統計学 補足文書

1

13. 統計的推定

1. 統計量

● 統計的推測

(1) 統計的推測には，「推定」と「検定」の 2 つの分野がある。 (2) 統計的推定（statistical estimation）とは，標本から未知母数を推定すること。単に

「推定」ともいう。推定には，「点推定」と「区間推定」がある。 (3) 統計的仮説検定（testing statistical hypothesis）とは，未知母数に関する仮説を立て

て，仮説の正当性を標本から判定すること。単に「検定」ともいう。

● 統計量

(1) 標本変量 から作られる式

を「統計量」という。統計量は，確率変数になる。

(2) 統計量の確率分布を，「標本分布」という。

(3) 推定と検定では，各種の統計量が使用される。以下は主な統計量である。

① 標本平均

② 標本分散

③ 標本標準偏差

④ 不偏分散（不偏標本分散）

22

1S

nnU−

=

⑤ 不偏標準偏差

),,,( 21 nXXX

),,,( 21 nXXXTT =

X

∑ +++==i

ni XXXn

XnX )(1121

2S

∑ −++−+−=−=i

ni XXXXXXn

XXnS })()()({1)(1 222

21

22

S

2SS =

2U

∑ −++−+−−

=−−

=i

ni XXXXXXn

XXn

U })()()({1

1)(1

1 222

21

22

U2UU =

統計学 補足文書

2

2. 標本に関する用語

(1) 統計量に関する名称は，その統計量の実現値に対しても使われる。従って，確率変数／実

現値のどちらの意味なのかに注意する必要があるが，たいていの場合は文脈から判断できる。

(2) 母集団からの大きさ n の標本 に対して， iω の特性値を ix とすると，特

性値の組 ),,,( 21 nxxx が定まる。この特性値の組を「標本値」「標本の実現値」ともいう。 この標本値から定まる標本平均 X の実現値は

∑=i

ixn

x 1

また，標本分散 2S の実現値は

∑ −=i

i xxn

s 22 )(1

x や2s は， nxxx ,,, 21 の平均・分散のことであるが，この実現値 x を「標本平均」，

2sを「標本分散」という。 以下は，観測した標本値 ),,,( 21 nxxx から具体的に計算される実現値である。ただし，

不偏分散を標本分散，不偏標準偏差を標本標準偏差と呼んでいる解説書も多数あるので，解

説書を読むときは注意する必要がある。

① 標本平均

② 標本分散 2s

{ }∑ −++−+−=−=i

ni xxxxxxn

xxn

s 222

21

22 )()()(1)(1

③ 標本標準偏差 s 2ss =

④ 不偏分散（不偏標本分散） 2u

{ }∑ −++−+−−

=−−

=i

ni xxxxxxn

xxn

u 222

21

22 )()()(1

1)(1

1

（注意） 2u は「不偏分散値」ともいう。求め方は 2

1s

nnu−

=

⑤ 不偏標準偏差 u 2uu =

■ 例題

得られた標本値 1，2，3 に対して，標本平均 x ，標本分散2s ，標本標準偏差 s ，不偏分散 2u ，

不偏標準偏差 u を求めよ。

),,,( 21 nωωω

x

)(1121 n

ii xxx

nx

nx +++== ∑

統計学 補足文書

3

＜解＞ 標本平均 は，1，2，3 の真ん中の値であるから， 標本分散

2s を分散の公式で求めると，

∑ =−++=−=i

i xxn

s322)321(

311 2222222

標本標準偏差 s は 36

322 === ss

不偏分散 2u は 132

23

133 22 =×=−

= su

不偏標準偏差 u は 112 === uu 3. 標本分散と不偏分散の平均

● 定理（標本分散と不偏分散の平均）

母平均 µ ，母分散 2σ の母集団からの大きさ の標本変量 ),,,( 21 nXXX から，次

の 2 つの統計量を考えるとき，これらの平均は以下の(1)(2)のようになる。

標本分散 ∑ −=i

i XXn

S 22 )(1

不偏分散 ∑ −−

=i

i XXn

U 22 )(1

1

(1) 22 1)( σn

nSE −= (2) 22 )( σ=UE

（証明） 重要な定理である。証明は以下のとおり。補足文書 p.76，p.80 より，

µ=)( iXE ，2)( σ=iXV （ ni ,,2,1 = ）

µ=)( XE ，n

XV2

)( σ=

XnXi

i =∑ に注意すると，

∑ ∑ +−=−=i i

iii XXXXXXSn )2()( 2222

∑∑ ∑ ∑ +−=+−=i

ii i i

ii XnXnXXXXX 22222 22

∑ −=i

i XnX 22

一般に，確率変数Y について，分散の公式より， 22 )()()( YEYEYV −= であるから， 22 )()()( YEYVYE +=

が成立するので，

x 2=x

n

統計学 補足文書

4

2222 )()()( µσ +=+= iii XEXVXE

22

22 )()()( µσ+=+=

nXEXVXE

