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Equation d’état d’un modèle de transport-

diffusion. Applications

Gilles Roussel,

Eric Ternisien

LASL (EA2600) / ULCO

Calais

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PlanI Contexte

II Sans Modèle / Avec Modèle ?

III Modélisation

IV Discrétisation, codage d’état

V Propriétés

VIApplications

VII Conclusion

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I. Contexte

• Problématique Inverse pour la surveillance de la pollution

Mesures aux capteurs de concentration déterminer :» Le flux à la (aux) source(s) (déconvolution,

séparation)» La position de la source (localisation)» les paramètres du modèle (identification)

• Domaines applicatifs• Surveillance de la pollution atmosphérique

Développer une aide au diagnostic des pics d’émission canalisée d'origine industrielle en identifiant la cause (flux, position)

• Surveillance de la pollution fluviale ou phréatiqueLocaliser les sources de pollution liée à des rejets ou

fuites

• Localisation des essais nucléaires (Traité du CTBTO)

Détection des explosions 1Ktonne eqTNT à partir des données de concentration en xénon

Localiser les sources de pollution liée à des rejets ou fuites

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II. Sans modèle / avec modèle ?

• Méthodes sans modèle “source - capteurs” : – Interpolation spatiale à partir des concentrations

observées • nb capteurs ?

• sensibilité aux paramètres ?

• portabilité du comportement à d’autres sites ?.

– Prédiction temporelles à partir des séries • déconvolution ?

• localisation ?

• sensibilité au paramètres ?

Conclusion : combinaison espace - temps difficile

• Méthodes avec modèle “source - capteurs” :

– Modèle de “comportement” • choix ?

• prise en compte des paramètres physiques ?

• portabilité ?

• localisation?

– Modèle de “connaissances”

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• Modèle de “connaissances” : – phénomènes physiques caractéristiques

– précision évolutive

– prend en compte les variables pertinentes

– modélisation espace-temps explicite

• Souhaits pour le modèle directe– simplicité, fidélité : choix ?

– faire apparaitre explicitement la (les) source(s) et les variables observables

– garder la dimension spatiale et temporelle (mesures spatialement réparties, cas multisources)

– possibilité de se placer dans un cadre discret (mesures échantillonnées)

II. Avec modèle /sans modèle ?

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• Pourquoi le modèle de transport-diffusion ?

– Modèle (historique) de dispersion de la pollution dans l’air

– bonne approximation de la propagation horizontale

– hypothèses sur la dispersion turbulentes verticales

– Modèle directe dynamique

– solution en statique classique : “équation panache”

• Le modèle de transport-diffusion (2D)– il satisfait en tout point la conservation de la masse :

III. Modélisation

y

tyxK

yx

tyxK

xy

tyxU

x

tyxU

t

tyxyx

),,(),,(),,(),,(),,(

advection diffusion

(x,y,t) : concentration au point (x,y) à l ’instant t

: vent

: diffusion

],[ UyUxU T

K

7

• Hypothèses– Domaine atmosphérique non borné

– Réduction à un domaine de calcul (de surveillance) borné de contour artificiel

– conditions aux limites

III. Modélisation

Vue de dessus

Atmosphère

’

Ex. conditions de Dirichlet

Ex. conditions de Neuman : continuité aux limites artificielles

Vent

Source

Vent

Terre

n

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• Conditions aux limites (locales)– Limites artificielles non réfléchissantes

• continuité (Pearson)

x, y célérité équivalente

– Limites physiques réfléchissantes• exemples =0 sur ’

– à une source : au point (xs,ys)

• Conditions initiales : pollution de fond

• Modèle elliptique linéaire

III. Modélisation

Sur

),,(),,(),,(),,(),,(),,(

tyxSy

tyxK

yx

tyxK

xy

tyxU

x

tyxU

t

tyxss

ssssssy

ssx

ss

0y

)t,y,x(x

)t,y,x(t

)t,y,x(yx

),(),,0( yxfyx

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IV. Discrétisation

• On discrétise les signaux S(xs,ys,t) et (x,y,t) avec le même pas d'échantillonnage temporel T

• On discrétise l'espace avec les pas d'échantillonnage directionnels h et k

• Les méthodes de discrétisation: – différences finies,

– élements finis

Titre:fig11.epsAuteur:fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

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IV. Discrétisation

• Dérivation par les différences finies en un point i:

– dérivée première temporelle :

– dérivée première spatiale• centrée espace, schéma de Lax : effet de lissage

• décentré en espace (“upwind”):

– calcul effectué que pour les points "au vent”

– tenir compte du sens du vent

– Cette méthode ajoute un terme de viscosité négligeable si le nombre de Reynolds de maille Rh:

TT0

T

tTt

t

ni

nii

1

)()()(

0x.Usih

0x.Usih

x ni

n1i

n1i

ni

51.

