08. Transformaciones Proyectivas. Homologia y Afinidad

7/21/2019 08. Transformaciones Proyectivas. Homologia y Afinidad

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TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS: HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

1 INTRODUCCIÓNLas figuras geométricas están compuestas depuntos, rectas y planos que constituyen los lla-mados elementos geométricos fundamentales .Dichos elementos pueden someterse a diversastransformaciones sobre el plano conservandosu forma, sus proporciones o ninguna de lasdos características. Sin embargo, todas ellas sebasan en la proyectividad , una operación espa-cialque consiste en una «proyección» seguidade una «sección» de la radiación proyectiva.Se trata de estudiar las relaciones geométricasque se establecen entre dos planos por mediode una proyección o radiación desde un puntoexterior propio o impropio (en el i nfinito).El concepto de proyectividad es el fundamentode los diversos sistemas de representación que se utilizan, como procedimientos científico-técnicos, para representar los objetos tridimen-sionales sobre el plano del papel.

2 DEFINICIONES Y OPERACIONESPROYECTIVAS

Se llama radiación de rectas al conjunto derectas o rayos que pasan por un punto O lla-mado centro de radiación (fig.2a) .Se entiende por radiación de planos al con-junto de todos los planos del espacio que pa-san por un mismo punto O (fig.2b) .Las operaciones proyectivas, fundamentalmen-te, son dos: proyectar y seccionar .

• Proyectar un punto P desde otro punto O (centro de proyección) consiste en unir, poruna recta o rayo, el punto O con el P (fig.2a) .

• Seccionar una radiación de rectas (fig.2a) oplanos (fig.2b) por un plano ( π ), es obtener lospuntos A,B , C ,… o las rectas AB ,BC ,CD , … deintersección de los rayos o de los planos, res-pectivamente, con el plano sección π .Así, proyectar una figura plana A 1 B 1 C 1 (fig.2c) desde un punto O es unir dicho punto con los in-finitos puntos de la línea que definen la forma;por tanto, proyectar equivale a definir una radia-ción de infinitas rectas. Si a continuación seccio-namos la radiación por un plano π 2 distinto deπ 1 (que contiene a la figura A 1 B 1 C 1 ), obtene-mos otra figura A 2 B 2 C 2 . Ambas figuras, situa-das en planos perspectivos distintos, se diceque son homólogas . La evidente correspon-dencia que relaciona una figura con la otra reci-be el nombre de perspectividad u homografía .Recíprocamente: dos figuras planas (conteni-das en planos distintos) son homólogas si lasrectas que unen los pares de puntos homólogos( A1 con A2 , B 1 con B 2 ,…) pasan por un puntofijo O (centro de la homología) . Dicho puntopuede ser «propio» (siendo, por tanto, la radia-ción cónica) (fig.2c), o «impropio» (en el infini-to y, por ende, con radiación cilíndrica) (fig.2d).

OBJETIVOS

1. Profundizar en el conocimiento del espacio euclidiano, me-diante la geometría proyectiva, con el estudio de las trans-formaciones proyectivas: homología y afinidad .

2. Descubrir las posibilidades que ofrecen las relaciones proyec-tivas en el campo del dibujo técnico como medio de trans-formación de las formas geométricas sobre el plano.

3. Conocer y utilizar las transformaciones homológicas que seproducen en el espacio como algoritmo proyectivo de cálcu-lo mecánico en la geometría descriptiva.

En ambos casos, es evidente que, por ser co-planarias las radiaciones O A 2 A1 y O B 2 B 1 ,las rectas A 1 B 1 y A 2 B 2 han de cortarse en unpunto E de la recta común de los planos π 1 y π 2 , que las contienen (recordemos que tresplanos no paralelos se cortan en un punto).Así pues, en dos figuras homológicas los paresde rectas homólogas se cortan en la recta de in-tersección ( e ) de los dos planos, denominadaeje de la homología .Con las definiciones precedentes, podemos afir-mar que: «una homografía es la correspon- dencia proyectiva que relaciona, en el espacio, dos figuras planas como secciones distin- tas de una misma radiación».

La geometría proyectiva introduce los elementos impropios: puntos, rectas y planos del infi-nito, que surgen de las proyecciones paralelas asus elementos homográficos. Así, un punto im-propio P 1∞ del plano π 1 (fig.2e) define una di-rección y tiene como punto homológico en elplano π 2 el punto P 2 , obtenido como intersec-ción de la recta que pasa por el centro O y esparalela a la dirección anterior. Análogamente, elpunto homólogo de R 1 ∞ será R 2 y viceversa.Del mismo modo, una recta del infinito (unión delos puntos P 1 ∞ con R 1 ∞ ) situada en el planoπ 1 , tiene por homológica la recta P 2 R 2 (inter-sección del plano que pasa por el centro O , pa-ralelo a π 1 , con el plano sección π 2 ) .

