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Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles
Dinámica de Estructuras (CIV–235)
H. Jensen & M. Valdebenito
Introducción a Sistemas de Varios
Grados de Libertad
Introducción
• Hasta el momento, el curso se ha centrado en estructuras que pueden
ser modeladas como sistemas de 1 grado de libertad
• En este capítulo, se introducen los fundamentos del análisis de
estructuras lineales, elásticas modeladas como sistemas de 𝑁 grados
de libertad (𝑁 ≥ 2)
– Se presentan los conceptos de:
Frecuencias naturales
Modos de vibrar
Coordenadas principales
– Ejemplos para sistemas de 2 grados de libertad
• Técnicas para analizar estructuras de varios grados de libertad de
manera sistemática se discuten en unidades posteriores
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2
Objetivos
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Considere el modelo de la figura
– 2 masas puntuales unidas entre si por medio de 3 resortes
– 2 grados de libertad (desplazamiento horizontal de cada masa)
– No existe amortiguamiento
– No existe fuerza externa aplicada sobre el modelo; oscilaciones
libres debido a condiciones iniciales (𝑥1 0 = 𝑥1,0, 𝑥 1 0 = 𝑥 1,0 ,
𝑥2 0 = 𝑥2,0, 𝑥 2 0 = 𝑥 2,0 )
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 3
Formulación
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Equilibrio de masa 𝑚1
– Suposición: 𝑥2 > 𝑥1
– Ecuación de equilibrio
• Equilibrio de masa 𝑚2 puede ser formulado de manera similar
• Ecuaciones de equilibrio de las 2 masas pueden ser formuladas de
manera matricial
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 4
Ecuación Diferencial de Movimiento
(1)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Alternativamente, las ecuaciones de equilibrio pueden ser expresadas
por medio de la siguiente notación:
– Donde:
𝑀 : matriz de masa
𝐾 : matriz de rigidez
𝑥(𝑡) : vector de desplazamiento
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 5
Ecuación Diferencial de Movimiento
(2)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Para resolver la ecuación diferencial de movimiento, se suponen
soluciones similares a las encontradas para sistemas de 1 grado de
libertad sin amortiguamiento en oscilación libre
• Al sustituir las soluciones propuestas en (3) en la ecuación (1) se
encuentra que:
• El sistema de ecuaciones (4) posee una solución trivial tal que
𝐴1 = 𝐴2 = 0 (no hay oscilación) y soluciones no triviales tal que el
determinante de la matriz asociada es cero
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 6
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
(3)
(4)
𝜔: Frecuencia natural
de vibración
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Solución no trivial: determinante de la matriz asociada es cero
• Al resolver la ecuación (5) para 𝜔 es posible determinar que:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 7
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
(5)
(6)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Caso particular: se asume que las rigideces son tales que 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 y
que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚). Luego, la frecuencia
natural asume los siguientes valores
• Note que 𝜔1 y 𝜔2 son las frecuencias naturales del sistema. Estas
frecuencias se enumeran tal que ω1 < 𝜔2
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 8
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Luego, la solución de la ecuación diferencial de movimiento es:
• O alternativamente:
• Note que la solución involucra 6 incógnitas. Existen 4 condiciones
iniciales (𝑥𝑖 0 = 𝑥𝑖,0, 𝑥 𝑖 0 = 𝑥 𝑖,0 , 𝑖 = 1,2)
• Al sustituir la ecuación (7) en la ecuación (1), es posible determinar que
las amplitudes 𝐴21 y 𝐴11 y por otra parte 𝐴22 y 𝐴12 se encuentran
relacionadas entre si. Por lo tanto, hay 4 incógnitas y 4 condiciones
iniciales
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 9
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
(7)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Relación entre las amplitudes 𝐴21 y 𝐴11 y las amplitudes 𝐴22 y 𝐴12
– Caso en que no hay relación entre 𝑘1, 𝑘2, 𝑘 , 𝑚1, 𝑚2
– Luego, la solución de la ecuación de movimiento es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 10
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
Al sustituir ecuación