K

hURh

XO i-1

ni

n i+1n

11

– Dérivée spatiale seconde• explicite : i

n+1=f1( in, v

n), v potentiel au voisinage de i

– Markovien,

• implicite : in+1 =f2( i

n , in+1, v

n+1)

– schéma stabilisant,

– résolution numérique supplémentaire à chaque n

– non Markovien

• Crank-Nicolson : in+1 =f1(.) + (1- )f2(.)

– idem implicite

IV. Discrétisation

2112

22

2 2)(

),(),(2),(

hh0

h

hxtxthxt

x

ni

ni

nii

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• Equation d'advection - diffusion (cas 2D, K=cste)

• conditions limites– aux frontières artificielles (condition de continuité)

– aux sources

– obstacle (sans turbulence)

• Paramètres (pour Ux, Uy positifs)

• Précision • e=O(T)+O(h2)+O(k2)+ O(h)+O(k)

)(intérieur j)(i, 1,51,4,13,2,111

, n

jin

jin

jin

jin

jin

ji mmmmm

j)(i, 1,9,18,71

,n

jin

jin

jin

ji mmm

)jj ,i(ien ,61,51,4,13,2,111

, ss n

jin

jin

jin

jin

jin

jin

ji Smmmmmm

'' j)(i,1

, 0 nji

IV. Discrétisation

5

2,1

23

2

21

12

2

22

1ii

i

xx

x

m

h

TK

h

TUm

m

h

TKm

k

yTK

h

xTK

kyTU

hxTU

Tmk

TK

k

UTm

k

TKm

yy

y

6

25

24

298

7

)(1

1

mmm

khTm yx

38 m

hTm x

59 mk

Tm y

13

IV. Discrétisation

i=1

Contour artificielnon réfléchissant

Obstacle ’

source

i,j*

**

*

i,j+1

i,j-1

i-1,j i+1,j

J=L

i=l

c1c2

c3

capteurs

• Schéma numérique– en

– en

00

0

000

9

78

m

mm

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IV. Discrétisation

• Modèle d’état vecteur d’état

Equation d’état

• Les bruits– Wn : bruit d’état

• modélise l’incertitude sur l’état (turbulence non prise en compte par le modèle, topographie)

• moyenne parfois non nulle, trace(E(Wn.WnT)) faible

• indépendant de Sn et Vn

– Vn : bruit de mesure• moyenne souvent nulle

• trace(E(Vn.VnT)) faible

v

.n

1

nnn

nT

nn

CY

wBSA

A caractérise l’évolution libre du système de dispersion

TnL

nL

nnnnn ],......,[.,],........,......,[],,......,[ ,1,,21,2,11,1

.1

nn

nT

nn

CY

BSA

PPPP

PPPPPP

AA

AAA

AAA

AA

A

,1,

,11,12,1

3,22,21,2

2,11,1

23

123

123

12

,

mm

mmm

mmm

mm

A kk

4

4

1,

m

m

A kk

5

5

,1

m

m

A kk

0

0

1

0

0

B

00100

0010

00100

CB modélise l’implantation des sources

dim(B)= lL*ns

C modélise l ’implantation des capteurs

dim(C)= nc*lL

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• Stabilité du schéma numérique– condition nécessaire de convergence de la solution

i,jn.

– peut s’étudier à partir des valeurs propres de la matrice A

– rayon spectral (A)=max|k| 1kLl+1

– on peut montrer (Gershgörin-Hadamard)

– comme (A matrice de Markov)

– alors

– finalement, on peut montrer

d'où la condition sur la période d’échantillonnage T pour un pas spatial (h,k) donné

IV. Discrétisation

lLk1 .

1,

lL

jjik a

15

1

.

1,

kk

lL

jji ma

lLk1 1max)( kA

0m2 si 1)( A

yxyx UkhUhkKhKk

khTA

2222

22

221)(

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• Simulations

sans advection

avec advection

Titre:T:\latex\These\fig17.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

Titre:T:\latex\These\fig16.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

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• Observabilité– Observabilité stricte, c’est la possibilité de résoudre :

– O doit être de rang = l.L = dimension de – un nombre de mesures égale à :

• cas monocapteur : dim(Y) l.L

• cas nc capteurs : dim(Y) (l.L/nc)

– si (rang(O)=r )< l.L seulement (l.L-r) noeuds ne peuvent être estimés.