よって，

)()()( 222222 XnEXEXnXESnESEni

ii

i −

=

−== ∑∑

∑∑

+×−+=−=

iii n

nXEnXE 22

2222 )()()( µσµσ

22222 )1()()( σµσµσ −=+−+×= nnn

従って，22 1)( σ

nnSE −

= となり，(1)が証明された。

これにより，

22222 11

)(11

)( σσ =−

×−

=−

=

−

=n

nn

nSEn

nSn

nEUE

これで，(2)も証明された。 4. 点推定

● 点推定

(1) 母集団の未知母数θ を，1 つの値で推定することを「点推定」という。

(2) を推定するための統計量 をθ の「推定量」，標本値 から定まる の実現値 をθ の「推定値」という。

(3) 推定量T によるθ の点推定とは，θ の推定値を求めることである。

(4) の推定量 が

θ=)(TE （確率変数 の平均が に等しい）

をみたすとき，T は不偏性をもつという。このT をθ の「不偏推定量」， の実現値をθの「不偏推定値」という。

(1) 母数とは，母平均や母分散など，母集団から定まる定数のことである。これまで，母平均

や母分散の値は，すでに分かっていると仮定して議論したが，実際には分からない場合が多

い。値の分からない母数を未知母数という。

(2) 点推定とは，「母平均は 10 で推定できる」というように，未知母数を 1 つの数値で推定す

ることであるが，具体的には，推定値を 1 つ求めるだけである。

(3) 点推定では，未知母数θ を推定するための統計量（θ の推定量）

θ ),,,( 21 nXXXTT =

),,,( 21 nxxx T ),,,( 21 nxxxT

θ ),,,( 21 nXXXTT =

T θ

T

統計学 補足文書

5

を考え，得られた標本値 ),,,( 21 nxxx から定まるT の実現値 ),,,( 21 nxxxT で推定

する。この実現値をθ の推定値という。

(4) θ の推定量T が， θ=)(TE を満たすとき，T を「θ の不偏推定量」，標本値から定まる

T の実現値を「θ の不偏推定値」という。一般に，点推定は，不偏推定量を用いて推定され

る。

● 定理

母平均 ，母分散 の母集団について，以下が成り立つ。

(1) 標本平均 は，母平均 の不偏推定量である。

(2) 標本分散 2S は，母分散 の不偏推定量ではない。

(3) 不偏分散 2U は，母分散 の不偏推定量である。

● 母平均 µ と母分散 2σ の点推定

(1) 一般に，標本平均 の実現値 x を，母平均 µ の不偏推定値とする。

(2) 一般に，不偏分散 2U の実現値（不偏分散値） 2u を，母分散 2σ の不偏推定値とする。

(1) 標本平均 X については，常に

µ== )()( XEXE

が成立するので， X は µ の不偏推定量であり，標本から得られる X の実現値が µ の不偏推

定値になる。 ところが，前述のページ（p.100）の定理より，標本分散 2S は，母分散 2σ の不偏推定量

にはならない。そのかわりに， 1−n で割った不偏分散 2U が， 2σ の不偏推定量になる。よっ

て，標本から決まる 2U の実現値（不偏分散値）が， 2σ の不偏推定値になる。

(2) 統計学の解説書によっては，標本分散 2S の実現値（通常の分散2

xσ ）ではなく，不偏分

),,,( 21 nXXXTT =

µ 2σ

X µ2σ2σ

X

未知母数 θ

不偏推定量

T の実現値

標本値

点推定 不偏推定値

代入

母集団

),,,( 21 nxxxT

),,,( 21 nxxx ),,,( 21 nXXXTT =

統計学 補足文書

6

散値が 2σ の不偏推定値になるという理由から，分散2

xσ を不偏分散の意味で説明し，

∑ −−

=i

ix xxn

22 )(1

1σ

と定義しているものも多数ある。ただし， n で割る通常の分散2

xσ は，記述統計では重要な

値なので，通常の分散と不偏分散は区別して理解した方がよい。

(3) 1 つの母数に対して，その不偏推定量は無数にある。例えば，標本のサイズを 2，標本変

量を ),( 21 XX とすると，標本平均

21 21

21 XXX +=

は，母平均 µ の不偏推定量だが，次の統計量T も µ の不偏推定量になる。

21 32

31 XXT +=

実際，T の平均を計算すれば，

µµµ =+=+=32

31)(

32)(

31)( 21 XEXETE

(4) 点推定では，適切な性質をもつ推定量で推定するのが望ましいとされる。詳細は略すが，

適切な性質には，「不偏性」のほかに「一致性」「有効性」などもある。 前述したように，母数θ に対して， θ=)(TE を満たす推定量T が，不偏推定量である。

また，標本のサイズ nを大きくすると，T の実現値が限りなくθ に近づくとき，推定量T を

「一致推定量」という。さらに，不偏推定量T の中で，その分散 )(TV が最小になるものを

「有効推定量」という。 1 つの母数θ に対して，その不偏推定量は無数にあるが，一般に，母平均の推定では標本

