10. modul: Kinematika, Kinetika

10.6. lecke: Testek ütközése

A lecke célja:

A tananyag felhasználója megismerje a merev testek kinematikájának elméleti alapjait.

Követelmények:

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha:

fel tudja sorolni az ütközéssel kapcsolatos feltételezéseket;

fel tudja sorolni az ütközés lefolyását, fázisait;

csoportosítani tudja az ütközéseket;

meg tudja határozni az ütközéstípusok jellemzőit;

fel tudja rajzolni a centrikus egyenes és ferde ütközés mechanikai modelljét;

fel tudja írni a centrikus ütközéssel kapcsolatos impulzus- és perdülettételt;

fel tudja sorolni a Maxwell-féle ütközési diagram szerkesztésének a menetét;

adatok alapján meg tudja határozni a centrikus ütközés utáni sebességeket számítással

és szerkesztéssel;

meg tudja határozni az ütközési talppont és az ütközési középpont

jelentését/értelmezését;

fel tudja írni az excentrikus ütközéssel kapcsolatos impulzus- és perdülettételt;

fel tudja sorolni az excentrikus ütközési feladat megoldásának a menetét;

adatok alapján meg tudja határozni az excentrikus ütközés utáni sebességeket

számítással és szerkesztéssel.

Időszükséglet:

A tananyag elsajátításához körülbelül 95 percre lesz szüksége.

Kulcsfogalmak:

síkmozgás, érintkező pontok, ütközési normális, érintő

centrikus és excentrikus ütközés, tökételesen rugalmas-, rugalmas képlékeny-,

tökéletesen rugalmatlan ütközés

centrikus ferde- és centrikus egyenes ütközés

impulzustétel, perdülettétel

Maxwell-féle ütközési diagram

ütközés előtti sebesség, ütközés utáni sebesség

ütközési talppont, ütközési középpont, redukált tömeg, szögsebesség

Testek ütközése

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja megaz ütközéssel kapcsolatos

feltételezéseket! Tanulja meg az ütközés fázisait! Gyűjtse ki, majd tanulja meg az ütközések

típusait, jellemzőiket!

Tartalom:

És mit/miket akarunk meghatározni? mit keresünk? Hol jelentt ez problémát …

Két testből álló rendszer síkmozgását

vizsgáljuk.

1 2,A A - az érintkező pontok,

n - az ütközési normális,

e - az érintkező felületek közös érintője.

1 2 1 2, , ,v v - ütközés előtti sebességek és

szögsebességek,

1 2 1 2, , ,V V - ütközés utáni mozgásjellemzők.

Az ütközés létrejöttének feltétele:

1 2A Av n v n .

Feltételezések:

- Az ütköző testek valamilyen mértékben rugalmasak.

- Az ütközés igen rövid idő alatt játszódik le.

- A rövid ideig tartó érintkezés alatt a testek helyzetében nem következik be változás.

- Az ütközés következtében fellépő erők mellett a többi erő elhanyagolható.

Az ütközés lefolyása:

Érintkezés Deformálódás az érintkezés Elválás

környezetében

Az ütközés osztályozása:

a) Az n ütközési normálisnak az ütköző testek S súlypontjaihoz viszonyított helyzete

alapján:

- Centrikus ütközés: az n mindkét test S pontján átmegy.

- Excentrikus ütközés: az n nem megy át mindkét test S pontján.

b) Az anyagváltozás jellege (az anyagi viselkedés) alapján:

Figyelembevétel: 0 1k , k - az ütközési tényező.

- Tökéletesen rugalmas: 1k , A testek deformációjára fordított energiát teljes mértékben

visszanyerjük.

(1)

12

2 2Sv v

1 1Sv v

1S2S1A

2A(2)

n

e

n

(2)(1)

1A

2An

(2)(1)

n

(2)(1)

- Rugalmas-képlékeny:0 1k , A testek deformációjára fordított energiát részben

visszanyerjük.

- Tökéletesen rugalmatlan: 0k , A testek deformációjára fordított energia nem nyerhető

vissza.

