Mecnica del punto material - vectoresVECTORES TEORIA DE CAMPOS

TEMA 1Elementos del clculo vectorialTEMA 2Cinemtica de la partculaTEMA 3Dinmica de la partcula

TEMA 1Elementos del clculo vectorial

Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitud escalar es toda aquella que se puede definir mediante un nmero y su unidad de medida. Dependen nicamente de la unidad de medida y no del sistema de referencia.Ejemplos: la masa, la temperatura, la carga, la energa, etc

Magnitud vectorial es aquella que est representada por un vector.Ejemplos: velocidad, aceleracin, fuerza, intensidad de campo, etc

Definiciones:Vector: Segmento orientado que posee mdulo, direccin y sentido. Se representa con una flecha que va desde el origen, o punto de aplicacin, al extremo.

Direccin O mdulo () B sentido Origen extremo

Mdulo: Magnitud escalar que representa la longitud del vector.

Direccin: Es la dada por la recta sobre la que se desplaza el vector y que contiene a dicho vector.

Sentido: Hacia donde se puede desplazar el vector. (sentido de la flecha)

Los vectores se expresan mediante una letra con una flecha superpuesta, , o en negrita.El mdulo se expresa como ||, |a| o md. ().

Vectores iguales: Son aquellos que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.Vectores opuestos: Tienen el mismo mdulo y direccin y sentidos opuestos.Vectores concurrentes: Son los que tienen el mismo origen.

Vector unitario o versor: Es aquel cuyo mdulo vale 1 y se puede expresar de diferentes formas.Si tenemos un vector , un vector unitario en la direccin y sentido de puede escribirse como o bien .

|| = || = 1

Vector nulo: Es aquel cuyo mdulo es igual a cero. Se expresa como .

|| = 0.

Clases de vectores.

Vectores libres: Para definirlos solo se necesita su mdulo, su direccin y sentido. Su origen se sita en cualquier punto del espacio, y por tanto no vara si se desplaza en el espacio paralelamente a s mismo.

Vectores deslizantes o cursores: El vector requiere para su definicin mdulo, direccin, sentido y su recta de posicin. Un cursor puede deslizarse por su recta de posicin pero no puede salir de ella, ya que sera otro vector diferente.

Vectores fijos o ligados a un punto:Tienen su punto de aplicacin u origen definido. Por lo tanto no pueden ser desplazados de su posicin en el espacio.

Dos vectores (libres, cursores o fijos) que tienen igual mdulo, direccin y sentido se denominan equipolentes.

Componentes de un Vector

Cualquier vector puede representarse como una suma de vectores.

a = a1 + a2a1a2a

A los vectores a1 y a2 se les denomina componentes del vector a segn las direcciones de a1 y a2.

De la misma forma podemos representar un vector en funcin de versores segn el sentido positivo de los ejes de un sistema de referencia determinado.

Componentes cartesianas de un Vector

Si trabajamos en un plano el sistema de referencia cartesiano est determinado por dos ejes x e y.

+y-y-x

ay+xaxa

La componente del vector a en el sentido del eje x ser ax y la componente en el sentido del eje y ay, de tal forma que a ser la suma vectorial de ax y ay.

a = ax + ay = ax i + ay j

Aplicando el teorema de Pitgoras:|ax| = |a| cos |ay| = |a| sen

El modulo del vector a en funcin de los mdulos de sus componentes cartesianas ser:

|a|=

El ngulo que forma el vector con el eje x ser

Si trabajamos en el espacio.

a = ax + ay + az = ax i + ay j + az k

Siendo las componentes del vector|ax| = |a| cos |ay| = |a| sen |az| = |a| sen

Y su mdulo: |a|=

Cuando trabajamos con componentes cartesianas, a los vectores unitarios, o versores, en el sentido positivo de los ejes x, y y z les denominaremos respectivamente.

Operaciones con vectores

Suma y resta de Vectores

Vector suma o vector resultante de varios vectores libres es el que tiene por componentes la suma de las componentes correspondientes de los vectores sumandos.

Si tenemos dos vectores a(ax,ay) y b(bx,by) el vector suma de ellos, c(cx,cy), ser : +y-y-x

ay+xaxabbxbycyccx

c = a + b = (ax + bx , ay + by)

Donde ax + bx = cx ay + by = cy

Suma de vectores colineales

Del mismo sentido. : Es otro vector colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo mdulo es la suma de los mdulos de los sumandos.

