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7/24/2019 10 Sistemas N GL
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Universidad Federico Santa Mara
Departamento de Obras Civiles
Dinmica de Estructuras (CIV235)
H. Jensen & M. Valdebenito
Anlisis Dinmico de Sistemas de
Varios Grados de Libertad
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Introduccin
Analizar sistemas dinmicos lineales de varios grados de libertad Conceptos a estudiar
Frecuencias naturales y modos de vibrar (propiedades de
ortogonalidad)
Coordenadas principales
Excitacin basal
Modelo de disipacin de energa viscoso
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 2
Objetivo
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Anlisis Modal
Asuma un sistema estructural lineal de grados de libertad sinamortiguamiento sometido a una excitacin externa. La ecuacin
diferencial de movimiento es:
La solucin homognea de la ecuacin diferencia de movimiento es:
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 3
Formulacin
Vector de fuerza externa
de dimensin 1
Matriz de masa de
dimensin
Matriz de rigidez de
dimensin
Vector de aceleracin
de dimensin 1
Vector de desplazamiento
de dimensin 1
(1)
(2)
(3)Solucin
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Anlisis Modal
Al sustituir la ecuacin (3) en (2), es posible determinar una condicinque debe cumplir la solucin homognea
La solucin no trivial de la ecuacin (4) implica un problema de valores
y vectores propios. La solucin de este ltimo problema permite
determinar frecuencias naturales y modos de vibrar
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Formulacin
(4)
Ecuacin
caracterstica
Frecuencias del sistema: , , Modos de vibrar: {, , }
Vectores
propios
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Anlisis Modal
Para un sistema de grados de libertad, considere las frecuencias y y los modos de vibrar asociados y . De acuerdo a la
ecuacin (4), se cumple la siguiente igualdad
Al premultiplicar las ecuaciones (6) y (7) por y
,
respectivamente, se obtiene:
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Propiedades de Ortogonalidad
(4)(6)
(7)
(8)
(9)
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Anlisis Modal
Note la siguiente igualdad
De manera similar, =
Al restar las ecuaciones (8) y (9) se determina que:
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Propiedades de Ortogonalidad
Igualdad de nmeros escalares
Matriz de rigidez simtrica
(8)
(9)
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Anlisis Modal
La ltima igualdad derivada es de suma relevancia. Note que si ,
luego y por lo tanto:
De manera similar, es posible demostrar que
En resumen, el sistema estructural cumple condiciones deortogonalidad
Nota: la propiedad anterior tambin es vlida para frecuencias con
multiplicidad mayor que uno
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Propiedades de Ortogonalidad
0
(10)
para
(11)
para
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Anlisis Modal
Para realizar anlisis modal, resulta de utilidad normalizar los modos devibrar de acuerdo al siguiente criterio
Al utilizar esta normalizacin, se verifica que = 1y
adems, =
En resumen, las propiedades de ortogonalidad y la aplicacin del
criterio de normalizacin aseguran que:
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Normalizacin de los Modos de Vibrar
Modo de vibrar
normalizado
(12)
(13)donde
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Anlisis Modal
Los modos de vibrar normalizados de acuerdo al criterio descritoanteriormente se agrupan en una matriz
Es posible verificar que:
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Matriz de Modos de Vibrar Normales
Primer modo normalizado,
dimensin 1 Segundo modo normalizado,dimensin 1
N-simo modo normalizado,
dimensin 1
El trmino (,)de esta
matriz es
El trmino (,)de
esta matriz es
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Coordenadas Principales
El vector de desplazamientos () (de dimensin ) puede serrepresentado en trminos de una base de vectores independientes.
Una posible seleccin para dicha base es la matriz de modos de vibrar
. Luego,
Alternativamente
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 10
Definicin
Vector de
desplazamientos
Matriz de modos de vibrar
Vector de coordenadas
principales
Nota: en adelante, los modos de vibrar normalizados
se denotan indistintamente como o
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Coordenadas Principales
El vector de desplazamientos () (de dimensin ) puede serrepresentado en trminos de una base de vectores independientes.
