1. Primitiva de una funcion (21.11.2017)

1.1. Definicion. Sea f : I → R. Se dice que F : I → R es una primitiva de f si F es derivabley F ′ = f en I. En ese caso escribimos

F (x) =

∫f(x)dx

Si F es una primitiva de f en I, f admite como primitivas a las funciones F +K, ∀K ∈ R,y solo a ellas. En efecto:

a) Si F es primitiva de f, (F +K)′ = F ′ = f .

b) Si G′ = f , entonces (G− F )′ = G′ − F ′ = 0 =⇒ G− F = K =⇒ G = F +K.

1.2. Condicion necesaria para la existencia de primitiva.

- En “La derivada como lımite de derivadas” (CI1, Tema IV) se demostro lo siguiente:

Sea f : I → R, definida en I = [a, a + δ). Si f es continua en I, derivable en I \ {a} y∃ lım

x→a+f ′(x), entonces f es derivable en a+ y se cumple f ′(a+) = lım

x→a+f ′(x)

(analogamente para el caso correspondiente con a−).

Esto es una condicion suficiente. Si existe lımite, f es derivable. Pero puede ocurrir que noexista lımite y aun ası f sea derivable.

- Si f es derivable en I, entonces ∃f ′(x0) ∀x0 ∈ I, luego ∃f ′(x+0 ) = f ′(x−0 ) = f ′(x0). En estecaso existen dos opciones:

a) ∀x0 ∈ I existen los lımites laterales de f ′(x), que deben coincidir con f ′(x0) por elteorema anterior, y la funcion f ′ es continua en I.

b) En algun punto de I no existe alguno de los lımites laterales, con lo que f ′ tiene endicho punto una discontinuidad de 2a especie.

- Ası pues, si una funcion es derivable, su derivada puede ser discontinua en algun punto,porque no exista algun lımite lateral; pero no puede tener discontinuidades de salto(lımites laterales distintos). Por lo tanto, una funcion discontinua en algun punto a ∈ Ipuede tener primitiva en I (o puede no tenerla); pero si la discontinuidad es de saltopodemos asegurar que no tiene primitiva en I.

- Ejemplo 1: Sea la funcion f(x) =

{x2 sen 1

x, x 6= 0

0, x = 0.

Calculando la derivada, obtenemos f ′(x) = 2x sen 1x − cos 1

x, ∀x 6= 0 y f ′(0) = 0.

Esta funcion f ′ no es continua en x = 0, pues: lımx→0

f ′(x) = lımx→0

(− cos

1

x

).

A pesar de ello, tiene primitiva (f), continua y derivable en todo R.

- Ejemplo 2: Compruebese que la funcion continua F (x) =

0, 0 ≤ x < 1

x− 1, 1 ≤ x < 2

2x− 3, 2 ≤ x < 3

es primitiva de y = E(x) en los intervalos (0,1),(1,2) y (2,3). Sin embargo, F no es derivableen los puntos de discontinuidad de E(x).

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna

2.3. Condiciones suficientes de integrabilidad (22.11.2017)

a) Toda funcion monotona en [a, b] es integrable en [a, b].

D: Supongamos que f es monotona creciente y f(b) > f(a) (si f(b) = f(a) la funcion esconstante y su integrabilidad inmediata). Entonces, en cada subintervalo [xi−1, xi],

mi = ınf f(x) = f(xi−1)Mi = sup f(x) = f(xi)

Elegido ε > 0, tomamos una particion tal que 4xi <ε

f(b)− f(a), con la cual

S(P )− s(P ) =n∑

i=1

(Mi −mi)4xi <ε

f(b)− f(a)

n∑i=1

(Mi −mi) =

ε

f(b)− f(a)[f(xn)− f(xn−1) + f(xn−1)− f(xn−2) + · · ·+ f(x1)− f(x0)] = ε

luego S(P )− s(P ) < ε y se cumple la condicion de integrabilidad.

b) Toda funcion continua en [a, b] es integrable en [a, b].

D: Si f es continua en [a, b], sera uniformemente continua en [a, b], por lo que dado unε > 0 cualquiera, existira un δ tal que, para x, x′ ∈ [a, b] se cumple

|x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| < ε

b− a(1)

Sea P (x0, x1, . . . , xn) una particion de [a, b] tal que 4xi < δ. Como f es continua, en cadaintervalo [xi−1, xi] alcanzara valores maximo y mınimo, es decir mi = f(x′i) y Mi = f(x′′i )para ciertos x′i, x

′′i de [xi−1, xi].

