1
·
Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam
Trường THPT Lê Quý Đôn
BÀI TẬP THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN
GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH
Tổ : Toán - Tin
Trường THPT Lê Quý Đôn
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều
học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì
lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí
ta có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng
hợp. Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và
thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì
kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân
tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của
hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm
giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu
thích và học toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều
tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu .Qua thực tế giảng dạy tôi có
chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy
cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán.
I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC
Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu
a) xác định đường cao
b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy
Để xác định đường cao ta lưu ý
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
·
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với
tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy.
·
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau
thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
·
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao
nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.
·
Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao
nằm trên giao tuyến của hai mp đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý
·
Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong
tam giác vuông.
·
Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định.
Sau đây là các bài tập
Bài1
Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các
cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp
đó.
Bài giải
Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy
Khi đó
A
B
C
S
D
E
AE=
3
2
AD=
3
3
a
Ta có
Ð
SAD=600 nên SE=AE.tan600=a
SABC=
4
3
2
a
Do đó VSABC=
3
1
SE.SABC=
12
3
3
a
BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt
bên SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối
chóp
Bài giải
Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp
đáy
Ta có p=
2
CA
BC
AB
+
+
=9a Nên SABC=
)
)(
)(
(
c
p
b
p
a
p
p
-
-
-
=6a2.
6
mặt khác SABC=pr
Þ
r=
p
S
=
6
3
2
a
trong
D
SDK có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a.
2
Do đó VSABC=
3
1
SD.SABC=8a3.
3
A
B
C
S
D
k
Bài 3
Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy
góc 600, đáy là tam giác cân AB=AC=a và
Ð
BAC=1200 .Tính thể tích khối chóp đó. Bài giải
O
A
C
B
S
O
Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Có SO chính là đường cao
SABC=1/2.AB.AC.sin1200=
4
3
2
a
và BC=2BD=2.ABsin600=a.
3
OA=R=
s
c
b
a
4
.
.
=a
Þ
SO=OA.tan600=a.
3
Do vậy VSABC=
3
1
SO.SABC=1/4a3.
Bài 4
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a,
SB=a
3
và mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN.
Bài giải
B
A
D
C
S
H
M
N
Hạ SH
^
AB tại H thì SH chính là đường cao
SADM=1/2AD.AM=a2
SCDN=1/2.CD.CN=.a2
Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2.
mặt khác
2
2
2
1
1
1
SB
SA
SH
+
=
EMBED Equation.3
Þ
SH=
2
2
2
2
.
SB
SA
SB
SA
+
=
2
3
a
do đó VSBMDN=
3
1
.SH.SBMDN=
3
3
3
a
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D;
AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung
điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài giải
A
B
D
C
S
I
H
J
Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SI
^
mpABCD
IC=
2
2
DC
ID
+
=a
2
IB=
2
2
AB
IA
+
=a
5
và BC=
2
2
JB
CJ
+
=a
5
SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2
SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2
Þ
SIBC=SABCD-SIAB-SDIC=
2
3
2
a
mặt khác SIBC=
2
1
.IH.BC nên IH =
a
BC
S
IBC
5
3
3
2
=
SI=IH.tan600=
a
5
3
.
9
.
Do đó VABCD=
3
1
SI.SABCD=
5
15
3
a3
Bài 6
Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a,
Ð
ASB= 600,
Ð
CSB=900,
Ð
CSA=1200
CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.
Bài giải
Gọi E,D lần lượt là AC,BC
A
C
B
S
E
D
D
SAB đều AB=a,
D
SBC Vuông BC=a.
2
D
SAC có AE=SA.sin600=
EMBED Equation.3
2
3
a
Þ
AC=a
3
và SE=SAcos600=
2
1
a.
Þ
EMBED Equation.3
D
ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy
D
ABC vuông tại B
Có SABC=
2
1
.BA.BC=
2
2
2
a
D
SBE có BE=
2
1
AC=
2
3
a
SB2=BE2+SE2=a2 nên BE
^
SE
AC
^
SE
Do đó SE chính là đường cao
VSABC=
3
1
SE.SABC=
3
12
2
a
Bài 7
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại
A,AC=a,
Ð
ACB=600
Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối
lăng trụ.
Bài giải
AB
C
A1B1
C1
Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a
3
AB
^
AC và AB
^
A1A
Nên AB
^
mp(ACC1A) do đó
Ð
AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.
Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1=
2
2
1
AC
AC
-
=2a
2
Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a
2
.
2
1
.a.a
3
=a3.
6
Bài 8
Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a,
điểm A1 cách đều ba
điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể
tích khối trụ đó.
