CM3 - MC-II3 - Transformée de Fourier

5/12/2018 CM3 - MC-II3 - Transform e de Fourier - slidepdf.com

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Novembre 2011.

Traitement Numérique du SignalCM3 : Transformée de Fourier

Université du Havre, IUT du Havre

Département GEII




PPN 2008: MC-II3

Traitement du signal

Applications en GEII

Mise en œuvre

Test

DSP

CAN/CNATF, compression, codage




Conversion Analogique-Numérique

Représentation d'un signal

Séries de Fourier

Transformée de Fourier

Temps-fréquence

Exemples

Transformée en Cosinus Discret

Plan




1. Représentation d’un signal




Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)

t

s (t )

0

0

0

1T f

=

Traitement du Signal

f

|S (f )|

0

0

0

1 f

T =

( )0( ) sin 2s t A f t π = ( )0( )S f f f δ = −

Signal sinusoïdal : Signal Dirac: "Pic" à f = f 0 TF

TFI




2. Composantes d'un signal




0 20 40 60 80 100-2

0

2

4

6

8

t (ms)

x ( t )

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )0 1 0( ) sin 2s t a a f t π = +

0T


0 f

( ) ( )0 1 0( )S f a f a f f δ δ = + −

Composante continue :

Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f 0

0a

0 1a a+

0 1a a−

0a

1a

Composante continue

Composante fondamentale




0 20 40 60 80 100-8

-6

-4

-2

0

2

t (ms)

x ( t )

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )0 1 0( ) sin 2s t a a f t π = +

0T



0a

0 1a a+

0 1a a−

0 f

0a

1a

( ) ( )0 1 0( )S f a f a f f δ δ = + −

Composante continue :

Composante continue

Composante fondamentale




0 20 40 60 80 100-8

-6

-4

-2

0

2

t (ms)

x ( t )

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )0 1 0( ) cos 2s t a a f t π = +

0T


Dualité temps/fréquence : Influence de la phase


0a

0 1a a+

0 1a a−

0 f

( )0 1 0( ) sin 2 / 2s t a a f t π π = + +

Phase

0a

1a

( ) ( )0 1 0( )S f a f a f f δ δ = + −




3. Notion de phase




t

a

( )0 0sin 2a a f t π =

t

a

( )0 0sin 2 ( ) pa a f t π τ = −

τ ττ τ 0

( )0 0sin 2 pa a f t π ϕ = −

Temps τ ττ τ

de propagation

Déphasage temporel :

0

22 f

T

π ϕ π τ τ ωτ = = =

0

0

1T

f =

Déphasage







0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x ( t )

0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )

( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2

s t a a f t

a f t

π

π

= +

+

( ) ( )

( )

0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

Déphasage





0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )

( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2 / 2

s t a a f t

a f t

π

π π

= +

+ +

( ) ( )

( )

0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x ( t )


Déphasage





0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )

( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2

s t a a f t

a f t

π

π π

= +

+ +

( ) ( )

( )

0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x ( t )


Déphasage





0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

( )

( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2 3 / 2

s t a a f t

a f t

π

π π

= +

+ +

( ) ( )

( )

0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x ( t )


Déphasage




4. Séries de Fourier




Décomposition en séries de Fourier :

( ) ( )( )00 0

1

( ) cos 2 sin 22

n n

n

as t a nf t b nf t π π

+∞

=

= + +∑

( )

( )

0

0

1/

0 0

0

1/

0 0

0

2 ( )cos 2

2 ( )sin 2

f

n

f

n

a f s t nf t dt

b f s t nf t dt

π

π

=

=

∫

∫

Coefficients de Fourier :

Décomposition en séries de Fourier

Autre notation :

( )0

( ) sin 2n

n n n

n

s t c f t π ϕ →+∞

=

= −∑

( )0

( ) sin 2 ( ) N

n n n bruit

n

s t c f t s t π ϕ =

= − +∑

( )0

( ) sin 2 N

n n n

n

s t c nf t π ϕ =

= −∑

Signal utile et bruit :

Signal utile :

Le bruit est le signal "non désiré".

Le signal utile contient N composantesharmoniques "utiles".




