완포자를위한중학수학

특강

Stage 01 수의종류

Stage 02 전개와인수분해①

Stage 03 전개와인수분해②

Stage 04 방정식

Stage 05 일차함수

Stage 06 이차함수의그래프

Stage 07 이차부등식과피타고라스

Stage 08 삼각형의성질

Stage 09 원의성질

Stage 10 그밖의도형

M a t h K i l l e r

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 01 수의종류 085

수 실수허수：고등학교과정(생각지말자.)：3i, -3i, 1+2i, y

real

imaginary

동물실동물：파리, 사람, 개, …허동물：해태, 용, …

“이런느낌!”

ex) 5.12 H3H4=

ex) 0.4=;9$;, 0.9=;9(;=1

51234-512 9900 (배열은 9먼저)

(소수점무시하고) 그냥써 - 순환안되는것

(소수점아래) 순환되는것을 9로바꾸고, 순환안되는것을 0로바꾸자.

실수유리수(셀수있는수)： 이거말고는다유리수무리수(셀수없는수)：y'2, '3, '5, '6, '7, y p y, log™ 3, log™ 10, y

※무한소수 순환소수 ex) 1.35555y=1.3 H5 (유리수) 비순환소수 ex) 3.141592y (무리수)

정수 양의정수：1, 2, 3, y (자연수)

유리수0

음의정수：-1,-2, -3, y

정수아닌유리수：;3!;, ;4!;, 0.25, -;2!;, y

3.141592…

고등학교과정

·실수중에 ' , log, p가아닌수·분수형태로나타낼수있는수

※절댓값：원점과알맹이가떨어진거리

거리라함은양수! 즉, | |의값은항상양수

⇒ |-3|=- (-3)=3

⇒ a

stage 02 전개와인수분해① 087086 Break Old Paradigm

Stage

01수의종류

●

ex) 2

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 02 전개와인수분해① 089088 Break Old Paradigm

Stage

02전개와인수분해①

공식1 완전제곱식

(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤

(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

전개

( a + b )¤ = a¤ + b¤ +2ab ⇒(앞에꺼)¤ +(뒤에꺼)¤ +2"짠짠"

(x-4y)¤ =x¤ +16y¤ -8xy (x-3)¤ =

(1-'2)¤ =(5-'3)¤ =

인수분해

⇒ a¤ +2ab + b¤

=( a + b )¤

⇒여기서반드시확인사항( a +b )¤

x¤ - 6x+ 9 x¤ -10x+25=

=( x - 3 )¤ 9x¤ -12xy+4y¤ =

앞 (앞)2 눈에 보이는것(a,+b,2)다곱해

(뒤)2뒤 ( )

( )

※인수：곱으로연결된각각을의미2x(x+y)z¤ 에서인수는?

⇒ 2, x, (x+y), z, z¤ , 2x, x(x+y),

단항식 다항식곱꼴 합,차꼴( )다항식 단항식합,차꼴 곱꼴 (x-y)¤인수분해 =x¤ -2xy+y¤ 전개

앞에꺼에' 를씌운다.

복사 뒤에꺼에' 를씌운다.

가운데항의연결부호그대로복사

다 곱해서가운데항이되느냐를확인

다곱해서-6x가됨을확인!

⇒ 2차항의계수가 1일때만성립ex) x¤ +14 x+ 이완전제곱식이되기위한 값은?

※ 2차항의계수가 1이아닌경우완전제곱식이되기위한 값은?⇒ 2x¤ +8x+

= 2 (x¤ +4 x+4)

=(다시 윗식을전개하면) 2x¤ +8x+8 ∴ 안에들어갈수는 8

x¤ +6x+

a¤ -12a+

x¤ -x+

2x¤ +8x+

3x¤ -12x+

완전제곱식이되기위한상수항→"반의제곱"

49

1차항의계수의 "반의제곱"

(가로 안에서는반의제곱이성립한다.)

x¤의계수를죽이기위해2로전체를묶어준다!

(2x-y)(2x+y)=

(3+2'2)(3-2'2)=x¤ -16=

4x¤ -9y¤ =

전개

(앞+뒤)(앞-뒤)=앞¤ -뒤¤

앞¤ -뒤¤=(앞+뒤)(앞-뒤)

인수분해

(a+b)(a-b)=a¤ -b¤

공식2 합과차

ex

ex

ex

예제

예제

예제

예제

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 02 전개와인수분해① 091090 Break Old Paradigm

Stage

02전개와인수분해①

※분모의유리화 (분모에 ' 가있을때, ' 를없애주기위한방법)

1) 분모에항이 1개일때,

⇒ = = , = =;4%;'2

= , = , =

2) 분모에항이2개일때, ⇒분모의켤레수를분모분자에곱해준다.

⇒ =

=

=

=

=1 '3-'2

1 2+'3

'3+1 '3-1

2 3-'5

c('a-'b ) a-b

c ('a-'b )('a+'b )('a-'b )

4 3'3

3 '3

1 '5

5'2 4

5_'2 2'2_'2

'3 3

'3 ('3)¤

1_'3'3_'3

(분모 분자에 '3을곱해주자) (분모 분자에 '2를곱해주자)

' 를없애려면제곱하면되기때문에⇒ (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 을이용한다!

가운데부호바꾼것을분모분자에곱한다.

분모가유리수가됨.

⇒이차항의계수가 1일때,

전개

(x+3)(x-2)

⇒ (x+3)(x-2)= x¤ 합x 곱

⇒ (x+3)(x-2)=x¤ +x-6

전개

● x¤ + 6x + 8

=(x + 4) (x + 2)

● x¤ + 6x - 8

=(x + 4)(x - 2)

● x¤ +4x-5=(x+5)(x-1)

x¤ -3x+2=

x¤ -8x+12=

x¤ +2x-24=

x¤ -6x-16=

두놈의합과곱을

큰수 작은수

큰수

5 1

작은수

둘중에합이6인것을찾아라

둘중에차가2인것을찾아라

4 2 8 1

상수항

상수항을쳐다보고구구단을외우자!

인수분해

상수항

8 1 4 2

상수항의부호가 +이면앞의부호가그대로온다

상수항의부호가 -이면앞의부호가반대로온다

상수항을부호가 -이므로, 앞에 부호의반대가온다

(x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab

공식3 합과곱

예제

예제

예제

stage 03 전개와인수분해② 093092 Break Old Paradigm

Stage

02전개와인수분해①

전개

(4x-3)(2x+1)=8x¤ +4x-6x-3=8x¤ -2x-3

즉, (4x-3)(2x+1)

=8x¤ -2x-3

(x+2)(3x-6)=

(2x-1)(5x+3)=

(2x+3)(5x-2)=

동류항

안쪽바깥쪽

한번은안쪽한번은바깥쪽

크로쓰! 크로쓰!

