1 다음 그림에서 이다 . x 의 값을 구하여라

EF//CD//AB

69

10x

AC

B D F

E

,2BC

이므로 EF//ABABC ∽ CEF 이므로닮음의 비 6 : 9 =2 : 3

3CE BDC ∽ BFE 이므로

2 : 5 = x : 10 5 x = 20 x = 4

연습문제

2

3

2 다음 그림에서 이다 . x 의 값을 구하여라

EF//CD//AB

A

DC

E F

B

6

43

x

이므로EF//CD//AB

AF:DFBE:CE

3 : x = 4 : 10

4 x = 30

x = 7.5

A

B C

10cm8cm

12cm

3 ABC 에서 세변의 중점을 각각 D,E,F 라 할 때 , DEF 의 세 변의 길이를 각각 구하여라 .

cm10CA,cm12BC,cm2AB

cm5102

1AC

2

1DE

삼각형의 중점연결 정리에 의하여

D

E

F

.

..

cm482

1AB

2

1EF

cm6122

1BC

2

1DF

=

=_ _

1 일 때 , cmGFcmBF 3,4 의 길이를 구하여라 .GEAG,

4 ABC 에서 점 G 는 무게중심이고 , 일 때 , 다음 물음에 답하여라 .

BCDE //

점 G 는 ABC 의 무게중심1:2: GFAG

1:23: AG cmAG 6또 점 F 는 변 BC 중점 cmFCBF 4

FCGD // 이므로 AGE∽AFCFCGEAFAG :: 4:)36(:6 GE cmGE

3

8

9

24

A

B C

ED G

F

A

B C

ED G

F

2) ABC= 32 일 때 . AEF, DEF 의 넓이를 구하여라 . ( 점 G 는 무게중심 )

cm2

ECAEGFAG :: ECAE :1:2

3:2: ACFAEF

ACFAEF 3

2ABC

2

1

3

2

323

1

GEFDEF 2

FCGE // 이므로

cm2

3

32

AEF3

12

3

32

3

12

cm2

9

64

3 닮음의 응용 1 닮은 도형의 넓이의 비

그림에서 ABC∽DEF 이다 . 두 삼각형의 닮음비와 넓이의 비를 구하여라 .ABC 와 DEF 의 닮음비는

3:29:6: EFBC

cmDEF 227,12 2cmABC 또이므로

삼각형 넓이의 비는 32 22 :9:427:12

따라서 넓이의 비는 닮음비의 제곱과 같다 .

E F

D

┏6cm

9cm

A

B C┏

4cm

6cm

닮은도형의 넓이의 비

닮은도형의 넓이 비는 닮음비의 제곱과 같다 즉 , 닮음비가 이면 넓이의 비는 nm 22 :nm :

9:16: 34 22 두 닮음 ABCD� 와 � 의 닮음비가 4 : 3 이면 그 넓이의 비는

DCBA

DCBA 16 : 9 = 48 :

DCBA �

따라서 ABCD� 의 넓이가 라 하면cm248

cm227

A=90 인 직각삼각형 ABC 의 점 A 에서 에 내린 수선이 발을 D 라 할 때 ,ABD 와 ADC 의 넓이의 비를 구하여라 .

BC

ABD∽ ADC 이고

ABD : ADC 43 22 :

= 9 : 16

풀이

문제

4:3CA:AB 이므로4cm3cm

┓

┓A

B D C5cm

AOD∽ COB

인 사다리꼴 ABCD 에서 일 때 , 다음을 구하여라 .

BC//AD

(1) AOD : COB (2) ABO : AOD 5:3BC:AD

(1) AOD 와 COB 에서

(2) ABO 와 AOD 의 높이는 같으므로

AOD=COD, ADO=CBO

5:3BC:AD 닮음비53 22 : 25:9

ABO : AOD =

AOD: COB

5:3DO:BO

.

.

0

A

B C

D

문제

문제 오름 닮음 삼각형 ABC 의 DEF 의 닮음비가 2 : 3 이고 삼각형 ABC 의 넓이가 일 때 , 삼각형 DEF 의 넓이를 구하여라 .

cm162

탐구

실제 땅의 넓이가 인 땅은 축적이 인 축도에서 인지 구하여라 .

m5002

cm2

500

1

㉯㉮

2 입체도형의 닮음

위 그림은 사면체 ㉯는 사면체 ㉮ 를 2 배확대한 도형이므로 모양은 같으나 크기는다르다 .

입체도형을 일정한 비율로 축소 확대 일치 시킬 수 있을 때 , 두 도형은 서로 닮음이라 한다

o||

||

입체도형에서의 닮음의 성질

두 닮은 입체 도형에서1) 대응하는 면은 닮은 도형이다 .

