1

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée

J. Le Roux, leroux@polytech.unice.fr

- Historique- Les points fondamentaux- Applications monodimensionnelles

- signaux temporels- fonctions de transfert- radiodiffusion, transmissions- sons

- Applications multidimensionnelles- images- propagation d’ondes

interférométrie, holographie- imagerie médicale

- Tomographie X- Imagerie RMN

2

1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué1793 Comité Révolutionnaire1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique)1798 Campagne d ’Egypte avec Bonaparte, Monge (excellent organisateur)1801 Retour à Polytechnique1802 Nommé préfet de l’Isère (Champollion)1804-1807 commence (?) à travailler sur la propagation de la chaleur mal reçu par la communauté scientifique (n’a pas cité le travail de Jean Baptiste Biot...)1810 Ouvrage : Description de l ’Egypte1811 Prix (mitigé) pour son travail sur la propagation de la chaleur; le manuscrit n’est pas publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris (évite Napoléon au retour de l’île d ’Elbe)1817 Académie des sciences1822 Secrétaire de l’Académie des sciences; Publication de la ‘théorie analytique de la chaleur’1830 (16 Mai ?) Décès à Paris

J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de la physique-mathématiqueEd. Belin, 1998

home.nordnet.fr/~ajuhel/Fourier/Fourier.html

3

• Résoudre une équation aux dérivées partielles : trouver v(x,y) satisfaisant

02

2

2

2

yv

xv

et des conditions aux limites

• L’idée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes

)2sin()(L

kaxf x

kk

• Comment trouver les ?ka

Orthogonalité entre fonctions

0)2sin()2sin(0

dxqLxp

L

xL

Le problème étudié par J. B. Fourier

dxxfLxkka

L)()2sin(

0

(série de Fourier)

4

Mathématiquesun dépaysement soudainJP Bourguignon et al.Fondation CartierParis Oct. 2011

5

6

•Transformée de Fourier Laplace

•Transformée Inverse

F f t e dtj t( ) ( )

f t F e dj t( ) ( )

1

2

• Extension aux signaux échantillonnés

F k f t et

T j ktT( ) ( )

0

1 2

• Extension aux signaux multidimensionnels (images, 3D,etc..)

•1965: Invention de la transformée de Fourier rapide Cooley, Tukey, IBM

Les travaux qui s’en déduisent

F u v f x y e dxdyj ux vy( , ) ( , ) ( )

dtetfpF pt)()(

7

LA propriété fondamentale

Système linéaire invariant en temps

Entréex t( ) h t( )

Sortiey t( )

y t x t h d( ) ( ) ( )

Convolution

X ( ) H( ) Y( )Y H X( ) ( ). ( )

Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence, même si son amplitude et sa phase sont modifiées

Transformée de Fourier

8

Applications

• Transmissions analogiques et numériques

• Equations différentielles et filtrage

• Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée) MP3= analyse de Fourier + filtrage numérique

• Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole

• Identification des caractéristiques d’un système linéairepar exemple suppression d ’échos, sismographiesignaux biologiques déformés

Signaux temporels (liste non exhaustive)

• Interprétation de l ’échantillonnage des signaux en vue du traitement numérique

• Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusionnumérique (OFDM)

http://www.eskimo.com/~miyaguch/mp3info.html

9

Filtrage, annulation d ’écho, etc ... : déformation linéaire par un canal de transmission

Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser

-3.14159

-2.35696

-1.57233

-0.78770

-0.00307

0.78157

1.56620

2.35083

3.13546

-2

-1

0

1

2

-2.35696

-1.57233

-0.78770

-0.00307

0.78157

1.56620

2.35083

3.13546

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

Fréquence

Atténuation

Fréquence

Déphasage

10

Modulation d ’amplitude = translation en fréquenceexemple en communication numérique

30 80 130-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

30 80 130-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

-50 0 50 100

2

5

8

Bande de base

modulation

Addition, transmission

démodulation

filtrage

e j t1 e j t2

e j t 1 e j t 2

1 2

2 1 1 2

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

0 8 16 24 32-1.2

-0.8

-0.4

-0.0

0.4

0.8

1.2

temps fréquence temps fréquence

11

Echantillonner un signal au pas

100 700 1300 1900-1

0

1

100 700 1300 1900-1

0

1

c’est périodiser sa transformée de Fourier

-256 -128 0 128 256-0.2

-0.1

-0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-256 -128 0 128 256-0.2

-0.1

-0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Pour un échantillonnage correct, pas de composantes fréquentielles pour / t

Reconstruire le signal , c’est éliminer les hautes fréquences par filtrage passe bas

t

2 / t

x t x k t

t k tt

t k tt

k

( ) ( )sin ( )

( )

Interprétation de l’échantillonnage

t

x t( )

x k t( )

