1 Sistemas de Control en Tiempo Discreto 2a Ed - Katsuhiko Ogata

8/17/2019 1 Sistemas de Control en Tiempo Discreto 2a Ed - Katsuhiko Ogata

http://slidepdf.com/reader/full/1-sistemas-de-control-en-tiempo-discreto-2a-ed-katsuhiko-ogata 1/755















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Sección 6-2 Controlobilidod

79

Resumen del capítulo

La sección

6-1

presentó una introducción al material que se va a

estudiar en este capítulo. La sección 6-2 analiza la controlabilidad de los sistemas de control lineales

e invariantes en el tiempo. La sección 6-3 trata la observabilidad de dichos sistemás. La sección 6-4

revisa transformaciones útiles en

el

análisis y diseño

en el

espacio de estados, que se usarán

en

las

secciones restantes de este capítulo. El método básico de diseño

en

el espacio de estados se presenta

en

las secciones 6-5 y 6-6.

La

sección 6-5 presenta el método de ubicación _e polos, que es la

primera fase del diseño.

En

este método se supone que todas las variables de estado pueden medirse

y están disponibles para realimentarse. La secc ión 6-6 analiza

la

segunda fase del diseño, el diseño

de

los

observadores de estados, que estiman

las

variables de estado que realmente

no

son medibles.

La estimación se basa en las mediciones de las señales de salida y de control. Las variables de estado

estimadas pueden ser utilizadas para la realimentación del estado, basado

en el

diseño de ubicación

de

polos. Por último, la sección 6-7 se ocupa

de lo

s sistemas

de

seguimiento y analiza

el

diseño de

estos sistemas;

la

sección concluye con un ejemplo de diseño.

6 2

CONTROL BILID D

Se dice que u·n sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir

el

sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado también un estado arbitrario), en

un período finito. Es decir, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado

pueden ser controladas en

un

período finito, mediante alguna señal de control no restringida. Si

cualquiera de las variables de estado

es

independiente de

la

señal de control, entonces resulta impo

sible controlar esa variable de estado

y

por lo tanto, el sistema es no controlable.

Puede

no

existir solución a

un

problema de control óptimo, si

el

sistema se considera

no

controlable. A pesar

de

que

la

mayor parte

de

los sistemas físicos son controlables, los modelos

matemáticos correspondientes quizás no tengan

la

propiedad de controlabilidad. Por lo tanto, es

necesario saber

la

condición bajo

la

cual

el

sistema es controlable. Veremos más adelante, en

la

sección 6-5, que el concepto de controlabilidad juega un papel importante en

la

ubicación arbitraria

de polos

en lo

s sistemas de control. Ahora se deducirá esta condición.

Controlabi/idad completa del estado para sistema

e

control en tiempo discreto lineal e

invariante en el tiempo

Considere el sistema de control en tiempo discreto definido por

donde

x k

l)T)

=

Gx kT)

Hu kT)

x k7) =vector estado de dimensión n) en el k-ésimo instante de muestreo

u k7) = señal de control en el k-ésimo instante de muestreo

G = matriz de n x n

= matriz de

n

x 1

T = periodo de muestreo

Suponemos que u k7) es constante para kT5:t < k+ 7)T.

6-1)

El sistema de control en tiempo discreto dado por la ecuación 6-1) se dice es de estado com

pletamente controlable, o simplemente de estado controlable,

si

existe una señal de control constante



38

Ubicación de polos y diseño de

observadores

Capítulo 6

por

intervalos

u kJ)

definida a lo largo de un número finito de períodos de muestreo

de

forma que, al

partir de cualquier estádo inicial, el estado x(kJ) pueda ser transferido al estado deseado x

1

en 11

períodos de muestreo como máximo. (Al analizar la controlabilidad, el estado deseado x

1

puede

especificarse como el origen, o x

1

=

O

Vea el problema A-6-1. Aquí, sin embargo, suponemos que x

1

es

un

estado arbitrario en el espacio

de 11

dimensiones, que incluye el origen.)

Utilizando la definición que se acaba

de

dar, a continuación se deducirá la condición para la

controlabilidad completa del estado. En vista de que la solución a la ecuación (6-1) es

obtenemos

n-1

x nT)

= G x(O)

Í: Gn-¡-

1

Hu jT)

j=O

= G x(O) G -

1

Hu(O) G -

2

Hu T) · · · Hu n - l T

[

u n - l T ]

x nT)- G x(O)

= [H:

GH: · · ·: G -

1

H]

u n Z)T)

u O)

(6-2)

Dado que H es una matriz de 11 x 1, encontramos que cada una de las matrices H

GH

G -

1

H es

una matriz de n x 1 o un vector columna. Si el rango de la matriz siguiente es n es decir

rango [H:

GH:

· · ·: G -

1

H] = n (6-3)

entonces

Jo

s n vectores

H GH

. .

. ,

G -

1

H

pueden abarcar todo el espacio de'n dimensiones. La

matriz

[H: GH: · · · :G -

1

H]

comúnmente se conoce como matriz de controlabilidad. (Observe que todos Jos estados que pueden

ser alcanzados desde el origen, están abarcados

por

las columnas de la matriz de controlabilidad.)

Por lo tanto, si el rango de tal matriz es n entonces, para un estado

ar

bitrario x(n7)

=

x

1

,

existirá una

secuencia de señales de control no acotadas

u O), u t), . , u[ n -

1 7] que satisfaga la ecuac ión

(6-2). Por lo tan to, la condición de que el rango

de

la matriz de controlabilidad sean

da

una condi

ción suficiente para la controlabilidad completa del estado.

Para probar que la ecuación (6-3) es también una condición necesaria para la controlabilidad

completa del estado, se supone que

rango [H ;GH;

· · · :

G -

1

H] < n

Entonces, utilizando el teorema

de

Cayley-Hamilton, puede demostrarse que, para

una

i arbitraria,

G

1

H puede expresarse como una combinación lineal

de

H GH . , G -

1

H. En consecuencia,

tenemos para cualquier i

rango[H;

GH; · · · :

Gí-

1

H]

<

n

y

por

Jo tanto Jos vectores

H GH ,

G' -

1

H

no pueden abarcar completamente el espacio de

n

dimensiones; y por lo tanto, para algunas x

1

, no

es posible tener x(i7) = x

1

para todas las i. Entonces,

es necesaria la condición dada

por

la

ec

uación (6-3). De esta manera, se encuentra que la

co

ndición

de

rango dada

por

la ecuación (6-3) es necesaria y suficiente

para

la controlabilidad comple

ta

de

estado.



Sección 6-2 Controlobilidad

38

Si el sistema definido por la ecuación (6-1) es completamente controlable de estado, enton

ces es posible transferir cualquier estado inicial a cualquier estado arbitrario, en a lo más n períodos

de muestreo. Observe, sin embargo, que esto

es

cierto si y sólo si la magnitud de

u k1)

es no aco

tada. Si dicha magnitud es acotada, pudiera tomar más de períodos de muestreo. (Vea el problema

A-6-2.)

