1 Tiesines Algebros Pagrindai

A.Laurutis, D.iauinas Tiesins algebros pagrindai 1

I. TIESINS ALGEBROS PAGRINDAI

1. ANTROS IR TREIOS EILS DETERMINANTAI, J SAVYBS

Mes norime apskaiiuoti dviej tiesi 111 cybxa =+ ir 222 cybxa =+ susikirtimo tak ( )yxP , , t.y. gauti x ir y reikmes, tenkinanias abi lygtis. Reikia isprsti lygi sistem

=+=+

. ,

222

111

cybxacybxa

(1)

Sistemos (1) pirmj ir antrj lygtis padauginame i koeficient 12 ir bb , atitinkamai

=+=+

.,

121212

212121

bcybbxbabcybbxba

I ios sistemos pirmosios lygties atimame antrj, tada isprendiame x ( ) 12211221 bcbcbabax = ,

1221

1221

bababcbcx

= . (2) Dabar sistemos (1) pirmj ir antrj lygtis padauginame atitinkamai i koeficient 12 ir aa , o

tada i antrosios lygties atimame pirmj lygt. ( ) 21121221 acacbabay = .

I io reikinio isprendiame 1221

2112

babaacacy

= . (3)

Taigi, susikirtimo tako ( )yxP , koordinates apskaiiuojame pagal (2) ir (3) formules. Norime ias formules sutvarkyti patogesn naudojimui pavidal. Lygtyje (1) pakeiskime

koeficient pavadinimus. Tegul dabar i lygtis yra

=+=+

,,

22221

11211

cyaxacyaxa

(1a)

tada jos sprendin gauname

21122211

222221

aaaaacacx

= , 21122211

211112

aaaaacacy

= . (2a, 3a) Kaip matome, susikirtimo tako ( )yxP , koordinats x ir y yra trupmeniniai reikiniai, kuri

vardikliai vienodi abiejose trupmenose. Vardiklio narius suraykime kvadratin lentel

2221

1211

aaaa

(4)


ir sudarykime ios lentels element sandaugas pagal striaines, t.y. 2211 aa ir 2112 aa , pirmajai sandaugai imdami +, antrajai enkl, t.y. 21122211 aaaa . Matome, kad is reikinys yra tas pats anksiau gautas vardiklis ir j patenka keturi sistemos (1a) elementai 22211211 ir ,, aaaa , esantys prie neinomj. Reikinys (4), apgaubtas tiesiais skliaustais, vadinamas antrosios eils determinantu ir jis yra

211222112221

1211 aaaaaaaa == .

Trupmen (2, 2a, 3 ir 3a) skaitiklius taip pat galime pertvarkyti determinantus. Tada i

dviej tiesini lygi sistemos sprendinys yra

,

2221

1211

222

121

== x

aaaaacac

x ,

2221

1211

221

111

== y

aaaacaca

y (5, 6)

ia paymjome xacac =

222

121

ycaca =

221

111

=2221

1211

aaaa

.

Pastaba: Skaitikli determinantai y , x yra sudaryti i vardiklio determinanto, pirmojo ir antrojo stulpeli elementus, atitinkamai, pakeiiant laisvj nari stulpeliu.

Pavyzdys. Isprskime lygi sistem

==+

.932,453

yxyx

> 31957

1094512

32533-954

==

=

=x , 119

19109827

3253

9243

===

=y . <

Dabar jau galime imtis sunkesnio udavinio, isprsti trij tiesini lygi su trimis

neinomaisiais sistem

=++=++=++

.,,

3333231

2232221

1131211

czayaxaczayaxaczayaxa

(7)

Panaudokime jau isiaikint dviej lygi sistemos sprendimo metod. Tam paimkime

sistemos (7) dvi pirmsias lygtis ir jas pertvarkykime

=+=+

.,

2122322

1111312

xaczayaxaczaya

Pritaikome (5) ir (6) formules ir randame du neinomuosius z ir y


2322

1312

23212

13111

aaaa

axacaxac

y

= , 2322

1312

21222

11112

aaaa

xacaxaca

z

= .