(7) en (1)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Relación entre las amplitudes 𝐴21 y 𝐴11 y las amplitudes 𝐴22 y 𝐴12
– Caso en que 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2
– Luego, la solución de la ecuación de movimiento es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 11
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
Al sustituir ecuación
(7) en (1)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Solución de la ecuación de movimiento para 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2
– Asuma que 𝐴12 = 0 debido a las condiciones iniciales. En este caso,
la solución de la ecuación de movimiento es la siguiente
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 12
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
• Solución corresponde al
primer modo de vibrar
• Las dos masas se
mueven en fase
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Solución de la ecuación de movimiento para 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2
– Asuma que 𝐴11 = 0 debido a las condiciones iniciales. En este caso,
la solución de la ecuación de movimiento es la siguiente
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 13
Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento
• Solución corresponde al
segundo modo de
vibrar
• Las dos masas se
mueven fuera de fase
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Considere nuevamente la formulación matricial de la ecuación
diferencial de movimiento del sistema de 2 grados de libertad sin
amortiguamiento y sin fuerzas externas
• Note que estas ecuaciones se encuentran acopladas (términos fuera de
la diagonal en la matriz de rigidez)
• Se asume 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚. Luego, la ecuación de
movimiento es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 14
Concepto de Coordenadas Principales
(8)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Se propone introducir el siguiente cambio de variables
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 15
Concepto de Coordenadas Principales
Desplazamiento Funciones auxiliares
(nombre preciso se
menciona más adelante) Primer modo
Segundo modo
(9)
Modelo de 2 Grados de Libertad
• La ecuación (8) es premultiplicada por la matriz traspuesta de los
modos de vibrar y también el vector de desplazamiento se sustituye por
la ecuación (9), determinándose la siguiente expresión
• Note que el último sistema de ecuaciones diferenciales es desacoplado
(es decir, hay dos ecuaciones diferenciales totalmente independientes)
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 16
Concepto de Coordenadas Principales
Modelo de 2 Grados de Libertad
• Las dos ecuaciones de equilibrio independientes pueden ser escritas
alternativamente como:
• Note que las funciones auxiliares 𝑞1 𝑡 y 𝑞2 𝑡 permiten desacoplar
sistema de ecuaciones diferenciales. Estas funciones se denominan
coordenadas principales o coordenadas normales
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 17
Concepto de Coordenadas Principales
Modelo de N Grados de Libertad
• Considere un sistema estructural caracterizado mediante 𝑁 grados de
libertad tal que:
– No existe amortiguamiento
– No hay fuerzas externas
– Existen 2𝑁 condiciones iniciales (𝑥𝑖 0 = 𝑥𝑖,0, 𝑥 𝑖 0 = 𝑥 𝑖,0 ,
𝑖 = 1,… ,𝑁)
• La ecuación de movimiento de este sistema es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 18
Formulación
Matriz de masas
(dimensión 𝑁 × 𝑁) Matriz de rigidez
(dimensión 𝑁 × 𝑁)
Vector de desplazamiento
(dimensión 𝑁 × 1)
Modelo de N Grados de Libertad
• La solución de la ecuación de movimiento tiene la forma:
• Al sustituir esta solución en la ecuación de movimiento se determina:
• Para esta solución, se debe verificar que:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 19
Solución
Vector de dimensión 𝑁 × 1
• Solución trivial: {𝜙} = {0} (caso estático)
• Solución no trivial:
Ecuación característica
del problema
Modelo de N Grados de Libertad
• Note que la condición a ser verificada puede ser desarrollada mediante
operaciones matriciales
• Para un sistema de N grados de libertad, existen un total de 𝑁
frecuencias naturales, que se ordenan de mayor a menor
• Puede ocurrir que algunas frecuencias se repitan
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 20
Solución – Determinación de las Frecuencias Naturales
Note que la determinación del cuadrado de las frecuencias es
equivalente a determinar los valores propios de la matriz 𝐴 .