Controlabilidad completa del estado en el caso en que u k1) es

un

vector. Si el s istema está

definido por

x((k l)T) = Gx kT) Hu kT)

donde

x k1)

es un vector de dimensión

n, u k1)

es un vector

r,

G es una matriz de

n x

11 y

es

una

matriz de

x

r, entonces se puede

probar

que

la

condición para la controlabilidad completa

del

estado es

que la

matriz de

x

nr

sea de rango

n,

es decir

Determinación de la secuencia de controlpara llevar el estado inicial a un estado deseado. Si

la matriz

[H

GH

· · · :

G -

1

H]

es del rango n y u k1) es un escalar, entonces es posible encontrar n ecuaciones escalares linealmente

independientes, a partir de las cuales

se

puede determinar en forma única una secuencia de señales

de control no acotadas

u k1) k

= O 1, 2, ,

1)

tal que cualquier estado inicial x(O)

se

transfiera

al estado deseado en períodos de muestreo. Vea la ecuación (6-2).

Observe también

que

si la señal

de

control no

es

un escalar sino un vector, entonces la secuen

c

ia

de

u k1)

no es única. De esta manera existe más de una secuencia

para

el vector de controlu k7)

para

ll

evar el estado inicial

x O)

a un estado deseado, en no más de

n

períodos de muestreo.

Forma altema de la condición para la coutrolabilidad completa del estado.

Considere el

sistema definido

por

donde

x((k

l)T)

= Gx kT)

Hu kT) (6-4)

x k1) =vector estado (de dimensión

n)

en el k-ésimo instante de muestreo

u k7)

= señal

de

control en el k-ésimo instante de muest reo

G

=

matriz de

n x n

= matriz de x

r

T

= período de muestreo

Si los vectores característicos de G son distintos, entonces se puede encontrar una matriz de transfor

mación P tal que



382

Ubicación de polos y diseño

de

o bse rvadores

Ca pítulo 6

o

p - GP

=

o

A

Note

que si los valores característicos de G son distintos, entonces los vectores ca racterísticos de G

también

lo

son. Sin embargo, lo opuesto no es cierto.

(Por

ejemplo, una matriz simétrica rea l den

x

con valores característicos múltiples tiene vectores característicos di stintos.)

Observe

también

que la i-ésima columna

de

la matriz

Pe

s un vector característico de G asoc i

ado con

e l i-ési

mo

valor

característico

A, i =

1, 2, ,

n).

Se define

x kT) = Px kT)

Al

sustituir la ecuación (6-5 ) en la ecuac ión (6-4), se obtiene

x k

l)T)

=

p-

GPx kT))

p-

Hu (kT)

Definase

¡ ]

... ¡;tr

IJr

Por lo tan.to, la ecuación (6-6) puede escribirse como sigue:

i , k + l)T) =

A,i,(kT)

+ /

u

1

kT) + f

u

2

kT) + · · . + f

1

,u, kT)

i2 k

+ l)T)

=

A2i2 kT) + /21 U¡ kT) + /

u

2

kT)

+ ·- · +

J

2

, u, kT)

(6-5)

(6-6)

Si los elementos de cualquiera de los renglones en la matriz de F n x r son todos cero, entonces la

variable de estado correspondiente no puede controlarse mediante cualquiera de los u, kT). Por lo

tanto, la condición

para

la controlabilidad completa del estado es

que si

los vectores característicos

de

G

so

n distintos, entonces el sis t

ema

es

de

estado completamente controlable,

si

y

só

lo si ninguno

de

los renglones

de

p

-

H tienen elementos cero. Es importante

seña

l

ar

que

para ap

licar

es ta condi

ción de la controlabilidad completa del estado, se debe poner la matriz p- GP de la ecuación (6-6)

en la forma diagona

l.

Si la matriz G en la ecuación (6-4) no tiene vector

es

característicos distintos, entonc

es

es

imposible su diagonalización. En tal caso, podemos transformar G a

una

forma

canónica

de Jordan.

i

,

porej2m

pJo ,

G tiene valores característicos

A

1

, A A

1

, A

4

, A

4

, A

6

, , A y po

seen - 3 vectores

característicos distintos, entonces la forma

canónica de

Jordan de G es



Sección 6-2 Controlabilidod

J

Á¡ 1

o o

o

Á¡ 1

o o Á¡ :

- - - - - - - -

- ~ - - - - - - -

o

: A4 1

1

: O A

4

:

- - - - - ~ - - - - -

:

A6

0

1

1

1

o

383

Las

submarrices de 3

x

3

y

de

2 x 2

sobre

la

diagonal principal se conocen como

bloques de Jordan

Suponga que es

po

sible encontrar una ma

tri

z

de

transfo

rm

ación S de modo

qu

e

Si definimos un nuevo vector de estado i mediante

x kT)

=

Sx kT)

as

í. al

sustituir

la

ecuación (6-7)

en la

ecuación (6-4) resulta

x((k + 1)T) = s t GSx kT) + s t Hu kT)

= Jx kT) +

s-t

u kT )

(6-7)

(6-8 )

Las

condiciones para la controlabilidad completa del estado del sistema de la ecuación

(6-8)

pueden

entonces enunciarse como sigue: el sistema es de estado completamente controlable. si y sólo si: 1

dos bloques ele Jordan en la matriz

J

de

la

ec uación (6-8) no estén asociados con valores caracterís

ticos iguales; 2) los elementos de cualquier renglón de

s-

1

, que correspond en al ú ltimo rengl ón de

cada

un

o de los bloques de Jarcian

no

sean todos cero.

y

3) los elementos

de

cada renglón des- H,

qu

e correspondan a

va

lores característicos distintos. no sean

to

dos cero.

Comentarios En

las condiciones precedentes de

la

controlabi lidad del estado. se ha d icho

que

en

la ecuación

(6-8) no

deberían estar asociados dos bloques de Jor

da

n

de la

matr

iz J

con valores

característicos iguales. Este punto se desarrolla como sigue.

Considere el sistema siguiente. donde los dos bloques de Jarcian están asociados con los mis

mo

s valores característicos

A :

Aunque todas

las

variables de estado

es tán

afectadas por

u k

).

es

te sistema es no control

ab

le.

ya

que

el rango de la matriz de co ntrolabilidad

[H GH : G

2

H] [l

A

A

1

+

1

A

es 2

Por lo tanto. al aplicar

el

criterio anterior correspondiente a la controlabilidad de estado. ningu-

no de los dos bloques de Ja rcian de

J

deberá estar asociado con los mismos valores caracterís

ti

cos.



84

Ubicación de polos

y

diseño de observadores

Capítulo 6

Ejemplo 6-1 .

Los sistemas siguientes son de estado completamente controlables:

l

[x1(k + 1)]

= [ 1

X2 k +

1) 0

O][x1(k)J+ [ 2Ju k)]

-2 x2(k) 3

X¡(k

+ 1

2

1

o : o

X¡(k)

o

1

x2 k +

1

o

- 2

1 :

x2(k)

o

o

[ U¡

k)]

2.