둘을더한다.

8x¤ +10x-3

8x¤ +10x-3

=(4x-1)(2x+3)

3x¤ -x-2=

2x¤ -9x-5=

5x¤ +13x+6=

인수분해

잘안나와!

-6x4x

구구단 구구단

42

64

31

이 두수를가지고가운데항의계수 10을 만들어야한다!근데... 못만들자나!왜? +6+4=10인 경우밖에없는데, 둘중 하나는 -이어야하니까

+6-4=2-6+4=-2( ) 이런경우뿐이자나!

포기하고다음시도

(4x -1)

(2x +3)- 2+ 12+10을 만들었으면 ok!

전개

(a+b)‹ =a‹ +b‹ +3a¤ b +3ab¤

(x-1)‹ =

(x+2y)‹ =

(2x-1)‹ =

눈에보이는 3이랑앞에꺼 a두번에뒤에꺼+b한번

눈에보이는 3이랑앞에꺼 a한번에뒤에꺼+b두번

a‹ +b‹ =(a+b )( )=(a +b )(a¤ -ab +b¤ )

ex) x‹ -8y‹ =x‹ -(2y)‹ =(x-2y)(x¤ + 2xy +4y¤ )

a‹ -27=

x‹ +8y‹ =

3자,3자 두개를날리고,그대로쓴다

×

제곱 제곱

제곱제곱

보이는것(a,+b)다곱하고부호바꾼다.

눈에보이는것 x,-2y를모두곱하고, 부호 바꾼다.

a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

a¤ +b¤ 가운데가 +일때는인수분해불가능

x‹ -1=(x-1)(x¤ +x+1)

x‹ +1=(x+1)(x¤ -x+1)

(a+b)‹ =a‹ +3a¤ b+3ab¤ +b‹

(a-b)‹ =a‹ -3a¤ b+3ab¤ -b‹

a‹ +b‹ =(a+b)(a¤ -ab+b¤ )

a‹ -b‹ =(a-b)(a¤ +ab+b¤ )

Stage

03전개와인수분해②

M a t h K i l l e r

(5x-2)(3x+1)=15x¤ -x-2

공식4 그냥전개

공식5 세제곱공식

공식6 3자, 3자 두개있는놈의인수분해

예제

예제

예제

예제

ex

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 03 전개와인수분해② 095094 Break Old Paradigm

Stage

03전개와인수분해②

⇒ x‹ +x¤ -5x+3

=(x -1 )(1x¤ x-3)

⇒이제 x의계수(1차항의계수)만찾으면된다!

(x -1 )(x¤ +2x -3 )

즉, x‹ +x¤ -5x+3=(x-1)(x¤ +2x-3)

=(x-1)(x+3)(x-1)

=(x-1)¤ (x+3)

⇒ x 대신아무거나대입해서 0이되는값을찾아라!1, -1, 2, -2를 대입해보면, 99.9%는 해결된다.

ex) x‹ +x¤ -5x+3⇒이식전체에 x=1 대입.. 1+1-5+3=0 OK!

(x-1)( ) ( x¤ x )2차식이어야한다

인수로갖는다.

2차항 1차항 상수항

(x=1을대입했을때, 전체를 0으로만들어주자나!)

곱해서 (+3)이어야함

끝난게아니다!

곱해서 x‹이어야함

곱해서-2x이어야함동류항 처리해서

곱해서-3x

⇒-2x-3x=-5x이어야함

※조립제법(쉽게인수분해하는방법)

⇒ x‹ +x¤ -5x+3

=(x-1)(1x¤ +2x-3)

=(x-1)(x+3)(x-1)

=(x-1)¤ (x+3)

x‹ -3x-2=

x‹ -7x+6=

x에 1, -1, 2, -2넣어본다!

3x¤ +2x-1

2차항 1차항 상수항 4차항 2차항 상수항3x› +2x¤ -1

ex) x› -10x¤ +16x¤ =t라치환

⇒ x› =t¤⇒ t¤ -10t+16=(t-8)(t-2)=(x¤ -8)(x¤ -2)

x› -5x¤ +4=

a› +a¤ -6=

x¤ 을 t라치환한다.

x에관한식으로원상복구(이상태로인수분해)

11

1

1 3

O

-5

-3

1

2

2

_

_

_

-3

x= 1 을식전체에대입하면, 1+1-5+3=0 OK!

0이 나와야한다.

⇒ 안나온다면?계산이틀렸거나, 1을 넣었을때, 0이 안된다는얘기.

⇒ 다시생각해보자!

공식7 3차식의인수분해

공식8 복이차식의인수분해

예제

예제

ex

ex

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 03 전개와인수분해② 097096 Break Old Paradigm

Stage

03전개와인수분해②

⇒ (a+b)¤ -(a-b)¤ =4ab 합 ¤̀ - 차 ¤̀ =4곱

ex) x+y=3, xy=1, (x-y)¤ =?⇒ 합 ¤̀ -차 ¤̀ =4곱⇒ 9-답=4⇒답=5 ∴ (x-y)¤ =5

x+y=3, xy=2일때, (x-y)¤ =x-y=3, (x+y)¤ =5일때, xy=('2+1)¤ -('2-1)¤ =

x+y=3, xy=2일때, x¤ +y¤ =a¤ +b¤ =10, a+b=4일때, ab=

영어로외우지말고, 한글로외우자!

(a+b)¤ -(a-b)¤ =4ab

①의미：합,차,곱사이의관계식②용도：합,차,곱중어느두개가주어지고나머지하나를구할때③한글공식：“합의제곱에서차의제곱을빼면네배의곱”

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

①의미：제곱의합의값을구할때에는두수의합과곱을알아야한다.②용도：제곱의합의값을구할때...③한글공식：“합의제곱마이너스두배의곱”

⇒ a‹ +b‹ =합 ‹̀ -3¥합곱cf) a‹ +b‹ (a+b)(a¤ -ab+b¤ )：인수분해공식

합 ‹̀ -3¥합곱：합과곱과의관계식

a+b=3, ab=1, a‹ +b‹ =?

a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)

①의미：세제곱의합의값을구할때에는두수의합과곱을알아야한다.②용도：세제곱의합의값을구할때③한글공식：“합의세제곱마이너스세배의합곱”

⇒ a¤ +b¤ +c¤ =합 ¤̀ -2¥둘

a+b+c=3, ab+bc+ca=4일때,a¤ +b¤ +c¤ =

a¤ +b¤ +c¤ =2, a+b+c=4일때,ab+bc+ca=

a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)

①의미：문자세개짜리의제곱의합의값을구할때에는두수의합과둘을알아야한다.②용도：문자세개짜리의제곱의합의값을구할때③한글공식：“합의제곱마이너스두배의둘”

문자세개짜리의제곱의합 ※용어정리

합：a+b+c곱：abc둘：ab+bc+ca

둘씩곱한다.