Bài giải
G
A1
B1
C1
AB
C
H
I
Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=
4
3
2
a
mặt khác A1A= A1B= A1C
Þ
A1ABC là tứ diện đều
gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao
Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=
3
3
a
và
Ð
A1AG=600
A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC=
4
3
.
3
a
Bài 9
Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông
cân với cạnh huyền AB=
2
.Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A=
3
,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể
tích trụ.
Bài giải
Tam giác ABC có cạnh huyền AB=
2
và cân nên CA=CB=1;
SABC=1/2.CA.CA=1/2.
. MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G
^
AB tại G.
A1G chính là đường cao
Từ G hạ GH
^
AC tại H
Gt
Þ
góc A1HG=600
Đặt AH=x(x>0)
Do
D
AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
2
D
HGA1 có A1G=HG.tan600=x.
3
D
A1AG có A1A2=AG2+A1G2
Û
3=2x2+3x2 hay x=
5
15
Do đó A1G=
5
5
3
vậy VLT=A1G.SABC=
10
5
3
A1
B1
C1
A
C
B
G
H
Bài 10
Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB=
3
và AD=
7
. Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc
450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1.
giải
A1
D1C1
A
D
B
C
F
B1
N
H
M
Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD
Từ H hạ HM
^
AD tại M và HN
^
AB tại N
Theo gt
Ð
Þ
A1MH=600 và
Ð
A1NH=450
Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M=
0
60
sin
x
=
3
2
x
tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
Nên HN=AM mà AM=
2
1
2
1
M
A
AA
-
=
3
4
3
2
x
-
Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450
Suy ra x =
3
4
3
2
x
-
hay x=
7
3
vậy VHH=AB.AD.x= 3.
II ) TÍNH GIÁN TIẾP
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về
bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán
tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)
Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba
điểm A1,B1,C1 khác với S thì
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABC
C
B
A
1
1
1
1
1
1
1
=
Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam
giác)
S
A
B
C
E
H
A1
B1
C1
Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC
Þ
AH / / A1E nên
D
SAH và
D
SA1E đồng dạng
1
1
SA
SA
E
A
AH
=
Khi đó VSABC=
3
1
AH.SSBC=
3
1
AH.SB.SC.sinBSC.
VSA
1
B
1
C
1
=
3
1
A1E.SSB
1
C
1
=
3
1
A1E.SB1.SC1.sinBSC.
Do vậy
1
1
1
1
1
1
.
.
sin
.
.
.
.
3
1
sin
.
.
.
.
3
1
1
1
1
SC
SC
SB
SB
E
A
AH
BSC
SC
SB
E
A
BSC
SC
SB
AH
V
V
C
B
SA
SABC
=
=
Nên
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABC
C
B
A
1
1
1
1
1
1
1
=
Bài 1
Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và
Ð
BSA=600,
Ð
ASC=1200,
Ð
CSB=900. Hãy tính thể tích chóp
Bài giải
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định
đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc.
Ta liên tưởng đến bài 6 phần I
Vây ta có lời giải sau
S
C
B
A
C1
B1
Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,
Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,
Ta có
12
2
.
3
1
1
a
V
C
SAB
=
(theo bài 6)
Mà
.
.
.
.
1
1
1
1
C
SAB
SABC
V
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
=
=
2
2
.
3
a
Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều
cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích
khối tứ diện A1B1CA.
giải
A1C1
B1
A
B
C
H
K
Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC
Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a.
3
Mà VLT=A1H.SABC=
4
3
4
3
.
.
3
.
3
2
a
a
a
=
nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp
khối chóp CA1B1C1 có
1
1
1
C
B
CA
V
=
3
1
VLT
khối chóp B1ABC có
ABC
B
V
1
=
3
1
VLT
Khối chóp A1B1CA do đó
AC
B
A
V
1
1
=
3
1
VLT =
4
3
a
Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b.
Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia
khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện
đó
Bài giải
DDF
Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại
J,I,H,K(hv)
Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen
thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì
phần dưới là hình chóp AIJA1
Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”
Theo TA-LET
3
1
1
1
1
1
=
=
IA
IB
AA
HB
Và
3
1
1
1
1
1
=
=
JA
JD
AA
KD
1
1
72
3
.
2
.
2
.
2
1
.
3
1
.
.
.
3
1
1
1
1
KFJD
HIEB
V
abc
c
b
a
I
B
E
B
HB
V
=
=
=
=
8
3
.
2
3
.
2
3
.
2
1
.
3
1
.
.
2
1
.
.
3
1
1
abc
c
b
a
JA
AI
AA
V
JI
AA
J
=
=
=
V1=
JI
AA
J
V
-2.
