1 XHYDV KHUUDP LHQWDV HQVH °DQ]DG H 0 … · diferentes elementos geométricos, como por ejemplo, puntos, rectas, segmentos, polígonos y circunferencias, etc. Nuevas Herramientas

Nuevas herramientas para la enseñanza de la

Matemática

Datos y probabilidades

con GeoGebra

Agosto 2017

Índice general

1 Primera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Introducción a GeoGebra 51.2 Problemas de Conteo 101.2.1 Variaciones y Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Propiedades de los números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Segunda Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Algunos ejemplos 192.2 Eventos y probabilidades 232.3 Teorema de Bayes 26

3 Tercera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Nociones de estadística 293.2 Medidas de posición 313.3 Medidas de dispersión 333.3.1 Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Cuarta Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Los datos nos hablan con gráficos 394.1.1 Diagrama de tallos y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Diagrama de torta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.4 Gráficos de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.5 Diagramas de caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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4 Datos y probabilidades con GeoGebra

4.1.6 Otros tipos de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Regresión Lineal Simple 48

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


1. Primera Clase

1.1 Introducción a GeoGebra

GeoGebra es un software libre de matemática que puede aplicarse en geometría, álgebray cálculo. Como sistema de geometría dinámica, permite construir figuras con puntos, vectores,segmentos, rectas y cónicas, entre otras, y también gráficas de funciones. Mediante la explicitaciónde fórmulas y coordenadas, ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático parahallar derivadas e integrales de funciones, e identificar puntos singulares como raíces o extremos,por ejemplo.

Este software se puede descargar en forma gratuita de www.geogebra.org.

La ventana de trabajo de GeoGebra

En la pantalla inicial de GeoGebra encontramos una Vista Gráfica, una numérica, llamadaVista Algebraica, y además, una Vista de Hoja de Cálculo. A continuación describimos algunoselementos de su interfaz básica:

Barra de menú: Contiene diferentes menús desplegables que facilitan el trabajo con archivosy determinan la configuración del programa. Los menús corresponden a Archivo, Edita, Vista,Opciones, Herramientas, Ventana y Ayuda.Barra de herramientas: Contiene distintas opciones para realizar construcciones geométri-cas, información de la herramienta seleccionada, y los botones para deshacer y rehacer lasacciones realizadas.Ventana algebraica: Ofrece la información del proceso realizado, indicando los objetoslibres, dependientes y los auxiliares que también se podrán mostrar.Vista gráfica: Es la zona principal de GeoGebra , donde se ven y manipulan los gráficos.Hoja de cálculo: Ofrece funciones similares a las de Microsoft Excel.Campo de entrada: Permite introducir expresiones, además de las opciones para seleccionardistintas funciones, caracteres o comandos.


www.geogebra.org


La barra de menú está ubicada en el margen superior de la ventana de GeoGebra .Las solapas que allí aparecen se despliegan de la siguiente manera:

Comandos del menú Archivo:


Datos y probabilidades con GeoGebra 7

Comandos del menú Edita:

Comandos del menú Vista:

Comandos del menú Opciones:

Comandos del menú Herramientas:



Comandos del menú Ventana:

Comandos del menú Ayuda:

A continuación mostramos los botones de la Barra de herramientas para graficar fácilmentediferentes elementos geométricos, como por ejemplo, puntos, rectas, segmentos, polígonos ycircunferencias, etc.





1.2 Problemas de ConteoEn esta clase vamos a desarrollar técnicas para determinar el número de resultados posibles

de un experimento o evento particular, o el número de elementos de un conjunto determinado, sinenumerarlo directamente. A esto se lo llama conteo.

Estas técnicas se pueden clasificar en: diagramas de árbol, principios del conteo y análisiscombinatorio.

El diagrama de árbol es una herramienta gráfica empleada para enumerar todas las posibili-dades de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir un número finito de veces.Proporciona un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados. El árbol se construyea partir de un nodo, que representa la primera acción a efectuar; de éste se desprenden tantas ramascomo maneras diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujanotros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramascomo maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción, considerando la manera enque se realiza la primera. Y así, sucesivamente.

Consideremos, por ejemplo, el problema de contar cuántos números de a lo sumo 5 cifras sepueden formar. Si pensamos que para cada cifra o dígito podemos elegir un número en el conjunto0,1, ...,9, el diagrama de árbol correspondiente para este ejemplo será el siguiente

Observando el diagrama vemos que para este problema sencillo, el cálculo total parece complicarse.Trataremos de encontrar una manera sistemática que nos permita resolver este tipo de problemassin tener que realizar un diagrama. Para ello, estudiamos los principios de conteo, regla de lamultiplicación y regla de la suma.

Consideremos el siguiente problema, se quiere determinar la cantidad de patentes que se puedenformar con la nueva asignación de caracteres. En total son 7, de los cuales los primeros dos sonletras, luego tres números y por último dos letras nuevamente.

AB 123 CD

En el primer lugar se pueden colocar cualquiera de las 27 letras del abecedario, al igual que ensegundo lugar porque las letras pueden repetirse. En tercer, cuarto y quinto lugar tenemos 10números para elegir en cada uno. Y en los últimos dos lugares tenemos la misma situación que enlos dos primeros lugares. Con lo cual la cantidad de patentes nuevas distintas que podrían formarsees



27×27×10×10×10×27×27 = 531441000.

Aquí hemos aplicado la regla de la multiplicación.

Si un evento puede realizarse de n1 formas diferentes, y si, continuando el procedimiento,un segundo evento puede realizarse de n2 formas diferentes, y un tercer evento puede realizarsede n3 formas diferentes, y así sucesivamente, el r-ésimo evento puede realizarse de nr manerasdiferentes, entonces el número de formas en que los r eventos pueden realizarse simultáneamentees el producto de

n1×n2×n3× ...×nr.

El principio multiplicativo es aplicable cuando un experimento puede descomponerse en un conjuntode acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se conformacon una posibilidad de cada una de esas acciones.

Observación: ¿Cómo aplicaría la regla de la multiplicación al problema de encontrar la cantidadde números que pueden formarse de a lo sumo 5 cifras?

Ahora supongamos el caso de una persona que tiene que ir desde la ciudad A hasta la ciudad B,y lo puede hacer en tren, en autobús o en avión. Si hay 3 trenes que salen de A hacia B, 2 vuelos deavión y 5 autobuses, el número de maneras de ir de A a B es:

3+2+5 = 10.

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarsede n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n1 on2 pueden realizarse alternativamente de n1 +n2 maneras diferentes. Este principio aditivo o de lasuma se generaliza para cualquier número de acciones alternativas a realizar, esto es, si una primeraacción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2maneras diferentes, y así, una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonceslas r acciones alternativas se pueden realizar de n1 + n2 + ...+ nr maneras diferentes. Tambiénse puede hacer un esquema representativo del principio aditivo, aunque éste no sea un diagramade árbol propiamente dicho. Todas las posibles ramas parten de un único nodo; algunas de ellascorresponden al número de maneras en que puede realizarse una primera acción, otras correspondenal número de maneras en que puede realizarse una segunda acción alternativa, y así sucesivamente.El total de ramas es precisamente el número de maneras en las que se pueden llevar a cabo lasdistintas acciones alternativas.

La expresión general para la regla de la suma es

n1 +n2 +n3 + ...nr.

Es muy sencillo distinguir cuándo hacer uso de la regla de la multiplicación y cuándo de laregla de la suma: si se trata de una secuencia de acciones, deberemos usar el principio o regla dela multiplicación. Si se trata de una sola acción que presenta distintas alternativas de realización,deberemos usar el principio de la suma.

Si bien los diagramas de árbol nos sirven para mostrar gráficamente el número de resultadosposibles de un fenómeno, esta ordenación tiene un inconveniente, pues a medida que aumentael número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que recurrir a otro procesomás sencillo para determinar el número total de resultados. Para ello vamos a utilizar el análisis



combinatorio: variaciones, permutaciones y combinaciones.

Para poder arribar a estos conceptos vamos a recordar el concepto de factorial. La funciónfactorial es una función que al aplicarla a cualquier entero positivo n, devuelve el producto de todoslos enteros desde 1 hasta n.

n! = 1×2×3× ...× (n−2)× (n−1)×n.

Para que la expresión anterior tenga validez para cualquier n ∈N, se define 0! = 1. Para valoresgrandes de n, n≥ 15, se puede utilizar la fórmula de Stirling para obtener una buena aproximacióndel factorial de n:

n!≈√

2πn(n

e

)n.

El factorial de un número se puede generalizar para cualquier número real t positivo mediantela función Gamma, definida como:

Γ(t) =∫

∞

0e−xxt−1dx, t > 0.

Si t ∈ N, entonces Γ(t +1) = t!

1.2.1 Variaciones y Permutaciones¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios diferentes a un conjunto de 10 personas,

suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? Tenemos 10 personas quepueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibirel segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. Así, el número de manerasdistintas de repartir los tres premios es

10×9×8 = 720.

Si se tiene una colección de m elementos distintos, se llaman variaciones simples o variacionesde esos m elementos tomados de a n, a los grupos de n elementos distintos que se pueden formarcon esos m elementos, de manera que un grupo se diferencia del otro ya sea por los elementos quelo conforman o bien por el orden en que aparecen, cuentan la disposición de una parte del total deelementos en un orden determinado.

Se pueden calcular utilizando la siguiente fórmula

V (m,n) =m!

(m−n)!.

Podemos aplicar este resultado en el ejemplo anterior, notando que m = 10 y n = 3,

V (10,3) =10!

(10−3)!=

10×9×8×7!7!

= 10×9×8 = 720.

Ahora nos preguntamos cuántos anagramas (es decir ordenaciones con o sin sentido) se puedenhacer con las letras de la palabra CURSO.

En total tenemos 5 letras para ordenar. Para el primer lugar tenemos 5 letras, para el segundo 4ya que no podemos utilizar la letra que ya utilizamos en el primer lugar, para el tercer lugar tenemos3 letras, y así sucesivamente. En total, tenemos 5×4×3×2×1 = 5! anagramas distintos.



Las variaciones simples de m elementos tomados de a m se llaman permutaciones de melementos. Una permutación se diferencia de otra solo en el orden, pues en todas aparecen losmismos elementos, cuentan la disposición de todos los elementos en un orden determinado, sedenotan y calculan por

P(m) = m!

Veamos otro tipo de ordenamiento de n objetos. Se llaman permutaciones circulares de nobjetos a las diferentes maneras en que se pueden colocar esos n objetos alrededor de un círculo; eneste tipo de permutaciones, lo que importa son las posiciones relativas de los objetos con respecto aellos mismos y no las posiciones absolutas de los objetos en el círculo. Denotamos este número porPC(n). Existen n permutaciones (lineales o en fila) que, al ser colocadas en círculo, conducen a unamisma permutación circular, porque cada objeto queda en la misma posición relativa respecto a losn−1 objetos restantes; de manera que por cada permutación circular hay n permutaciones linealesequivalentes. Entonces, para calcular el número de permutaciones circulares de n objetos, se divideel número de permutaciones de n objetos por las n permutaciones equivalentes, es decir:

PC(n) =P(n)

n=

n!n= (n−1)!.