平均 X ，母分散の推定では不偏分散 2U が推定量として使用される。 よって，母平均や母分散の不偏推定値を求めよ，という問題に対しては，標本平均 x と不

偏分散値 2u を，それらの不偏推定値にすればよい。 ■ 例題

母平均 µ ，母分散 2σ の母集団から大きさ 4 の標本を無作為抽出して，標本値

4− ，1， 2 ， 1−

を得た。このとき，次の値を求めよ。

(1) 母平均 µ の不偏推定値 (2) 母分散 2σ の不偏推定値

＜解＞ まず， 4− ，1， 2 ， 1− の標本平均 x と標本分散 2s を求める。 (1) 標本平均は

5.021)1214(

41

−=−=−++−=x

統計学 補足文書

7

従って，母平均 µ の不偏推定値は 5.0− （答）

(2) 標本分散は，分散の公式から

{ }421

21)1(21)4(

41

222222 =

−−−+++−=s

よって，不偏分散は

7421

34

144 22 =×=−

= su

従って，母分散 2σ の不偏推定値は 7（答） 5. パーセント点

統計学では，パーセント点という表現がよく使用される。確率 に対して，100 %点は，

単に「 点」ともいう。 例えば， の場合は，100 %点は，「5%点」または「0.05 点」のことになる。パー

セント点の定義は，次のとおりである。

● パーセント点の定義

確率変数 と， を満たす実数 に対して，次のようにパーセント点を定義

する。

① 実数 が上側 100 %点 ⇔

② 実数 が下側 100 %点 ⇔

③ の確率分布が の平均 に関して対象であるとき，

実数 が両側 100 %点 ⇔

※ ③において， の に関する対称点を とすれば，

2/)()( α=≤=≥ LR xXPxXP

● 標準正規分布のパーセント点

確率変数 が標準正規分布に従うとする。 を満たす実数 に対して，上側 100 %点を で表す。すなわち，

このとき，次が成立する。

① は下側 100 点，すなわち，

② は両側 100 点，すなわち，

α α

α

05.0=α α

X 10 << α α

Rx α α=≥ )( RxXP

Lx α α=≤ )( LxXP

X X µ

Rx α 2/)( α=≥ RxXP

Rx µ Lx

Z

10 << α α α )(αz

αα =≥ ))(( zZP

)(αz− α αα =−≤ ))(( zZP

2αz α

222ααα

=

−≤=

≥ zZPzZP

統計学 補足文書

8

● 標準正規分布でよく使用するパーセント点

(1) 両側 5%点（上側 2.5%点）は， 96.1)025.0( =z

(2) 両側 1%点（上側 0.5%点）は， 58.2)005.0( =z

■ 例題

標準正規分布において，次のパーセント点の値を求めよ。

(1) 上側 2.5%点（両側 5%点） )025.0(z

(2) 下側 2.5%点（両側 5%点） )025.0(z−

＜解＞ Z ～ )1,0(N とする。

(1) 025.0))025.0(( =≥ zZP ， 975.0025.01))025.0(( =−=≤ zZP 正規分布表より， 9750.0)96.1( =≤ZP であるから，

96.1)025.0( =z （答）

(2) 下側 2.5%点とは， 025.0)( 0 =≤ zZP を満たす 0z のことだが，対称性より 96.1)025.0(0 −=−= zz （答）

6. 区間推定

● 定義（区間推定）

(1) 母集団の未知母数θ を区間で推定する方法を，区間推定という。

(2) 適切な統計量 の 2 つの実現値 1t と 2t と，確率α に対して，

未知母数θ が関係式

αθ −=≤≤ 1)( 21 ttP

をみたすとき，次のように表現する。 ① 閉区間 ],[ 21 tt を，θ の )1(100 α− % 信頼区間

② )1(100 α− %を，区間 ],[ 21 tt の信頼度（または信頼係数）

③ 端点 1t と 2t を，信頼限界

④ 12 tt − を，信頼限界の幅

(3) 未知母数θ を信頼度 95%で推定せよとは，θ の 95%信頼区間を求めることである。 （注意） 信頼度には 95%や 99%がよく用いられる。

05.0=α の場合， )1(100 α− % ＝ 95% 01.0=α の場合， )1(100 α− % ＝ 99%

),,,( 21 nXXXTT =

統計学 補足文書

9

(1) 上記は，以下の例題等で理解すればよい。通常は，確率 α−1 を信頼係数（信頼度）と

いう。 05.0=α のときは，信頼係数は 95.01 =− α だが，分かりやすいように 100 倍して，

「信頼度は 95%である」と表現する。

(2) 区間推定の問題の答え方は，以下のようにいろいろあるが，どれでもよい。 例えば，身長の母平均 µ を信頼度 95%で推定せよ，という問いに対しては，

母平均 µ の信頼度 95%の信頼区間（母平均 µ の 95%信頼区間）は

①（答） 180170 ≤≤ µ （不等式で答える） ②（答） ]180,170[ （閉区間で答える） ③（答） )180,170( （開区間で答える） ④（答）170cm 以上 180cm 以下