1
HIEB
V
=
72
25
72
.
2
8
3
abc
abc
abc
=
-
V2= Vhh-V1=
72
47
abc
do vậy
47
25
2
1
=
V
V
III) BÀI TOÁN ÔN TẬP
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học
sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương
pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức
độ tổng hợp
Bài 1
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng
a.
a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.
b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại
E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE.
Giải
a) Cách 1 tính trực tiếp
gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd=
12
3
.
2
.
2
3
.
.
3
1
.
.
3
1
3
2
1
1
a
a
a
S
H
A
BCB
=
=
AC
B
A1
B1
C1
K
H
Tương tự gọi K là trung điểm AB
Cách 2
LT
ABC
A
C
B
CA
V
V
V
.
3
1
1
1
1
1
=
=
Nên
12
3
.
4
3
.
.
.
3
1
.
3
1
3
2
1
1
a
a
a
V
V
LT
B
BCA
=
=
=
b) cách 1 Tính trực tiếp
gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC
Ç
d và F=BC
Ç
d
MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE
Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến
mpA1B1FE
Ta có
12
13
.
12
6
3
,
2
3
2
2
2
2
a
a
a
KG
KQ
QG
a
GK
a
CK
=
+
=
+
=
Þ
=
=
6
3
.
2
3
.
.
.
3
1
.
.
2
1
.
3
2
3
2
2
a
a
a
QK
CK
S
S
CQK
CQG
=
=
=
=
Mặt khác
54
3
.
5
12
13
.
).
2
3
.(
2
1
.
13
13
2
.
3
1
).
,
(
.
3
1
13
13
2
12
13
.
6
3
2
.
2
)
,
(
)
,
(
.
.
2
1
3
.
2
1
1
1
1
a
a
a
a
a
S
QG
C
d
V
a
a
a
QG
S
QG
C
d
QG
C
d
QG
S
B
FEA
B
FEA
C
CQG
CQG
=
+
=
=
Þ
=
=
=
Þ
=
Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích )
G
AC
B
A1
B1
C1
K
E
F
C
2
Q
54
3
.
2
.
2
3
.
2
1
.
3
1
.
3
2
.
3
2
.
2
.
.
2
2
3
2
1
1
1
1
a
a
a
V
CB
CF
CK
CG
V
V
B
CKQB
CGQB
B
CFEA
=
=
=
=
Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a
3
,SA=2a và SA
^
ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt
tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a
Bài giải
Cách 1 tính trực tiếp
Ta có
a
AC
a
a
a
CD
AD
AC
2
4
3
2
2
2
2
2
2
=
Þ
=
+
=
+
=
Nên
^
D
SAC
cân tại A mà AI
^
SC nên I là trung điểm SC
AI=SI=
2
.
2
2
2
2
1
a
a
SC
=
=
SAB
BC
ABCD
SA
SA
BC
AB
BC
^
Þ
^
^
^
)
(
,
Mà
SC
AH
^
cho nên
ABC
5
2
.
1
1
1
2
2
2
2
2
a
AB
SA
BA
SA
AH
AS
AB
AH
=
+
=
Þ
+
=
Trong tam giác vuông HAI có
5
6
5
4
2
2
2
2
2
a
a
a
AH
AI
HI
=
-
=
-
=
Tương tự ta có
A
D
BC
S
I
K
H
AK=
7
14
a
35
3
.
8
)
7
14
.
7
3
2
5
6
.
5
2
(
2
.
6
1
)
.
.
.(
6
1
.
2
1
.
.
3
1
.
.
2
1
.
.
3
1
3
a
a
a
a
a
a
V
KI
AK
HI
AH
SI
KI
AK
SI
HI
AH
SI
V
V
V
SAHIK
SIKA
SIHA
SAHIK
=
+
=
Þ
+
=
+
=
+
=
Cách 2 tính gián tiếp
Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH
^
SB, AK
^
SD
35
3
.
4
3
.
.
2
.
3
1
..
5
4
.
2
1
.
.
2
1
.
.
.
.
3
2
2
2
2
a
a
a
a
a
V
SB
SA
V
SC
SB
SI
SH
V
SABC
SABC
SAHI
=
=
=
=
Tương tự
35
3
.
4
3
a
V
SAIK
=
Do đó VSAHIK=
35
3
.
8
3
a
Bài 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ
dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR
VABCD không đổi
giải
nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai
đường thẳng x và y
đặt (x,y)=
a
và d(x,y)=d
Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)
Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều
cao lăng trụ
VLT= d.SCDE=d.