Signal carré :

Signal triangle :

Signal dent de scie :

Signal |Sinus| :

( )0

1

4 1( ) sin 2 (2 1)

2 1n

s t n f t n

π π

+∞

=

= −−

∑

( )( )022

1

8 1( ) sin 2 (2 1)

2 1n

s t n f t n

π π

+∞

=

= −−

∑

( )( )

1

0

1

12( ) sin 2

k

n

s t nf t n

π π

++∞

=

−= ∑

( ) ( )( )0

1

2 4 1( ) sin 2 2

2 1 2 1n

s t nf t n n

π π π

+∞

=

= −− +

∑





( ) ( ) ( )0 0 0

4 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...

3 5s t f t f t f t π π π

π

= + + +

( ) ( ) ( )0 0 02 2 2

8 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...


π

= + + +

( ) ( ) ( )0 0 0

2 1 1( ) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 ...


π

= − + −

( ) ( )0 0

2 4 1 1( ) sin 2 2 sin 2 4 ...

1 3 3 5s t f t f t π π

π π

= − + +

× ×

Signal carré :

Signal triangle :


Signal |Sinus| :





Signal f = 0 f = f 0 f = 2f 0 f = 3f 0

Sinus 0 1 0 0

Cosinus 0 1 0 0

Carré 0 4/ π 0 4/(3π)

Triangle 0 8/ π2 0 8/(3π)2

Dent de scie 0 2/ π −1/ π 2/(3π)

|Sinus| 2/ π 0 −4/(3π) 0

Synthèse :





Fondamental

Signal carré :

h1 + h3


h1+h3+h5

h1+h3+h5+h7 h1+h3+…+h11 h1+h3+…+h15




0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

t (ms)

x ( t )

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

f (kHz)

| x ( f ) |

0 0.5 1 1.5 2-15

-10

-5

0

5

10

15

f (kHz)

φ φφ φ

( r a d )

Décroissance des harmoniques impairs en 1/ n





0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

0 0.5 1 1.5 20

0.20.4

0.6

0.8

1

f (kHz)

| x ( f ) |

0 0.5 1 1.5 2-20

-10

0

10

20

f (kHz)

φ φφ φ

( r a d )

Décroissance des harmoniques impairs en 1/ n 2





Fondamental


Fondamental + h2

Fondamental + h2 et h3

Fondamental + h2 à h4

Fondamental + h2 à h5





0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

t (ms)

x ( t )

0 0.5 1 1.5 20

0.20.4

0.6

0.8

1

f (kHz)

| x ( f ) |

0 0.5 1 1.5 2

-20

-10

0

10

20

f (kHz)

φ φφ φ

( r a d )

Décroissance des harmoniques pairs et impairs en 1/ n





0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.20.4

0.6

0.8

1

t (ms)

x ( t )

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (kHz)

| x ( f ) |

0 0.5 1 1.5 2

-20

-10

0

10

20

f (kHz)

φ φφ φ

( r a d )

Décroissance des harmoniques pairs en 1/((n −1)(n +1)) ≈ 1/ n 2





0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

5

t (ms)

x ( t )

Effet d’une troncature :

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

Troncature à 90 % de l’amplitude







0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

5

t (ms)

x ( t )

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |





0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

5

t (ms)

x ( t )



0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |







0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

| x ( f ) |

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

5

t (ms)

x (

t )





5. Transformée de Fourier




Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinuset de cosinus.

( )0

0 0

1( ) cos( ) sin( )2

n n

n

a x t a n t b n t ω ω

∞

== + +∑

/ 2

0

/ 2

2( ).cos( ).

T

n

T

a x t n t dt T

ω −

= ∫

/ 2

0

/ 2

2( ).sin( ).

T

n

T

b x t n t dt T

ω −

= ∫

1 (4/ π)

1+ 3 (4/3π)

a0 = 0

1+ 3+5 (4/5π)

1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)

Continu / Fondamental / Harmoniques

Séries de Fourier




Sinusoïde

Rectangle périodique

Triangle périodique

Dent de scie

{ {( ) : 0,1,2,... : 1,2,3...n n x t a n b n= = + =

Signaux périodiques




( ) ( ).exp( 2 ). X f x t j f t dt π +∞

−∞

= −∫

( ) ( ).exp( 2 ). x t X f j f t df π +∞

−∞

= ∫

sin( / 2)( ) .

