1.0 Correntes de Trafego

8/18/2019 1.0 Correntes de Trafego

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Índice

1 CORRENTES DE TRÁFEGO.........................................................................................................................1

1.1 I NTRODUÇÃO....................................................... ........................................................... ................................. 1 1.2 PARÂMETROS DE CARACTERIZAÇÃO DE FLUXOS DE TRÁFEGO .........................................................................2

1.2.1 Volume de tráfego ........................................................ ............................................................ ............. 2

1.2.2 Velocidade.................... ................................................................ ......................................................... 6

1.2.3 Densidade............................................................. .......................................................... ....................... 8

1.3 MÉTODO DO OBSERVADOR MÓVEL .................................................... ........................................................... . 10

1.4 MODELOS DE CORRENTES DE TRÁFEGO ....................................................... .................................................. 15

1.4.1 Introdução.......................................................... ............................................................ ..................... 15

1.4.2 Modelo de Greenshield (1935)..................................... ..................................................................... .. 15

1.4.3 Modelo de Greenberg (1959)... ................................................................ ........................................... 18

1.4.4 Modelo de Underwood (1961) .......................................................... .................................................. 20

Índice de Figuras

FIGURA 1 – VELOCIDADE MÉDIA NO ESPAÇO E NO TEMPO................................................... ........................................... 7

FIGURA 2 – R ELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS VOLUME, VELOCIDADE E DENSIDADE ...................................................9

FIGURA 3 -MÉTODO DO OBSERVADOR MÓVEL ........................................................... .................................................. 12

FIGURA 4 – R ELAÇÕES Q-K, Q-S E S-K DE ACORDO COM O MODELO DE GREENSHIELDS ...........................................16

FIGURA 5 – R ELAÇÕES Q-K, Q-S E S-K DE ACORDO COM O MODELO DE GREENBERG ................................................19

FIGURA 6 – R ELAÇÕES Q-K, Q-S E S-K DE ACORDO COM O MODELO DE U NDERWOOD ..............................................21

Índice de Quadros

QUADRO 1 - VALORES USUAIS PARA AS CONSTANTES K E D ........................................................ ................................. 4

QUADRO 2 – EXEMPLO DE CÁLCULO DO DÉBITO ........................................................ .................................................... 5


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Gestão de Tráfego Rodoviário – Instituto Superior Técnico / Fevereiro, 05 1/26

1 CORRENTES DE TRÁFEGO

1.1 INTRODUÇÃO

Os fluxos de tráfego são constituídos pelos condutores e pelos veículos interactuando de forma

diferenciada entre si assim como com outros elementos da via e do ambiente em redor.

Os veículos ao longo de um fluxo de tráfego não se comportam de forma uniforme uma vez que a

habilidade para a prática da condução e as diversas formas como os condutores reagem a estímulos

exteriores assim não o permitem. Até mesmo dois fluxos de tráfego similares, em circunstâncias

idênticas, não terão o mesmo comportamento pois a reacção dos condutores irá variar de acordo com as

características locais e os hábitos de condução.

Por esse motivo lidar com o tráfego é diferente de lidar com qualquer outro fenómeno físico. Um dado

caudal de água num determinado canal com características específicas terá um comportamento

totalmente previsível de acordo com as leis da hidráulica e da teoria de fluidos. O mesmo já não

acontecerá com um dado fluxo de tráfego circulando em ruas e estradas com características definidas,

pois irão ter variações de acordo com a localização e o tempo. É este o desafio da engenharia de

tráfego: planear e conceber para uma procura de tráfego média de difícil estimação, pois isso envolve

não só a consideração de restrições físicas como também características comportamentais humanas

complexas.

Porém, há um leque de condutores relativamente vasto que se comporta de forma homogénea e

portanto passível de considerá-lo para a caracterização de uma corrente de tráfego. Por exemplo, numa

estrada concebida para velocidades de 90 km/h poder-se-á encontrar a circular nela um grande lote de

veículos entre os 60 e os 110 km/h, mas relativamente poucos a circular a velocidades fora desse

intervalo.

Ao tentar descrever os fluxos de tráfego em termos quantitativos, os objectivos são perceber a

variabilidade inerente às suas características e definir bandas de comportamento normais. Para isso é

necessário definir e medir determinados parâmetros. Os engenheiros de tráfego farão a análise,

avaliação e finalmente a implementação de melhorias nas infra-estruturas com base nesses parâmetros

e no seu conhecimento acerca das bandas de comportamento normais.