7. 母平均の区間推定（母分散が既知の場合）

● 定理（母平均の推定－母分散 2σ が既知の場合）

母平均 ，母分散 の母集団から抽出した大きさ n の無作為標本の標本平均を x とす

る。ここで，次の 2 つを仮定する。

① 正規母集団，または，大標本（ 30≥n ） ② は既知

このとき，母平均 µ の )1(100 α− %信頼区間は

nzx

nzx σαµσα

+≤≤

−

22

（注意） 特に， 01.0,05.0=α の場合

① 母平均 µ の 95%信頼区間

nx

nx σµσ 96.196.1 +≤≤−

② 母平均 µ の 99%信頼区間

nx

nx σµσ 58.258.2 +≤≤−

（証明） 仮定の①より，大きさ nの標本平均 X は正規分布に従うので，

X ～ ),(2

nN σµ 従って，

n

XZ σµ−

= ～ )1,0(N

µ 2σ

2σ

統計学 補足文書

10

標準正規分布の両側 α100 %点を

=

2α

α zk とすると，

2/)( αα =−< kZP ， 2/)( αα =< ZkP

であるから，

ααα −=≤≤− 1)( kZkP

ここで，不等式 αα kZk ≤≤− を X で表すと， αα σµ k

n

Xk ≤−

≤−

この不等式を変形すると，

nkX

nkX αµα

αα +≤≤−

従って，

ααµααα −=

+≤≤− 1

nkX

nkXP

この等式は， X の 1 つの実現値 x に対して，

nkx

nkx αµα

αα +≤≤−

が正しい確率が α−1 であることを意味する。 従って，母平均 µ の )1(100 α− %信頼区間は

nzx

nzx σαµσα

+≤≤

−

22

■ 例題１

A県の 17歳男子の中から 100人を無作為に選んだところ，身長の平均が 168.0cmであった。

母標準偏差を 6.5cm として，この県の 17 歳男子全体の平均身長 µ を，信頼度 95%で推定せよ。

＜解説＞ この例で，区間推定の意味を詳しく説明しよう。いま，A 県の 17 歳男子全体が母集団であ

る。母平均は µ ，母標準偏差は 65.0=σ ，標本のサイズは 100=n である。 30≥n であるから，大標本である。よって，中心極限定理により，大きさ 100 の標本平均 X