/ t / t

12

Analyse de l ’amplitude des composantes d ’un signal vocal

t

t

Unité=125 s

Unité=125 s

Signal temporel Représentation en fréquence

8000Hz4000Hz

Fondamentale à 129 Hz

0.0 5.2 10.4 15.6 20.8 26.0 31.2 36.4 41.6 46.8 52.0 57.2 62.4

0.01

0.03

0.05

0.07

0.0 5.2 10.4 15.6 20.8 26.0 31.2 36.4 41.6 46.8 52.0 57.2 62.4

0.01

0.03

0.05

0.07

600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800

-0.5

-0.0

0.5

200 600 1000

-0.5

-0.0

0.5

0Hz

harmoniques (composantesaux fréquences multiples de lafondamentale)

13

Données pour la reconnaissance de parole : mesure de l’énergie dans une vingtaine de bandes de fréquences

(échelle mél)

0 20 000 Hz

14

lg13t

mod lgt

log 13( )

log 2( ) 1

lg11t

mod lgt

log 11( )

log 2( ) 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.083

0.17

0.25

0.33

0.42

0.5

0.58

0.67

0.75

0.83

0.92

1

lgt

lg3t

lg5t

lg7t

lg11t

lg13t

lg17t

tdo ré mi fa sol la si do

do

ré

mi

fa

sol

la

si

do3 55

fa#

Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniquessont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) :

accord majeur = harmoniques 3 et 5 la H5 du fa est le la (H3 du ré) : accord mineur ?

ré fa# la (ré fa la)

http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf

15

notes jouées par un violon

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectrogram_of_violin.png

temps

fréquence

harmonique 8

16

Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur)en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme)

Temps (1s)

temps

Freq.(8kHz)

Freq.

17

Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons)

fréquence

temps

18

effet doppler :le mouvement modifiela fréquence observée

échographie dopplercirculation sanguinecosmologie

Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88

19

Codage MP3

Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numériqueet transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques:suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles

Quelques applications de la transformée de Fourier discrète

Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi

Codes correcteurs d’erreurs de Reed Solomon (transmissions numériques, téléphone mobile, CD…)

F k akt f tt

( ) ( )a : générateur d ’un corps de Galois (corps fini)

20

Filtrage des signauxdans différentes bandes de fréquences

T. FourierSélection des canaux utiles (effet de masquage1er codage

T. Cos etcodage

T. Cos etcodage

T. Cos etcodage

T. Cos etcodage

T. Cos etcodage

Em

issi

on d

es d

onné

es

Principe du codage MP3

21

Rôle fondamental de la fréquence en mécanique quantique

Les relations de Planck-Einstein établissent un lien entre la fréquence d'une onde lumineuse plane, et l'énergie des photons associés à cette onde :                                               h  constante de Planck,       fréquence de l'onde

22

implémentation de transformées unitairestransformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiterafin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcésmettant en évidence la solution du problème

Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor

Trouver les facteurs premiers d’un nombre

Ramené à la recherche de la périodicité d’une fonction :

Mise en évidence de pics régulièrement espacés dans la transformée de Fourier(c ’est une transformée unitaire)

Dans le domaine des fréquencesHarmoniques d ’une fréquence fondamentale

H|0>

H|0>

U U|u>

.

.

Informatique Quantique :

23http://www.nicolet.com/labsys/

http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256

24

Interférométrie et spectroscopie

25http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256

26

http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf

http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf

D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy at submillimeter wavelengths ». http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf

27

Résultat de l ’analyse spectrale d ’un signal RMN (résonance magnétique nucléaire)

pour une molécule d ’alcool éthylique

28

détection d’exo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale d’une étoile (effet doppler : variation de longueur d’onde de la lumière en fonction de la vitesse) :recherche d’un signal périodique en présence d’un bruit de mesure très important

effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de l’univers

29

Recherche de traces de vie extraterrestre

corrélation de deux analyses spectrales

Interférométrie et spectroscopie

mouvement périodique de planète

(effet doppler)

30

31

Infrared spectroscopy for food quality analysis and control Par Da-Wen Sun

32

Fonctions multidimensionnelles (images)

Propagation d’ondes, interférométrie

Traitement d’images

Tomographie par rayons x

Imagerie par résonance magnétique nucléaire

(Optique de Fourier)

Cristallographie, analyse des structures moléculaires

33

sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa direction et la périodedes oscillations dans cette direction

)cos( vyux

34

Traitement d ’antennes :

Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques

35

Traitement d ’imagespar exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy

Convolution de l ’image avec la transforméede Fourier de l ’ouverture du télescope

coupe

Produit dans ledomaine des fréquences

Convolution dans ledomaine spatial

36

Quelques exemples de traitement

• Correction d’effet de flou, de bougé

• Mise en évidence des contours

(Amplification des hautes fréquencesc ’est à dire des variations rapides)