3 TEOREMA DE LAS TRESHOMOLOGÍAS

«Si dos figuras F 1 y F 2 no coplanarias son homológicas de otra F con el mismo eje e y centros O’ y O’’ , serán también homológi- cas entre sí, con el mismo eje e y un centro O alineado con O’ y O’’ » (f ig .3) .

P

αβ δ

γ

O

a

bc d

A B

C

D

π

e

E

O

A B

C

D

E

π 1

π 2

π 1

O

O’

O’’

Radiación de rectas.2a Radiación de planos.2b

Planos perspectivos bajo unaradiación de centro propio.

2c Planos perspectivos bajo unaradiación de centro impropio.

2d

A1

C1

A2

C2

B1

O

B2

e

π 2

π 1

OP2

R2

P1∞

R1∞

π 2

e

Elementos impropios entre planos perspectivos.2eTeorema de lastres homologías.

3

F1

F2

F

e

A1

C1

A2

C 2

B1

B2

O∞

e

π 2

π 1

π

E E

(plano sección)



96

4 ELEMENTOS FUNDAMENTALES ENUNA HOMOGRAFÍA

Partiendo de que cuando dos figuras planasson perspectivas están ligadas por una rela-ción homográfica , vamos a obtener una seriede propiedades que podemos deducir de unmodo directo y de forma sencilla (fig.4a) .

La perspectividad o relación homográfica enel espacio es, ante todo, una correspodenciabiunívoca y homónima entre dos figuras geo-métricas planas tal que a un punto o recta dela primera figura le corresponde un punto orecta único de la segunda y, recíprocamente.Como venimos haciendo, llamaremos π 1 alplano en el que está contenida la primera figu-ra ( F 1 ) , destacando todos sus puntos con elsubíndice 1 y π 2 al plano de la segunda figu-ra ( F 2 ) cuyos puntos se identificarán con elsubíndice 2 .Si O es el centro de la perspectividad desdedonde se proyectan los puntos de la figura F 1 ,sus puntos homólogos se obtienen cortando laradiación por el plano π

2 . Así, a todo punto del

plano π 1 le corresponde un punto único del pla-no π 2 y si partimos de A 1 y B 1 se puede hallarA 2 y B 2 verificándose, evidentemente, que lasrectas homólogas A 1 B 1 y A 2 B 2 se cortan enun punto de la recta e común a π 1 y π 2 .De igual modo, cualquier punto de la figura F 2

(como el C 2 ) procede de un único punto C 1de la figura F 1 .

Todos los puntos de la recta e (eje de homolo-gía), intersección de los planos π 1 y π 2 , sondobles u homólogos de sí mismos, y no exis-ten otros que lo sean fuera de ella.

Tracemos ahora por el centro de perspectivi-dad O un plano paralelo al π 2 que cortará alplano π 1 según una recta l 1 que ha de ser pa-ralela al eje e . Intentemos hallar el punto homo-lógico de un punto cualquiera S 1 de la recta l 1 .Debemos unirlo con O y hallar la intersecciónde la recta OS 1 con el plano π 2 pero –por serparalelos la recta y el plano– el punto en que secortan es impropio; esto es, un punto S 2 ∞ si-tuado en el infinito del plano π 2 . Igual nos su-cede con cualquier otro punto de la recta l 1 :sus homólogos son puntos del infinito o impro-pios del plano π 2 . Esto justifica que a la rectal 1 le llamemos recta límite del plano π 1.Análogamente, si por el punto O trazamos unplano paralelo al π 1 cortará al π 2 según unarecta k 2 , evidentemente paralela al eje e . Sideseamos determinar el punto homológico de

un punto cualquiera R 2 de la recta k 2 , tendre-mos que unirlo con el centro de proyectividadO y hallar la intersección OR 2 con el plano π 1pero, al igual que en el caso anterior, el puntoen que se cortan es impropio: es un punto( R 1 ∞ ) del infinito del plano π 1 . Sucede, pues,que la recta k 2 está formada por los puntoshomológicos de todas las direcciones o pun-tos impropios del plano π 1 . Por ello, a la rectak 2 se la denominá recta límite del plano π 2 .

En resumen : • En el plano π 1 todo punto es homológico de

un punto propio del plano π 2 con excepciónde los puntos de la recta límite l 1 cuyos puntos

homológicos están situados en el infinito delplano π 2 . Los puntos del eje e son dobles.

• En el plano π 2 todo punto es homológico deun punto propio del plano π 1 , con excepciónde los puntos de la recta límite k 2 , compuestapor puntos cuyos homólogos están en el infi-nito del plano π 1. Asimismo, en π 2 los puntosde la recta e son dobles.

• Es especialmente importante destacar, concierto énfasis, que las rectas límites l 1 (perte-neciente a π 1 ) y k 2 (contenida en π 2 ) no sonhomológicas una de otra.