Entonces, al ser xi − xi−1 = 4xi < δ, se cumplira x′i − x′′i < δ; luego, debido a (??),

Mi −mi = |Mi −mi| = |f(x′′i )− f(x′i)| <ε

b− a

Por tanto, para la particion P , se cumple

S(P )− s(P ) =n∑

i=1

(Mi −mi)4xi <ε

b− a

n∑i=1

4xi =ε

b− a(b− a) = ε

con lo que se cumple la condicion de integrabilidad.

c) Toda funcion continua a trozos en [a, b] es integrable en [a, b].

Decimos que una funcion es continua a trozos si tiene un numero finito de puntos dediscontinuidad, existen en ellos lımites laterales y son finitos.

D: Puede verse en J. Burgos, 296.

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna

5. Segundo Teorema Fundamental del C. (06.02.2018)

Si f es integrable en [a, b] y g es primitiva de f , entonces se cumple

∫ b

a

f(x)dx = g(b)− g(a).

Demostracion:

- Sea P (x0, . . . , xn) una particion de [a, b]. Consideramos un subintervalo cualquiera [xi−1, xi].

Al ser primitiva de f , g es derivable en [a, b]. Entonces, por el teorema de Lagrange

∃ξi ∈ [xi−1, xi]/g′(ξi) =

g(xi)− g(xi−1)

xi − xi−1(1)

- Como g′(ξi) = f(ξi) y xi − xi−1 = 4xi, de la igualdad (1) obtenemos

f(ξi)4xi = g(xi)− g(xi−1) (2)

- Sean mi = ınf f(x), Mi = sup f(x), x ∈ [xi−1, xi]. Para todo i = 1, . . . , n se cumple

mi4xi ≤ f(ξi)4xi ≤Mi4xi

luego, teniendo en cuenta (2),

mi4xi ≤ g(xi)− g(xi−1) ≤Mi4xi, i = 1 . . . n (3)

- Repetimos ahora la expresion (3) para cada uno de los valores de i y sumamos. Obtenemos

n∑i=1

mi4xi ≤n∑

i=1

(g(xi)− g(xi−1)

)≤

n∑i=1

Mi4xi

donde el primero y tercer terminos son las sumas inferior y superior de Darboux para laparticion P , mientras que el segundo termino resulta

g(x1)− g(x0) + g(x2)− g(x1) + . . . g(xn)− g(xn−1) = g(b)− g(a)

- Entonces tenemos que, para toda particion P ,

s(P ) ≤ g(b)− g(a) ≤ S(P )

es decir que el valor g(b)− g(a) esta acotado por las sumas inferior y superior de Darboux.

- Al ser f integrable, tomando particiones Pm cada vez mas finas, las sumas de Darbouxtienden al lımite comun

lımm→∞

S(Pm) = lımm→∞

s(Pm) =

∫ b

a

f(x)dx

por lo que ∫ b

a

f(x)dx = g(b)− g(a)

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna

Apuntes de dibujo de curvas (03.11.2017)

El objetivo de estas notas es dar unas nociones basicas sobre dibujo de curvas definidas pormedio de ecuaciones cartesianas –explıcitas o parametricas– y polares:

1. Curvas en cartesianas explıcitas

La ecuacion cartesiana explıcita de una curva es de la forma y = f(x), donde f es unafuncion. Para representar curvas de este tipo es util estudiar los aspectos siguientes.

1.1. Dominio

El primer paso suele consistir en determinar el dominio o campo de existencia, identificandolos puntos en que f no esta definida. Por ejemplo, si f(x) =

√x2 + x− 2, la funcion no existe

para valores de x ∈ (−2, 1).

1.2. Ceros y simetrıas

a) Se buscan los valores de x que anulan f(x), en los cuales la curva corta al eje OX.

b) Si f(−x) = f(x) (f par), la curva es simetrica respecto al eje OY . Ej. y = cosx.

c) Si f(−x) = −f(x) (f impar), la curva es simetrica respecto al origen O. Ej. y = x3.

1.3. Asıntotas

Una asıntota es una recta a la que la curva se aproxima tanto como queramos, sin llegar atocarla (tangente en el infinito). Pueden ser de tres tipos.

a) Vertical. Se dan si f(x) → ±∞, cuando x → a. Suelen corresponder a raıces en eldenominador de f(x). Ejemplo: y = (x2 − 4)−1 tiene asıntotas en x = ±2.