• Codage d’images JPEG et MPEG(une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus)+ élimination ou codage plus sommaire des hautes fréquences

37

Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant

est dans les basses fréquences)

38

FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)

39

FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)

40

Transformée en cosinus et réduction de débit

en transmission d ’images JPEG MPEG

41

Chebyshev and Fourier Spectral Methods

John P. Boyd University of Michigan

Étude des équations aux dérivées partielles

Décomposition des fonctions étudiées sur une base, par exemple des sinusoïdes multidimensionnelles ; Trouver l’amplitude de chaque composante afin d’approcher au mieux la solution de l’équation

42

Electromagnétisme, optique ondulatoirel ’onde transmise ‘porte’ la transformée 2D de la source

(équations de Maxwell)

Application en interférométrie et en holographie

f

(Analyse des appareils d ’optique p.ex. lentilles, optique de Fourier)

(mécanique quantique)

43

Holographie = Enregistrement des interférences

formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses)

44

http://fr.wikipedia.org/wiki/Holographie

enregistrement des frangesd’interférence

éclairage de l’hologrammel’observateur, en regardantles franges voit « l’objet »

45

Interférométrie en imagerie astronomique

Antoine Labeyrie au plateau de Calern

Télescopes de l ’ESO à La Silla au Chili

Mesure de l ’amplitudeet de la phase des interférences F()

distance = fréquence =

Déplacement des télescopes: Modification de

Transformée de Fourier inverse f(x)

Problème : turbulence atmosphérique

faire interférer les signaux provenant de deux télescopes

Limitation du diamètre

46http://fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optique

47

Observatoire de Paris (LESIA)

http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=7401

interféromètre IOTA (Arizona)

surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse

48

Cristallographie

Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module dela transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse

49http://www.afmb.univ-mrs.fr/IMG/pdf/introduction-cristallo.pdf

Transformée de Fourier

50

élément pour l’étude de la structure des protéines

51

Tomographie

Reconstruire un objet à deux dimensions à partir de ses projections

52LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS D’OBJETS TRANSLUCIDESPERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS VOLUMES

53

g t f t t d( , ) ( cos sin , sin cos )

x

y

f x y( , )

t

Tomographie : formulation dans le domaine spatial

Dans le domaine des fréquencesF G( cos , sin ) ( , )

Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de g t( , )

On reconstruit F(u,v) à partir de pour différentes valeurs de G( , )

Puis on effectue une transformée inverse

u

v

54

Tomographie

55

56

Résonance magnétique nucléaire

Champ magnétique:

Faible aimantation du noyau

Possibilité d’utiliser les phénomène de résonance

A. Champ magnétique fixe B + champ tournant B B

B

à la fréquence

B. Evolution libre, retour à l ’équilibre

Décroissance exponentielle oscillante del ’aimantation (~100ms) mesurée par une antenne

La fréquence des oscillations (quelques Hz) dépend de B

(Onde radiofréquence 20 à 50 MHz)

57

0.0000

10.0294

20.0588

30.0882

40.1176

50.1471

60.1765

70.2059

80.2353

90.2647

-1.0

-0.5

-0.0

0.5

1.0

1.5

B fort

0.0000

10.0294

20.0588

30.0882

40.1176

50.1471

60.1765

70.2059

80.2353

90.2647

-2.0

-1.2

-0.4

0.4

1.2

2.0

B faible

Imagerie par RMN

On choisit B(x,y,z) fonction linaire de la position, variable d ’une mesure à l ’autre

Le signal capté par une antenne est

s t m x y zt

Tj t G r dxdydzB B( ) ( , , ) exp( ) exp ( . )

G r x

B

xy

B

yz

B

zB .

avec

Fréquence du retour à l’équilibre (exponentielle amortie) de l’ordre du Hz

58

t fixé : une valeur de la transformée de Fourier tridimensionnelle

s tt

Tm x y z j t G r dxdydzB B( ) exp( ) ( , , ) exp ( . )

(t varie: valeur suivant un axe : même formulation que la tomographie)

Une image ou un volume complet : plusieurs mesures avec des directionsde gradient différentes

Variation linéaire du champ ‘fixe’ dans l’espacex

y

B

Imagerie par RMN

Reconstruction par transformée inverse (précision du mm)

Quantité de molécules d’hydrogène dans le volume dxdydz

59

Image rmn

60

61image irm de diffusion de molécules d’eau (le long des axones)

62

Conclusion

• Vaste champ d ’application

• Grâce au traitement numérique• Grâce à l ’invention de la transformée de Fourier rapide

• Importance des systèmes linéaires invariants et de leureffet sur les signaux sinusoïdaux

• Orthogonalité des fonctions sinusoïdales

• Du point de vue mathématique

• + la théorie des distributions (en particulierla distribution de Dirac)

Copie des transparents:http://www.essi.fr/~leroux/http://www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html