Una posible seleccin para dicha base es la matriz de modos de vibrar
. Luego,
La utilizacin de coo rdenadas pr inc ipaleses prctica para resolver la
ecuacin de movimiento ya que es posible explotar las propiedades de
ortogonalidad de los modos de vibrar
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 11
Definicin
Vector de
desplazamientos
Matriz de modos de vibrar
Vector de coordenadas
principales
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Coordenadas Principales
Considere la ecuacin de movimiento de un sistema lineal de gradosde libertad sin amortiguamiento
Esta ecuacin puede ser expresada en trminos de las coordenadas
principales al considerar la relacin () = ()
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Aplicacin en Ecuacin de Movimiento
Premultiplicacin
por
Propiedades de
ortogonalidad
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Coordenadas Principales
Note que al utilizar coordenadas principales, el problema se reduce a laresolucin de un conjunto de ecuaciones diferenciales
independientes
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Aplicacin en Ecuacin de Movimiento
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Coordenadas Principales
Las condiciones iniciales de movimiento de un sistema son descritaspor medio del vector de desplazamientos (0) y velocidad (0) ,
respectivamente
Al utilizar la formulacin que considera coordenadas principales, es
necesario determinar las condiciones iniciales en trminos de dichas
coordenadas. Es decir, es necesario calcular (0) y (0) Considere la definicin de coordenadas principales
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Condiciones Iniciales
Premultiplicacin
por
Propiedades de
ortogonalidad
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Coordenadas Principales
Luego, las condiciones iniciales en trminos de las coordenadasprincipales son:
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Condiciones Iniciales
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Coordenadas Principales
Considere un sistema lineal elstico de grados de libertad sinamortiguamiento en vibr acin l ibre(no hay fuerzas externas
aplicadas)
Objetivo: determinar condiciones iniciales de desplazamiento (0) yvelocidad (0) tal que la respuesta del sistema pueda ser descrita
exclusivamente por la coordenada principal (donde 1, , ), es
decir:
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 16
Aplicacin Vibraciones Libres
Con el propsito de visualizar
el problema de manera clara,
suponga un modelo de corte
de = 2grados de libertad
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Coordenadas Principales
Por ejemplo, el problema planteado puede corresponder a buscar lascondiciones iniciales tal que la respuesta de la estructura de = 2
grados de libertad de la diapositiva anterior sea descrita exclusivamente
por la coordenada principal asociada al segundo modo de vibrar
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Aplicacin Vibraciones Libres
Segundo modo
de vibrar
Desplazamiento de
los pisos del modelo
de corte se
encuentra desfasado
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Coordenadas Principales
Para resolver este problema, es necesario analizar la expresin generalque relaciona el vector de desplazamiento con las coordenadas
principales
Se desea imponer la condicin que = 0 para y para
cualquier tiempo
Dado que cada coordenada principal est asociada a una ecuacin
diferencial independiente, basta con imponer la condicin 0 =
0 = 0para . Esto asegura que = 0 para y para
cualquier tiempo
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Aplicacin Vibraciones Libres
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Coordenadas Principales
Por lo tanto, las condiciones iniciales que aseguren la condicinbuscada deben tener la forma
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Aplicacin Vibraciones Libres
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Coordenadas Principales
Un caso particular de condiciones iniciales que permiten imponer lacondicin buscada es 0 = 1y 0 = 0. Luego, las condiciones
iniciales en trminos de desplazamiento y velocidad son
Esto significa que si se requiere que la respuesta de un sistema
corresponda a un modo de vibrar en particular, basta con imponer un
desplazamiento inicial proporcional al modo deseado
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Aplicacin Vibraciones Libres
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Coordenadas Principales
De acuerdo a los conceptos presentados previamente, el vector dedesplazamientos de un sistema de grados de libertad puede ser
representado como la superposicin de las coordenadas principales.