1.2.2 CombinacionesEstudiemos el siguiente problema, se quiere formar un equipo de trabajo integrado por 2 perso-

nas seleccionadas de un grupo de tres, A, B y C. Aquí el orden de las personas no es importante,así que podríamos formar tres grupos: AB, AC, BC.

Si se tiene una colección de m elementos distintos, se llaman combinaciones de esos m elementostomados de a n, a los grupos de n elementos distintos que se pueden formar con esos m elementosdados, de modo que un grupo se diferencia de otro por los elementos que lo componen, sin queinterese el orden en el que aparezcan. Podemos calcularlas utilizando

C(m,n) =V (m,n)

P(n)=

m!n!(m−n)!

.

Si en el ejemplo anterior llamamos m = 3 y n = 2, el resultado del problema planteado es:

C(3,2) =3!

2!(3−2)!=

3×2!2!

= 3.

1.2.3 Propiedades de los números combinatoriosC(m,0) = 1C(m,1) = mC(m,n) =C(m,m−n)C(m,n) =C(m−1,n)+C(m−1,n−1)

Observación: A partir de estas propiedades, puede deducir sin hacer cálculos cuánto valenC(m,m) y C(m,m−1)?

Ejercicios 1.11. En una heladería tienen 7 sabores de helados de crema y 5 sabores de helados de agua. Los

helados se venden en vasitos o cucuruchos.a) Realice un diagrama de árbol para todos los posibles helados que se pueden comprar si

podemos elegir dos gustos distintos.



b) Idem al ejercicio anterior si podemos elegir dos gustos distintos, uno de agua y uno decrema.

c) Idem al ejercicio anterior si se admiten 3 gustos distintos.En cada caso, realizar el cálculo correspondiente.

2. Considere el siguiente circuito eléctrico en el cual la corriente fluye de la terminal 1 a laterminal 2, siempre que el interruptor X esté cerrado, o que los interruptores Y y Z, ambosestén cerrados.

El experimento E1 consiste en observar el funcionamiento de un interruptor que puedepresentar uno de dos estados: 0 abierto ó 1 cerrado. El experimento E2 consiste en observarel funcionamiento de los tres interruptores, simultáneamente. Construya el diagrama de árbolasociado a ambos experimentos.

3. Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y obser-var, cada vez, la cara que queda hacia arriba.

a) Construya el diagrama de árbol correspondiente.b) Calcule todos los posibles resultados de este experimento.

4. Considere el entronque Viaducto y Periférico, en el sentido sur-norte, conformado por lostramos X, Y y Z, tal como se muestra en la figura; cada tramo puede congestionarse porel tráfico o no. El experimento E1 consiste en observar el funcionamiento de un tramo,que puede presentar uno de dos estados: 0, no congestionado, o 1, congestionado. Observecuidadosamente la relación que guardan los tramos.

a) Construya el diagrama de árbol asociado al experimento de observar el funcionamientode los tres tramos simultáneamente.

b) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden comportar los tres tramos viales simultánea-mente?

5. Si en la biblioteca de Ana hay 15 libros diferentes, 6 de los cuales son de matemática, 4 sonde química y 5 son de física,

a) ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodar los libros?b) ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos en la biblioteca, si los de cada

materia deben quedar juntos?6. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 6 personas para una reunión de Consejo

Directivo?a) Si tiene que estar en fila.b) Si tiene que estar en fila, pero dos personas deben quedar juntas.c) Alrededor de una mesa.d) Alrededor de una mesa, pero dos personas deben quedar siempre juntas.



7. ¿Cuántos anagramas pueden formarse con las letras de la palabra MURCIELAGO?8. ¿Cuántos anagramas pueden formarse con las letras de la palabra ANALOGAMENTE?9. ¿Cuántos anagramas pueden formarse con las letras de la palabra ABRACADABRA?

10. Puede encontrar una expresión general para el cálculo de los dos últimos ejercicios?11. Dado un polígono regular de n≥ 3 lados, determine la cantidad de diagonales y de triángulos

interiores (con vértices coincidentes con los vértices del polígono dado) que pueden formarse.Grafique con GeoGebra para verificar el cálculo. Sugerimos hacer primero los cálculospara distintos valores de n, por ejemplo 3,4,5 y luego generalizarlos.

12. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludosse han intercambiado?

13. En una clase de 10 alumnos se quieren distribuir 4 premios. De cuántas maneras distintas sepueden distribuir si:

a) Los premios son distintos.b) Los premios son iguales.

Ejercicios 1.2 Podemos utilizar la vista de Cálculo Simbólico (CAS) para comprobar algunasigualdades respecto a los números combinatorios. Los comandos necesarios serán:

nPr[ <Número n>, <Número r> ] ----> Variaciones V(n,r)

NúmeroCombinatorio[ <Número m>, <Número n> ] ----> Combinaciones C(m,n)

n! ----> Permutaciones P(n)

Recordemos también que para testear una igualdad usando la vista de Cálculo Simbólico(CAS) podemos usar la siguiente simbología:

<expresion1> == <expresion2> ----> Testear que las expresiones son iguales

<expresion1> != <expresion2> ----> Testear que las expresiones son distintas

Por último, podemos resolver ecuaciones en forma simbólica en GeoGebra usando elcomando Soluciones

Soluciones[ <Ecuación>, <Variable> ]

1. Verificar usando GeoGebra y en forma simbólica, las siguientes ecuacionesa) C(m,0) = 1



b) C(m,m) = 1c) C(m,1) = md) C(m,m−1) = m

2. Testear usando GeoGebra y en forma simbólica las siguientes igualdadesa) C(m,n) =C(m,m−n)b) C(m,n)+C(m,n+1) =C(m+1,n+1)

c) C(m,n) =mn

C(m−1,n−1)3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) C(x,6) =C(x,3)b) C(x,3) = x−2c) C(11,5)+C(11,x) =C(12,5)d) V (x,2) = 7xe) V (x,3)−V (x,2) = 180f ) C(25,3+2x) =C(25,x−2)

Ejercicios 1.3 Usaremos la vista de Hoja de Cálculo para armar un triángulo famoso en lasmatemáticas: el Triángulo de Pascal.

El Triángulo de Pascal se forma disponiendo los números combinatorios en distintos niveles enforma de triángulo:

C(0,0)C(1,0) C(1,1)

C(2,0) C(2,1) C(2,2)

C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)

C(4,0) C(4,1) C(4,2) C(4,3) C(4,4)

Si calculamos los valores correspondientes obtenemos:



11 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Notamos que la mecánica para armar el triángulo en cada nivel hay que sumar los dos númeroscombinatorios que están inmediatamente arriba de la posición que queremos obtener; así podemosavanzar en la configuración final.

Una de las utilidades de la vista de Hoja de Cálculo es la posibilidad de operar entre lasdistintas celdas usando referencias. Intentamos a continuación armar nuestro Triángulo de Pascalcasero. Empezamos tipeando el primer nivel del triángulo a mano: escribimos 0, 1 y 0 en las celdasA1, B1 y C1 respectivamente.

Para el segundo nivel del triángulo, en la celda B2 tipeamos ’= A1 + B1’ y damos Enter.



Usando la herramienta de arrastre automático podemos copiar la fórmula tipeada en la celdaB2 en forma vertical hasta donde lo querramos. En este caso, para hacer 9 niveles hacia abajo,arrastramos el cuadrado azul que aparece en la esquina derecha inferior pintando las siguientesceldas inferiores.

Notamos que aparecen muchos símbolos ’?’. Ésto se debe a que falta las nuevas fórmulas hacerreferencia a celdas vacías y por ende no sabe cómo sumar los valores. Para arreglar el problemacompletamos con 0 las celdas que van desde A2 hasta A9. También hacemos lo mismo completandocon 0 las celdas de la primer fila desde la celda D1 hasta la celda J1. Por último, usamos el arrastreautomático para copiar toda la columna de la fórmula hacia la derecha.

Obtenemos así el triángulo de Pascal de 9 niveles.


2. Segunda Clase

2.1 Algunos ejemplosA continuación mostraremos algunos ejemplos de problemas con los que usualmente podemos

encontrarnos que nos servirán como presentación del tema que trataremos en esta clase, el cálculo deprobabilidades. Los mismos fueron extraídos de los libros de Adrián Paenza, “Matemática...¿estásahí?” (2005) y “Matemática...¿estás ahí? Episodio 2” (2006), colección “Ciencia que ladra...”editorial Siglo XXI.

Desfile y probabilidadUn profesor de matemática enseña a sus alumnos conceptos elementales de probabilidades.Desde el aula se podía ver a los peatones que pasaban por la calle. Era una avenida importantey muy transitada, y naturalmente pasaban caminando diariamente hombres y mujeres. Elprofesor se molestaba porque los alumnos se distraían mirando por la ventana todo el tiempo.Entonces, decidió plantear un problema y preguntar a la clase:-¿Cuál es la probabilidad de que el próximo peatón que pase sea un hombre?.Por supuesto, debe entenderse que uno apunta al caso general y la respuesta se presumeaproximada. Si hace falta la aclaración, supondremos que pueden pasar mujeres y varonespor igual. Es decir, la probabilidad de que pase un hombre o una mujer es la misma. Larespuesta, entonces, es obvia: la mitad de las veces uno espera que pase un hombre. Es decir,la probabilidad es 1/2.Los alumnos asienten satisfechos, porque comprenden perfectamente.El profesor sigue:-¿Y si quisiera calcular la probabilidad de que los próximos dos transeúntes sean hombres?Deja a los estudiantes pensando un ratito y luego dice:-Como ya sabemos, la probabilidad de que un evento se produzca se calcula dividiendo loscasos favorables sobre los casos posibles.En este escenario, los casos posibles son:

Hombre-Hombre (H-H)Hombre-Mujer (H-M)Mujer-Hombre (M-H)



Mujer-Mujer (M-M)

Por otro lado, el único caso favorable es: H-H.Luego, la probabilidad de que pasen dos hombres es 1/4 (un caso favorable sobre cuatroposibles). En consecuencia, la probabilidad de que no sea así, es decir, de que no sean doshombres es de 3/4.Los alumnos necesitan pensar un poco por qué es cierto esto último; se detienen, piensan y alfinal entienden.

Un alumno que disfrutaba de las apuestas le dice al profesor:-Ya que usted viene en bicicleta al colegio, ¿la apostaría a que ninguno de los tres próximospeatones va a ser una mujer?

El profesor, a quien a diferencia del alumno no le gustaba apostar, le contesta:- No, no querría perder mi bicicleta. Por otro lado, lo que yo digo es que la probabilidad deque no pase ninguna mujer entre los tres próximos peatones es 1/8, pero no hay seguridades.

El alumno insiste.-Mmmmm...si acepta la apuesta, tiene sólo 1/8 de probabilidad de perder y 7/8 de ganar. Noestá mal, ¿no?