/ 2 X A

ωτ ω τ

ωτ

=

Signal "porte"

Si l " "




Signal "porte"

Si l " t "




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (Hz)

A

m p l i t u d e

Spectre

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

t (s)

A m p l i t u d e

Signal temporel

Signal "porte"

( ) x t

( ) X f

Si l " t "




-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

t (s)

A m p l i t u d e

Signal temporel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-30

-20

-10

0

10

f (Hz)

É n

e r g i e ( d B )

Spectre

Signal "porte"

( ) x t

( ) X f

Conservation

de l’énergie

Signaux "classiques"





( )t δ

0cos(2 ) f t π

0sin(2 ) f t π

( )0 01 ( ) ( )2

f f f f δ δ − + +

( )0 0

1( ) ( )

2 f f f f

jδ δ − − +

1

02 j f t e

π 0( ) f f δ −

( ) f δ 1

0( )t t δ − 02 j ft

eπ −

{ }( ) ( ) X f TF x t ={ }1( ) ( ) x t TF X f −

=

( ) H t 1 1 ( )2 2

f j f

δ π

+

( ) H t −1 1

( )2 2

f j f

δ π

−+





Signaux classiques

0sin(2 ) ( )T

f t t π ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )

2

T f f T f f T

jπ π − − +

{ }( ) ( ) X f TF x t ={ }1( ) ( ) x t TF X f −

=

( ) ( ) ( )sign t H t H t = − −1

j f π

( )t

H t eα −

1

2 j f α π +

| |t e α −2 2

2

(2 ) f

α

α π +

( )T

t ∏ sin( ). .sinc( ) fT T T fT fT π π

π =

. ( ) t t H t e

α −

( )2

1

2 j f α π +





Signaux classiques

{ }( ) ( ) X f TF x t ={ }1( ) ( ) x t TF X f −

=

( )e

n

t nT δ −∑ 1

ne e

n f

T T δ

−

∑

( )d

t dt

δ 2 j f π

0sin(2 ) ( ) t f t H t e

α π −

( ) ( )

0

2 2

0

2

2 2

f

j f f

π

α π π + +

( )T

t Λ ( )

2

2sin( ). . sinc( )

2 2

T fT T fT

fT

π π

π

=

2

0

0 0

1

2 2 ( )12

t

t t

j f t t

t

e eσ π

π σ

−−

−

2

0

0 0

1

2 2 f

f f

j f t e e

σ π

− −

1

2t

f σ πσ =

( ).

t

t dt δ ∫ 1

2 j f π

Signaux “sinus"




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

A m

p l i t u d e

Signal temporel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.40.6

0.8

1

f (Hz)

A m p

l i t u d e

Spectre

Signaux sinus

( ) x t

( ) X f






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

A m p l i t u d e

Signal temporel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.40.6

0.8

1

f (Hz)

A m p

l i t u d e

Spectre

( ) x t

( ) X f





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

A m p l i t u d e

Signal temporel

0

0.2

0.40.6

0.8

1

f (Hz)

A m p

l i t u d e

Spectre

0 5 10 15 20 25 30


( ) x t

( ) X f




6. Représentation temps-fréquence

Temps-fréquence




Représentation temps-fréquence :

Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux

Temps fréquence

Principe:

1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [t i; t i+30ms].

2) Transformée de Fourier rapide: FFT.

3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 3

-100

-50

0

50

100

Time (ms)

A m p l i t u d e ( m V )

Fenêtre

Temps-fréquence






Temps fréquence

Principe:




0 5 10 15 20 25 3

-100

-50

0

50

100

Time (ms)


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0

M a g n i t u d e ( d B )

Frequency (Hz)

Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)

280 Hzc f =

22 msit =

FFT

Temps-fréquence






p q

Principe:




3140 Hzc f =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-100

-50

0

50

100

Time (ms)


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0


Frequency (Hz)


600 msit =

FFT

Temps-fréquence






p q

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0


Frequency (Hz)


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0


Frequency (Hz)


2 600 msit =1 20 msit =

2 3140 Hzc f =

1 280 Hzc f =

Principe:




Temps-fréquence





Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglais)

p q

Détection de la fréquence instantanée: Fondamental et harmoniques caractéristiques.