De sentido contrario: La suma de dos vectores colineales de distinto sentido es otro vector en la misma direccin de los vectores dados, su mdulo es la diferencia de los mdulos y el sentido es el del vector de mayor mdulo.

Suma de vectores no colineales:

Concurrentes: La suma de dos o ms vectores concurrentes, es otro vector concurrente cuyo mdulo direccin y sentido se pueden obtener grficamente por el mtodo del paralelogramo o del poligonal.

Mtodo del paralelogramoMtodo Poligonal

No concurrentes: La suma de dos o ms vectores no concurrentes es un vector cuyo mdulo es la suma vectorial de los mdulos de los vectores dados y cuya direccin y sentido se pueden obtener mediante el mtodo poligonal.

Nota: El mdulo del vector suma no es la suma de los mdulos de los vectores, salvo que los vectores sean colineales.

Analticamente, el mdulo de la suma de dos vectores que forman un ngulo entre s es el siguiente:

Diferencia de vectores

El vector diferencia de dos vectores es el que tiene por componentes la diferencia de los componentes correspondientes de ambos vectores.

Si tenemos dos vectores (x,y) y (x,y) el vector diferencia de ambos, (x,y), ser :

= - = (x - x , y - y)

Grficamente:

Para restar dos vectores se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Propiedades de la Suma y Diferencia de vectores

Conmutativa:

Asociativa:

Multiplicacin de un escalar por un vector.

El producto de un escalar por un vector es otro vector de la misma direccin, cuyo modulo se obtiene de multiplicar el escalar por el modulo del vector dado y cuyo sentido es igual al del vector si el escalar es positivo y de sentido contrario si el escalar es negativo.

Si tenemos un vector y un nmero m, su producto lo podemos expresar como:

m=3

m=-3

Su mdulo es p= |m|a Direccin, la misma que . Sentido, el mismo que si m>0 y opuesto al de si m a b es positivo Importante: El producto escalar de dos vectores perpendiculares es siempre nulo.

= 90 => a b es nulo 90 < < 180 => a b es negativo

Producto escalar de vectores unitarios: Aplicando la definicin de producto escalar a los vectores unitarios i, j y k se obtiene: i i = j j = k k = 11 cos 0 = 111 = 1 i j = i k = j k = 11 cos 90 = 110 = 0 El producto escalar de un vector unitario consigo mismo es siempre uno, en tanto que el producto escalar de un vector unitario cualquiera por otro vector unitario perpendicular a l es siempre nulo o cero. Para poder calcular el producto escalar a b cuando se conocen las componentes x, y y z de los vectores a y b, expandimos el producto y utilizamos los vectores unitarios.

Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k

a b = (ax i + ay j + az k) . (bx i + by j + bz k) ab = ax bx i2 + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i + ay by j2 + ay bz j k + az bx k i + az by k j + az bz k2 0

0

0

0

0

0

1

1

1

ab = ax bx + ay by + az bz

Propiedades: El producto escalar de dos vectores es conmutativo. El producto escalar es distributivo con respecto a la suma. El producto escalar de dos vectores es el escalar que se obtiene al sumar los productos de sus respectivas componentes. ngulo determinado por dos vectores, basndonos en la definicin de producto escalar.

Condicin de perpendicularidad de dos vectores. Dos vectores, son perpendiculares si su producto escalar es nulo.

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores y es otro vector perpendicular al plano que determinan dichos vectores. La direccin es la de avance de un tornillo de rosca derecha rotado desde hacia . Y la magnitud o mdulo se obtiene realizando el producto de los mdulos de los vectores dados con el seno del ngulo comprendido entre ellos.

Medimos el ngulo desde hacia y tomamos el menor de los dos ngulos posibles, por lo que est comprendido entre 0 y 180. Obsrvese que el resultado de un producto vectorial es un vector, cuyo mdulo siempre es positivo o nulo. Si y son paralelos (del mismo sentido: = 0 o de sentido contrario: = 180) el producto vectorial es nulo.

Para determinar el sentido del vector resultante del producto vectorial utilizamos la Regla de la mano derecha.

Regla de la mano derecha: Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano, una a cada lado del plano. Para escoger la direccin del producto vectorial de dos vectores y debemos colocar la mano derecha de tal modo que el dedo meique coincida con la direccin y sentido del vector a y que los dems dedos puedan rotarse y cerrarse hacia b. El dedo pulgar extendido indica la direccin de a x b, tal como indica la figura anterior.