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1.2 PARÂMETROS DE CARACTERIZAÇÃO DE FLUXOS DE TRÁFEGO

Os parâmetros caracterizadores dos fluxos de tráfego poderão ser classificados em duas grandes

categorias: parâmetros macroscópicos caracterizando o fluxos de tráfego num todo e parâmetros

microscópicos caracterizando os comportamentos individuais de cada um dos veículos face aos

outros.

Os parâmetros macroscópicos são:

• Volume de tráfego;

• Velocidade;

• Densidade.

1.2.1 VOLUME DE TRÁFEGO

Um volume de tráfego pode ser definido como o número de veículos que circulam num

determinado ponto da via durante um intervalo de tempo. É geralmente expresso em veículos por

unidade de tempo.

• Volumes diários e sua utilizaçãoÉ frequente utilizar-se como intervalo de tempo para a definição dos volumes o dia. São usados

geralmente como base para o planeamento de novas estradas e observação das tendências de

crescimento de tráfego. Entre estes volumes diários destacam-se dois:

Tráfego médio diário anual (TMDA) – média dos volumes de tráfego medidos num determinado

local nas 24 horas do dia e ao longo de 365 dias por ano, ou seja, é o número total de veículos

que atravessou uma dada secção, dividido por 365;

Tráfego médio diário (TMD) – média dos volumes de tráfego medidos num determinado local

nas 24 horas do dia mas ao longo de um período inferior a um ano. Enquanto o TMDA é para um

ano inteiro um TMD pode ser medido para seis meses, uma estação, um mês, uma semana ou até

para dois dias. Um TMD é válido apenas para o período de tempo em que é medido.

• Volumes horários e sua utilização


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Apesar dos volumes de tráfego diários serem importantes para o planeamento não são os únicos

a ser utilizados no projecto de novas vias e também em termos operacionais.

Os volumes de tráfego variam consideravelmente ao longo de um dia, geralmente com picos ao

longo da manhã e da noite devidos à existência de grande número de viagens casa-trabalho. A

hora do dia com maior volume de tráfego, normalmente definida como a ponta horária, é de

extrema importância para os engenheiros de tráfego.

As estradas devem ser concebidas para servirem, adequadamente, os volumes horários de ponta

(VHP) na direcção principal. Como o tráfego de manhã é geralmente mais intenso numa direcção

e à noite na outra, as duas direcções devem ser consideradas aquando da elaboração do projecto

da via.

A maior parte das questões operacionais estejam elas relacionadas com a imposição de medidas

de controlo de tráfego, segurança ou capacidade deverão considerar as condições de tráfego nos

períodos de volume horário de ponta.

Por vezes os volumes horários de ponta são estimados a partir de projecções de volumes diários

recorrendo à seguinte relação:

VHPd = TMDA × K × D

Onde: VHPd – Volume Horário de Ponta numa direcção (veíc./hora);

TMDA – Tráfego Médio Diário Anual (veíc./dia);

K – proporção do volume de tráfego na ponta horária em relação ao tráfego diário;

D – proporção do volume de tráfego na direcção principal durante o VHP.

A constante K é normalmente representada pela proporção do volume de tráfego na 30ª ponta

horária mais elevada do ano em relação ao respectivo TMDA.

Tanto a constante K como a D baseiam-se nas características regionais e locais. Em geral, K

decresce à medida que o desenvolvimento urbano da envolvente vai crescendo. Nas áreas

densamente urbanizadas poderão ocorrer fenómenos de insuficiência de capacidade fora dashoras de ponta dado que a procura se encontra mais dispersa ao longo do dia do que em zonas


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menos densas. Por seu lado D é mais variável pois depende da densidade e da relação que essa

infra-estrutura tem com os principais geradores de tráfego.

QUADRO 1 - VALORES USUAIS PARA AS CONSTANTES K E D

Tipo de via K D

Rural 0.15-0.25 0.65-0.80

Suburbana 0.12-0.15 0.55-0.65

Urbana:

Via radial 0.07-0.12 0.55-0.60

Via circular 0.07-0.12 0.50-0.55

Consideremos então uma estrada rural na qual se estima venham a circular daqui a 20 anos30 000 veíc./dia. Para este tipo de via e região em questão é sabido que o volume de tráfego na

hora de ponta é de aproximadamente 20% do TMDA e que, segundo a direcção principal de

maior intensidade de tráfego, circulam 70% do volume total de tráfego. Assim:

VHPd = 30 000 × 0.20 × 0.70 = 4 200 veíc./hora.