Esta última matriz se denomina matriz dinámica
Modelo de N Grados de Libertad
• Ejemplo
– Considere el sistema de 2 grados de libertad estudiado al principio
de esta unidad
– La determinación de las frecuencias naturales consiste en la
determinación de los valores propios de una matriz al imponer la
condición que el determinante sea igual a cero
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 21
Solución – Determinación de las Frecuencias Naturales
Modelo de N Grados de Libertad
• Para cada una de las frecuencias naturales existe un modo de vibrar
que corresponde a la solución del problema de vectores propios
asociado
• Ejemplo
– Considere el sistema de 2 grados de libertad estudiado al principio
de esta unidad
– En este caso, el primer modo 𝜙1 se obtiene de la solución del
problema ([K] −ω12[𝑀]) 𝜙1 = {0}
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 22
Solución – Determinación de los Modos de Vibrar
Modelo de N Grados de Libertad
• Ejemplo
– Considere el sistema de 2 grados de libertad estudiado al principio
de esta unidad
– En este caso, el primer modo 𝜙1 se obtiene de la solución del
problema ([K] −ω12[𝑀]) 𝜙1 = {0}
– Se asume 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 y 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚
– Por ejemplo, si 𝜙11 = 1 → 𝜙21 = 1. Luego, el primer modo es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 23
Solución – Determinación de los Modos de Vibrar
Modelo de N Grados de Libertad
• Conclusión
– El problema de vibraciones libres de sistemas de 𝑁 grados de
libertad sin amortiguamiento implica la solución de un problema
numérico de valores y vectores propios
• Nota
– Debido a las propiedades de simetría de la matriz de rigidez 𝐾 y la
matriz de masas 𝑀 , se puede demostrar que las frecuencias
naturales son números reales mayores o iguales a cero
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 24
Solución – Determinación de los Modos de Vibrar
Solicitaciones Externas
• Hasta el momento, se ha examinado el caso de vibraciones libres sin
amortiguamiento de sistemas de 𝑁 grados de libertad
• Objetivo: considerar efecto de fuerzas externas
• Considere el siguiente ejemplo
– 2 masas unidas por 3 resortes
– Cada masa es sometida a la acción de una fuerza externa. En
particular, la masa 𝑚1 es sometida a la acción de una fuerza 𝐹1(𝑡) y
la masa 𝑚2 es sometida a la acción de una fuerza 𝐹2(𝑡)
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 25
Ejemplo 1 – Formulación
Solicitaciones Externas
• La ecuación diferencia de movimiento de este problema es la siguiente
• En el caso particular en que: 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 y 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚, los modos de
vibrar del sistema son:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 26
Ejemplo 1 – Solución
Fuerzas externas
Solicitaciones Externas
• Es posible formular la ecuación diferencial de movimiento tomando en
cuenta el concepto de coordenadas principales
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 27
Ejemplo 1 – Solución
Primer modo Segundo modo
Desplazamiento Coordenadas principales Matriz Φ , cada
columna contiene
un modo de vibrar
Solicitaciones Externas
• Al sustituir el vector de desplazamiento por las coordenadas principales
y premultiplicar la ecuación de movimiento por Φ 𝑇, se obtiene:
• O alternativamente:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 28
Ejemplo 1 – Solución
Solicitaciones Externas
• Considere el modelo de corte de 2 pisos de la figura sometido a la
acción de 2 fuerzas externas
• La ecuación diferencial de movimiento de esta estructura es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 29
Ejemplo 2 – Formulación
Solicitaciones Externas
• Al resolver la ecuación característica, es posible determinar las
frecuencias naturales de la estructura
• Al resolver el problema de vectores propios asociado, es posible
determinar los modos de vibrar de la estructura
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 30
Ejemplo 2 – Solución
Note que las frecuencias naturales y modos de
vibrar dependen de la estructura, no de la carga
Solicitaciones Externas
• Representación gráfica de los modos de vibrar
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 31
Ejemplo 2 – Solución
Primer modo
de vibrar
Segundo modo
de vibrar
Solicitaciones Externas
• Es posible formular la ecuación diferencial de movimiento tomando en
cuenta el concepto de coordenadas principales