2) 대응하는 선분의 길이의 비는 일정하다 .

대응하는 선분의 길이의 비는 바로 두 닮은 입체도형의 닮음비이다 .

그림의 두 삼각기둥은 닮음 도형이다 . 1) 닮음비 2) x, y, z 의 값 3) 겉넓이의 비

문제

A

B

E F

C

D

4 3

56

A

B C

F

D

E

6 y

xz

BA:AB 1) 3:26:4 2) 5 : x = 2 : 3, 2 x =15

x = 7.53 : y = 2 : 3, 2y = 9

y = 4.5

6 : z = 2 : 3, 2z =18 z = 9

3) ∽ CBAABC 이고 닮음비가 2 : 3

따라서 넓이의 비 9:4: 32 22

4

6

2

( 가 )

3

9

6( 나 ) 직육면체 ( 가 ),( 나 ) 는닮은 도형이다 .

닮음비와 부피의 비를구하여라 .

그림 ( 가 ), ( 나 ) 의 닮음비는 2 : 3

( 가 ), ( 나 ) 의 부피 cm248264 ( 가 ) cm2162396 ( 나 )

이므로 부피의 비는 다음과 같다 .

27:8162:48 32 33 :

닮은 입체도형의 부피의 비

닮은 입체도형의 부피의 비는 닮음비의세제곱과 같다 . 즉 , 닮음비가 m : n 이면부피의 비는 이다nm 33 :문제

닮은 두 원기둥 A, B 의 닮음비가 3 : 4 이고A 의 부피가 일 때 , B 의 부피는 ?cm54 3

B:54 ,: 43 33 64:27B:54

27

6454B

)(128 cm3

r :r =1: k,

그림에서 두 원뿔 가 ), 나 ) 는 닮은도형이고 , 그 닮음비가 1: k 이다 . 이 때의 부피의 비를 구하여라 .

문제

┌

o

HA

가

hr ┌

나

A H

O

h

r

풀이두 원뿔의 닮음비 1 : k 반지름 비가 1 : k

h :h =1: k, r = kr,

h = kh

가 ), 나 ) 의 부피의 비를 V :V 라 하면h

3

1:h

3

1v:v 22 h:h 22

(kr):h2

r2 h:h 232

k k1 3:/ // /

오름 닮은 두 직육면체 F, F 의 닮음비가 3 : 4 이고 직육면체 F 의 겉넓이가 126 , 부피가 81 일 때 , 직육면체 F 의 겉넓이와 부피를 각각 구하여라 .

(cm)2

(cm)3

그림에서 평면 P 는 정사각뿔의 밑면에평행하며 , 높이 를 2 등분한다 . 이 때 평면P 로 나누어지는 두 부분의 부피의 비는 ?

VH

문제

VH평면 P 가 높이 를 이등분하므로 닮음비는 1 : 2 이다 .

본래 정사각뿔 :R, 위정사각뿔 :@

@ : R= 21 33 : R = 8@

따라서 정사각뿔대의 부피 : 8@ - @= 7@

두 입체 도형의 부피의 비 : @ : 7@= 1 : 7

풀이 V

P

┌H

문제 . 탐구닮음인 두 원 뿔의 겉넓이의 비가 4 : 9 이고 큰 원뿔이 부피가 540 일 때 , 작은 원뿔의 부피를 구하여라 .

(cm)3

3 닮음의 응용

o

A` B

80m 55º 60m

55º

4cm 3cm

A B

O

그림에서 두 지점 A, B사이 거리는 ?

를 로축소한 을 그리면

AOB 2000

1

BOA

≒ 68(m)

BA 닮음비 1:2000 이고 의실제로 재어 보면 3.4cm 이다 .

두 지점 거리 : 약 3.4 2000=6800(cm)

∽ AOB AOB

문제 그림에서 탑 의 높이를 구하여라 .

25A

C

B200m

25 ┌A

C

B4cm

풀이 ABC 를 로 축소하여 ABC 를 그리면 아래 그림과 같다 .

5000

1

이 때 , 의 길이를 재어 보면 약 1.9cm 임 .

CB

따라서 탑의 높이 :

≒95(m)

약 1.9 5000=9500(cm)

문제 한 지점에서 측량을 하였더니 그림과 같이 되었다 . 이때 , A 와 C 사이의 실제 거리는 ?