예제

예제

예제

예제

ex

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 04 방정식 099098 Break Old Paradigm

※방정식

ex) 4x=5 4x+1=7-1

⇒ (양변을 4로 나눈다.) ;4$;x=;4%; ⇒ 4x=6

⇒ x=;4%; ⇒ (양변을 4로 나눈다.) ;4$;x=;4̂;

⇒ x=;2#;0으로는나눌수없다! ⇒ (x의계수가 0일때)

0¥x=3 0¥x=0

⇒ x=;0#; (분모에 0이올수없다.) ⇒ x에아무숫자를대입하더라도식이성립⇒ x는해가없다. ⇒ x는모든실수(해가무수히많다)

※등식：등호를가지고만든식 ※부등식：부등호를가지고만든식⇒ 3x+1=5 ⇒ 3x+1>5

→등식 방정식：2x+1=5항등식：2x+1=2x+1

ex) ax+1=2x+1이항등식이되기위한 a값은? “2”(항등식은이런형태의문제로출제된다)

⇒특정한 x값에의해서만성립(x=2) ⇒방정식을푼다.(그 식을만족시키는 x값을찾는다.)

(해=근) 좌변과우변이똑같자나! ⇒ 모든 x값에의해성립

일차방정식

ax=b

⁄ a+0 이면 x=;aB;¤ a=0 일때 b=0이면 x는모든실수

b+0이면 x는해가없다.

3

2

이렇게기억할수도있다!0¥x=상수 0¥x=0

⇒ 0으로나눌수없지만그냥나눠보면 ⇒ x=„;0);⇒ x=„N 0

상수를그냥 N이라한것이니의미를두지말자.

NO! 해가없다

응! 1되니? 응! 2되니? 응!.. 다된다? 응!⇒해가무수히많다.

절대값방정식

=

⇒ =— (알맹이=—우변)

ex) | x |=3 |x|=a |x-1|=4 |2x-1|=7x=—3 ⇒ x=—a ⇒ x-1=—4 ⇒ 2x-1=—7

⇒ x=1—4 ⇒ 2x=1—7⇒ x=5 or -3 ⇒ 2x=8 or -6

⇒ x=4 or -3

※이차방정식

완전제곱꼴일때,

ex) x¤ =25⇒ x=—'∂25⇒ x=—5

알맹이를양수로만들어주는기계

한글로기억하자!

알맹이그대로..

—우변—우변

알맹이그대로..

x¤ =a (x-a )¤ =b

x=—'a ⇒ x-a=—'b ⇒ x=a—'b

—"√우변밑을그대로스고

밑을그대로스고

(x-1)¤ =25

⇒ x-1=—'∂25⇒ x-1=—5⇒ x=1—5 ∴ x=6 or -4

완전제곱식이아닐때(인수분해)

x¤ -4x+3=0

⇒ (x-3)(x-1)=0⇒ x=3 or 1

만약, x¤ -4x+3=8일때,⇒ x¤ -4x-5=0⇒ (x-5)(x+1)=0⇒ x=5 or -1

ex) x¤ +2x-24=0⇒ (x+6)(x-4)=0⇒ x=-6 or 4

수의세계에서는★ ●= 0 이면항상우변을0으로만들자0둘중하나는반드시 0물론둘다 0일수도있고

(우변이 0 일때, 좌변을인수분해한다)

= ×

0

=

또는

⇒

⇒ ⇒

⇒

Stage

04방정식

M a t h K i l l e r

ex

ex

ex

ex

ex

완포자4-5 2011.2.14 3:20 PM 페이지 098 NO.3 SP10600-Semi

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 04 방정식 101

Stage

04방정식

100 Break Old Paradigm

근의공식(인수분해가안될때)

※근의판별

(복소) 수 실수2æ0인수 ⇒대소판별이가능한수

허수：실수가아닌수

⇒ '5：제곱해서 5 가되는수：실수'ƒ-5：제곱해서-5 가되는수：실수가아니다. →허수

"√알맹이 (알맹이æ0) →실수(알맹이0서로같은두실근(중근)：D=0

허근：D

stage 05 일차함수 103

Stage

04방정식

102 Break Old Paradigm

이차방정식의근과계수와의관계

ax¤ +bx+c=0의두근을 , 라하면

①합 ( + )=-;aB;②곱 ( )=;aC;

ax¤ +bx+c=0에서

⇒ x= , x=

+ = =-;aB;

_ =

= = = ;aC;4ac 4a¤

b¤ -(b¤ -4ac) 4a¤

(-b )¤ -("√b¤ -4ac )¤ 4a¤

-b-"√b¤ -4ac 2a

-b+"√b¤ -4ac 2a

-2b 2a

-b-"√b¤ -4ac 2a

-b+"√b¤ -4ac 2a

-b-"√b¤ -4ac 2a

-b+"√b¤ -4ac 2a

※근과계수와의관계계수만이용해서두근의합`과 곱`을 구할수있다!

합：-;aB;⇒ ax¤ +bx+c=0

곱： ;aC;

⇒ ax‹ +bx¤ +cx+d=0

합：-;aB;둘：;aC;곱：-;aD;

삼차방정식의근과계수와의관계

ax‹ +bx¤ +cx+d=0의세근을 , , 라한다면

①합 ( + + )=-;aB;②둘 ( + + )=;aC;③곱 ( )=-;aD;

-

- -

합 차 앞에꺼 뒤에꺼

삼차방정식 x‹ +2x¤ +3x-4=0의세근을 a, b, c라고할때, a¤ +b¤ +c¤ 의값은?

이차방정식 x¤ -3x+1=0의두근을 a, b라할때1) a¤ +b¤ 의값은?2) a‹ +b‹ 의값은?3) a-b의값은? (단, a>b)

※함수：function

※ f：남자→여자 (남자집합에서여자집합으로의함수)

즉,

n. 기능 역할

함수(예의를갖추어야한다)1. one...(한발씩만쏴야한다)2. all.. (모두 쏴야한다)

연결시켜주는역할

대응(화살을쏘는관계)

f：X⁄ Y정의역(남자)={1, 2, 3, 4}공역(여자)={a, b, c, d}치역(화살표맞은놈들)={a, b, c}

만약, 정의역이 1…X…4이고, 공역이 2…Y…5인모든실수라면,

"무수히많은점들을연결해보면선으로연결된다"

⇒ x축상에남자얘들쭉깔고,y축상에여자얘들쭉깔자!

f(1)=a

f(2)=a

f(3)=b

f(4)=c

남자 여자

남자 여자

남 여

1234

a bcd

남 여

1234

a bcd

1,3이 각각두발을쐈다.⇒ 함수가아니다.