-Aún así, no quiero- dice el profesor.El alumno va por más.-Bueno, suponga que pregunto cuál es la probabilidad de que los próximos 20 peatones seantodos hombres es decir, ni una mujer.El profesor responde de inmediato:

–Como antes, será 1/2 elevado a la 20, o sea (1/2)20 , lo que es lo mismo que multiplicar elnúmero 1/2 veinte veces por sí mismo:

(1/2)20 = 1/1048576 = 0,00000095.

Entonces, la probabilidad de que no pase ninguna mujer entre los próximos veinte peatoneses muy muy baja y, por lo tanto, la probabilidad de ganar es, a su vez, muy alta.En este caso, hablamos de 99,9999 por ciento de posibilidades de ganar. O sea, es decir queel profesor tiene una posibilidad en más de un millón de perder. Realmente, casi cualquieradebería aceptar, porque si bien no es imposible perder, es muy muy improbable que ocurra.

-Y del mismo modo –siguió el alumno–, la probabilidad de que los próximos 100 peatonessean todos hombres es 1/2 elevado a la 100. O sea:

(1/2)100 = 1/1267650600228229401496703205376

que es un número espantosamente pequeño. Le da a usted una virtual certeza de ganar. Esmás: el número que aparece en el denominador (más de un quintillón) es mucho mayor queel número de partículas de todo el universo, de acuerdo con la física moderna.

La verdad, está como para apostar.

El profesor, que quería darle una lección al alumno, finalmente dice:–Bueno, en estas circunstancias acepto. Para mostrarle que confío en lo que digo. Apuesto mibicicleta a que entre los próximos 100 peatones habrá al menos una mujer. Será simplemente



cuestión de ir hacia la ventana, mirar y contar, hasta que aparezca la primera mujer.

A todo esto se oye que de la calle proviene música, algo parecido a una marcha. El profesorse pone pálido. Se acerca a la ventana, y dice:

–Perdí. ¡Adiós bicicleta!

Por la calle venía avanzando un desfile militar.

Moraleja: En la práctica, las probabilidades se usan cuando, por ejemplo, no contamos coninformación certera. Pero a veces calcularlas no es tan simple. Las probabilidades puedenser subjetivas u objetivas, y en la vida real a veces se estiman mal. Más allá de que elalumno nunca dijo qué ganaba el profesor si aparecía una mujer entre los siguientes 100peatones, lo que también queda claro es que cuando uno dice que las chances de que pasenun hombre o una mujer son iguales, tiene que tener cuidado. Es por eso que, muchas veces,las conclusiones a las que estamos decididos a saltar, son, cuanto menos arriesgadas.La probabilidad de ganar un campeonato del mundoEste ejemplo pretende calcular la probabilidad de que gane un equipo que sea consideradoel favorito para hacerlo, como si fuera Brasil o Argentina, por poner un par de ejemplos.Supongamos que uno de esos equipos llegó a los octavos de final del torneo. Es decir, quedan16 equipos que juegan entre sí por el sistema de eliminación simple (o sea, el que pierdequeda eliminado, y el ganador sigue en la competencia).Como se advierte entonces, para que ese equipo salga campeón, tiene que ganar cuatropartidos seguidos: octavos de final, cuartos de final, semifinal y final.Supongamos, por simplicidad, que este favorito, tiene el 66 por ciento de posibilidades deganar partidos contra cualquier equipo que juegue, independientemente de otros factorescomo la moral del equipo, resultados anteriores en el campeonato, etcétera. Es decir, losexpertos le adjudican una posibilidad de ganar dos de cada tres partidos que juegue contracualquier otro equipo.Puesto en otros términos, es equivalente a decir que la probabilidad de que le gane a cualquierequipo es de 2/3.Computemos ahora, sabiendo estos datos, cuál es la probabilidad de que gane los cuatroseguidos y se corone campeón.Para calcular esta probabilidad, se multiplica el número 2/3 en cada paso. Es decir:

1. la probabilidad de que gane el primer partido ya sabemos que es 2/3,2. la probabilidad de que gane los dos primeros es

(2/3)× (2/3) = (2/3)2 = 4/9,

3. la probabilidad de que gane tres partidos seguidos es

(2/3)× (2/3)× (2/3) = (2/3)3 = 8/27,

y finalmente,4. la probabilidad de que gane los cuatro partidos consecutivos y se corone campeón es

(2/3)× (2/3)× (2/3)× (2/3) = (2/3)4 = 16/81 = 0,1975 < 0,20.

Es decir, las posibilidades de que un equipo de estas características salga campeón son¡menores que un 20 por ciento!



Y eso es lo curioso y merece una interpretación. El hecho de que un equipo sea el doblede bueno que cualquier otro es obviamente preferible. Eso no se discute. Pero todo lo quese puede decir, cuando faltan cuatro partidos, es que tiene menos de un 20 por ciento deposibilidades de conseguirlo. Y eso es lo sorprendente.Un paso más. En este ejemplo, usamos el número 2/3 para mostrar cómo disminuye laprobabilidad a medida que uno avanza en el torneo, aunque un equipo sea muy bueno. Contodo, el número 2/3 se puede reemplazar por cualquier otro que uno crea que se ajusta mejory seguir con el mismo cálculo.De hecho, si la probabilidad de un equipo favorito fuera 3/4 (un altísimo 75 por ciento) deganar cualquier partido, entonces, su probabilidad para salir campeón se calcula:

(3/4)4 = 81/256 = 0,3164...

o sea, es apenas ligeramente mayor que un 30 por ciento.

Encuesta con pregunta prohibidaSupongamos que el director de un colegio decide encuestar a un grupo de alumnos sobre untema crítico. Por ejemplo, si él quiere averiguar el porcentaje de jóvenes que se copiaronalguna vez.Es muy posible que la mayoría de los estudiantes se sentirían incómodos si tuvieran quecontestar que sí. Naturalmente, eso arruinaría el valor de verdad de la encuesta.¿Cómo hacer entonces para circunvalar el obstáculo que genera la pregunta?En nuestro caso, entonces, el director le quiere preguntar a cada alumno si se copió durantealgún examen. Pero le dice que el método que van a usar es el siguiente:El joven entrará en un cuarto oscuro, como si fuera a votar, y se dispondrá a tirar una moneda.Nadie está viendo lo que él hace. Sólo se le pide que sea respetuoso de las reglas:

1. Si salió cara debe responder sí (cualquiera sea la respuesta verdadera, o sea, indepen-dientemente de si se había copiado o no).

2. Si salió ceca, debe responder la verdad.De todas formas, el único testigo de lo que el joven hace o dice es él mismo.Con este método, se espera al menos un 50% de respuestas positivas (que son las queprovienen de que uno estima que la moneda salió cara la mitad de las veces). En cambio,cuando alguien dice que no, es porque la respuesta verdadera es que no. O sea, ese joven nose copió. Sin embargo, supongamos que se obtiene un 70% de respuestas positivas (dijeronque sí). ¿Nos dice algo esto? Es decir, ¿no lo tienta decir que con estos datos uno podría sacaralguna conclusión?Más allá del número de respuestas positivas, uno esperaba de antemano que habría (al menos)un 50% de ellas. Y esto se produce porque uno supone que, como la moneda no está cargada,la mitad de las veces debería salir cara. Con ese dato solo, uno sabe que, al salir del cuartooscuro, la mitad de los participantes deben decir que sí. Pero, al mismo tiempo hay otro 20%de respuestas que son afirmativas y que no provienen del hecho de que la moneda salió cara.¿Cómo interpretar este dato?El hecho es que, eso está diciendo que, de las veces que salió ceca (que es la otra mitad de lasveces), un 20% de los alumnos dijo que sí se había copiado. En consecuencia, uno podríainferir, que al menos un 40% de los alumnos se ha copiado alguna vez. ¿Por qué? Porque del50% restante, el 20% contestó que sí. Y, justamente, el 20% de ese 50%, implica un 40%de las personas.Este sistema evita señalar a quien contesta que sí y exponerlo a una situación embarazosa.Pero, por otro lado, mantiene viva la posibilidad de encuestar lo que uno pretende.



Para aquellos que conocen un poquito más de probabilidad y saben lo que es probabilidadcondicional, podemos exponer algunas fórmulas.Si llamamos x a la probabilidad de responder que sí, entonces

x = p(“sale cara”)× p(“si”, si cara)+ p(“sale ceca”)× p(“si”, si ceca), (2.1)en donde definimos:p(“sale cara”) =probabilidad de que al tirar la moneda salga cara,p(“si”, si cara) =probabilidad de que el joven diga que sí, habiendo salido cara al tirar lamoneda,p(“sale ceca”) =probabilidad de que al tirar la moneda salga cecap(“si”, si ceca) =probabilidad de que el joven diga que sí, habiendo salido ceca al tirar lamoneda.Por otro lado, p(cara) = p(ceca) = 1/2,p(“si”, si cara) = 1 (estamos suponiendo que las personas van a decir la verdad siempre).p(“si”, si ceca) =es la probabilidad de copiarse, que es justamente la que queremos calcular.Llamémosla P. Luego,

x = 1/2×1+1/2×P⇒ P = 2× (x−1/2). (2.2)Por ejemplo, si el porcentaje de respuestas positivas hubiera sido de un 75% reemplazando xpor 3/4 en la fórmula anterior, se tiene que P = 1/2.Esto significaría que la mitad de la población estudiantil se copió alguna vez durante elcolegio secundario.

2.2 Eventos y probabilidadesDefinición 2.2.1 Un experimento es un proceso que se puede observar y que además puederepetirse. A los experimentos que están sujetos al azar se los llama aleatorios. Un suceso escualquier resultado, o combinación de resultados, de los posibles de un experimento aleatorio.Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se lo designa espacio muestral.En un experimento aleatorio en el que todos los resultados son equiprobables, la probabilidadP de un suceso se calcula como el cociente entre los casos favorables a ese suceso y todos losposibles, es decir:

P = número de casos favorablesnúmero de casos posibles .

La probabilidad de un suceso es un número real entre 0 y 1, que indica la posibilidad deocurrencia de dicho suceso.Cuando la probabilidad de un suceso es 0, se dice que “el suceso es imposible”; y cuando éstaes 1, se dice que “el suceso es seguro”.

Ejercicios 2.1 1. Se le preguntó a tres personas elegidas al azar si leyeron cierto libro. Los trespodían responder sí o no.

a) Confeccionen una lista con todas las posibles respuestas de las tres personas.b) ¿Cuál de estos sucesos es más probable que ocurra: que haya dos personas que digan

que leyeron el libro o que haya dos que respondan que no lo leyeron?.2. En un juego se arroja un dado y una moneda. Ordenen los siguientes sucesos, desde el más

probable hasta el menos probable.a) Sacar un tres y cara.b) Sacar un número par y ceca.c) Sacar un múltiplo de tres y cara.d) Sacar un número menor que seis y ceca.



Definición 2.2.2 Si se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio, la probabilidadde que ocurra uno o el otro es igual a la suma de las probabilidades de ambos menos laprobabilidad de que ocurran ambos simultáneamente.En símbolos:

P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).

Ejercicios 2.2 1. Calculen la probabilidad de obtener al menos un 5 si se arroja un dado 2, 4 y6 veces. Después de realizar los cálculos, analice si la probabilidad de obtener al menos un 5es directamente proporcional o no a la cantidad de tiradas del dado que se consideran.