Gautsias zy ir reikmes raome treij lygi sistemos (7) lygt

3

2322

1312

21222

11112

33

2322

1312

23212

13111

3231

c

aaaa

xacaxaca

a

aaaa

axacaxac

axa =

+

+ . (8)

Reikin (8)padauginame i vardiklio determinanto 2322

1312

aaaa

, tada gauname

2322

13123

21222

1111233

23212

1311132

2322

131231

aaaa

cxacaxaca

aaxacaxac

aaaaa

xa =+

+ . Apskaiiuokime antrosios eils determinantus, esanius ioje lygtyje, o pai lygt

sutvarkykime ir isprskime x atvilgiu ( ) ( ) ( ) ( )

,32213323121113322212331221232131113223312213312312

caacaaxacaaxacaaxacaaxacaaxaaaxaaa

==++

( ),133222331223213132233221332312

332211332112322113322311312213312312

caacaacaacaacaacaaaaaaaaaaaaaaaaaaaax

++==++

.332211332112322113322311312213312312

133222331223213132233221332312

aaaaaaaaaaaaaaaaaacaacaacaacaacaacaax ++

++= (9) Panaiai galime apskaiiuoti ir y bei z reikmes.

.332211332112322113322311312213312312

131232311323311133213231132113

aaaaaaaaaaaaaaaaaacaacaacaacaacaacaay ++

++= (10)

.332211332112322113322311312213312312

132212321123112131223211232211

aaaaaaaaaaaaaaaaaacaacaacaacaacaacaaz ++

++= (11) Vis i sudting reikini (9,10,11) vardikliai yra vienodi, o jam, kaip ir anksiau sprstame

udavinyje, sudarykime determinant, tik iuo atveju treiosios eils

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= .

Vliau isiaikinsime, kaip j turtume apskaiiuoti, juk io determinanto reikm turi atitikti jo iskleist pavidal, esant reikiniuose (9,10,11). Tas pats galioja ir skaitikli reikiniams, kuriuos taip pat uraysime treiosios eils determinantais, gaunamais i vardiklio determinanto, kai atitinkamo stulpelio elementus pakeisime laisvj nari stulpeliu.


33323

23222

13121

aacaacaac

x = , 33331

23221

13111

acaacaaca

y = ir 33231

22221

11211

caacaacaa

z = .

Tada galsime urayti ,= xx ,

= yy = zz .

Ivada.

Tiesines dviej ir trij neinomj lygi sistemas galima sprsti antrosios ir treiosios eils determinant pagalba, atitinkamai. Abiem atvejais bet kuris neinomasis yra lygus trupmenai, kurios vardiklyje yra ios lygi sistemos determinantas, o skaitikl sudaro determinantas, gautas i vardiklio determinanto, pakeitus jame iekomojo neinomojo koeficientus atitinkamais laisvaisiais nariais.

dsn nustat veicarijos matematikas Gabrielis Krameris (1704-1752). Mes turime isiaikinti, kaip reikia apskaiiuoti treiosios eils determinant

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= ,

kuris turi 9 elementus, idstytus trijose eilutse ir trijuose stulpeliuose.

Jau inome iskleist io determinanto pavidal. Jis i viso turi 6 dmenis po 3 daugiklius kiekviename. Trys io reikinio dmenys yra teigiami ir trys neigiami. Tikrai,

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

++= .

Sudarykime toki determinanto apskaiiavimo taisykl:

Prie determinanto (1pav.) priraome dar dvi eilutes (pirmj ir antrj) arba (2 pav.) dar du stulpelius (pirmj ir antrj) ir gautajai lentelei sudarome po tris sandaugas pagrindins ir alutins striaini kryptimis, nekeisdami sandaugos enklo pirmosioms ir pakeisdami prieing enkl antrosioms, atitinkamai.

sitikinkite, kad i taisykl pritaik gausime

teisingas (9,10 ir 11) formules.

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaa

+

+ +

1 pav.

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaaaaaaaaaaaa

+ + +

2 pav.


Pavyzdys. Apskaiiuokime determinant 142350412

= .

