++= )1ln()1ln( Cxxxx += )1ln()1ln(

Cxxx += )1ln()1( jadi

2

1)1ln( dxx [ ]2

1)1ln()1(lim

aa

xxx =+

( ) ( ) ( )( )[ ]aaaa

=+

1ln12lim1

)1ln()1(2lim1

=+

aaaa

)1ln()1(lim)2(lim11

=++

aaaaa

=+

11

)1ln(lim1

1

a

a

a

=+

21

)1(11

1

lim1

a

a

a

)(1)1(lim11

ansaa

==+

1kekonvergen)1ln(2

1 dxx




MA1122 KALKULUS I 23 DESEMBER 2003

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122

1. Diketahui 1

)(2 +

=

x

xxf

a. Daerah kemonotonan f dan titik ekstrimnya beserta jenisnya Kemonotonan dari f dapat ditentukan dari )(' xf

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )2222

2

22

2

1

11

1

1

1

21)('+

+=

+

=

+

+=

x

xx

x

x

x

xxxxf

f monoton naik jika 0)(' >xf yaitu pada selang (-1,1) f monoton turun jika jika 0)('



43

,3

0,0

43

,3

21

,1

21

,1

( )1

grafik 2 +=

x

xxf

f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada selang ),3()0,3(

f cekung ke bawah jika ( ) 0"



2. Menentukan )2('H jika diketahui +

=

4

2 4

3

1)(

x

x

dtt

xxH

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspisit dari H(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus.

+ =

+=

4

2 4

4

2 4

33

1

1

1)('

x

xx

x

xx dt

txDdt

t

xDxH

+

++

=

4

2 4

4

2 4

33

1

1

1

1 x

xx

x

x

dtt

xDdtt

( ) ( )

+

+

++

=

443

24

2 4 21

2

41

3

1

13

xx

xxdt

t

x

x

( )25712

25612

256182

1

12'4

4 4=

+

++

+= dt

tH

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4

a. Menggambar daerah D dan menghitung luas daerahnya.

luas salah satu partisi dari D adalah :( ) xxA = 24

Apabila luas seluruh partisi kita jumlahkan maka akan diperoleh luas dari D yaitu :

( ) 22

32

2

2

3144

= = xxdxxA

332

388

388 =

+

=

22

2xy =

4

D

x

24 x



b. Menghitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis y = -1

Apabila sebuah partisi diputar terhadap garis y = -1 maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari luar 5=lr dan jari jari dalam

12 += xrd serta tebal xt = . volume dari cakram tersebut yaitu

( )trrV dl 22 = pi ( ) xx

+=

22 125pi

( ) xxx += 242 24pi Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :

( ) +=

2

2

24 242 dxxxV pi2

2

35 2432

51

+= xxxpi

+

+= 48

316

53248

316

532

pi pi15

1088=

4. Menentukan 'y jika ( ) xxy ln2 1+= ( ) ( ) ( )1lnln1lnln 2ln2 +=+= xxxy x

( ) ( )( )1lnlnln 2 += xxDyD xx

( )1

ln21ln'2

2

++

+=

x

xx

x

x

yy

( )y

x

xx

x

xy

++

+=

1ln21ln

'2

2 ( ) ( ) xxx

xx

x

x ln22

21

1ln21ln

+

++

+=

4x

5=lr

12 += xrd

1



5. Hitung integral-integral berikut

a. dxe x9

Misalkan xeu = 9 maka x

x

e

dxedu

=

92atau

xx

x

e

udue

duedx 292 == sehingga

dxe x9 = xe

duu 22

duu

u

= 2

2

92

duu

u

=

92 2

2

duu

+=9

912 2 duuu +

+=3

233

2312

( ) ( ) cuuu +

++= 3ln

233ln

232

( ) ( ) cuuu +++= 3ln33ln32 ( )( ) cuu

u ++

+=33ln32

c

e

ee

x

xx +

+

+=39

39ln392

b. pi

0

2cos xdxx

( )