2
1
CD .CE.sin
a
=
2
1
d.b.a.sin
a
mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm
Tứ diện BCDE có VBCDE=
3
1
.d(B,CDE).SCDE=
3
1
.VLT
Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
Do vậy VABCD=
3
1
.VLT=
6
1
.d.a.b.sin
a
= hằng số
l
E
F
A
C
D
B
Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau”
H
A
G
B
E
C
C
E
A
B
D
D
F
Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị
Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b,
AD=c. Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường
thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K .
Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó
Bài giải
G
O
D
B
S
A
C
K
M
N
Gọi O Là tâm hcn ABCD
Ta có SG=
3
2
.SO và K=A G
Ç
SC và K là trung điểm SC
c
b
a
SB
SM
V
SB
SM
V
SB
SM
V
SC
SK
SA
SA
SB
SM
V
V
SABCD
SBAC
SMAK
SBAC
SMAK
.
.
.
12
1
.
.
4
1
.
.
2
1
.
.
=
=
=
Þ
=
Tương tự
c
b
a
SC
SN
V
SNAK
.
.
.
.
12
1
=
Do đó
c
b
a
SC
SN
SB
SM
V
SAMKN
.
.
).
.(
12
1
+
Trong mpSBD
B
S
D
O
G
H
M
N
)
(
3
1
.
.
.
.
2
.
.
.
2
.
2
2
2
.
SC
SN
SB
SM
SC
SB
SN
SM
SC
SO
SN
SG
SB
SO
SM
SG
S
S
S
S
S
S
S
SC
SN
SB
SM
S
S
SOD
SGN
SBO
SGM
SBO
SGN
SMG
SBD
SMN
+
=
Þ
+
=
+
=
+
=
=
Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên
1
2
1
2
£
£
Û
£
£
SB
SM
SB
SM
SB
Đặt t=
SN
SM
(
1
2
1
£
£
t
) thì
1
3
)
(
3
1
.
-
=
Û
+
=
t
t
SC
SN
SC
SN
t
SC
SN
t
Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=
1
3
-
+
=
+
t
t
t
SC
SN
SB
SM
với
1
2
1
£
£
t
Ta có
2
2
2
)
1
3
(
6
9
)
1
3
(
1
1
)
(
-
-
=
-
-
=
¢
t
t
t
t
t
f
Nên
0
,
3
2
0
)
(
=
=
Û
=
¢
t
t
t
f
(loại)
f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3
do vậy VSAMKN =
8
abc
là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B
VSAMKN =
9
abc
là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường
thẳngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt
phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính thể
tích khối tứ diện CDEF.
Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại
C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600.
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Chứng minh rằng SA
vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3
Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối
chóp S.ABC biết
a) MpSBA vuông góc với mpSCA
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc
mpSAC
Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường
thẳng BB1và mpABC bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC
bằng 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với
trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a
Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng
cách từ tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng
6
a
.hãy tính thể tích khối trụ đó
Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác
cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng
a. Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600. hãy tính thể tích khối
trụ
Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông
tại A,AB=a,BC=2a. Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc
với đáy và hợp với mặt bên một góc
a
. hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh
bên hợp với đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D. N là
trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số
thể tích của hai phần đó
Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M
thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện
MAB1C1,
Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho
CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập
phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà
D. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên
tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy tính thể tích khối chóp.
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh
AB=BC=CD=1/2.AD
Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh
góc vuông là SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp
Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều
cạnh a,mpADC vuông góc mpBCD. Tính VABCD.
Bài 14
Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho
BC=4BM, BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số
thể tích hai phần đó.
Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên
(A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a
7
,AC=2a. tính VLT.
Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc
các đoạn A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối
lập phương làm hai phần. tính thể tích từng phần.
Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P
thuộc BD sao cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ
diện cắt bởi
a) mp
a
qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC
b) mp
b
qua MP và song song với AI
c) mp
g
qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC
Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD=
3
, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x
và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min.
Baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và
tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy
điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho
mpBDM vuông góc với mpBDN
a) Tính AM.CN theo a.
b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt
min.
Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a
làm đoạn vuông góc chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên
Am,Bn sao cho MN=AM+BN.
a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó
b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMR
NH
MH
V
V
HOBN
HOAM
=
.
....HẾT...
