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La integral Determina la
antiderivada más general.
Interpreta la integral y su relación con la derivada.
Define la integral definida.
Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.
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Antiderivadas
Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
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Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.
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INTERPRETACION GEOMETRICA
5
INTERPRETACION GEOMETRICA
6
INTERPRETACION GEOMETRICA
7
INTERPRETACION GEOMETRICA
8
Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.
n
x
xxfc
b
exfa
)( )
x1
f(x) )
)( )
9
xsen
x
e
x
nx
xgxf
xfc
x
n
cos
1
)1(
)()(
)(
Función
x
xsen
e
x
nx
xGxF
xcF
x
n
cos
ln
1
)()(
)(
1
Antiderivada particular
10
CALCULO DE ÁREAS
A2
A4
A3
A1
INTEGRAL DEFINIDA Y
¿Área?
11
12
1e)x(f x
Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
xxfxxfxxfAA nn
n
ii
n
**2
*1
1
...limlim
x
13
n
1iii
*
n
b
a
x)x(flimdx)x(f
b
a
dx)x(f
Integrando
Limite
superior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.
Limite Inferior
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2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
15
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:
b
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad
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2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:
c
a
b
a
b
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
bac ,
17
La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.
31 1 -
10 x )(
2
xx
xxf
3
0
1
0
3
1
2 dx)1x(dxxdx)x(f
3
0
dxxf
Ejemplo:Si
y se quiere hallar:
18
)( abhdxhb
a
Y representa el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).
3.
19
DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:
a
a0dx)x(f.1
b
a
a
bdx)x(fdx)x(f.2
20
Definición:Sea f una función contínua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}
Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:
b
adx)x(f)S(A
21
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
b
a
f(x)dxA b
a
f(x)dxA
f(x)
dx
y
x0 a bx
22
Ejemplo 1:Calcular el área de la región:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}
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dy
y
x0
dyx = g(y)
d
c
d
c
g(y)dyA d
c
g(y)dyA
dA = g(y)dy
g(y)
24
Ejemplo 2:
Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.
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dx
y
x0 dx
y = f(x)
y = g(x)
f(x)
- g(x)
b
a
dxg(x)-f(x)A b
a
dxg(x)-f(x)A
dA =[f(x) - g(x)]dxba
26
3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;
2x1xy
-1 1
-1
1
x
y
27
4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
x1y2
