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Inclusione degli effetti quantistici nella meccanica statistica

La meccanica statistica è stata costruita secondo uno schema centrato sui seguenti elementi

• gli stati del microsistema sono suddivisi in famiglie di gj stati di energia j

• all’interno di tale suddivisione vengono collocati gli N microsistemi identici ma distinguibili e viene eseguito il conteggio dei microstati associati ad ogni macrostato

in quale modo la meccanica quantica modifica questa impostazione?

Cominciamo con l’assunto che i microsistemi siano identici ma distinguibili.

se il microsistema soddisfa le leggi della meccanica classica tale assunzione è corretta infatti• un corpuscolo macroscopico è pensato come distinguibile in quanto può essere marcato

• un corpuscolo microscopico è pensato come distinguibile perché è possibile prevedere con precisione arbitraria le posizioni assunte al passare del tempo (ovvero perché è possibile prevedere il moto)

A B

tA B

P1 P2

t’P1’ P2’

immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P1 e P2 e di denominarli A e B rispettivamente.

immaginiamo poi di osservare nuovamente al tempo t’ i due corpuscoli identici nelle posizioni P1’ e P2’.

sapremo dire chi è A e chi è B solo se siamo in grado di descrivere il moto dei due corpuscoli identici tra t e t’ con sufficiente precisione.

dato che se valgono le leggi newtoniane del moto queste possibilità sussistono sempre possiamo concludere che

nell’ambito della meccanica classica le particelle identiche mantengono la loro identità e sono sempre distinguibili

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

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se viceversa il microsistema soddisfa le leggi della meccanica quantistica

nell’ambito della meccanica quantistica le particelle identiche diventano indistinguibili

tA B

P1 P2

t’P1’ P2’

2| |

1 2

21 2 | ( , ) |S S Q Q

per cui la grandezza osservabile associata ad un sistema di due particelle negli stati quantici generici s1 ed s2 vale, in funzione del generico insieme di variabili Q1 e Q2 che descrivono i due sistemi ( quali ad es. le posizioni spaziali ossia x1,y1,z1 per la prima particella e x2 y2 e z2 per la seconda )

in meccanica quantistica lo stato di sistema è descritto da un funzione complessa detta funzione d’onda di cui è osservabile il solo modulo quadrato

vale il principio di indeterminazione percio’ se ad un certo istante è definita la posizione della particella allora la sua quantità di moto risulta indefinita e con essa la sua posizione in un istante successivo

è come se una particella potesse evolvere lungo una famiglia di moti differenti piuttosto che lungo un moto definito

eseguendo le misure i diversi moti si manifestano come differenti esiti ciascuno con una certa probabilità

da questo consegue che se immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P1 e P2 e di denominarli A e B rispettivamente

ed osserviamo nuovamente al tempo t’ i due corpuscoli identici nelle posizioni P1’ e P2’, non sapremo dire chi è A e chi è B perché i moti che arrivano in P1’ e P2’

possono avere origine sia da P1 che da P2.

concludiamo allora che

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dunque la indistinguibilità delle particelle identiche comporta che queste debbano essere descritte da funzioni d’onda simmetriche o antisimmetriche rispetto allo scambio delle particelle

1 2 2 11 2 1 2

2 2 , ,, ,( ) ( )| | | |Q Q Q Q S S S S 1 2 2 11 2 1 2S ,S S ,S, ,( ) ( )Q Q Q Q

1 2 2 11 2 1 2S ,S S ,S, ,( ) ( )Q Q Q Q

1 2 2 1, ,, ,( ) ( )Q Q Q Q S S S S

1 2 2 1S,S S,S, ,( ) ( )Q Q Q Q

d’altra parte dato che le particelle identiche sono anche indistinguibili un loro scambio non può alterare le quantità osservabili per cui

da cui otteniamo

nessuna restrizione sulla occupazione degli stati opera nel caso di particelle identiche ed indistinguibili descritte da funzioni d’onda simmetriche

due particelle identiche ed indistinguibili descritte da una funzione d’onda antisimmetrica non possono occupare il medesimo stato

da cui consegue che la funzione d’onda, essendo uguale a se stessa ed alla sua opposta non può che essere nulla

dato che le particelle sono indistinguibili e si trovano nello stesso stato dovrà essere anche

supponiamo ora che le due particelle si trovino anche nel medesimo stato S

immaginiamo che una coppia di particelle identiche ed indistinguibili sia descritta da una funzione d’onda antisimmetrica rispetto allo scambio Q1 Q2 e Q2 Q1

giungiamo allora al principio di esclusione di Pauli

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quale sara’ la funzione d'onda

se le due particelle sono identiche, scambiando le due particelle la funzione d'onda deve restare invariata a meno di un fattore di fase, quindi

come prima. Quindi la funzione d'onda o resta invariata per scambio di due particelle (simmetrica) o cambia segno (antisimmetrica).

