Homologia, Rozdział I

Homologia, Rozdział 1 1

Homologia, Rozdział I

„Przegląd”


Homologia Pozwala na podstawie lokalnych

obserwacji wnioskować na temat całości,

Narzędzie łączące w sobie algebrę, kombinatorykę, matematykę obliczeniową oraz topologię,


Przykład – otaczanie. (Slajd 1)

Rys 1.1


Nasuwające się pytanie:Czy możemy rozwinąć algebraiczne narzędzie, które zdeterminuje ile regionów jest otoczonych przez zbiór linii? Rys 1.2


Cele tej książki: Nauczyć, jak dopasować do danej

przestrzeni topologicznej sekwencję obiektów zwanych ‘grupami homologicznymi’,

Uzyskanie informacji na temat topologii całej przestrzeni.


Grafy

Graf jako sposób definiowania prostych obiektów, Definicja (1.1) graf – podzbiór R3 na który składają się:

{V1, ..., vn} , vi R – zbiór wierzchołków {X R3 | x = tv0 + (1-t)v1, 0 t 1} – zbiór krawędzi

łączących wierzchołki (v0 ,v1) grafu spełniające warunki: Przecięcie dwóch różnych krawędzi jest zbiorem pustym lub

dokładnie jednym wierzchołkiem Jeżeli krawędź oraz wierzchołek przecinają się to ten

wierzchołek jest punktem końcowym tej krawędzi. Inne definicje: ścieżka, pętla, graf połączony, drzewo.


Graf kombinatoryczny. Definicja (1.2) graf

kombinatoryczny: Para (V,E) gdzie:

V – skończony zbiór wierzchołków E – skończony zbiór krawędzi

Krawędź o wierzchołkach v1, v2 to: e = [v1,v2]


Różne reprezentacje tych samych zbiorów w R3 (przykład).

G = [0,1] R. Reprezentacje kombinatoryczne:

V1 = {0,1}, E1 = {[0,1]} – naturalny V2 = {0,1/2,1}, E2={[0,1/2],[1/2,1]} Vn := {j/n | j = 0, ..., n}

En := {[j/n, (j+1)/n] | j = 0, ..., n-1}


Różne reprezentacje grafów a niezmienność homologii.

Do udowodnienia: Czy różne kombinatoryczne reprezentacje tych samych grafów będą miały tą samą homologię?


Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. Rys1.4


Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. (tabele)

- „operator graniczny” Odwzorowanie liniowe: Dla I:


Dodawanie modulo 2. Inna reprezentacja I:

E’(I) = {[a,c],[c,d],[d,e]}; V’(I) = {a,c,d,e} Wtedy: Co może być prawdą tylko dla

Wyjście: arytmetyka mod2 Wtedy otrzymujemy odpowiednio równania:

Dla I:

Dla 1 równanie 1.1


Dodawanie modulo 2. (wniosek i wyjątek)

Przestrzenie z cyklami sumują się do 0.

Wyjątek – Wypełnione obszary przestrzeni.

Cykle, które są ograniczeniami powinny być ignorowane.


Śledzenie kierunków. Alternatywa dla arytmetyki mod2. Założenia: I oraz 1 są podzbiorami R2


Gdy kierunek krawędzi jest zgodny z kierunkiem osi to: [a,b] to algebraiczne [a,b]

Gdy kierunek krawędzi jest przeciwny do kierunku osi to: [c,d] to algebraiczne –[c,d]

Wtedy mając krawędź biegnącą z {a} do {b}: [a,b]:= b – a Gdzie jest liniowe.

Redefinicja ‘’


Przykłady. Dla I mamy:

Dla 1 mamy:


Wnioski. Algebra odpowiadająca

interesującej topologii jest cyklem – suma ograniczeń algebraicznych obiektów jest równa 0.

Ponownie: cykle, które ograniczają jakiś obszar nie są interesujące.


Homologia ‘mod 2’ grafów. G = (V,E) – dany graf Dwie przestrzenie wektorowe:

C0(G,Z2); C1(G,Z2);

V – baza przestrzeni C0(G,Z2) E – baza przestrzeni C1(G,Z2) Przestrzenie Ck(G,Z2) zwane są k-

tym łańcuchem dla G

Documents

Homologia, Rozdział I