> ( ) ( ) ( ) ( ) =++=

= 011243224312440152

350412142350412

3224406010 =+++= . < Naudojamas ir kitas treiosios eils determinant apskaiiavimo metodas, vadinamas

trikampi metodu. Jo esm suprasime i brinio (3 pav.). iame brinyje po tris tarpusavyje sujungti skrituliai reikia elementus, kuriuos reikia sudauginti. Taip gautoms trejoms pirmosioms sandaugoms reikia palikti nepakeist enkl, o trejoms antrosioms sandaugoms btina pakeisti enkl prieing.

I 3 pav.

+ _

II

Pavyzdys: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .1212604815211562430012426531

514232061

=+=

++=

=

DETERMINANT SAVYBS

1. Determinantas nepasikeiia, pakeitus eilutes stulpeliais, o stulpelius eilutmis.

a)2212

2111

2221

1211

aaaa

aaaa = , b)

332313

322212

312111

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

= .

(Galime apskaiiuoti ir i savyb patikrinti).

2. Determinantas pakeiia enkl, jei sukeisime vietomis dvi gretimas eilutes arba du gretimus

stulpelius.

a)2122

1112

2221

1211

aaaa

aaaa = , b)

323331

222321

121311

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

= .

(Galime patikrinti taip pat).


3. Determinantas yra lygus 0, jei du jo stulpeliai arba dvi eiluts turi tuos paius elementus.

a) 01211

1211 =aaaa

, b) 0

232221

232221

131211

=aaaaaaaaa

(i savyb seka i pirmj dviej).

4. Jei determinanto kurios nors eiluts arba kurio nors stulpelio visi elementai turi t pat

daugikl, tai j galima ikelti prie determinanto enkl

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

mamaaamaaamaa

=

Ivada: Jei determinanto kurios nors eiluts ar kurio nors stulpelio visi elementai yra nuliai,

tai toks determinantas lygus nuliui. 5. Determinantas nepasikeiia, jei prie jo kurios nors eiluts (arba stulpelio) pridsime arba

atimsime kitos eiluts (arba stulpelio) atitinkamus elementus, padaugintus i pastovaus daugiklio.

> Imkime determinant 333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= .

Prie jo pirmosios eiluts pridkime antrj (galime pasirinkti ir kitas eilutes arba stulpelius),

padaugint i tam tikro koeficiento m. Gauname nauj determinant, kur apskaiiuojame.

=+++

=333231

232221

231322122111

1

aaaaaa

amaamaama

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=+++++=

=++++++++=

322321322311332122332112

223123223113322123322113312322312312332221332211

3223211133212212

31222313322123133123221233222111

aaamaaaaaamaaaaaamaaaaaamaaaaaamaaaaaamaaa

aaamaaaamaaaamaaaamaaaamaaaama

< .0333231

232221

232221

333231

232221

131211

=+=+= maaaaaaaaa

maaaaaaaaa

Pastaba: Determinantus apskaiiuosime paprasiau, jei tinkamai naudosime visas ias

savybes.

2. AUKTESNS EILS DETERMINANTO SVOKA


Imkime treiosios eils determinant ir ibraukime vien eilut ir vien stulpel, kuri

susikirtime yra laisvai pasirinktas elementas aij, ia i = 1; 2; 3 yra eiluts eils numeris, j = 1; 2; 3 stulpelio numeris. Gauname antrosios eils determinant, kur vadinsime duotojo determinanto elemento aij minoru. minor ymsime Mij.

Pavyzdys: Determinanto

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= minorai yra

kt. ir , ,3331

232112

2221

121133

3231

121123 aa

aaM

aaaa

Maaaa

M === Tegul turime treiosios eils determinant

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

++== . (1)

Pabandykime determinant ireikti emesns (antrosios) eils determinantais, tam formuls

(1) deiniosios puss dmenis sugrupuokime kokios nors eiluts (arba stulpelio), pavyzdiui, pirmosios eiluts element atvilgiu

( ) ( ) ( ) .131312121111

3231

222113

3331

232112

3332

232211

312232211331233321123223332211

MaMaMaaaaa

aaaaa

aaaaa

a

aaaaaaaaaaaaaaa

+=+==+=

(2)

Matome, kad treiosios eils determinat galime apskaiiuoti, naudojant antrosios eils

determinatus minorus, skleidiant j pagal pasirinkt eilut ar stulpel. Tam pasirinktos eiluts (arba stulpelio) elementus reikia dauginti i atitinkam minor, parenkant tinkam enkl kiekvienai sandaugai. enkl patogiausia nustatyti pagal minoro indeks sum. Jei indeks suma yra lygin, tai enklas teigiamas, jei nelygin neigiamas.

