1. Introducción Sistemas Dinámicos

8/17/2019 1. Introducción Sistemas Dinámicos

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Capitulo 1. Introducción a losSistemas Dinámicos

1.1 Defnición de sistema y modelo1.2 Modelos de tiempo continuo y de tiempodiscreto

1.3 Modelos estáticos y dinámicos

1.4 Modelos lineales y no lineales1.5 Modelos variantes e invariantes con eltiempo

1.6 Modelos determinísticos y estocásticos

1.7 Modelos de una y varias variales

1


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2

1.1 Defnición desistema y modelo

Sistemas Dinámicos

2


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Sistema

3

!n sistema es la intercone"ión decomponentes para lo#rar un o$etivo.


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Modelo

4

!n modelo es la representaciónmatemática de un sistema.

%epresentaciones de sistemas &ísicos másutili'adas( )istemas de ecuaciones di&erenciales

*unción de +rans&erencia

SISTEM


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!epresentación EcuacionesDi"erenciales

#

-$emplo(


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$unción de Trans"erencia

%

)e defne como la relación entre latrans&ormada de aplace de la variale desalida y la trans&ormada de aplace de la

variale de entrada( suponiendo /ue todaslas condiciones iniciales se 0acen i#uales acero.


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$unción detrans"erencia

E&emplo ' $iltro !C

(

Ecuación Di"erencial


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E&emplo ) Tan*ue

+


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E&emplo

,

%esponde a una &uer'a aplicada almotor y a una &uer'a de &ricciónproporcional a la velocidad.


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1-

1.2 Modelos de tiempocontinuo y de tiempo

discreto

Sistemas Dinámicos

1-


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Modelos de tiempo continuo

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a variale independiente t tomavalores en un con$unto no numerale.


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Modelos de tiempo discreto

12

a variales independiente tomavalores en un con$unto numerale.

1 2 3 4 5 67


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proimación discreta de laderi/ada

13

)i se apro"ima por una di&erencia deprimer orden se otiene(


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14

%eempla'ando la apro"imación de la

derivada en el modelo %(

r#ani'ando trminos( se otiene unaecuación en di&erencias(


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1#

%etomando(

)i

)i


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1%

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

vi

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

vc


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1(

1.3 Modelos estáticos ydinámicos

Sistemas Dinámicos

1(


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Modelo Estático

1+

-l estado de un sistema estáticodepende solo de las condicionespresentes y no de las pasadas.


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E&emplo

1,

onsidere el si#uiente sistema(

-l modelo no tiene condiciones iniciales(es un modelo estático.


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Modelos dinámicos

2-

-n un modelo dinámico la evolución delas variales depende las condicionesiniciales.


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21

)istema dinámico discreto(

a evolución del modelo depende de la condición inicial . a salida no puede determinarse nicamente en &unción de la

entrada.

(

(


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22

a evolución de 0 dependede las condiciones iniciales80

)i ( se otiene un modelo estático( /uedetermina la altura del tan/ue para un tiemposufcientemente #rande(


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23

1.4 Modelos lineales yno lineales

Sistemas Dinámicos

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Modelos lineales

24

!n modelo es lineal si e"iste unarelación proporcional entre la variale deentrada y de salida.

-n otras palaras( un modelo es lineal sicumple con(

9rincipio de )uperposición 9ropiedad de:ditividad 9ropiedad de -scalamiento u 0omo#eneidad.


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rincipio de Superposición

2#

)i se cumple el principio de superposición

MDE

MDE

MDE


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ropiedad de Escalamiento uomo5eneidad

2%

)i la respuesta de es ( se cumple la propiedad de0omo#eneidad.

MDE

MDE


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rincipio de Superposición yropiedad de Escalamiento

2(

)i el sistema es lineal

MDE

MDE

MDE


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E&emplo

2+

9roar si el si#uiente modelo es lineal o nolineal8

)ea(

:0ora(


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E&emplo

2,

9roar si el si#uiente modelo es lineal ono lineal8

;1 1

;

Saturador


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3-


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31

!n modelo es lineal si la ecuación di&erencial /uelo representa es lineal.

!na ecuación di&erencial es lineal si( loscoefcientes son constantes( o an &unciones deltiempo y los coefcientes son independientes de

.


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32

!n modelo es no lineal si esta descritopor una ecuación di&erencial no lineal.


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33

1.# Modelos /ariantes ein/ariantes con el tiempo

Sistemas Dinámicos

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Modelos in/ariantes con eltiempo

34

)i un corrimiento en el tiempo de la se


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Modelos /ariantes con eltiempo

3#

MDEt t

MDE t

t


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Modelos in/ariantes y /ariantescon el tiempo

3%

)i los coefcientes de la ecuacióndi&erencial son constantes el modelo se

denomina invariante con el tiempo.

)i los coefcientes de la ecuación

di&erencial son &unción del tiempo elmodelo se denomina variante con eltiempo.

E&emplo0 ro6ar si el si5uiente


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E&emplo0 ro6ar si el si5uientesistema es /ariante o in/ariante con eltiempo

3(

)ea(

:0ora despla'ando + la se


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3+

1.% Modelosdetermin7sticos y

estocásticos

Sistemas Dinámicos

3+


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Modelos determin7sticos

3,

a respuesta de un sistema ante las mismascondiciones iniciales y e"citación es siemprela misma.

MDE t

t

!n modelo es determinista cuando elcomportamiento del sistema /ueda determinado porlas condiciones iniciales y la evolución de la se


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Modelos estocásticos

4-

!n modelo /ue incluya variales aleatorias es unmodelo estocástico.

-"perimento 18

-"perimento 28

MDE

MDE


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1.% Modelos de una y/arias /aria6lesindependientes

Sistemas Dinámicos

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M d l d i 6l


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Modelos de una /aria6leindependiente

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-l modelo está dado en ecuacionesdi&erenciales ordinarias D-.

M d l d i i 6l


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Modelos de /arias /aria6lesindependientes

-l modelo está dado en ecuacionesdi&erenciales parciales 9D-.

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