( ) ( ).sin(2 )i c x t A t f t π =0

1( ) ( '). '

t

c i f t f t dt t

= ∫avec

où Ai(t ) est l'amplitude instantanée, f c(t ) la pseudo-fréquence et f i(t ) la fréquence instantanée.

Exemple: Chirp linéaire

( )1 2 1

max

( )i

t f t f f f

t = + − ( )1 2 1

max

( )2

c

t f t f f f

t = + −soit

2 f

1 f

Temps-fréquence





Application: Fréquence variable dans le temps (FM)

Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.

min f

max f

Temps-fréquence





Application: Analyse de la parole

Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.




7. Illustrations temps-fréquence

Décomposition




p

Représentation temporelle et spectrale :

Spectre avec fondamentalet harmonique 2

Spectre riche avec 12fréquences harmoniques

La3 Diapason




p

Représentation temporelle :

0 500 1000 1500 2000 2500-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (ms)

x ( t )

Décroissance exponentielle

0 2 4 6 8 10-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (ms)

x ( t )

Pseudo période: T = 2,3 ms

T

La3 Diapason




p

Représentation spectrale :

0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

f (Hz)

| x ( f ) |

430 435 440 445 4500

0.05

0.1

0.15

0.2

f (Hz)

| x ( f ) |

870 875 880 885 8900

0.005

0.01

0.015

0.02

f (Hz)

Deux composantes "visibles":

1 440 f Hz=

2 880 f Hz=

Fondamental: f 1 = 440 Hz

Harmonique 2: f 2 = 880 Hz

Amplitudes relatives: a 2 / a 1 = 10

La3 Diapason





On parle de "dynamique" d’un signal:

Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.

Harmonique 3: f 3 = 3×440 = 1320 Hz

Amplitudes relatives: a 1 / a 2 = 10 et a 1 / a 3 > 1000

0 1000 2000 3000 4000 5000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

| x ( f ) | ( d B ) 20log

max( )dB

x x x

=

Echelle dB:

Cette échelle permet de visualiser lescomposantes de très grand rapportd’amplitude.

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120 106

105

104

103

102

101

100

f 3

La3 Diapason




Représentation temps/fréquence :

Décroissance exponentielle en échelle linéaire:

⇔ Décroissance linéaire en échelle dB:

Harmoniques n : f n = n ×440 Hz

1

f

2 f

3 f

La3 Piano




560 562 564 566 568 570

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )


Troncature du signal Pseudo période: T = 2,3 ms

T

500 1000 1500 2000

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

La3 Piano




430 435 440 445 4500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

f (Hz)

| x ( f ) |

860 870 880 890 900 9100

0.01

0.02

0.03

0.04

f (Hz)

| x ( f ) |

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

f (Hz)

| x ( f ) |


Neuf composantes "visibles":

1 442 f Hz=

2 886 f Hz=



Amplitudes relatives: a 1 / a 2 = 2,4

La3 Piano




0 1000 2000 3000 4000 5000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

| x ( f ) | ( d B )




Harmonique 9: f 3 = 9×442 = 3980 Hz contre 4080 Hz mesurés.

Amplitudes relatives: a 1 / a 2 = 2,4 et a 1 / a 9 = 50

20logmax( )

dB x x

x =

Echelle dB:


0

-20

-40

-60

-80

-100

-120 106

105

104

103

102

101

100

f 9

La3 Piano





Harmoniques 1 à 7:nettement visibles.


1 f

5 f

3 f

7 f 9

f

11 f

Décroissance variable en amplitude, selon t et f .

