1. predavanje: Polja in tokovi v biološki snovi Tadej Kotnik

Bioelektromagnetika1. predavanje: Polja in tokovi v biološki snovi

Tadej KotnikLaboratorij za biokibernetikoFakulteta za elektrotehniko

Univerza v Ljubljani

šolsko leto 2007/08

Polja in tokovi v biološki snoviElektrično polje

• delci, ki imajo električni naboj, delujejo drug na drugega z električno silo v smeri daljice med nabojema; naboja enakihpredznakov se odbijata, nasprotnih predznakov pa privlačita

• jakost električnega polja v točki P definiramo kot razmerje med silo FE, ki deluje na delec v tej točki, in nabojem Q tega delca:

• če poznamo vrednost v točki P, poznamo torej tudi velikost in smer električne sile, ki bo tam delovala na delec z nabojem Q:

EFEQ

=

EF QE=

EF E

E


• vsak električno nabit delec je izvor električnega polja

• izvori so tudi večja telesa in/ali sistemi teles, če je v njih presežek ali neenakomerna porazdelitev posameznih nabojev

=

prvi način prikaza: jakost Esorazmerna gostoti puščic

drugi način prikaza: jakost Esorazmerna dolžini puščic

E med točkastima nabojema E med vzporednima nabitima ploščama


• v električnem polju na naboje deluje sila; za premik delca iz točke P1 v točko P2 po krivulji l je zato potrebno opraviti delo, s tem pa se spremeni potencialna energija delca WP:

kjer je Ψ električni potencial

• če se E ne spreminja s časom, ali pa le počasi, lahko pišemo

in

(pravimo, da je električno polje konzervativno)

( )P dW Q Q E∆ = ⋅ ∆ = ⋅ − ⋅Ψ ∫l l

2

1

d dP

PE s E s∆ = ⋅ = ⋅Ψ ∫ ∫l

E = −∇Ψ


• če se delec zaradi zunanjega električnega polja prične gibati, semu potencialna energija (skozi pospešek) spreminja v kinetično, ob prisotnosti trenja (upornost) pa tudi v toploto (izgube)

• v idealnem vakuumu (približka sta vesolje in pospeševalniki delcev) trenja ni, zato se hitrost delcev povečuje skoraj do svetlobne hitrosti, kjer se ustali zaradi relativističnih učinkov

• v snoveh je vselej upornost, zato se pospeševanje konča, ko se upadanje potencialne energije izenači s sproščanjem toplote; do tega pride zelo hitro (majhna masa delcev, zato velik pospešek)

• gibanje nabitih delcev je električni tok:

kjer je J gostota toka, S pa površina, skozi katero teče

dS

I J S= ⋅∫

Polja in tokovi v biološki snoviMagnetno polje

• nabiti delci, ki se gibljejo, delujejo drug na drugega še z dodatno, magnetno silo, ki je pravokotna na smer gibanja

• gostoto magnetnega pretoka v točki P definiramo kot razmerje med silo FM, ki deluje na gibajoči se delec, ter zmnožkom hitrosti v in naboja Q tega delca:

• če poznamo v točki P, poznamo tudi velikost in smer magnetne sile, ki bo tam delovala na delec s hitrostjo in nabojem Q:

MFB

MFBv Q

=⋅

Bv

M ( )F Q v B= ⋅ ×

v

Polja in tokovi v biološki snoviMagnetno polje

• okoli ravnega vodnika, po katerem teče tok,poteka magnetni pretok krožno:

B

BB

B

mirujočdelec

v

gibajočse delec

MF B

v vgibajoči sedelci (tok)v vodniku

=

mirujočidelci (ni toka)

v vodniku

MF

B

==

BB

=

Polja in tokoviViri električnih polj

• vire E opisujeta prva in druga Maxwellova enačba:

• prva Maxwellova enačba pove:

– da je časovno spremenljiv B vir (tudi časovno spremenljivega) E

– da je jakost tako nastalega Esorazmerna hitrosti spreminjanja B

– da silnice nastalega E potekajo krožno in pravokotno na B

BE

t∂

∇ × = −∂ E v betonskem bazenu s slano vodo, na

katerega deluje B (1 kHz, smer )

kot zgoraj, a s kovinsko kocko v vodi

qEρ

∇ ⋅ =ε

Polja in tokoviViri električnih polj


• prva Maxwellova enačba pove:

– da je časovno spremenljiv B vir (tudi časovno spremenljivega) E

– da je jakost tako nastalega Esorazmerna hitrosti spreminjanja B

– da silnice nastalega E potekajo krožno in pravokotno na B

BE

t∂

∇ × = −∂

kot zgoraj, a s kovinsko kocko v vodi

qEρ

∇ ⋅ =ε

Polja in tokovi v biološki snoviViri električnih polj


• druga Maxwellova enačba pove:– da so tudi mirujoči naboji vir E– da je jakost tako nastalega Esorazmerna gostoti naboja ρq inobratno sorazmerna dielektričnosti εsnovi, ki ločuje naboje

– da silnice nastalega E potekajo od nabojev k nabojem (od + do –)