X3(k +

1)

=

o o

2

1

XJ(k)

+

3

o

_ _ _

u2 k)

X4 k + 1)

: - 5

1

X o ~ k )

o o

1

Xs k + 1)

o

1

o

-5

xs(k)

2

Lo

s s iguientes sistemas no son de estado completamente controlables:

l

[ X¡(k + 1)] _ [ -1

Xz k + 1 - O

] [ ~ ~ ~ ~ ]

+

~ } u k ) ]

X¡(k

+

1

2

1

o o X¡(k) o 1

x2(k + 1

o

2 1

x2

k)

3

o

[U¡

k)]

2.

X3 k +

1)

o o

2 1 X3 k)

+

o o

x (k + 1

-------------T--------

x4 k)

2

1

u2 k)

1 - 5 1

1

x

5

(k + 1

o

1

o

5

Xs(k)

o

o

Condiciones para la controlabilidad completa del estado n el plano z La condición pa

ra

la controlabilidad

comp

leta del estado puede enunciarse

en

tém1inos

de fu

nc iones

de tr

ansferenc ia

pul so.

Una

condición necesaria y suficiente para la controlabilidad

comp

l

eta

del es tado es que no se

presente cancelación en la función

de

transferencia pulso. Si

esto

ocurre, el s istema no puede ser

controlado en la dirección del

modo

cancelado. Vea el

problema

A-6-4.)

Ejemplo 6-2

Considere la siguiente función

de

transferencia pulso:

Y(z) z + 0.2

U(z) z

+

0.8) z

+

0.2)

Es claro que ocurren cancelaciones en los factores z + 0.2) tanto en el numerador como en el denomina

dor. Por lo tanto, se pierde un grado de libertad. En razón de esta cancelación, este sistema no es de estado

completamente controlable.

Por supuesto, se puede obtener la misma conclusión escribiendo esta función de transferencia

pulso en la forma de ecuaciones de estado. Una posible representación de espacio de estados para es

te

sistema es

[

X¡ k

+ 1 ] _ 0

1][X¡ k)] [ 1 ]

Xz k +

1

- -0.16 -1 x

k)

+

0

.8 u k)

Dado que

y k)

=

[1 o ) [ x ~ k ) J

x2(k)

[

1

-0.8 ]

[H H]

=

0 .8 0.64

el rango de [ :

GH]

es J. Llegamos por lo tanto a la misma conclusión: el sistema no es de estado

comp letamente controlable.




385

Contro/abilidad completa de la salida. En el diseño práctico de Ün sistema de control, se

puede preferir cont'rolar la salida en vez del estado del sistema. La controlabilidad completa del

estado no es necesaria ni suficiente para controlar la salida de un sistema. Por esta razón es necesario

definir por separado la controlabilidad completa de la salida.

Considere el sistema definido

por

las ecuaciones

donde

x((k + l)T)

=

Gx(kT) + Hu kT)

y kT)

=

Cx(kT)

x k1) =vector estado (de dimensión n) en el k-ésimo instante de muestreo

u(k7) =señal de control (escalar) en el k-ésimo instante de muestreo

y k1)

=vector de

salida (de dimensión

m

en el k-ésimo instante

de

muestreo

G = matriz de

n

x

n

= matriz de

n

x

l

C

=

matriz

de

/11 X

11

6-9)

(6-10)

El

sistema definido

por

las ecuaciones (6-9)

y

(6-l

O)

se dice que es

de

salida completamente contro

lable, o simplemente

de

salida controlable,

si

es posible tener una señal de control no restringida

u k1), definida a Jo largo de un número finito de períodos de muestreo ~

kT<

nTtales que, empe

zando a partir de una salida inicial y(O), la salida y k7) pueda ser transferida

al

punto deseado (un

punto arbitrario)

y

1

en el espacio de salidas, en

n

períodos de muestreo como máximo.

A continuación

se

deduce la condición para la controlabilidad completa de

la

salida. Observe

que si un sistema es de salida completamente controlable, entonces existe una señal de control cons

tante unitaria, que transferirá cualquier salida inicial a cualquier punto deseado

y

1

en el espacio de

salidas, en

n

períodos

de

muestreo

como

máximo. En vista de que la solución de la ecuación (6-9) es

tenemos que

es decir,

n-1

x(nT) = G x(O) +

L

Gn-¡-t Hu jT)

j=O

y nT) = Cx(nT)

n-1

n-1

=

CG x(O) + L CGn-i-

1

Hu jT)

j=O

y nT) - CG x(O)

=

L

CGn-¡-t Hu jT)

j=O

=

CG -

1

Hu(O) + CG -

2

Hu T) + · · · + CHu n- l)T)

[

u n - l)T)]

= [CH CGH ·: CG -

1

] u n

2

)T)

u O)



386 Ubicación

de

polos

y

diseño

de observadores

Capítulo 6

Observe que y ~ 1 1 - CG

x O)

=y

1

-

CG x O) representa un punto arbitrario en el espacio de

salidas de m dimensiones . Por lo tanto, igual que en el caso de la controlabilidad completa del

estado, una condición necesaria y suficien

te

para que el sistema sea de salida completamente contro

lable, es que los vectores GH, CGH, . .. , CG -

1

H abarquen

el

espacio de salidas de dimensión m,

es decir que

rango [CH: CGH: · · ·: CG -

1

H] =m (6-

1

1)

De este análisis se puede ver que

en

el sistema definido por las ecuaciones (6-9) y (6-10), la

controlabilidad completa del estado implica controlabilidad completa de la salida, si y sólo si los m

renglones de C son linealm

en

te independientes.

Ahora considere el sistema definido por las ecuaciones

donde

x((k l)T)

=

Gx kT) Hu kT)

y kT)

= Cx kT) Du kT)

x k1)

=:=vector

de estado (de dimensión

n)

en

el

k-ésimo instante de muestreo

u k1)

=vector de control (de dimensión r) en el k-ésimo instante de muestreo

y k1) =Vector de salida (de dimensión m en el k-ésimo instante de muestreo

G = matriz de

x n

H = matriz de x r

e = matriz de

11

X

11

D = matriz de

x

r

6-1 2)

(6-13)

La condición para la controlabilidad completa de la salida correspondiente a este sistema puede

deducirse como sigue. Dado que la salida

y n7)

puede ser dada por la ecuac ión

se obtiene

y nT)

=

Cx nT) Du(nT)

n 1

= CG x(O) L CG -;-

1

Hu jT) Du nT)

j=O

n 1

y nT)- CG x(O)

=

L CG -;-

1

Hu jT) Du(nT)

j =

ll

= CG -

1

Hu(O) CG -

2

Hu(T) · · · CHu((n - l)T)

Du nT)

=

[D : CH: CGH : · · ·: CG -

1

H ] l u ~ : T l ) T )

u O)

Una

cond ic

ión

necesaria

y

suficiente para que el sistema definido por las ecuaciones (6-12)

y

(6-13)

sea de salida completamente controlable, es que la matriz

de m x

n 1

r




87

sea de rango

m:

rango [D CH : CGH : · · · : CG -

1

] = m

(6-14)

Hay que sei ialar que la presencia de la matriz Den la ecuación de salida del sistema siempre ayuda

a establecer la controlabilidad completa de la salida.