Tienen tambien asıntotas verticales las curvas de ecuacion y = lnx, en x = 0+, e y = tanx,en x = (2k − 1)π/2, k ∈ Z.

b) Horizontal. Existe una asıntota horizontal si f(x)→ b, cuando x→ ±∞. Ejemplo: en lacurva y = x

x2 + 1, la asıntota es el eje OX, pues y → 0± cuando x→ ±∞.

c) Inclinada. Tenemos una asıntota inclinada de ecuacion y = mx+ n si, cuando x→ ±∞,y → ±∞ (o bien a ∓∞) y se cumple ademas

lımx→±∞

y

x= m ∈ R; lım

x→±∞y −mx = n ∈ R

Por ejemplo, la curva de ecuacion y = 2x3 + x2 + 1x2 + 1

tiene como asıntota a y = 2x+ 1.

1.4. Maximos, mınimos y puntos de inflexion

Estudiamos los valores de las derivadas primera y segunda de f , resultando:

a) Maximo. Si f ′(x0) = 0, f ′′(x0) < 0, la funcion tiene un maximo relativo en x = x0.

b) Mınimo. Si f ′(x0) = 0, f ′′(x0) > 0, la funcion tiene un mınimo relativo en x = x0.

c) Punto de inflexion. Si f ′′(x0) = 0, f ′′′(x0) 6= 0, la funcion tiene un punto de inflexionen x = x0.

Calculo Infinitesimal 1. ETSI Caminos. A Coruna

1.5. Caso particular de funciones racionales

f(x) viene dado por un cociente de polinomios y =P (x)Q(x)

.

a) Ceros Los ceros de f(x) son las raıces de P (x).

b) Asıntotas La curva tendra una asıntota vertical en los puntos correspondientes a las raıcesde Q(x). Si el orden de multiplicidad de la raız es par, no habra cambio de signo de f(x)a los lados de la asıntota y sı lo habra si el orden es impar.

Ejemplos: la curva y = (x− 1)−2 posee en x = 1 una asıntota vertical sin cambio de signo,mientras que y = (x− 2)−3 tiene una, en x = 2, con cambio de signo.

1.6. Ejemplos resueltos y propuestos

a) Estudiar la curva de ecuacion y = x(x2 − 1)−1. Comprobar que tiene simetrıa respecto alorigen de coordenadas y posee dos asıntotas verticales y una horizontal.

b) Estudiar la curva dada por y = (x2 + x − 2)(x − 2)−1. Comprobar que tiene dos ceros,extremos en x = 0 y x = 4, una asıntota vertical y otra inclinada.

c) Estudiar la curva dada por y = x + x−1. Comprobar que tiene extremos en x = ±1, unaasıntota vertical y otra inclinada. Observese que la curva posee simetrıa polar.

d) Estudiar la curva de ecuacion y =

√x− 1x , observando que tiene una asıntota vertical y

otra horizontal y que no esta definida en un cierto intervalo.

e) Representar la curva de ecuacion y = e−1/x, prestando atencion a los lımites de f(x)cuando x→ 0± y x→ ±∞.

f) Representar las curvas siguientes (solucion en las figuras 1 a 4 de estos apuntes):

y =x4

x− 1; y =

x2(x+ 1)2

x− 1; y =

3

√x4

x− 1; y =

3

√x2(x+ 1)2

x− 1

2. Curvas en cartesianas parametricas

En este tipo de curvas, las coordenadas (x, y) de los puntos de la curva se expresan en funcionde un parametro t:

x = f(t); y = g(t)

Dando valores a t obtenemos los distintos puntos. Estas curvas no siempre representan fun-ciones, pues un mismo valor de t puede dar lugar a un valor de x y varios de y.

Para representar estas curvas analizaremos los aspectos mencionados en el apartado 1, paralo que debemos determinar ciertos valores del parametro.

2.1. Cortes con los ejes

a) Corte con el eje OX. Buscamos los valores de t que anulan g(t):

t = t1/g(t1) = 0 =⇒ punto P1 (f(t1), 0)

b) Corte con el eje OY . Buscamos los valores de t que anulan f(t):

t = t2/f(t2) = 0 =⇒ punto P2 (0, g(t2))

Calculo Infinitesimal 1. ETSI Caminos. A Coruna

2.2. Asıntotas

a) Asıntota vertical en x = a. Buscamos los valores de t que cumplen

t = t3/f(t3) = a, lım

t→t3g(t) = ±∞

b) Asıntota horizontal de ordenada y = b. Buscamos los valores de t que cumplen

t = t4/

lımt→t4

f(t) = ±∞, g(t4) = b

c) Asıntota inclinada de ecuacion y = mx+ n. Buscamos los valores de t que cumplen

t = t5/

lımt→t5

f(t) = ±∞, lımt→t5

g(t) = ±∞

verificandose ademas

lımt→t5

f(t)

g(t)= m ∈ R; lım

t→t5g(t)−mf(t) = n ∈ R

2.3. Tangentes

A partir de las ecuaciones x = f(t), y = g(t) obtenemos dx = f ′(t), dy = g′(t)dt, lo que nospermite obtener la condicion de puntos de tangente horizontal

dy

dx=g′(t)

f ′(t)= 0

o bien de tangente verticaldx

dy=f ′(t)

g′(t)= 0

2.4. Puntos dobles

Puntos dobles son aquellos por los que la curva pasa dos veces. Se obtiene un punto doblecuando, para dos valores distintos de t, coinciden tanto los valores correspondientes de x comolos de y.