Para destacar las propiedades fundamenta-les que hemos mencionado, conviene resu-mirlas esquemáticamente en la forma quemuestra la fig.4b, donde se ha dibujado laproyección frontal (sobre un plano perpen-dicular al eje e ) que relaciona la figura F 1 conF 2 y viceversa. Las rectas límites l 1 y k 2 sonrectas de punta. Fácil es observar que, siem-pre, se verificará que las distancias:Ol 1 = k 2 e , así como: l 1 e = Ok 2 .

Si en el sistema homográfico de la fig.4a se«proyectan» o se «abaten», sobre un plano,los elementos homólogos, deja de llamarsehomografía para denominarse homología .Se puede decir que la homografía es una co-rrespondencia proyectiva en el espacio,mientras que la homología lo es sobre un úni-

co plano (el de trabajo).El paso de los elementos de una homografía (es-pacio) a una homología (sobre el plano de tra-bajo π

1), puede llevarse a cabo proyectando di-chos elementos, sobre dicho plano π 1 (fig.5.1) o por abatimiento de los mismos (fig.5.2).

5.1 Proyección ortogonal sobre uno de losplanos perspectivos u homológicos.

Consiste en proyectar, ortogonalmente, sobreuno de los planos perspectivos, el conjunto deelementos homográficos del espacio, no perte-necientes al plano ( π 1 ), sobre el que se realizala proyección.

Para entender cómo se establece y cómo setransforman los elementos homográficos en ho-mológicos (paso del espacio al plano), es con-veniente, y muy útil, tener siempre presente elesquema que se indica en la fig.5.1 .Las dos rectas límites son paralelas al eje, verifi-cándose que: la distancia entre el centro y unarecta límite es igual a la existente entre el eje yla otra recta límite. Ambas se situarán entre elcentro O y el eje e , o en el espacio exterior aambos.En la homología que se establece en el planoπ 1, el eje e y la recta límite l 1 son los mismosde la homología espacial. El centro de homolo-gía O’ es la proyección del centro O y la figuraF’ 2 homológica de la F 1 , es la proyección de laF 2 sobre π 1 .Tanto las dimensiones de F 1 como las distan-cias entre los elementos (eje, recta límite l 1 ,…),pertenecientes al plano de proyección π 1, seencuentran en verdadera magnitud.

e

k2 O

l1

F2

R2

S2 ∞

k2

r e c t

a l í m

i t e d

e π 2

C1

B1

r e c t

a l í m

i t e d e

π 1

e

E1 E2

l1

F2

F1

A2

B2C2

S1

π2

A1

P1 ∞

F1

Elementos componentesde una homografía.

4a

Esquema de la situación de loselementos que determinanuna homografía.

4b

O

R1 ∞

N1 N2

M1 M 2

P2

π1

π 2

π 1

5 PASO DE UNA HOMOGRAFÍA A UNA HOMOLOGÍA



97

5.2 Abatimiento sobre uno de los planosperspectivos u homológicos.

Esta segunda forma de pasar del espacio alplano de trabajo, esto es, del sistema homográ-fico al sistema homológico, consiste en abatir,sobre uno de los dos planos perspectivos (en lafig. 5.2 sobre el plano π 1 ), el conjunto de ele-mentos perspectivos del espacio, no pertene-cientes a dicho plano π 1 sobre el que se se rea-liza el abatimiento.

La fig. 5.2 muestra el esquema de cómo se lle-va a cabo el abatimiento del plano π 2 , sobre elplano perspectivo π 1 (considerado como planode trabajo); y con ello, el de todos los elemen-tos contenidos en él (recta límite k 2 y figura ho-mológica F 2 ), así como el abatimiento del cen-tro de proyección O , contenido en un planoparalelo al plano perspectivo π 2 . Obviamente,los abatimientos se realizan utilizando comoejes de giro las rectas comunes a los planosque contienen los elementos. Así, el eje e hace

Para construir la figura homológica de una figu-ra dada es necesario definir la homología me-diante, al menos, tres elementos de los seis quepueden establecerse: centro , eje , dos rectas límites y u n par de puntos homólogos .

6.1 Conocido el centro O , el eje e y un par depuntos homólogos A1 y A2 .

Con estos datos (fig. 6.1), para hallar el homólo-go de otro punto cualquiera ( B 1 ), se traza el ra-yo proyectante que une éste con O . El punto deintersección con la recta E A 2 (homóloga de laA1 B 1 y que corta al eje en el punto doble E ) de-termina B 2 , homólogo de B 1 .

6.2 Dado el centro O , el eje e y la recta límite k 2 .Con estos datos (fig.6.2), para hallar el homó-logo de un punto A1 , se traza por él una rectacualquiera que corte al eje en E y, por O , unaparalela a ésta que corta a la recta límite en P 2 .