+=

pi

0 22cos1 dxxx

( ) += pi0

2cos21 dxxxx

+=pipi

00

2*2cos

21

21

xdxxx

+=pipipi

00

22sin

212sin

221

4xdxxx

42cos

410

21

4

2

0

2 pipipi

=

++= x

Note : *terapkan integrasi parsial dengan xu = dan xdxdv 2cos=




PU 1333 KALKULUS SENIN 5 JANUARI 2004

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis

0=x dan garis y = 3 a. Menghitung luas daerah D

Luas salah satu partisi pada D adalah ( ) xxA = 3

sehingga luas daerah D adalah

( )9

0

239

0 3233

= = xxdxxA ( ) 9093

227 23

=

=

b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis 1=y

jika salah satu irisan diputar terhadap garis 1=y maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam ( ) 11 += xx dan jari jari luar 4 serta tebal x . Sehingga volume cakram tersebut adalah :

trtrV dl22 pipi =

xx3

xy =3

90

x3

91+x

4

1



trr dl )( 22 = pi ( ) xx += )14( 22pi ( ) xxx ++= )1216(pi

( ) xxx += 152pi ( ) += dxxxV 152pi

9

0

23

2 1532

.221

+= xxxpi

9

0

23

2 1534

21

+= xxxpi

( )

+= 013527.

3481.

21

pi pi2

117=

2. Diketahui ( ) ecxxxf coscos)( = a. Menghitung : )(lim

0xf

x

)(lim0

xfx +

x

x

xcsc

0)(coslim

+=

( )( )xx

xcsc

0coslnexplim

+=

( )( )xx

xcsc

0coslnlimexp

+=

( )xxx

cosln.csclimexp0+

=

.

sin)ln(cos

limexp*

0 x

x

x +=

x

x

x

x cos

cos

sin

limexp0

=+

1)0exp( ==

Note : * limit berbentuk 0/0 , sehingga LH bisa diterapkan.



b. Menentukan turunan pertama f(x) ( ) ecxxy coscos=

xxy csc)ln(cosln =

)ln(coscscln xxy =

[ ])ln(coscscln xxDyD xx =

x

xxxxxy

y cossin

.csc)ln(coscot.csc'1 +=

[ ] yxxxxy sec)ln(coscot.csc' +=

[ ] xxxxxxy csc)(cos.sec)ln(coscot.csc' += 3. Menghitung

a. +

dxxx

x

522

2

+

dxxx

x

522

2 ( ) += dxxx

22 212

misalkan tan21 =x maka ddx 2sec2= sehingga :

( ) + dxxx

22 212

+

+=

d22 sec24tan4

)1(tan2

+

+=

d22 sec2)1(tan4

2tan2

+

=

d22 sec2sec42tan2

+

=

d22 sec2sec42tan2

( ) c++= 2cosln221

c+= cosln

c

xx

x+

+

=

52

2ln2

1tan

21

1x

2



b. ( ) + dxx2ln Misalkan )2ln( xu += dan dxdv = maka

dxx

du+

=

21 dan xv = sehingga

( ) + dxx2ln = udv = vduuv

++= dx

x

xxx

2)2ln(

+

++= dx

x

xxx

22)2()2ln(

++= dx

xxx

221)2ln(

cxxxx ++++= )2ln(2)2ln( cxxx +++= )2ln()2(

4. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar a. ( ) +

+

0 2332x

dx

+=

+

a

a x

dx0 2

3)32(lim

+=

+

a

a

x0

23)32(lim

a

a

x0

21

21

.)32(2lim +

+=

a

a x 0321

lim+

=

+ 31

321

lim ++

=

+ aa 31

=

( ) ++

0 2332x

dx konvergen ke

31

b.

3

12 6

12 dxxx

x

=

a

a

dxxx

x

123 6

12lim

( )

=

a

a

dxxx

xxd1

2

2

3 66

lima

a

xx1

2

36lnlim =

==

6ln6lnlim 23

aaa

Jadi integral di atas divergen.




MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 1. Menentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex

( ) ( )1xxyx DexD =+ ( ) 0'1 =++ xyyexy

0'1 =++ xyxy exyye

xyxy yeexy = 1'

xy

xy

xe

yey = 1'

2. Menghitung + dxx)2ln(

( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 3b)

3. Diketahui

3

12 6

12 dxxx

x

a. Memeriksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar Benar , integral di atas merupakan integral tak wajar karena jika subtitusikan x = 3 maka fungsi integran

612

2

xx

xmenjadi tak

terdefinisi.

b. Memeriksa kekonvergenan integral di atas. ( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 4b)



4. ( Untuk kurikulum baru soal ini termasuk dalam materi kalkulus tingkat II) a. Menentukan selang kekonvergenan deret :

( ) +++=+=0

2...3211

n

n xxxn

misalkan : ( ) nn xna 1+= maka ( ) 11 2 ++ += nn xna

n

n

n a

a 1lim +

= ( )( ) nn

n xn

xn

12

lim1

+

+=

+

( )( ) xnn

n 12

lim+

+=

( )( )1

2lim

+

+=

n

nx

n

x=

Agar deret konvergen maka haruslah < 1yaitu 1+1 maka menurut uji deret ganti tanda deret tersebut divergen.

- Untuk 1=x deret menjadi ( ) +++=+=0

....3211n

n . Deret ini

monoton naik dan tak terbatas di atas sehingga deret ini divergen.

jadi ( ) +=0

1n

nxn konvergen pada 11



b. Menentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :

xxxx

=++++1

1...1 32

( ) ++++=+=0

32...43211

n

nxxxxn

( )....1 32 ++++= xxxDx ( )21

11

1xx

Dx

=

=

5. Menentukan deret McLaurin dari fungsi x

xxf

+=

1)(

( )

=

+=

+=

xx

xx

x

xxf

11

11

1)(

( ) ( ) ( )( )......1 32 ++++= xxxx

( ) ( ) ( ) 1000

11 +

=

=

=

= = =n

n

nn

n

n

n

nxxxxx




KALKULUS / PU 1333 6 JANUARI 2003

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 1. Diketaui ecxxxf cos)1()( +=

a. Menentukan )(' xf ecxxxf cos)1ln()(ln +=

)1ln(cos)(ln += xecxxf ( ) ( ))1ln(cos)(ln += xecxDxfD xx

11

.cos)1ln(cot.cos)()('

+++=

xecxxgxecx

xfxf

[ ] )(1

1.cos)1ln(cot.cos)(' xf

xecxxgxecxxf

+++=

[ ] ecxxecxx

xgxecxxf cos)1ln(.cos1

1)1ln(cot.cos)(' ++

++=


xfx +

)(lim0

xfx

+

ecx

x

xcos

0)1(lim +=

+

( )ecxx

xcos

0)1ln(explim +=

+

( )ecxx

xcos

0)1ln(limexp +=

+

)1ln(.coslimexp0

+=+

xecxx

*sin

)1ln(limexp

0 x

x

x

+=

+

x

x

x cos

11

limexp0

+=

+

e== )1exp(

Note : *limit berbentuk 0/0, sehingga kita dapat menerapkan LH



2. Menghitung integral a. ( )dxx 25ln +

misalkan : )25ln( += xu dan dxdv =

maka dxx

du25

5+

= dan xv = sehingga

( ) =+ udvdxx 25ln = vduuv dx

x

xxx

++=

255).25ln(

dxx

xx +

+= )25

21()25ln(

cxxxx +

++= )25ln(

52)25ln(

cxxx ++

+= )25ln(

52

b.

22 4 xx

dx

misalkan : tx sin2= maka tdtdx cos2= sehingga

22 4 xx

dx

=

tt

tdt22 sin44sin4

cos2

=

)sin1(4sin4cos2

22 tt

tdt=

)(cos4sin4cos2

22 tt

tdt

=tt

tdtcos2.sin4

cos22 = t

dt2sin4

= tdtec2cos41

cgt += cot41

cx

x+

=

2441

tx

2

24 x



3. Menyelidiki kekonvergenan dari

a. ( ) ++

0231x

dx

( ) ( ) += + ++ a

a x

dxx

dx0 2

30 23 1lim

1

( ) += +

a

a

dxx0

231lim

a

a

x0

21)1(2lim

++=

211

12lim =

+=

+ aa

Ini menunjukkan bahwa ( ) ++

0231x

dx konvergen ke 2.

b. +

0

21dx

e

ex

x

+

=+

0

2

0

2 1lim

1 b xx

bx

x

e

dxedxe

e

Misalkan : xeu = maka dxedu x= Jika x maka + 0u Jika 0=x maka 1=u sehingga

+

=+

0

2

0

2 1lim

1 b xx

bx

x

e

dxedxe

e

+

=+

1

20 1lim

cc u

du 110

)(tanlimcc

u

+=

4)(tan)1(tanlim 11

0

pi==

+c

c

Ini menunjukkan bahwa +

0

21dx

e

ex

x

konvergen ke 4pi

.