Esto se conoce como superposicin modal
En muchos casos de inters, es posible considerar solo algunos modos
al efectuar superposicin
Esta estrategia puede reducir los costos numricos asociados a la
evaluacin de la respuesta
Esto ltimo es muy importante en problemas de gran dimensin
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Truncamiento Modal
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Excitacin Basal
Objetivo: estudiar cmo excitacin basal(ejemplo: caso ssmico) puede ser
incorporada en ecuacin de movimiento de
un sistema de grados de libertad
Modelo: estructura lineal de grados de
libertad Por ejemplo, considere un modelo de
corte
, , 3(): desplazamientos
relativos a la base
(): aceleracin basal
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Formulacin
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Excitacin Basal
Si se define , , = 1, ,como el desplazamiento total queexperimenta el grado de libertad , se verifica que:
La ecuacin de movimiento del sistema para este caso es:
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Formulacin
Desplazamiento
total
Desplazamientorelativo a la base
Desplazamiento
de la base
donde
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Excitacin Basal
La ecuacin de movimiento del sistema para este caso es:
Note que el trmino del lado derecho de la ecuacin se denota como
vec to r de cargas ssm icas efect ivasy en este caso es igual a:
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Formulacin
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Excitacin Basal
En casos generales, la ecuacin de movimiento de un sistemaestructural lineal sin amortiguamiento sometido a excitacin basal
puede ser expresada como:
Donde
: matriz de dimensin que acopla la excitacin basal a los
grados de libertad de la estructura
{ }: vector de dimensin que contiene las componentes
independientes del movimiento basal
Para el caso particular estudiado en las diapositivas anteriores:
= 1
= ()
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Caso General
Vector de cargas
ssmicas efectivas
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Excitacin Basal
Considere la estructura de la figura (axialmente indeformable,masas puntuales, grados de libertad: desplazamientos
horizontales)
Excitacin: movimiento basal horizontal
Para este caso, las componentes del vector de cargas
ssmicas efectivas son:
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Caso de Movimiento Basal Horizontal
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Excitacin Basal
Considere la estructura de la figura (axialmenteindeformable, masas puntuales, grados de libertad:
desplazamientos horizontales)
Excitacin: movimiento basal horizontal y rotacional
En este caso, el desplazamiento total del piso es
descrito por la siguiente ecuacin
Luego, las componentes del vector de cargas ssmicasefectivas son:
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 27
Caso de Movimiento Basal Horizontal y Rotacional
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Excitacin Basal
Considere un sistema tal que = 1 y () = () Al utilizar la formulacin en coordenadas principales () = () ,
la ecuacin de movimiento se expresa como:
La formulacin modal permite deducir ecuaciones diferencialesindependientes con la siguiente estructura
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Formulacin en Coordenadas Principales
: factor de participacin modal
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Excitacin Basal
Si se define ()tal que = (), la ltima ecuacin se reduce a:
Una vez que se determina la solucin de (), es posible calcular el
vector de desplazamiento () por medio de superposicin modal
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Formulacin en Coordenadas Principales
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Excitacin Basal
Considere el modelo de corte de lafigura
Las propiedades modales del sistema
son las siguientes
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Ejemplo
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Excitacin Basal
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Ejemplo
Las ecuaciones diferenciales de movimiento en trminos de lascoordenadas principales son:
Donde = 1
Para efectos ilustrativos, se asume una aceleracin basal constante
Aceleracin de gravedad
(unidades del sistema britnico)
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Excitacin Basal
La solucin de las 2 ecuaciones diferenciales desacopladasconsiderando la variable auxiliar es la siguiente
Finalmente, por medio de superposicin modal se calcula el vector de
desplazamiento
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Ejemplo
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Excitacin Basal
Al comparar las contribuciones de los modos a la solucin en cadanivel, se observa que la contribucin del primer modo es mayor que la
del segundo
En aplicaciones prcticas (ejemplo: edificios), es habitual observar que
