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CAPITULO I

PROGRAMACIN LINEAL

ENTERA

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En este captulo veremos problemas que se

podran formular y resolver como problemas

de programacin lineal, excepto por ladesagradable circunstancia de que se

requiere que algunas o todas las variables

tomen valores enteros.

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Dichos problemas se llaman PE

(Programacin Entera.

!a programacin entera ha llegado a

ser un "rea muy especiali#ada de la

ciencia de la administracin.

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En este curso slo la tocaremos en

forma superficial, veremos la importancia

del tema y algunos m$todos de

resolucin m"s %tiles.

&imos en los captulos anteriores quelas variables podan tomar valores

fraccionados, tales como 6.34. Pero haycasos en el mundo real que no esposible esto y deben ser enteros.

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En el fondo es que existen muchos

problemas administrativos importantesque seran de programacin lineal si no

fuera por el requerimiento de que sean

enteros los valores de algunas

variables de decisin, en los que no se

pueden encontrar una buena solucin

mediante el uso del m$todo simplex

seguido del redondeo de los valoresptimos resultantes para las variables

de decisin.

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Estos problemas deben ser resueltos

mediante algoritmos especialmentedise'ados para resolver problemasde programacin entera.

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TIPOS DE MODELOSPAA

PO!AMA"I#$ LI$EAL E$TEA

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Modelo entero puro (PEP)

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inimi#ar )*+ -* /*0

1u2eto a +34*+ 5*

-4*

0-6)

6*+ +4*

*

040

*+, *

, *

0enteros

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Programac!n lneal entera"m#ta

(PLEM)

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inimi#ar )*+ -*

/*

0

1u2eto a +34*+ 5*

-4*

0-6)

6*+ +4*

*

040

*+

, *

, *0

3 7 *+

y *

enteros.

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Pro$lema% $naro%o

Programac!n lnealentera&"'.

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Diversos problemas de asignacin,ubicacin de planta, planes deproduccin y de construccin, son

de programacin lineal entera 0-1.Las variables 0-1 se puedenencontrar tanto en problemas dePEP como PLEM.

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I$TEPETA"I#$ !A%I"A

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aximi#ar +4E )8

1u2eto a E 8 - (+

/.4E +338 433 (

3E )8 +/ (0

03E +38 +0 (/

E 9 08 3 (-

E y 8 enteros

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"OME$TAIOS

En un problema de ma&imi'acin(el valor ptimo de la aproximacinP! produce siempre una cota s)periorpara el valor ptimo del P!Eo P!E original. 1i se agregan restricciones de enteros el valor

optimo de la P!, o bien empeorar", o bien quedar" igual. En un

problema de maximi#acin, empeorar el valor ptimo significa

desminuirlo.

En un problema de minimi#acin, el valor ptimo de la aproximacin

de P! siempre proporciona una cota in*eriorpara el valor ptimo dela P!E o P!E original. :uevamente, el agregado de restricciones

entera o bien empeora o bien de2a igual el valor ptimo de la P!. Enun problema de minimi#acin, empeorar el valor ptimo significa

aumentarlo.

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otro e2emplo

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APLI"A"IO$ES A LA +AIA,LE -/

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!as variables binarias o 3;+ 2uegan unimportante papel en la aplicacin de las

P!E y de la P!E. Estas variables hacen

posible incorporar

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Dos ejemplos ilustran lo ue decimos!

> '" En un problema de ubicacin deuna planta pondremos * + ' si

decidimos ubicar la planta en lalocalidad * y *+ & si decidimos no#acerlo.

> ," En un problema de asignacinde rutas escribimos *- + ' si elcamin - va de la ciudad a la

ciudad*o *-+ &si no lo #ace.

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Ejemplo

> Presupuesto de capital! $na decisinsobre e%pansin. Muc#as &rmastoman decisiones sobre inversiones

anuales de capital. En 'orma simple,las decisiones sobre presupuestosdel capital es cuestin de escoger

entre n alternativas para ma%imi(arel r)dito, con sujecin a restriccionessobre el monto del capital invertido a

pla(os.