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Rajzolja le a centrális ferde- és egyenes ütközés mechanikai

modelljét! Írja fel a centrális ütközést jellemző impulzus- és perdülettételt!

Tartalom:

10.6.1. Centrikus ütközés

Az ütközési normális átmegy mindkét test súlypontján.

a) Centrikus ferde ütközés:

Az S ponti sebességek nem a normális

irányába mutatnak.

b) Centrikus egyenes ütközés:

Az S ponti sebességek a normális irányába

mutatnak.

1 2 1 2, , ,v v - ütközés előtti sebességek és

szögsebességek.

A testekre ható erők az ütközés pillanatában:

Impulzustétel az egész rendszerre (1+2 testre):

0I F , állandóI .

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 állandóSm v m v mV m V m m v .

Sv - a rendszer (1+2 test) S pontjának sebessége.

Impulzustétel az (1) testre: 1 1

( )

/ ......t

I F n dt

,

1F az ütközési normális irányával ellentétesen mutat,

(1)

2 2Sv v

1 1Sv v

1S (2)

n

1 2

2S

n

1m2m1v

2v

2S

1S

(1)

2 2Sv v

1 1Sv v

1S

2S (2)

n

1A2A

n

1F

12 FF

1

2

t az ütközés időtartama,

skalár együttható.

1 1

( )t t

I F dt dt n

C

, C skaláris szám (együttható).

1 1 1 1 1m v m V v C n ,

1 1SV V - az (1) test súlypontjának ütközés utáni sebessége,

1v - az (1) test sebességének ütközés közben történő megváltozása párhuzamos az n

ütközési normálissal.

Impulzustétel a (2) testre: 2 2 1

( )

/ ......t

I F F n dt

,

2 2 2 2 2m v m V v C n ,

2 2SV V - a (2) test súlypontjának ütközés utáni sebessége,

2v - a (2) test sebességének ütközés közben történő megváltozása párhuzamos az n ütközési

normálissal.

Az (1) és (2) jelű testre kapott eredményeket összegezve: 1 1 2 2m v m v ,

Perdülettétel az (1) testre: 1 1 1 1 10 állandóS S SM .

Perdülettétel a (2) testre: 2 2 2 2 20 állandóS S SM .

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza/rajzolja le a Maxwell-féle ütközési diagramot!

Gyűjtse ki/majd tanulja meg a Maxwell-féle ütközési diagram szerkesztésének lépéseit!

Tartalom:

A Maxwell-féle (kiejtése: mekszvel) ütközési diagram:

Az ütközési diagramot az ütközés

utáni sebességek szerkesztéssel

történő meghatározására

használjuk.

Ütközési tényező:

1 2

1 2

n Sn n Sn

n Sn n Sn

V v V vk

v v v v

1nV ....... , 2nV ....... .

Az ütközés során a sebességek

normálisra merőleges összetevője

(koordinátája) nem változik.

A szerkesztés gondolatmenete:

- Az vO kezdőpontból felrajzoljuk a tömegpontok ütközés előtti

1v , 2v súlyponti

sebességvektorait, az n ütközési normálist és a 1v ,

2v sebességvektorok végpontjain át

párhuzamos egyeneseket húzunk az ütközési normálissal.

- A 1 1 2 2

1 2

S

m v m vv

m m

összefüggéssel meghatározzuk a rendszer S súlypontjának sebességét. (A

xv , yv síkon meghatározzuk az 1 2,m m tömegpontrendszer súlypontját.)

- Az S ponton keresztül merőlegest rajzolunk az n ütközési normálisra.

- Ezzel meghatároztuk a1n Snv v és a

2n Snv v mennyiségeket.

- Ezeknek a mennyiségeknek a k-szorosát felmérjük a S ponton át, az ütközési normálisra

húzott merőleges egyenes másik (ellenkező) oldalára, mert: 1 1Sn n n Snv V k v v és

2 2Sn n n Snv V k v v .

- Ezzel megkapjuk a tömegpontok ütközés utáni 1V és

2V súlyponti sebességvektorait.