Porém, esta estimativa parte do pressuposto que a essas duas constantes não se irão alterar aolongo do tempo. Caso exista ou esteja previsto no futuro um surto de desenvolvimento na região

então essas constantes deverão ser alteradas e com base no anterior quadro, o cálculo mais

apropriado talvez seja:

VHPd = 30 000 × 0.15 × 0.60 = 2 700 veíc./hora.

Através deste simples exemplo onde pode-se verificar como é difícil fazer uma projecção da procura de tráfego futura com precisão. Não é só o volume de tráfego que varia mas também as

características dessa variação que são passíveis de se alterar. As projecções de tráfego credíveis

requerem a identificação precisa de relações causais que permaneçam estáveis ao longo do

tempo. Como é natural essas relações são difíceis de identificar no meio da complexidade das

observações dos comportamentos dos viajantes.

• Volumes sub-horários e débitos


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Enquanto os volumes são a base de inúmeras formas de análise de tráfego, as variações em cada

hora são também muito importantes. A via poderá ter capacidade para responder à procura nas

horas de ponta mas durante pequenos instantes esta poderá ser superior à capacidade dando

origem a congestionamentos.

Os volumes observados em períodos inferiores a uma hora são definidos como os débitos. Por

exemplo, poder-se-á dizer uma via tem um débito de 4 000 veíc/hora caso sejam observados

nela, em 15 minutos, 1 000 veículos.

Mas caso o tráfego fosse contabilizado durante uma hora inteira o volume não seria 4 000

veíc./hora. O seguinte quadro ilustra esse caso:

QUADRO 2 – EXEMPLO DE CÁLCULO DO DÉBITO

Intervalo de tempo Volume de tráfego nesse intervalo

(veíc.)

Débito nesse intervalo

(veíc./hora)

17:00 – 17:15 1 000 4 000

17:15 - 17:30 1 100 4 400

17:30 – 17:45 1 200 4 800

17:45 - 18:00 900 3 60017:00 - 18:00 4 200 veíc./hora = Volume Horário

Estas flutuações poderão ser muito importantes em termos operacionais. Neste caso concreto, se

se considerar que a infra-estrutura apresentada no exemplo anterior tinha uma capacidade

máxima de 4 200 veíc./hora, a procura iria exceder a capacidade no intervalo entre as 17:30 - 17:45

criando uma situação de congestionamento. O processo de resolução de um congestionamento é

complexo estendendo-se geralmente por um período superior a ele próprio. Por esse motivo, para

muitas análises de tráfego, é necessário considerar um débito máximo numa hora de ponta.

Mas então qual é o intervalo de tempo que deverá ser utilizado nas análises de tráfego? Não

existe uma resposta inequívoca mas o Highway Capacity Manual – HCM sugere que se utilizem

intervalos de 15 minutos por razões de estabilidade estatística. A variação de débitos em

intervalos mais pequenos é demasiado instável e consequentemente as relações com outras

grandezas tornam-se difíceis de estabelecer com grau mínimo de confiança.


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A relação entre um volume horário e o débito máximo numa hora é definida por Factor Horário

de Ponta – FHP e pode ser expresso da seguinte forma:

maximo Débito

HorarioVolumeFHP =

Para períodos de 15 minutos a expressão toma a seguinte forma:

V 15

V FHP =

onde: V – Volume horário (veíc./hora);

V15 – Volume máximo em 15 minutos durante uma hora (veíc.).

Quando se sabe o valor do FHP este pode ser utilizado para converter o VHP num débito

máximo estimado para uma hora:

FHP

V v =

onde: v – Débito numa hora (veíc./hora);

V – Volume horário máximo numa hora (veíc./hora);

FHP – Factor horário de ponta.

1.2.2 VELOCIDADE

Velocidade pode ser definida como “rate of motion” em distância por unidade de tempo. É o

inverso do tempo que um veículo demora a percorrer uma dada distância.

Num dado fluxo de tráfego, cada veículo viaja a uma determinada velocidade o que implica que

não haverá uma só velocidade homogénea mas sim uma distribuição de velocidades individuais

de cada veículo. Dessa distribuição discreta de velocidades recorre-se então à média para

caracterizar o fluxo como um todo.

A média das velocidades poderá ser vista sob dois pontos de vista fornecendo dois valores com

explicações físicas diferentes:


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Velocidade média no tempo definida como a velocidade média de todos os veículos que

atravessam um ponto da via em determinado período;

Velocidade média no espaço definida como a velocidade média de todos os veículos que ocupam

uma secção da via em determinado período.