• Al considerar las coordenadas principales, la ecuación diferencial de
movimiento queda expresada como:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 32
Ejemplo 2 – Formulación
Solicitaciones Externas
• Considere el modelo de la figura
– 2 masas puntuales unidas entre si por medio de 3 resortes
– 2 grados de libertad (desplazamiento horizontal de cada masa)
– No existe amortiguamiento
– Masa 𝑚1 sometida a excitación externa 𝐹1 𝑡 = 𝐹0𝑒𝑖𝜔𝑡 (señal
armónica
– Objetivo: estudiar la solución particular de la ecuación diferencial
de movimiento
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 33
Ejemplo 3 – Formulación
Recordatorio: para sistemas con amortiguamiento, la solución particular
corresponde a la solución estacionaria
Solicitaciones Externas
• La ecuación diferencial de movimiento del sistema es:
• La solución particular de la ecuación de movimiento es del tipo:
• Al sustituir la solución particular en la ecuación diferencial de
movimiento, es posible determinar un sistema de ecuaciones
algebraicas que permite determinar las amplitudes 𝑋1 y 𝑋2
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 34
Ejemplo 3 – Solución
Amplitud de la solución
particular
Solicitaciones Externas
• La solución del
sistema de
ecuaciones
algebraicas de las
amplitudes 𝑋1 y 𝑋2
es la indicada en los
gráficos
• Note que las
frecuencias
naturales del
sistema son 𝜔1 y
𝜔2, respectivamente
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 35
Ejemplo 3 – Solución
Frecuencia
Frecuencia
Respuesta dominada
por segundo modo
de vibrar
Respuesta dominada
por primer modo de
vibrar
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Considere el modelo de la figura
– 2 masas puntuales unidas entre si por medio de 3 resortes
– 2 grados de libertad (desplazamiento horizontal de cada masa)
– No existe amortiguamiento ni fuerzas externas
– Objetivo: determinar la solución de la ecuación de movimiento
considerando las siguientes condiciones iniciales
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 36
Formulación
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Con anterioridad, se determinaron tanto las frecuencias naturales como
los modos de vibrar de este problema
• La formulación de la ecuación diferencial de movimiento en términos de
las coordenadas principales permite modelar el problema mediante las
siguientes ecuaciones diferenciales desacopladas
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 37
Solución
Desplazamiento Coordenadas
principales Φ La solución de las ecuaciones
diferenciales desacopladas es de
la forma 𝑞𝑖 𝑡 = 𝐴𝑖 sin(𝜔𝑖𝑡 + 𝜙𝑖)
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Para imponer las condiciones iniciales, se pueden seguir 2
procedimientos equivalentes
– Primer procedimiento: inversión directa de la matriz de modos de
vibrar
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 38
Solución
Condiciones iniciales en
términos de coordenadas
principales
Nota: la existencia de la
matriz Φ −1 se discute
con posterioridad
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Para imponer las condiciones iniciales, se pueden seguir 2
procedimientos equivalentes
– Segundo procedimiento: introducción de una matriz diagonal
– En este caso particular
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 39
Solución
Premultiplicar por Φ 𝑇 𝑀
Matriz diagonal
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Al imponer las condiciones iniciales, es posible determinar que la
solución de las coordenadas principales es:
• Finalmente, es posible expresar la solución de la ecuación diferencial
de movimiento en términos de los desplazamientos 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡)
• Al utilizar identidades trigonométricas apropiadas, es posible expresar
el vector de desplazamientos como:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 40
Solución
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Para el caso particular en que 𝜔1 ≈ 𝜔2, la solución de la ecuación de
movimiento adopta la forma ilustrada en la figura
Solución
Tiempo
x 1(t
)
Tiempo
x 2(t
)
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 41
Se asemeja
a amplitud
(amplitud
modulada)
Se asemeja
a amplitud
(amplitud
modulada)
Incorporación de Condiciones Iniciales
• Nota: la estructura de la solución anterior se conoce con el nombre de
‘beat phenomenon’ y se obtiene al superponer dos armónicas con
frecuencias similares
Solución
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 42