Ellenőrzés:

A 1V és 2V sebességvektorok végpontjait összekötő egyenesnek is át kell mennie az S ponton,

mert 1 1 2 2

1 2

S

mV m Vv

m m

.

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza a gyakorló feladatot! Oldja meg önállóan is a

gyakorló feladatot!

Tartalom:

1. Gyakorló feladat: Járművek centrikus ütközése

Adott: 1 1 2 23600 kg, 25 m/s, 1200 kg, 10 m/s, 0,8.m v m v k

Feladat: Meghatározni a járművek ütközés utáni sebességét

a) számítással,

b) szerkesztéssel.

Mechanikai modell:

A feladat mechanikai szempontból centrikus, egyenes ütközés.

1v

2v

1m 2m

1S 2S

n

1m2m1v

2v

2S

1S

Kidolgozás:

a) A feladat megoldása számítással:

- A közös súlypont sebessége: 1 1 2 2 1 2( ) Sm v m v m m v ,

1 1 2 2

1 2

3600 25 1200 1021,25 m/s

3600 1200S

m v m vv

m m

.

- A járművek ütközés utáni sebessége:

1 1( )S SV v k v v ,

1 1( ) 21,25 0,8(25 21,25) 18,25 m/sS SV v k v v .

2 2( )S SV v k v v ,

2 2( ) 21,25 0,8(21,25 10) 30,25 m/sS SV v k v v .

b) A feladat megoldása szerkesztéssel:

Egyenes ütközésnél a 1v , 2v ütközés előtti sebességeket az vO (függőleges) kezdő egyenestől

mérjük fel. A 1v , 2v sebességvektorok távolságának felvétele tetszőleges.

2. Gyakorló feladat: Golyók ütközése

Adott: 1 2 kgm , 1 (4 4 ) m/sS x yv e e , 2 6 kgm ,

2 ( 4 ) m/sS yv e .

Feladat: A golyók ütközés utáni súlyponti

sebessé-geinek meghatározása 0k ,

1k és 0,6k ütközési tényezők esetén

a) szerkesztéssel és

b) számítással.

n

2V

Sv

1m

2m

S1 vv

S1 vvk

2v

1v

1V

2Sv vvO

S

2Sk v v

1Sv

2S

2m

1m

1S

2Sv

n

x

y

Kidolgozás:

a) Megoldás szerkesztéssel:

0k esetén:

1

2

( 4 ) m/s,

( 4 )m/s.

S x y

S x y

V e e

V e e

1k esetén:

1

2

( 2 4 ) m/s,

(2 4 ) m/s.

S x y

S x y

V e e

V e e

0,6k esetén:

1

2

( 0,8 4 )m/s,

(1,6 4 ) m/s.

S x y

S x y

V e e

V e e

b) Megoldás számítással:

A rendszer S súlypontjának sebessége:

1 1 2 2

1 2

2(4 4 ) 6( 4 )( 2 ) m/s.

2 6

x y y

S x y

e e em v m vv e e

m m

A Sv vektornak az n ütközési normálissal párhuzamos összetevője: ( ) m/s.Sn xv e

- Tökéletesen rugalmatlan ütközés ( k=0 ):

1 1(1 ) 1 (1 0) 0 4 1 m/s,S n Sn S nV v k k v 1 ( 4 ) m/s.S x yV e e

2 2(1 ) 1 (1 0) 0 0 1 m/s,S n Sn S nV v k k v 2 ( 4 ) m/s.S x yV e e

- Tökéletesen rugalmas ütközés ( k=1 ):

1 1(1 ) 1 (1 1) 1 4 2 m/s,S n Sn S nV v k k v 1 ( 2 4 ) m/s.S x yV e e

2 2(1 ) 1 (1 1) 1 0 2 m/s,S n Sn S nV v k k v 2 (2 4 ) m/s.S x yV e e

- Rugalmas-képlékeny ütközés: ( k=0,6):