– Observabilité théorique:

– Le rang est meilleur dans le cas multicapteurs

– numériquement :

– le rang renseigne sur la qualité de restauration de

V. Propriétés

)(.)(...

)(

...

)(

)(

00

10

0

0

kYk

CA

CA

C

nTky

Tky

ky

n

A de bande delargeur demi ),2

inf()(

lLlLn

Orang c

Titre:fig15.epsAuteur:fig2dev Version 3.2 Patchlevel 0-beta3Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

)/)(()( seuiliOeigicardOrang

Penrose Moore de sensau inverse ,)( 0 OYOk

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• Evolution de rang(O) pour 1 capteur, seuil de rang :1e-25

Evolution de rang(O) pour 2 capteurs, dont1 fixe en (8,8), seuil de rang :1e-25

• Conclusion : – plus le capteur est éloigné de la source dans la direction du

vent, meilleur est l'observabilité

– plus il y a de capteurs, meilleur est l'observabilité

Titre:H:\LATEX\These\Fig192.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

Titre:H:\LATEX\These\Fig193.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

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• Commandabilité (Excitabilité des nœuds)

– Existe t-il une commande

vérifiant :

La réponse est oui si rang(C) = l.L, sinon il y a (rang(C)-l.L) nœuds non excités.

– On peut montrer:

– De façon logique, le rang(C) augmente avec le nombre de source.

– Un état X(kf) peut être atteint en n coups (n<l.L), si

• X(kf) appartient au sous espace engendré par les colonnes de C

• La représentation des colonnes de C sur le maillage, constitue une base de motifs

V. Propriétés

TfksksksS )1(.....),........(),( 10

SC

ks

ks

ks

ABBAkX

f

nf .

)1(

)(

)(

B ...,,.........)(1

0

1

A de bande delargeur demi ),2

inf()(

lLlLn

Crang s

B ...,,.........1 ABBAC n

Titre:fig195.epsAuteur:fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

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• Commandabilité (suite)– En pratique, le rang(C) dépend du seuil de sélection des valeurs

propres considérées non nulles.

– Pour un seuil d'excitabilité donné, le rang indique le nombre de nœuds excitables.

Evolution de rang(C) en fonction de la position de S, à seuil fixé

• Conclusion : Pour une direction de vent donnée, plus la source est au vent, plus il y a d'état excités.

V. Propriétés

Titre:H:\LATEX\These\Fig197.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

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• Identifiabilité– C.N. : Commandabilité et Observabilité

on augmente la probabilité d'identifier le modèle si :• le capteur est placé sous le vent, le plus loin de la source

• le nombre de capteurs augmente

Ouf !!!

V. Propriétés

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• Principe Majeur : – Considérer la relation source-capteur comme un filtre de

convolution

VI Applications

H1 (z)

H2 (z)

Source S(n)

v1(n)

v2(n)

Y1(n)

Y2(n)

Position 

Bruit capteur

mesures

Hi(z)=C(zI-A)-1B = f [position(S), position(capteursi), K, U] i

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• Différentes formes du modèle :– forme d'état A(1), B ( 2), C

– réponses impulsionnelles

– matrice de Hankel

– matrice de filtrage

• Différents problèmes inverses :– Estimation des paramètres physiques 1

– Localisation de source(s) : estimation de 2 (i.e. B)

– Déconvolution / séparation de sources : estimation de Sn

– Prédiction temporelle

• Informations :– Mesures capteurs, estimation de bruit, entrées

– Mesures capteurs, estimation de bruit, info a priori

VI Applications

)],(.....),........,(),,([),( 21)(

21)(

121)(

021)( j

Mjjj hhhh

)()(),( 21

21)( BCAh 1

iji

),().(),( 21121 COH

M

M

hh

hh

0

0

00

0

0

00

NH

M = ordre RIF

1 = paramètres physiques

2 = paramètre de localisation

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Titre:I:\latex\These\fig29-4.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.

Exemple : Estimation des réponses impulsionnelles par méthode spectrale paramétrique (séparation des sous-espaces source et bruit)

VI Applications

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• Modélisation d'un phénomène de transport-diffusion par une représentation d'état.

• réutilisabilité de la méthodologie ?

• Point de départ pour bon nombre de problèmes d'estimation

• Aspects applicatifs : surveillance de points sources

VII Conclusion