H
K
A
D
B
C
B1
C1
D1
A1
I
E
F
J
_1332539471.unknown
_1332622248.unknown
_1332685911.unknown
_1332769766.unknown
_1332783306.unknown
_1332785185.unknown
_1332785943.unknown
_1332793021.unknown
_1332956507.unknown
_1336434547.unknown
_1336434587.unknown
_1336434617.unknown
_1336434650.unknown
_1336434566.unknown
_1332956576.unknown
_1336434356.unknown
_1332956544.unknown
_1332793311.unknown
_1332793592.unknown
_1332795273.unknown
_1332793284.unknown
_1332788864.unknown
_1332791930.unknown
_1332787042.unknown
_1332785591.unknown
_1332785812.unknown
_1332785285.unknown
_1332784642.unknown
_1332784752.unknown
_1332785028.unknown
_1332784681.unknown
_1332783836.unknown
_1332784482.unknown
_1332783378.unknown
_1332772904.unknown
_1332773592.unknown
_1332782357.unknown
_1332782904.unknown
_1332773612.unknown
_1332771295.unknown
_1332770906.unknown
_1332771184.unknown
_1332769788.unknown
_1332763022.unknown
_1332767422.unknown
_1332768034.unknown
_1332769270.unknown
_1332769406.unknown
_1332768092.unknown
_1332768724.unknown
_1332767915.unknown
_1332767964.unknown
_1332767600.unknown
_1332765253.unknown
_1332766818.unknown
_1332767312.unknown
_1332765301.unknown
_1332764523.unknown
_1332764541.unknown
_1332764155.unknown
_1332698335.unknown
_1332702683.unknown
_1332703707.unknown
_1332762764.unknown
_1332703635.unknown
_1332702089.unknown
_1332702433.unknown
_1332698379.unknown
_1332697594.unknown
_1332698144.unknown
_1332698189.unknown
_1332698051.unknown
_1332696727.unknown
_1332696944.unknown
_1332696562.unknown
_1332678594.unknown
_1332680912.unknown
_1332684722.unknown
_1332685416.unknown
_1332685811.unknown
_1332685255.unknown
_1332685354.unknown
_1332684796.unknown
_1332683047.unknown
_1332683122.unknown
_1332682665.unknown
_1332679889.unknown
_1332680681.unknown
_1332680889.unknown
_1332680233.unknown
_1332679833.unknown
_1332679866.unknown
_1332679342.unknown
_1332624532.unknown
_1332625196.unknown
_1332625590.unknown
_1332678386.unknown
_1332678234.unknown
_1332625336.unknown
_1332624897.unknown
_1332624945.unknown
_1332624671.unknown
_1332622744.unknown
_1332624207.unknown
_1332624273.unknown
_1332622771.unknown
_1332622497.unknown
_1332622584.unknown
_1332622341.unknown
_1332575488.unknown
_1332577563.unknown
_1332617238.unknown
_1332620122.unknown
_1332621914.unknown
_1332622105.unknown
_1332621296.unknown
_1332621525.unknown
_1332621805.unknown
_1332620250.unknown
_1332618688.unknown
_1332618970.unknown
_1332619239.unknown
_1332618935.unknown
_1332617479.unknown
_1332618441.unknown
_1332617401.unknown
_1332578310.unknown
_1332616635.unknown
_1332616860.unknown
_1332617140.unknown
_1332578594.unknown
_1332588387.unknown
_1332616514.unknown
_1332578468.unknown
_1332577969.unknown
_1332578284.unknown
_1332577585.unknown
_1332576331.unknown
_1332577410.unknown
_1332577525.unknown
_1332577423.unknown
_1332577260.unknown
_1332577281.unknown
_1332577179.unknown
_1332576349.unknown
_1332575903.unknown
_1332576091.unknown
_1332575789.unknown
_1332575847.unknown
_1332575649.unknown
_1332540956.unknown
_1332541376.unknown
_1332541828.unknown
_1332575399.unknown
_1332541731.unknown
_1332541786.unknown
_1332541282.unknown
_1332539650.unknown
_1332539779.unknown
_1332539589.unknown
_1332534078.unknown
_1332535146.unknown
_1332537170.unknown
_1332538726.unknown
_1332539370.unknown
_1332537662.unknown
_1332536905.unknown
_1332537105.unknown
_1332536778.unknown
_1332534518.unknown
_1332534750.unknown
_1332534842.unknown
_1332534581.unknown
_1332534215.unknown
_1332534396.unknown
_1332534185.unknown
_1332532475.unknown
_1332532936.unknown
_1332533712.unknown
_1332533820.unknown
_1332533005.unknown
_1332532645.unknown
_1332532837.unknown
_1332532507.unknown
_1332512227.unknown
_1332513097.unknown
_1332513259.unknown
_1332512241.unknown
_1332512174.unknown
_1332512215.unknown
_1332512126.unknown
_1332445295.unknown