1 1(1 ) 1 (1 0,6) 0,6 4 0,8 m/s,S n Sn S nV v k k v 1 ( 0,8 4 ) m/s.S x yV e e

2 2(1 ) 1 (1 0,6) 0,6 0 1,6 m/s,S n Sn S nV v k k v 2 (1,6 4 ) m/s.S x yV e e

1SV

2SV

1m

2m

n

S

1( )S n Snv v

1Sv

2v

vO

11( )S n Snv v 1( )S n Snv v

1m1Sv

S

2SV2m

2Sv

1SV

nvO

n

10,6( )S n Snv v 1( )S n Snv v

1Sv 1m

1SV

S

2SV

2Sv

2m

vO

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki/majd tanulja meg az excentrikus ütközés feltételezéseit!

Rajzolja fel az excentrikus ütközés mechanikai modelljét!

Tartalom:

10.6.2. Excentrikus ütközés

Legalább az egyik test S pontja nem esik az n ütközési normálisra.

Feltételezés:

- a testek síkmozgást végeznek

az xy, (1 1, , 2 2, ) síkban,

- a 1 2, a testek S ponti tehe-

tetlenségi főtengelyei.

Az n ütközési normális a testek

S ponti tehetetlenségi fősíkjába

esik.

Az ütközés előtti

mozgásjellemzők:

1 1, v és 2 2, v .

Az ütközés utáni

mozgásjellemzők:

1 1,V és 2 2,V .

A feladatot vissza akarjuk

vezetni a centrikus ütközés

esetére.

Jelölések:

1 2,O O - ütközési talppontok (az 1 2,S S pontokból merőlegest bocsátunk az ütközési

normálisra).

1 2,K K - ütközési középpontok (lökési középpontok).

Értelmezés: A 1 2,K K ütközési középpontok a testek azon pontjai, amelyeknek az ütközés

során nem változik a sebessége - 1 1 2 2,K K K Kv V v V .

1l

1

1

1S

1K

1OD

2O

2S

2K

1

2

1

2

Dr

1v

2v

F

1 1m , J

2 2m , J

1

2

2

n

01r

2l

2

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Írja fel aexcentrikus ütközést jellemző impulzus- és perdülettételt!

Tartalom:

Impulzustétel az (1) jelű testre:

1 1 1

t

m V v F dt

,

Perdülettétel az (1) jelű test 1O pontjára:

1 1 1 01 01

t

J r F dt r

.

Az (1) jelű test tetszőleges D pontjának sebessége:

1 1 1 1

1 1 1 1

/a két egyenletet egymásból kivonjuk

/

D D

D D

m J V V r

m J v v r

.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1D D Dm J V v m J V v m J r ,

A impulzustétel és a perdülettétel felhasználásával:

1 1 1 1 01

imp.tétel perd.tétel

D D Dm J V v J m r r ,

1 1 1 1 01

01 01

D D D

D D

m J V v J m r r

r r r r

,

1 1 1 1 01 1 01D D D Dm J V v J m r r m r r .

Keressük az (1) jelű testnek azokat a D pontjait, amelyeknek a sebességváltozása párhuzamos

az n ütközési normálissal.

A fenti összefüggésből az következik, hogy ennek a feltételnek az 1 tengely pontjai tesznek

eleget: 1Dr e , 01 1r l e .

Az előző összefüggésbe behelyettesítve:

1 1 1 01 1 01

1 1 0

D D D Dm J V v J r r m r r

l

Az 1 tengelyen levő 10, pontokra: 1 1 1 1 1 1D Dm J V v J m l .

A 1K ütközési középpont meghatározása:

1 1 0K KV v 1 1 1 1 0J m l

1

1 1

1 1

K

J

m l

.

Az 1O ütközési talppont sebességváltozása (az tengelyen levő pont sebesség változására

kapott összefüggést felhasználva):

2

1 1 1 1 1 1 1

1

O O

o

m J V v J m l

J

,

1oJ - az 1O ponton átmenő, 1 tengelyel párhuzamos tengelyre számított tehetetlenségi

nyomaték.

1

1 1 1

1

O O

o

Jm V v

J

.