Galime urayti bendriausi formuls (2) pavidal

==

+

==+ ==

3

1

3

1)1()1(

constji

ijijji

constij

ijijji MaMa (3)

Pavyzdys: Apskaiiuoti duotj determinant, skleidiant j minorais

> 185221293424

351

7425

)3(72

232

724235132

==+=

= .

Pasinaudojame determinant ketvirtja savybe ir udavin isprendiame kitaip, tam duotojo

determinanto pirmj eilut padauginame i 2 ir sudedame su antrja, po to padauginame i +7 ir sudedame su treija. Gauname determinant, lyg duotajam


18516223231891

102318091132

724235132

===

=

= < .

Inagrinjome II ir III eils determinantus. Panaiai gali bti sudaryti IV, V ir t.t. n-tos eils

determinantai. Tegul turime kvadratin lentel, sudaryt i n eilui ir n stulpeli

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

KKKKKKKK

321

321

22232221

11131211

(4)

ia elementas aij yra i-tosios eiluts ir j-tojo stulpelio susikirtime.

i i n2 element sudaryta lentel vadinama n-tosios eils determinantu. Jam tinka visos anksiau aptartos II ir III eils determinant savybs. is n-tosios eils determinantas apskaiiuojamas, skleidiant j minorais pagal pasirinkt eilut (arba stulpel), t.y., naudojant formul, analogik (3):

( ) ( )==

+

==+ ==

n

constij

ijijji

n

constji

ijijji MaMa

1111 . (5)

Adjunktu pavadinkime reikin ( ) ijjiij MA += 1 , tada formul (5) galsime urayti taip:

====

==n

constij

ijij

n

constji

ijij AaAa11

. (6)

Pavyzdys: Apskaiiuokime determinant

> =

=4135024341122301

( skleidiame pagal 3 eilut)=

( ) ( ) ( ) ( ) ,01214131 3443333332233113 MMMM +++= ++++ ia

16413411230

31 =

=M , 30415412231

32 =

=M , 6435412201

33 =

=M .

Todl ( ) 60623041163 =++= . < determinant galime apskaiiuoti ir pasinaudodami ketvirtja determinant savybe. Tam i

ketvirtosios eiluts atimkime antrj ir prie antrosios pridkime pirmj, padaugint i 2. Tada isprendiame daug greiiau:


( ) ( ) ( ) 60302223243510

221

0223024305102301

1441 ====

= + M .

3. MATRICOS IR J VEIKSMAI Pirmieji matricas panaudojo angl matematikai V.Hamiltonas (1805-1865) ir A.Keli (1821-

1895). iuolaikinje taikomojoje matematikoje matricos taikomos labai plaiai, nes jos ymiai supaprastina sudting lygi sistem apraym.

I apibrimas. Matrica vadiname staiakamp lentel, sudaryt i skaii ar kit objekt, turini vienoki

ar kitoki fizikin prasm. Mes nagrinsime tik sveikj skaii matricas, t.y. matricas, sudarytas i tikrj skaii.

Toki matric pavyzdiais gali bti:

( ) ir t.t. 7 arba 032-

1

arba

2112023-012

arba 01

65,13

Apvalieji skliaustai lenteli onuose matricos enklas. Kaip ir determinantai, matricos turi

elementus, stulpelius, eilutes. Matrica nuo determinanto skiriasi viena pagrindine savybe: determinantas visada gali bti prilyginamas konkreiam skaiiui (t.y. gali bti apskaiiuojamas), tuo tarpu matrica niekada neprilyginama kokiam nors paprastam objektui (pvz. skaiiui).

Matricos ymimos didiosiomis raidmis A, B ir pan., taiau visada tie ymjimai (A, B ir pan.) suprantami kaip lentel. Bendruoju atveju

=

mnmm

n

n

aaaaaaaaa

AKKK

21

22221

11211

(1)

yra matrica, turinti m eilui ir n stulpeli.