Controlabilidad

de

1111 sistema de

control en tiempo C011ti11uo

li11eal e

invariante e el

tiempo. A continuación se enunciará brevemente las condiciones para la contro labilidad completa

del estado y la controlabilidad de la salida de los sistemas ele control en ti e

mp

o continuo lineales e

invariantes con el tiempo. Considere el sistema definido por

donde

x = Ax u

y Cx

Du

x = vector de estado (de dimensión n

u = vector

de

control (de dimensión

r

y vector de salida (de dimensión m

A = matriz de 11 x 11

B =

matriz de n x r

C

= matriz de 1/1 X /1

D = matriz de m x r

ontrolabilidad completa

del

estado. Una condición necesaria y suficiente para la

controlabilidad completa del estado para este sistema, puede deducirse en form a similar a como se

hizo en el caso de

un

sistema en tiempo discreto. Aquí presenta

re

mos só lo el resu

lt

ado.

La

condición para

la

controlabilidad completa del estado es que la matriz de 11 x nr

sea de rango n o que contengan vectores columna linealmente ind ependientes. (Esta matriz por lo .

regular se conoce como matriz de contralabilidad para el sistema en

ti

empo continuo.)

La

condición para controlabilidad completa del estado también se puede enunciar en términos

de las funciones de transferencia o de las matrices de transferencia. Una co

nd

ición necesaria y sufi

ciente para

la

controlabilidad completa del estado

es

que no ocurra cancelación en la funci ón de

transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre cancelación, el sistema no puede ser contro

lado en

la

dirección del modo cancelado.

Controlabilidad de la salida. Como en el caso del sistema de control en tiemp

e dis

creto. la

controlabilidad completa del estado no es necesaria

ni

suficiente pa

ra

controlar la salida de un siste

ma de control en tiempo continuo lineal e invariante en el tiempo. Se puede de

mo

strar que la condi

ción para la controlabilidad completa

de

la salida es que

el

rango de la matriz de m x n 1 r

sea

m.



388 Ubicación de polos

y

diseño de observado

re

s

Capítulo 6

6-3 OBSERV BILID D

En

esta sección, analizaremos la observabilidad de

los

sistemas de control

en

tiempo discreto lineal

e invariante con

el

tiempo. Considere el sistema de control en tiempo discreto sin excitación definido

por

donde

x k

l )T) =

Gx kT)

y kT)

=

Cx kT)

x kT) =vec

tor de estado de dimensión

17) en el k-és imo

instante de muestreo

y kT) =vector de salida de dimensión m) en el k-ésimo instante de muestreo

G

= matriz de x

17

e = matriz de 11 X 7

6- 1

5)

6-16)

El

sistema se dice ser completamente observable

si

cualqui er estado inicial

x O)

puede determinarse

a partir de la observación de

y kT)

sobre

un

número finito de períodos de muestreo. El sistema, por

lo tanto, es completamente observable, si cualquier transición del estado de manera eventual afecta

a todos los elementos del vector de salida.

El

concepto de observabilidad es útil para resolver

el

problema de la reconstrucción de varia

bles de estado

no

medibles.

Se

verá más adelante que los sistemas de control con realimentación del

estado, diseñados mediante el método de ubicación de polos, necesitan realimentación

de

variables

de estado ponderadas. En la práctica, s in embargo, en los sistemas de control con realimentación de

estado se encuentra la dificultad de que algunas de las variables de estado no son acces

ibl

es para su

medición directa. Entonces requiere estimar l

as

variables de estado no medibles, a

fin

de construir

señales de control de realimentación.

En

la sección 6-6 veremos que el concepto de observabilidad

tiene

un

papel dominante en el diseño de los observadores de estados.

La razón por la que se considera

el

sistema sin excitación es la siguiente. Si el sistema que está

descrito por las ecuaciones

entonces

y y k7)

es

x k

l )T) =

Gx kT) Hu kT)

y kT) = Cx kT) Du kT)

k - 1

x kT) = Gkx O) Í :

-¡-

1

Hu jT)

j =O

k 1

y kT) =

CGk

x O) Í :

CGk-i-l

Hu jT) Du kT)

j=O

Dado que las matrices G, H, e y O son conocidas, y u kT) también

lo

es, el segundo y tercer térmi

nos del segundo miembro de esta última ecuación son cantidades conocidas. Por

lo

tanto, pueden

restarse del valor observado de

y kT).

Entonces, para

la

investigación de una condic i

ón

necesaria

y

su

fic

iente para la observabi lidad completa, basta considerar

el

sistema descrito por las ecuaciones

6-15) y 6-16).



Sección 6-3

Observobilidod

89

Una vez que a partir

de la

observación

de

la salida se pueda determinar x O), también Podrá

determinarse

x k7);

ya qu e u O), u T),

, u k- 1

7) son conocidas.

Observabilidad omp eta de los sistemas en tiempo discreto Considere el sistema definido

por

la

s ecuaciones 6- 15) y 6-16). El sistema es com pletamente obse

rv

able si, dada la salida Y k7)

sobre

un

número finito de período s de muestreo, es posib

le

determinar el vector. estado inici

al

x(O).

Ahora, deduciremos la condición para la observabilidad completa del sistema en tiempo dis

creto descrito por

las

ecuaciones 6-15)

y

6-16).

En

vista de

qu

e la solución x

k7)

de

la ec

uación

6-

15)

es

se obt iene

y kT)

=

CGkx(O)

La observabi

li

dad completa significa que, dado y O), y 7), y

27),

, es pos ibl e determinar x, O),

xlO),

. ,

X

11

0). Para determinar n incógnitas, necesitamos únicamente n valores

de

y k7). Por

lo

tanto, podemos

ut

ilizar los primeros

n

valores de

y k7),

o

y

O),

y 7),

,

y n

-

1

7)

que permiten

determinar x

1

0), xiO) ,

. ,

X

11

0).

En el caso de un sistema completamente observable, dados

y(O)

=

Cx(O)

y T)

= CGx(O)

y n - l)T)

=

CGn-t x(O)

se debe ser capaz de determinar x

1

0), x

2

0), , X

11

0). Al observar que

y k7)

es un vector

de

dimensión

m

las ecuaciones simultáneas anteriores dan como

re

su

lt

ado ecuaciones, todas ellas

incluyendo x

1

0), .xiO), , x, O). A fin

de

obtener un solo conjunto

de

so luciones x

1

0), x

2

0), ,

x, O) a partir de estas nm ecuaciones,

Se

debe escribir exactamente de entre ellas n ecuaciones linea

les independientes. Esto requiere que

la

matriz nm x n

sea

de

rango n

Notando que el rango de una matriz

y

de su trans

pu

esta

co i.Ygada

es

el

mismo, es posible

enunciar

la

condición correspondiente a la observab ilidad completa como sigue. Una condición

necesaria y suficiente para que el sistema definido por l

as

ecuaciones 6-15) y 6-16) sea completa

mente observable es que el rango de la matriz de n x nm

[C*: G*C*: · · ·: G*)n- t

C*)

(6 -1 7)

sean. La matriz dada por

la

ecuac ión 6-17) se conoce comúnmente como matriz de observabilidad

[Note que en la ecuación 6-17) los asteriscos indican transpuestas conjugadas.