Jelölés: 1 1,O I O Iv v V V az ütközési talppontok sebességei.

1

1

1

I I

o

I

Jm V v

J

, Jelölés: 1

1

I

o

J

J

- redukált tömeg.

Ez az összefüggés formálisan olyan, mint a centrikus ütközésnél kapott.

A redukált tömeg képletének átalakítása:

1 1 1 1 11 1 12 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

I

o

J J m lm m m

J J m l m l m l

.

Az átalakításnál felhasználtuk: 1

1 1 1 1 1

1 1

JJ m l

m l

.

221 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

kI

m Jm l Jm l m m lm m

m l m l l l l

.

1kJ - az 1K ponton átmenő, 1 tengelyel párhuzamos tengelyre számított tehetetlenségi

nyomaték.

Ugyanezzel a gondolatmenettel a (2) jelű testre is megkapjuk

- a 2K ütközési középpontot: 2

2 2

2 2

K

J

m l

,

- a II redukált tömeget:

2

2

2 2

KII

J

l

és

- az 2O ütközési talppont sebességváltozását (- előjellel): 2

2

2

II II

o

II

Jm V v

J

.

A két testre kapott eredményeket összevetve ugyanazt az összefüggést kapjuk, mint a

centrikus ütközésnél:

I I I II II IIV v V v .

,I IV v és ,II IIV v - az ütközési talppontok sebességei, ,I II - redukált tömegek.

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki/tanulja meg az excentrikus ütközési feladat megoldásának

a lépéseit!

Tartalom:

Az exentrikus ütközési feladat megoldásának gondolatmenete:

Jelölés:

1 1sJ J , 2 2sJ J

a mozgás síkjára merőleges

S ponti tehetetlenségi

főtengelyekre számított

tehetetlenségi nyomatékok.

a) A redukált tömegek meghatározása: 11

1

sI

o

Jm

J , 2

2

2

sII

o

Jm

J .

b) Az 1 2,O O ütközési talppontok ütközés előtti sebességeinek meghatározása:

1 1 1Iv v l e , 2 2 2IIv v l e .

c) A Maxwell-féle ütközési diagramból az ütközési talppontok ütközés utáni sebességeinek

meghatározása:

IV , IIV .

d) Az ütközési középpontok helyének meghatározása: 11

1 1

sJ

m l , 2

2

2 2

sJ

m l .

e) Az ütközési utáni szögsebességek meghatározása:

ütközés előtt: 1 1 1 1Kv v , 2 2 2 2Kv v .

ütközés után: 1 1 1 1 1 1K I KV V l e v ,

2 2 2 2 2 2K II KV V l e v .

f) Az S pontok ütközés utáni sebességeinek meghatározása:

1 1 1IV V l e , 2 2 2IIV V l e .

Az excentrikus ütközés kiindulási adatai: 1 1 2 2, , ,v v , 1 1 2 1 1 2, , , , ,s sm J m J l l .

A feladat megoldása: 1 1 2 2, , ,V V .

1l

1

1S

1K

1O 2O

1 2

12

IIv

1 s1m , J

2

n

2S

2 s2m , J

2l

2

2K

1

II

Iv

I

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza a gyakorló feladatot! Oldja meg önállóan is a

gyakorló feladatot!

Tartalom:

1. Gyakorló feladat: Excentrikus ütközés

Adott:

Az (1) jelű haladó mozgást végző gömb, amely ütközik

az (2) jelű d átmérőjű álló hengerrel. A gömb és a

henger S pontjának ütközés előtti sebessége 1v és 2v , az

ütközési tényező k.

0,8k , m1L 4 , m2L 1 , mR 2 ,

mmd 20 , kg1m 50 , kg2m 100 ,

1 x yv 4e 2e m / s , 2 0v , 01 2 .