2. En una bolsa se introducen 15 bolas numeradas del 1 al 15 y se saca una al azar. Calculen lassiguientes probabilidades:

a) De que tenga un número par o mayor que seis.b) De que tenga un número primo o múltiplo de tres.c) De que tenga un número impar y múltiplo de tres.

3. Se lanzan cuatro monedas al aire simultáneamente. Calcule las probabilidades de estossucesos:

a) De que salga alguna ceca.b) De que salgan dos o más caras.c) De que salgan cuatro caras.

Definición 2.2.3 Diremos que dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si no puedenocurrir en forma simultánea. En este caso, la probabilidad de que ocurran ambos es 0, es decirP(A∩B) = 0.En consecuencia, cuando dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad deque suceda A o suceda B es la suma de las probabilidades de A y de B, es decir P(A∪B) =P(A)+P(B).Cuando dos sucesos son mutuamente excluyentes y además la suma de sus probabilidades da 1,se dice que son sucesos complementarios y, por lo tanto, se cumple que P(A) = 1−P(B).

Ejercicios 2.3 1. En una caja se colocan tarjetas numeradas del 1 al 12 y se extrae una al azar.a) Calculen las siguientes probabilidades:

1) Que salga par.2) Que salga un número menor que 5.3) Que salga par y menor que 5.4) Que salga par o menor que 5.

b) Considere los sucesos A = “sale par” y B = “sale menor que 5”. ¿Son los sucesos A yB mutuamente excluyentes?.

c) Definan para esta situación dos sucesos que sean complementarios y otros dos sucesosque sean mutuamente excluyentes sin ser complementarios.

2. De un mazo de 48 cartas españolas se extre una al azar.a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un tres?¿Y de sacar un tres de espadas?b. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea de oro o de bastos?c. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea un 1 o un 2?d. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una carta cuyo número sea menor o igual que

seis?Definición 2.2.4 Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de su intersecciónes igual al producto de sus probabilidades. En símbolos: P(A∩B) = P(A)×P(B).

Ejercicios 2.4 1. Se lanzan dos dados varias veces seguidas hasta que salgan los mismosnúmeros en los dos.



a) ¿Cúal es la probabilidad de que esto suceda antes de tirar por quinta vez?b) ¿Cúal es la probabilidad de que suceda después de haber tirado tres veces?

2. Se arrojan dos monedas y un dado simultáneamente.a) ¿Cúantos resultados posibles tiene este experimento? ¿Cómo pueden organizarse en

una tabla?b) ¿Cúal es la probabilidad de que salgan dos caras y un dos? ¿Y de qué salgan dos cecas

o dos caras y un número par?c) Consideren los siguientes sucesos: A=“Que salgan dos caras y un número mayor que

tres ”y B= “Que salgan dos cecas y un números menor que tres”.¿Cuál de los dos sucesos tiene mayor probabilidad de ocurrir? Justifiquen su respuesta.

3. En una bolsa hay tres bolitas negras y una bolita blanca. En otra bolsa hay dos bolitas negrasy dos bolitas blancas. Se extrae una bolita de cada bolsa y se miran los colores. Decidan, paracada afirmación, si es verdadera o falsa.

a. La probabilidad de sacar una bolita negra de la primera bolsa es 34 .

b. La probabilidad de sacar una bolita negra de la primera bolsa y la otra bolita negra dela segunda bolsa es 1

4 .c. La probabilidad de sacar una bolita negra de la primera bolsa y la otra bolita negra de

la segunda bolsa es 38 .

d. La probabilidad de sacar una bolita blanca de la primera bolsa y la otra bolita blanca dela segunda bolsa es 1

4 +12 .

e. La probabilidad de sacar una bolita blanca de la primera bolsa y la otra bolita blanca dela segunda bolsa es 1

4 ·12 .

Definición 2.2.5 Cuando se calcula la probabilidad de ocurrencia de un suceso A sabiendoque ya ha ocurrido un suceso B, se dice que la probabilidad calculada es una probabilidadcondicional. Suele simbolizarse así: P(A | B) y leerse “la probabilidad de que ocurrió A dadoque ocurrió B”.Se calcula:

P(A | B) = P(A∩B)P(B)

.

Además, si A y B son independientes, la probabilidad de que B ocurra no cambia la probabilidadde ocurrencia de A, entonces P(A | B) = P(A).

Observación: Muchas veces es útil reescribir la fórmula de la probabilidad condicional de lasiguiente manera P(A∩B) = P(A|B)P(B). Esta fórmula es conocida como la ley de la multiplica-ción.Ejercicios 2.5 1. En una escuela secundaria hay 300 alumnos. A la mañana asisten 95 varones

y 85 mujeres mientras que a la tarde, 50 varones y 70 mujeres. Supongan que se elige unalumno cualquiera al azar y calculen las probabilidades:

a) De que sea del turno mañana.b) De que sea un varón.c) De que sea del turno tarde.d) De que sea una mujer.e) De que sea varón dado que asiste al turno mañana.f ) De que asista al turno tarde dado que es varón.g) De que asista al turno mañana dado que es mujer.

2. Se tienen dos urnas, A y B, con tres bolillas en cada una. La urna A contiene dos bolillasnegras y una blanca y la urna B contiene dos blancas y una negra. Se extrae al azar una bolillade la urna A y se la coloca en la urna B. Luego, se extrae al azar una bolilla de la urna B.



¿Cúal es la probabilidad de que la bolilla extraída sea blanca?.3. En una caja hay 5 bolitas blancas y 5 bolitas negras, todas del mismo tamaño e igual material.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita blanca en la primera extracción y unanegra en la segunda, sabiendo que la bolita sacada en la primera extracción fue puestanuevamente en la caja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita blanca en la segunda extracción, si en laprimera salió una bolita blanca y ésta no se volvió a poner en la caja?

c) Si se sabe que la segunda bolita que se extrajo es blanca, ¿cuál es la probabilidad deque la primera haya sido blanca también?

2.3 Teorema de BayesEl teorema de Bayes, en la teoría de probabilidades, es una proposición planteada por el filósofo

inglés Thomas Bayes (1702-1761), que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorioB dado un evento A en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento A dadoB y la distribución de probabilidad de B.

Teorema 2.3.1 (Bayes) Para dos sucesos, A y B donde P(A) >0, se tiene

P(B|A) = P(A|B)P(B)P(A)

Recordamos que para dos sucesos, A y B, se tiene A = (A∩B)∪ (A∩B′), siendo B′ el com-plemento del conjunto B. Luego, P(A) = P(A∩ B) + P(A∩ B′) = P(A|B)P(B) + P(A|B′)P(B′)aplicando la ley de multiplicación. Esta igualdad se conoce como fórmula de probabilidad total.

Supongamos ahora que los sucesos B1, ...,Bn forman una partición del espacio muestral. Enton-ces, para un suceso A, tenemos A = ∪n

i=1(A∩Bi) entonces,

P(A) =n

∑i=1

P(A∩Bi) =n

∑i=1

P(A|Bi)P(Bi).

Observamos que podemos escribir el teorema de varias maneras. En primer lugar,

P(B|A) = P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B′)P(B′)

y en segundo lugar, si B1, ...,Bn forman una partición del espacio muestral,

P(B j|A) =P(A|B j)P(B j)

∑ni=1 P(A∩Bi)

=P(A|B j)P(B j)

∑ni=1 P(A|Bi)P(Bi)

para j = 1, ...,n.Ejercicios 2.6 1. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente,

del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosade estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber

sido producida por la máquina B.c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuo-

sa?2. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2

bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sidoroja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?



3. El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que un 24%de las mujeres y un 16% de los hombres cobra una pensión. ¿Cuál es la probabilidad de queuna persona elegida al azar de la población activa en esta país cobre una pensión?

4. Dos diseñadores A y B han producido respectivamente, 100 y 200 carteras. Se sabe que Aproduce un 5% de carteras defectuosas y B un 6%. Se toma una cartera al azar. Calcular

a) la probabilidad de que sea defectuosa.b) Sabiendo que es defectuosa, la probabilidad de que proceda del diseñador A.

5. En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20 alumnos desexto curso. El 50% de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía, porcentaje quesube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre alumnos de quinto ysexto se elige una redacción al azar.

a) ¿Qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?b) Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?

Ejercicios 2.7 El problema de Monty Hall

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado en el concursotelevisivo estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), famoso entre 1963 y 1986. Sunombre proviene del presentador, Monty Hall.

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que seencuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo,antes de abrirla, el presentador, que sabe donde esta el premio, abre una de las otras dos puertas ymuestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad decambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otrapuerta? ¿Hay alguna diferencia? ¿Cúal sería la opción correcta?

1. Quedarse con la puerta inicial.2. Cambiar a la otra puerta.3. Es irrelevante cambiar o no cambiar

A primera vista parece obvio que da igual (opción 3). La intuición nos dice que ahora, quitandouna puerta sin premio, la puerta que nosotros escogimos tiene un 50% de tener una cabra y portanto da igual cambiar que no hacerlo. Pero no sería una paradoja o problema si fuera tan trivial,¿verdad?. Juguemos varias veces para ver qué sucede. Para ello, utilizamos el recurso

www.mate.unlp.edu.ar/extension/datosygeogebra/material_monty_hall.ggb

Si miramos en el gráfico siguiente las posibilidades de éxito de cambiar o no cambiar, vemosque si no cambiamos tenemos probabilidad 1/3 y si cambiamos tenemos probabilidad 2/3.


www.mate.unlp.edu.ar/extension/datosygeogebra/material_monty_hall.ggb


Veamos qué ocurre en realidad.Suponemos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de puerta y los que cambian

siempre; en este caso la pregunta se limita a ver que tipo de jugador tiene la mayor probabilidad deganar el coche.

Definimos los siguientes sucesos:A = El jugador selecciona la puerta que contiene el coche en su selección inicial.B = El jugador selecciona una puerta que contiene una cabra en su selección inicial.G = El jugador gana el coche.

Estamos interesados en calcular P(G) para cada tipo de jugador.Para calcular P(G), basta con notar que G = (G∩A)∪ (G∩B) ya que A∩B = /0 y A∪B = Ω.

P(G) = P((G∩A)∪ (G∩B)) = P(G∩A)+P(G∩B) = P(G|A)P(A)+P(G|B)P(B)

En cualquier caso, dado que no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario, diremos queP(A) = 1/3 y P(B) = 2/3 pues hay un coche y dos cabras.

Ahora debemos definir qué tipo de jugador estamos estudiando.1. Jugador que nunca se cambia. En este caso P(G|A) = 1 y P(G|B) = 0 pues el jugador se

queda con su selección inicial. Por lo tanto, P(G) = 1/3.2. Jugador que siempre se cambia. En este caso P(G|A) = 0 y P(G|B) = 1 pues el jugador se

cambia a la única puerta cerrada que queda (y sabemos que como el presentador sabe dondeesta el coche, siempre mostrará una cabra). Por lo tanto, P(G) = 2/3.

Claramente la mejor estrategia es cambiar siempre, pues la probabilidad efectiva de ganar es eldoble de la correspondiente al jugador que no cambia nunca.