は正規分布をなすと考えてよい。 信頼度は 95%であるから， 95)1(100 =− α より， 05.0=α であり，標準正規分布におけ

る両側 5%点（上側 2.5%点）は 1.96 である。従って，次が成り立つ。

ασµσ−=

+≤≤− 196.196.1

nX

nXP

ここで，母標準偏差σ が既知なので，次の値が具体的に定まることに注目しよう。

統計学 補足文書

11

274.1100

5.696.196.1 =×=nσ

よって，

95.0)274.1274.1( =+≤≤− XXP µ …… ①

この X に，観測した実現値 168.0cm を代入すると，母平均 µ の信頼度 95%の信頼区間

274.1168274.1168 +≤≤− µ

が得られる。信頼限界を小数第 1 位まで求めると，信頼区間は

3.1697.166 ≤≤ µ （答）…… ②

さて，結論の②で何が分かるのだろうか。次のような解釈は誤りである。

（誤り）母平均 µ は，166.7～169.3 の間にある。

（誤り）母平均 µ が 166.7～169.3 の間に入る確率は 0.95 である。

不等式が成り立つことを「真」，成り立たないことを「偽」と表現すれば，正しい解釈は次の

とおりである。どちらでもよい。

（正解） 3.1697.166 ≤≤ µ が真である確率は 0.95（95%）である。

（正解） 3.1697.166 ≤≤ µ が偽である確率は 0.05（5%）である。

母平均 は未知ではあるが，あくまでも定数である。一方，信頼限界の 166.7 や 169.3 は，

標本によって変動する。 例えば，X の実現値が全部で 100 個あるとし， 1x ， 2x ，…， 100x を X の実現値とする。

これらを①の左辺の不等式に代入すれば，次の 100 個の信頼区間の不等式が得られ，信頼限界

もいろいろである。

274.1274.1 11 +≤≤− xx µ

274.1274.1 22 +≤≤− xx µ

…………

274.1274.1 100100 +≤≤− xx µ 等式①の意味は，これら 100 個のうちの 95 個（95%）の不等式は真であり，残りの 5 個（5%）

の不等式は偽ということである。そして，区間推定とは，このような 100 個の不等式のうちの

1 つ（②）を，我々が観測するということである。 我々が観測した②が真か偽のどちらであるかは，分からない。分かることは，観測した②が，

95%は真であり 5%は偽であるという不等式の集まり（※）から無策に選ばれた 1 つというこ

µ

（※）

統計学 補足文書

12

とである。従って，②が真である確率は 0.95，同じことだが，②が偽である確率は 0.05 とい

うことになる。 では，最終的に②をどのように判断すべきだろうか。例えば，標本抽出を 100 回行い，得ら

れた信頼区間を毎回真と判断したとしよう。現実に 100 回行うことは不可能であるが，このよ

うに考えてみる。 この場合，その判断が正しい回数が 100 回中およそ 95 回，判断が誤る回数がおよそ 5 回と

いうことになる。100 回のうち 95 回は正しい判断になるのである。そうであれば，判断が誤り

となる 5 回（5%）のリスク（危険性）に目をつむって，得られた信頼区間は真と判断するのが

妥当な考え方ではないだろうか。要するに，「判断が誤っている確率が 5%であることは知って

いますが，一応，この信頼区間は真であると判断します」という結論になる。これはまさに「得

られた不等式の信頼性は 95%である」という表現になる。 信頼度 95%の推定の本質は，95%は正しく 5%は誤りである不等式の集まり（※）を作るこ