A 1v sebességvektor a gömb súlypontja és a henger középvonala által meghatározott síkba

esik

Feladat:

a) Az 1O és 2O ütközési talppontok helyének és ütközés előtti Iv és IIv sebességének

meghatározása

b) A I és II redukált tömeg meghatározása.

c) Az 1O és 2O ütközési talppontok ütközés utáni IV és IIV sebességének meghatározása.

d) A 1K és 1K ütközési középpontok helyének, valamint ütközés előtti 1Kv és 2Kv és ütközés

utáni 1KV és 2KV sebességének meghatározása.

e) A testek ütközés utáni 1 és 2 szögsebességének és a súlypontok 1V és 2V sebességének

meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az 1O és 2O ütközési talppontok helyének és ütközés előtti Iv és IIv sebességének

meghatározása:

Az ütközési talppontok helyét súlypontokból az ütközési normálisra bocsátott merőleges

egyenesek metszik ki.

Az ütközési talppontok helye: 1 0l , 2 2 / 2 1 ml L R .

Az ütközési talppontok sebessége: I 1 x yv v 4e 2e m / s , 2 0IIv v .

1S

R1v

2S1m

)(1

2L

1L

)(2

d

2m

x

y

1 1S O

R

n2S

1m

)(1

2L

1L

)(2

d

2m

2l2O

1 1S O

n

1m

)(1

)(22m

2l2O

I

2S

II

b) A I és II redukált tömeg meghatározása.

2kgm2 2s1 1

2 2J m R 50 2 80 ,

5 5 2kgmo1 s1J J 80 ,

kgs1I 1

o1

J 80m 50 50 ,

J 80

2kgm

2 2222 1

s2 1 2

m Ld dJ 3 L m 133,34

12 2 16 12

,

2kgm

2

2 1o2 s2 2 2 s2 2 2

LJ J m l J m L 233,34 ,

2

kgs2II 2

o2

J 133,34m 100 57,14 .

J 233,34

c) Az 1O és 2O ütközési talppontok ütközés utáni IV és IIV sebességének meghatározása:

A két redukált tömegből álló rendszer súlyponti sebessége:

I I II IIS

I II

v vv

m / s

x y

x y

50( 4e 2e ) 57,114 0(1,867e 0,9334e ) .

50 57,14

A centrikus ütközési

feladat megoldása

szerkesztéssel (Maxwell-

féle diagram):

Az ütközési tényező: Sn In Sn IIn

In Sn IIn Sn

v V v Vk

v v v v

.

Az 1O és 2O ütközési talppontok ütközés utáni sebessége:

m / sIn Sn In

V 1 k v k v 1,8 1,867 -0,8 4 0,1606 , m / sI x yV 0,1606 e 2e ,

m / sIIn Sn IIn

V 1 k v k v 1,8 1,867 0,8 0 3,360 , m / sII xV (3,3606 e ) .

xv

yv

Sn IInv v ( )Sn IInk v v

1 2 3

IIV

IV

Sv

S

1

2

Iv

I

II

4

In Snv v( )In Snk v v

0IIv n

m/s

m/s

d) A 1K és 2K ütközési középpontok helyének, valamint ütközés előtti 1Kv és 2Kv és ütközés

utáni 1KV és 2KV sebességének meghatározása:

Az ütközési középpontok helye:

s11

1 1

J 80

m l 50 0

.

Haladó mozgás esetén nincs (nem létezik) ütközési

középpont.

ms22

2 2

J 133,341,33

m l 100 1

.

A 2K ütközési középpont ütközés előtti és utáni

sebessége: 2 2 0K Kv V .

e) A testek ütközés utáni 1 és 2 szögsebességének és a súlypontok 1V és 2V sebességének

meghatározása:

Haladó mozgás: 1 0 , 1 1S IV V V .

K 2 K 2 II 2 2 2 yv V 0 V l e ,

x 2 z 2 2 y x0 3,36 e e l e , / e

2 2 23,36 l rad / s,2

2 2

3,36 3,361,43

l 2,33

rad / s2 z1,43e .

S2 2 II 2 2 yV V V l e ,

m / s2 x z y x xV 3,36 e 1,43e 1e 3,36 1,43 e 1,93e .

2K

2

2l

2S

2O11 OS

xn e

ye