Taigi, matricos elementams tenka suteikti du indeksus, kuri pirmasis reikia eiluts numer, o antrasis stulpelio. Kartais matricos ymimos taip: ( )

mnijaA = , o tai reikia, kad elementai a yra

idstyti m eilui ir n stulpeli, t.y. kiekvienas i keiiasi nuo 1 iki m ir j kinta nuo 1 iki n. Kiekviena matrica turi apibrtus matmenis, t.y. apibrt eilui ir stulpeli skaii. II apibrimas. Matrica, kurios eilui skaiius yra lygus stulpeli skaiiui, vadinama kvadratine matrica, o

jos element skaiius eilutje nusako matricos eil. Aukiau duotame pavyzdyje II matrica yra treiosios eils, IV pirmosios eils. Pirmosios

eils matrica, kaip matome, yra tik skaiius. Atskiru atveju gali egzistuoti matricos eiluts ir matricos stulpeliai (pavyzdiui, III matrica).


III apibrimas. Matrica, kurios visi elementai yra nuliai, vadinama nuline matrica. Ji ymima O . IV apibrimas. Diagonaline vadinama kvadratin matrica, kurios visi elementai, iskyrus elementus, esanius

pagrindinje striainje, yra nuliai,. Jei ioje striainje yra elementai a, b, c, ... , k, tada diagonalin matric ymime diag(a, b, c, ... , k).

V apibrimas. Diagonalin matrica, kurios visi pagrindins striains elementai yra vienetai, vadinama

vienetine ir ymima E.

=

100000100001

KKK

E (2)

Kartais matricos transponuojamos, tada pirmins matricos eiluts elementai perkeliami

transponuotos matricos atitinkamo stulpelio viet. Pavyzdiai:

1.

=

132072

A ,

= 127302TA .

2. ( )201 =A ,

=

201

TA .

Bendruoju atveju galime urayti ji

Tij aa =

VI apibrimas: Kvadratin matrica, kuri sutampa su savo transponuota matrica, vadinama simetrine.

Simetrinei matricai galioja slyga jiij aa = . Kvadratinei matricai A gali bti apskaiiuojamas determinantas, kur ymsime det A.

Pavyzdiai: 1. 33201

3201

det ==

.

2. 1cossinsincos

cossinsincos

det ==

xx

xxxxxx

.

Staiakamps matricos determinanto neturi. Galima pastebti, kad 1det =E , o

AAT detdet = .

VEIKSMAI SU MATRICOMIS 1. Vienod matmen matricas galima sudti:


++++++=

+

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

babababababa

bbbbbb

aaaaaa

(3)

2. Matric galima padauginti i skaiiaus:

=

232221

131211

232221

131211

akakakakakak

aaaaaa

k (4)

3. Akivaizdiomis tenka laikyti ias lygybes (jos pagrindiamos pirmosiomis dvejomis)

AAA == 11 , OOOOAA ==== ,00 ,

( ) ( ) ( ) ( ) AAAA === , ( ) ( ) CBACBA ++=++ asociatyvumo savyb,

ABBA +=+ komutatyvumo savyb, ( )( )

+=++=+

BABAAAA

distributyvumo savyb skaitmeninio daugiklio atvilgiu.

4. Matric daugyba yra ymiai sudtingesn. Tegul turime dvi matricas A ir B, kuri

matmenys yra suderinti daugybai pirmosios matricos stulpeli skaiius yra lygus antrosios matricos eilui skaiiui, t.y. pirmosios matricos plotis lygus antrosios aukiui. Kitaip daugyba negalima.

Galioja itokia daugybos taisykl:

++++++=

232213212222122121221121

231213112212121121121111

232221

131211

2221

1211

babababababababababababa

bbbbbb

aaaa

(5)

siirkime i sandaug. Matome, kad sandaugos matricos element, esant itoje eilutje

ir jtame stulpelyje apskaiiuojame, jei pirmosios matricos itosios eiluts elementus padauginame i atitinkam antrosios matricos jtojo stulpelio element ir gautsias sandaugas sudedame.

Pavyzdys: Sudauginkime matricas

=

=

1121

ir 2321

BA .