La3 Violon




450 452 454 456 458 460-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (ms)

x


Augmentation de l’amplitude

du signal avec le temps

Pseudo période: T = 2,3 ms

T

0 500 1000 1500 2000-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (ms)

x ( t )

La3 Violon




0 1000 2000 3000 4000 50000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

| x ( f ) |

430 435 440 445 4500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

| x ( f ) |

860 870 880 890 900 9100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

f (Hz)


Neuf composantes "visibles":

1 442 f Hz=

2 884 f Hz=



Amplitudes relatives: a 1 / a 2 = 2,1

La3 Violon0




0 1000 2000 3000 4000 5000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

| x ( f ) | ( d B )




Harmonique 11: f 3 = 11×442 = 4860 Hz.

Amplitudes relatives: a 1 / a 2 = 2,1 et a 1 / a 11 = 24

20logmax( )

dB x x

x =

Echelle dB:


0

-20

-40

-60

-80

-100

-120 106

105

104

103

102

101

100

f 11

La3 Violon





Harmoniques 1 à 11 nettement visibles.


1 f

5 f

3 f

7 f 9

f

11 f


La3 Violon




Recomposition temporelle et spectrale :

Extrait original en bleu Les 20 pics les plusimportants ont été retenus

500 600 700 800 900 1000

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

t (ms)

x

Extrait recomposé en noir

0 1000 2000 3000 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

| x ( f ) | ( d B )

La3 Violon




Recomposition temporelle et spectrale :

Extrait original en bleu Les 20 pics les plusimportants ont été retenus

Extrait recomposé en noir

600 602 604 606 608 610-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

t (ms)

x

0 500 1000 1500 2000-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

| x ( f ) | ( d B )

Notes Violon





Nombreux harmoniques nettement visibles.

Harmoniques n : f n = n × f 0


gamme.wav





On distingue 8 paquetsd’ondes distincts

On distingue 8 pics

0 500 1000 1500 2000

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

0 200 400 600 800-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

| x ( f ) | ( d B )

LADO

gamme.wav





Gamme complète.

Fréquences fondamentales seulement.

Dans l’ordre des fréquences croissantes.

DORE

MIFA

SOLLA

SIDO

SOUND1.wav





Rien de visible... Nombreux pics

0 1000 2000 3000 4000 5000

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

0 1000 2000 3000 40000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

| x ( f ) |

SOUND1.wav





Le signal ne semble pas périodique Nombreux pics

0 200 400 600 8000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

| x ( f ) |

1000 1050 1100 1150 1200

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

SOUND1.wav





Spectre large.

Harmoniques.

Croissance en fréquence.

SOUND68.wav





Rien de visible... Nombreux pics

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (ms)

x ( t )

0 1000 2000 3000 40000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

f (Hz)

SOUND68.wav





Nombreuses fréquences.

Nombreux harmoniques.

Décroissance en fréquence.

SOUND999.wav




0 100 200 300 400 500 600

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )


Décroissance en fréquence Décroissance exponentielle

0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

f (Hz)

| x ( f ) |

SOUND999.wav




Décroissance exponentielle

0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

f (Hz)

| x ( f ) |

150 200 250

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )


Troncature du signal de 150à 250 ms

SOUND999.wav





Une fréquence fondamentale.

Harmoniques 2 et 3 visibles de 150 à 250 ms.

Décroissance exponentielle en fréquence.

LASER.wav





Décroissance en fréquence Spectre large

0 50 100 150

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

0 1000 2000 3000 40000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

f (Hz)

| x ( f ) |

LASER.wav






Décroissance exponentielle en fréquence.

LASER.wav




Calcul de fréquence moyenne :


Décroissance exponentielle en fréquence.v

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

1000

2000

3000

4000

5000

f m e a n

( H z )

Time (ms)

La fréquence décroît de 4700 à 450 Hz.

accel.wav





Croissance en fréquence Spectre large

0 200 400 600 800 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.005

0.01

0.015

0.02

f (Hz)

accel.wav






Croissance linéaire en fréquence, de 310 à 4200 Hz.

accel.wav




Effet Doppler :

Décalage négatif lorsque la source s’approche :

Décalage de la fréquence d ’émission.

Décalage positif lorsque la source s’éloigne :

0v 0v

θ θ

0 02 cos D

air

f v f c

θ =

0 D f f f = +

0 D f f f = −

sirene.wav





Rien de visible... Spectre large

0 1000 2000 3000 4000

-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x ( t )

0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

f (Hz)

| x ( f ) |

sirene.wav






Variation de fréquence, de 0 à 1000 Hz.