Replanteo del problemaUna forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas

hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrarque tras de ellas hay cabras, si no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogidooriginalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogidooriginalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces! ¿No esobvia la elección?


3. Tercera Clase

3.1 Nociones de estadística

La estadística se ocupa de trabajar con datos.Recolectarlos: por ejemplo, al hacer una encuesta.Organizarlos: la organización varía según el tipo de datos recolectados que pueden sercualitativos, como el sexo o la nacionalidad; o cuantitativos, cuando indican cantidad. Eneste caso último caso también pueden ser discretos (el número de veces que sale cara altirar una moneda) o continuos (la altura de un grupo de individuos). Cuando los datos soncuantitativos, la manera más común de organizarlos es ordenarlos. Cuando son continuos, engeneral se los agrupa en clases (entre dos posibles valores).Representarlos: en tablas, diagramas o gráficos.Analizarlos y calcular sus parámetros de posición (media, moda y mediana) y de disper-sión (rango y desviación estándar).

Todo ello forma parte de lo que se llama estadística descriptiva, ya que se describe unapoblación a partir de los datos que se tienen de ella.

La otra parte de la estadística se llama inferencial, y tiene que ver con tomar decisiones y conanticipar situaciones. Hacemos una inferencia cuando, a partir de ciertos datos sobre una muestra,extraemos conclusiones que consideramos válidas para toda la población, y que luego avalan unatoma de decisión. Por ejemplo, cuando concluimos que un medicamento es efectivo, a partir deanalizar los resultados de una prueba en la que se lo administró a un grupo reducido. Decidimos,entonces, ponerlo a la venta.

Cuando a partir del análisis del comportamiento actual prevemos el comportamiento futuro deuna población, también estamos infiriendo. Este tipo de inferencia se utiliza en las mediciones detendencias, por ejemplo, del resultado de una elección.

Los métodos de la inferencia nos permiten proponer el valor de una cantidad desconocida (esti-mación) o decidir entre dos teorías contrapuestas cuál de ellas explica mejor los datos observados(test de hipótesis). El fin último de cualquier estudio es aprender sobre las poblaciones. Pero esusualmente necesario, y más práctico, estudiar solo una muestra de cada una de las poblaciones.



Definimos:Población: total de sujetos o unidades de análisis de interés en el estudio.Muestra: cualquier subconjunto de los sujetos o unidades de análisis de la población, en el cual

se recolectarán los datos .Usamos una muestra para conocer o estimar características de la población, denominamos:Parámetro: una medida resumen calculada sobre la población.Estadístico: una medida resumen calculada sobre la muestra.Estimador: Es un estadístico cuyos valores se consideran próximos a un parámetro que, por ser

generalmente desconocido, se desea estimar.Variable: cualquier característica de los datos observados que interese registrar.Los datos o variables pueden ser cualitativos o categóricos, si representan cualidades, por

ejemplo, sexo, nacionalidad, gustos; o ser cuantitativos, en cuyo caso están representados pornúmeros. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas. Incluso cantidades continuas(es decir, que pueden tomar a priori cualquier valor) pueden ser tratadas en algunos casos como sifueran discretas (como en el ejemplo de las alturas de un grupo de individuos).

Los datos son medidas y/o números recopilados a partir de la observación. Los datos puedenconcebirse como información numérica necesaria para ayudar a tomar una decisión con más basesen una situación particular. Pueden ser respuestas numéricas que surgen de un proceso de conteo(datos discretos) o respuestas numéricas que surgen de un proceso de medición (datos continuos).Veamos en un ejemplo cómo se pueden organizar los datos de una muesrtra.

Ejemplo 3.1 Supongamos que los siguientes datos representan la vida de 40 baterías paracelulares similares, registradas al décimo de año más cercano. Las baterías se garantizan por tresaños.

2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.63.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.7 2.5 4.3 3.4 3.62.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3.1 3.7 4.4 3.2 4.11.9 3.4 4.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 3.5

Para organizar los datos los ordenamos y buscamos el mínimo y el máximo de la muestra, eneste caso el mínimo es 1.6 y el máximo es 4.7 . Elegimos un intervalo (a,b) que contenga todos losdatos, por ejemplo a = 1,5 y b = 5,0. Dividimos el intervalo (a,b) en subintervalos que puedenser de igual longitud, pero no necesariamente, y contamos cuántas observaciones caen en cadasubintervalo, esa será la frecuencia del intervalo. Para esto debemos decidir cuántos subintervalosutilizaremos. En general se puede usar la regla de tomar aproximadamente

√n subintervalos. Los

subintervalos se llaman intervalos de clase o simplemente clases. Resulta satisfactorio utilizar nomenos de 5 clases ni más de 20.

En el ejemplo ,√

40≈ 6, entonces 6 o 7 clases será una elección satisfactoria. Como la longituddel intervalo (a,b) es 5−1,5 = 3,5, si tomamos r = 7 clases entonces la longitud de cada una sería(b−a)/r = 0,5.

Los extremos de los intervalos de clase son los límites de clase inferior y superior. El puntomedio de cada clase es la marca de clase. La longitud de cada intervalo de clase es el anchode clase. Construimos una tabla de frecuencias de manera tal que, por ejemplo, en el intervalo(1,5,2,0] están las observaciones mayores a 1.5 y menores o iguales que 2.0. Para construir dichatabla calculamos, además, las frecuencia acumulada y las relativas.

Frecuencia: cantidad de datos que pertenecen a un intervalo de clase o cantidad de veces quese repite un dato en la muestra, si los datos no están agrupados. La suma de todas las frecuenciasrepresenta el total de la muestra, n. La denotamos por f .

Frecuencia relativa: cociente entre la frecuencia y el número total de observaciones en lamuestra. La denotamos por f/n.



Frecuencia acumulada: para un valor de la variable es la suma de las frecuencias de los datosque lo preceden. La denotamos por F .

Frecuencia relativa acumulada: Cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de cada clasey total de observaciones. La denotamos por F/n.

Intervalo de clase Marca de clase Frecuencia F. relativa F. acumulada F. a. relativa1.5 – 2.0 1.75 2 0.075 2 0.0752.0 – 2.5 2.25 2 0.025 4 0.12.5 – 3.0 2.75 5 0.125 9 0.2253.0 – 3.5 3.25 15 0.375 24 0.63.5 – 4.0 3.75 8 0.2 32 0.84.0 – 4.5 4.25 6 0.15 38 0.954.5 – 5.0 4.75 2 0.05 40 1.000

3.2 Medidas de posiciónUn modo de resumir un único conjunto de datos numéricos es a través de un número que

debería ser típico para el grupo. No debería ser ni demasiado grande, ni demasiado pequeño ydebería estar tan cerca del “centro” de la distribución como sea posible. Por lo tanto, una medidade posición es un número que pretende indicar dónde se encuentra el centro de la distribución deun conjunto de datos. Pero, ¿dónde se encuentra el “centro” de una distribución? La medida deposición más usada es el promedio o la media aritmética.

Definición 3.2.1 La media x de un conjunto de datos cuantitativos es el promedio aritmético,es decir, la suma de los valores dividida por el número de valores.

x =suma de valores

numero de valores

Analicemos con dos ejemplos algunas cuestiones de estadística descriptiva.

Ejemplo 3.2 Arrojamos 100 veces un dado y contamos las veces que sale cada número. Ob-tenemos un conjunto de datos cuantitativos discretos, que podemos representar en la siguientetabla

Número 1 2 3 4 5 6Frecuencia 11 14 18 25 19 13

En este ejemplo, como disponemos de la tabla de frecuencias, podemos hacer el cálculo como

x =1×11+2×14+3×18+4×25+5×19+6×13

100= 3,66

es decir, la suma de los productos de cada valor por su frecuencia, dividida por la suma de lasfrecuencias.

x =suma(valor× f recuencia)

suma de f recuencias

La media puede no coincidir con ninguno de los valores observados.



Definición 3.2.2 La moda de un conjunto de valores es el valor o los valores que aparecen conmayor frecuencia.

Puede que no haya moda (cuando todos los valores aparecen igual número de veces), o puedeque haya más de una moda. En el ejemplo, la moda es 4.

La moda, cuando existe, coincide con alguno de los valores.

Definición 3.2.3 La mediana de un conjunto de datos cuantitativos ordenados es el valorcentral, el que tiene la misma cantidad de valores por debajo que por encima.

Si tenemos un número impar de valores, es directamente el del medio; si tenemos un númeropar de valores, es el promedio de los dos centrales.

En el ejemplo 3.2, los valores centrales son los que ocupan los lugares 50 y 51, que en amboscasos son 4, de modo que la mediana es 4.

La mediana, como la media, puede no coincidir con ninguno de los valores.La mediana divide los datos de una muestra en dos partes iguales. También es posible dividir

los datos en más de dos partes. Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partesiguales, los puntos de división se conocen como cuartiles.

El primer cuartil o cuartil inferior, q1, es un valor que tiene aproximadamente la cuarta parte(25%) de las observaciones por debajo de él, y el 75% restante, por encima de él. El segundo cuartil,q2, tiene aproximadamente la mitad (50%) de las observaciones por debajo de él. El segundo cuartilcoincide con la mediana. El tercer cuartil o cuartil superior, q3, tiene aproximadamente las trescuartas partes (75%) de las observaciones por debajo de él. Como en el caso de la mediana, esposible que los cuartiles no sean únicos.

Cuando un conjunto ordenado de datos se divide en cien partes iguales, los puntos de divisiónreciben el nombre de percentiles.

Ejemplo 3.3 Consideramos los precios en dólares de alquiler de departamentos de un ambienteen la ciudad de New York. Obtenemos datos cuantitativos, que agrupamos en intervalos de clase.Los podemos representar mediante la siguiente tabla:

Alquiler (U$S) 300-500 500-700 700-900 900-1100 1100-1300 1300-1500Frecuencia 20 80 140 170 70 20

En este ejemplo, los datos están agrupados en intervalos. Asumimos por convención que en unintervalo de extremos a y b se incluyen todos los valores que verifican

a≤ x≤ b.

En estos casos, para calcular la media, tomamos como valor correspondiente a cada intervalo lamarca del intervalo.

La media se calcula entonces como

x =suma(marca× f recuencia)

suma de f recuenciasEn el ejemplo de los precios de alquiler, calculamos la media:

x = 400×20+600×80+800×140+1000×170+1200×70+1400×20500 = 900

Como estamos haciendo un análisis continuo, podemos hablar de intervalo modal. En nuestroejemplo el intervalo modal es [900-1100].