BE

t∂

∇ × = −∂

qEρ

∇ ⋅ =ε

ε

E med pozitivno nabitim ravnim vodnikom okroglega prereza in negativno nabito

pravokotno ploščo

Polja in tokovi v biološki snoviViri magnetnih polj

• vire B opisujeta tretja in četrta Maxwellova enačba:

• tretja Maxwellova enačba pove:– da je (i) gostota toka J vir B (to smo že spoznali)– da je (ii) tudi časovno spremenljiv E vir B– da je jakost B sorazmerna magnetni permeabilnosti µ, v primeru (i) tudi J, v primeru (ii) pa ε in hitrosti spreminjanja E– da je smer nastalega B krožna in pravokotna na E

• četrta Maxwellova enačba pove:– da magnetnih nabojev ni– da silnice B vedno tvorijo sklenjene krivulje

EB J

t

⎛ ⎞∂∇ × = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

µ ε 0B∇ ⋅ = B

Polja in tokovi v biološki snoviInterakcije električnih in magnetnih polj s snovjo

• doslej smo se pretežno ukvarjali z interakcijami med posameznimi(mirujočimi ali gibajočimi se) delci ter z interakcijami posameznih takšnih delcev z električnim in magnetnim poljem

• interakcija E in B s snovjo prav tako povzroči sile, saj vsaka snov vsebuje naboje

• snovi so pretežno električno nevtralne:– vsebujejo enako pozitivnih in negativnih nabojev,– makroskopsko so ti naboji enakomerno razporejeni po snovi

• izpostavitev zunanjim poljem privede do sil na naboje in s tem njihove premike; ti se zaključijo, ko/če notranje polje, ki nastane kot posledica teh premikov, postane nasprotno enako zunanjemu


• obravnava interakcij na nivoju posameznih nabojev običajno v praksi ni mogoča, zato te interakcije opisujemo makroskopsko

• v primeru E makroskopski opis obsega tri učinke:(1) vsiljeno polarizacijo,(2) poravnavo obstoječih (trajnih) električnih dipolov in(3) gibanje "prostih" nabojev

EE

E


• obravnava interakcij na nivoju posameznih nabojev običajno v praksi ni mogoča, zato te interakcije opisujemo makroskopsko

• v primeru E makroskopski opis obsega tri učinke:(1) vsiljeno polarizacijo,(2) poravnavo obstoječih (trajnih) električnih dipolov in(3) gibanje "prostih" nabojev

• v primeru B makroskopski opis obsega en učinek:(A) poravnavo trajnih magnetnih dipolov

• učinka (1) in (2) sta sorazmerna dielektričnosti snovi (ε)

• učinek (3) je sorazmeren električni prevodnosti snovi (σ)

• učinek (A) je sorazmeren magnetni permeabilnosti snovi (µ)


• namesto (absolutne) dielektričnosti snovi včasih podajamo relativno dielektričnost, εr = ε/ε0, kjer je ε0 = 8.854×10-12 F/m dielektričnost vakuuma

• električna prevodnost snovi povezuje vektorja J in E:

• namesto (absolutne) permeabilnosti snovi včasih podajamo relativno permeabilnost, µr = µ/µ0, kjer je µ0 = 1.257×10-6 H/m permeabilnost vakuuma

• v stacionarnih sinusnih poljih lahko trojico realnih količin {ε,σ,µ}nadomestimo s parom kompleksnih količin {ε*,µ*}

kjer ε* in µ* imenujemo kompleksna dielektričnost in kompleksna permeabilnost, izraza v oklepajih pa relativna k.d. in relativna k.p.

J E= ⋅σ

0* ( )j= ⋅ ′ ′′ε ε ε − ε 0* ( )j= ⋅ ′ ′′µ µ µ − µ

Polja in tokovi v biološki snoviAbsorpcija energije

• polja E in B vsebujejo energijo; do prenosa te energije na snov (absorpcije) lahko pride preko sil, s katerimi polja delujejo nanaboje in dipole

• do prenosa energije z E na snov lahko pride:– ob vsiljeni polarizaciji in poravnavi trajnih el. dipolov (če ε″≠0)– ob delovanju na proste naboje (če 0<σ<∞)

• do prenosa energije z B na snov lahko pride:– ob poravnavi trajnih magnetnih dipolov (če µ″≠0)

• ker so biološka tkiva pretežno nemagnetna (vsebujejo zelo malo trajnih magnetnih dipolov), v biološki snovi absorpcija energije poteka skoraj izključno iz električnega polja

Polja in tokovi v biološki snoviAbsorpcija energije

• v stacionarnem sinusnem električnem polju z amplitudo E lahko prenos energije iz polja v snov opišemo s hitrostjo absorpcije na enoto prostornine (t.j. močjo, ki se sprošča v tej prostornini):

kjer je ω krožna frekvenca polja• podoben je izraz za hitrost absorpcije na enoto mase

(t.i. stopnjo specifične absorpcije – SAR):

kjer je ρm gostota snovi

• v tkivih z več vode (mišice, jetra, ...) so σ, ε″ in s tem absorpcija praviloma višja kot v bolj suhih (maščobno tkivo, kosti, ...)