El punto homológico A2 es el de corte del rayoOA 1 con la recta que resulta de unir E con P 2 .En una homología, dos rectas homólogas comoA1 B 1 y A 2 B 2 , forman parte del trazo extremo ycentral de una línea quebrada ( OP 2 EP 1 ∞ ) enforma de zeta, donde los trazos extremos ( OP 2

y EP 1 ∞ ) son siempre paralelos. Lo mismo ocu-rre en referencia a la otra recta límite l 1 .

6.3 Conocido el eje e , una recta límite k 2 y unpar de puntos homólogos A1 y A 2 .

Con los datos que muestra la fig.6.3, para de-terminar el centro de homología O , y con ello,dejar definida la homología con los mismos ele-mentos que en el caso anterior, se opera así:Se traza una recta cualquiera ( r 2 ) que, pasandopor el punto A 2 dado, corta a la recta límite enun punto P 2 y al eje en E . Por P 2 se traza la pa-ralela a la recta A1 E , que corta al rayo proyec-tante ( A1 A2 ) en el punto O buscado.

de charnela de giro para abatir los elementoscontenidos en el plano π 2 (figura F 2 y recta lími-te k 2 ) sobre el plano π 1 ; y la recta l 1 hace lasveces de charnela alrededor de la cual gira elplano (paralelo a π 2 ) que contiene al centro deproyectividad O .

Una vez realizado el abatimiento la figura abati-da F 2 es la figura homológica de F 1 (situada en

el plano de trabajo π 1 ) con centro de homo-logía ( O ), eje de homología e y rectas límitesl 1 y ( k 2 ) .

En resumen :

En toda homología se cumple que:• Dos puntos homológicos están alineados con

el centro ( O ) de homología.• Dos rectas homológicas se cortan siempre en

el eje ( e ) de homología, lugar geométrico depuntos dobles (homológicos de sí mismos).

• Las dos rectas límites ( l 1 y k 2 ) son paralelasentre sí, y ambas al eje ( e ) de la homología.

6 DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA

ESQUEMAS DE PASO DE UNAHOMOGRAFÍA (ESPACIO) A UNAHOMOLOGÍA (PLANO)

5.2 Abatimiento sobre elplano horizontal π 1.

=

=

l1e

(F2 )

(k 2 ) (O)

k2 O

F1

F2

π 1

π 2

--

F’2

O’e

=

=

k2

π 2

O

π 1

l1

F2

k’2

--

5.1 Proyección ortogonal sobreel plano horizontal π 1.

F1

DATOS

FORMAS MÁS USUALES DE DETERMINAR UNA HOMOLOGÍA

RESOLUCIÓN

A1

A2

e k 2

A1

P2

B2B1

O

E

P1∞

A2

r1r2

6.3

6.2

O

e k 2

O

B1

A1

P2

P1∞

E

A2

B2

r2

r1

6.1

A1

A2O A1

A2

OB1 B2

E

r2r1

e e

e k 2

k2e



98

ta límite l 1 , tan sólo hemos de recordar que ladistancia entre ésta y el eje es igual a la queexiste entre el centro de homología O y la rec-ta límite k 2 , sin olvidar que ambas rectas lími-tes son paralelas al eje e de la homología y no

son homológicas entre sí. Cada una de el lasestá compuesta de puntos cuyos homólogosse encuentran en el infinito del otro plano.

Para conseguir soltura en la mecánica proyec-tiva que presenta la utilización de los sistemasperspectivos u homológicos se hace aconse-jable, y necesario, ejercitar el paso de una aotra figura o forma homológica, haciendo usoindistinto de ambas rectas límites.El ejercicio mental que reporta trabajar en elplano situaciones proyectivas que se produ-cen en el espacio (recuérdese la fig.4a), nosfacilitará el estudio, comprensión y utilizaciónadecuada de los sistemas de representación.

8 HOMOLOGÍA AFÍN O AFINIDAD

Cuando el centro de homología es impropio(situado en el infinito), la homología se deno-mina homología afín o afinidad y la direc-ción que señala la situación del centro, direc- ción de afinidad .El sistema de afinidad queda, pues, definido

por: un eje ( e ) y dos puntos afines (homólo-gos) que unidos determinan la dirección ( d ) deafinidad, que puede ser oblicua u ortogonal respecto al eje del sistema. Es, por tanto, unatransformación homológica que carece de rec-tas límites y cumple las siguientes propiedades:

• El rayo proyectante que une dos puntos afineses paralelo a la dirección de afinidad.

• Dos rectas afines se cortan en un punto del eje.

8.1 Construcción de figuras afines.Sea una afinidad dada por dos puntos afinesA1 , A 2 (cuya unión determina la dirección d del rayo proyectante) y una figura A 1 B 1 C 1 dela cual se desea hallar su afín ( A2 B 2 C 2 ) .

