Problema 1

Un dispozitiv de cuplare automat, pe care putem să-l numim şi cuplaj centrifug, are inelul mobil tras cu strângere pe arbore.Alimentarea lui se face la presiunea constantă paliment =150 bari (prin arbore), dar piesa glisantă nu se deplasează (pentru cuplare) decât după intrarea în rotaţie şi atingerea unei anumite valori a vitezei unghiulare ω. Suprapresiunea datorată mişcării de rotaţie comprimă cu δ0 8 arcuri echidistante plasate în grosimea roţii dinţate.Se cunosc:

densitatea fluidului ρ=800 kg/m3

diametrul arborelui d=20 mmdiametrul cuplajului D=50 mmjocul δ0=0,5 mmconstanta arcurilor k=20 N/mmcoeficientul de frecare (cu arborele) μ=0,1

Se cere:- Determinarea forţei de strângere pe arbore a inelului mobil- Viteza unghiulară la care se asigură cuplarea complexă (δ0=0) Se neglijează greutatea fluidului, adică componenta forţei masice de câmp

fmz=0

RezolvareAlegem un sistem de axe convenabil Oz, pe direcţia axului arborelui .

Condiţia la limită pentru determinarea constantei este dată la intrarea în camera cuplajului, adică la r=d/2, p0=palim= 150·105 Pa

ecuaţia distribuţiei de presiuni .

În prima fază cuplajul este alimentat dar nerotindu-se nu ar trebui să facă cuplarea deci, forţa de frecare pe arbore trebuie să fie superioară forţei datorate presiunii statice din camera cuplajului.

Pentru că

Pentru a doua întrebare, forţa suprapresiunii aduse de mişcarea de rotaţie comprimă cele 8 arcuri

Din această egalitate se extrage ω.

Problema 2Un rezervor cilindric cu diametrul 100 mm şi înălţimea 300 mm este deschis în partea superioară. În repaus absolut el este umplut cu apă până la H=150 mm. Apoi, rezervorul cilindric se roteşte în jurul axei verticale.

1. Care este turaţia maximă la care lichidul nu părăseşte vasul în rotaţie?2. Cilindrul este acoperit cu un disc (perforat central) de diametru 100 mm

coborât până la 200 mm faţă de fundul vasului. Dacă vasul se roteşte cu viteza determinată la punctul 1, determinaţi apăsarea lichidului pe acel capac.

Pentru soluţia problemei la punctul 1 folosim construcţia din stânga Prin alegerea corespunzătoare a axelor

Evident, aici problema priveşte suprafaţa deoarece pentru păstrarea lichidului în vas suprafaţa liberă nu poate depăşi buza vasului

La z=z0 r=r0=0 (vârful paraboloidului) -> const=z0

După cum rezultă din enunţ, nici z0 nu este încă cunoscut. Apelăm la egalitatea în repaus absolut şi în rotaţie (conservarea volumului de lichid)

Cota de vârf a paraboloidului este nulă, adică paraboloidul este perfect înscris în cilindru şi ecuaţia suprafeţei devine

Punctul de la buza vasului trebuie să verifice această ecuaţie pentru că atunci când lichidul urcă până acolo, punctul aparţine suprafeţei libere. (z=z2 şi r=r2)

2. În cea de-a doua situaţie este de prevăzut că ne va interesa distribuţia de presiuni, adică

dar până acolo, pentru determinarea domeniului de integrare şi a constantelor, urmează să folosim tot ecuaţia suprafeţei libere şi conservarea masei (volumului).Alegând originea sistemului de coordonate în vârful paraboloidului

şi punctul de la raza r, verifică ecuaţia

(1)

Ca şi în cazul anterior, scriem şi ecuaţia de bilanţ volumic

(2)

Eliminind pe z1 între relaţiile (1) şi (2)

respectiv

şi imediat

Acum revenim la problema forţei, problemă care are, începând din acest punct, o rezolvare clasică.Determinăm constanta prin punctul de la vârful paraboloidului z=0, r=0, pat

Pat=const

Peretele pe care se determină forţa, între r1 şi r2, se află la z=z1

Problema 3

Un rezervor paralelipipedic încărcat cu petrol, aerisit prin gurile de vizitare din A şi B (vezi desenul) conţine petrol cu ρ=850 kg/m3 până la înălţimea de 2 m. Determinaţi:

- valoarea maximă a acceleraţiei cu care este antrenat rezervorul spre dreapta pentru ca să nu piardă petrol prin gaura de vizitare A;

- valoarea presiunii în A, dacă această deschidere se acoperă cu un capac şi acceleraţia creşte la 8 m/s2 în acelaşi sens (B rămâne deschis).