Si

las matrices C y G



390

Ubicación de polos y diseño de observadores

Capítulo 6

son reales, entonces la notación de transposición conjugada como G*C*

puede

ser cambiada a

notación

de

transposición, como

crcr.]

Forma alterna de la condiciónp r la observabilidad completa Considere el sistema defi

nido

por

las ecuaciones

6-15)

y

6-16)

que aquí se repite:

x k

l T

=

Gx kT)

6-18)

y kT) =

Cx kT) 6-19)

Suponga que los valores característicos de G son distintos,

y

que una matriz

de

transformación

P

transforma a

G

a una matriz diagonal, de tal forma que p-I GP es una matriz diagonal.

Se

define

x kT)

=

Pi kT)

Entonces las ecuaciones

6-18) y 6-19)

se pueden escribir como sigue:

Por lo tanto,

es

d e i r ~

i k

l T

=

p-I GPi kT)

y kT)

= CPi kT)

y nT) =

CP P GP) i O)

y n.T)

= CP

donde

1

, ..\

2

, ,

..\

son valores característicos distintos de G . El sistema es completamente

observable, si y sólo si ninguna de las columnas en la matriz CP de m x está formada de elementos

cero. Esto es debido a que si la i-ésima columna de

CP

está formada de elementos cero, entonces la

variable

de

estado

X¡ O)

no aparecerá en la ecuación

de

salida

y, por

lo tanto, no

podrá ser

determi

nada a partir de la observación de y k1). Por

Jo

tanto,

x O),

que está relacionada con i

O)

mediante

la matriz no singular P, no podrá ser dete1minada.

Si la matriz G implica valores característicos múltiples

y

no puede ser transformada a una

matriz diagonal, entonces si se utiliza una matriz de transformación adecuada S podemos transfor

mar

G a la forma canónica

de

Jordan:

donde J está en la forma canónica

de

Jordan. Definamos

x kT)

=

Si kT)

Entonces las ecuaciones

6-18) y 6-19)

se pueden escribir como sigue:

i k l T

=

1

GSi kT)

=

Ji kT)

y kT)

= CSi kT)

Por

lo

tanto,



Sección 6-3

Observabilidad

39

El sistema es completamente observable, si y sólo si

1)

dos bloques de Jordan en J no están asocia

dos con el mismo valor característico; 2) ninguna de las columnas de

es

que corresponda

a

l primer

renglón del bloque de Jordan está formada de elementos cero, y3) ninguna columna de

es

que

corresponda a valores característicos distintos está formada de elementos cero.

Para aclarar la condición 2, en el ejemplo 6-3 que se muestra a continuación, se han señalado

con líneas punteadas las columnas de

es

que corresponden al primer renglón de cada bloque Jordan.

Ejemplo 6-3

Los sistemas siguientes son completamente observables:

1.

2.

[x

1

((k

1 T ] = [ -1

Xz k 1)T) O

0

][

Xt kT)]

2

Xz kT)

X¡{ k 1)T)

2

1

01

1

o

Xz k 1)T)

o 2

1 :

1

x3 k 1)T)

o o

21

1

x4 k

1)T)

~ 3 f

xs k 1)T)

o

1 1

1 1

1

11

o

-3

r •

:o:

L.J

y kT) .= [1

X¡ kT)

Xz kT)

X3 kT)

X4 kT)

xs kT)

Los sistemas siguientes no son completamente observables:

S [ X¡ kT)]

Xz kT)

1. [ ~ : ~ ~ z : gg = [ ~ ] [ ~ : ~ z ~ ~ J .

y kT)

= 0

1)[ Xt(kT)]

Xz kT)

Xt k

l T

2 1

o:

o

X¡ kT)

Xz k

1)T) o

2

1 :

Xz kT)

1

2. x3 k 1)T) o o

21

X3 kT)

x4 k

1)T)

---- ----r--------

X4 kT)

-3 1

1

Xs k 1)T)

o

1

o -3 xs kT)

1

X¡ kT)

1

ioi

x

2

kT)

1 1

XJ kT)

1 :o:

L 1

x4 kT)

xs kT)

Condición

para

la observabilidad completa

en

el plano

z.

La condición para la observabilidad

completa también puede enunciarse en términos de funciones de transferencia pulso. Una condición

necesaria y suficiente para la observabilidad completa es que no ocurra ninguna cancelación de

polos ceros en la función

de

transferencia pulso. Si ocurre cancelación, el modo cancelado no podrá

observarse en la salida.

Ejemplo 6-4

Demuestre que él sistema siguiente es no completamente observable:



392

donde

G = [

-6

Ubicación de polos

y

d

iseño de

observadores

x((k 1)T) = Gx(kT) Hu kT)

y kT)

= Cx kT)

1

o

-11

-6

e

= [4

5 1]

Capítulo 6

Es

claro

que

la señal de control u kT) no afecta la observabilidad completa

del

sistema. Para examinar la

observabilidad completa, podemos simplemente definir

u kT)

=O. Para este sistema, tene mos

Note que

[C* G*C* (G*) C*J [

4 -6

5

-7

1 1

6

5

=o

1

]

Por lo tanto, el rango de la matriz [C* : G*C* : (G*)

2

C*] es menor de 3. El sistema no es completamen

te

observable.

De

hecho, en este sistema ocurre cancelación

de

polos ceros en la función de transferencia pulso

del sistema. La función

de

transferencia pulso entre X

1

z)

y

U z) es

x_lz_) =

- - - - - - -1 - - - : - - - : - - - - :

U z)

(z 1)(z 2)(z 3)

y la función de transferencia pulso entre Y z) y X

1

z) es

Y(z)

Xt(z)

=

(z

1)(z 4)

Por lo tanto, la función

de

transferencia pulso entre la salida Y z)

y

la entrada U z) es

Y z) (z 1)(z 4)

U z)

= (z 1)(z 2)(z 3)

Es

cla

ro

que se cancelan

los

factores z

1)

en el numerador

y

en el denominador. Esto significa que

existen estados iniciales diferentes de cero x O) que no pueden ser determinados a partir de la medición

dey kT).

Comentarios. La función de transferencia pulso no tiene cancelación,

si

y só lo si, el sistema

es de estado completamente controlable y completamente observable. (Vea el problema A-6-4.) Esto

significa que una función de transferencia cancelada no lleva consigo toda la información que carac

teriza al sistema dinámico.

Principio de dualidad.

A continuación se examinará la relación entre controlabilidad

y

observabilidad. Considere el sistema S

1

definido por las ecuaciones

x k

l)T)

=

Gx kT)

Hu kT) (6-20)

y kT)

= Cx kT)

(6-21)



Sección 6-3

Observobilidod

donde

x kT) =vector de estado de dimensión

n


u kT) = vector de control de dimensión

r)


y kT)

=vector

de salida (de dimensión

m)

en el k-ésimo instante de mu.estreo

G

=

matriz de x

1 1 = matriz de n x r

e = matriz de

11 X

y su contraparte dual , que llamaremos sistema S

2

, definida por las ecuaciones

9

x((k

l)T) =

G*x kT)

e

u kT)

y kT) = H*x(kT)

(6-22)

(6-23)

donde

x kT) =vector de estado (de dimensión

n)


íi kT) =vector

de control

de

dimensión

r)


y kT) =vector

de

salida de dimensión m en el k-ésimo instante de muestreo

G*

= transpuesta conjugada de G

H = transpuesta conjugada de 1 1

e = transpuesta conjugada de e

Ahora

se

examinará una analogía entre controlabilidad

y

observabilidad. Esta analogía se conoce

corno

principio de dualidad, y

es debida a Kalman.

l principio de dualidad dice que el sistema S

1

definido por las ecuaciones (6-20) y (6-21) es

de estado completamente controlable (observable), si

y

sólo si el sistema

S

2

definido por las ecuaciones

(6-22) y (6-23) es de estado completamente observable (controlable). Para verificar este principio,

escribamos las condiciones necesarias y suficientes para

la

controlabilidad completa y la observabilidad

completa del estado, correspondientes a los sistemas S

1

y S

2

, respectivamente.