Según la fig. 8.1, se procede como sigue:- Se prolonga A 1 B 1 hasta cortar al eje en el pun-

to doble N . La recta afín de A 1 N resulta serNA 2 , por tanto, el punto buscado B 2 (situado enNA 2 ) se halla trazando por B 1 la dirección afín.

- Análogamente, para hallar C 2 (afín de C 1 ), seune el punto ( C 1) cuyo afín se desea determinar,con otro punto ( A1 o B 1 ) cuyo afín se conozca.

8.2 La elipse, figura afín de la circunferencia.En el sistema de afinidad, se parte de conocer:el eje ( e ) , l a dirección de afinidad ( d ) y dos puntos afines , tales como O 1 y O 2 centros dela circunferencia y la elipse respectivamente.

8.2.1 Con dirección de afinidad oblicua al eje.• Datos: El eje ( e ) y dos puntos afines ( O 1 ,O 2 ) .• Construcción: Sabiendo que los ejes princi-

pales de la elipse son afines de dos diámetrosde la circunferencia, perpendiculares entre sí,se precisa trazar un arco capaz de 90° que pa-sando por O 1 y O 2 tenga su centro en el eje, alobjeto de observar desde O 1 y O 2 el segmen-to MN bajo 90° .

- La mediatriz del segmento O 1 O 2 determinaP , centro de la circunferencia que pasa porO 1 y O 2 .

- La unión de M y N con O 1 y O 2 determina dosdiámetros perpendiculares de la circunferencia,cuyos afines son los ejes principales de la elipse.

- Trazando, por A1 , B 1 , C 1 y D 1 , los rayos pro-yectantes correspondientes, paralelos a la di-rección de afinidad establecida por O 1O 2 , sedeterminan los extremos de los ejes principa-les ( A2 , B 2 , C 2 y D 2 ), vértices de la elipse afínde la circunferencia dada.

8.2.2 Con dirección de afinidad ortogonal al eje.• Datos: El eje ( e ) y dos puntos afines ( O 1 , O 2 ) .• Construcción: Los segmentos afines a los diá-

metros ortogonales de la circunferencia, A1 B 1 y C 1 D 1 , paralelo y perpendicular al eje respecti-vamente, determinan los ejes principales de laelipse solución.

A1

P1∞

R1∞

B1

C1

N

C2

B2

A2

P2

T1

R2

O

Q2

U1

S1

E1 E2

D2

T2∞

U2∞

S2∞

Q1∞

d d

M

k2e

SISTEMA DE HOMOLOGÍA

Elementos y determinaciónde una homología.

7

l1

RELACIÓN DE AFINIDAD

FIGURA AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA

A r

c o

c a p a

z d e

9 0 °

A2

B2

B1

A1

C1

O1

O2

M

P

N

d

8.1 Determinación de figuras afines.

A1

A2

N

B1

C1

B2

C2

e

D i r e c c i ó n d e a f i n i d a d

d

Afinidad ortogonal.8.2.2

Afinidad oblicua.8.2.1

D2

B2A2

C2

C1

B1A1

D1

O1

Ede afinidad ortogonal

Dirección

e

d

C2

D1

D2

e

O2

7 CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS HOMOLÓGICAS

Sea el triángulo A 1 B 1 C 1 cuya situación se hafijado en un sistema de homología de centroO , eje e y recta límite k 2 .

Vamos a determinar su figura homológica, queresultará ser el triángulo A 2 B 2 C 2 .

- Comenzamos, por ejemplo, por determinar el la-do A 2 B 2 (segmento homólogo del A 1 B 1 da-do). La recta paralela, por O , a la prolongacióndel lado A 1 B 1, (que corta al eje en el punto do-ble E ) corta a la recta límite k 2 en P 2 . La rectaP 2 E 2 es la homológica de A 1 B 1 ; por tanto, tra-zando los rayos proyectantes que pasan por A1y B 1 se obtiene el segmento homólogo: A2 B 2 .

- Para hallar el tercer punto C 2 del triángulo nossobran datos y, por tanto, podemos actuar porcualquiera de las tres formas planteadas en elapartado anterior.

- Para determinar la situación de la segunda rec-



1. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO EQUILÁTEROde lado A1B1C1 , en un sistema homológico de centro O , eje e , y dospuntos homólogos tales como A1 y A2 .

2. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del CUADRADO A1B1C1D1 , enun sistema homológico definido por su centro O , el eje e y los pun-tos homólogos B1 y B2 .

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADAHOMOLOGÍA Y AFINIDAD

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

RELACIÓN HOMOLÓGICA ENTRE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 2

3

1

28

1 2 e

B1

C1

D1

A1

B2

A1

O

A2

O

e

C1

B1



VERIFICACIONES

1. Determina el SEGMENTO HOMÓLOGO de A1B1 en un sistema homológico en el quese conoce el centro de homología O , el eje e y el punto A2 homólogo de A1 .