4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = , x = 4 , sumbu x. a. Menentukan luas D

Luas salah satu partisi dari D adalah xxA =

dengan demikian luas seluruh daerah D adalah

316

32

4

0

234

0=== xdxxA

b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y. Jika sebuah partisi dari D dengan tinggi

x dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y maka aka diperoleh sebuah kulit tabung dengan jari jari x, tebal x dan tinggi

x . Sehingga volume kulit tabung tersebut sebesar

xxxxxV == 23

22 pipi

jadi volume benda yang dimaksud adalah

pipipi5

12852

.224

0

254

0

23

=== xdxxV

x 4=x0

x

x

x

x



PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003

MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 1. Menghitung

a. ( ) ( ) + + 41 643 2223

xx

xxx

misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( )41141643

2222

23

+

++

+

=

+

+

x

dcxx

bx

a

xx

xxx,

untuk mendapatkan nilai a, b, c, dan d kalikan kedua ruas dengan ( ) ( )41 22 + xx

sehingga persamaan menjadi ( )( ) ( ) ( )( )*1441643 22223 +++++=+ xdcxxbxxaxxx

,

kemudian dengan menyulihkan nilai 1=x , 1=x , 0=x dan 2=xsecara berturut turut kita peroleh

b55 = atau 1=b ba 51013 += atau 5

9=a

dba += 440 atau 5

16=d

dcba 368820 +++= atau 56

=c

sehingga

( ) ( ) dxxx xxx + + 41 643 2223

( ) ( ) ( ) dxxxxx

+

+

+

=

45166

11

159

22

( ) ( ) ( ) dxxxx

xx

+

++

+

=

4**1

516

4*2

53

11

159

222

( ) ( ) ( ) cxxxx +++= 2tan584ln53111ln59 12 Note : gunakan substitusi 42 += xu pada (*) dan tx tan2= pada (**)



b. +

dxxx 1

122

misalkan tan=x maka ddx 2sec= sehingga

+

dxxx 1

122

+

=

d222

sec1tantan

1

=

d222

secsectan

1

= dsec

tan

12 =

dcos

1sincos

2

2

= d

sin1

sincos

= dcsccot

c+= csc cx

x+

+=

12

2. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar ( ) dxxx

+

+

1232 1

( ) dxxx

+

+

1 232 1 ( ) += +

a

ax

x

1 232 1

lim

misalkan 12 += xu maka xdxdu 2= jika 1=x maka 2=u jika +x maka +u sehingga

( ) ++a

ax

x

1 232 1

lim =+

b

bu

du

2 23

21

limb

b u 2

2.

21

lim

=

+

21

211

lim =+=+ bb

Jadi ( ) dxxx

+

+

1232 1

konvergen ke 2

1

12 +x

1

x



3. Diketaui ( ) 2cot)( xxxf = a. Menentukan turunan pertama dari f(x)

( ) 2cotlnln xxy =

( )xxy cotlnln 2= ( ) ( ))ln(cotln 2 xxDyD xx =

( )x

xxxxxy

y cotcot.csc

cotln2'1 2 +=

( ( ) )yxxxxy csccotln2' 2=

( ( ) )( ) 2cotcsccotln2' 2 xxxxxxy =


xfx +

( ) 2cotlim0

x

x

x+

( ) 2cotlnexplim0

x

x

x+

=

( )xxx

cotlnexplim 20+

= ( )xxx

cotlnlimexp 20+

=

( )*

1cotln

limexp

20

=

+

x

x

x

=+

3

2

0 2

cotcsc

limexp

x

x

x

x

x

x

x

x

x cos

sinsin

12lim

exp 23

0+=

=

++ x

x

x

x

xx coslim

sinlim21

exp2

00

10.1.21

exp =

=

Note : *limit berbentuk / sehingga kita dapat menerapkan LH



4. Menentukan selang kekonvergenan ( )

+

=

+1 2121

nn

n

n

x

(untuk kurikulum baru materi ini termasuk dalam kalkulus tingkat II)

misalkan ( )