정의역 공역

각각 한발씩 쐈지만, 4가 한발도쏘지않았다. ⇒함수가아니다.

함수가아닌것

X Yf

1234

abcd

y

d

c

b

a

O 1 2 3 4 x

y

5

4

3

2

O 1 2 3 4 x

(

Stage

05일차함수

M a t h K i l l e r

예제

예제

완포자4-5 2011.2.14 3:20 PM 페이지 102 NO.3 SP10600-Semi

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 05 일차함수 105

Stage

05일차함수

104 Break Old Paradigm

※그래프의의미해석

※함수판정법 (세로선을그려라)

함수인가? 함수가아닌가?⇒함수가아니다.

⇒ 함수가아니다

세로선을그었을때, 한점에서만나면함수이다.

세로선과두점에서만난다. 함수가아니다.

세로선과세점에서만난다. 함수가아니다.

세로선과두점에서만난다. 함수가아니다.

y

y=f(x)10

5

32

O 1 2 3 4 x

누구한테화살쐈니? 10⇒ f(4)=10

누구한테화살쐈니? 5⇒ f(3)=5

yy=f(x)

2

1

O x2

-1

oneall

※특이한함수세가지

※일대일판정법 (가로선을그려라)

f(1)=1

f(2)=2 jK f (x)=xf(3)=3

X Y

1

2

3

a

b

c

d

X Y

1

2

3

bcd

a

X Y

2

3

1

b

c

a

①

②항등함수

남자들은모두서로다른여자에게화살을쏴야한다.

남자들은모두서로다른여자에게화살을쏴야한다.

“일대일함수”

“일대일대응”

이런함수들중에서이런경우를 ⇒「일대일대응」이라한다.

⇒ 일대일함수가아니다(1,2가 a에화살을쐈다 - 삼각관계 -)

선택받지못한외로운여자

선택받지못한외로운여자가없다!⇒ 다행복하다.

쏘는놈=맞는놈

항등함수

y=x

치역(선택받은여자)

치역

공역

공역

⇒

⇒

함수이다(가로선과세점에서만난다)

⇒ 일대일이아니다

함수이다(가로선과한점에서만난다)

⇒ 일대일

함수이다(가로선과두점에서만난다)

⇒ 일대일이아니다

함수가 아닌놈들은 일대일이 아닐뿐더러 확인해볼 필요가없다.

f

123

123

X Y

y

y=x

x

완포자4-5 2011.2.14 3:20 PM 페이지 104 NO.3 SP10600-Semi

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 05 일차함수 107

Stage

05일차함수

106 Break Old Paradigm

③상수함수(다굴)

일차함수- “직선”y=1차식- 일차함수y=2차식- 이차함수y=3차식- 삼차함수y=상수 - 상수함수

⇒한명만까잖아!(치역이하나인것)

y=상수

X Yf

1 12345

234

3

O 1 2 3 4

y

xO

y

y

x

x

y축→ x=0

x축→ y=0

f(1)=3

f(2)=3 jK f(x)=3f(3)=3

f(4)=3

⇒y=3

ex) y=2의그래프를그려라.

ex) y=3x+1

⇒ x=3의그래프그리는방법① x축위에3을찍는다② y축에평행한직선을그린다.→x=3의그래프는그릴수있지만함수는아니다!

① y축에2를찍는다

② x축에평행한직선을그린다.

2

X1 4

723 10

134

Y

13

10

7

4

1 2 3 4 x

y x=3

그래프를그려보면,

x3

y

x

무수히많은점들을연결하면직선이된다!

주의! 직선이면일차함수?⇒아니다!

대입 ( )

→직선이지만함수는아니자나!

(정의역이모든실수라면,)

결국, 1차함수는 y=a x+b로표현할수있다.

ex) y=3x-1 ：기울기 3y=-2x+1：기울기-2

y=;2!;x ：기울기 ;2!;

기울기

뒤에상수항이없는일차함수는반드시원점을지난다.(y=ax꼴)

⇒ y

x

y=-3x

y=3xy=x

y=;2!; x

y

x

ex) 두점 (1, 3), (2, -4)를지나는직선의기울기

※기울기：높이밑변

높이

밑변

9

9

3

라면, 기울기 ;3(;=3

일때는 =;3(;=3이지만, 방향이반대이므로, -값을가져야한다. ∴기울기-3

높이밑변

또, 기울기= 으로구할수도있다.y의증가량x의증가량

3

만약

방향이반대

기울어진 정도를수치로나타낸것

이렇게기울기를구하면방향을해석할필요없이바로값을구할수있다.

이 직선을빚변으로하는직각삼각형을아무데나만들면..

기울기= =;1&;=7높이밑변방향이반대이므로, 기울기-7

두점 (-3, 1)(2, 7)을지나는직선의기울기를구하시오.

⇒

= = =-7-7 1-4-(+3)

2-1

y의증가량x의증가량

(1, 3)

(2, -4)

7

1

⇒

OO

⇒

ex

ex

ex

예제

CMYK 사이안마젠타노랑검정완포자4-5 2011.2.14 3:20 PM 페이지 106 NO.3 SP10600-Semi

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

stage 05 일차함수 109

Stage

05일차함수

108 Break Old Paradigm

그래프에서의해석

ex) 기울기가 3이고, 점 (1, 5)를지나는직선의방정식을구하시오.

두점 (1, 3), (-2, 5)를지나는직선의방정식을구하시오.

직선 y=3x+5에평행하고점 (1, -3)을지나는직선의방정식을구하시오.

y=3x+1

(2, a)

이직선위에어떠한점을잡더라도, y=3x+1의식을만족한다.

무수히 많은 점들로이루어져있다.

점 (2, a) 또한 y=3x+1의식을만족한다.⇒ a=3¥2+1⇒ a=7

y=3x+b⇒ 5=3¥1+b⇒ 5-3=b⇒ b=2

∴직선의방정식：y=3x+2

※직선을결정하는두가지요소기울기지나는점

⇒이직선이 (1,5)를 지난다.⇒ 대입한다!

직선의방정식의일반형

ex) 3x+2y+1=0⇒ x도일차, y도일차이므로직선!

⇒기울기：-;2#;

ex) 기울기가 ;3@;이고, 지나는점이 (1, 2)인직선의방정식을구하시오.기울기 ;3@;지나는점 (1, 2)

∴구하고자하는직선의방정식은 2x-3y+4=0

기울기가 -;2%;이고, 지나는점이 (-2, 0)인직선의방정식을일반형으로구하시오.

