Univerzitet u Novom Sadu
Univerzitet u Novom Sadu
Tehniki fakultet Mihajlo Pupin
Zrenjanin
KOMPOZICIJA FAZI RELACIJAseminarski rad iz predmetaMEKO
RAUNARSTVO
na osnovnim studijamaPredmetni nastavnik: Student:
Prof. Dr Petar Hotomski Marko Madarevi
48/04-11 Dipl. in. informatikeZRENjANIN, 2007.1. Kompozicija
obinih relacijaNeka su date dve binarne relacije r i q, definisane
nad proizvodima XY i YZ retrospektivno. Kompozicija relacija r i q
se oznaava sa rq i definisana je nad proizvodom XZ:
(1.1)
Kompozicija dve relacije moe se posmatrati kao izraunavanje nove
relacije rq na osnovu datih relacija r i q.
Neka je dat diskretan skup A koji je podskup skupa X.
Kompozicija ovog skupa i binarne relacije r definisane nad
proizvodom skupova XY je:
(1.2)Primer:
Neka su dati skupovi: X 2,3,5,8}, Y 4,6,16}i Z 1,4,5,7}Oznaimo
sa r relaciju da se elementi skupa X sadre u elementima skupa Y bez
ostatka. I neka s oznaava relaciju sYZ , s={(4,5),(6,7)}. Potrebno
je pronai kompoziciju relacija r i s.
Napiimo prvo relaciju r: r =
{(2,4),(2,6),(2,16),(3,6),(8,16)}
Kompozicijom
Dobijamo r s ={(2,5), (2,7), (3,7)}.Definicija:Neka su X i Y
konani skupovi od m i n elemenata respektivno, i neka je r relacija
na XY . Relacija r moe biti predstavljena matricom R koja se zove
Bulova matrica ili relaciona
matrica.
Neka je: X={x1,x2,,xm} i Y={y1,y2,...,yn} i neka je rXY.Elementi
matrice R se definiu kao:
Primer:Za X={a,b} i Y={1,2,3} i r={(a,1),(b,2),(a,3)} imamo da
je
Matrini zapis relacije je od najvee koristi za odreivanje
kompozicije relacija. Naime
matrica koja odgovara kompoziciji dve relacije jednaka je
proizvodu matrica prve i druge
relacije. Pri raunanju matrinog proizvoda koristimo se
takozvanom Bulovom aritmetikom gde aritmetikoj operaciji sabiranja
odgovara Bulova operacija (disjunkcija) odnosno aritmetikoj
operaciji mnoenja odgovara Bulova operacija operacija
(konjukcija).Diskretan skup A koji je podskup skupa X moe se
predsaviti vektorom (matricom vrstom). Ovaj vektor e imati onoliko
elementata koliko ima i skup X. Elementi ovog vektora takoe mogu
izimati vrednsti 0 i 1. Jedinica oznaava da element na datoj
poziciji pripada skupa A, a nula da ne pripada.
Vekor koji odgovara kompoziciji diskretnog skupa i binarne
relacije jednak je proizvodu vektora tog skupa i matrice
relacije.Primer: Naka su dati skupovi X={a,b,c,d,e,f} i
Y={1,2,3,4}i relacija rXY , r={(a,1),(b,2),(b,3),
(d,4),(e,1),(e,4),(f,2)}.Skup A={c,d,f} je podskup skupa X. Potrbno
je odrediti A r. Skup A se moe predstaviti poou vektora . Matrica
relacije r je:
Kompoziijom A r dobija se novi skup iji se vektor rauna na
sledei nain
Skup iji smo vektor dobili je A r = {2,4}Primer:Neka su reacije
r i q zadate matricama R i Q. Potrebno je odrediti r q.
,
Raunajui kao i u predhodnom primeru dobija se:
Za uoptavanje postupka raunanja relacije odnosno skupa koji
nastaju kao rezultat kompozicije moe se iskoristiti karakteristina
funkcija kaja za elemente koji pripadaju skupu A daje jedinicu, a
za elemente koji ne pripadaju skupu A daje nulu:
.
Na isti nain moemo da prikaemo binarnu relaciju r:
.Sada se pomou ovih izraza moe napisati konaan izraz za
kompoziciju:
(1.3)
(1.4)
2. Kompozicija fazi relacija
Sa fazi relacijom moe se komponovati obian skup, fazi skup, i
druga fazi relacija.Izraz za kompoziciju diskretanog skupa A sa
fazi relacijom dobijamo tako to u izraz (1.3) zamenimo funkciju sa
funkcijom pripadnosti :
(2.1)Primer:Neka je X={ Marija, Ivana, Jovanaa, Slavica,
Ljubica} skup devojaka, a Y={Jovan, Stojan, Zoran, Saa, Milan} skup
momaka. Neka je fazi relacija dobri prijatelji definisana na XY ija
je matrica sledea
Na osnovu skupa devojaka A viih od 177 cm
A={Ivana,Jovana,Slavica} potrebno je odrediti skup momaka koji su
dobri prijatelji sa devojkama viim od 177 cm.