A velocidade média no tempo é essencialmente uma medida pontual enquanto a velocidade

média no espaço é uma grandeza que tem em conta uma extensão da via.

A figura seguinte ilustra a diferença entre ambas:

FIGURA 1 – VELOCIDADE MÉDIA NO ESPAÇO E NO TEMPO

25 m 25 m

V = 50 km/h

V = 100 km/h

Na pista 1 os veículos estão espaçados de 25 m e viajam a 15 m/s (≈ 50 km/h). Nessa mesma pista cada

veículo atravessa um determinado ponto em cada 25/15 = 1.6(6) s. Na pista 2 os veículos estão

espaçados de 50 m e viajam a 30 m/s (≈ 110 km/h). Assim, os veículos dessa pista atravessam

determinado ponto em cada 50/30 = 1.6(6) s. Desse modo, um observador pode em qualquer ponto

dessa secção observar o mesmo número de veículos a circular nas pistas 1 e 2 e obterá para velocidade

média no tempo:

km/hm/s.2

30+15 =temponoVel.Media 80522 ≈=


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pois existirão, num dado instante, dois veículos a circular a 50 e a 100 km/h.

Para se obter a velocidade média no espaço é necessário considerar um segmento dessa infra-estrutura.

A pista 1 da mesma figura contém o dobro dos veículos da pista 2. Isso será verdade durante qualquer

período de tempo dado a uniformidade da corrente de tráfego. Assim, a velocidade média no espaço

inclui um número de veículos a circular a 50 km/h duplo do número de veículos a circular a 100 km/h.

Desse modo a velocidade média no espaço é de:

km/hm/s3

30+152 =espaçonoVel.Media 7020 ≈=

×

Em resumo:

n

d

=tempono MédiaVel.t i∑

∑∑=

t t ii

nd

n

d =espaçono MédiaVel.

onde: d – distância atravessada (km);

n – número de observações;

ti – tempo de viagem do veículo i (h).

1.2.3 DENSIDADE

Densidade é a terceira grandeza a ter em conta no estudo de fluxos de tráfego e pode ser definida como

o número de veículos ocupando uma determinada extensão da via.

A densidade é de difícil quantificação mas poderá obtida a partir da velocidade e do volume segundo a

relação:

K S q ×=

onde: q – débito (veíc/hora);

S – velocidade média no espaço (km/h);

K – densidade (veíc./km).

A densidade é talvez o parâmetro mais importante dos três pois é o que se relaciona mais com a

procura de tráfego. O tráfego tem origem em vários tipos de uso do solo, gerando cada um deles um

determinado número de viagens. Essas viagens irão produzir uma densidade de tráfego que por seu

turno irá produzir um débito e uma velocidade. Por outro lado, a densidade é uma grandeza importante


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para medir a qualidade do escoamento de tráfego, na medida em que quantifica a proximidade entre

veículos, factor esse que influencia a liberdade de movimentos e o conforto psicológico dos

condutores.

A seguinte figura ilustra de forma clara as relações entre estas grandezas. A calibração exacta destas

relações depende das condições da zona em estudo da altura do dia em que essa medição é feita, etc..

FIGURA 2 – R ELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS VOLUME, VELOCIDADE E DENSIDADE

De salientar que um fluxo zero ocorre em duas situações:

− Quando não existem veículos na estrada e a densidade é zero e não se observam veículos a atravessar

um determinado ponto. Teoricamente, a velocidade assume assim o valor máximo a que um veículo

pode circular em condições de segurança nessa via;

DENSIDADE

VOLUME

VELOCIDADE

DENSIDADE

DENSIDADE CRITICA

DENSIDADE EMCONGESTIONAMENTO

DENSIDADE CRITICA

CAPACIDADE

S 1 A B

VELOCIDADE

VOLUME

VELOCIDADE CRITICA

B A

A

B

VELOCIDADECRITICA

NOTA: VOLUME V1 OCORRE EMDUAS SITUAÇÕES DISTINTAS DEFLUXO, ILUSTRADAS COMO A E B.

FLUXO INSTÁVEL

FLUXO ESTÁVEL


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gráfico q-k, o que mostra que os valores de fluxo e densidade (por exemplo) deverão ser recolhidos

simultaneamente.

No entanto poder-se-á medir apenas o valor de uma das grandezas e a partir dele determinar as outras

duas, se se souber estar perante condições de escoamento estável.