la funzione d'onda di due fermioni, per e’ nulla

il segno + vale per bosoni, il segno - vale per fermioni

quindi due fermioni identici non possono occupare la stessa posizione nello spazio

queste condizioni sono soddisfatte automaticamente dalle funzioni d'onda della forma

Stato di due particelle identiche

supponiamo per semplicita’ che le due particelle siano non interagenti se le due particelle non sono identiche allora si ha che

dopo un secondo scambio che porta un altro fattore di fase, la funzione d'onda deve ritornare quella di prima, per cui si deve avere

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di due particelle, a e b ?

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sistemi di particelle identiche di spin intero sono descritti da funzioni d’onda simmetriche mentre sistemi di particelle identiche a spin semintero sono descritti da funzioni d’onda antisimmetriche

1 30

2 2...

tenendo presente questi fatti e ricordando che posizione ed impulso sono soggetti alle limitazioni introdotte dal principio di indeterminazione possiamo costruire la meccanica statistica delle particelle quantistiche che dovrà essere usata in tutti quei casi in cui i microsistemi cessano di seguire le leggi newtoniane del moto.

richiamando il fatto fondamentale che in meccanica quantica le particelle possiedono un momento angolare intrinseco , detto “ spin “, che può assumere i valori

e richiamando il teorema spin-statistica, enunciato da Pauli e Fierz nel 1939, il quale afferma che

giungiamo alla conclusione che le particelle a spin semintero sono descritte funzioni d’onda antisimmetriche e soddisfano il principio di esclusione mentre le particelle a spin intero sono descritte da funzioni d’onda simmetriche e non sono soggette ad alcuna restrizione.

Riassumendo possiamo affermare che in meccanica quantistica

• le particelle identiche sono indistinguibili

• le particelle identiche con spin semintero (fermioni) non possono occupare lo stesso stato (principio di esclusione di Pauli)

• le particelle identiche con spin intero (bosoni) non sono soggette a restrizioni

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o

o o

o o

oo

m

j

…

1

gm

gj

…

g1

nm

nj

…

n1

• i semplici scambi di particelle modificano il microstato ma non il macrostato

o

o o

o o

oo

m

j

…

1

gm

gj

…

g1

nm

nj

…

n1

!N

• gli spostamenti delle particelle all’interno dello stesso livello energetico modificano il microstato ma non il macrostato

o

o o

o o

oo

m

j

…

1

gm

gj

…

g1

nm

nj

…

n1

o

o o

o o

oo

m

j

…

1

gm

gj

…

g1

nm

nj

…

n1

1

jM

n

jjg

N ! = numero delle permutazioni di N oggetti

gjnj e’ il numero delle “disposizioni con ripetizione” di nj oggetti estratti da un insieme di gj oggetti

e dove ognuno degli nj oggetti puo’ essere considerato piu’ volte

Il conteggio dei microstati in meccanica statistica classica

si noti che anche il fattore appena introdotto calcola come distinti i microstati ottenuti attraverso scambio delle particelle.

si vede allora che tra i microstati calcolati con la formula gjnj compaiono anche microstati che differiscono per il

semplice

d’altra parte con il termine N! sono già stati calcolati tutti i microstati ottenuti attraverso semplice scambio delle particelle

1!

M

jjn

per ottenere il giusto numero di microstati dobbiamo dividere per il fattore

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scambio delle particelle, che per il generico livello j sono nj !

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Il conteggio dei microstati in meccanica statistica quantistica

o o

o o

o o 1

!