직선 2x-4y+5=0에평행하고점 (1, -2)을지나는직선의방정식을일반형으로구하시오.

y=3x+2 ⇒기울기가눈에보인다.

3x-y+2=0

⇒ ax+by+c=0

기울기：-;bA; (-y의계수분에 x의계수)

이런식을보더라도직선임을알아야한다.x도일차, y도일차이면직선이다.

-

2x-3y+ =0

⇒ 2-6+ =0⇒ =4

분자에 x를붙이고 2x분모에 y를붙히면서부호바꾼후-3y

지나는점은대입한다( )

ex

ex

ex

예제 예제

예제예제

완포자4-5 2011.2.14 3:20 PM 페이지 108 NO.3 SP10600-Semi

stage 06 이차함수의그래프 111

Stage

05일차함수

110 Break Old Paradigm

연립방정식⇒연립방정식을풀이하는이유(교점을구하기위해서)

g 3x+4y=5：기울기가 -;4#;인직선3x-2y=-7：기울기가 ;2#;인직선

x절편, y절편

3x-2y=-7

이직선위의점들은모두3x+4y=5를만족시킨다.

3x+4y=5와 3x-2y=-7을동시에만족시키는점

교점

이직선위의점들은모두3x-2y=-7을만족시킨다.

x절편, y절편찍고, 연결시켜버리면된다!

3x+4y=5

⇒ 3x-2¥2=-7⇒ 3x-4=-7⇒ 3x=-3⇒ x=-1

3x+4y=5

- 3x-2y=-7

- 3x-6y=12

- 3x-6y=2

∴두직선의교점의좌표는 (-1, 2)

두식중아무식에대입

(= 연립방정식의해)

y

5

-3 2 3 5 7 x

y

5

O 7 x-1

-3

y

4

-2

2x-y+4=0

O x

-3, 2, 3, 5, 7

5

-1, 7

-3, 5

ex) 2x-y+4=0을그려라.⇒직선을그릴때제일좋은방법x절편과 y절편을찾는다.

x절편⇒ 2x+4=0∴x=-2

y절편⇒-y+4=0∴y=4

x절편: -2y절편: 4

y=0을대입 x=0을대입

⇒

풀이

y

x는커진다.커진다

커진다

작아진다

작아진다

y는작아진다.

x

※평행이동

점

상하

좌우

점의평행이동

y3

(1, 3)

(4, 1)

2

1

1 2 3 4 x

(1, 3) (4, 1)

(3, -7) (8, -14)x：5 111⁄ y：-7

x：3 111⁄ y：-2+3 -2오른쪽으로 3칸

아래로 2칸오른쪽으로 5칸

아래로 7칸+5 -7

그래프의평행이동

일차함수 y=3x+1 y+2=3(x-3)+1

⇒ y=3(x-3)-1⇒ y=3x-10

이차함수 y=x¤ y+2=(x-3)¤

⇒ y=(x-3)¤ -2

x：3 111⁄ y：-2

x：3 111⁄ y：-2

y=3x¤ 의그래프를 평행이동한그래프식을구하시오.x：3 111⁄ y：-2

비상식적!기울기: 3

기울기: 3(평행이동해도기울기는변화없다)

식이지저분하지만본성은변함없다.

부산에서살다가

서울로왔다.

모습과본성은변화없다.- 그대로다 -

부호바꾸고부호바꾸고

상식적!

y+2 x-3

y+2 x-3

O

Stage

06이차함수의그래프

M a t h K i l l e r

ex

예제

완포자4-5 2011.2.14 3:20 PM 페이지 110 NO.3 SP10600-Semi

stage 06 이차함수의그래프 113112 Break Old Paradigm

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

Stage

06이차함수의그래프

※이차함수

x식이제일간단한상태는꼭지점이(0,0)

⇒“태초의상태”

y=2차식

y=x¤

y=4x¤ -1

y=2x¤ -3x+1

y=3(x-1)¤ +1

생김새(포물선)

아래로볼록 위로볼록

y=3 x¤

y=5 x¤ -4x+1

y=- x¤

y=-2 x¤ +1

꼭지점

대가리만보자(최고차항의계수)

2차항만있고, 일차항, 상수항이없는상태

대가리가양수

대가리가음수

대가리가+ 이면→아래로볼록대가리가- 이면→위로볼록

⇒

y=3x¤

y=-3x¤

y=3x¤y

y=-4x¤ y=-3x¤

y=4x¤

y=x¤

y=-x¤

태초의상태는꼭짓점이 (0, 0)

⇒대가리(2차항의계수)의절대값에따라포물선의폭이달라진다.절대값이커지면폭은좁아지고,절대값이작아지면폭은커진다.

태초의상태가 y=3x¤ 인 2차함수의그래프를 만큼평행이동하면x：3 111⁄ y：-2

이차함수의표준형과일반형

y=3x¤ y=3(x-3)¤ -2

꼭지점 (0, 0) (3, -2)x：3 111⁄ y：-2

x：3 111⁄ y：-2

y=-2(x+1)¤ +2의꼭짓점의좌표는?

y=100x¤ +1의꼭짓점의좌표는?

cf) y=3(x-3)¤ -2에서꼭짓점의좌표바로구하기

⇒ y=3( x-3 )¤ -2 ⇒ (3, -2)

y

x

y=3x¤

y=3(x-3)¤ -2

꼭지점

꼭지점

x-3

y+2 이차함수가식이지저분한것은태초의상태가평행이동한것이고, 이 함수의꼭지점은,태초의상태의꼭지점(0,0)이 x：3, y：-2만큼평행이동한점이다.

태초의상태이므로,

(점의 평행이동)

⇒평행이동해도폭에는변화없다(본성은변하지않는다)

⇒꼭지점은변한다.(전체가움직이니까, 그안에있는꼭지점도움직이자나!)

= 0 으로 만드는 x값

우변제일오른쪽값

대부분이런형태로나온다

- 표준형- y=2(x+1)¤ +3꼭지점 (-1, 3)

- 일반형- y=2x¤ +4x+5⇒

y y=2(x+1)¤ +3

y=2x¤ (태초의상태)(평행이동)

x

3

-1

“꼭지점의좌표가눈에확들어온다”

“꼭지점의좌표가눈에확안들어온다” y=2(x+1)¤ +3을전개한거자나!

∴꼭지점 (-1, 3)

예제

예제

stage 06 이차함수의그래프 115114 Break Old Paradigm

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

Stage

06이차함수의그래프

y=ax¤ +bx+c일때, 꼭짓점의 x좌표는 -;2ıa;

y=-2x¤ -4x+1의최댓값과최솟값을구하시오.

ex) y=2x¤ -4x+1의최댓값과최솟값을구하시오.⇒ x축, y축그리지말고(배경그리지말고)“그놈”만그려라

ex) y=2x¤ +4x+5의꼭짓점의좌표를구하시오.