2. Determinar el PUNTO HOMÓLOGO del C1 sabiendo que el segmento homólogoA1B1 es el A2B2 y el punto E es doble; esto es: E1 E2 .

1 2

C1

B1

A1

A2

B2

E

B1A1

O

e

A2

100



1. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 conocien-do el centro de homología O , eleje e y la recta límite l1 , situada enel mismo plano perspectivo que la figura dada. Completar el sistemahomológico determinando la posición de la segunda recta límite ( k 2 ).

2. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 que es atra-vesado por la recta límite l 1 perteneciente a su mismo plano perspectivo.Datos complementarios del sistema homológico: centro de homologíaO y eje homológico e .


nombre y apellidos


FIGURAS HOMOLÓGICAS DE FORMAS TRIANGULARES 2

3

1

29

1 2

C 1

B1

e

O

A 1

e

O

l1

B1

l1

d

C 1

A1



1. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 conocien-do el centro de homología O , eleje e y la recta límite l1 , situada enel mismo plano perspectivo que la figura dada. Completar el sistemahomológico determinando la posición de la segunda recta límite ( k 2 ).

2. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 que es atra-vesado por la recta límite l 1 perteneciente a su mismo plano perspectivo.Datos complementarios del sistema homológico: centro de homologíaO y eje homológico e .


nombre y apellidos


FIGURAS HOMOLÓGICAS DE FORMAS TRIANGULARES 2

3

1

29

1 2

C1

B1

e

O

A1

e

O

l1

B1

l1

d

C1

A1

S1

Q2

T1

M

M 1N1

C2

A2

B2

l1

E1 E2

k2

P2

R2

A2

C2

B2

S2 ∞

U2 ∞

U1

N

B1

A1

R1 ∞

P1 ∞

A1

N2 ∞

M 2 ∞

N2 ∞

M 2 ∞

Q1 ∞

T2 ∞

d



VERIFICACIONES

1. Hallar el EJE DE LA HOMOLOGÍA definida por el centro O y las rectas límites l1 y k 2 . 2. Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1, determinada por unahomología de eje e , recta límite k 2 y dos puntos homólogos tales como A1 y A2 .

1 2

O

l1 k 2

A1

C 1

k 2

B1

A 2

e

102



VERIFICACIONES

1. Hallar el EJE DE LA HOMOLOGÍA definida por el centro O y las rectas límites l1 y k2. 2. Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1, determinada por unahomología de eje e, recta límite k2 y dos puntos homólogos tales como A1 y A2 .

1 2

O

l1 k2

A1

C1

k2

B1

A2

e

1. Hal la r e l EJE DE LA HOMOLOGÍA definida por el centro O y las dos rectaslímites l 1 y k 2 .

2. Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A 1B1C1 , determinada por unahomología de eje e , recta límite k 2 y dos puntos homólogos tales como A 1 y A 2 .

COMENTARIO A LA CONSTRUCCIÓN

En una homología, el eje siempre es paralelo a las dos rectaslímites y la distancia del centro O a una de ellas es igual a ladistancia del eje a la otra. Si una de las rectas límites está si-tuada en el espacio entre el centro O y el eje e , la otra también;si se encuentra fuera del mismo, también la otra recta límite.

d

e

d

A1

O

B2

B1

P2

C1 C2

P1∞

A2

102



En un SISTEMA HOMOLÓGICO se conocen los siguientes elementos:- CENTRO de homología: O- EJE de homología: e- RECTA LÍMITE : l1

Se pide:Determinar las FIGURAS HOMOLÓGICAS de los tres triángulos dados:

A1B1C1 ; P1Q1R1 y S1T1U1


nombre y apellidos


POSIBILIDADES HOMOLÓGICAS DE UN TRIÁNGULO 2

3

1

30

Q 1

R1

B1

T1

C1

S1

U1

A1

P1

l1

e

O



En un SISTEMA HOMOLÓGICO se conocen los siguientes elementos:- CENTRO de homología: O- EJE de homología: e- RECTA LÍMITE : l1

Se pide:Determinar las FIGURAS HOMOLÓGICAS de los tres triángulos dados:

A1B1C1 ; P1Q1R1 y S1T1U1


nombre y apellidos


POSIBILIDADES HOMOLÓGICAS DE UN TRIÁNGULO 2

3

1

30

Q 1

R1

B1

T1

C1

S1

U1

A1

P1

l1

e

OO

M 1 N1 J1

A1

S2

C2

C1

A2

R2

B1

T2 ∞

U2 ∞

M 2 ∞

N2 ∞

J 2 ∞

P1 P2

B2

R1

Q2 ∞

Q2 ∞

N2 ∞

M 2 ∞



VERIFICACIÓN

Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 , con el vértice A1 situado sobre la recta límite l1 , eje de homología e y centro O .

e

l1

C1

B1

O (Centro de homología)

A 1

104



VERIFICACIÓN

Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1, con el vértice A1 situado sobre la recta límite l1, eje de homología e y centro O.

e

l1

C1

B1

O (Centro de homología)

A 1

Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A 1 B1C1 , con el vértice A 1 situado sobre la recta límite l1 , eje de homología e y centro O .

