1 Cinematica Determinazione del moto – 1 dimensione Politecnico di Bari, Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale I Prof. G. Iaselli

1

CinematicaCinematica Determinazione del moto – 1 dimensione

Politecnico di Bari, Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale I Prof. G. Iaselli

Capitolo 2 Cinematica

t

t

v

v

adtdvadtdvvdtd

a00

t

t

adtvv0

0

cost

0

0 vv

a

atvv

a

0

cost1

2




t

t

x

x

vdtdxvdtdxxdtd

v00

cost

0

0 xx

v

tvxx

v

00

cost

2

1+2 200 2

1attvxx Moto uniformemente accelerato

3

CinematicaCinematica Moto nel piano



x

y

yxr

ry

rx

tan

sin

cos

22

OP vettore yx utyutxOPtr ˆ)(ˆ)(

yu

xu

versoreunitario vettoreˆ u

x

y

P

tr

O

4




t

trttrv

t

)()(lim

0

rdt

dv

velocità

tr r

ttr

5




La velocità è sempre tangente alla traiettoria

tusdrd ˆ

tusdt

dv ˆ atraiettori alla tangente versore ˆ tu

cartesiane coordinate in

yyxxyxyx uvuvuydtd

uxdtd

uyuxdtd

rdtd

v ˆˆˆ)(ˆ)()ˆˆ(

Sr sd

rd

6

CinematicaCinematica Determinazione del moto – 2 dimensioni



tavvdtavd 0

Il vettore velocità è sempre nel piano individuato dai vettori

costanti e 0v

a

tavv xxx 0

tavv yyy 0{

{2

00 2

1tatvxx xx

200 2

1tatvyy yy

200 2

1tatvrrdtvrd

Proiezione del moto in due dimensioni

7

CinematicaCinematica Moto parabolico



0vgy

x

uugga ˆ

sin

cos

0

00

iniziali condizioni

0

00

0

00

vv

vvv

y

xr

y

x

Moto lungo x

Moto lungo y

coscost

cos

0

0

vv

tvx

x

gtvv

gttvy

y

sin21

)sin(

0

20 Parabola!

222

0 cos2tan)( x

v

gxxy

8

CinematicaCinematica Moto parabolico



0v

0v

oMx

g

vx

xd

d

g

vxx

g

v

g

v

y

G

G

GM

20

20

2

20

20

G

45 se

450

massima gittata la ottiene

si cuiper Angolo

sincos

)2sin(2sincos2x

0 :Gittata

g

vxy M 2

sin)(

massima Altezza22

0

discesa di tempo

salita di tempo

sin22

cos

2

volo di Tempo

2

2

0

0

G

G

x

MMG

t

t

g

v

v

x

v

xt

9

CinematicaCinematica Colpisci un bersaglio



0yy

x0x

0v

Bisogna lanciare il proiettile quando l’angolo è

0

202

arctangy

v

Lanciamo un proiettile con velocità orizzontale.

Vogliamo colpire il punto

0v

0x

g

ytgttvyy y

0200

2

21

0

g

yvtvx 0

0002

0

20

0

0 2tan

gy

v

y

x

10

CinematicaCinematica Colpisci un bersaglio



0v

),(P 00 yx

21 2

1

Proiettile

gttvy oy 202 2

1

Bersaglio

gtyy

21 yy

yy v

ytgtygttv

0

020

20 2

1

2

1

0200

001

0

0 ; ;

:tempo nel

xxyv

vtvx

v

yt

y

xx

y

0

0

0

000

0

021 imponiamo se

y

x

v

vxy

v

vxx

y

x

y

x

11

CinematicaCinematica Coordinate polari



o

NN

N

udt

drur

dt

dr

dt

dv

urr

ˆˆ

ˆ caso questo In

Derivata di un versore!TN u

dt

drur

dt

dv ˆˆ

Componente normale

(Velocità radiale)

Componente tangenziale

(Velocità trasversale)

22

2

dtd

rrdtd

sdtd

v

Modulo della velocità

r

TuNu

r

Tv

Nv

12

CinematicaCinematica Accelerazione nel moto piano



rdt

dv

dt

da

2

2

Tuvv ˆ come velocità la scriviamo

tempo nel varia ˆ tu

TTT udt

dvuv

dt

duv

dt

da ˆˆ ˆ

NT udtdvuv

dtd

a ˆ ˆ

NT uR

vuv

dt

da ˆ ˆ

2

Derivata di un versore!