∃ t6, t7/f(t6) = f(t7), g(t6) = g(t7)

2.5. Representacion de las curvas x = f(t) y y = g(t)

Para facilitar la localizacion de los valores de t mencionados en los apartados anteriores,puede ser util dibujar previamente las curvas de ecuacion explıcita x = f(t) (en ejes t − x) ey = g(t) (en ejes t− y).

2.6. Ejemplos

a) En las figuras 5 y 6 se representan las siguientes curvas.

x =t(t− 1)(t− 2)

t+ 1, y =

1

t− 1; x =

(t2)(t− 1)

t+ 1, y =

t2

t+ 1

Para cada una de ellas se muestra la curva t− x, la curva t− y y la curva x− y.

b) En la figura 7 se representa la cicloide, de ecuacion x = t − sen t, y = 1 − cos t. En estecaso, t toma valores en el intervalo [0, 2π], dando lugar por tanto a un solo arco.

Calculo Infinitesimal 1. ETSI Caminos. A Coruna

c) En la figura 8 se representa la astroide, de ecuacion x = 2 cos3 t, y = 2 sen3 t. Se pideobtener su ecuacion en coordenadas x− y, eliminando el parametro t.

d) En la figura 9 se representa la circunferencia de ecuaciones parametricas x = 3 cos2 t, y =3 sen t cos t. Se pide obtener su ecuacion en coordenadas x− y, lo que permite determinarel radio y la posicion del centro sin necesidad de dibujarla.

3. Curvas en polares

3.1. Definicion

Dado un punto P (x, y) del plano, llamamos radiovector al segmento orientado que une elorigen con P . Su longitud se denota por ρ. Llamamos θ al angulo formado por las direccionespositivas del eje OX y el radiovector ρ, tomando como positivo el sentido antihorario.

Llamamos coordenadas polares de un punto al par (ρ, θ). El origen de coordenadas se deno-mina polo. El eje OX es el eje polar.

3.2. Relacion entre polares y cartesianas

Proyectando el radiovector sobre los ejes OX y OY , obtenemos que las coordenadas x e y deP son, respectivamente, los valores ρ cos θ y ρ sen θ. Para obtener la relacion inversa entre ambossistemas de coordenadas, hacemos

x2 + y2 = ρ2(cos2 θ + sen2 θ) = ρ2, tan θ =y

x(x 6= 0)

de dondeρ =

√x2 + y2 , θ = arc tg

y

x(x 6= 0)

El angulo θ puede tomar cualquier valor real, si bien los llamados “valores principales” seencuentran en el intervalo (−π, π].

Expresaremos una curva en polares por medio de una relacion ρ = ρ(θ).

3.3. Ejemplos

a) La ecuacion de la circunferencia de centro C(R, 0) y radio R, es ρ = 2R cos θ. En la figura9 (ejemplos de curvas en parametricas) se representa el caso R = 1.5.

b) Las ecuaciones de la forma ρ = a cosnθ, a ∈ R+, n ∈ N, se llaman “rosas de n petalos”.El valor de a determina el tamano de los petalos (figs. 10 y 11).

c) La cardioide tiene como ecuacion ρ = a (1 + cos θ) (en la figura 12, a = 3).

d) La ecuacion de la espiral de Arquımedes es ρ = aθ, por lo que el radiovector se anulapara θ = 0 y la curva pasa por el polo. Observamos que, en cada vuelta (θ crece 2π), ρ seincrementa en la cantidad a 2π. En el ejemplo mostrado en la fig. 13, a = 3.

e) En la figura 14 se representa la Lemniscata de Bernouilli ρ2 = cos 2θ.

f) En el caso del cırculo asintotico (fig. 15) se observa que para valores de θ proximos a 0, seproduce una asıntota horizontal (ρ → ∞). Y cuando θ → ∞, la longitud del radiovectortiende a 1, acercandose los puntos de la curva a la circunferencia de radio 1, lo que explicasu nombre.