• izraz (σ + ωε0ε″) včasih imenujemo efektivna prevodnost (σeff)

2102 ( )P E= + ′′σ ωε ε

2

0SAR ( )2 m

E= +

ρ′′σ ωε ε

Polja in tokovi v biološki snoviJakost magnetnega polja in gostota električnega pretoka

• za opis električnega polja lahko namesto jakosti električnega polja E uporabimo tudi gostoto električnega pretoka D:

• za opis magnetnega polja lahko namesto gostote magnetnega pretoka B uporabimo tudi jakost magnetnega polja H:

• tudi Maxwellove enačbe lahko enakovredno zapišemo v različnih podnaborih iz četverice {E,D,B,H}

• pri nižjih frekvencah tako pogosteje uporabljamo B, pri višjih H

BH =

µ

D E= ε ⋅

Polja in tokovi v biološki snoviRobni pogoji

• razmere pri prehodu polja iz ene snovi v drugo opisujejo robni pogoji:

• prvi robni pogoj pove, da se tangentna komponenta E ohranja

• drugi robni pogoj pove, da se v odsotnosti površinskega naboja qS

normalna komponenta E spremeni za faktor ε1/ε2 (normalna komponenta D se ohranja)

• tretji robni pogoj pove, da se normalna komponenta B ohranja

• četrti robni pogoj pove, da se v odsotnosti površinskega toka jStangentna komponenta B spremeni za faktor µ2/µ1 (tangentna komponenta H se ohranja)

2 1 2 2 1 1 S

2 1 2 2 1 1 S

( ) 0 ( )

( ) 0 ( )

E E t E E n q

B B n B B t j

− ⋅ = − ⋅ =

− ⋅ = − ⋅ =

ε ε

µ µ

n

t

Polja in tokovi v biološki snoviRobni pogoji

• razmere pri prehodu polja iz ene snovi v drugo opisujejo robni pogoji:

• pri prehodu E iz zraka v tkivo (ε2/ε1 ~ 106) se zato tangentna komponenta ohrani, normalna komponenta pa močno zniža

• če E v organizem vstopa skoraj pravokotno, se močno oslabi

• če E v organizem vstopa pod zelo ostrim kotom, se pretežno ohrani

2 1 2 2 1 1 S

2 1 2 2 1 1 S

( ) 0 ( )

( ) 0 ( )

E E t E E n q

B B n B B t j

− ⋅ = − ⋅ =

− ⋅ = − ⋅ =

ε ε

µ µ

n

t

Polja in tokovi v biološki snoviElektromagnetni spekter

• elektromagnetna valovanja, ki nas obdajajo, segajo frekvenčno od nekaj Hz do več kot 1020 Hz

© NASA2006

Polja in tokovi v biološki snoviVloga velikosti telesa in valovne dolžine polja

• čeprav Maxwellove enačbe načeloma pravilno opisujejo razmere v tem celotnem frekvenčnem področju, je pristop k njihovemu reševanju močno odvisen od frekvence polja, ki ga obravnavamo

• ključni kriterij pri izbiri pristopa je razmerjemed velikostjo telesa in valovno dolžinopolja, ki deluje na telo


uporabna teorija lastnosti polj

λ» L – vezja (Kirchhoff)– kvazistatično polje

– valovna narava polja zanemarljiva– E je konzervativen (delo neodvisno od poti)– E in B skoraj neodvisna (nesklopljena)– prenos energije po žicah in kablih, po zraku pa ne

λ~ L – mikrovalovi

– optika– sevanje

– valovna narava polja izrazita– E ni konzervativen (delo odvisno od poti)– E in H močno soodvisna (sklopljena)– prenos energije po kablih, valovodih in zraku

λ« L – valovna narava polja izrazita– E in H močno soodvisna (sklopljena)– prenos energije po zraku in optičnih vlaknih,

po žicah, kablih in valovodih pa ne


• elektromagnetno valovanje se ne širi skozi kovinske mreže, odprtine v katerih so znatno manjše od valovne dolžine

kovinska maska (zaslon) v steklu vrat mikrovalovne

pečice: premer odprtin 2 mm

• polje v mikrovalovni pečici ima frekvenco 2450 MHz (valovna dolžina 122 mm)

• žarnica v pečici oddaja belo svetlobo (valovne dolžine od 400 do 700 nm)

• zaslon tako prepreči uhajanje mikrovalovnega polja, prepušča pa vidno svetlobo, zato skozi zaslon vidimo vsebino pečice

Polja in tokovi v biološki snoviDozimetrija

• nalogi dozimetrije sta:– določiti zunanje polje, ki mu je organizem izpostavljen– določiti polje v organizmu, ki nastane kot posledica izpostavitve

• zunanje polje določimo:– z izračuni po formuli (pri preprostih in dobro znanih virih),– z numeričnimi izračuni (pri bolj zapletenih, a znanih virih),– z meritvami

• notranje polje določimo:– z numeričnimi izračuni– z meritvami

Documents

1. predavanje: Polja in tokovi v biološki snovi Tadej Kotnik