Supngase dos vectores en el plano de la hoja como indica la figura. Si aplicamos la regla anterior de manera que la ua del dedo meique coincida con la punta de flecha de a y giramos los dems dedos hacia b, el pulgar quedar perpendicular al plano de la hoja hacia el lector (para el ejemplo dibujado). Luego a x b es un vector cuyo mdulo es a x b = a .b . sen y cuya direccin es perpendicular al plano de la hoja saliendo del papel.

En fsica a este tipo de vectores perpendiculares al plano de la hoja salientes se los representa por un punto () y a los vectores perpendiculares al plano de la hoja entrantes se los representa por una cruz (). El primero representa la punta de la flecha en tanto que el segundo indica la cola del vector u origen.

Propiedades del producto vectorial.

a. El mdulo del producto vectorial es igual al rea del paralelogramo determinado por los vectores.

h

Si llamamos S al rea del paralelogramo:

b. El producto vectorial es anticonmutativo

c. Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es nulo.

d. Ley distributiva :

e. Ley asociativa respecto de los escalares:

f. El producto vectorial no es asociativo.: .

g. La expresin del producto vectorial en trminos de sus componentes cartesianas es:

Como e ; ; resulta:

Como vemos el producto vectorial tambin se puede expresar en forma de determinante.

h. Condicin de paralelismo de dos vectores en funcin de sus componentes cartesianas:

o sea es decir

Y por tanto

Es decir, dos vectores son paralelos entre si cuando sus componentes cartesianas respectivas son proporcionales.

Derivada de un vector respecto de un escalar

El valor de una determinada magnitud vectorial puede depender de un parmetro o variable independiente. En este caso hablamos de una funcin vectorial.

Ejemplo: el vector de posicin de una partcula que se mueve depende del tiempo t y lo representamos como. A medida de que el tiempo t vara, ir variando el mdulo y/o la direccin de la magnitud .

Esto implica que las componentes de dicha magnitud vectorial sern tambin dependientes de dicha variable, en nuestro ejemplo las coordenadas x, y y z de la posicin de la partcula dependern del tiempo: Derivar o integrar respecto de la variable se traduce en derivar o integrar cada una de las componentes de la funcin vectorial.

Por lo tanto la derivada de puede expresarse como:

La derivada de una magnitud vectorial es otro vector y como tal tendr su propio mdulo, direccin y sentido.

Ejemplo: La velocidad de una partcula viene dada por la derivada de su posicin con el tiempo, encontrar la velocidad en funcin del tiempo para una partcula cuya posicin viene dada por la funcin:

El vector velocidad ser:

Como vemos, las componentes del vector velocidad son por lo tanto las derivadas de las componentes del vector de posicin.

Con la integracin sucede lo mismo que con la derivacin, las componentes del vector de posicin sern la integral con respecto al tiempo de las componentes del vector velocidad.

Cuando realizamos la integral indefinida de una funcin vectorial nos aparecen tres constantes de integracin . Estas tres constantes se pueden agrupar dando lugar a un vector arbitrario constante .

El valor de dicho vector lo tendremos que obtener utilizando otros datos del problema (como las condiciones iniciales).

Las propiedades de la derivacin e integracin de vectores son las mismas que las de los escalares.

As, por ejemplo si tenemos los vectores , y la funcin escalar f(u) se verifica:

Derivada de la suma de vectores:

Derivada del producto por un escalar:

Derivada de un producto escalar:

Derivada de un producto vectorial:

Es importante mantener el orden de los productos vectoriales durante la derivacin o integracin ya que sta operacin no verifica la propiedad conmutativa.

AMPLIACIN DEL TEMA.

TEORIA DE CAMPOS.

Campos conservativos

Condiciones para que un campo vectorial sea conservativo:

1. Si el campo se puede definir como el gradiente de una funcin escalar.Dado un campo y un potencial escalar

Si

2. Si la circulacin del campo a lo largo de una curva es independiente del camino. Solo depende de las posiciones inicial y final.ABC1C2

La circulacin de AB+BA

Es decir la circulacin del campo a lo largo de una lnea cerrada es cero y se expresa como

Por lo tanto se puede decir tambin que un campo es conservativo si la circulacin del campo a lo largo de una lnea cerrada es cero.

3. Si el campo es irrotacional, es decir cuando el rotacional del campo sea cero.

Para ello

Es decir un campo es conservativo si se cumple que:

Pgina 13 /13