BA

C

75 55100cm

5575A

C

B5.4cm

풀이2000

1 ABC 를 로 축소축도를 그리면 CA ≒5.4cm

따라서 실제 거리는 약 5.4 2000 = 10800(cm)

= 108(m)

문제 , 오름

다음 그림에서 두 지점 A , B 사이의 거리는 200m, BAC=25 이다 . 축도를 그려 탑이 높이를 구하여라 . C

BA 25

200m

문제 , 탐구

축적이 1: 25000 인 지도에서 길이가 12cm 인 두 도시의 실제 거리는 몇 km 인가 ?

연습문제 1 그림에서 이고 , 이다 . AOD 의 넓이 6 일 때 , ABCD� 의 넓이는

BC//AD 2:1BC:AD cm2

AOD∽ COB = 1: 2 이므로넓이의 비는 1: 4

COB= 4 AOD= 46 = 24

A

B C

D

O

OB:ODOC:OABC:AD 한편 =1 : 2 이므로 OCD= 2 AOD= 26 =12 OAB= 2 AOD= 26 =12

ABCD = 6+12+12+24� )cm( 2= 54

2. 두 닮음 원기둥 A,B 의 높이의 비가 2 : 3 일 때 , 다음 물음에 답하여라 .

1) A 와 B 의 겉넓이의 비를 구하여라 .

닮음비가 2:3 이므로 겉넓이의 비는32 22 : = 4 : 9

2) A 부피가 32 이면 , B 의 부피를 구하여라 . 32 33 : = 8 : 27

8 : 27= 32 : (B 의 부피 )

8

3227따라서 (B 의 부피 ) = =108

3. 그림은 원뿔을 밑면에 평행하게 잘라서 만든 원뿔대이다 . 부피를 구하여라 .

┐

┐

5cm3cm

6cm

원뿔을 회전축을 포함한 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면을 그리면

┐

┐

A

D

B C

E3cm

6cm

5cm

이때 , ADE∽ ABC 이므로 DE:BCAD:AB

3:6AD:)5AD( )cm(5AD

원뿔대 부피 :

)(105 cm3

3622

3

1

3

1 10 5

4 그림은 탑의 높이를 알기 위하여 측량한 것 이다 . 축도를 그려 이 높이를 구하여라 .

2010

100m

100m 를 축소를 하면2000

1

cm42500

1cm000.10

주어진 닮음인 도형을 그리면

20

10

A

B

O 4cm

1.5cm

0.7cm

AB≒2.2cm

)cm(55002.22500 )m(55

탑의 실제 높이

기본 학습 1 삼각형의 닮음조건을 알고 있는가 ? 기호로 쓰고 닮음 조건을 말하여라 .

A

C

E70

70

D

B

(1)

A

E

C D

B

34

86

(2)

2 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 아는가 ?

다음 그림에서 l // m // n 이다 . x 의 값을 구하여라 .

l

m

n

(1)

3

7

x

5 m

l

n

(2)

4

2

x

3

3 닮은비와 넓이의 비 사이의 관계를 아는가 ?

A

D

E

B C

G

F

=

=

=

_

_

_

그림은 ABC 의 변 AB, AC 의 삼등분점을 각각 D, E 및 R, G 라고 할 때 ,ADF : AEG : EBCG� 의 비를 구하여라 .

ADF : AEG : EBCG�

ADF : AEG : ABC

221 222 :: 9:4:1

)49(:4:1 5:4:1

종합문제종합문제

.

.

B

A

CD

E

. .EC//AD 이므로

BAD=BEC( 동위각 )

BEC=ACE

AEC: 이등변 삼각형 . 즉 ACAE

1 그림 ABC 에서 A 의 이등분선과 변BC 교점 D, 이고 변 BA 의 연장선의 교점을 E 할 때 , 임을 증명

DC:BDAC:AB EC//AD

DAC=ACE( 엇각 )

한편 , BAD ∽ BEC 이므로AE:ABAC:AB DC:BD

N

MA

B C

D

.

.

.

= =P

2 그림에서 인 ABCD� 에서 M, N, P는 각 변의 중점일 때 , 다음 물음에 답하여라 ,

CDAB

AB2

1MP 1) 임을 증명

CD2

1MP

AC,ADACD 의 의 중점이 각각 M, P 이므로 삼각형의 중점 연결정리에서

AB2

1

2) PMN 은 이등변 삼각형임을 증명AB

2

1NP NPMP

따라서 PMN 은 이등변 삼각형

30° 45°

A

B100m

300m

3 그림은 전망대에서 산의 높이 AB 를 제기 위하여 필요한 부분을 측량한 것이다 . 축도를 그려서 산의 높이를 구하여라 .

25000

1로 축소한 APQ 를 그리면

CA ≒1.6cm BA ≒2.0(cm)

AB ≒ 2.0 25000

= 500(m) 30° 45°

A

C

BQP

1.2cm

CB ≒0.4cm