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Teoria de Dualidad
IO1 R. Delgadillo 2
Introducción
Conceptos
Dualidad Simétrica
Dualidad Asimetrica
Dualidad Mixta
Propiedades
Interpretación Económica del Dual
Precio Sombra
Costo Reducido.
IO1 R. Delgadillo 3
Dualidad
La teoría de Dualidad es una propiedad Matemática. Este concepto se aplica a la teoría de optimización.
La teoría de Dualidad introduce un nuevo test de optimalidad, como también nuevos algoritmos para resolver problemas lineares.
IO1 R. Delgadillo 4
Dualidad
Todo problema de programación matemática existe asociado con otro problema llamado Dual.
En particular, todo problema lineal (primal) tiene su correspondiente problema dual
Denominemos por (P) al problema primal y (D) a su correspondiente dual.
IO1 R. Delgadillo 5
Dualidad (simétrica)
Problema primal
(P) max Cx
s.a
Ax < b
x>0
Problema dual
(D) min yb
s.a
yA> C
y > 0
IO1 R. Delgadillo 6
Dualidad (simétrica)
Problema primal
max 3x1+7x2 -4x3
s.a
2x1- x2 + x3 <2
7x1+5x2-2x3<10
x1,x2,x3>0
Problema dual
min 2y1 +10 y2
s.a
2y1 +7y2 > 3
-y1 +5y2 > 7
y1 -2y2 > -4
y1,y2 > 0
IO1 R. Delgadillo 7
Dualidad (asimétrica)
Problema primal
(P) max Cx
s.a
Ax = b
x>0
Problema dual
(D) min yb
s.a
yA> C
y libre
IO1 R. Delgadillo 8
Dualidad (asimétrica)
Problema primal
max 3x1+2x2
s.a
x1+ x2 = 6
5x1-x2 = 12
x1,x2 > 0
Problema dual
min 6y1 +12 y2
s.a
y1 +5y2 > 3
y1 - y2 > 2
y1, y2 libre
IO1 R. Delgadillo 9
Dualidad (mixta) Problema primal
max 5x1+7x2-x3
s.a
x1+2x2+3x3 < 20
2x1-x2 = 8
x1 +3x2-4x3 < 9
x1 + x3 =12
x1,x3 > 0
x2 libre
Problema dual
min 20y1+8y2+9y3+12y4
s.a
y1 +2y2 + y3 + y4 > 5
2y1- y2 +3y3 =7
3y1 -4y3 +y4 > -1
y1, y3 > 0
y2, y4 libre
IO1 R. Delgadillo 10
Relación entre Primal y Dual
FO. MAX FO. MIN
AM
Restricc.
N Variables
NRestricc.
M Variables
tA
X es var. primal Y es variable dual
C b
bC
IO1 R. Delgadillo 11
Relación entre Primal y Dual
Respecto a las desigualdades
Prob. de Max Prob. de Min
oirrestrict
0
0
RESTRICC VARIABLES
oirrestrict
0
0
VARIABLESRESTRICC
IO1 R. Delgadillo 12
Dualidad- Propiedades
El problema primal puede ser de Máximo o de Mínimo por conveniencia denominamos (P) a un problema de Máximo.
Propiedad 1: Dual de (D) es (P)
Propiedad 2: Si x’ es una solución factible de (P) e Y’ es una solución factible de (D) entonces bycx ''
IO1 R. Delgadillo 13
Dualidad- Propiedades
Propiedad 3: Si x’ es una solución factible de (P) e Y’ es una solución factible de (D) y
entonces x’ será óptimo de (P) e y’ sera óptimo de (D).
Propiedad 4: Si (P) tiene una solución óptima ilimitada entonces (D) será vacio.
Propiedad 5: Si x* es solución óptima de (P) e y* es solución óptima de (D) entonces
bycx ''
bycx **
IO1 R. Delgadillo 14
Dualidad- Propiedades
Teorema de dualidad (existencia): Dado un par de problemas (primal y su dual) uno y solamemnte uno de las tres afirmaciones es verdadero.
Los dos problemas son vacios
Uno es vacio y el otro ilimitado.
Ambos admiten soluciones óptimas finitas (sus funciones objetivo en el punto óptimo asumen igual valor)
IO1 R. Delgadillo 15
Dualidad- Propiedades
Primal Dual
Óptimo finito Óptimo finito
Óptimo no-finito Óptimo no-finito
No tiene solución No tiene solución
IO1 R. Delgadillo 16
Dualidad- Propiedades
Propiedad 6 (Complementaridad): Si x’ es óptimo de (P) e y’ es óptimo de (D) entonces
(y’A – c) x’ = 0 e y’(Ax’ – b) = 0
Esta propiedad nos dice que:
Las variables duales y las variables de holgura son complementares.