1. În cazul primei întrebări, interesează poziţia suprafeţei libere în timpul mişcării acelerate, respectiv se integrează ecuaţia diferenţială

-ax dx-gdz=0 (dρ=0 pe suprafaţa liberă)

prima derivată a funcţiei z=f(x)

z(x) este o dreaptă, deci prima derivată este coeficientul unghiular al dreptei (panta dreptei)Având în vedere observaţia de mai sus, putem formula dz/dx geometric

Ultima ecuaţie are însă două necunoscute ax şi z2 deci am avea nevoie de încă o ecuaţie. Ca de obicei, în probleme de acest fel trebuie să găsim o formulare legată de conservarea masei (încă nu am pierdut lichid din rezervor!)Golul din rezervor, în repaus absolut, trebuie să aibă acelaşi volum cu golul din rezervor în repaus relativ.

Şi valoarea acceleraţiei rezultă imediat

Interpretare - la depăşirea acestei acceleraţii (spre dreapta) din rezervor se pierde lichid prin A.

2. Pornim de la ecuaţia diferenţială

Din păcate, avem doar o ecuaţie a distribuţiei de presiune obţinută cu aproximaţia unei constante.Apelăm tot la relaţia de conservare a masei, gura de vizitare din A a fost închisă înainte de a se pierde petrol din rezervor.Pentru că acceleraţia a crescut (aproape s-a dublat), dreapta care descrie suprafaţa liberă este alta, (vezi figura din dreapta). Volumul golului este egal acum cu ½ BG·FB, punctele F şi G fiind rezultat al intersecţiei suprafeţei libere cu pereţii rezervorului paralelipipedic.Punctul F verifică ecuaţia

Împreună cu (egalitatea golurilor)

Iar ecuaţia pantei dreptei m

Deci

Coordonatele lui În punctul G

Suprapresiunea în A (0,3)

Problema 4

Un vagon cisternă, de formă paralelipipedică, care conţine un lichid de densitate ρ=820 kg/m3 are dimensiunile L,H,B. Cisterna se deplasează orizontal cu acceleraţia constantă (de la stânga la dreapta). 1. Determinaţi relaţia care descrie distribuţia presiunii pe peretele din faţa şi din

spatele cisternei, dacă tot volumul este ocupat de lichid, aerisirea asigurându-se printr-o gură de vizitare în punctul M. (vezi figura)

2. Determinaţi aceleaşi relaţii când gura de vizitare se află în partea dreaptă (punctul I)

Punctul 1.

Determinarea constantei se face prin condiţia la aerisire adică pentrux=L/2, z=H ->pM=0 (scară manometrică)

Distribuţia de presiuni pe capacul vertical din spate (x=0)

şi forţa hidrostatică în mişcare accelerată a vagonului

După calcule rezultând

Distribuţia de presiuni pe capacul vertical din faţă x=L

şi în final

Pentru punctul 2, repornim de la determinarea constantei pentru că acum coordonatele gurii de vizitare (şi de aerisire) sunt altele x=L, z=H, pI=0

aL+gH=const

Problema distribuţiei de presiuni pe cei doi pereţi se discută analog.Observaţie: Faceţi o comparaţie între valorile forţelor determinate pe fiecare perete, în ambele situaţii (1 şi 2).

Problema 5

Un vas cilindric execută o mişcare de rotaţie în jurul axei Oz (axa de simetrie) şi o mişcare de translaţie accelerată în jurul aceleiaşi axe (în sus). Să se determine valoarea acceleraţiei de translaţie az în următoarele condiţii:a) Forţa care acţionează asupra fundului vasului să fie de două ori mai mare

decât cea care se constată atunci când lichidul se găseşte în repaus absolut;b) Suprafaţa de izobară (liberă) este un cilindru de rază r.

Nivelul lichidului în repaus absolut este h.Pentru calculul numeric se folosesc următoarele date ω = 15 rad/s; R=50 mm; h = 100 mm; g = 9,8066m/s2

Constanta se determină prin verificarea parabolei în 2 puncte (A şi B)A.

B.

Prin egalarea celor două constante

Să revenim la cazul simplu al unei mişcări de rotaţie

suprafaţa izobară

pentru

distribuţia de presiuni

Constanta se determină cu condiţia r = 0 , z = z0

Conservarea volumului

care se înlocuieşte în (1)

Am determinat de fapt ordonata la origine a paraboloidului. Dacă revenim la ecuaţia diferenţială pentru calculul distribuţiei de presiuni

În vârful paraboloidului ( scară manometrică)

pe fundul vasului, adică z = 0

prin calcul

În repaus absolut forţa pe fundul vasului este

Concluzia este că at=g2.Pentru acest punct facem o speculaţie legată de vectorul forţei masice generalizate: el trebuie să fie perpendicular pe aria laterală a cilindrului de rază r

Rezultă evident că