とができるという点である。 ■ 例題２

ある工場で大量生産されている電球の中から 25 個を無作為抽出して調べたところ，それら

の平均寿命時間は 1415 時間であった。この製品の寿命時間は，標準偏差が 110 時間の正規分

布に従っているものとして，次の問いに答えよ。

(1) 製品全体の平均寿命を信頼度 95%で推定せよ。（信頼限界は小数第 1 位まで求めること） (2) (1)において，信頼区間の幅を 20 時間以内にするには，少なくとも何個の電球を調べる必

要があるか。

＜解説＞ ※ 通常の区間推定の問題はワンパターンであり，(1)では信頼限界を計算するだけである。

ただし，母分散が既知なのか未知なのかに注意する必要がある。 (1) （正規母集団であるから，標本のサイズに関係なく， X は正規分布をなす。） 母平均（製品全体の平均寿命）を µ とする。正規母集団であり，母分散は 22 110=σ で既知

である。標本のサイズは 25=n で，標本平均は 1415=x であるから，95%信頼区間の信頼限

界は

12.1458,88.137112.43141525

11096.1141596.1 =±=×±=×±n

x σ

よって，母平均 µ の 95%信頼区間は， 1.14589.1371 ≤≤ µ （答）

(2) 信頼度 95%の信頼区間の幅は

nnn2.43111096.1296.12 =××=××

σ

202.431≤

n とすると， n×≤ 202.431 より，

202.431

≥n

統計学 補足文書

13

両辺を 2 乗して， 8.464400

)2.431(20

2.431 22

==

≥n

n は整数値であるから， 465≥n （答）465 個 ● 注意

上記のとおり，95%の場合の信頼区間の幅は nσ

×× 96.12 であり，標本のサイズ n を

大きくすればするほど，その幅は小さくなる。

一方，その半分の nσ

×96.1 は，標本平均 x を母平均と見なしたときの，真の母平均と

の誤差（最大誤差）を表す。 例えば，(1)の信頼区間 12.43141512.431415 +≤≤− µ を変形すると，

12.43141512.43 ≤−≤− µ

これは，標本平均 1415 を母平均と見なした場合，この値（1415）と真の母平均 µ との誤差

が 43.12 になることを示している。 8. 母平均の区間推定（母分散が未知の場合）

● 定理（母平均の推定－母分散 2σ が未知の場合）

母平均 ，母分散 の母集団から大きさ n の無作為標本を抽出し，次の 2 つを仮定する。

① 大標本（ 30≥n ） ② は未知

このとき，標本の不偏標準偏差をu とすれば，母平均 µ の )1(100 α− %信頼区間は

nuzx

nuzx

+≤≤

−

22αµα

（注意） 特に， 01.0,05.0=α の場合

① 母平均 の 95%信頼区間

n

uxn

ux 96.196.1 +≤≤− µ

② 母平均 の 99%信頼区間

n

uxn

ux 58.258.2 +≤≤− µ

（解説） 大標本であるから，標本平均 X は正規分布に従うので，母分散 2σ が既知の場合と同様に，

µ 2σ

2σ

µ

µ

統計学 補足文書

14

nzx

nzx σαµσα

+≤≤

−

22

という，信頼区間を定める不等式が得られる。しかし， 2σ が未知なので，信頼区間が定まら

ない。 この場合は，σ の代わりに，標本の不偏標準偏差 u を使えばよい。不偏分散 2U は，母分散 2σの不偏推定量であった（補足 p.100）。さらに，証明は略すが，標本のサイズ n を大きくしてい

