1

Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión

Capítulo 3: Regresión Lineal Simple

2

Temas

Modelo de Regresión Lineal Simple Estimaciones puntuales de los mínimos

cuadrados Estimaciones puntuales y predicciones

puntuales Suposiciones del modelo y el error estándar Prueba de la significancia de la pendiente y la

ordenada al origen Intervalos de confianza y de predicción Coeficientes de determinación y correlación

simples Una prueba F para el modelo

3

Modelo de Regresión Lineal Simple

Supuesto básico: la relación entre la variable dependiente (y) y la variable independiente (x) es aproximadamente una linea recta.

4

Modelo de Regresión Lineal Simple

Consumo de combustible según temperatura

28.00, 11.7032.50, 12.40

39.00, 10.80

45.90, 9.40 57.80, 9.50

62.50, 7.50

28.00, 12.40

58.10, 8.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00

Temperatura media por hora (Fahrenheit)

Co

nsu

mo

de

com

bu

stib

le (

ton

elad

as

po

r se

man

a)

Diagramade

dispersión

5

Modelo de Regresión Lineal Simple

Consumo de combustible según temperatura

28.00, 11.7032.50, 12.40

39.00, 10.80

45.90, 9.40 57.80, 9.50

62.50, 7.50

28.00, 12.40

58.10, 8.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00

Temperatura media por hora (Fahrenheit)

Co

nsu

mo

de

com

bu

stib

le (

ton

elad

as

po

r se

man

a)

Diagramade

dispersión

observamos: - tendencia negativa- puntos dispersados alrededor de la línea

6

Modelo de Regresión Lineal Simple

y = μy|x + = β0 + β1x + Donde

μy|x = β0 + β1x es el valor medio de la variable dependiente y

cuando el valor de la variable independiente es x.

β0 = ordenada al origen (valor medio de y cuando x = 0)

β1 = pendiente ( valor medio de y cuando x una unidad)

es un término de error: describe los efectos de todos los factores no incluidos en el modelo

7

Modelo de Regresión Lineal Simple

Si β0 = 15.77 y β1 = -0.1281, entonces cuando la temperatura x = 28, el valor medio de consumo de combustible que observamos es

μy|x = β0 + β1x = 15.77 – 0.1281(28)

= 12.1832 MMcf de gas natural.

8

Modelo de Regresión Lineal Simple

Si β0 = 15.77 y β1 = -0.1281, entonces cuando la temperatura x = 29, el valor medio de consumo de combustible que observamos es

μy|x = β0 + β1x = 15.77 – 0.1281(29)

= 12.0551 MMcf de gas natural.

La diferencia = 12.0551 - 12.1832 = -0.1281

9

Modelo de Regresión Lineal Simple β0 y β1 se llaman parámetros de regresión. Ya que no conocemos los valores reales de

β0 y β1 , debemos estimarlos con los datos de la muestra.

(Nota: la interpretación de β0 a veces no es aplicable.)

Importante: observamos que estas variables se mueven juntas, mas no podemos deducir una relación causa-efecto.

10

Estimaciones puntuales de los mínimos cuadrados estimación puntual de los mínimos cuadrados de la

pendiente β1

n

xxxSS

yn

yxyxyyxxSS

donde

SS

SSb

iixx

iiiiiixy

xx

xy

2

2

1

11

Estimaciones puntuales y predicciones puntuales Estimación puntual del valor medio de la

variable dependiente cuando el valor de la variable independiente es x0

se predice = 0

010ˆ xbby

12

Estimaciones puntuales y predicciones puntuales Se puede demostrar que estas estimaciones

puntuales dan un valor de la suma de los residuos cuadráticos (SSE) que es menor que la que se obtiene con cualesquiera otros valores de b0 y b1. Se les llaman estimaciones puntuales de los mínimos cuadrados.

la recta se llama recta de regresión de mínimos cuadrados

la ecuación se llama ecuación de prediccción de mínimos cuadrados.

13

Suposiciones del modelo y el error estándar Suposiciones

1. A cualquier valor dado de x, la media de la población de los valores potenciales del término error es igual a cero.

2. Suposición de la varianza constante. A cualquier valor dado de x, tiene una varianza que no depende del valor de x.

3. Suposición de la normalidad. A cualquier valor dado de x, tiene una distribución normal.

4. Suposición de la independencia. Cualquier valor del término error es estadísticamente independiente de cualquier otro valor de .

14

Suposiciones del modelo y el error estándar En otras palabras,

dado un valor de x, la población de valores potenciales del término de error tiene una distribución normal, con valor medio 0 y varianza σ2 que no depende de x.