2121n

xa

n

n

n +

+=

maka ( )

22

1

1 )1(21

+

+=

+

+

+n

xa

n

n

n

( ))12(2

122

1

++

+=

+

+

nn

xn

n

n

n

n a

a 1lim +

= ( )( ) ( )nn

n

n

n x

n

nn

x

12

1221

lim21

22

1

+++

+=

+

+

+

( )( ) ( )121122lim 2

21

2

1

+++

+=

+

+

+

nn

n

x

xn

n

n

n

n

( )12)1(21lim 22

+++=

nn

nx

n

++

+=

2

2

2

121lim2

1

nnn

nx

n 21+

=

x

Agar deret konvergen maka haruslah 1



nn

alim

o 01lim 2 == nn

Karena 11




KALKULUS I Uas 2002-2003 kalkulus I

1. Menghitung ( ) xx

xsin

0tanlim

+

( ) xx

xsin

0tanlim

+( ) x

x

xsin

0tanlnexplim

+= ( ) x

x

xsin

0tanlnlimexp

+=

( )xxx

tanlnsinlimexp0+

=

( )*

csc

tanlnlimexp

0 x

x

x+

=

xx

x

x

x cotcsc

tansec

limexp

2

0

=+ x

x

x csc

seclimexp

2

0 =

+

x

x

x20 cos

sinlimexp =

+1)0exp( 0 === e

Note : * limit berbentuk / sehingga kita dapat menerapkan LH

2. Menentukan 'y dari 2)sin2( xxy +=

2)sin2( xxy += 2)sin2ln(ln xxy +=

)sin2ln(ln 2 xxy +=

( ) ( )( )xxDyD xx sin2lnln 2 += ( )

x

xxxxy

y sin2cos

sin2ln2'1 2+

++=

( ) yx

xxxxy

+++=

sin2cos

sin2ln2'2

( ) ( ) 2sin2sin2cos

sin2ln2'2

xx

x

xxxxy +

+++=



3. Menghitung dx

x

x 14 2

misalkan : sec21

=x maka ddx tansec

21

= sehingga

dx

x

x 14 2

=

dtansec21

sec21

1sec2

= dtantan2

= d2tan = d)1(sec2 c+= tan ( ) cxx += 2sec14 12

4. Menentukan kekonvergenan

a. dxe

ex

x

+

21

dxe

ex

x

+

21

++

+=

b

x

x

ba x

x

a

dxe

edxe

e

0 2

0

2 1lim

1lim

misalkan : xeu = maka dxedu x= sehingga

dxe

ex

x

+

21

+

= 21 udu

cu += 1tan ( ) ce x += 1tan dx

e

ex

x

+

21

( ) ( )bxba

x

a

ee0

101 tanlimtanlim

+=

( )

++

+=

4tanlimtan4lim

11 pipi bb

a

a

ee

240

24pipipipi

=

++

+=

Jadi dxe

ex

x

+

21 konvergen ke

2pi

14 2 x

1

x2



b.

xx

dx3ln

Karena domain dari ln x adalah x > 0 maka kita tidak dapat melakukan pengintegralan untuk kasus ini.

5. a. Memeriksa kekonvergenan deret

=

+

1

1

!3

n

n

n

misalkan : !

3 1

na

n

n

+

= maka )!1(3 2

1 +=

+

+n

an

n

n

n

n a

a 1lim +

= ( ) 12

3!

!13

lim ++

+=

n

n

n

n

n ( )!1!