O método do observador móvel tem por objectivo recolher os dados necessários à definição das

variáveis que quantificam uma corrente de tráfego. Envolve um observador que recolhe estes dados

enquanto se move em relação à corrente de tráfego que está a ser caracterizada. Como simplificação

vão considerar-se primeiro duas situações simplificadas (que servem apenas para melhor explicar o

método):

i. observador parado em relação à corrente de tráfego

Se N0 veículos ultrapassam o observador durante o período T, o fluxo observado é então igual a:

q N

T N q T = = ×0

0 ou EQ. 1

ii. observador em movimento, corrente de tráfego parada

Deslocando-se uma distância L, o observador iria ultrapassar um número de veículos Np, a densidade

na corrente seria assim igual a:

obsobsP T S K L

N K ××== P Nou EQ. 2

Sobs - velocidade do observador

Tobs - período de observação


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FIGURA 3 -MÉTODO DO OBSERVADOR MÓVEL

FONTE: PAPACOSTAS, C.S. - FUNDAMENTALS OF TRANSPORTATION E NGINEERING

Consideraremos agora que o observador está em movimento dentro da corrente de tráfego, com esta

também em movimento. Neste caso alguns veículos Mo ultrapassarão o observador, enquanto que

alguns outros, Mp, serão ultrapassados. Estes dois valores dependerão da velocidade relativa entre o

veículo de teste e o resto da corrente de tráfego, se o observador viajar a uma velocidade superior à

média então Mp > Mo e vice-versa. Este caso é o efeito combinado dos dois casos mais simples atrás

descritos.

Considerando a diferença entre as duas contagens como M, temos:

obsobsobs

po T S K T q M M M ××−×=−= EQ. 3

Dividindo ambos os termos por Tobs, obtém-se:

obs

obsS K q

T M ×−= EQ. 4

Sendo esta a equação básica deste método, relacionando as variáveis da corrente de tráfego q e k com

as contagens M, Tobs e Sobs que podem ser obtidas pelo observador. Para resolver esta equação de

forma a obter as duas variáveis independentes (q e k) é necessária outra equação independente, assim é

feita um segundo teste a velocidade diferente de forma a assegurar a independência das variáveis.


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Normalmente este teste é executado no sentido do tráfego (o veículo teste desloca-se no sentido da

corrente de tráfego - with traffic ) e contra o tráfego (o veículo de teste desloca-se contra a corrente de

tráfego - against traffic).

Em ambos os testes são registados Mo e Mp, na corrente de tráfego em estudo. Quando o teste está a

ser executado contra a corrente de tráfego, o observador apenas será ‘ultrapassado’ pois irá com

velocidade ‘negativa’. Assim, neste caso M será igual ao número de veículos que passam na direcção

que estamos a estudar (Sul-Norte).

Substituindo as contagens feitas durante os dois testes temos:

obs

wobs

w

w S K q

T

M ×−= EQ. 5

obs

aobs

a

a S K qT

M ×+= EQ. 6

O sinal (+) na equação 6 reflecte o facto de o veículo teste se deslocar contra a corrente de tráfego

(velocidade negativa).

A partir destas duas equações é possível obter uma terceira:

q M M

T T

w a

w

obs

a

obs=

++

EQ. 7

As unidades do fluxo resultam em veículos por unidade de tempo, que é compatível com a definição de

corrente de tráfego. Poderá no entanto surgir a questão de se será este o fluxo pretendido. Se

recordarmos de que o fluxo representa o número de passagens num determinado ponto, a resposta a

esta questão será afirmativa se esse ponto existir no comprimento L, tal que o fluxo medido nesse

ponto durante o tempo total de observação (Tobsw + Tobs

a) seja igual ao fluxo obtido através da equação

7.

Vamos a seguir demonstrar que esse ponto existe e que corresponde ao ponto A da Figura 3 :

Supondo que o veículo teste parte quando T=0 contra o tráfego, e no mesmo instante um observador

independente localizado no ponto A começa a contar os veículos que passam continuando até que o


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observador localizado no veículo de teste percorra o percurso L e volte novamente até ao ponto (A)

onde ele se encontra.

Se considerarmos que o veículo de teste ao atingir o final do percurso contra a corrente de tráfego,

inverte a sua marcha instantaneamente e recomeça o teste integrado na corrente de tráfego, o ponto A

será atingido quando T = Tobsw + Tobs

a . O número de veículos contados pelo observador independente

será igual ao número de veículos Mo (que ultrapassaram o veículo teste) menos todos aqueles veículos

que veículo teste ultrapassou, Mp.