>

=

++++=

=

8543

26232221

1121

2321

BA ,

=

++++=

=

4467

22314261

2321

1121

AB .<

Matome, kad BAAB , t.y. sandaugos rezultatas (sandaugos matrica) priklauso nuo

daugikli vietos. 5. Matric sandaugos savybs. Pirmj jau aptarme BAAB , kartais netgi BA visai negalima, nors AB ir turi prasm. Abi

sandaugos AB ir BA galimos tik kvadratinms matricoms. Be to, galioja ir ios savybs ( ) ( ) ( )ABkkBABkA == , ( ) BCACCBA +=+ , ( ) CBCABAC +=+ ,


( ) ( )CABBCA = , BABAAB detdetdetdet == .

ios formuls, suprantama, galioja, kai matric matmenys leidia atlikti nurodytus veiksmus.

4. ATVIRKTIN MATRICA Paimkime bet kuri treiosios eils matric ir padauginkime j i t pai matmen vienetins

matricos ir atvirkiai, vienetin matric ir padauginkime i t pai matmen ios treiosios eils matricos. Gauname t pai treiosios eils matric.

=

=

213132321

213132321

100010001

100010001

213132321

, taigi AEA =

Akivaizdu, kad i taisykl galioja bet kurioms kvadratinms matricoms. Galime padaryti

ivad, kad vienetin matrica matric daugyboje turi t pai prasm, koki skaii daugyboje turi skaiius 1. I skaii daugybos analogijos galime apibdinti ir atvirktins matricos svok.

I apibrimas Kvadratins matricos A atvirktine matrica A-1 vadinsime toki matric, kuri patenkina slyg

EAAAA == 11 .

Kadangi determinantams galioja lygyb BAAB detdetdet = , tai galime rodyti, kad

1detdetdetdet 11 === EAAAA , (1)

o i ia AA

det1det 1 = . (2)

Jei norime, kad kvadratin matrica A turt atvirktin matric 1A , turime pareikalauti, kad

0det A , juk Adet yra formuls (2) vardiklyje. Prieingu atveju negali egzistuoti 1det A ir atvirktin matrica 1A .

Kvadratin matrica, kurios 0det =A , vadinama isigimusia, taigi, kiekviena neisigimusi matrica turi atvirktin matric, tuo tarpu isigimusi matrica atvirktins neturi.

Natralu, kad kyla klausimas, kaip i neisigimusios matricos A rasti atvirktin 1A . Tegul turime kintamuosius 21 ir yy , kurie yra tiesins kintamj 21 ir xx funkcijos.

+=+=

.,

2221212

2121111

xaxayxaxay

(3)

Tokio tipo priklausomyb (3) vadinama tiesine kintamj 21 ir xx transformacija

kintamuosius 21 ir yy . i kintamj transformacija vyksta ploktumoje. Sudarykime matric, atitinkani duotj tiesin transformacij

=

2221

1211

aaaa

A ir pareikalaukime, kad 0det2221

1211 ==aaaa

A

Nordami rasti atvirktin transformacij, pasinaudokime Kramerio tiesini lygi sprendimo

metodu. Apskaiiuojame ir gauname


==222

121

2221

1211

222

121

1

ayay

aaaaayay

x ir ==221

111

2221

1211

221

111

2

yaya

aaaayaya

x , ia Adet= .

Tada

+==

.yayax

,yayax

211

121

2

212

122

1

Matome, kad atvirktin transformacija taip pat yra tiesin, o i transformacij atitinkanti

matrica yra

=

=

=2212

2111

1121

1222

1121

122211

AAAA

aaaa

aa

aa

B , (4)

ia ijA , 2,1j ;2,1 ==i yra element ija adjunktai. Apskaiiuokime matric BA ir sandaug

=

=

++

=

= 1001

00111

2211211222212221

1211121121122211

1121

1222

2221

1211

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaa

AB

Matome, kad i matric sandauga yra vienetin matrica, o tai reikia, kad 1= AB . Gaut rezultat patikrinkime ir erdvinei transformacijai.