33

lim 12

+=

+

+

n

nn

n

n

( ) !1!3lim

nn

n

n +=

( ) 011

lim3 =+

=

nn

karena = 0 < 1 maka menurut uji hasil bagi deret

=

+

1

1

!3

n

n

n

konvergen.

b. Menentukan selang kekonvergenan deret +

=

0 2

1

)1(2

n

nn

n

x

misalkan : ( )12 21

+=

n

xa

nn

n maka ( )( ) 222112 21

2

1

1++

=

++=

++

+nn

x

n

xa

nnnn

n

n

n

n a

a 1lim +

=nn

nn

n x

n

nn

x1

2

2

1

21

222

lim

+

+

++=

221

22

lim 221

1 ++

+=

+

nn

n

x

xn

n

n

n

n 2212lim 2

2

++

+=

nn

nx

n

221

lim2 22

++

+=

nn

nx

n

++

+

=

22

22

221

11lim2

nnn

nn

xn

x2=



Agar deret konvergen maka haruslah 1



Sekarang perhatikan bahwa 22 1 nn >+ atau 221

11

nn=p ) maka

menurut uji perbandingan deret +

=0 2 11

n nkonvergen yang

berakibat +

=0 2 )1(1

21

n njuga konvergen.

Dengan demikian deret +

=

0 2

1

)1(2

n

nn

n

x konvergen pada

21

21 x




DA 1314 KALKULUS I SENIN 15 JANUARI 2001

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 1. Membuktikan bahwa 1,22)( 2 ++= xxxxf memiliki invers dan

menentukan )(1 xf Untuk membuktikan bahwa f memilik invers harus kita tunjukkan bahwa f monoton murni pada domain yang diberikan. Sekarang perhatikan bahwa untuk 1



Dengan membandingkan koefisien suku yang sejenis di dapat 44 =a atau 1=a , 1=c , 0=+ ba atau 1=b . sehingga

+

+ dxxx

x

44

3

+

++= dx

x

x

x 411

2

++

+

+= dxxx

x

x 41

41

22

( )

++

+

+ =

444

211

22

2

x

dxx

xddxx

( ) cxxx +

++=

2tan

214ln

21ln 12

b. Menghitung

3

12

29 dxx

x

misalkan : sin3=x maka ddx cos3=

jika 1=x maka 31

sin 1=

jika 3=x maka 2pi = sehingga

3

12

29 dxx

x

=

2

31

sin2

2

1

cos3sin9

sin99pi

d

=

2

31

sin2

2

1

cos3sin9

)sin1(9pi

d

=

2

31

sin2

2

1

cos3sin9cos9

pi

d

=

2

31

sin2

1

cos3sin9cos3

pi

d

=

2

31

sin

2

1

cot

pi

d =

2

31

sin

2

1

)1(cscpi

d



( ) 231

sin 1cot

pi

=

=

31

sin31

sincot2

0 11pi

31

sin222

1++=pi

3. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar a. dxx +

0)1ln(

dxx +

0)1ln( dxx

a

a +=

0)1ln(lim

Misalkan )1ln( += xu dan dxdv = maka dxx

du1

1+

= dan xv =

sehingga

dxx + )1ln( = udv = vduuv

+

+= dxx

xxx

1)1ln(

+

++= dx

x

xxx

11)1()1ln( dx

xxx

++=

111)1ln(

( ) cxxxx +++= )1ln()1ln( cxxx +++= )1ln()1(

dxx +

0)1ln( [ ]a

a

xxx0

)1ln()1(lim ++=

[ ] =++=

aaaa

)1ln()1(lim

Jadi dxx +

0)1ln(

divergen.

4. Menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat +

=

+

0

1

32)2(

n

nn

n

x

misalkan ( )32

2 1

+

=

+

n

xa

nn

n maka ( )

522 12

1+

=

++

+n

xa

nn

n



n

n

n a

a 1lim +

= ( ) ( ) nnnn

n x

n

n

x1

12

2)32(

)52(2

lim +++

+

+

=

( )52322lim

+

+=

n

nx

n 5232

lim2+

+=

n

nx

nx2=

Agar deret kongergen maka haruslah 1



misalkan 32

1+

=

nan maka ( ) 52

1312

11 +

=

++=+

nnan sehingga

152

2152

2)52(52321

Documents

1001-soal-dan-solusi-uas-kalkulus-i-ittelkom.pdf