B2

C 2

A 1A

2 ∞

A 2 ∞

A 2 ∞

A 2 ∞

COMENTARIO

- La recta homológica del lado B1C1es ella misma, por pasar por el cen-tro de homología.

- Las rectas homológicas de los ladosA1C1 y A 1B1 serán las paralelas a larecta OA 1 trazadas por los puntosen que A1C1 y A 1B1 cortan al ejede la homología.

104



1. Hallar el CENTRO DE HOMOLOGÍA, en un sistema del que se cono-ce el eje e y la recta límite l1 , de manera que el triángulo homológi-co del dado ( A1B1C1 ), sea un TRIÁNGULO EQUILÁTERO (A2B2C2 ).Asimismo, dibuja la TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA, dejandovistas todas las construcciones realizadas.

2. Definir la HOMOLOGÍA que transforma el CUADRILÁTERO A1B1C1D1

en un CUADRADO (A2B2C2D2 ), teniendo en cuenta que el eje de lahomología debe pasar por el punto P.Razona la respuesta, dejando constancia gráfica de las construccionesrealizadas.


nombre y apellidos


TRANSFORMACIONES HOMOLÓGICAS CONDICIONADAS 2

3

1

31

1 2

C 1

B1

A 1

D 1

e

l1

B1

A 1

C 1

P



1. Hallar el CENTRO DE HOMOLOGÍA, en un sistema del que se cono-ce el eje e y la recta límite l1 , de manera que el triángulo homológi-co del dado ( A1B1C1 ), sea un TRIÁNGULO EQUILÁTERO (A2B2C2 ).Asimismo, dibuja la TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA, dejandovistas todas las construcciones realizadas.

2. Definir la HOMOLOGÍA que transforma el CUADRILÁTERO A1B1C1D1

en un CUADRADO (A2B2C2D2 ), teniendo en cuenta que el eje de lahomología debe pasar por el punto P.Razona la respuesta, dejando constancia gráfica de las construccionesrealizadas.

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADAHOMOLOGÍA Y A FINIDAD

nombre y apellidos


TRANSFORMACIONES HOMOLÓGICAS CONDICIONADAS 2

3

1

31

1 2

C1

B1

A1

D1

e

l1

B1

A1

C1

P

B1

A1

P1 Q1 R1

O

C2

B2

a2

c2

A2

b2

A r

c o

c a p

a z d e

6 0 °

A r c o c a p a z

d e

6 0

°

60 °60 °

60 °

60 °

C1

A r c

o c a

p a z

d e 9 0 °

A r c o c a p a z

d e 9

0 °

M1 R1 N1 S1

D2

C2

B2

A2

O

A1

D1

B1

l1

b1

a1c1

e

P2∞ Q2∞

R2∞

COMENTARIO

Recuérdese que «el ángulo que forman las rectas homólogas de dos dadas es el mismoque el que forman las rectas que unen el centro de homología con los puntos en quelas dos dadas cortan a la recta límite (coplanaria con ellas)».- Por ello, se dibuja el arco capaz de 60 ° sobre el segmento Q 1R1 , limitado sobre l1 por

las rectas a 1 y b 1 respectivamente. Igualmente se hace con el arco capaz cuyos extremosP1Q 1 limitan los lados c1 y a 1 respectivamente.

- La intersección de ambos arcos capaces define el centro de homología O con el queA 1B1C1 se transforma en el equilátero A 2B2C2 .

- El eje de la homología, siempre paralelo a la recta límite, se sitúa a cualquier distanciade ésta: su ubicación condiciona únicamente el tamaño del triángulo equilátero solución.

NOTA.- Existe una segunda solución O’ , simétrica de la anterior respecto a la recta límite,ya que los arcos capaces podían haberse trazado a distinto lado de dicha recta.

l1

e

M2∞

M2∞

N2∞

N2∞

COMENTARIO

- Recuérdese que «para que un cuadrilá-tero se transforme en un paralelogramo,la recta límite correspondiente ha depasar por los puntos de intersección desus lados opuestos» (en la figura, M 1N1 ).

- Si además se desea precisar que la figurahomológica de la dada sea un cuadrado(como es el caso que nos ocupa), «elcentro de homología estará en la circun-ferencia de diámetro el segmento R1S1

puntos extremos donde las diagonalesdel cuadrilátero cortan a la recta límite».

- Por tanto, el centro O se encuentra enla intersección de los arcos capaces de90 ° que tienen por diámetros los seg-mentos M 1N 1 y R1S1 .

- El eje de la homología, siempre paraleloa la recta límite, se hace pasar por elpunto P dado. Su ubicación condicionaúnicamente el tamaño del cuadrado.