Ta Na22NT aaa

d

Tu

Nu Tu

Nu

Ta

Na

13

CinematicaCinematica Derivata di un versore



Su

tu tuud ˆ

)(ˆ)(ˆˆ tuttuu 0)t (oppure

udu ˆˆ

uud ˆˆ

uS ˆ dudS ˆ

uddS ˆ ma duud ˆˆ da cui dud ˆ

1

dt

du

dt

dˆ

14

CinematicaCinematica Accelerazione centripeta o normale



Ta

NaNT u

dtdvuv

dtd

a ˆ ˆ

Per una circonferenza

di raggio R…

dS

d

Tu

TuNu

Nu

vR

sdtd

dsd

dtd 1

NN uR

va ˆ

2

da cui

15

CinematicaCinematica Moto circolare uniforme



v

v

Na

Na

NT uRv

uvdtd

a ˆ ˆ 2

yxyyxx uvuvvuvuvv ˆ)cos(ˆ)sin(ˆˆ

vP

Px

Py

R

yPsin

R

xPcos

yP

x uR

xvu

R

yvv P ˆ)

(ˆ)

(

yPxP uxdt

d

R

vuy

dt

d

R

vv

dt

da ˆ ˆ

v

xv

yv

16

CinematicaCinematica Moto circolare uniforme



yx uR

vu

R

va ˆ sinˆ cos

22

xa

yaa

R

vaaa yx

222

tantan x

y

a

a

Il vettore a è diretto verso il centro e vale v²/R in modulo

TuTu

Nu Nu

0Na 0NaAttenzione:

17

CinematicaCinematica Moto circolare – coordinate polari



S

P

r

costante con rrttS

t

rvr

vS

dt

d

rdt

d 1

rar

av

dt

d

rdt

d

dt

dT

T 1

2

2

Ricordiamo che in coordinate polari

udt

drur

dt

dv r ˆˆ

rv

0

18

CinematicaCinematica Moto circolare – coordinate polari



Ta

Na

raT

rRv

aN2

2

a

v

x

cost

2

1

0

200

t

tt

ttt

Moto circolare uniformemente accelerato

Moto circolare uniforme

0

0

00

t

t

tt

19

CinematicaCinematica Ancora sul moto circolare


y

x

P

Px

costv

trrxP coscos

0

0

sin)(

cos)( generaleIn

trty

trtx

P

P

Moto periodico, di periodo T

rT

vpoichè 2

v

r2

Si definisce frequenza del moto: 2

1

T 2 anche

s

rad Hertz rad

20

Moti relativi – Traslazione

tOO t v' moto relativo uniforme

O

'Ox

'x'r

P

y'y

r

trr t v'

tt

yy

txx t

'

'

' v

t'

'

vvvdt

rd

Trasformazione della velocità di Galilei

tt

vv

vvv

'

y'

y

tx'

x

Se

Invarianza dell’accelerazione nel caso di moti relativi uniformi

costv t

aa dt

vda ''

tv

t' vvv

21

Moti relativi – Traslazione

Sistema fisso Sistema in moto

v

O

y

x

'y

'x

'O

'y

'x

'

'v

x

y

v

vtan

tx

y

x

y

vv

v

v

vtan

tv

cosv0

In particolare se

xt vv

O

y

x

0v

tv

'v

22

CinematicaCinematica Un altro esempio – Traslazione

Nel sistema di riferimento in moto con velocità

tv

O 'O'x

'y tv

x

y

v

'v

'O 'x

'y

'v

tv

v v

vtan t

Dalle trasformazioni di Galileo:

2t

2'

y'

y

t'

xvv v

vvv

vv

t' vvv

23

CinematicaCinematica Moti relativi – Traslazione con v ≠ cost

costv t dt

daa tv'

taaa

'

ta

accelerazione di trascinamento

Nel sistema fisso il punto P è in quiete

Esempio:

taaa 'ta

P

ta

y

x

'O

O

0

ta

Nel sistema in moto accelerato P si muove con un’accelerazione

24

CinematicaCinematica Un altro esempio


Ascensore in caduta libera

Nel sistema fisso un oggetto nell’ascensore “cade” con l’accelerazione g

Nel sistema in moto con accelerazione g:

gat

taaa '

0' gga

g

O

y

x

'O'x

'y

Nel sistema in movimento non si sente alcuna accelerazione!

(assenza di gravità)

25

CinematicaCinematica Sempre da un sistema in caduta libera…

ta

0v

O

y

x

0

x

y

a

ga

Nel sistema in caduta libera

0)(

0'

'

ggaaa

aa

tyy

xx

'x

'y

'O

costv0

costv0'y

'

'x

'

y

x

a

aTraiettoria rettilinea

0'

0'y

0'x

vvsinαvv

cosαvv

g

taaa '

g

26

CinematicaCinematica Moto relativo di rotazione


P

cost

Nel sistema in rotazione:

In generale

Nel sistema rotante non c’è accelerazione!

Supponiamo il punto P in moto con

nel sistema fisso

cost

rv

0' v

rvv ' oppure rvv

'

Nel sistema fisso il moto è accelerato!

27

CinematicaCinematica e l’accelerazione?


rvv '

rddt

dr

dt

dv

dt

dv

dt

d '

rvraa ''

rraa 2'

0

accelerazione centripeta

accelerazione di Coriolis

28

CinematicaCinematica Un caso semplice


Supponiamo il punto P si muova di moto uniforme nel sistema fisso

PO

P P

Sistema rotanteSistema fisso

Nel sistema rotante

rva '' 2

'v

' 2 v

'a r

Ta

Na

raN2

2222 rvaT

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