くと， 2U の実現値は 2σ に限りなく近づいていくことが知られている。従って，大標本のとき

は， 2σ を， 2U の実現値 2u で近似できるのである。 高校数学 B では，σ の代わりに，u ではなく標本の標準偏差 sを使っているが，これでも構

わない。標本のサイズ nを大きくすると，標本分散 2S の実現値も 2σ に近づくからである。し

かし， 2S ではなく 2U が母分散 2σ の不偏推定量であることを考えれば， sよりも u を使用し

た方がよい。 ■ 例題１（母分散が既知）

無作為に 3 歳児 65 人を選んで体重を測定したところ，平均は 14.0kg であった。3 歳児全体

の体重の標準偏差は，2.5kg であることが知られている。3 歳児全体の平均体重 µ を信頼度 95%で推定するとき，次の問いに答えよ。

(1) 母平均 µ の 95%信頼区間を求めよ。（信頼限界は小数第 1 位まで求めること。）

(2) 標本平均 14.0kg を母平均と見なしたとき，真の母平均 µ との誤差（最大誤差）はいくら

か。（小数第 1 位まで求めること。）

(3) 信頼区間の幅を 1.0kg 以内にするためには，標本の対象となる 3 歳児を何人以上選べばよ

いか。 ＜解＞ (1) 標本のサイズは 65=n ，標本平均は 0.14=x ，母標準偏差は 5.2=σ である。 大標本で母分散は既知であるから，信頼限界は

608.14,392.13608.014655.296.11496.1 =±=×±=×±

nx σ

従って，母平均 µ の 95%信頼区間は 6.144.13 ≤≤ µ （答）

(2) 求める誤差は

608.0655.296.196.1 =×=×

nσ

（答） 6.0 kg

(3) 信頼区間の幅は，

nnn8.95.296.1296.12 =××=××

σ

統計学 補足文書

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ここで，

0.18.9≤

n とすると， 8.9≥n ∴ 04.96)8.9( 2 =≥n

nは整数であるので， 97≥n である。 （答）97 以上 ■ 例題２（母分散が未知）

無作為に 3 歳児 65 人を選んで体重を測定したところ，平均は 14.0kg で，標準偏差は 2.0kgであった。このとき，3 歳児全体の平均体重 µ を信頼度 95%で推定せよ。（信頼限界は小数第 1位まで求めること。） ＜解＞ ※ 母分散が未知なので，不偏標準偏差u を求める。 標本のサイズは 65=n であり，標本平均は 0.14=x ，標本標準偏差は 0.2=s である。 標本の不偏標準偏差を u とすると，