La población de valores potenciales de y|x tiene distribución normal con valor medio de β0 + β1x y varianza σ2 que no depende de x.

Es más probable que la suposición de independencia se viole cuando se utilizan series temporales en un estudio de regresión.

15

Suposiciones del modelo y el error estándar Error cuadrático medio = estimación puntual

de σ2

error estándar = estimación puntual de σ

22

n

SSEs

2n

SSEs

n

i

n

i

n

i

n

iiiiiii yxbybyyySSE

1 1 1 110

22ˆ

vary|x

16

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen

Hipótesis nula: β1 = 0

nivel de significancia α (0.10, 0.05, 0.01) los valores p se basan en n-2 grados de

libertad Se rechaza la hipótesis nula si se

cumple la condición de punto de rechazo de alguna de las hipótesis alternativas, o si p < α

17

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen

Si se cumplen los supuestos de la regresión, entonces la población de todos los valores posibles de b1 es normalmente distribuida con valor medio β1 y desviación estándar

cuya estimación puntual es

xx

bSS

1

xx

bSS

ss 1

18

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen

y la población de todos los valores posibles de la estadística de prueba t

tiene una distribución t con n – 2 grados de libertad.

1

1

bs

bt

19

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen

Hipótesis alternativa

Condición de punto de rechazo

Valor p

Ha : β1 ≠ 0 2 (área bajo la curva t a la derecha de |t|)

Ha : β1 > 0 área bajo la curva t a la derecha de t

Ha : β1 < 0 área bajo la curva t a la izquierda de t

)2(2/|| ntt

2 ntt

2 ntt

20

Intervalos de confianza y de predicción

Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un intervalo de confianza de 100(1-α)% para la pendiente verdadera β1 es

1

22/1 b

n stb

21

Intervalos de confianza y de predicción

Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un valor de distancia (v.d.) para un valor particular x0 de x (para la regresión lineal simple) es

xxSS

xx

ndv

201

..

22

Intervalos de confianza y de predicción

Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un intervalo de confianza de 100(1-α)% para el valor medio de y cuando la variable independiente es x0 es

..ˆ 22/ dvsty n

23

Intervalos de confianza y de predicción La población de todos los errores

posibles de predicción está normalmente distribuida con media cero y desviación estándar

σ√1 + valor de distancia La estimación puntual es

s√1 + valor de distanciaSe llama error estándar del error de

predicción

24

Intervalos de confianza y de predicción Si se cumplen las suposiciones de la

regresión, un intervalo de predicción 100(1-α)% para un valor individual de y cuando la variable independiente es x0 es

..1ˆ 22/ dvsty n

25

Intervalos de confianza y de predicción

Nótese que el intervalo de predicción es mayor que el intervalo de confianza: mayor incertidumbre acerca del término de error.

Entre más alejado del valor medio es xi, mayores son los intervalos de confianza y de predicción.

26

Coeficientes de determinación y correlación simples En el caso del modelo de regresión lineal simple,

1. Variación total = Σ(yi-y)2

2. Variación explicada = Σ(yi-y)2

3. Variación inexplicada = Σ(yi-yi)2

4. Variación total = Variación explicada + Variación inexplicada

5. El coeficiente de determinación simple es

r2 = (variación explicada)/(variación total)

6. El r2 es la proporción de la variación total en los n valores observados de la variable dependiente que explica el modelo de regresión lineal simple

27

Coeficientes de determinación y correlación simples

Coeficiente de correlación simple (r) entre y y x

si b1 > 0

si b1 < 0

donde b1 es la pendiente de la recta de mínimos cuadrados que relaciona y con x. Este coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación lineal entre y y x.

2

2

rr

rr

28

Coeficientes de determinación y correlación simples

También se puede calcular mediante la fórmula

yyxx

xy

SSSS

SSr

29

Coeficientes de determinación y correlación simples

La correlación de la población de todas las combinaciones posibles de valores observados de x e y se denomina ρ

Para probar la hipótesis nula H0: ρ = 0, utilizamos la estadística de prueba

21

2

r

nrt

30

Una prueba F para el modelo

estadística F global

F(modelo) = Variación inexplicada(Variación explicada)/(n-2)

Podemos rechazar H0:β1=0 y aceptar Ha: β1≠0 en el nivel de

significancia α si se cumple alguna de:

F(modelo)>F[α]

Valor p < α

En el punto F[α] se basa en 1 grado de libertad para el

numerador y n-2 grados de libertad para el denominador.