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ESTATÍSTICA

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UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis

ESTATÍSTICA

Ass 01: Regressão Simples

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OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Calcular a reta de regressão de Y sobe X utilizando o critério dos mínimos quadrados

• Grafar a reta de regressão

• Usar a reta de regressão para fazer predições

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SUMÁRIO

1- Introdução

2. Ajustamento de Uma reta de Mínimos Quadrados

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1. Introdução

Na prática, quase sempre interessa-nos estudar muito mais do que uma simples característica isolada de uma variável, como, por exemplo, sua média.

O que queremos saber é como a variável aleatória está relacionada com outras variáveis: é isto que os estatísticos chama de regressão.

Consideremos como uma safra de trigo (Y) depende da quantidade de fertilizante (X).

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X100 200 300 400 500 600 700

Fertilizante (lb/acre)

Saf

ra (

bu/a

cre)

Y Fig 1- Relação observada entre a safra de trigo (X) e a aplicação de fertilizante (Y), em 35 lotes experimentais

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1. Introdução

O caso mais simples:

Y está relacionada com uma única variável X por uma linha reta

regressão simples de Y sobre X

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Como a safra Y depende do fertilizante, é chamada variável dependente ou variável resposta.

E como a aplicação do fertilizante não depende da safra, sendo, ao contrário, determinada pelo pesquisador, ela é chamada variável independente, ou fator, ou regressor X.

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Exemplo: Em um estudo sobre como a safra de trigo depende do fertilizante, suponhamos que dispomos de fundos para apenas sete observações experimentais. O pesquisador fixa então X em sete níveis diferentes, fazendo apenas uma observação Y em cada caso, conforme tabela 1.

a) Faça o gráfico desses pontos e ajuste a olho uma curva.

b)Use esta curva para prever a safra, no caso de aplicação de 400 libras do fertilizante.

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XFertilizante

(lb/acre)

YSafra

(bu/acre)100200300400500600700

Tabela 1Observações sobre Fertilizante e Safra

40505070656580

11Fertilizante (lb/acre)

Saf

ra (

bu/a

cre)

Y Fig 2- Reta ajustada a olho aos dados da Tabela 1.

X100 200 300 400 500 600 700

80

70

60

504030

0

d

Y Y

SOLUÇÃO

YYd

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Observação:

a) Tem especial interesse o desvio do valor efetivo Y em relação ao valor previsto :Y

YYd

b) Procuramos manter todos esses desvios tão pequenos quanto possível ao escolher a olho a nossa reta.

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2. Ajustamento de uma Reta de Mínimos Quadrados

a. O Critério dos Mínimos Quadrados

O nosso objetivo é ajustar algebricamente uma reta, cuja equação é da forma:

bXaY

a – intercepto da reta ajustada no eixo Y

b – coeficiente angular da reta ajustada

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Queremos manter os desvios d “tão pequenos quanto possível”.

À primeira vista, poderíamos pensar em minimizar o desvio total d. Mas como alguns pontos estão acima da reta e outros abaixo dela, alguns desvios d serão positivos e outros negativos, fazendo com que o total d seja praticamente zero.

Para superar este problema, elevamos estes desvios ao quadrado, obtendo o critério dos mínimos quadrados:

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Critério dos Mínimos Quadrados

22 )YY(d imizarmin

Este critério permite selecionar uma única reta de ajustamento, chamada reta de mínimos quadrados

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b. Fórmulas de Mínimos Quadrados

XbYa

2x

xyb

YYy

XXx

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Tabela 2Ajustamento de uma Reta de Mínimos Quadrados

Dados

X Y

100200300400500600700

x y xy x2

Desvios Produtos

-300-200-100

0100200300

400X 60Y 0x 0y

40505070656580

-20-10-101055

20

600020001000

0500

10006000

16500xy

900004000010000

0100004000090000

280000x2

18

280000

16500

x

xyb

2 b=0,059

)400(059,060XbYa a=36,4

bXaY X059,04,36Y

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c. Significado do Coeficiente Angular b

Coeficiente Angular b = variação de Y correspondente a uma variação unitária de X

)tetancons(bX

Y

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Suponhamos, por exemplo, na equação da reta ajustada, que X tenha sido aumentado de uma unidade, de 75 para 76 libras. Então:

059,0Y Y

059,0)75(059,04,36 Y

)175(059,04,36 Y

)75(059,04,36Y

inicialnovo

novo

novo

inicial

Ou seja, Y aumentou de 0,059 quando X aumentou de 1 – que é o coeficiente angular b.

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X100 200 300 400 500 600 700

Fertilizante (lb/acre)

Saf

ra (

bu/a

cre)

Y Fig 3- A reta de mínimos quadrados ajustada aos dados da Tabela 1.80

70

60

504030

0

intercepto Ya=36,4

coeficiente angular b=0,059

059,04,36Y

bXaY

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PRATIQUE COM OS

EXERCÍCIOS .

BOA SORTE!