Para calcular a velocidade média no espaço, S, a equação 5 pode ser escrita da seguinte forma:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ×⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=obs

w

obs

w

w

T

L

S

qq

T

M EQ. 8

−S

Ltempo que veículo médio demora a percorrer o comprimento L

Assim a partir da equação anterior pode escrever-se uma nova equação:

T T M

qw

obs w= − EQ. 9

Tobsw - tempo que o veículo de teste demorou a percorrer o comprimento L

Mw - contagem do teste feito no sentido da corrente de tráfego

q - resultado da equação 7

T - tempo que o veículo médio demora a percorrer o percurso L

A última equação relaciona o tempo que o veículo de teste demorou (Tobsw) com o tempo do veículo

médio (T). Se o veículo de teste se deslocar a uma velocidade superior à média então o número de

veículos ultrapassados (Mp) será maior que o número de veículos que o ultrapassaram (Mo) o que

levará a que M apresente um valor negativo, consequentemente o tempo médio (T) será maior que o

tempo gasto pelo veículo teste (Tobsw), se pelo contrário a velocidade do veículo teste for inferior à

média então logicamente o tempo que gastará será superior à do veículo médio da corrente de tráfego.

Finalmente, a velocidade média no espaço da corrente de tráfego é obtida a partir da seguinte equação:

T

LS = EQ. 10


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De forma a assegurar a fiabilidade estatística dos dados recolhidos, as contagens devem ser executadas

várias vezes (5 a 6 vezes em cada sentido) sendo então os valores médios utilizados nos cálculos finais.

1.4 MODELOS DE CORRENTES DE TRÁFEGO

1.4.1 INTRODUÇÃO

Embora já tenham sido publicadas diversas teorias e análises relativas às relações entre as grandezas

que caracterizam as correntes de tráfego, não existem formulações conclusivas nesta matéria. De facto

a circulação rodoviária é um processo estocástico, com variações aleatórias nas características dos

veículos, dos seus condutores e das suas interacções, e portanto de difícil modelação.

Desta forma, pretende-se aqui apresentar alguns dos modelos empíricos de correntes de tráfego,

avançados por diversos autores. A relação mais simples para basear esta apresentação é a Velocidade –

Densidade (S-K), por apresentar um andamento monótono.

Os modelos foram construídos tendo por objectivo a maximização do ajustamento a observações

realizadas, satisfazendo, se possível, as seguintes restrições:

Fluxo é nulo quando a Densidade é nula;

Fluxo é nulo quando a Densidade é máxima (K j);

Velocidade livre (Sf ) ocorre quando a Densidade é nula;

Curva Fluxo – Densidade é convexa, i.e., existe um ponto de Fluxo máximo (Qm).

1.4.2 MODELO DE GREENSHIELD (1935)

Greenshields propõe a relação mais simples que pode ser encontrada entre a Velocidade e a Densidade:

a relação linear.


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FIGURA 4 – R ELAÇÕES Q-K, Q-S E S-K DE ACORDO COM O MODELO DE GREENSHIELDS

0 K

Q

Qm

Km

0 K

S

Sf

Km 0 Q

U

Qm

Sm Sm

Sf

α β

γ

1 1’

tg(α) = Sf

tg(β) = S(1)

tg(γ) = Sm

K j

K j

Deste modo a relação S-K é escrita da seguinte forma:

K baS ⋅+=

De acordo com a 3ª restrição atrás enunciada, resulta:

aS baS f f =⇔⋅+= 0

Como resultado da 2ª restrição ainda vem que a Velocidade é nula quando a densidade é máxima, pelo

que:

j

f

j j

K

S b

b

aK K ba −=⇔−=⇔⋅+=0

A relação S-K será então dada, de acordo com Greenshields, por:

S S

K K K ouK

K

S S S

f

j

j

j

f

f ⋅−=⋅−=

Da relação fundamental das correntes de tráfego obtêm-se as restantes relações:


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⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⇔⋅=2

2

S S

K S K Q

K K

S K S Q

K S Q

f

j

j

j

f

f

Usando as equações deduzidas, é possível determinar a Capacidade da via (Qm), a Velocidade (Sm) e a

Densidade (K m) para a qual se atinge essa Capacidade, bastando para tal igual encontrar o máximo de

uma das relações Q-S ou Q-K.