los primeros 5 6 modos son los que ms aportan a la respuesta total
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Ejemplo
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Con el objeto de estudiar el modelo de disipacin de energa viscoso,considere un sistema estructural de corte que posee amortiguadores
viscosos entre los distintos pisos
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 34
Formulacin
Ecuacin de equilibrio
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema sonrespectivamente:
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Formulacin
Matriz de masa
Matriz de amortiguamiento
Matriz de rigidez
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Para analizar la ecuacin de movimiento, se hace uso de lascoordenadas principales
Al sustituir el vector de desplazamiento por las coordenadas principales
en la ecuacin de movimiento y premultiplicar por la matriz , se
obtiene la siguiente expresin
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 36
Coordenadas Principales
Note que los modos de vibrar son
calculados considerando el sistema
estructural sin amo rt iguamiento, es decir,
= 0
Matriz que NOes
necesariamente
diagonal
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Para el anlisis de varias situaciones prcticas, se asume que elproducto es una matriz diagonal
Este caso se denomina amortiguamiento clsico
Bajo esta suposicin, se tiene un total de ecuaciones diferenciales deequilibrio desacopladas
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Coordenadas Principales
Amortiguamiento
generalizado del modo
Razn de amortiguamiento
del modo
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
En resumen, para varias aplicaciones prcticas
Las matrices de masa y rigidez se construyen a partir de las
propiedades de la estructura (propiedades de los materiales,
dimensiones, estructuracin)
En vez de construir la matriz de amortiguamiento de manera
directa, se escogen valores de la razn de amortiguamiento segn
el tipo de estructura de acuerdo a valores tpicos de referencia
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 38
Coordenadas Principales
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Caso Particular 1: suponer que la matriz de amortiguamiento es unacombinacin lineal de las matrices de masa y rigidez
Para este caso, es sencillo demostrar que:
Este modelo de disipacin de energa se denomina amortiguamiento
tipo Rayleigho clsico
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 39
Casos Particulares
, : parmetros (nmeros reales)
La razn de amortiguamiento del modo depende
de los parmetros , y la frecuencia
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Caso Particular 1: para el caso de amortiguamiento tipo Rayleigh, vara segn tal como se ilustra en la figura
Una estrategia para construir la matriz de amortiguamiento es
seleccionar las razones de amortiguamiento de los dos primeros modos
y (por estar asociadas a los modos ms relevantes) y luego
deducir los valores de y
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Casos Particulares
i
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Caso Particular 2: suponer que la matriz de amortiguamiento es unacombinacin de las matrices de masa y rigidez tal que:
Para un sistema de grados de libertad, 1
Por ejemplo, considere la situacin en que = 1
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 41
Casos Particulares
: nmero entero
: parmetro (nmero real)
Resultado idntico al caso
particular 1 con = y =
M d l d Di i i d E Vi
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Caso Particular 2: en general, es posible demostrar que
La ltima relacin permite especificar la razn amortiguamiento de
+ 1modos Este modelo de disipacin de energa se denomina amortiguamiento
tipo Caughey
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 42
Casos Particulares
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Note que al utilizar el mtodo de superposicin modal slo se requierenconocer los coeficientes correspondientes, es decir, no se requiere
calcular explcitamente la matriz de amortiguamiento []
Sin embargo, en algunas situaciones no es posible resolver la ecuacin
de equilibrio mediante anlisis modal clsico. En estos casos, laecuacin de equilibrio se debe resolver explcitamente mediante
tcnicas numricas o mediante un mtodo de superposicin modal
generalizado
Ejemplos de esta ltima situacin son: Sistemas no lineales
Casos de interaccin suelo-estructura
Sistemas con dispositivos de disipacin de energa o de aislacin
basal
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Comentarios Finales
M d l d Di i i d E Vi
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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso
Ms ejemplos de esta ltima situacin son: Modelos con sistemas de control
Sistemas con modelos de disipacin de energa diferente al viscoso
Sistemas compuestos (primarios / secundarios)
Comentarios Finales