++=++=++=

.,,

3332321313

3232221212

3132121111

xaxaxayxaxaxayxaxaxay

(5)

Isprend gauname

=33323

23222

13121

1

aayaayaay

x , =33331

23221

13111

2

ayaayaaya

x , =33231

22221

11211

3

yaayaayaa

x , ia

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= ,

O tada

++=++=++=

,

,

,

333

223

113

3

332

222

112

2

331

221

111

1

yAyAyAx

yAyAyAx

yAyAyAx


ia ijA , 3,1j ;3,1 ==i yra element ija adjunktai.

Dabar jau galime urayti matricos

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A atvirktin matric

=

332313

322212

3121111 1

AAAAAAAAA

A . (6)

Pastabos: 1. Atvirktins matricos 1A elementai yra matricos A element adjunktai. 2. Atvirktins matricos 1A eiluts element indeksai sutampa su matricos A stulpelio

element indeksais.

5. TIESINI LYGI SISTEMOS URAYMAS MATRICOMIS IR

SPRENDIMAS ATVIRKTINS MATRICOS METODU Sakykime, kad mums reikia isprsti tiesini lygi sistem

=++=++=++

.,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

(1)

Panaudokime matric lygyb ir i sistem uraykime viena matric lygtimi

=

++++++

3

2

1

333232131

323222121

313212111

bbb

xaxaxaxaxaxaxaxaxa

. (2)

Reikinio (2) kairiajai matricai pritaikome matric daugyb, tada gauname

=

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

xxx

aaaaaaaaa

(3)

Paymkime matricas

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A ,

=

3

2

1

xxx

X ,

=

3

2

1

bbb

B ,

tada duotj lygi sistem uraysime tokia kompaktika matric lygtimi:

BAX = (4) Bendruoju atveju turime n tiesini lygi sistem su n neinomj


=++++=++++=++++=++++

,,,,

332211

33333232131

22323222121

11313212111

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

KKKK

(5)

kuri uraome lygiai ta paia (4) matric lygtimi BAX = , tik ia

=

nnnnn

n

n

aaaaaaaaaaaa

AKKK

321

2232221

1131211

,

=

nxxx

X 21

,

=

nbbb

B 21

.

Kramerio taisykl: Jeigu matricos A determinantas nelygus nuliui, t.y. 0det A , dl ko i matrica A turi

atvirktin matric, tai sistema (5) turi vienintel sprendin BAX 1= . rodykime i taisykl. Reikinio (4) kairij ir deinij puses padauginame i 1A , tada

BAAXA 11 = . Kadangi XEXAXA ==1 , tai BAX 1= (6) Pavyzdiai. 1. Atvirktins matricos metodu isprskime matric lygt BAX = , kurioje

=

012111134

A ,

=

zyx

X ,

=

521

B .

> Pasinaudojame io ir ankstesnio skyri formulmis (6), t.y.

=

332313

322212

3121111 1

AAAAAAAAA

A ir BAX 1= .

Apskaiiuojame ,09042610012111134

det =++++=

== A

10111

11 ==A , 20211

12 ==A , 11211

13 ==A ,

10113

21 ==A , 20214

22 ==A , 101234

23 ==A ,

21113

31 ==A , 5

1114

32 ==A , 71134

33 ==A .


Tada

=

521

7101522211

91

zyx

, o i ia

( ) 1102191 =+=x , ( ) 32542

91 =++=y , ( ) 635201

91 =++=z .<

2. Atvirktins matricos metodu isprskime lygi sistem

,.105

163,52

==+=+

zyzxyx

>Pasiymime

=

zyx

X ,

=

150301012

A ,

=

10165

B .

Apskaiiuojame 0291300000150301012

=+++=

=Adet

Matrica A yra neisigimusi, todl egzistuoja A-1. Apskaiiuojame jos elementus

151530

11 ==A , 11501

21 ==A , 33001

31 ==A ,

11031

12 ==A , 21002

22 ==A , 63102

32 ==A ,

55001

13 ==A , 105012

23 ==A , 10112

33 ==A .

BAX 1= , tada

,1016

5

11056213115

291

=

=

zyx

X

( ) ( ) 129291301675

291 ==++=x ,

( ) ( ) 38729160325

291 ===y ,

( ) ( ) 51452911016025

291 ===z .<

Documents

1 Tiesines Algebros Pagrindai