2020 jmm

j

f

f

K K K

K

S S

dK

dQ=⇔=⋅⋅−⇔=

De que resulta:

22 f

m

j

j

f

f mm

j

f

f m

S S

K

K

S S S K

K

S S S =⇔⋅−=⇔⋅−=

Finalmente obtém-se a Capacidade por utilização da expressão fundamental das correntes de tráfego:

4 j f

mmmm

K S QK S Q

⋅=⇔⋅=

Exemplo:

Numa determinada via foram realizadas, por um qualquer método, observações de tráfego em cinco

períodos distintos, tendo-se chegado aos seguintes resultados médios:

Período 1 2 3 4 5

S 18,4 45,0 50,1 63,7 63,8 km/h

K 78,4 43,9 25,1 22,9 24,8 v/km

A relação entre a Velocidade e a Densidade, dada pelo o modelo de Greenshields, poderá ser obtida por

regressão linear, resultando:

S = 77,7 – 0,756 × K , com r 2 = -0,965


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As restantes relações poderão ser obtidas por utilização da expressão fundamental das correntes de

tráfego:

⎪⎩

⎪⎨⎧

×−×=

×−×=⇔⋅=

2

2

32,17,102

756,07,77

S S Q

K K QK S Q

Das expressões anteriores obtêm-se os valores da velocidade máxima (livre) e da densidade em

congestionamento:

kmvK K

hkmS S

j j

f f

/7,102756,07,770

/7,770756,07,77

=⇔×−=

=⇔×−=

Finalmente, restam calcular a capacidade da via (Qm), a velocidade (Sm) e a densidade (K m) para as

quais ocorre essa capacidade:

kmvK

K

hkmS

S

hvK S

Q

j

m

f

m

j f

m

/4,512

7,102

2

/9,382

7,77

2

/19964

7,1027,77

4

===

===

=×

=⋅

=

1.4.3 MODELO DE GREENBERG (1959)

Outros autores observaram que a relação S-K não tinha um comportamento totalmente linear, mas

apresentava uma ligeira concavidade. Uma sugestão levando isso em consideração, foi dada por

Greenberg na sua formulação logarítmica:

K baS ⋅⋅= ln

Greenberg desenvolveu o seu modelo recorrendo a medições das grandezas Velocidade, Densidade e

Fluxo, e fazendo uma analogia entre as correntes de tráfego e o escoamento de fluidos. De realçar no


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entanto que o fluxo de tráfego não é uma fenómeno cientifico, pois depende largamente em variações

no comportamento dos condutores.

FIGURA 5 – R ELAÇÕES Q-K, Q-S E S-K DE ACORDO COM O MODELO DE GREENBERG

0 K

Q

Qm

Km

0 K

S

Km 0 Q

S

Qm

Sm Sm

K j

K j

O modelo de Greenberg apresenta melhor ajustamento aos dados reais, quando comparado com o de

Greenshields, no entanto viola uma das restrição anteriormente indicadas, visto que a Densidade nula

só pode ser atingida a uma Velocidade infinita. Isso mesmo é ilustrado na figura seguinte.

Seguindo o raciocínio utilizado no ponto anterior, podemos determinar a Densidade máxima, igualando

a zero a expressão que relaciona a Velocidade e a Densidade:

bK K bK ba j j j

11ln0 =⇔=⋅⇔⋅⋅=

Podendo-se então escrever:

a

S

j

j

eK K ouK

K aS ⋅=⋅= ln

As relações Q-S e Q-K resultam:


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⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅=

⋅⋅=⇔⋅=

a

S

j

j

eK S Q

K

K aK Q

K S Q

ln

Pegando na segunda relação, podemos determinar a Velocidade para a qual ocorre a Capacidade:

aS a

K S K e

a

K S eK

dS

dQm

j

m ja

S j

ma

S

j

mm

−=⇔=⋅+⇔=⋅⋅+⋅⇔= 000

Obtêm-se finalmente as relações pretendidas:

m

m

S

S

j

j

m

S

S

j

j

m

eK S Q

K

K S K Q

eK K ouK

K S S

−

−

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅=⋅=

ln

ln

A Capacidade e a respectiva Densidade podem então ser encontradas utilizando as expressões

anteriores:

e

K S QeK S Q

e

K K eK K

jm

m

S

S

jmm

j

m

S

S

jm

m

m

m

m

⋅=⇔⋅⋅=

=⇔⋅=

−

−

1.4.4 MODELO DE UNDERWOOD (1961)

Outra sugestão partiu de Underwood, que propõe uma relação exponencial negativa entre a Velocidade

e a Densidade:

K beaS ⋅−⋅=


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EXERCÍCIO 1.1: Um ciclista, praticando todos os dias, a diferentes horas, inclui no seu trajecto um

percurso de 1Km ao longo de uma pista para bicicletas, paralela a uma via rodoviária, tal como se pode

ver na figura seguinte.