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*omo ejemplo, supngase ue la mesa dedirectores de la Protrac a'ronta el problemaue se resume a continuacin

?lternativa (2

&alor?ctual del

@$dito:eto

Aapital requerido en ela'o i para la alternativa 2

+ 0 / -

Expansin de la planta en B$lgica /3 +3 - 3 +3 3Expansion de la cap. de maq. pq.en E.C. 63 03 3 +3 +3 +3

Establecimiento de una nuevaplanta en Ahile 43 +3 3 6 3 +3Expansin de la cap. de maq. gr. enE.C. +33 3 +3 /3 3 3

Aapital disponible en el a'o i bi -3 /- 63 /3 03

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?lternativa (2

&alor?ctual del

@$dito:eto

Aapital requerido en ela'o i para la alternativa 2

+ 0 / -

Expansin de la planta en B$lgica /3 +3 - 3 +3 3Expansion de la cap. de maq. pq. enE.C. 63 03 3 +3 +3 +3

Establecimiento de una nueva plantaen Ahile 43 +3 3 6 3 +3Expansin de la cap. de maq. gr. enE.C. +33 3 +3 /3 3 3

Aapital disponible en el a'o i bi -3 /- 63 /3 03

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.ormulac!n de un modelo de PLE

Ma%imi(ar +01 0/ 0 100+

2ujeto a 101 0/ 10 /0+30

31 /0/ /010++3

/01 10/ / +0+0 101 10//0 /0++0

10/ 10

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$tilicemos el 6in728

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Apro#mac!n de la PL

9os acercaremos a este problema resolviendoprimero la apro%imacin de PL. :esolviendo atrav)s del programa computacional /n012setiene!

;$9*?@9 =8AEB?;=4 /00

14 0.///

/4 0.C4 0./

+4 1.0+1

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1oluc!n entero puro

$tili(ando el programa /n012y usandocdigos de programacin entera se tiene elsiguiente resultado

;$9*?@9 =8AEB?;=4 10.0

14 1

/4 14 1

+4 0

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Condcone% L!gca%

$n importante uso de las variables 0-1consiste en imponer restricciones uesurgen de condiciones lgicas veamos

algunos ejemplo.

No m3% de - de entre n alternat4a%

2upngase i4 0 o 1, para i 4 1,..,n

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La restriccin

'5 ,5 66 5 n -

?mplica ue cuando -alternativasde n posibilidades pueden serseleccionadas. Es decir, ya uecada puede ser solamente & ', la restriccin anterior dice ue

no mFs de - de ellas pueden ser

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Por esta ra(n, la mesadirectiva uiere descartar unadecisin ue incluya la

e%pansin en 8)lgica y unanueva planta en *#ile.

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8ec%one% dependente%

2e pueden usar variables 0-1 para 'or(ar unarelacin de dependencias entre dos o masdecisiones. 2upongamos, por ejemplo, ue eladministrador no desea elegir la opcin -a menos

ue se elija primero la opcin m.La restriccin

- m (9)

! -: m &

da vigencia a esta condicin.

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> N!te%e ue sim no e%seleccionada, entonces m+ &

> La ecuacin G9H obliga entonces aue

-

sea igual a cero Go sea ue laopcin -no serF seleccionadaH.

> Por otra parte, si mes seleccionada;

m

+ '

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Ca%o de la Protrac

Por ejemplo, supngase ue el administrador dela Protrac piensa ue, si van a e%pandirse dentrode los Estados $nidos, su posicin competitivaimplica ue de&nitivamente deben e%pandir la

capacidad en mauinas grandes.

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An3logamente

2upngase ue la mesa directivadecide! Isi vamos a e%pandir nuestracapacidad domestica, debemos

e%pandir ambas lneas.

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Re%trccone% de aportacone%

*onsidere a un administrador &nanciero ue tienelas siguientes restricciones

9 2i compra la obligacin *, debe comprar al menos ,&

acciones.

9 9o puede comprar mas de '&&acciones de la obligacin*. 2ea * el nmero de acciones de la obligacin * uecompra.