8. Application: DCT

Transformée en cosinus discret




TCD (DCT): Contenu fréquentiel

Décomposition dans une base de cosinus: Coefficients réels;

Regroupement de l'énergie.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète

Principe: La transformée en cosinus discrète (DCT ) est une

transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT ).

Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficientsréels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentiellecomplexe et qui crée donc des coefficients complexes.

La DCT [directe] la plus courante est la DCT type-II. La DCT [inverse] correspondante est la DCT type-III.

Applications: La DCT est très utilisée en traitement numérique du

signal et spécialement en compression.

Coefficients non nuls retenus : JPEG et MPEG.


TCD (DCT) C f é i l





Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue;

Harmoniques.

1 1

2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)

2 2

N N

C

m n

m nP i j C i C j p m n i j

N N N π π

= =

− − = − −

∑∑

1 1

2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)

2 2

N N

C

i j

m n p m n C i C j P i j i j

N N N π π

= =

− − = − −

∑∑

2si 1

( ) 2

1 si 1

k C k

k

=

= >


DCT [directe]:

IDCT [inverse]:

Coefficients:


TCD (DCT) C t f é ti l






Harmoniques.

1 1

2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)

2 2

N N

C

m n

m nP i j C i C j p m n i j

N N N π π

= =

− − = − −

∑∑


Application: DCT

DCT








Harmoniques.


DCT

8×8 = 64 pixels 1+4 = 5 pixels

Compression: !!! Négatif couleur !!!

α = 5/64 = 7,8%.







Décomposition dans une base de cosinus: Quantification:

La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appeléematrice de quantification, et qui contient les coefficients choisis pouratténuer les hautes fréquences, celles auxquelles l’œil est peu sensible.

Opération de quantification [et filtrage]:

http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG

( , )( , )

( , )

C CQ

FQ

P i jP i j fix

Q i j

=

( , ) 1 ( 1)FQQ i j i j FQ= + + −

Facteur de qualité: FQ

Exemple: FQ = 5

5

6 11 16 21 26 31 36 4111 16 21 26 31 36 41 46

16 21 26 31 36 41 46 51

21 26 31 36 41 46 51 56

26 31 36 41 46 51 56 61

31 36 41 46 51 56 61 66

36 41 46 51 56 61 66 71

41 46 51 56 61 66 71 76

Q

=







Décomposition dans une base de cosinus: Exemple:

Résultats:

5

6 11 16 21 26 31 36 41

11 16 21 26 31 36 41 46

16 21 26 31 36 41 46 51

21 26 31 36 41 46 51 56

26 31 36 41 46 51 56 61

31 36 41 46 51 56 61 66

36 41 46 51 56 61 66 7141 46 51 56 61 66 71 76

Q

=

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 255

p

=

1020 184 0 217 0 325 0 924

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

C P

− − − −

=

1020 176 0 210 0 310 0 902

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

.0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

CQ FQP Q

− − − −

=







Décomposition dans une base de cosinus: Exemple:

Résultats:

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 255

p

=

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 2505 251 0 255 0 255 0 255

QFQ p

=

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8







Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Chen

Le calcul de la DCT est optimisé pour le cas N = 8 (JPEG et MPEG)en réécrivant la transformée sous forme matricielle et en factorisant ladécomposition, pour réduire le nombre de multiplications nécessaires.

http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG







Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Loeffler

L'algorithme de Chen (qui calcule la DCT 1D à 8 points avec 16 multiplications)est à la base des optimisations suivantes par factorisation des sous-matrices.

L'algorithme de Loeffler est actuellement le plus efficace ayant été publié:

Loeffler :11 multiplications (DCT 1D à 8 points)Chen : 16 multiplications (DCT 1D à 8 points)Ces algorithmes se différencient seulement en termes de stabilité et de précision.

Pour une DCT 2D 8×8:

Loeffler :112 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)Chen : 256 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)

Plus de détails: normes de compression JPEG et MPEG.

http://www.vtvt.ece.vt.edu/research/references_video_DCT.php

Documents

CM3 - MC-II3 - Transformée de Fourier