LOGOwww.themegallery.com

Teknik Pembuktian

Teknik Pembuktian

Pembuktian Langsung1

Pembuktian Tidak Langsung

2

Pembuktian dengan Kontrapositif

2.1

Pembuktian Dengan Kontradiksi

2.2

TEXTContoh 1: Misalkan n bilangan

ganjil. Buktikan bahwa n2 + 3n – 4 merupakan bilangan genap !

Pembuktian Langsung

Teknik Pembuktian

Contoh 2: Misalkan k adalah bilangan bulat

sehingga 7k + 9 merupakan bilangan genap. Tunjukkan bahwa k

merupakan bilangan ganjil !

Pembuktian Tak Langsung

Contoh (Kontrapositif)Misalkan a adalah bilangan

bulat. Buktikan bahwa jika a2 – 2a + 7 bilangan genap, maka a bilangan ganjil.

Contoh (Kontradiksi)Misalkan a adalah bilangan

bulat. Buktikan bahwa jika a2 – 2a + 7 bilangan genap, maka a bilangan ganjil.

TEXT

Bukti contoh 1:Dipunyai n bilangan ganjil.Tulis n = 2k + 1 dengan k di B.Ditunjukkan n2 + 3n – 4 merupakan bilangan genap.Jadi n2 + 3n – 4 = (2k + 1)2 + 3(2k + 1) – 4

= 4k2 + 4k + 1 + 6k + 3 – 4= 4k2 + 10k= 2(2k2 + 5k) dengan k di B.

Diperoleh n2 + 3n – 4 = 2(2k2 + 5k) dengan k di B.Akibatnya n2 + 3n – 4 merupakan bilangan genap karena dapat

dinyatakan sebagai bilangan kelipatan dua.Jadi jika n bilangan ganjil maka n2 + 3n – 4 merupakan bilangan genap.

Pembuktian Langsung

Teknik Pembuktian

Bukti contoh 2:Dipunyai k di B sehingga 7k + 9 merupakan bilangan

genap.Tulis pernyataan di atas, A = { k di B | ... , –12, 2, 16, 30,

44, ... }.Jadi dapat ditulis 7k + 9 = 14m – 12 dengan m di B.Jadi 7k + 9 = 14m – 12

7k = 14m – 12 – 9 7k = 14m – 21 k = 2m – 3 k = 2m – 2 – 1 k = 2(m – 1) – 1 dengan m di B.

Jadi k = 2(m – 1) – 1 dengan m di B, akibatnya k bilangan ganjil.

Jadi jika k di B sehingga 7k + 9 merupakan bilangan genap maka k bilangan ganjil.

Strategi:Barisan aritmatika: ..., –12, 2, 16,

30, ...Un = a + (n – 1) b

= 2 + (n – 1) 14= 2 + 14n – 14= 14n – 12 dengan n di N.

Kita perluas untuk bilangan bulat B.

TEXT

Bukti contoh 1:Dipunyai teorem “ Misalkan a di B. Jika a2 – 2a + 7 bilangan genap maka a bilangan

ganjil”.Kontraposisi: “ Jika a bilangan genap maka a2 – 2a + 7 bilangan ganjil, dengan a di B”.Dipunyai a bilangan genap.Tulis a = 2m dengan m di B.Jadi a2 – 2a + 7 = (2m)2 – 2(2m) + 7

= 4m2 – 4m + 7= 4m2 – 4m + 6 + 1= 2(2m2 – 2m + 3) + 1 dengan m di B.

Diperoleh a2 – 2a + 7 = 2(2m2 – 2m + 3) + 1 dengan m di B.Akibatnya a2 – 2a + 7 merupakan bilangan ganjil karena dapat dinyatakan sebagai

bilangan kelipatan dua ditambah satu.Jadi “Jika a bilangan genap maka a2 – 2a + 7 bilangan ganjil, dengan a di B”.Jadi “ Misalkan a di B. Jika a2 – 2a + 7 bilangan genap maka a bilangan ganjil”.

Pembuktian Tak Langsung

Teknik Pembuktian

Bukti contoh 2:Dipunyai teorem “ Misalkan a di B. Jika a2 – 2a + 7 bilangan genap maka a bilangan ganjil”.Dipunyai a di B dan a2 – 2a + 7 bilangan genap.Ditunjukkan a bilangan ganjil.Andaikan a bilangan genap.Tulis a = 2m dengan m di B.Jadi a2 – 2a + 7 = (2m)2 – 2(2m) + 7

= 4m2 – 4m + 7= 4m2 – 4m + 6 + 1= 2(2m2 – 2m + 3) + 1 dengan m di B.

Jadi a2 – 2a + 7 = 2(2m2 – 2m + 3) + 1 dengan m di B.Akibatnya, a2 – 2a + 7 bilangan ganjil, ini kontradiksi dengan yang dipunyai bahwa a2 – 2a + 7 bilangan

genap.Jadi haruslah a bilangan ganjil.Jadi “Misalkan a di B. Jika a2 – 2a + 7 bilangan genap maka a bilangan ganjil”.

LOGOwww.themegallery.com