3.3 Medidas de dispersión3.3.1 Un poco de historia

(Fragmento extraído de "Matemática una mirada numérica", de GYSIN, L.; FERNANDEZ, G.)Durante la época de la Revolución Francesa, los matemáticos más importantes fueroncasi todos franceses. Sin embargo, quien dominó la primera mitad del siglo XIX enmatemática, física y astronomía, llamado «el Príncipe de las matemáticas», fue unalemán que nunca viajó fuera de su país: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Fue unverdadero niño prodigio: se dice que a la edad de tres años corrigió un error cometidopor su padre en el cálculo de los salarios de los albañiles que trabajaban para él. Sibien su padre no quería que recibiera instrucción, su madre lo alentó. A los 10 años,cuando asistía a la escuela local, su maestro, tratando de entretener a los alumnospara tener un rato de paz, les dio a calcular la suma de los primeros naturales del 1 al100. Una vez finalizada la tarea, los niños debían dejar su pizarra en el escritorio delmaestro. Al terminar de dictar la tarea, Gauss se acercó y dejó su pizarra con su úniconúmero: 5050. Cuando todos terminaron, el maestro comprobó que la única respuestacorrecta era la de Gauss. Parece que el niño había notado que si colocaba la sucesiónde números en forma ascendente y descendente respectivamente, una debajo de laotra, cada par de términos sumaba 101. Como había 100 términos y había sumadodos veces la sucesión, el resultado se obtenía multiplicando 101 por el número 100dividido 2.A los quince años, ayudado por el duque de Brunswick, Gauss asistió a la escuelamedia y en 1795 entró a la Universidad de Gotinga. El 30 de Marzo de 1796, unmes antes de cumplir 19 años, realizó un descubrimiento que lo decidió a estudiarmatemática: encontró la manera de construir, utilizando sólo la regla y el compás,un polígono regular de 17 lados, problema que había preocupado a los matemáticosdesde la época de los griegos. Ese mismo día comenzó a llevar un diario, en el quefue apuntando sus resultados, por ejemplo, que todo entero positivo es suma de tresnúmeros triangulares, como máximo. Este resultado fue anotado el 10 de Julio de1796 como:

EUREKA! Número = ∆+∆+∆

Observación: Los números triangulares son de la forma n(n+1)2 para n = 1,2, ...

Estudiando los errores que se producen al medir reiteradas veces una misma magnitud, Gaussprobó que éstos se distribuyen según una ecuación exponencial cuya gráfica es



llamada campana de Gauss (debido a su forma acampanada) o densidad normal. La curva,aunque no su ecuación, ya había sido estudiada por el francés Abraham de Moivre (1667-1754), enrelación con los juegos de azar.

La distribución de muchas variables parece seguir la curva normal. Podemos citar, por ejemplo,caracteres de individuos (personas, animales, plantas) de una misma especie (altura, peso, longe-vidad), los efectos de una misma dosis de una droga o de un abono, el consumo de productos,el cociente intelectual, el grado de adaptación de un medio. También hay variables discretas quetienen una distribución parecida, como el número de caras al lanzar un cierto número de monedas,el número de crías que tienen las ratas de una cierta especie en cada camada, el número de vecesque aparece una vocal de un texto de 100 renglones, etc.

En la campana de Gauss, que es simétrica, el máximo de la función corresponde a la media.

Las medidas de dispersión nos informan acerca de cómo están distribuidos los valores alrededorde la media.

Los parámetros de dispersión más usados son el rango, que es la diferencia entre el mayorvalor y el menor valor muestrales y la desviación típica o estándar, que es la raíz cuadrada de lavarianza muestral. A partir de una muestra de una población, con datos xi podemos estimar dichavarianza, utilizando la media muestral x como

σ2 =

n∑

i=1(x− xi)

2

n

cuanto menor es la varianza, más cerca de la media están los datos.La desviación estándar se calcula mediante la siguiente fórmula

s =

√√√√ n∑

i=1(x− xi)

2

n−1

Si observamos la ecuación anterior, veremos que en el denominador se le resta 1 al tamaño de lamuestra. Esto se hace con el objetivo de aplicar una medida de corrección a la varianza, para que seamás representativa de la población. La estadística puede probar que, en el caso de extraer muchasmuestras de una población, el promedio de las varianzas tiende a la varianza de la población, si lasprimeras se calculan con el divisor n−1. Como estamos trabajando con casos discretos (con todala población) no necesitamos esta aclaración.

Al igual que las observaciones máxima y mínima de una muestra llevan información sobre lavariabilidad, el rango intercuartílico definido como q3−q1 puede emplearse como medida devariabilidad.

Ejercicios 3.1 Los estudiantes de primer grado hicieron una estadística de sus pesos. Los datosobtenidos, en kg, de cada a estudiante fueron los siguientes.

25 35 38 28 30 27 25 2634 34 33 24 29 27 31 30

¿Cómo podemos calcular la moda, la mediana, media y la varianza de los datos encontradospor los estudiantes? Para responder la pregunta usando GeoGebra podemos volcar los valoresencontrados en las celdas de la vista de hoja de cálculo. No importa la forma que queden. Luegoseñalamos el rango completo de los datos y creamos una lista mediante la herramienta Lista.



Vemos que, como resultado, se genera la lista lista1 en la Vista Algebraica.

Ahora podemos usar directamente los comandos apropiados para nuestra tarea:

Moda: Moda[ <Lista> ]Mediana: Mediana[ <Lista> ]

Media: Media[ <Lista> ]Varianza: Varianza[ <Lista> ]

1. Calcular la moda, media y mediana para estos datos.2. Averiguar la edad promedio de todos los docentes presentes en el aula en este día.

Ejercicios 3.2 El puntaje de Apgar se usa para evaluar reflejos y respuestas de recién nacidos. Acada bebé un profesional de la medicina le asigna un puntaje y los valores posibles son enterosentre cero y diez. Se toma una muestra de 1000 bebés nacidos en cierta región y los resultados hansido los siguientes:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 3 2 4 25 35 198 367 216 131 18

Resolver usando GeoGebra :

Hallar la media de los puntajes de Apgar. Hallar la desviación típica de la muestra.Halla la mediana muestral.¿Cuáles son los cuartiles primero y tercero?

Sugerencia:

Abrir la hoja de cálculoIntroducir en la primer columna los valores de la variable y en la segunda las frecuenciasabsolutasCrear ambas listas.



Ejercicios 3.3 Calcule y verifique las medidas centrales y de dispersión para los ejemplos 3.1, 3.2y 3.3 utilizando GeoGebra .

Ejercicios 3.4 Los siguientes datos son las alturas (en cm) de distintos grupos de alumnos de 1er.año de la escuela secundaria. Los mismos fueron recopilados por distintos profesores. El profesorde historia midió

160 154 166,3 175,5 178 177,9 182,4 155 180 166165,6 163 168 167 162 170 169 164,4 180 167,2

La profesora de geografía mostró las siguientes mediciones

154 155 160 160 162 163 164 164 166 166 167 166168 169 170 174 175 178 178 180 180 181 182 178

La directora y la secretaria recopilaron los siguientes datos

154 155 159 160 163 164 162 164 165 166 166 167168 169 170 174 175 175 177 178 180 180 182 181

La bibliotecaria agrupó las mediciones

Intervalo 150-160 160-170 170-180 180-190Frecuencia 3 11 6 3

Lo mismo hizo el profesor de matemática,

Intervalo 150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185Frecuencia 1 2 5 6 2 4 3



Utilizando los comandos de GeoGebra adecuados, responda:1. ¿Cuál la media y la mediana para cada grupo de mediciones?2. Compare los valores obtenidos para cada grupo de datos, ¿qué puede concluir?3. ¿Es útil en este problema la moda?4. ¿Cuál es el grupo con mayor dispersión? Y el de menor dispersión?5. ¿Hay diferencias sobre las conclusiones si se consideran todos los datos juntos?

Ejercicios 3.5 Supóngase que se ha preguntado a un conjunto de n personas: ¿qué opinión tienenacerca de la instalación de bebederos en las plazas públicas de la ciudad de La Plata que se imple-mentará en el año que viene? Las n respuestas se encuentran en una escala que va de 1 a 9, donde 1representa un total desacuerdo con la medida mientras que 9 quiere significar un acuerdo total.

El resultado de la medición es el siguiente:

7 5 6 8 6 5 9 5 8 6 5 7 5 5 4 5 8 5 4 2 6 6 4 6 48 4 3 4 3 3 1 4 5 6 5 8 5 4 7 4 3 5 3 4 9 4 2 6 34 2 4 1 3 6 3 1 2 4 4 6 2 4 7 4 2 4 6 4 4 6 7 5 85 7 6 5 6 5 7 5 6 4 5 4 1 6 5 6 5 5 5 4 6 2 5 5 65 4 4 3 5 5 9 4 3 6 5 7 3 2 4 4 7 4 2 1 8 2 7 4 55 7 5 5 1 5 8 5 6 7 6 6 7 7 5 2 5 6 5 8 5 3 6 5 5

1. Observando los datos responda las siguientes preguntas:a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?b) ¿Cuál fue la respuesta más frecuente?c) ¿Cuántas personas tienen, como máximo, una actitud de cuatro puntos en la escala? (es

decir, ¿cuántas personas se encuentran en desacuerdo con la medida?)2. ¿Puede responder si ordena los datos?3. ¿Y si los organiza en una tabla de frecuencias?

Ejercicios 3.6 Supongamos que el siguiente cuadro representa las temperaturas máximas (M) ymínimas (m) de los días del mes de mayo.

Días 1 2 3 4 5 6 7 8M 20 22 18 16 19 20 15 17m 10 14 12 14 11 13 2 4

Días 9 10 11 12 13 14 15 16M 14 18 15 13 12 17 20 14m 6 4 4 2 6 8 10 8

Días 17 18 19 20 21 22 23 24M 14 15 14 18 20 24 25 23m 9 10 8 10 11 12 13 15

Días 25 26 27 28 29 30 31M 21 22 24 22 20 18 19m 16 15 13 13 11 9 10

1. ¿Cuál fue la mayor temperatura? ¿Y la menor?



2. ¿Cuál fue la temperatura media?3. ¿Cuál fue la semana más fría del mes?4. Construya una tabla de frecuencias acumuladas de temperaturas máximas y mínimas y

responda:a) ¿Cuántos días la temperatura máxima fue mayor o igual que T , para T un valor entero

entre 12 y 25?b) ¿Cuántos días la temperatura mínima fue menor o igual que T , para T un valor entero

entre 2 y 16?c) ¿Qué grupo de datos es el más variable, el de las temperaturas máximas o las mínimas?

Utilice GeoGebra cuando crea conveniente.

Ejercicios 3.7 Una empresa de transporte que realiza viajes cortos (de aproximadamente 30 km)entre dos ciudades, considera que el alto costo de mantenimiento de las unidades se debe a que sonconducidas a velocidades excesivas.

Ha estimado en 30 minutos el tiempo razonable para hacer el recorrido. Dispone de la siguientemuestra de tiempos en minutos empleados por los choferes para realizar el viaje.

17 32 21 29 19 29 34 33 22 28 33 52 29 43 39 44 34 30 41

¿Pueden a partir de esta muestra decidir si los choferes conducen a velocidades excesivas?


4. Cuarta Clase

4.1 Los datos nos hablan con gráficosRecordemos que una tabla de frecuencias acumuladas de un conjunto de datos cuantitativos

nos permite analizar totales parciales mayores (o menores) que un cierto valor. Su gráfico (curva defrecuencias acumuladas u ojiva) permite determinar rápidamente la mediana del conjunto de datos.