9 La restriccin Isi se compra * deberFn comprarse almenos ,& accionesK se llama Icantidad mnima deaportacinK o Icantidad de la tandaK.

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7ueremos ue sea o bien * + &o ,& *'&&.

Para lograr esto necesitamos usar una variable0-1, digamos >*, para la obligacin*.

La variable >*tiene la siguiente interpretacin!

2i yj4 1, se comprarF la obligacin j.

2i yj4 0 no se comprarF la obligacin j.

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*onsid)rese a#ora las dos restricciones

* '&&>* (99)

* ,&>* (999)

> ;emos ue si >*+ ', entonces GNNH y GNNNH implican ue ,&

* '&&

> Por otra parte si >* + &, entonces GNNH implica ue * &.

> Las dos desigualdades juntas implican ue *+ &.

> Entonces, si >*+ ', con lo ue se compra*, y &cuando no,tenemos la condicin apropiada para *.

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PRO2LEMA 8E U2ICACIN 8ELO1 ALMACENE1 1TECO

> *on el objeto de a#orrar capital, la 2teco,comerciante al por mayor de acero, aluila susalmacenes regionales. El aluiler mensual delalmac)n es .. Oay cuatro distritos de ventas y la demandamensual acostumbrada del distrito * es de d*

camiones cargados. El costo medio de enviar uncamin del almac)n al distrito * es C*. La 2tecouiere saber cuales almacenes aluilar y cuantoscamiones enviar de cada almac)n a cada distrito.

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?

+

AB

0 /

8?

?

8B 8A

B A

D1@F1

DE?:D? E:1C?! d+ d d0 d/

?!?AE:E1

AF1F E:1C?! DE

?!GC!E@ DE ?!?AE:E1

A?P?AD?D (E: A?F:E1A?@H?DF1

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Almac0n

"osto por camin

1"i2Distrito de entas

"apacidad

Mens)al1n)mero decamiones

"ostomens)al delal5)iler

/ 3 4

A /7- 4- 7- /6- -- 778-, /8- /98 /-- /- 8- 4---

" /-- 4- /4- 6- 3-- 88--

Demandamens)al

1camionescargados

/-- 9- //- 6-

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Con%deracone% %o$re la ?ormulac!n del modelo

La decisin de aluilar o no un almac)n enparticular parece reuerir una variable 0-1,puesto ue el costo de aluilar un almac)n no varia con el nivel de la actividad Gporejemplo, con el numero de camionesenviados desde )lH

yi 4 1 si se aluila el almac)n i

yi4 0 si no

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> En primera instancia parece adecuado considerar el nmero decamiones enviados del almac)n al distrito como una variable entera.Oay varios 'actores ue indican considerar el numero de camiones

como una variable continua, a saber!> > '" Este es un modelo de planeacin, no un sistema detallado de

operacin. En este caso, el nmero de camiones ue indiue lasolucin de nuestro problema de programacin matemFtica uevayan del almac)n al distrito*es slo una apro%imacin de lo uerealmente ocurra en un da dado.

> ,- *onsiderar el nmero de camiones como variable entera #ara elproblema muc#o mFs di'cil de resolver.

> 7- *laro estF ue cuesta muc#o mFs el aluiler de un almac)n ueel envi de un camin desde el almac)n al distrito de ventas. Lamagnitud relativa de estos costos implica otra ve( ue esrelativamente mFs importante la decisin de Ialuilar o no aluilarKconsiderada como variable entera, en oposicin a lo de los camiones.

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Un modelo de PLEM

Para elaborar el modelo del problema de la 2teco,#agamos

yi4 1 si se aluila el almac)n i

yi4 0 si no se aluila el almac)n i

i 4

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.unc!n O$*et4o

*osto total asociado a los camiones 10

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> Minimi(ar 30y

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Para el d%trto de 4enta '

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La re%trcc!n

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Las demFs restricciones son

81 8/ 8 8+ /30

y8

*1 */ * *+ 00

y*

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> Minimi(ar 30y

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> ;$9*?@9 =8AEB?;= 47'@&

+AIA,LES +ALO +AIA,LE +ALO

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