⇒꼭짓점의 x좌표：-;2ıa;=- =-1 꼭짓점 (-1, 3)

⇒ y=2x¤ +4x+5⇒ y=2_(-1)¤ +4_(-1)+5⇒ y=2-4+5 ∴ y=3

4 2_2

⇒꼭짓점도 y=2x¤ +4x+5위의점이다.

대입

y의값이다

대가리가양수니까아래로볼록!

↑한없이올라간다

y값이다

최댓값 7

최솟값 0

6

54

2

1 2 3 4 5 6 8

y=f(x)

1

이차함수의최대, 최소

최댓값: 제일위에있는 y값최솟값: 제일아래에있는 y값

최댓값: (제일높은곳) 7최솟값: (제일낮은곳) 0최대로하는 x값: (최댓점에서의 x값) 6최소로하는 x값: (최솟점에서의 x값) 1

⇒최댓값: 없다최솟값: -1

⇒

1 꼭짓점의 x좌표-;2ıa;x=1을대입한 y값-1최솟값y값

ex) y=x¤ -2x+3 (1…x…3)일때의최댓값과최솟값을구하시오.

y=-x¤ +4x+1 (0…x…3)일때의최댓값과최솟값을구하시오.

3

1

최댓값

최솟값

x=1일때y값 2

x=3일때y값 6

꼭짓점의 x좌표-;2ıa;

정의역 (x의범위)⇒ 그래프전체를다보지말고이영역만 보자!

대가리가양수니까아래로볼록

이부분만보면된다!

ex

ex

ex

예제

예제

stage 07 이차부등식과피타고라스 117116 Break Old Paradigm

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

※이차부등식

● x¤ -4x+30⇒ (x-3)(x-1)>0

x=1, 3 두근을쓰고,

x

118 Break Old Paradigm stage 08 삼각형의성질 119

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

Stage

08삼각형의성질

M a t h K i l l e r※맞꼭지각과동위각그리고엇각

- 맞꼭지각 - 동위각

- 엇각 - 전체적인표현

※삼각형의성립조건

- 가장긴변 나머지두변의길이의합.

彦息焉蒔言

息

※삼각형의합동조건 (3가지!!)

- 합동 (세변의길이가같으면합동)

- 합동 (두변의길이와끼인각이같으면합동)穩汚穩

穩穩穩

※직각, 예각, 둔각삼각형의성질

- 직각삼각형: 彦橈蒔焉橈詩言橈

- 둔각삼각형: 彦橈蒔焉橈息言橈

- 예각삼각형: 彦橈蒔焉橈式言橈

괵괸괼

彦詩彦猥焉詩焉猥言詩言猥

괵괸괼

彦詩彦猥言詩言猥遜腥詩遜誠

맞꼭지각

동위각

엇각

맞꼭지각동위각

엇각

합동

가장긴변

가장긴변가장긴변

예제

stage 08 삼각형의성질 121

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

120 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

괵괸괼

遜腥詩遜腥猥遜誠詩遜誠猥彦詩彦猥

- 합동 (한변의길이와그양끝각이같으면합동)汚穩汚

※삼각형의외각의크기 = 대 내각의크기의합

遜襄詩遜羊蒔遜良

※삼각형내각의총합 詩轢宴延阮

遜羊蒔遜良蒔遜襄詩轢宴延阮

사각형내각의합: 오각형내각의합: 娟逆延阮

驛姸延阮言憐蘖憐

내각의합삼각형외각

왼쪽그림과같이 와외각임이주어지고, 일때, 의크기를구하시오.

遜汚遜澳詩年延阮

遜熬烏澳詩轢逆延阮辜汚澳烏

※이등변삼각형

이등변삼각형 에서각 의이등분선을 라하면

ex) 다음그림에서 의값을구하시오.礪

굣구국汚熬汚汚澳烏

·정의: 두변의길이가같은삼각형·성질: 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다

煙腥詩誠煉

煙彦詩焉煉

⇒선분 는밑면 를수직이등분한다.굣구국澳烏굣구국汚熬

풀이: 내각의합이등변삼각형

妖 礪詩驛

妖 遜襄詩娟堧阮寥 辜汚澳烏詩

詩轢宴延阮

ex

예제

stage 08 삼각형의성질 123

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

122 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

다음그림에서 의값을구하시오. (단, 는 의수직이등분선이다.)遜羊굣구국汚熬礪戀與

※각의이등분선

위그림에서두직각삼각형 와 를살펴보자.이므로,

나머지각또한, 각의이등분선의성질에의해 는공통이므로

와 는합동이다. 라는결론을얻을수있다.

위의과정에서우리는직각삼각형의합동조건에대해알수있다. 기억해두자.

- 합동 (빗변의길이와한예각의크기가같으면합동.)

- 합동 (빗변의길이와다른한변의길이가같으면합동.)瘟誤穩

瘟誤汚

妖 굣구국汚鈺詩굣구국澳鈺

煙穩汚穩煉辜溫鈺澳辜汚鈺溫

굣구국汚溫詩굣구국澳溫戀굣구국鈺溫

遜汚溫鈺詩遜澳溫鈺

遜溫汚鈺詩遜溫澳鈺詩年延阮戀遜汚鈺溫詩遜澳鈺溫

溫鈺澳汚鈺溫

의 이등분선위의 한 점 에서 두변까지의거리는같다.擁戀瓮

溫遜擁鈺瓮

곯곰彦詩彦猥腥詩誠

곯곰彦詩彦猥焉詩焉猥

ex) 다음그림에서 의크기를구하시오.遜礪

풀이: 遜礪詩轢宴延阮蓍겄轢逆煙轢宴延阮蓍驛延阮煉詩轢延堧阮

妖 遜礪詩轢延堧阮

오른쪽그림과같은 인삼각형 에서일때, 의크기를구하시오. 遜羊遜汚烏熬詩轢逆延阮

汚澳烏굣구국汚澳詩굣구국汚烏

다음그림에서 의크기를구하시오.遜礪

풀이: 遜礪詩겄轢逆煙轢宴延阮蓍娟延阮煉詩堧堧阮

妖 遜礪詩堧堧阮

ex

ex

예제

예제

stage 08 삼각형의성질 125

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

124 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

다음그림에서점 는 의외심이다.일때, 의크기를구하시오.遜礪遜鈺汚澳詩嚥延阮戀遜鈺澳烏詩逆延阮

辜汚澳烏鈺

2. 삼각형의내심의세내각의이등분선의교점

성질: 내심에서삼각형의세변에이르는거리가같다.

