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hilbert-ramsburg
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Vier/Fünf-Farben-Vier/Fünf-Farben-SatzSatz
1. Geschichte des Vier-Farben-1. Geschichte des Vier-Farben-SatzesSatzes
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis3. Fünf-Farben-Satz3. Fünf-Farben-Satz
3.1 Graphendefinition3.1 Graphendefinition3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung3.3 Beweis3.3 Beweis
Gliederung:
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes
1842 erste Vermutung durch Francis Guthrie
1879 erster „Beweis“ durch Alfred Kempe, 11 Jahre später wurde dieser wiederlegt
1890 fehlerfreier Beweis für den Fünf-Farben-Satz durch Percy Heawood
Die erste „Beweise“ lieferten die Grundlage für den späteren Endbeweis.
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes
1977 erster fehlerfreie Beweis durch Ken Appel und Wolfgang Haken (Computerbeweis!)
Erstes großes mathematisches Problem, welches mit Hilfe eines Computers gelöst wurde.
Von einigen Mathematikern nicht anerkannt!
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes
„Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht, dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!“
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
Vermutung: Eine bestimmte Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen
5.Peano-Axiom (Induktionsaxiom):
„Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
Induktionsanfang: Überprüfen der Gültigkeit für n=0 (n=1)
Induktionsannahme: Aussage gilt für n=k
Induktionsschritt: folgt aus der Annahme, dass die Aussage ebenfalls für n=k+1 gilt, dann gilt sie für alle Nn
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
Beispiel: Gaußsche Summenformel
Behauptung:
n
i
nni
1 2
)1(
8
1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
n
i
nni
1 2
)1(
Induktionsanfang:
Gilt die Gaußsche Summenformel für n=1?
Induktionsannahme:
Gaußsche Summenformel gilt für n=k
2
)11(11
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
Induktionsschritt: Folgt aus der Induktionsannahme das die Summenformel auch für n=k+1 gilt?
)1(1
1
1
kiik
i
k
i
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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
)1(2
)1(1
1
kkk
ik
i
Aus der Induktionsannahme folgt:
2
2*)1(
12
*)1(
kk
kk
11
1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis
... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“
2
)1)1((*)1(2
)2(*)1(
kk
kk
12
1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.1 Graphendefinition3.1 Graphendefinition
Paar der endlichen Mengen E und V V: Menge der im Graph enthaltenen KnotenE: Menge der Kanten des Graphen
Es gilt: und ØEVØVVE :
Planarer Graph: Graph, der sich in der Ebene darstellen lässt, ohne dass sich die Kanten schneiden
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung
Umformulierung des Problems: - Karte wird als Graph betrachtet. - Ecken sind Länder, - Kanten sind zwischen den Ecken zweier
benachbarter Länder
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung
fk 32
Eulersche Polyederformel:
kf3
2
33
22
kekkekfe
ke 36
63 ek
2 kfe
ebener Graph mit e Ecken hat höchstens 3e-6 Kanten
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung
e
kd
2
Durchschnittsgrad: durchschnittliche Anzahl der Kanten an einer Ecke
663
22
e
e
e
kd
d<6 mindestens eine Ecke mit 5 oder weniger Kanten
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis3.3 Beweis
G sei ein ebener Graph mit e > 5 Nachbarecken
G enthält v mit Ecken
Es sei G’ = G ohne v und ohne die an v angrenzenden Kanten
G’ ebener Graph mit e-1 Ecken (nach Induktionsvoraussetzung fünffärbbar)
G’ sei fünfgefärbt
5e
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis3.3 Beweis
Fall1: an v angrenzende Kanten v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt
Fall 2: an v angrenzende Kanten =5 Fall 2a: an v angrenzende Ecken in weniger als 5 verschiedenen Farben
gefärbt. v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt
Fall 2b: an v angrenzende Ecken in 5 verschiedenen Farben gefärbt
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis3.3 Beweis
Fall 2b
Umfärben:Wir betrachten: r und b Versuch r blau zu färben um v rot zu färbenblaue an r grenzende Ecken werden rot gefärbt. Rote an diese Ecken werden blau gefärbt usw.
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1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis3.3 Beweis
Rot-Blau-Weg:wenn b mit r über den rot-blau-weg verbunden ist, ist das Umfärben hoffnungslos
Orange-Grün-Weg vorhanden?? fünffärbbar
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Vielen Dank für Ihre/Eure Aufmerksamkeit!
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Quellen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ebener_Graphhttp://de.wikipedia.org/wiki/Graph_%28Graphentheorie%29http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=568http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Peano-Axiomehttp://de.wikipedia.org/wiki/Induktionsbeweis#Die_Idee