Jovan, Stojan,Zoran i Saa potpuno pripadaju skupu momaka koji su
dobri prijatelji sa devojkama viim od 177 cm, dok Milan pripada ovo
skupu sa stepenom pripadnosti 0.8Izraz za kompoziciju fazi skupa i
fazi relacije dobijamo tako to u izraz (2.1) zamenimo
karakteristinu funkciju sa funkciju pripadnosti :
(2.2)
Primer:Iskoristiemo skup momaka i skup devojaka kao i fazi
relaciju dobri prijatelji iz predhodnog primera. Ako je dat fazi
skup visokih devojaka potrebno je izraunati skup momaka koji su
dobri prijatelji sa visokim devojkama. Ovaj skup se nalazi na
osnovu kompozicije fazi skupa A i fazi relacije :
Sada Jovan,Stojan i Saa potpuno pripadaju skupu momaka koji su
dobri prijatelji sa visokim devojkama, dok Zoran i Milan pripadaju
ovom skupu sa stepenom pripadnosti 0.8 .Kada elimo da izraunamo
kompoziciju dve fazi relacije, i definisane na XY i YZ
retrospektivno koristimo izraz:
(2.3)
Primer:Neka fazi relacija odslikava odnos izmeu boje i zrelosti
voa a fazi relacija odnos izmeu zrelosti i ukusa voa na nain na
koji je prikazan u sledeim tabelama:
nezrelopolu-zrelozrelo
zeleno10.50
uto0.310.4
crveno00.21
kiseloneukusnoslatko
nezrelo10.20
polu-zrelo0.710.3
zrelo00.71
Na osnovu datih podataka potrebno odnos izmeu boje i ukusa
voa.
Primenjivanjem izraza (2.3) na podatke iz predhodnih tabela
dobijamo sledeu:
kiseloneukusnoslatko
zeleno10.50.3
uto0.710.4
crveno0.20.71
Kompozicijom fazi relacija i dobili smo novu koja opisuje traeni
odnos.Ako su skupovi nad kojim je definisana fazi relacija
beskonani onda izrazi (2.1),(2.2),(2.3) imaju sledei oblik:
(2.4)
(2.5)
(2.6)
gde sup oznaava supremum (najvee gornje ogranienje). Na
primer:
sup [0,1) = 1
sup [0,1] = 1
sup {0.5,0.6}=0.6Dosada prikazana kompozicija nosi naziv
maksimum-minimum kompozicija (MaxMin composition) i esto se
upotrebljava u fazi teoriji i njenim primenama. Drugi oblici
kompozicije koji se koriste su maksimum-proizvod kompozicija
(MaxProduct composition) i maksimumum-zvezda kompozicija (MaxStar
composition).Izraz koji ilustruje komponovanje dve fazi relacije
pomou maksimum-proizvod kompozicije je sledei:
(2.7)
gde operator predstavlja skalarno mnoenje.
Izraz koji ilustruje komponovanje dve fazi relacije pomou
maksimum-zvezda kompozicije je sledei:
(2.8)
gde operator * predstavlja korisniki definisanu operaciju.
Literatura
[1.] Pero Subai,Fazi logika i neuronske mree,Tehnika knjiga,
Beograd, 1997.
[2.] William Siler, James J. Buckley Fuzzy expert systems and
fuzzy reasoning, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey,
2005.[3.] http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol[4.]
http://documents.wolfram.com/applications/fuzzylogic[5.]
http://www.dos.cg.ac.yu/mur/Skripta/relacije.pdf
PAGE 7
_1256844337.unknown
_1256921772.unknown
_1257188498.unknown
_1257227120.unknown
_1257227139.unknown
_1257792589.unknown
_1257792841.unknown
_1257792568.unknown
_1257227127.unknown
_1257227071.unknown
_1257227088.unknown
_1257191191.unknown
_1257070981.unknown
_1257088185.unknown
_1257088330.unknown
_1257088353.unknown
_1257089028.unknown
_1257088316.unknown
_1257087008.unknown
_1257087758.unknown
_1257072125.unknown
_1257060880.unknown
_1257061001.unknown
_1257062554.unknown
_1257060958.unknown
_1257020668.unknown
_1257059679.unknown
_1257059142.unknown
_1257020658.unknown
_1256907539.unknown
_1256921735.unknown
_1256921749.unknown
_1256907549.unknown
_1256846759.unknown
_1256907491.unknown
_1256907510.unknown
_1256906755.unknown
_1256844674.unknown
_1256845677.unknown
_1256581168.unknown
_1256581408.unknown
_1256843906.unknown
_1256843932.unknown
_1256583233.unknown
_1256843507.unknown
_1256581374.unknown
_1256581391.unknown
_1256581276.unknown
_1256571258.unknown