鰲辜汚澳烏

내심

내접원

다음그림과같이삼각형과그내심 가있을때,

내접원의반지름길이를구하시오.

鰲

※삼각형의오심

1. 삼각형의외심의세변의수직이등분선의교점

성질: 외심에서삼각형의세꼭지점에이르는거리가같다.

다음삼각형의각각의외심의위치를표시하시오.

鈺辜汚澳烏

외접원

외심

예각삼각형 직각삼각형 둔각삼각형

ex) 다음그림에서점 는 의중점이다.일때, 의값을구하시오.礪遜襄詩驛延阮

굣구국汚烏鈺

풀이: 점 는외심.이등변삼각형.

妖 遜澳詩驛延阮妖 遜汚鈺澳詩年延阮蓍驛延阮詩姸延阮

굣구국鈺汚詩굣구국鈺澳詩굣구국鈺烏寥 辜鈺澳烏詩

鈺

ex

예제

예제

예제

stage 08 삼각형의성질 127

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

126 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

3. 삼각형의무게중심

4. 삼각형의수심

5. 삼각형의방심

점 가 의내심일때, 값을구하시오.礪辜汚澳烏鰲다음 그림에서 점 가 의 무게중심일 때,

의값을구하시오.礪蒔與辜汚澳烏蜈

직각삼각형 가다음그림과같을때 의길이를구하시오. (단, 는삼각형 의내심)汚澳烏鰲

勵汚澳烏

·삼각형세 중선의교점=무게중심·세중선은꼭짓점으로부터 로내분하는점=무게중심

逆挻轢

·꼭짓점에서대변으로내린세수선의교점. ·수선을나뉘는삼각형들은수심삼각형이라한다.

무게중심

수심

수선

·삼각형당 개의방심이주어짐.·각방심을이어만든삼각형을방심삼각형이라한다.

驛방심

예제 예제

예제

stage 08 삼각형의성질 129

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

128 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

※삼각형의닮음조건 (3가지!!)

닮음(두내각의크기가같으면닮음)蓍汚汚

닮음(두변의길이의비가같고, 그끼인각의크기가같으면닮음)蓍穩汚穩

닮음(세변의길이의비가같으면닮음)蓍穩穩穩

곯곰遜腥詩遜腥猥遜誠詩遜誠猥

괵괸괼

遜腥詩遜腥猥掩繹彦詩汚掩繹焉詩澳

身

괵괸괼

掩繹彦詩汚掩繹焉詩澳掩繹言詩烏

닮음

※삼각형닮음의응용

와 가서로 '닮음'일때이때의 값을구하시오.礪戀與

辜汚熬獒辜汚澳烏

왼쪽과같이삼각형 와삼각형 가있을때, 의길이를구하시오. (단, 와 는평행하다.)

굣구국熬獒굣구국汚澳礪

烏熬獒汚澳烏

왼쪽과같이세평행선과해당선을 와 가지날때, 의길이를구하시오.굣구국澳烏

굣구국澳筽굣구국汚獒

- 풀이: · 와 의대응· 과 의대응· 와 는대응

·∴나머지변들의비율은 이라결정가능

礪詩年戀與詩宴괆괌與挻轢逆詩逆挻驛姸挻礪詩逆挻驛

逆挻驛

굣구국汚烏挻굣구국汚熬詩轢延挻轢堧詩逆挻驛

굣구국汚烏굣구국汚熬

姸礪

與轢逆

예제

예제

stage 08 삼각형의성질 131

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

130 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

※삼각형의중점연결정리

※삼각형의중선정리 (Pappus정리)

의중점의중점

굣구국嶪業宋굣구국澳烏굣구국澳烏詩逆굣구국嶪業

詩業굣구국汚烏

詩嶪굣구국汚澳

왼쪽과같이높이가같은뜀틀두개를쌓았을때,아래 뜀틀의 길이인 를 구하시오. (단, 뜀틀의 모양은사다리꼴이다.)

礪

逆煙굣굣汚獄橈蒔굣굣澳獄橈煉詩굣구국汚澳橈蒔굣구국汚烏橈

굄굅굇

굄굅굇

m n

※특별한삼각형과공식

㉠

㉡

㉢

㉣

일때!!遜汚詩遜汚熬烏詩年延阮

굣구澳熬視굣구澳烏詩굣구국汚澳橈繹

굣구烏熬視굣구烏澳詩굣구국汚烏橈繹

“소의”공식굣구국汚熬視굣구국澳烏詩굣구국汚澳視굣구국汚烏繹

繹

굣구澳熬視굣구熬烏詩굣구국汚熬橈

예제

stage 08 삼각형의성질 133

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

132 Break Old Paradigm

Stage

08삼각형의성질

※각의이등분선정리

※삼각형과넓이이야기

- ‘평행선’이야기

- ‘밑변비’이야기

굣구국汚澳挻굣구국汚烏詩굣구국澳熬挻굣구국烏熬

세삼각형의넓이는모두같다.齬詩辜汚澳烏詩辜汚猥澳烏詩辜汚猥猥澳烏

‘밑변비’ 이면,

‘넓이비’ 이다詩嶪挻業

詩嶪挻業

※닮은도형의길이의비, 넓이의비, 부피의비

길이의비가 일때⇒넓이의비는⇒부피의비는 彦燎挻焉燎

彦橈挻焉橈

彦挻焉

다음두사각뿔은닮은입체이다.

다음두정육면체의닮음비와빗금된면적의각각의넓이비, 두 도형의부피비를구하시오.

다음그림에서점 가 의무게중심이고, 일때, 의넓이를구하시오.

錮蜈熬烏獒辜汚澳烏詩驛姸邕訛橈辜汚澳烏蜈

입체의부피의비가 일때대응되는변와 의비를구하시오.焉彦

逆娟挻姸嚥

G

예제

예제

예제

stage 08 삼각형의성질 135134 Break Old Paradigm

Stage

09원의성질

M a t h K i l l e r

遜汚鈺澳詩遜烏鈺熬搖 굣구국汚澳詩굣구국烏熬

⇒ 遜汚鈺澳詩嚥延阮

● 원의 중심에서 현으로 수선을 내리면 그 현을수직이등분한다.

● 현에서수직이등분선은원의중심을지난다.

※접선의길이

● 원 의외부의한점 에서원 로 개의접선을그을수있다.● 외부의점에서각각의접점까지의길이는같다.

逆鈺溫鈺

굣구국溫澳詩轢延

※접선의길이

왼쪽그림에서원 는삼각형 의내접원이고일때, 를구하시오.礪굣구국汚瘟詩姸戀굣구국汚烏詩轢轢戀굣구국澳烏詩轢娟

汚澳烏鈺

※중심각과현

크기가같은원에서● 중심각의 크기가 같다 ↔ 현의 길이가 같다.