PARA EL SISTEMA S

1

:

1. Una condición necesaria

y

suficiente para la controlabilidad

completa

del estado es que

rango

H

:

G

H

: · · · :

cu-

1

H

=

n

2. Una condición necesaria y suficiente para la observabilidad completa es que

rango [e* : G*e* : · · · : G*)u-

1

e *] = n

PARA EL SI T

M

S

2

:

l

Una condición nece

sar

ia

y

suficiente para la controlabilidad

completa

del

estado es

que

rango ¡e : G*e* : · · · : (G*) -

1

e *l = n



94

Ubicac

ión de

po

los y diseño

de

obse

rv

a

do

res

2. Una condición y suficiente para

la

observabilidad comp

le

ta es que

rango [

:

GI-l : · · · : G -

1

]

=

n

Si se comparan estas condicione

s,

es evidente

la

verdad del princip

io

de dualidad.

Capítulo 6

Vemos q

ue

el sistema S

1

siendo de estado completamente controlable, equivale

al

sistema S

2

completame

nt

e observable. Y el sistema S,, siendo completamente observable, es equival ente al

sistemaS

2

de estado completamen te contro

lable. Mediante

la utilización de este principio, la obs ervabilidad

de un sistema dado puede verificarse al probar la controlabilidad del estado de su dua

l.

Observabilidad completa tle los sistemas e comro/ en tiempo continuo lineales e invariantes

con el tiempo. Por

úl

timo, enunciaremos brevemente la condición de observabil idad completa

correspondiente al sistema de control en tiempo continuo lineal e invariante en el tie

mp

o. El sistema

se dice compl etame nte observable, si todos los estados iniciales x O) pueden determinarse a partir de

la observac ión de y(t) durante un intervalo

ele

ti

empo tinito. Similar al caso del sistem a de control en

tiempo di sc reto, necesitamos considerar sólo un sistema s

in

excitación. Cons

id

ere el sistema defini

do por las ecuaciones

donde

x= x

y

Cx

x

=

vector de estado (de dimensión

n

y= vector de sal

ida

(de dimensión m

A = matriz de

n

x

n

e =

matriz de 11 X 1

Igual que en el caso de sistema de control

en ti

emp o

di

sc reto. se pu ede decir que la

co

ndi

ci

ón para la

observabilidad

co

mpleta es

qu

e el rango de la matriz den x nm

[C*:

A*C *:

· ·

·:

(A*y-t C*]

sea n.

(Esta matriz

den x nm

se conoce comúnmente como matriz de observabi lidad del sistema en

tiempo con

tin

uo.)

fecto de la discretización de

un

sistema de

control

de

tiempo continuo sobre

la

controlabilidad

y

la observabi/id l /. Cuando se discretiza un sistema de control en tiempo conti

nuo con polos complejos, la introducción del mu estreo pu ede dificultar la controlabilidad

y

la

observabilidad del sistema

di

scretizado resultante. Es decir, puede ocurrir cancelación de polos ce

ros al pasar delcaso en tiempo continuo al caso en tiempo discreto. Po r lo tanto , el sistema discretizado

puede perder controlabilid

ad y

observabilidad.

Puede demostrarse que

un

sistema que sea de es tado completamen

te

controlable y completa

mente observable, en

au

sencia de muestreo, perm anece en tales condiciones despué s de la introduc

ción del muestreo, si só lo si para cada valor caracter ístico de la ecuación característica para

el

sistema de control

en

tiempo continuo,

la

rel ac ión

Re..\ = eA¡

(6-24



Sección 6-3

Observabilidad

95

implica que

Im A· - A) = =

2

n r

, ,

T

6-25)

donde

Tes el

período de muestreo y n

=

± 1, ±2, Se hace

no

tar que, a menos que el sistema

contenga polos complejos, no ocurrirá cancelación de polos ceros al pasar de tiempo continuo al

caso de tiempo discreto.

Ejemplo 6-5

Considere

l

siguiente sistema de control

en

tiempo continuo:

6-26

6-27)

Este sistema es de estado completamente controlable

y

complet amen

te

observab

le.

ya que

el

rango de la

matriz de controlabilidad

B: AB] = [

is 2 and the rank

of the observability

matrix

[C*:A*C*]

=

también es

2.

Observe que los valores característicos de la matriz de estado son

A.=

j ,

El

sistema de control en tiempo discreto obtenido al discretizar

el

sistema de control en tiempo

continuo definido por las ecuaciones

6-26) y 6-27)

puede darse como s

ig

ue:

[

~ ~ ~ ~

~ n

= [

~ ~ ~

~

c ~ :

~

]

: ~ ~ ~ ~ ]

+ [

1

~ e ~ ~

T ]u k ) 6 -28)

y kT)

=

[1 O][x. kT)] 6-29)

x2 kT)

donde

Tes el

periodo de muestreo.

Demostraremos que

el

sistema discretizado dado por las ecuaciones 6-28) y 6-29) es de estado

completamente controlable

y

completamente nbserYablc.

si y

sólo

si

es decir.

I

m A

1 -

Az) =

1

+

1

F

2

n

7T

T

T

F

n7T

n

=

1

,2,3,

.

Para

el

sistema de control en tiempo discreto obtenido

ni

discrctizar

el

siste

ma

de control en

tiempo continuo. tenemos la siguiente matriz de controlabilidad

[H

H]

= [

1 - T cos T

+

1 - 2 cos

2

T ]

sen r -sen T

+

2 cos T

senT

Observe que

el

rango de

1 :

GHI

es

2 si y sólo

si 117i

donde

= l

2. 3

).

También

el

rango de

la matriz de observabilidad



96 Ubicación

de

polos y diseño

de

observadores

Capítulo 6

[C*: G*C*) ::: [ 1 cos

T]

O sen T

es

2 si

y

só

lo si

T?:.mr donde

n = 1 2, 3, ).

Del análisis anterior, podemos concluir

que

el sistema discretizado

es de

estado

comp

letamente

contr

olab

le

y

completamente observable si

y

só

lo si T?:

nr r

donde n = 1, 2, 3,

Observe

que

siempre es posible evitar la pérdida de controlabilidad

y

de

observabilidad escogien

do

un período

de

muestreo T distinto a

nr r

.