16652

16565

1222 =×

−=

−= s

nnu ∴

465

1665

==u

大標本で母分散は未知であるから，信頼限界は

49.14,51.1349.014465

65196.11496.1 =±=××±=×±

nux

従って，母平均 µ の 95%信頼区間は 5.145.13 ≤≤ µ （答）

9. 母比率の区間推定（母分散が既知の場合）

● 定理（母比率の推定－大標本の場合）

母集団に対して，性質 を持つ個体の母比率を とする。この母集団から，大きさ

（ ）の標本を無作為抽出し，標本比率を p̂ とする。 このとき，母比率 p の )1(100 α− %信頼区間は

nppzpp

nppzp )ˆ1(ˆ

2ˆ)ˆ1(ˆ

2ˆ −

−≤≤

−

−

αα

（注意） 特に， 01.0,05.0=α の場合

① 母比率 p の 95%信頼区間

npppp

nppp )ˆ1(ˆ

96.1ˆ)ˆ1(ˆ96.1ˆ −

+≤≤−

−

E p n

30≥

統計学 補足文書

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② 母平均 p の 99%信頼区間

npppp

nppp )ˆ1(ˆ

58.2ˆ)ˆ1(ˆ58.2ˆ −

+≤≤−

−

(1) ここでは，世論調査や視聴率調査のように，ある母集団の中である性質をもつ個体の比率

を考察の対象にするが，この比率は母平均と捉えることができる。まず，以下の用語を理解

しよう。

(2) 母集団の中で，性質 E をもつ個体の個数の割合を，「性質 E の母比率」という。また，抽

出された標本の中で，性質 をもつ個体の個数の割合を，「性質 の標本比率」という。一

般に，母比率は ，標本比率は で表す（ はピー・ハットと読む）。 は母数であるが，

は標本ごとに変化する値なので，確率変数である。

(3) 例えば，100 人の人からなる母集団があり，男性は 60 人，女性は 40 人いるとする。この

母集団から 10 人を選んだとき，10 人の中に男性が 7 人，女性が 3 人いたとすれば，母比率

や標本比率は次のようになる。

男性 女性 男性の母比率 男性の標本比率

大きさ100の母集団 60 人 40 人 6.0100/60 ==p

大きさ 10 の標本 7 人 3 人

(4) では，上記の定理を確認してみよう。ただし，信頼度は 95%とする。 母集団の大きさを ，性質 の母比率を とすれば，

母比率：

ここで，個体 の特性値 を，次のように定める。

1 （ は性質 を持つ）

0 （ は性質 を持たない）

このとき，この特性値 X の平均 )( XE は，母比率 p のことになる。

○ 母平均 pXE == )(µ

○ 母分散 qpXV == )(2σ （ pq −= 1 ）

○ 母標準偏差 )1( ppqp −==σ

次に，標本変量 から，和 nXXXY +++= 21 を考えると，Yの値は，抽出した標本において，性質 をもつ個体の個数を意味する。従って，

E Ep p̂ p̂ p p̂

7.010/7ˆ ==p

N E p

Np

Eを持つ個体の個数性質=

ω X

ω E=X

ω E

),,,( 21 nXXX

E

1 0 計 1

XP p q

統計学 補足文書

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標本平均 と 標本比率 は一致する

補足 p.95 で見たように，Y ～ ),( pnB である。

以上より，母比率の推定は，母平均の推定のことになる。ここでは，大標本であり，さら

に，母分散 2σ が既知とすれば，母平均 p=µ の 95%信頼区間は

nx

nx σµσ 96.196.1 +≤≤−

確率変数 p̂ の実現値を同じ p̂ で表せば，上記の不等式は次のようになる。

npppp

nppp )1(96.1ˆ)1(96.1ˆ −

+≤≤−

−

しかし，信頼限界に母比率 p が含まれ，これでは信頼区間が定まらない。 そこで，大数の法則を使う。つまり， n を大きくすると，標本平均 pX ˆ= の実現値は，

母平均 p=µ に近づくので，上式の )1( pp − を )ˆ1(ˆ pp − に置き換えてよい。すなわ

ち，

npppp

nppp )ˆ1(ˆ

96.1ˆ)ˆ1(ˆ96.1ˆ −

+≤≤−

−

これを，母比率 p の 95%信頼区間として考える。この不等式における p̂ は，実現値である。 ■ 例題１

大学で合鍵を作り，そのうちの 400 本を無作為に抽出したところ，8 本が不良品であった。

合鍵全体に対して不良品の含まれる比率 p を，95%の信頼度で推定せよ。（信頼限界は小数第 3位まで求めること） （解説） 標本比率 p̂ は

02.04008ˆ ==p ∴ 98.002.01ˆ1 =−=− p

従って，信頼限界は

007.096.102.0400

98.002.096.102.0)ˆ1(ˆ96.1ˆ ×±=

×±=

−±

nppp

03372.0,00628.001372.002.0 =±=

よって，求める信頼区間は 034.0006.0 ≤≤ p （答）

■ 例題２

ある意見に対する賛成率は，約 60%と予想されている。この意見に対する賛成率を，信頼度

)(121 nXXXnX +++= p̂

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95%で信頼区間の幅が 8%以下になるように推定したい。何人抽出して調べればよいか。 （解説） 標本比率は 6.0ˆ =p である。標本のサイズを n とすると，信頼度 95%の信頼区間の幅は

nnnpp 24.092.34.06.092.3)ˆ1(ˆ

96.12×

=×

=−

×

信頼区間の幅を 8%以下とすると，

08.024.092.3

≤×

n ∴ n×≤× 08.024.092.3

従って，

08.024.092.3 ×

≥n

両辺を 2 乗すると，

24.57624.049)08.0(

24.0)92.3( 22

2=×=

×≥n

n は整数であるから， 577≥n （答）577 以上