※현의수직이등분선

왼쪽그림에서 값을구하시오.礪

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

ex

ex

예제예제

stage 09 원의성질 137

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

136 Break Old Paradigm

Stage

09원의성질

※원주각의성질

※네점이한원위에있을조건

·한호에대해서원주각은무수히많고, 그크기가모두같다.

遜汚溫澳詩遜汚瑥澳詩遜汚瘟澳

·원의지름에대한원주각은모두직각이다.

遜汚溫澳詩遜汚瑥澳詩年延阮

이면점 는한원위에있다.汚戀澳戀溫戀瑥遜汚溫澳詩遜汚瑥澳

→ 은한원위에있다.

→ 은한원위에있다.汚戀澳戀瑥戀穩遜汚瑥澳詩遜汚穩澳

汚戀澳戀溫戀瘟

遜汚溫澳詩遜汚瘟澳

※원주각의개념

● 한호에대해서중심각의크기는원주각의크기의 배이다.逆

호 에대한중심각汚澳

호 에대한원주각汚澳

遜汚溫澳詩嚥延阮遜汚溫澳詩娟延阮遜汚瑥澳詩轢轢延阮

※원주각의성질

다음그림원 에서 일때, 의크기를구하시오.遜澳汚烏

遜汚烏熬詩姸延阮鈺

ex

ex

예제

stage 09 원의성질 139

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

138 Break Old Paradigm

Stage

09원의성질

※접선과현이이루는각의크기

※원과비례

※원에내접하는사각형

원의접선과그접점에서원으로그은한현이이루는각의크기는그현에대한워주각의크기와같다.

遜澳汚溫詩遜汚烏澳

·원에 내접하는 사각형에서 대각선으로 마주보는각의합은 이다.

遜汚蒔遜烏詩轢宴延阮戀遜澳蒔遜熬詩轢宴延阮

轢宴延阮

·원에내접하는사각형에서한외각의크기는내대각의크기와같다.

礪詩嚥 與詩轢驛

·한원에서두현의교점또는두현의연장선의교점을 라고했을때

가성립한다.굣구국溫汚視굣구국溫澳詩굣구국溫烏視굣구국溫熬溫

내각

외각

다음그림에서원과직선이접할때, 의크기를구하시오.遜礪戀遜與

다음그림에서의크기를구하시오.遜礪戀遜與

ex

예제

예제

stage 10 그밖의도형 141140 Break Old Paradigm

Stage

09원의성질

다음그림에서 가원 의접선이다.일때, 의길이는?굣구국溫縕遜汚溫縕詩遜汚澳縕

鈺굣구국溫縕

礪詩堧

Stage

10그밖의도형

M a t h K i l l e r※평행사변형의성질

- 마주보는대변의길이는같다.

- 마주보는각의크기는같다.

- 두대각선은서로를이등분한다.

遜汚詩遜烏戀遜澳詩遜熬

굣구국汚熬詩굣구국澳烏戀굣구국汚澳詩굣구국烏熬

왼쪽의 평행사변형이 0을 만족한다면 는 얼마인지구하시오.

遜烏

왼쪽과 같은 평행사변형에서 의 값을 구하시오.

풀이: 와 는맞꼭지각→의내각의합

(엇각)

妖 遜礪蒔遜與詩轢逆延阮

詩堧延阮

遜與詩遜熬烏鈺

妖 遜熬鈺烏蒔遜熬烏鈺蒔遜礪詩轢宴延阮

姸延阮蒔堧延阮蒔遜礪詩轢宴延阮

妖 遜礪詩娟延阮

詩轢宴延阮辜熬鈺烏

遜汚鈺澳詩遜熬鈺烏詩姸延阮

遜熬鈺烏遜汚鈺澳

遜礪蒔遜與

※할선과접선의성질

·원밖의한점 에서원에그은할선과접선이원과만나는점을각각 라하면

굣구국溫汚繹굣구국溫澳詩굣구국溫縕橈

汚戀澳戀縕

溫

ex

ex

예제예제

stage 10 그밖의도형 143

완포자를위한 중학수학특강M a t h K i l l e r

142 Break Old Paradigm

※마름모의성질

※등변사다리꼴

※다양한사각형의포함관계

- 모든변의길이가같다.- 두대각선은서로‘수직이등분’한다.- 두대각선을기준으로대칭이다.

- 평행하지않은한쌍의대변의길이가같다.- 두대각선의길이가서로같다.

곯곰- 정 직 평 사다 사- 정 마 평 사다 사灑灑灑灑

灑灑灑灑

왼쪽의마름모의 일때의값을구하시오.

풀이: 이들변삼각형( 마름모)

妖 逆延延阮蒔逆煙遜礪蒔遜與煉詩驛姸延阮

妖 遜礪蒔遜與詩宴延阮

괆괌遜汚詩遜烏詩轢延延阮

姚 錮汚澳烏熬詩

辜汚澳烏詩

遜礪蒔遜與

遜汚詩轢延延阮

사각형내각의합詩驛姸延阮

정사각형

직사각형 마름모

Stage

10그밖의도형

다음조건을만족하는 는어떤사각형인가?

※중심각과호의길이

鄙賓檳賓聘

雙굣구국汚熬宋굣구국澳烏戀굣구국汚熬詩굣구국澳烏

雙굣구국汚澳詩굣구국汚熬雙遜汚詩年延阮

錮汚澳烏熬

30。30。

- 호의길이는중심각의크기에비례한다.

왼쪽 그림과 같이 중심각과 호의 길이가 주어졌을때, 의길이를구하시오.

풀이: 驛延阮挻姸延阮詩轢挻逆妖 逆挻礪詩轢挻逆

妖 礪詩嚥

礪

※구(sphere) 이야기

挻齬詩嚥篠勵橈

挻抑詩겄嚥驛篠勵燎

곯곰

- 겉넓이

- 부피

ex

ex

예제

144 Break Old Paradigm

Stage

10그밖의도형

※뿔의부피이야기

다음사각뿔의부피를구하시오.

視겄轢驛

뿔의부피 기둥의부피 視겄轢驛

詩

예제

M a t h K i l l e r

수능에꼭필요한고등수학상,하 + 완포자를위한중학수학특강

M a t h K i l l e r

수능에꼭필요한고등수학상,하 + 완포자를위한중학수학특강

M a t h K i l l e r

수능에꼭필요한고등수학상,하 + 완포자를위한중학수학특강

M a t h K i l l e r

수능에꼭필요한고등수학상,하 + 완포자를위한중학수학특강

완포자1-3.PDF완포자4-5.PDF완포자6-7.PDF완포자8-10.PDF