6 4 TRANSFORMACIONES

ÚTILES

EN

L

ANÁLISIS

Y DISEÑO

EN

L ESP CIO DE EST DOS

En esta sección primero se verán técnicas para transformar ecuaciones en el espacio de estados en

fonnas canónicas. A continuación se revisará la propiedad de invariancia de las condic iones de

rango para la matriz de controlabilidad y la de observabilidad.

Cómo transformar

en formas

canónicas las ecuaciones

en el

espacio de estados

Considere

la ecuación de estado en tiempo discreto y la ecuación de sal ida

x k

+

1) =

Gx k) + Hu k)

6-30)

y k) = Cx k) + Du k)

6-31)

Ahora se estudiarán técnicas para transfonnar las ecuaciones

en

el

espacio

de estados definidas

por

las ecuaciones 6-30)

y

6-31) en las tres fonnas canónicas siguientes:

l Fonna canónica controlable

2. Forma canónica observable

3. Fonna

canónica diagonal o de Jordan

Observe que la fonna canónica diagonal es un caso especial de la forma canónica de Jordan.) Se

supone que el sistema definido por las ecuaciones 6-30) y 6-31) es de estado completamente con

trolable y completamente observable.

Forma canónica controlable El sistema definido por las ecuaciones

6-30)

y

6-31)

se pue

de transformar a una forma canónica controlable, mediante la matriz de transformación

T=MW

6-32)

donde

6-33)

y

Un 1

Un 2

U¡

1

Un-2 Un-3

1

o

W=

U¡

1

o

o

6-34)

1

o o o



Sección 6-4

T ransformacianes útiles

en

el análisis

y

diseño

en

el espacio de estados

Los elementos a; mostrados en la matriz

w

son coeficientes de la ecuación caract

er í

stica

lzl

- Gl = z + a

1

z -

1

+ · · · + a,_

1

z

+

a,

=

O

Puede demostrarse que

T-

GT

=

MW G MW)

= w-

M-

GMW

o

1

o o

o o

1

o

=

o

o o

1

-a,

-an-i

-an-2

-a¡

y

o

o

T-

u =

o

1

397

(6-36)

(Para los detalles de la deducción de las dos ecuaciones anteriores, vea los problemas A-6-5 y A-6-

6.)

Ahora definamos

x .k) = Tx k)

donde la matriz de transfonnación

T

está

dada

por la ecuación (6-32). Entonces las ecuaciones (6-

30) y (6-31) se convierten en

x k

+

1)

=

T-

GTX:(k)

+

T-

Hu k)

=

Gx k)

+

Hu k)

y k)

=

CTx k)

+

Du k)

= Cx k)

+

Du k)

donde G= r

1

GT,

A=T-I

H

e

= CT, y D= D

es decir

i

k + 1

o

1

o

o

i

k)

o

i2 k

+

1)

o

o 1

o

i2 k)

o

+

i,_

k

+

1

o o

o 1

i,-¡ k)

o

Xn(k + 1

-a

-a,_¡

-a -2

-a¡

i , k) 1

u k)

(6-37)

(6-38)

Aquí las bk son los coeficientes que aparecen en el numerador de la función de transferencia pulso

siguiente:



398 Ubicación

de

polos

y

diseño

de

observadores

C zl

- G)-

1

H + D = C z l - G

1

H +

D

A

_ boz" + b¡Zn- + · · · + bn- Z +

bn

-

Zn

+

a¡ z"

1

+ · · · +

Un- Z

+

n

Capítulo 6

(6-39)

Observe que

D

=

D

=

b

0•

El sistema dado por las ecuaciones (6-37) y (6-38) es.tá

en

una forma

canónica controlable .

For

ma

canónica observable. El sistema definido por las ecuaciones (6-30) y (6-

31)

puede

ser transformado a una forma canónica observable, mediante la matriz de transformación

Q =

WN*f

1

donde

N = [C* : G*C* : · · ·: (G*) -

1

C*]

y

W está dado por la ecuación (6-34). Puede demostrarse que

o o o

-an

1

o

o

-an-

Q-

1

GQ

= G= o

1

o

a n 2

o o

1 - a¡

y

CQ

=

C = [ O · · · O 1]

6- 40)

donde las k son los coeficientes que aparecen en el numerador de la función de transferencia de

pulso, dada por la ecuación (6-39). (Para detalles de la deducción de las ecuaciones anteriores, vea

los problemas A-6-8

y

A-6-9.) Entonces, al definir

x(k)

= Qi k)

Las ecuaciones (6-30)

y

(6-31) se convierten en

es decir,

x

(k

+ 1)

o o

x2(k + 1)

1 o

=

Xn- (k + 1)

o o

Xn(k

+

1)

o o

x k + 1) = Gx k) +

ilu(k)

y(k) = cx k)

+ Du(k)

o

-an

x

(k)

bn- Unbo

o

-

an

- 1

x2(k)

bn-

- an-

bo

+

o

-a2

Xn- (k)

b2-

a2bo

1

-a¡

Xn(k)

b

1

- a¡

bo

u(k)

(6-41)



Sección 6-4

Transformaciones útiles

en

el análisis y diseño

en

el espacio de estadas

y k)

=

[O O · · · O 1]

x

1

k)

x

2

k)

Xn-l k)

xn k)

Du k)

99

6-42)

El sistema definido

por

las ecuaciones 6-41)

y

6-42) está en una forma canónica observable.

Forma canónica diagonal o de Jordan Si los valores característicos p;de la matriz G son

distintos, entonces los vectores característicos correspondientes ,

~ ~ ~ t m b i é n

son distintos.

Defina la matriz de transformación P como sigue:

n Then

P< Thus, if we define

x k) = PX k)

se tieene que las ecuaciones 6-30)

y

6-31) pueden estar dadas

por

las ecuaciones

x k 1) = Gx k) i lu k)

y k)

=

Ci k) Du k)

6-43)

6-44)

donde G= p-

1

GP, p-

1

H, e

= CP

y

D=D Por

lo

tanto, las ecuaciones 6-43)

y

6-44) pueden

ser escritas como

] [ ~ : \ Z l ] [;:]u k)

Pn

Xn k)

an

6-45)

..

.

. B n ] [ ~ : i Z l ]

Du k)

Xn k)

y k)

= [ 81

Bz

6-46)

donde las

a; y

las {3; son constantes, tales que a;{3; es

el

residuo en el polo z =

p

;; es decir, tal que a;a;

aparecerán en el numerador del término 1/ z -

p;)

cuando se expande la función

de

transferencia de

pulso en fracciones parciales como sigue:

C z l

G -

H D

= C z l Gr

1

l D

= a

1

{3

1

ctz

Bz . . . an

Bn

D

Z -

p¡

Z - Pz Z - Pn

6-47)



4

Ubicación

de

polos

y

diseño

de obse

rvadores

C

ap

ítulo 6

En

muchos casos escogemos a

1

= a

2

=·· ·=a = l . [Observe que la condición necesaria y suficiente

para que el sistema sea de estado completamente controlable es que

O

i

=m, m+

1, .. . , n ,y que

la condición correspondiente para que sea completamente observable, es que {3, ~ O i =

1,

m+ 1, m

+

2, . , n).]