!( )!jN

jj j j

g

n g n

Il calcolo dei microstati che cadono all’interno di un certo macrostato nel caso di particelle quantistiche deve essere fatto tenendo presente che

• tutte le particelle identiche sono indistinguibili

• le particelle con spin semintero sono soggette alla restrizione del principio di esclusione

• le particelle con spin intero non sono soggette ad alcuna restrizione

o

o o

o o

oo

m

j

…

1

gm

gj

…

g1

nm

nj

…

n1

33

2 1

! !!( )! ! !

j

j j j

g

n g n

vietato dal principio di esclusione

o

o o

o o

oo

m

j

…

1

gm

gj

…

g1

nm

nj

…

n1

spin semintero (fermioni)

spin intero (bosoni)

permesso

1 46

1 2 2

( )! !!( )! ! !

j j

j j

n g

n g

1

1

1

( )!

!( )!j jN

jj j

n g

n g

fissato un certo livello energetico calcoliamo il numero di microstati nel caso in cui g j=3 ed nj=2

NOTA: l’indistinguibilità comporta che lo scambio di particelle non porti a nuovi microstati, ossia manca il termine N!

NOTA: le particelle avranno lo stesso colore poichè sono indistinguibili tra loro

oo

o o

o o

o o

o o

o o

spin semintero (fermioni)

spin intero (bosoni)

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da notare che basta utilizzare gi –1 separatori per determinare tutti i modi possibili di disporre le ni particelle particelle

un modo alternativo per determinare la probabilita’ di questi stati nel caso le particelle siano bosoni identici, e’ quello di considerare il problema nel modo seguente :

per l’i-esimo stato domandiamoci in quanti modi diversi possiamo assegnare ni particelle identiche a gi stati :

1 2 3 4 5

cio’ significa che ci sono due particelle nel primo stato, una nel secondo , tre nel terzo, una nel quarto e nessuna nel quinto

per es. se ni = 7 e gi = 5

il problema e’ equivalente a calcolare in quanti modi diversi possiamo disporre ni particelle in gi caselle

immaginiamo le particelle distribuite a caso lungo una retta su cui siano ricavate delle partizioni.

dato pero’ che sia le particelle che le partizioni sono indistinguibili tra loro le n i permutazioni delle particelle e le gi -1 permutazioni dei separatori non vanno contate come distinte

)!1(!

)!1(

ii

ii

gn

gnmodi diversi di assegnare le ni particelle all’i-esimo livello di degenerazione gi

se le palline e i separatori fossero distinguibili vi sarebbero (ni + gi -1) ! modi diversi di arrangiarli.

percio’ vi sono soltanto:

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lni i in n n ( 1) ln( 1) ( 1)}i i ig g g

1

1

1

( )!!( )!

i i

i i i

n gn g

ad una data configurazione che abbia n1 particelle nel livello 1 con degenerazione g1 , n2 particelle nel livello 2 con degenerazione g2 etc., corrisponderanno

( ( 1))!

!( 1)!( ) i i

ii i

in g

n gn

e la probabilita’ statistica sara’ data da :

( ( 1))!ln ( ) ln

!( 1)!i i

i ii i

n gn

n g

ln( 1)! ln ! ln( 1)!i i i iin g n g

utilizzando l’ approssimazione di Stirling : xxxx ln !ln

: e i i ii ivincoli N n E n

ln ( ) {( 1) ln( 1) ( 1)i i i i i i iin n g n g n g

1 1 1 1( ) ln( ) ln ( ) ln( )i i i i i i i iin g n g n n g g

stati distinti

utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimizzare, rispetto agli n i , la funzione:

ln ( )in E N (ln ( ) ) 0id n E N quindi imponiamo che

per determinare i numeri di occupazione dei livelli energetici per un sistema di particelle bosoniche all’equilibrio procederemo a massimizzare la probabilita’ statistica

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dato che dxxxxd )1(ln)ln(

ln( 1) 1 ln 1 0i i i i iin g n dn

ln ( )in

la variabile x in questo caso corrisponde agli ni

differenziando ln (ni) rispetto agli ni scompare il termine (gi-1)ln(gi-1) che non dipende da ni

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ln( 1) ln 0i i i in g n 1

ln( ) 0i ii

i

n g

n

trascurando il –1, si ha :

ln( )i ii

i

n g

n

ii i

i

n ge

n

ii i in g n e

ii i ig n e n ( 1)

1i

i

ii i i

gg n e n

e

kT

1come nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann vale la :

1i

ii

kT

gn

e

da cui ossia

percio’

ossia

vai all’esercizio : gas di fotoni

1

jM

jj

Ne

g e

j

j jn e g ementre nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann si aveva

1 1

jM M

j jj j

n e g e N da cui

ossia

i

ii

kT

gn

e

inoltre

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