Dado que anda a estudar engenharia de tráfego, tem por hábito contar o número de carros que encontra

quando se dirige para Sul (Ms), o número de carros que o ultrapassam quando se dirige para Norte (Mo)

e também o número de carros que ele ultrapassa quando se dirige para Norte (M p). Na tabela seguinte

são apresentadas as contagens médias que ele obteve para cada período do dia.

Altura do dia Ms Mo Mp

8.00 - 9.00 107 10 74

9.00 - 10.00 113 25 41

10.00 - 11.00 30 15 5

11.00 - 12.00 79 18 9

Considerando que o ciclista se desloca a 40 Km/h, calcule:

i. As características do tráfego para cada período (k, S e q)

ii. Calibre o modelo S = a + b * K

iii. Estime a capacidade da via


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EXERCÍCIO 1.2:

Comprimento do percurso L = 1080 m

Corrida w/a Tobsw Tobs

a na ns nf

1 w 2:35 78 3 1

1 a 2:15 116 0 1

2 w 2:45 90 1 0

2 a 1:55 98 2 0

3 w 2:38 85 3 1

3 a 2:03 105 2 3

4 w 2:30 90 1 0

4 a 2:09 107 1 1

5 w 2:40 93 0 2

5 a 2:02 103 1 1

na - veículos no sentido contrário

ns - veículos que ultrapassamos (s de slow)

nf - veículos que nos ultrapassaram (f de fast )

Determine S, T e q em ambos os sentidos.

EXERCÍCIO 1.3:

O modelo de Greenshields aplicado a uma corrente de tráfego conduziu a:

S = 60 – 0,420 K

Determine:

a) A Capacidade.

b) A Velocidade e Densidade na capacidade.

EXERCÍCIO 1.4 :A partir de observações realizadas num cruzamento regulado por sinais luminosos foram obtidos os

seguintes valores:

Espaçamento médio entre veículos na fila de espera até à abertura do sinal verde = 7 m;

Débito de chegadas = 500 v/h;

Débito de saturação = 1700 v/h;

Duração do tempo de vermelho = 30 seg.

Admitindo ser aplicável o modelo de Greenshields, determine a Velocidade média dos veículos durante

a aproximação ao cruzamento e não tendo ainda sofrido a influência deste.


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EXERCÍCIO 1.5:

Admitindo que os condutores de uma determinada via seguem a regra de deixarem um espaçamento

para o veículo da frente igual ao comprimento de um veículo por cada incremento na velocidade de 15

km/h. Considerando um comprimento médio dos veículos igual a 5 m, deduza as equações e trace os

gráficos das relações S-K, Q-S e Q-K.

EXERCÍCIO 1.6 :

Uma dada via foi observada durante 2 períodos distintos, numa extensão de 1 km. Durante o primeiro

período registou-se que 4 veículos percorreram essa extensão em 52, 56, 63 e 69 segundos, numa altura

em que se observou um fluxo de 1500 v/h. No 2º período foram registados os tempos que outros 4

veículos levaram a percorrer a mesma extensão: 70, 74, 77 e 79 seg., tendo-se registado um fluxo de

1920 v/h.

Aplicando o modelo de Greenshields, determine a estimativa possível de Qm, Sf e K j.

EXERCÍCIO 1.7:

A relação S-K numa via foi estabelecida como sendo:

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅=K

S 138

ln1,29

a) Determine Qm, Sm e K m.

b) Determine a Densidade em congestionamento.

EXERCÍCIO 1.8 :

Sabendo que, numa determinada via, K j = 100 v/h e que K = 25 v/h quando S = 60 km/h, determine a

capacidade da via em causa usando o modelo de Greenberg.


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Bibliografia:

• Transportation Research Board - Highway Capacity Manual - 1985

• Papacostas, C. S: - Fundamentals of Transportation Engineering - (1987)

• Institute of Transportation Engineers - Traffic Enginnering Handbook - (1992)

• C. Jotin Khisty, B. Kent Lall – Transportation Engineering, An Introduction - (1998)

• CA O’Flaherty- Transport Planning and Traffic Engineering- (1997)

• Paul H. Wright, Norman J. Ashford- Transportation Engineering- (1992)

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1.0 Correntes de Trafego