Si

existen varios valores característicos p de la matriz G, entonces escogemos la matriz de

transformación S definida como sigue:

donde las 1] ; son vectores característicos que corresponden a valores característicos distintos) o

vectores característicos generalizados que corresponden a valores característicos múltiples). Para

mayor detalle sobre vectores característicos generalizados, vea el apéndice A.) Entonces

s-

1

GS =matriz

en

la forma canónica de Jo rdan

Ahora si definimos

x k)

=

Sx k)

entonces se pueden dar las ecuaciones 6-30) y 6-31) como sigue:

X: k +

1)

=

Gx k)

+ Hu k)

y k) =

cx k)

+

Du k)

donde G = s-I GS,

H

= s-I H,

e

= es y

b

= D. Si, por ejemplo, la matriz G

inc lu

ye un va lor

característico

p

1

múltiple de orden

m

y otros valores característicos

Pm

1

, Pm•

2

, , Pu

siendo todos

ellos distintos y diferentes de

p

1

y, además, si

el

rango de

p

1

G es n - 1 lo que implica que

el

polinomio mínimo

es

idéntico

al

polinomio característico), entonces las ecuaciones en

el

espacio de

estados en

la

fonna canónica de Jordan serán:

i

1

k + 1

i

2

k +

1

p¡

o

1

p¡

1

o:

1

1

1

1

1

. 1 :

1

PI:

o

:Pm+l

O

o

y k)

=

[f ¡ l3z

1

1

1

1

: o

Pn

i

1

k) o

iz k) o

X

11

k)

+ am

u k)

---

--

--

+l k)

am+l

Xn k)

an

6-48)

6-49)

donde las a; y

las {3

; son constantes, que aparecen en la función de transferencia de pulso de este

sistema:



Sección 6 4 Transformaciones útiles en el análisis

y

diseño en el espacio de estados

401

= amf3t amf32 ...

amf3m

(z -

P1)m

(z -

Pt

)m-

1

Z

- Pt

am+1f3m+t

...

anf3n

Z - Pm+1 Z - Pn

En muchos casos escogemos C<

= am

1

= · · · = C<

11

=

l . [Observe que la condición necesaria

y

suficiente para que el sistema sea de estado completamente controlable, es que

O

i =m,

m 1,

. . . ,

n), y

para que sea completamente observable, es que 3; ~ i = 1, m+ 1, m 2,

. . .

,

n).]

Observe que si

el

rango de p

1

1 G es

s

(siendo 2 $

s

$

n),

es decir, si el polinomio mínimo

es de un

grados-

1 menor que

el

del polinomio característico, entonces s-

1

GS tendrá una forma

canónica de Jordan distinta. (Para detalles, véase el apéndice A.)

Propiedad de invariancia de las condiciones de rango para la matriz de colltrolabilidad y

para la matriz de observabilidad. Considere sistemas relacionados por transformaciones de simi

litud. Definamos la matriz de controlabilidad como

M:

M

[H:GH:

· · ·

:G -

1

H]

Sea P (una matriz arbitraria

n

x

n

no singular) una matriz de transformación de similitud

y

Entonces

Por lo tanto,

p-

1

GP =

G

p-

1

G

2

P = p-

1

GPP-

1

GP = GG = G

2

p-1G3P = p-1Gpp-1Gpp-1GP =

(;J

p-1 G -1 p =

;n-1

p -

1

M

= p-

1

[H:GH:--- :G -

1

H]

= [P-

1

H:P-

1

GH: · · · :P

1

G -

1

H]

= [P

- 1

H:

p-1 GPP-1

H: . . .

; p-1 G -1pp-1 H]

= [H:

GH

: · .. :G -

1

H] = M

Dado que la matriz Pes no singular,

rank

M

=

rank

M

Similarmente, en

el

caso de la matriz de observabilidad se define

N= [C*: G*C*:

· ·

· : (G*Y-

1

C*]

Si Pes una matriz de n x n no singular arbitraria y escribimos

CP

=

C



402

Entonces

Por lo tanto.

Ubicación

de

polos

y

diseño

de observado

res

'P*N = P*[C*: G*C*: · ·

·:

(G*Y-

1

C

*)

= [P*C*: P

*G*C*:

· · ·: P*(G*) -

1

C*)

=

[C*:

(P -

1

GP)*C*: · · ·: (P -

1

G -

1

P)*C*)

=

[C* : G*C*: · · · : (G*Y-

1

C*)

=

Ñ

ran

go

N = ango

Ñ

Capílul

o 6

6-5 DISEÑO VÍA UBICACIÓN DE POLOS

En esta sección se

pr

esen

ta

rá un método de diseño

co

múnmente conocido como 1écnica de ubica-

ción de polos o de asignación de polos.

Su

pondremos que tod

as

las va riables de estado son medib

les

y disponibles para la realimentación.

Se

podrá demostrar que si el sistema considerado es de estado

completaf\lente controlable, entonces los polos del sistema en lazo cerrado pueden ubicarse en cual

qu ier loca

li

zación .deseada, mediante una real

im

e

nt

ac

ión del estado a través de una matriz de gana

n

cia de realimentación del estado apropiada.

La presente técnica de diseño empieza con

una

de terminac

ión

de

los

polos en l

azo

cerrado desea

do

s, basados

en

los requisitos de respuesta transitoria y/o respuesta en frecuencia como ve

lo

cidad,

factor de amortiguamiento relativo o ancho de banda. Una vez hechas estas cons ideraciones, supónga

qu

e decidimos que

los

polos

en

lazo cerrado deseados deben estar en z = p

1

, z = p

2

, , z = p,. (En

la se lección del período de muestreo, debe tenerse cuidado de que el sistema déseado no requiera

señales de control excesivamente grandes. De lo contrario, ocurrirán fenómenos de saturación en el

siste

ma . Si éste entra en saturación, se volverá no lineal , por lo que tal método de di seño ya

no

será

aplicable, en vista de

que

solamente lo es para sistemas lineales e invariantes en el

ti

empo.) En ton

ces, al seleccionar

una

matriz de ganancia apropi

ada

para la realimentación del estado, es posib le

obligar al sistema a tener

lo

s polos

en

lazo cerrado en

la

s posiciones deseadas, siempre y cuando el

sistema original sea de estado completamente controlable.

A continuación, se tratará el caso en que la señal de control es un escalar y se probará que una

condición necesaria y suficiente para que los polos puedan ser ub icados en loc al izaciones cuales

quiera arbitrarias

en el

plano z es que el sistema sea de estado completamente controlab

le.

Después

analizaremos algunos métodos para determinar la matriz de ganancia de realimentación de estado

requerida.

Condición necesaria y suficiente p r la ubicación arbitraria de los polos. Considere el

sistema de control en lazo abierto

qu

e se muestra en

la

figura 6-1 a). La ecuación de estado es

donde

x k 1) = Gx(k) Hu k)

x k) =vector de estado (de dimens

ión

n) en el k-ésimo instante de muestreo

u k) =señal de control

e

scalar)

en

el k-ésimo instante ele mu estreo

G = matriz de x

H = matriz de n x 1

(6-50)









































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Documents

1 Sistemas de Control en Tiempo Discreto 2a Ed - Katsuhiko Ogata