Calculo Infinitesimal 1. ETSI Caminos. A Coruna

CURVAS EN CARTESIANAS EXPLICITAS

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

CURVAS EN PARAMETRICAS 1

Fig. 5a

Fig. 5b

Fig. 5c

Fig. 6a

Fig 6b

Fig.6c

CURVAS EN PARAMÉTRICAS 2

1 2 3 4 5 6

0.5

1.0

1.52.0

Fig 7. Cicloide.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Fig 8. Astroide.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

Fig 9. Circunferencia.

CURVAS EN POLARES

Fig. 10. Rosa de 3 pétalos = 3 Cos 3 Fig. 11. Rosa de 4 pétalos= 3 Cos 4 Fig. 12. Cardioide = 3 (1+ Cos Fig. 13. Espiral de Arquímedes (

Fig. 14. Lemniscata de Bernouilli = Cos 2 Fig. 15. Círculo asintótico (= 1+1/

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

1 2 3 4 5 6

-4

-2

2

4

-40 -20 20 40

-40

-20

20

40

-1 1 2 3 4

-1.0-0.5

0.51.01.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.3-0.2-0.1

0.10.20.3

Calculo Infinitesimal 2 Cuestion de autoevaluacionTema I. Integracion (5 minutos)

Cuestion. Hemos obtenido el concepto de integral definida para funciones acotadas en un in-tervalo compacto. ¿Como procedemos para estudiar la integral de una funcion en un intervalono acotado? Aplıquese a la integral impropia∫ 0

−∞exdx

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna

Calculo Infinitesimal 2 Solucion de la cuestionTema I. Integracion 5 minutos

Cuestion. Hemos obtenido el concepto de integral definida para funciones acotadas en un in-tervalo compacto. ¿Como procedemos para estudiar la integral de una funcion en un intervalono acotado? Aplıquese a la integral impropia∫ 0

−∞exdx

Solucion.En estos casos obtenemos la integral definida en un intervalo cerrado, sustituyendo el extremono acotado por un valor generico. Luego se calcula el lımite de la expresion resultante, cuandoel extremo tiende a infinito. Si existe lımite finito, la integral impropia es convergente.∫ 0

−∞exdx = lım

m→−∞

∫ 0

m

exdx = lımm→−∞

(e0 − em

)= 1 − lım

m→−∞em = 1 − 0 = 1

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna

Calculo Infinitesimal 2 Test de autoevaluacionTema I. Integracion (6 minutos)

Nota: Se marcaran con V las afirmaciones que se consideren correctas y con F lasconsideradas falsas. Un acierto puntua +1, un fallo –1 y una respuesta en blanco 0.

• 1.- Una funcion discontinua en I = [a, b] puede tener primitiva en I. Esta debe ser continua.

• 2.- Si f : I → R tiene una discontinuidad de salto en el punto a ∈ I, la funcion no tieneprimitiva en I. Es decir, no existe ninguna funcion F : I → R / F ′ = f en I.

• 3.- Una funcion es integrable en I = [a, b] si y solo si es continua.

• 4.- Si f y g son integrables en I = [a, b], y se cumple f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I, entonces∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

• 5.- Si f es continua en I = [a, b], su funcion integral F es primitiva de f en I.

• 6.- La Regla de Barrow puede aplicarse a la funcion Parte Entera de x.

Nota (sobre 6): .

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna

Calculo Infinitesimal 2 Test de autoevaluacionTema I. Integracion (6 minutos)

SOLUCIONES.

• 1.- V. Una funcion discontinua en I = [a, b] puede tener primitiva en I, siempre que ladiscontinuidad no sea de salto (apdo. 1.2. del programa). Pero si la funcion tiene primitiva,esta sera derivable y por tanto continua.

• 2.- V. La derivada de una funcion puede ser discontinua, siempre que la discontinuidadno sea de salto. Entonces, si f tiene una discontinuidad de salto, no puede ser la derivadade otra funcion, luego no tendra primitiva (ver apdo. 1.2. Condicion necesaria para laexistencia de primitiva).

• 3.- F. Si f es continua, es integrable; pero no viceversa. Por ejemplo, la funcion ParteDecimal y = x − E(x) es discontinua en los puntos correspondientes a valores enteros dex. Y es integrable entre a y b, ∀a, b ∈ R.

• 4.- V. La integracion de funciones conserva el orden (apdo. 2.4. Propiedades de la Integralde Riemann)

• 5.- V. Es lo que afirma el primer Teorema Fundamental del Calculo (apdo. 4 del programa).

• 6.- F. La Regla de Barrow se aplica a funciones continuas.

Calculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coruna