Cuando recolectamos y representamos datos, debemos prestar atención a las escalas queutilizamos. Por ejemplo, no tiene sentido medir alturas de personas en km. En la representación,una modificación de escalas en uno solo de los ejes nos puede llevar a sacar conclusiones que noson correctas.

En esta clase veremos distintos tipos de gráficos que nos permitirán sacar conclusiones rápidasacerca de un conjunto de datos dado para su análisis. Presentamos en esta clase las variantes másempleadas. Suponemos de aquí en adelante que n es el número total de datos en la muestra quevamos a analizar.

4.1.1 Diagrama de tallos y hojasSean x(1) ≤ ...≤ x(n) los xi ordenados (o estadísticos de orden). Los métodos más útiles para

analizar una muestra están basados en los x(i), cuyo cálculo requiere obviamente ordenar la muestra.Esto puede ser engorroso si n es grande y no se dispone de una computadora. El siguiente método,inventado por J.W. Tukey y llamado diagrama de tallo y hoja ("stem-and-leaf plot"), está basadoen la idea de que es más fácil ordenar varios conjuntos pequeños que uno grande. El diagrama detallo y hoja es una buena manera de obtener una presentación visual informativa del conjunto dedatos x1,x2, ...,xn, donde cada número xi está formado al menos por dos dígitos. Para construir undiagrama de este tipo los números xi se dividen en dos partes: un tallo, formada por uno o másdígitos principales, y una hoja, la cual contiene el resto de los dígitos.

Supongamos que tenemos el siguiente conjunto de datos

237 242 232 242 248 230 244 243 254262 234 220 225 246 232 218 228 240

El primer valor de la muestra es 237, que tiene tallo 23 y hoja 7, y figura por lo tanto como 7



en la fila del 23 en el gráfico que se muestra a continuación. El segundo es 242, que figura como 2en la fila del 24, etc.. Los números de la primera columna (tallo) representan a 210,. . . ,260.

21 822 0 5 823 0 2 2 4 724 0 2 2 3 4 6 825 426 2

En cada fila se ordenan las hojas. Ahora es fácil hallar cualquier dato guiándose por la primeracolumna. La altura o extensión de la columna de hojas asociadas a un tallo nos dice con quefrecuencia ocurren las observaciones de la magnitud asociada al tallo.

¿Qué información nos brinda este gráfico? Podemos observar:El rango de las observaciones y los valores máximos y mínimos.La forma de la distribución: si es aproximadamente simétrica o es asimétrica.Cuántos picos o modas tiene la distribución.Si existen valores que se aparten notablemente del conjunto, a los que denominaremos datosatípicos o outliers.

Ejercicios 4.1 Consideremos los datos de la siguiente tabla correspondientes a casos de neumoníanotificados (tasa cada 1000 habitantes) por las provincias argentinas durante el año 2000 (Fuente:SI.NA.VE, Argentina). Los datos se presentan ordenados de menor a mayor para simplificar eltrabajo.

Provincia Tasa Provincia TasaCorrientes 0.00 Río Negro 3.86Córdoba 1.28 La Rioja 3.98

Capital Federal 1.60 Chubut 4.01Entre Ríos 1.67 Santa Fe 4.22Tucumán 2.19 Tierra del Fuego 4.38

Catamarca 2.87 Neuquén 4.84Buenos Aires 3.01 San Juan 4.92

Salta 3.16 Mendoza 5.50Misiones 3.20 San Luis 7.36

Jujuy 3.21 Formosa 8.07Santa Cruz 3.33 La Pampa 9.29

Santiago del Estero 3.37 Chaco 10.83

Crear una lista en GeoGebra y construir un diagrama de tallo y hojas utilizando el menú Análisisde una variable. ¿Qué sucede si cambia el número de hojas?

4.1.2 HistogramaEl histograma es el más conocido de los gráficos para resumir un conjunto de datos numéricos y

pretende responder a las mismas preguntas que un gráfico de tallo-hojas. Una virtud del gráfico detallo-hojas es que retiene los valores de las observaciones, sin embargo, esta característica puede seruna desventaja para gran cantidad de datos. Construir manualmente un histograma es más laboriosoque armar un gráfico de tallo- hojas, pero veremos cómo hacerlo utilizando GeoGebra .

Para construir un histograma es necesario previamente elaborar una tabla de frecuencias.Un histograma de una muestra se obtiene eligiendo una partición en m intervalos de extremosa0 < ... < am, con longitudes L j = a j−a j−1; calculando las frecuencias f j = #xi ∈ [a j−1,a j) (o



las frecuencias relativas p j = f j/n), y graficando la función igual a f j/L j(o p j/L j) en el intervalo[a j−1,a j) y a 0 fuera de los intervalos. O sea, un conjunto de rectángulos con área f j (o p j).

Si los datos vienen agrupados, los intervalos están ya determinados. Pero si no, lamentablementeno hay reglas simples para elegir su número y sus extremos. Si son muy angostos, hay más detalleen la representación, pero más variabilidad, y viceversa. Salvo que n sea muy grande, se recomiendaprobar distintas variantes para distinguir lo real de lo ilusorio. Si el lector mira el diagrama de talloy hoja anterior, girando el libro 90, notará que ¡obtuvo gratis un histograma!. De modo que aquítenemos otro uso de dicho diagrama (que sólo es válido si las “hojas” están igualmente espaciadas).

¿Cómo graficamos el histograma?

En el plano coordenado, sobre el eje de abscisas se marcan los límites de clase, y en cada clase seconstruye un rectángulo cuya base es el intervalo de clase y el área del mismo debe ser proporcionala la frecuencia de la clase. Si los intervalos de clase tienen el mismo ancho se puede construir cadarectángulo de manera que su altura sea igual a la frecuencia de la clase correspondiente. Estoshistogramas son más fáciles de interpretar.

Construimos un histograma de 7 clases para los datos del ejercicio 4.1 utilizando el menúAnálisis de una variable y la opción Histograma.

También se puede graficar un polígono de frecuencias al unir los puntos medios del lado superiorde cada rectángulo con segmentos y agregar en los extremos dos clases adicionales de frecuenciacero como indica la siguiente figura



Aquí usamos el comando de GeoGebra

PolígonoFrecuencias[ <Lista de límites de clases>, <Lista de datos brutos>,

<Usar densidad o no (true/false)>, <Factor de escala de densidad (opcional)> ]

Con GeoGebra además podemos graficar distintos polígonos de frecuencia (relativa o acumula-da) como mostramos a continuación

Las tablas de frecuencia y los histogramas también pueden emplearse en datos cualitativos ocategóricos, es decir cuando los datos en la muestra se ordenan en categorías y se registra cuántasobservaciones caen en cada categoría (las categorías pueden ser masculino, femenino; menor deedad o mayor de edad; clasificar según nivel educativo: primario, secundario, terciario, universitario,ninguno). En este caso las clases se dibujan con el mismo ancho.



4.1.3 Diagrama de tortaUn gráfico circular o gráfica circular, también llamado “gráfico de pastel”, “gráfico de tarta”,

“gráfico de torta” o “gráfica de 360 grados”, es un recurso estadístico que se utiliza para representarporcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de este gráfico se ordenande mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12 como en un reloj. Una manerasencilla de diferenciar los segmentos es sombreándolos con colores contrastantes. Se utilizan enaquellos casos donde interesa no solamente mostrar el número de veces que se da una característicao atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de forma tal que se pueda visualizarmejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total. En este gráfico, ampliamenteutilizado, se representa la frecuencia relativa de cada categoría como una porción de un círculo,en la que el ángulo se corresponde con la frecuencia relativa. Como en todo gráfico es importanteindicar el número total de datos.

Para los datos del ejercicio 3.5, el gráfico de torta lo realizamos aplicando la herramientawww.mate.unlp.edu.ar/extension/datosygeogebra/torta.ggt

desarrollada por la Prof. Laura Sombra del Río (Instituto GeoGebra La Plata).Usamos el comando

Torta[ <Punto>, <Punto>, <Lista> ],

donde un punto es el centro del círculo, el otro está dado para saber su radio y la lista de datos esuna lista de frecuencias.

4.1.4 Gráficos de dispersiónUn diagrama de dispersión o gráfico de dispersión es un tipo de diagrama matemático que

utiliza las coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto dedatos. Los datos se muestran como un conjunto de puntos, cada uno con el valor de una variableque determina la posición en el eje horizontal (x) y el valor de la otra variable determinado porla posición en el eje vertical (y). Los gráficos de dispersión se utilizan normalmente para mostrary comparar valores numéricos, como datos científicos, estadísticos y de ingeniería. Este tipo degráficas se usan cuando:

Se desea cambiar la escala del eje horizontal.Se desea convertir dicho eje en una escala logarítmica.Los espacios entre los valores del eje horizontal no son uniformes.Hay muchos puntos de datos en el eje horizontal.

Mostramos la gráfica de dispersión de los datos del ejercicio 4.1 realizada en GeoGebrautilizando el menú Análisis de una variable con la opción Diagrama de Puntos.


www.mate.unlp.edu.ar/extension/datosygeogebra/torta.ggt


Es interesante observar que los puntos parecen seguir una cierta tendencia a una curva imagina-ria. Uno de los usos de este tipo de gráficas es precisamente encontrar si las observaciones siguenalgún patrón (lineal, exponencial, polinomial, logarítmica, etc.) o si existen valores atípicos.

4.1.5 Diagramas de caja

El diagrama de caja (box plot o caja y bigote) es una representación gráfica del resumen de 5números, que se obtiene marcándolos sobre una recta y recuadrando los 3 cuartiles. Cada uno delos cuatro segmentos que se forman contiene aproximadamente la cuarta parte de las observaciones;la caja contiene aproximadamente la mitad. El diagrama da entonces una visión rápida de cómoestán distribuidas las observaciones, y en particular una idea del grado de asimetría. También es útilpara comparar dos o más muestras.

¿Cómo se construye un diagrama de caja?

Ordenar los datos de menor a mayor.Calcular la mediana, el cuartil inferior q1, el cuartil superior q3 y el rango intercuartílicoR = q3−q1.Calcular cotas que nos permitirán decidir si un dato es outlier:2da. cota inferior = q1−3R1ra. cota inferior = q1−1,5R1ra. cota superior = q3 +1,5R2da. cota superior = q3 +3RCualquier dato que caiga entre la 1ra y 2da. cota inferior o entre la 1ra. y 2da. cota superiorserá declarado outlier. Cualquier dato que caiga por fuera de la 2da. cota inferior o la 2da.cota superior será declarado outlier severo.Dibujar una escala que cubra el rango de variación de los datos y marcar la mediana y loscuartiles. Dibujar una caja que se extienda entre los cuartiles y marcar en ella la posición dela mediana.Partiendo del cuartil inferior trazar una línea (bigote) que llegue hasta el último dato contenido"dentro"de la 1ra. cota inferior. Partiendo del cuartil superior trazar una línea (bigote) quellegue hasta el último dato contenido "dentro"de la 1ra. cota superior.Marcar la posición de los outliers con un símbolo (por ejemplo, x) y de los outliers severoscon otro símbolo.