VERIFICACIÓN

Definir los ELEMENTOS HOMOLÓGICOS que transforman el CUADRILÁTERO A1B1C1D1 en un RECTÁNGULO , haciendo pasar el eje e por el punto B1. Razona la respuesta.

D 1

A 1

C 1

B1

106



VERIFICACIÓN

Definir los ELEMENTOS HOMOLÓGICOS que transforman el CUADRILÁTERO A1B1C1D1 en un RECTÁNGULO, haciendo pasar el eje e por el punto B1. Razona la respuesta.

D1

A1

C1

B1

e

Definir los ELEMENTOS HOMOLÓGICOS que transforman el CUADRILÁTERO A 1B1C1D 1 en un RECTÁNGULO , haciendo pasar el eje e porel punto B1 . Razona la respuesta.

O

M1 N1

A2

D2

C2

B1 B2

l1

A r c o c a p a z d e 9 0 °

D1

N2∞

N2∞

M2

∞

M2∞

COMENTARIO

- Para poder transformar un cuadrilátero A1B1C1D1 en un rectángulo,recordemos que un rectángulo es un paralelogramo cuyos ladosson perpendiculares. Por ello, la recta límite ha de pasar por lospuntos de intersección de los lados opuestos del cuadrilátero, esto

es, por los puntos M y N.- El centro podrá ser cualquier punto de la semicircunferencia de

diámetro MN (arco capaz de 90 ° ).- El eje, paralelo a la recta límite, podrá, en general, tomar cualquier

posición. En la figura, según indica la propuesta, es obligado quepase por el vértice B1 del cuadrilátero dado.

106

1



A2

1. Disponemos de una transformación homológica afín ortogonal, dadapor su eje e y dos puntos afines A1, A2 . Se pide:Dibujar la FIGURA AFÍN del CUADRADO A1B1C1D1 .

2. Dibujar la FIGURA AFÍN del PENTÁGONO ESTRELLADO dado,conociendo la posición del eje de afinidad ( e ) y sabiendo que elpunto afín de A1 es A2 .

3. En una transformación afín ortogonal de eje e , sepide:Dibujar la FIGURA AFÍN de la CIRCUNFERENCIA de centro O 1 , sa-biendo que dicho punto tiene como punto afín el O 2 (centro de la fi-gura homológica).

4. Trazar la FIGURA AFÍN de la CIRCUNFERENCIA de centro O 1, cuyoafín es el punto O 2 , bajo un eje e , tangente a la circunferencia dada.

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA

HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

nombre y apellidos


AFINIDAD ORTOGONAL Y OBLICUA DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 2

3 32

1

C 1

D 1

A 1

D 1

C 1

B1

A 1

E1

C 1D 1

A 1

B 1

A 2

2

43

e

e

e

e

O 2

B 1

O 2O 1

O 1

D i r e c c i ó n a f í n o b l i

c u a a l e j e

Dirección ortogonal


D i r e c c i ó n a f í n

o b l i c u a a l e j e

1



A2

1. Disponemos de una transformación homológica afín ortogonal, dadapor su eje e y dos puntos afines A1, A2 . Se pide:Dibujar la FIGURA AFÍN del CUADRADO A1B1C1D1 .

2. Dibujar la FIGURA AFÍN del PENTÁGONO ESTRELLADO dado,conociendo la posición del eje de afinidad ( e ) y sabiendo que elpunto afín de A1 es A2 .

3. En una transformación afín ortogonal de eje e , sepide:Dibujar la FIGURA AFÍN de la CIRCUNFERENCIA de centro O 1 , sa-biendo que dicho punto tiene como punto afín el O 2 (centro de la fi-gura homológica).

4. Trazar la FIGURA AFÍN de la CIRCUNFERENCIA de centro O 1, cuyoafín es el punto O 2 , bajo un eje e , tangente a la circunferencia dada.

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA

HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

nombre y apellidos


AFINIDAD ORTOGONAL Y OBLICUA DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 2

3 32

1

C 1

D 1

A 1

D 1

C 1

B1

A 1

E1

C 1D 1

A 1

B 1

A 2

2

43

e

e

e

e

O 2

B 1

O 2O 1

O 1

D i r e c c i ó n a f í n o b l i

c u a a l e j e



D i r e c c i ó n a f í n

o b l i c u a a l e j e

A r c

o c a p

a z d e

9 0 °

E j e m a y

o r

B2

F1 F2

E1 E2

B 1

B1

A 1

B2

D 2

C 2

E2

C 1 C 2 D 2

B 2

A 2

E1 E2

O 2

C 1

A 1

D 1

N

D 2

C

M

B 2

C 2

A 2

O 2

E j e m e n o r

B1

D 2

C 2

Documents

08. Transformaciones Proyectivas. Homologia y Afinidad