IO1 R. Delgadillo 17
Dualidad- PropiedadesEj: máx z= 5x1+ 2x2
s.a
x1 < 3
x2 < 4
x1 + 2x2 < 9
x1, x2>0
Resolver, sabiendo que los valores de las variables duales correspondientes son:
y1= 4, y2=0, y3=1 y ZD= 21
IO1 R. Delgadillo 18
Dualidad- PropiedadesAplicando la propiedad de complementariedad,
y’(Ax’ – b) = 0, se tiene:
y1(x1 – 3) =0
y2(x2 – 4) =0
y3(x1 + 2x2 -9) = 0
Reemplazando: y1= 4, y2=0, y3=1
4x1-12 =0 => x1 = 3
x1 +2x2-9 =0 => x2= 3
Y Zp = 5(3) +2(3) = 21
IO1 R. Delgadillo 19
Dualidad- PropiedadesEj: máx zp= 5x1+ 2x2 min zd= 3y1+4y2+9y3
s.a x1 < 3 s.a y1 + y3 ≥ 5
x2 < 4 y2+2y3 ≥ 2
x1 + 2x2 < 9
x1, x2>0 y1, y2, y3>0
Resolver, y encontrar el valor de las variables primales y duales.
IO1 R.Delgadillo 20
Dualidad-Propiedadesx1 x2 x3 x4 x5
x3 1* 0 1 0 0 3
x4 0 1 0 1 0 4
x5 1 2 0 0 1 9
-z 5 2 0 0 0 0
x1 1 0 1 0 0 3
x4 0 1 0 1 0 4
x5 0 2* -1 0 1 6
-z 0 2 -5 0 0 -15
x1 1 0 1 0 0 3
x4 0 0 ½ 1 -½ 1
x2 0 1 -½ 0 ½ 3
-z 0 0 -4 0 -1 -21
y4 y5 y1 y2 y3
X1 = 3,X4= 1,X2= 3,
X3=X5=0,Zp=21
Y1=4,Y2=0,Y3=1,
Y4=Y5=0,Zd= 21
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Interpretación económica del problema dualEj: max z= 60x1+ 30x2 +20x3
s.a
8x1 + 6 x2 + x3 < 48 <= listones de madera
4x1 + 2x2 +1.5x3 < 20 <= horas de acabado
2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 < 8 <= horas de carpintería
x1, x2, x3 >0
x1= número de escritorios a producir
x2= número de mesas a producir
x3= número de sillas a producir
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Interpretación económica del problema dual
Suponga que un empresario desea comprar todos los recursos de la empresa,entonces él debe determinar el precio que esta dispuesto a pagar por cada uno de los recursos:
y1= precio de un listón de madera
y2 = precio de una hora de acabado
y3 = precio de una hora de carpintería
El precio total de los recursos es:
48y1 + 20 y2 + 8y3
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Interpretación económica del problema dual
Ya que desea minimizar el costo de la compra
min 48y1 + 20 y2 + 8y3
el dueño de la empresa dice que los precios deben ser justos esto es, el precio por la cantidad de recursos utilizados para producir un producto sea cuando menos la utilidad que este proporciona:
8y1 + 4y2 +2y3 > 60
6y1 + 2y2 +1.5 > 30
y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20
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Interpretación económica del problema dual
Así tenemos:
min 48y1+ 20y2 +8y3
s.a
8y1 + 4y2 + 2y3 > 60 <= restricc. de escritorio
6y1 + 2y2 +1.5y3 > 30<= restricc. de mesas
y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20<= restricc. de sillas
y1,y2,y3>0
La variable dual se relaciona con el valor de los recursos, por esta razón se denomina precio sombra
IO1 R. Delgadillo 25
Precio dual
El precio dual o precio sombra es la variación de la F.O. cuando el lado derecho de una restricción cambia en una unidad
El precio dual es válido para el rango de variación permitido, y constante en este intervalo.
El precio dual de una restricción inactiva es cero
IO1 R. Delgadillo 26
Costo reducido
El costo reducido de una variable de decisión se define como la cantidad en que se debe de cambiar el coeficiente de esa variable en la F.O. Para obtener un valor óptimo positivo.
Otra definición: Es la tasa (por unidad de aumento) a la cual disminuye el valor objetivo cuando esa variable es forzada a entrar en la solución óptima.