Aplicando GeoGebra graficamos un diagrama de caja para los datos del ejercicio 4.1utilizando el menú Análisis de una variable y la opción Diagrama de Caja.



Los diagramas de caja son muy útiles para hacer comparaciones gráficas entre distintos conjuntosde datos, ya que tienen un gran impacto visual y pueden entenderse fácilmente.

4.1.6 Otros tipos de gráficos

Gráficas de columnas bidimensionales

Un tipo de gráfico muy parecido al histograma es la gráfica de columnas. Para este tipo degráfica, elaboradas con rectángulos también, se pide que sus bases sean del mismo ancho y susalturas equivalentes con las frecuencias. En este clase de gráficos, a diferencia del histograma, noes necesario tener una escala horizontal continua, por lo que los rectángulos (o barras) no tienenque aparecer juntos entre sí.

Otra observación pertinente es que se pueden representar en la misma gráfica, utilizando lasmismas escalas horizontales y verticales, varios datos correspondientes a las mismas variablesproducto de varias observaciones. Esto produce una gráfica con varias series, correspondiendo cadauna de ellas a cada observación de la muestra (o población), y teniéndose una gráfica compuesta.Es conveniente que cada serie de datos (u observaciones) sean coloreados de igual manera entre sí,pero distinta de las demás.

Ejemplo 4.1 La gráfica siguiente muestra el comportamiento de los minutos de retraso queacumularon tres trabajadores de una tienda durante cuatro semanas. Las series están marcadascon diferentes colores para mostrar el comportamiento tanto individual, como de cada uno de lostrabajadores con respecto a los demás.



PictogramasSon gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es pro-

porcional a las frecuencias que representan. Se emplean para representar diferencias cuantitativassimples entre grupos. Los símbolos utilizados para representar valores idénticos deben ser de igualdimensión.

Actualmente muchos medios masivos de comunicación utilizan gráficos para ilustrar resultadosde alguna investigación. Regularmente se utilizan dibujos llamativos para captar el interés delpúblico.

Ejemplo 4.2 El pictograma siguiente representa la población de los Estados Unidos de 1930 a1990 (cada figura representa a dos millones de habitantes).



Ejercicios 4.2 1. Representen en un histograma o en un diagrama de barras cada una de lasdistintas variantes del problema 3.4 de las alturas de los alumnos de la escuela (teniendo encuenta si el análisis que se hizo fue discreto o continuo) y hagan un gráfico de torta cuandotenga sentido.

2. ¿Qué les dicen los gráficos rápidamente? ¿qué pueden leer en un gráfico, en una tabla o enun diagrama que es diferente en cada caso?

Ejercicios 4.3 Las pruebas de evaluación de la calidad de la educación fueron tomadas en añossucesivos, en séptimo año de la EGB y tercer año del Polimodal, en Matemática y Lengua. Losresultados, en porcentaje de repuesta correcta, son los siguientes.En Matemática:

Año 1993 1994 1995 1996 19977mo año EGB 52,42 58,83 59,63 58,76 54,313er año polimodal 46,39 55,95 56,18 57,40 61,59

En Lengua:

Año 1993 1994 1995 1996 19977mo año EGB 51,75 66,94 62,44 60,60 59,693er año polimodal 61,41 69,68 66,40 60,30 64,86

A partir de estas tablas construir las siguiente, que tiene los promedios de Matemática y Lengua(entre ambos cursos), de cada curso (entre las dos materias) y el promedio general.

Año 1993 1994 1995 1996 1997Matemática 49,41 57,39 57,91 58,08 57,95Lengua 56,58 68,31 64,42 60,45 62,287mo año EGB 52,09 62,89 61,04 59,68 57,003er año polimodal 53,90 62,82 61,29 58,85 63,23Promedio general 53,00 62,85 61,17 59,27 60,12

Grafique en GeoGebra las datos anteriores para responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál de los gráficos permite sacar alguna conclusión sobre el mejoramiento de la enseñanzay por qué?

2. ¿A qué causa le adjudicarían el crecimiento fuerte que se da en general entre la primera y lasegunda evaluación (1993 y 1994)?

3. ¿Qué relación tienen estos gráficos con un polígono de frecuencias?Ejercicios 4.4 Realice un análisis exhaustivo, utilizando GeoGebra para graficar todos losdiagramas que considere necesario para los datos del ejercicio 3.5.Ejercicios 4.5 Analice usando GeoGebra los datos del ejercicio 3.6 considerando dos listas dedatos, temperaturas máximas y mínimas. ¿Qué conclusiones puede obtener si grafica dos diagramasde caja simultáneos?Ejercicios 4.6 Estudie los datos dados en la siguiente tabla. Realice en GeoGebra los gráficosque considere necesarios.



x frecuencia1 62 113 124 305 406 257 148 99 3

Total 150

4.2 Regresión Lineal Simple

En muchos problemas existe una relación entre dos o más variables, y resulta de interés estudiarla naturaleza de esa relación. El análisis de regresión es la técnica estadística para el modelado yla investigación de la relación entre dos o más variables. La forma más simple de aproximar unamagnitud en función de otra es ajustar una relación lineal entre dichas magnitudes, x (‘predictor’)e y (‘respuesta’). Es decir, se tienen datos (xi,yi), (i = 1, ...,n) y se desea encontrar coeficientesβ0, β1 tales que

yi ≈ β0 +β1xi. (4.1)

Si graficamos los datos (haciendo por ejemplo un diagrama de dispersión de los mismos) podríamosver a priori si tiene o no sentido encontrar una relación entre ellos y, si existe esta relación, si es ono lineal.

La regresión lineal permite definir la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos. Paraajustar una relación de la forma (4.1), se buscan los coeficientes de manera que las diferenciasyi−β0−β1xi entre observación y predicción sean ‘pequeñas’.

La solución se obtiene por el método de mínmos cuadrados, derivando

n

∑i=1

(yi−β0−β1xi)2

con respecto a β0 y β1 e igualando a 0.

Los estimadores resultantes son β1 =Sxy

Sxx, β0 = y− β1x, donde Sxy = ∑

ni=1(xi− x)(yi− y),

Sxx = ∑ni=1(xi− x)2.

A la recta resultante y = β0 + β1x se le llama recta de regresión lineal estimada de y sobre x.Se llama modelo de regresión lineal simple a un modelo estadístico de la forma

yi = β0 +β1xi + εi (4.2)

En la ecuación (4.2), yi es la variable dependiente, xi es la variable independiente, β0 y β1 sonparámetros desconocidos llamados coeficientes de regresión, y εi se denomina error y es unavariable aleatoria que cumple

E(εi) = 0, i = 1, ...,nVar(εi) = σ2, i = 1, ...,nεi y ε j son independientes si i 6= j.



Se definen los residuos como: ri = yi− yi = yi− (β0 + β1xi). Los residuos muestran la discre-pancia entre los valores observados yi y los correspondientes valores estimados yi. Una medida delerror del ajuste está dado por la suma de los cuadrados de los residuos

SSE =n

∑i=1

(yi− yi)2 = Syy−

S2xy

Sxx,

donde Syy = ∑ni=1(yi− y)2.

Ejemplo 4.3 Para analizar la degradación de la señal emitida por una antena, se tomaron lossiguientes datos: la frecuencia de la señal en el momento de ser emitida (X) y la frecuencia de laseñal al ser recibida (Y ). Los resultados medidos en Megahercios fueron:

X 1.75 1.8 1.78 2.01 2.48 2.58 2.98 2.65 2.01 3.87Y 1.56 1.45 1.75 0.84 2.02 2.41 2.75 1,44 1.55 2.01

El diagrama de dispersión de estos datos y su ajuste por la recta de regresión, realizado enGeoGebra empleando la herramienta Análisis de Regresión de dos variables y eligiendo comomodelo Lineal, es el siguiente

Ejercicios 4.7 Los resortes se usan en aplicaciones por su capacidad para alargarse (contraerse)bajo carga. La rigidez de un resorte se mide con la constante del resorte, que es la longitud delresorte que se alargará por unidad de la fuerza o de la carga. Para asegurarse de que un resorte dadofunciona adecuadamente es necesario calcular la constante de resorte con exactitud y precisión. Eneste experimento hipotético un resorte se cuelga verticalmente con un extremo fijo, y los pesos secuelgan uno tras otro del otro extremo. Después de colgar cada peso se mide la longitud del resorte.

La tabla siguiente presenta los resultados del experimento.



Peso (lb) Longitud medida (pulg) Peso (lb) Longitud medida (pulg)x y x y

0,0 5,06 2,0 5,40,2 5,01 2,2 5,570,4 5,12 2,4 5,470,6 5,13 2,6 5,530,8 5,14 2,8 5,611,0 5,16 3,0 5,591,2 5,25 3,2 5,611,4 5,19 3,4 5,751,6 5,24 3,6 5,681,8 5,46 3,8 5,80

Realizar en GeoGebra un análisis de regresión de los datos dados. ¿Hay una relación linealentre ellos?Ejercicios 4.8 El inventor de un nuevo material aislante quiere determinar la magnitud de lacompresión (Y ) que se producirá en una pieza de 2 pulgadas de espesor cuando se somete adiferentes cantidades de presión (X). Para ello prueba 5 piezas de material bajo diferentes presiones.Los pares de valores observados (X ,Y ) se muestran en la siguiente tabla:

Pieza Presión (X) Compresión (Y)1 1 12 2 13 3 24 4 25 5 4

¿Qué tipo de relación hay entre los datos dados?Ejercicios 4.9 Se supone que el alargamiento de un cable de acero está relacionado linealmentecon la intensidad de la fuerza aplicada. Cinco especímenes idénticos de cable dieron los resultadossiguientes:

Fuerza (X) 1.0 1.5 2 2.5 3Alargamiento (Y) 3 3.5 5.4 6.9 8.4

¿Puede verificar esta suposición? Justifique su respuesta.Ejercicios 4.10 Observamos dos variables en una muestra de países desarrollados:

X= Consumo anual de vino (en litros por habitante).Y = Nro. de muertes por enfermedad cardíaca (por cada 100.000 habitantes).

País X Y País X YAustralia 2,5 211 Países Bajos 1,8 167Austria 3,9 167 Nueva Zelanda 1,9 266Bélgica 2,9 131 Noruega 0,8 227Canadá 2,4 191 España 6,5 86

Dinamarca 2,9 220 Suecia 1,6 207Finlandia 0,8 297 Suiza 5,8 115Francia 9,1 71 Reino Unido 1,3 285Islandia 0,8 211 Estados Unidos 1,2 199Irlanda 0,7 300 Alemania 2,7 172Italia 7,9 107



¿Qué podemos decir sobre la relación entre las dos variables?¿Por qué?

Ejercicios 4.11 Dados los siguientes diagramas de dispersión de distintos conjuntos de datos, ¿quépuede decir de la relación entre las variables independiente y dependiente para cada caso?


Bibliografía

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MEYER, Paul, ‘Probabilidad y aplicaciones estadísticas’, Ed. Addison- Wesley Iberoamericana,año 1992.


Directora: Dra. Claudia B. Ruscitti

Codirectora: Dra. Marcela Zuccalli

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